2014年秋季八年级数学教材

2014年秋季八年级数学教材

第一讲三角形的三线

【知识体系】

一、三角形相关概念

1．三角形的概念

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形

要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．

2．三角形的表示

通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角．

二、三角形中的三种重要线段

三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．

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（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．

注意：①三角形的三条高是线段

②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．

三、三角形三边关系定理

①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b．

②三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c，c>b-a．

注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可

四、三角形的稳定性

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三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理．

【例题解析】

【例1】填空

1、按角分类：可分为三角形、三角形、三角形；

按边分类：等腰三角形和不等边三角形；等腰三角形又可分为：三角形和不相等的等腰三角形；

2、（1）如图，若，则AD是△ABC的中线；三角形有条中线；三角形的中线将三角形分成相等的两个三角形；

（2）如图，若，那么CE是△ABC的角平分线；三角形有条角平分线；

（3）如图，则BF是△ABC的BC边上的高；三角形有条高；锐角三角形条高在三角形内部；直角三角形条高在三角形

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2题图D

C

B

A

E

E A C

B

A C

B

A

C

A

B

C

E E 内部；钝角三角形 条高在三角形内部；

3、下列图形中有稳定性的是 A. 正方形

B. 长方形

C. 三角形

D. 平行四边形

【例2】对下面每个三角形，过顶点A 画出中线，角平分线和高.

【练】下列四个图形中，线段BE 是△ABC 的高的图形是( )

(1)

C

B

A

C

B

A

(2)

C

B

A

(3)

图8.2.5

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【例3】如图，在ΔABC 中，AE 是中线，AD 是角平分线，AF 是高。

填空：

（1）BE=

= ； （2）∠BAD=

= ；

（3）∠AFB= =90°； （4）S ΔABC= 。

【练】如图,在⊿ABC 中, ∠1=∠2,G 为AD 中点,延长BG 交AC 于E,F 为AB 上一点,CF ⊥AD 于H,判断下列说法那些是正确的,哪些是错误的. ①AD 是⊿ABE 的角平分线( )

F

E D C

B

A

2

1

2

1

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_ E D

B

C

_ A D

C

B

A

②BE 是⊿ABD 边AD 上的中线( ) ③BE 是⊿ABC 边AC 上的中线( ) ④CH 是⊿ACD 边AD 上的高( )

【例4】如图，在△ABC 中，D,E 分别是BC ，AD 的中点，ABC S ∆=42

cm ，求ABE S ∆

【练】如图，在△ABC 中，D 是AD 的中点，

ABD S ∆=42

cm ，求ABC S ∆

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B

E

A

D

【例5】如图，△ACB 中，∠ACB=90°，∠1=∠B ．

（1）试说明CD 是△ABC 的高；

（2）如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD 的长．

【练】已知AD,CE 为三角形ABC 的两条高，AB=4cm,CE=2cm (1) 求三角形ABC 的面积 (2) 若AD=1.5cm 求BC 的长

【例6】如图，在三角形ABC中，AD是BC 边上的中线，三角形ABD的周长比三角形ACD 的周长小5，你能求出AC与AB的边长的差吗？

【练】在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABD和△ADC的周长之差为4（AB＞

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AC），AB与AC的和为14，求AB和AC的长．

【例7】1.以下各组线段为边，能组成三角形的是（）

A．1cm，2cm，4cm B．8cm，6cm，4cm

C．12cm，5cm，6cm D．2cm，3cm，5cm

【练】1.在ABC

BC=，则第三边AC

AB=，6

△中，若8

的长度m的取值范围是．

2.（2011•河北）已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数则这样的三角形个数为（）

A、2

B、3

C、5

D、13

【练】已知三角形的两边长为2cm和7cm，第三