直线与平面平行的判定

直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定

[新知初探]

1．直线与平面平行的判定

[点睛]用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件：

(1)直线a在平面α外，即a⊄α；

(2)直线b在平面α内，即b⊂α；

(3)两直线a，b平行，即a∥b.

2．平面与平面平行的判定

[点睛](1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的．

(2)面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α()

(2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行()

(3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行()

答案：(1)× (2)× (3)×

2．能保证直线a 与平面α平行的条件是( ) A ．b ⊂α，a ∥b

B ．b ⊂α，c ∥α，a ∥b ，a ∥c

C ．b ⊂α，A ，B ∈a ，C ，

D ∈b ，且AC ∥BD D ．a ⊄α，b ⊂α，a ∥b

解析：选D 由线面平行的判定定理可知，D 正确．

3．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是( )

A ．一定平行

B ．一定相交

C ．平行或相交

D ．以上判断都不对

解析：选C 可借助于长方体判断两平面对应平行或相交．

直线与平面平行的判定

[典例] 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是BC ，CC 1，BB 1的中点，求证：EF ∥平面AD 1G .

[证明] 连接BC 1，则由E ，F 分别是BC ，CC 1的中点，知EF ∥BC 1. 又AB 綊A 1B 1綊D 1C 1，所以四边形ABC 1D 1是平行四边形， 所以BC 1∥AD 1，所以EF ∥AD 1. 又EF ⊄平面AD 1G ，AD 1⊂平面AD 1G ， 所以EF ∥平面AD 1G .

利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平

面内

找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等．

已知有公共边AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不同在一个平面内，P ，Q 分别是对角线AE ，BD 上的点，且AP ＝DQ .求证：PQ ∥平面CBE .

证明：如图，作PM ∥AB 交BE 于点M ，作QN ∥AB 交BC 于点N ，连接MN ，则PM ∥QN ，PM AB ＝EP EA ，QN CD ＝BQ BD .

∵EA ＝BD ，AP ＝DQ ，∴EP ＝BQ . 又∵AB ＝CD ，∴PM 綊QN ，

∴四边形PMNQ 是平行四边形，∴PQ ∥MN . 又∵PQ ⊄平面CBE ，MN ⊂平面CBE ， ∴PQ ∥平面CBE .

平面与平面平行的判定

[典例] 已知，点P 是△ABC 所在平面外一点，点A ′，B ′，C ′分别是△PBC ，△PAC ，△PAB 的重心．

(1)求证：平面A ′B ′C ′∥平面ABC . (2)求A ′B ′∶AB 的值．

[解] (1)证明：如图，连接PA ′，并延长交BC 于点M ，连接PB ′，并延长交AC 于点N ，连接PC ′，并延长交AB 于点Q ，连接MN ，NQ .

∵A ′，B ′，C ′分别是△PBC ，△PAC ，△PAB 的重心， ∴M ，N ，Q 分别是△ABC 的边BC ，AC ，AB 的中点，且PA ′A ′M ＝

PB ′

B ′N ＝2，∴A ′B ′∥MN .

同理可得B ′C ′∥NQ .

∵A ′B ′∥MN ，MN ⊂平面ABC ，A ′B ′⊄平面ABC ， ∴A ′B ′∥平面ABC . 同理可证B ′C ′∥平面ABC .

又∵A ′B ′∩B ′C ′＝B ′，A ′B ′⊂平面A ′B ′C ′，B ′C ′⊂平面A ′B ′C ′， ∴平面A ′B ′C ′∥平面ABC .

(2)由(1)知A ′B ′∥MN ，且A ′B ′MN ＝PA ′PM ＝23，

即A ′B ′＝2

3

MN .

∵M ，N 分别是BC ，AC 的中点，∴MN ＝1

2AB .

∴A ′B ′＝23MN ＝23×12AB ＝1

3AB ，

∴A ′B ′AB ＝13，即A ′B ′∶AB 的值为1

3

.

两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法．解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行．

如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别 是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点． 求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EFA 1∥平面BCHG .

证明：(1)∵GH 是△A 1B 1C 1的中位线， ∴GH ∥B 1C 1.

又B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC ， ∴B ，C ，H ，G 四点共面．

(2)∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴EF ∥BC . ∵EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ， ∴EF ∥平面BCHG .

∵A 1G 綊EB ，∴四边形A 1EBG 是平行四边形， ∴A 1E ∥GB .

∵A 1E ⊄平面BCHG ，GB ⊂平面BCHG ， ∴A 1E ∥平面BCHG .

∵A 1E ∩EF ＝E ，∴平面EFA 1∥平面BCHG .

平行中探索存在性问题

[典例] 在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论．

[解] 如图，取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1，设O 为A 1C ，

AC 1的交点．

由已知，O 为AC 1的中点．

连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线， 所以MD 綊12AC ，OE 綊1

2AC ，

因此MD 綊OE .

连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形，则DE ∥MO . 因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC ， 所以直线DE ∥平面A 1MC .

即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC .