高数总结

高数总结

公式总结：

1.函数定义域值域

Y=arcsinx [-1,1] [-π/2, π/2]

Y=arccosx [-1,1] [0, π]

Y=arctanx (-∞，+∞) （-π/2, π/2）

Y=arccotx (-∞，+∞) (0, π)

Y=shx (-∞，+∞) (-∞，+∞)奇函数，递增

Y=chx (-∞，+∞) [1, +∞)偶函数，(-∞，0)递减

Y=thx (-∞，+∞) (-1,1)奇函数，递增

Y=arshx (-∞，+∞) (-∞，+∞)奇函数，递增

Y=archx [1，+∞) [0，+∞)递增

Y=arthx (-1,1) 奇函数，递增

2.双曲函数和反双曲函数：

shx = [(e^x - e^(-x))/2, sh(x+y)=shxchy+chxshy

(shx) ' =chx sh(x-y)=shxchy-chxshy

chx = [(e^x + e^(-x)]/2 ch(x+y)=chxchy+shxshy

, (chx) ' =shx ch(x-y)=chxchy-shxshy

thx = shx / chx, (chx)^2-(shx)^2=1

(thx) ' = 1/(chx)^2 sh2x=2shxchx

arsh x = ln[ x+ (x^2+1)^(1/2) ] ch2x=(chx)^2+(shx)^2

, (arsh x) ' = 1/ (x^2+1)^(1/2)

arch x = ln[ x+ (x^2-1)^(1/2) ] ,

(arch x) ' = 1/ (x^2-1)^(1/2)

arth x =(1/2) [ ln(1+x)/(1-x) ],

(arth x) ' = 1/(1-x^2)

我只记得考了几个这里的公式，不过不记得是哪次考试了，所以就给你们写上咯

3.对于x趋近于∞，f(x)/g(x)的极限，f(x)和g(x)均为多项式时，分子分母同时除以其中x 的最高次项，利用x趋近于∞时，由1/(x^k)的极限为0（k>0）,可以求得结果。

4.极限存在准则：

夹逼准则:证明极限存在并求得极限

单调有界准则：仅用于证明极限存在，对于有递推式的数列比较常用。一般都是先根据单调有界准则证明极限存在

P54例3 P55例5

5.两个重要极限：

（1）当x趋近于0时，sinx/x的极限等于1

（2）当x趋近于∞时，（1+1/x）^x的极限为e,也可以说当x趋近于0时，(1+x)^(1/x)的极限为e,但是不能说当x趋近于0时，（1+1/x）^x的极限为e.要求（1+在x趋近于∞或0时，该部分极限为0），指数部分为∞

6.无穷小的比较：

b/a的极限为0，则称b是比a高阶的无穷小，b=o(a)

b/a的极限为∞，则称b是比a低阶的无穷小

b/a的极限为常数，则为同阶无穷小，常数为1，为等价无穷小，记作a~b

b/a^k的极限为常数（k>0）,则称b是a的k阶无穷小

7.等价无穷小：

Sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x 1-cosx~(1/2)x^2 ln(1+x)~x e^x-1~x a^x-1~xlna (1+x)^a-1~ax (1+ax)^b-1~abx tanx-x~(1/3)x^3 x-sinx~(1/6)x^3

log a(x+1)~x/lna

加减运算时不能用等价无穷小，乘除的时候可以。如P61例5

8.函数的连续与间断：

函数f(x)在某点连续的充要条件为f(x)在该点处既左连续又右连续。

函数的各种间断点以及间断点的条件要记住。

我们上一年有考这种题。P64-P68

9.函数在某点可导的充要条件为函数在该点的左右导数均存在且相等。

如果函数在某点可导，则它在该点处连续。逆命题不成立。

10.熟记函数的求导法则：

P96-97初等函数的求导法则。

反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

会求复合函数的导数。

11.n阶导：

X ln(1+x)的n阶导=[(-1)^(n-1)](n-1)!/(1+x)^n

sinkx =(k^n)sin(kx+nπ/2)

coskx =(k^n)cos(kx+nπ/2)

1/x =[(-1)^n]n!/[x^(n+1)]

x^a =a(a-1)…(a-n+1)x^(a-n)

a^x =a^x(lna)^n

e^x =e^x

lnx =[(-1)^(n-1)](n-1)!/x^n

1/(ax+b) =[(-1)^n]n!a^n/[(ax+b)^(n+1)]

u(ax+b) =a^n(ax+b)u(n) u(n)为u的n阶导

cu(x) =cu(x)(n) u(x)(n)为u(x)的n阶导

u(x)+-v(x) =u(x)(n)+-v(x)(n) v(x)(n)为v(x)的n阶导

x^n =n! x^n的（n+1）阶导为0

至于莱布尼茨公式，我也不知道考不考，要是不放心还是背会吧，同情你们。

12.隐函数的导数：

求隐函数的导数时，只需将确定隐函数的方程两边对自变量x求导。

（1）对数求导法：注意x=e^(lnx)的化简

（2）参数方程表示的函数的导数：一阶导和二阶导的公式都要记住。

（3）极坐标表示的函数的导数：同参数都需把公式记住或者自己会推导。

（4）相关变化率：以应用题的形式出现，看一下书上的例题P111-112。

13.函数的微分：重要

熟记基本初等函数的微分公式，考试会考，而且同求导法则一样，在下学期的高数中可能会有用。P117

应用题中，可用微分dA近似代替△A。

复合函数的微分：dy=f’(u)du