广东省东莞市2020届高三数学下学期第二次统考6月模拟考试(最后一卷)试题 文
2020年广东高三二模理科数学试卷(详解)
2020年广东高三二模理科数学试卷(详解)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.A. B.C.D.【答案】【解析】已知集合，，则（ ）．C ∵集合．集合，∴．故选．2.A.B.C.D.【答案】【解析】已知复数（为虚数单位，），若，则的取值范围为（ ）．A ，∴，又∵，则，∴ ．故选．3.《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测A.尺B.尺C.尺D.尺【答案】【解析】算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，则立秋的晷长为（ ）．D不妨设夏至到寒露依次为，，，∴数列为为等差数列，由题可知，，∴，∵，则，∴，故立秋的晷长为尺．故选．4.A.B.C.D.【答案】【解析】在中，已知，，且边上的高为，则（ ）．B 在中，面积，∴，由余弦定理可知，，∴，由正弦定理，得．故选．5.A.B.C.D.一个底面半径为的圆锥，其内部有一个底面半径为的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为，则该圆锥的体积为（ ）．【答案】【解析】D作出该几何体的轴截面图如图，，，设内接圆柱的高为，由，得，∵，∴，即，得，∴该圆锥的体积为．故选．6.A. B.C.D.【答案】【解析】已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为（ ）．B根据题意，函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，则在上递减，又由，则，则函数的草图如图：若，则有，解可得，即不等式的解集为，故选．7.A.B.C.D.【答案】【解析】已知双曲线的右焦点为，过点分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为，．若，则该双曲线的离心率为（ ）．D 由得，又∵在四边形中，，且，则四边形为正方形，∴，即，∴双曲线渐近线方程为，∴，即，∴，∴离心率．故选．8.A.B.C. D.【答案】【解析】已知四边形中，，，，，在的延长线上，且，则（ ）．A ABDCE在中，由余弦定理可知，，∴，由可知，，∴，在中，由正弦定理可知，，得，∴．故选．9.A.B.C.D.【答案】【解析】的展开式中，的系数为（ ）．C把的展开式看成个因式的乘积形式，从中任意选个因式，这个因式取，再取个因式，这个因式都取，剩余个因式取，相乘即得含的项；故含项的系数为：．故选：．10.A.B.C.D.【答案】【解析】把函数的图象向右平移个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，关于的说法有：①函数的图象关于点对称；②函数的图象的一条对称轴是；③函数在上的最小值为；④函数在上单调递增．则以上说法正确的个数是（ ）．C 把函数的图象向右平移个单位长度，可得的函数图象，由横坐标缩短到原来的可得．①中，∵，，则不是的对称中心，故①错误；②中，当时，，故是的对称轴，故②正确；③中，当时，，，∴，则在内的最小值为，故③正确；④∵函数的周期，又因为正弦函数不会在一个周期内为单调增函数，故④错误；故选．11.A. B. C. D.如图，在矩形中，已知，是的中点，将沿直线翻折成，连接．若当三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥外接球的体积为，则（ ）．【答案】【解析】B 在矩形中，已知，是的中点，所以：为等腰直角三角形；斜边上的高为：；要想三棱锥的体积最大；需高最大，则当面时体积最大，此时三棱锥的高等于：，取的中点，过作下底面的垂线，此时三棱锥的外接球球心在上，∵三棱锥外接球的体积为，所以球半径，如图：，①，②即：，③，④联立③④可得．故选．12.A. B.C.D.【答案】【解析】已知函数，若函数有唯一零点，则的取值范围为（ ）．D 因为．令，则，所以当时，，即在上单调递增，又，所以，，当，，所以在上为增函数，在上为减函数，又，所以当，，当，对恒成立，即当时，，且当且仅当，，故当时，有唯一的零点；排除，当时，，令，可得，有无数解，所以，不成立，排除，故选．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.【答案】【解析】若，满足约束条件，则的最大值是 ．由不等式组可画出可行域如图，目标函数可化为，经平移可知直线过点时，在轴截距最大，由，得：，即，∴．故答案为：．14.【答案】【解析】已知，则 ．∵，∴，即，∴．故答案为：．15.【答案】【解析】从正方体的个面的对角线中，任取条组成对，则所成角是的有 对．根据题意，如图，在正方体中，与平面中一条对角线成的直线有，，，，，，，，共条直线，则包含在内的符合题意的对角线有对；又由正方体个面，每个面有条对角线，共有条对角线，则共有对面对角线所成角为，而其中有一半是重复的；则从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有对，故答案为：．16.【答案】【解析】如图，直线过抛物线的焦点且交抛物线于，两点，直线与圆交于，两点，若，设直线的斜率为，则= ．∵，同理可得，∴．设，联立可得，∴，．∴，即，解．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17.（1）（2）（1）【答案】已知数列和满足，且，，设．求数列的通项公式．若是等比数列，且，求数列的前项和．．（2）（1）（2）【解析】．由，得，∴，∵，∴，∴是以为公差的等差数列．又∵，∴．设的公比为，则，∴由（）知，又，∴∴，①，②①②得：∴．．18.为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在以内，规定质量指标值大于的产品为优质品，质量指标值在的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示．频率组距质量指标值质量指标值频数（1）（2）（3）（1）（2）（3）【答案】合计请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率．优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有的把握认为“产品质量高与新设备有关”．非优质品优质品合计新设备产品 旧设备产品合计附：，其中．用频率代替概率，从新设备所生产的产品中随机抽取件产品，其中优质品数为件，求的分布列及数学期望．，．非优质品优质品合计新设备产品旧设备产品合计有的把握认为产品质量高与新设备有关．的分布列为．（1）（2）（3）【解析】估计新设备所生产的产品的优质品率为：，估计旧设备所生产的产品的优质品率为：．非优质品优质品合计新设备产品旧设备产品合计由列联表可得，，∴有的把握认为产品质量高与新设备有关．的所有可能取值为，，，．∵由知新设备所生产的优质品率为，∴，，，．∴的分布列为∴的数学期望为．19.（1）（2）（1）【答案】如图，四棱锥中，四边形是菱形，，．是上一点，且．设．证明：平面．若，，求二面角的余弦值．证明见解析．（2）（1）（2）【解析】．∵四边形是菱形，∴是的中点，，∵，，∴平面，∵平面，∴，∵，是的中点，∴，∵平面，平面，，∴平面．由知平面，．∴，，两两互相垂直，∴以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示，，设四边形的边长为，，∵四边形是菱形，，∴和都是等边三角形，∴，∴，，，，∴，，，∵，∴，∴，即，∴，，设平面的法向量为，则，令，得，，∴，设平面的法向量为，则，令，得，，∴，设二面角的平面角为，结合图象可知，，∴二面角的余弦值为．20.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）【解析】已知椭圆：的焦点为，，是椭圆上一点．若椭圆的离心率为，且，的面积为．求椭圆的方程．已知是坐标原点，向量，过点的直线与椭圆交于，两点．若点满足，，求的最小值．．．依据题意得，所以，所以，（2）因为，故设，代入椭圆方程得，所以的面积为：，联立，解得，，所以椭圆的方程为：．由题意可知直线的斜率显然存在，故设直线的方程为：，联立，消去并整理得，所以，设，，所以，，因为，所以，当时，，当时，，，因为，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，且满足，所以，综上．21.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】已知函数（），其中为自然对数的底数．若函数的极小值为，求的值．若，证明：当时，成立．．证明见解析．函数的定义域为，，当时，对于恒成立，∴在上单调递减，∴在上无极值．当时，令，得．∴当时，，当时，．∴在上单调递减，在上单调递增．∴当时，，∴取得极小值，即．令（），则．∵，∴，∴在上单调递增．又∵，∴．∵，∴，∴，令（），∴．令（），∴，令，得，∴当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增．∴当时，取得极小值．又∵，，∴存在使得．∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．又∵，∴，∴当时，，即．令（），则对于恒成立．∴在上单调递增．∴，即当时，，∴当时，．∴当时，．∴当时，成立．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）【解析】在直角坐标系中，曲线的方程为，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求直线的直角坐标方程．已知是曲线上的一动点，过点作直线交直线于点，且直线与直线的夹角为，若的最大值为，求的值．．．由，（2）得，∴，∵，．∴直线的直角坐标方程为，即．依题意可知曲线的参数方程为：（为参数），设，则点到直线的距离为：，，∵，∴当时，，依题意得，∴的最大值为，即，∵，∴解得．选修4-5：不等式选讲23.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）【解析】已知函数．解不等式：．若，，均为正数，且，证明：．．证明见解析．，当时，，即，解得：；（2）当时，，满足题意；当时，，即，解得：．综上，不等式的解集为．由知，∴，∴，∴，∴，当且仅当时等号成立，∴．。
2020年广东省高考数学二模试卷(理科)(含答案解析)
2020年广东省高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B.C. D.2.已知复数为虚数单位，，若，则的取值范围为A. B. C. D.3.周髀算经是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，则立秋的晷长为A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺4.在中，已知，，且AB边上的高为，则A. B. C. D.5.一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为，则该圆锥的体积为A. B. C. D.6.已知函数是定义在R上的奇函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为A. B.C. D.7.已知双曲线的右焦点为F，过点F分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，若，则该双曲线的离心率为A. B. 2 C. D.8.已知四边形ABCD中，，，，，E在CB的延长线上，且，则A. 1B. 2C.D.9.的展开式中，的系数为A. 120B. 480C. 240D. 32010.把函数的图象向右平移个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变得到函数的图象，关于的说法有：函数的图象关于点对称；函数的图象的一条对称轴是；函数在上的最上的最小值为；函数上单调递增，则以上说法正确的个数是A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个11.如图，在矩形ABCD中，已知，E是AB的中点，将沿直线DE翻折成，连接C.若当三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥外接球的体积为，则A. 2B.C.D. 412.已知函数，若函数有唯一零点，则a的取值范围为A. B.C. D. ，二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件，则的最大值是______．14.已知，则______．15.从正方体的6个面的对角线中，任取2条组成1对，则所成角是的有______对．16.如图，直线l过抛物线的焦点F且交抛物线于A，B两点，直线l与圆交于C，D两点，若，设直线l的斜率为k，则______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列和满足，且，，设．求数列的通项公式；若是等比数列，且，求数列的前n项和．18.为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示．质量指标频数2820302515合计100请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率．优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表单位：件，并判断是否有的把握认为“产品质量高与新设备有关”．非优质品优质品合计新设备产品旧设备产品合计附：其，中．用频率代替概率，从新设备所生产的产品中随机抽取3件产品，其中优质品数为X件，求X 的分布列及数学期望．19.如图，四棱锥中，四边形ABCD是菱形，，，E是BC上一点，且，设．证明：平面ABCD；若，，求二面角的余弦值．20.已知椭圆C：的焦点为，，P是椭圆C上一点．若椭圆C的离心率为，且，的面积为．求椭圆C的方程；已知O是坐标原点，向量过点的直线l与椭圆C交于M，N两点．若点满足，，求的最小值．21.已知函数，其中e为自然对数的底数．若函数的极小值为，求a的值；若，证明：当时，成立．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．求直线l的直角坐标方程；已知P是曲线C上的一动点，过点P作直线交直线于点A，且直线与直线l的夹角为，若的最大值为6，求a的值．23.已知函数．解不等式：；若a，b，c均为正数，且，证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合，，故选：C．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：解：因为复数，所以，由于，即，则的取值范围为，故选：A．根据复数的基本运算法则进行化简，再求复数模的范围即可．本题主要考查复数的乘法运算及模长的计算，比较基础．3.答案：D解析：解：夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，，，即．解得，．立秋的晷长．故选：D．由夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，可得：，，即解出利用通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：B解析：解：如图，在中，，，且AB边上的高CD为，，，由余弦定理可得，由正弦定理，可得．故选：B．由已知可求AD，利用勾股定理可求AC，由余弦定理可得BC，进而根据正弦定理可得sin C的值．本题主要考查了勾股定理，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5.答案：D解析：解：作出该几何体的轴截面图如图，，，设内接圆柱的高为h，由，得．∽，，即，得，该圆锥的体积为．故选：D．由题意画出图形，由圆柱的体积求得圆柱的高，再由相似三角形对应边成比例求得圆锥的高，则圆锥体积可求．本题主要考查了圆锥的内接圆柱的体积，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．6.答案：B解析：解：根据题意，函数是定义在R上的奇函数，且在上单调递减，则在上递减，又由，则，则函数的草图如图：若，则有，解可得，即不等式的解集为；故选：B．根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得函数的大致图象，据此分析可得关于x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意作出函数的简图，分析不等式的解集．7.答案：D解析：解：如图，由，得，即，，即．则．故选：D．由题意画出图形，可得渐近线的倾斜角，得到，则离心率可求．本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查双曲线离心率的求法，是基础题．8.答案：A解析：解：在中，由余弦定理有，，，易知，又，，故，．故选：A．先由余弦定理求得，再根据题设条件求得，而展开，利用数量积公式化简求解即可．本题考查平面向量数量积的综合运用，涉及了余弦定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．9.答案：C解析：解：把的展开式看成6个因式的乘积形式，从中任意选1个因式，这个因式取x，再取3个因式，这3个因式都取y，剩余2个因式取2，相乘即得含的项；故含项的系数为：．故选：C．把的展开式看成6个因式的乘积形式，从中任意选1个因式，这个因式取x，再取3个因式，这3个因式都取y，剩余2个因式取2，相乘即得含的项，求出项的系数．本题考查了排列组合与二项式定理的应用问题，是综合性题目．10.答案：C解析：解：把函数的图象向右平移个单位长度，得，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变得到函数的图象，则，函数的图象不关于点对称，故错误；，函数的图象的一条对称轴是，故正确；当时，，则，即函数在上的最上的最小值为，故正确；当时，，可知函数在上不单调，故错误．正确命题的个数为2．故选：C．通过平移变换与伸缩变换求得函数的解析式．由判断错误；由求得最小值判断正确；由x的范围求得函数值域判断正确；由x的范围可知函数在上不单调判断错误．本题考查命题的真假判断与应用，考查型函数的图象与性质，是中档题．11.答案：B解析：解：在矩形ABCD中，已知，E是AB的中点，所以：为等腰直角三角形；斜边DE上的高为：；要想三棱锥的体积最大；需高最大，则当面BCDE时体积最大，此时三棱锥的高等于：；取DC的中点H，过H作下底面的垂线；此时三棱锥的外接球球心在OH上；三棱锥外接球的体积为；所以球半径；如图：；；即：；；联立可得；故选：B．要想体积最大，需高最大，当面BCDE时体积最大，根据对应球的体积即可求解结论．本题考查的知识要点：几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力及空间想象能力的应用，属于中档题型．12.答案：D解析：解：因为．令，则，所以当时，，即在R上单调递增，又，所以，，当，，所以在上为增函数，在上为减函数，又，所以当，，当，对恒成立，即当时，，且当且仅当，，故当时，有唯一的零点；排除A，当时，，令，可得，有无数解，所以，不成立，排除BC，故选：D．求导，构造辅助函数，则，当时，可知在R上单调递增，，即可判断在上为增函数，在上为减函数，由，即可证明，当时，有唯一的零点；然后验证时，函数的零点的个数，判断选项即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值的求法，考查转化思想以及含量，分类讨论思想的应用，是中档题．13.答案：6解析：解：由x，y满足约束条件，作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为直线方程的斜截式：．由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，Z有最大值为；故答案为：6．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数的答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．14.答案：解析：解：，则．故答案为：由已知结合诱导公式及二倍角公式进行化简即可求解．本题主要考查了诱导公式及二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础试题．15.答案：48解析：解：根据题意，如图，在正方体中，与平面中一条对角线成的直线有，，，，，，，，共8条直线，则包含在内的符合题意的对角线有8对；又由正方体6个面，每个面有2条对角线，共有12条对角线，则共有对面对角线所成角为，而其中有一半是重复的；则从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有48对．故答案为：48根据题意，由正方体几何结构分析可得：每一条对角线和另外的8条构成8对直线所成角为，进而可得共有对对角线所成角为，并且容易看出有一半是重复的，据此分析可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及正方体的几何结构，属于基础题．16.答案：解析：解：由题意圆的圆心为抛物线的焦点F，再由题意可得直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为：，，设，，联立直线与抛物线的方程：，整理可得，，所以，由抛物线的性质可得：弦长，由题意可得为的直径2，所以，而，所以可得：，因为，所以，代入直线AB中可得，即，将A点坐标代入抛物线的方程，整理可得，解得，因为，所以，故答案为：．由题意设直线AB的方程与抛物线联立求出两根之和，进而求出弦长的值，再由圆的方程可得圆心为抛物线的焦点可得为圆的直径，求出的值，再由题意可得的值，由题意可得A的横坐标，代入直线的方程，可得A的纵坐标，代入抛物线的方程中可得斜率的平方的值．本题考查抛物线的性质及求点的坐标，属于中档题．17.答案：解：依题意，由，可得，两边同时乘以，可得，即，，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，，．由题意，设等比数列的公比为q，则，故，．由知，，且，则，所以：，，得：，，，所以．解析：直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式．利用乘公比错位相减法的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．18.答案：解：估计新设备所生产的产品的优质品率为，估计旧设备所生产的产品的优质品率为．补充完整的列联表如下所示，非优质品优质品合计新设备产品 30 70 100旧设备产品 45 55 100合计 75 125 200，有的把握认为“产品质量高与新设备有关”．由知，新设备所生产的优质品率为，而X的所有可能取值为0，1，2，3，，，，．的分布列为：X 0 1 2 3P数学期望．解析：由频数分布表可知，将的频数相加，再除以100，即为新设备的优质品率；由频率分布直方图可知，将的频率组距相加，再乘以组距即为旧设备的优质品率；先填写列联表，再根据的公式计算其观测值，并与附表中的数据进行对比即可作出判断；由知，新设备所生产的优质品率为，而X的所有可能取值为0，1，2，3，然后根据二项分布求概率的方式逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．本题考查频率分布直方图、频数分布表、独立性检验、二项分布、离散型随机变量的分布列和数学期望等知识点，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．19.答案：证明：四边形ABCD是菱形，是AC的中点，，，，平面PAC，平面PAC，．，O是AC的中点，．平面ABCD，平面ABCD，，平面ABCD；解：由知，平面ABCD，．以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设四边形ABCD的边长为4，．四边形ABCD是菱形，，与都是等边三角形．．0，，0，，0，，，，，．，，即，得．，．设平面PAE的法向量为，由，取，得；设平面PEC的一个法向量为，由，取，得．设二面角的平面角为，则．二面角的余弦值为．解析：由已知可得，，由直线与平面垂直的判定可得平面PAC，得到再由进一步得到平面ABCD；由知，平面ABCD，以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设四边形ABCD的边长为4，由列式求解a，可得所用点的坐标，再求出平面PAE与平面PEC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20.答案：解：依据题意得，所以，所以，因为，故设，代入椭圆方程得，所以的面积为：．联立，解得，，所以椭圆C的方程为：．由题意可知直线l的斜率显然存在，故设直线l的方程为：，联立，消去y并整理得，所以，设，，所以，，因为，所以，当时，，当时，，，因为，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，且满足，所以，综上．解析：根据题意可得方程组联立，解得b，a，进而得出椭圆C的方程．设直线l的方程为：，设，，联立直线l与椭圆的方程，得关于x的一元二次方程，结合韦达定理得，，因为，得，当时，，当时，，，因为，所以，代入化简得化简，利用基本不等式可得出答案．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的相交问题，向量问题，属于中档题．21.答案：解：函数的定义域是R，，时，对恒成立，在R递减，函数无极值，时，令，解得：，令，解得：，在递减，在递增，时，取极小值，，即，令，则，，，在递增，，；，，，令，，令，，，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递增，时，取极小值，又，，存在使得，在递增，在递减，在递增，，，时，，即，令，，则对于恒成立，在递增，，即当时，，时，，，故时，成立．解析：求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到，令，根据函数的单调性求出a的值即可；令，求出，令，，求出，从而证明结论．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，不等式的证明，是一道综合题．22.答案：解：由，得，即．，，直线l的直角坐标方程为，即；依题意可知曲线C的参数方程为为参数．设，则点P到直线l的距离为：．，当时，．又过点P作直线交直线于点A，且直线与直线l的夹角为，，即．的最大值为，即．，解得．解析：把展开两角差的余弦，结合，可得直线l的直角坐标方程；依题意可知曲线C的参数方程为为参数设，写出点P到直线l的距离，利用三角函数求其最大值，可得的最大值，结合已知列式求解a．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了利用三角函数求最值，是中档题．23.答案：解：函数．当时，，解得，故．当时，，恒成立．当时，，解得，故，所以不等式的解集为．证明：由知：，所以：，所以，所以，所以当且仅当时，等号成立．故：．解析：直接利用分段函数的解析式和零点讨论法的应用求出结果．直接利用基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：分段函数的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．。
广东省2020届高三第二次六校联考理科数学-试题与答案
an Sn Sn1 2an 2an1 .
............................................................3 分
an
2an1
an an1
2
(n
2)
...............................................................4 分
14. (a b c)(a b c) ac ， (a c)2 b2 ac a 2 c 2 b2 ac
cos B a 2 c 2 b2 ac 1 0 B B 120 ，则 tan B 3 .
易知 x 1 时, f '(x) 0, f (x) 单调递减； x 1 时, f '(x) 0, f (x) 单调递增.
2
2
f
( x)min
f
( 1) 2
1 e 1 2
2e 2 ，当
x (,0],
f
(x)
1 2
e
1,
0
所以 k 0 时， x0 0, kx0 2e2 0 f (x0 ) 不符合条件
7. 解 ： f (x) 2 sin(x ) ， 所 以 2 ， 又 f (x) f (x) 知 f(x) 为 奇 函 数 ，
4 k f (x) 2 sin 2x ，选 D
4
10.答案：A 解答：
M1 (R r)2
M2 r2
f (x) a·b 2cos x cos x 3 cos x 2sin x ............................................1 分
2024届高三六校第二次联考联考数学试卷及答案
东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2024届高三第二次六校联考试题数学命题人：广州二中一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合},02|{},1log |{22≤--=<∈=x x x B x Z x A 则=B A （）A.｝，｛10B.｝｛1 C.｝｛1,0,1- D.}2101{，，，-2.已知21)sin(=+πα，则=+)2cos(πα()A.21B.21-C.23 D.23-3.“1>x 且1>y ”是“1>xy 且2>+y x ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.如图，B A 、两点在河的同侧，且B A 、两点均不可到达.现需测B A 、两点间的距离，测量者在河对岸选定两点D C 、，测得km CD 23=，同时在D C 、两点分别测得CDB ADB ∠=∠︒=30,,45,60︒=∠︒=∠ACB ACD 则B A 、两点间的距离为()A.23B.43C.36 D.466．已知函数)2cos(sin )6cos(4)(x x x x f ωπωω-++=，其中0>ω.若函数)(x f 在5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为()A.310 B.21 C.23 D.2多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知ABC ∆中角B A ,的对边分别为,,b a 则可作为“b a >”的充要条件的是（)A.B A sin sin >B．B A cos cos <C．BA tan tan >D．BA 2sin 2sin >11.已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论中正确结论为()A.若0k =，则()f x 有两个零点B.0k ∃<，使得()f x 有一个零点C.0k ∃<，使得()f x 有三个零点D.0k ∃>，使得()f x 有三个零点13.已知)(x f 定义域为]1,1[-,值域为]1,0[,且0)()(=--x f x f ,写出一个满足条件的)(x f 的解析式是14.已知函数)22,0,0)(sin()(πϕπωϕω<<->>+=A x A x f 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式为______四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题10分)已知ABC ∆中角C B A ,,的对边分别为,,,c b a 满足.cos 3cos cos C C abB a c =+（1）求C sin 的值；（2）若23,2=+=c b a ，求ABC ∆的面积．18.(本小题12分)如图为一块边长为2km 的等边三角形地块ABC ，现对这块地进行改造，计划从BC 的中点D 出发引出两条成60︒角的线段DE 和DF （60,EDF ∠=︒F E ,分别在边AC AB ,上），与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种上花草进行绿化改造，设BDE α∠=．（1）当︒=60α时，求花草绿化区域AEDF 的面积；（2）求花草绿化区域AEDF 的面积()S α的取值范围．已知函数()2ln xf x ea x =-.（1）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（2）证明：当0a >时()22lnf x a a a≥+.21.(本小题12分)已知函数()ln(1)xf x e x =+（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）设)(')(x f x g =，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性；（3）证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞,有()()().f s t f s f t +>+22．(本小题12分)已知函数()axf x xe =.（1）求()f x 在[]0,2上的最大值；（2）已知()f x 在1x =处的切线与x 轴平行，若存在12,x x R ∈，12x x <，使得()()12f x f x =，证明：21x x ee >.东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2024届高三第二次六校联考试题标准答案及评分标准一、单项选择题二、多项选择题123456789101112B A A D D ACCABBCDABDACD三、填空题：（每小题5分，共20分）13.]1,1[|,|)(-∈=x x x f 或者]1,1[,2cos)(-∈=x xx f π或者21)(x x f -=或者...14.)62sin(2)(π+=x x f 15.2,1416.()2,0,e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭四、解答题17.【解析】（1）解法一：c cos B+bcosC ＝3a cos C ．由正弦定理CcB b A a sin sin sin ==得sin C cos B ＋sin B cos C ＝3sin A cos C ，....2分所以sin(B ＋C )＝3sin A cos C ，..........3分由于A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ，则sin A ＝3sin A cos C ．因为0<A <π，所以sin A ≠0，cos C ＝13...........4分因为0<C <π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝223...........5分解法二：因为c cos B+bcosC ＝3a cos C ．所以由余弦定理得c ×a 2＋c 2－b 22ac ＝(3a －b )×a 2＋b 2－c 22ab，化简得a 2＋b 2－c 2＝23ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝23ab 2ab ＝13.因为0<C <π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝223.（2）由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，.......7分及23,2=+=c b a ，cos C ＝13，得a 2＋b 2－23ab ＝18，即(a －b )2＋43ab ＝18.所以ab ＝12.......8分所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×12×223＝4 2........10分18．【解析】（1）当60α= 时，//DE AC ，//DF AB∴四边形AEDF 为平行四边形，则BDE ∆和CDF ∆均为边长为1km 的等边三角形又)2122sin 602ABC S km ∆=⨯⨯⨯= ，)2111sin 602BDE CDF S S km∆∆==⨯⨯⨯=∴)22km =................3分（2）方法一：由题意知：3090α<< ,BD=CD=1()())1sin 602ABC BDE CDF S S S S BE CF BE CF α∆∆∆∴=--=+=+ ......4分在BDE ∆中，120BED α∠=- ，由正弦定理得：()sin sin 120BE αα=-............5分在CDF ∆中，120CDF α∠=︒-，CFD α∠=由正弦定理得：()sin 120sin CF αα-=.............6分()()sin 120s sin sin sin 120BE CF αααα-∴+=+=- ....................7分令21tan 23sin sin 21cos 23sin )120sin(+=+=-︒=ααααααt 3090α<< ⎪⎭⎫⎝⎛∈∴+∞∈∴2,21),33(tan t α.................10分)(1t f t t CF BE =+=+()上单调递增．，在上单调递减；在21)(1,21)(11)('2t f t f t t f ⎪⎭⎫⎝⎛∴-= 25,2[)(∈∴t f 即52,2BE CF ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭()Sα∴)4BE CF +∈⎝⎦即花草地块面积()S α的取值范围为⎝⎦..................12分方法二：由已知得++,++,BED B EDF FDC απαπ∠∠=∠∠=又,3B EDF π∠=∠=所以BED FDC ∴∠=∠，在BED ∆和CDF ∆中有：60,B C BED FDC ︒∠=∠=∠=∠，BED CDF ∴∆∆ ，得CFBDDC BE =又D 是BC 的中点，11DC BD BE FC ∴==∴⋅=,且当E 在点A 时，12CF =，所以122CF <<，所以111211)222S BE CF BE CF =⨯⨯-⨯=+，设CF x =，1BE x=，且122x <<，令1y x x =+，则()()2222+11111x x x y x x x '--=-==，112x ∴<<时，10,y y x x '<=+在112⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，12x <<时，10,y y x x '>=+在(1,2)上单调递增，1x ∴=时，1y x x =+有最小值2，当12x =或2x =时，152y x x =+=，所以面积S的取值范围是82⎛ ⎝⎦.19.【解析】（1）()3()cos()sin()sin sin cos cos sin 2f x x A x x A x A x π=+⋅-=-..........2分2sin cos sin cos sin x x A A x=-()sin 21cos 211sin cos cos cos 22222x x A A A x A -=⨯-⨯=-+-，...........4分故()max111cos 224f x A =-+=，故1cos 2A =.因为()0,A π∈，故3A π=...............5分（2）1111()cos cos 2cos 22323234f x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故1()2(())cos 243g x f x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，令()s g x =，,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()g x 的图象如图所示：可得[]1,1s ∈-，............6分方程24[()][()]10g x m g x -+=在[,]33x ππ∈-内有两个不同的解又[]1,1s ∈-，下面考虑2410s ms -+=在[]1,1-上的解的情况.若2160m ∆=-=，则4m =-或4m =（舍）当4m =-时，方程的解为12s =-，此时1cos 232x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭仅有一解，故方程24[()][()]10g x m g x -+=在[,]33x ππ∈-内有一个解，舍...........8分若2160m ∆=->，则4m <-或4m >,此时2410s ms -+=在R 有两个不同的实数根)(,2121s s s s <，当4m <-时，则120,0s s <<，要使得方程24[()][()]10g x m g x -+=在[,]33x ππ∈-内有两个不同的解，则1210,10s s -≤<-≤<.令()241h s s ms =-+，则()()41010800m h m h <-⎧⎪-≥⎪⎪⎨-<<⎪⎪>⎪⎩，解得54m -≤<-............12分综上，m 的取值范围为：[)5,4--.20.【解析】（1）()f x 的定义域为()0,,+∞()22(0)xaf x e x x'=->.....1分当a ≤0时，()()0f x f x ''>，没有零点；......2分.当0a >时，因为2xe 单调递增，ax-单调递增，所以()f x '在()0,+∞单调递增，...3分当b 满足0＜b＜4a 且b＜14时，即若41,1<≥b a 时，04242)41(')('<-≤-=<e a e f b f;若414,10<<<<a b a 时，04242)4(')('2<-<-=<e e a f b f a;则()0f b '<...5分另法：0→x 时),0( ,022>-∞→-→a xa e x所以-∞→→)(',0x f x 且)('x f 在)0(∞+，上是连续的,所以必存在b 使得()0f b '<,又()0f a '>即有0)(')('<b f a f ,故当0a >时()f x '存在唯一零点.……6分（2）当0a >时由（1），可设()f x '在()0,+∞的唯一零点为0x ，当()00x x ∈，时，()f x '＜0；当()0x x ∈+∞，时，()f x '＞0...........7分故()f x 在()0+∞，单调递减，在()0x +∞，单调递增，所以0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为()0f x ......8分由于=)('0x f 02020x ae x -=，............9分所以()0002221212a f x ax a n a a n x a a=++≥+......11分故当0a >时，()221f x a a na≥+.……12分21．【解析】（1）因为)1ln()(x e x f x+=,所以0)0(=f ，即切点坐标为)0,0(，..1分又]11)1[ln()(xx e x f x+++=',∴切线斜率1)0(='=f k ∴切线方程为x y =.....3分（2）令11)1[ln()()(xx e x f x g x+++='=则)1(112)1[ln()(2x x x e x g x+-+++='.......................4分令2)1(112)1ln()(x x x x h +-+++=,则0)1(1)1(2)1(211)(3232>++=+++-+='x x x x x x h ,∴)(x h 在),0[+∞上单调递增，.........6分∴01)0()(>=≥h x h ∴0)(>'x g 在),0[+∞上恒成立∴)(x g 在),0[+∞上单调递增..7分（3）解：待证不等式等价于)0()()()(f t f s f t s f ->-+，令)0,()()()(>-+=t x x f t x f x m ，只需证)0()(m x m >..........8分∵)1ln()1ln()()()(x e t x ex f t x f x m x tx +-++=-+=+)()(1)1ln(1)1ln()(x g t x g xe x e t x e t x e x m x x t x tx -+=+-+-+++++='++.........10分由（2）知11)1[ln()()(xx e x f x g x+++='=在),0[+∞上单调递增，∴)()(x g t x g >+...........11分∴0)(>'x m ∴)(x m 在),0(+∞上单调递增，又因为0,>t x ∴)0()(m x m >，所以命题得证.....12分22.【解析】（1）()()()1ax ax f x xe ax e ''==+，.............1分当0a ≥时，则10ax +≥对任意[]0,2x ∈恒成立，即()0f x '≥恒成立.所以()f x 在[]0,2x ∈单调递增.则()f x 的最大值为()()2max 22a f x f e ==；.........2分当0a <时，令10ax +=，即1x a=-当()10,2a -∈，即12a <-时，当10,x a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时()0f x ¢>，()f x 在10,a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增.当1,2x a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时()0f x '<，()f x 在1,2a ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递减，()max11f x f a ea ⎛⎫=-=-⎪⎝∴ ⎭.3分当[)12,a -∈+∞即102a -≤<时，10ax +≥对任意[]0,2x ∈恒成立，即()0f x '≥恒成立，所以()f x 在[]0,2x ∈单调递增.则()f x 的最大值为()()2max 22a f x f e ==；........4分综上所述：当12a ≥-时()()2max 22a f x f e ==；当12a <-时()max11f a ea f x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭...5分（2）因为()f x 在1x =处的切线与x 轴平行，所以()()110a f a e '=+=，则1a =-，即()()1x f x x e -'=-.当1x <时，()0f x ¢>，则()f x 在(),1∞-上单调递增当1x >时，()0f x '<，则()f x 在()1,+∞上单调递减.又因为0x <时有()0f x <；0x >时有()0f x >，根据图象可知，若()()12f x f x =，则有1201x x <<<；......7分要证21x x e e >，只需证211ln x x >-；...............8分又因为101x <<，所以11ln 1x ->；因为()f x 在()1,+∞上单调递减，从而只需证明()()()1211ln f x f x f x =<-，只需证()()()1111ln 1ln 11111ln 1ln 1ln x x x x x x e e x e eex ---<--==.只需证()1111ln 1,01x e x x -+<<<.......................10分设()()()1ln ,0,1th t e t t -=+∈，则()11tte h t t--'=.由()f x 的单调性可知,()()11f t f e≤=.则1t te e -≤，即110t te --≥.所以()0h t '>，即()h t 在()0,1t ∈上单调递增.所以()()11h t h <=.从而不等式21x x e e >得证............12分。
高三数学第二次模拟试题理东莞二模新人教A版
东莞市 高三理科数学模拟试题(二)参考公式：样本数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y 的回归方程为：y bx a ∧=+，其中1122211()()()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，1212,n nx x x y y y x y n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==，a y bx =-．b 是回归方程得斜率，a 是截距．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设1z i =-（是虚数单位），则2z z+= A ．2 B ．2i + C ．2i - D ．22i + 2．命题:p 2,11x x ∀∈+≥R ，则p ⌝是A ．2,11x x ∀∈+<R B ．2,11x x ∃∈+≤R C ．2,11x x ∃∈+<R D ．2,11x x ∃∈+≥R3．若5250125(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-+⋅⋅⋅+-，则0a ＝A ．1B ．32C ．－1D ．－32 4．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a ＝A ．2B ．22 C ．3 D ．325. 已知函数x x y cos sin +=，则下列结论正确的是A.此函数的图象关于直线4π-=x 对称B.此函数的最大值为1C.此函数在区间)4,4(ππ-上是增函数D.此函数的最小正周期为π6. 已知函数2()lg()n n f x x a x b =-+，其中,n n a b 的值由如图的 程序框图产生，运行该程序所得的函数中，概念域为R 的有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个7. 设命题p ：“若对任意x R ∈，｜x ＋1｜＋｜x －2｜＞a ，则a ＜3”；命题q ：“设M 为平面内任意一点，则A 、B 、C 三点共线的充要条件是存在角α，使22sin cos MB MA MC αα=+⋅”，则A ．p q ∧为真命题B ．p q ∨为假命题C ．p q ⌝∧为假命题D ．p q ⌝∨为真命题8．在实数集R 中概念一种运算“⊕”，具有性质：①对任意,,a b R a b b a ∈⊕=⊕；②对任意,0a R a a ∈⊕=；③对任意,,,()()()()2a b c R a b c c ab a c b c c ∈⊕⊕=⊕+⊕+⊕-.函数1()(0)f x x x x=⊕>的最小值为 A ．4 B ．3 C．．1二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡的相应位置．） （一）必做题(9～13题)9．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，284=+a a ， 11S = . 10. 已知,0,0>>y x 且,191=+yx 则23x y +学科网的最小值为 . 11.设曲线axy e =在点（0,1）处的切线与直线012=++y x 垂直，则a ＝ . 12．dx x x )cos (sin 0⎰+π= .13．已知偶函数)(x f 在区间),0[+∞单调递增，则知足x f x f 的)31()12(<-取值范围是__________．（二）选做题（14、15题，考生只能从当选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线1C：ρ=和曲线2C ：cos(ρθ+则1C 上到2C 的点的个数为 ．3n = 15．(几何证明选讲选做题)如图（3）所示，AB 是⊙O 的直径，过圆上一点E 作切线ED ⊥AF ，交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C .若图（3）CB =2，CE =4，则AD 的长为 ．245AD =三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明进程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数)631tan()(π-=x x f(1)求)(x f 的最小正周期；(2)求⎪⎭⎫⎝⎛23πf 的值； (3)设,21273-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+παf 求)4sin(2)cos()sin(παπααπ+-+-的值．17．（本小题满分12分）某同窗在研究性学习中，搜集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示： 月份x1 2 3 4 5 y （万盒）44566（1）该同窗为了求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，按照表中数据已经正确计算出ˆ0.6b=，试求出ˆa 的值，并估量该厂6月份生产的甲胶囊产量数； （2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同窗从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同窗所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的散布列和数学期望．18.（本小题满分14分）如图，PA 垂直⊙O 所在平面ABC ，AB 为⊙O 的直径，PA=AB ，14BF BP =，C 是弧AB 的中点.（1）证明：BC ⊥平面PAC ； （2）证明：CF ⊥BP ；（3）求二面角F —OC —B 的平面角的正弦值.19.（本小题满分14分）设等差数列}{n a 的公差0≠d ，数列}{n b 为等比数列，若a b a ==11，33b a =，57b a =.（1）求数列}{n b 的公比q ；（2）将数列}{n a ，}{n b 中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列}{n c ，是不是存在正整数,,λμω（其中λμω<<）使得,,λμω和,,c c c λμωλμω+++均成等差数列？若存在，求出,,λμω的值，若不存在，请说明理由.20. （本小题满分14分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为e =直线:2l y x =+与以原点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆O 相切. （1）求椭圆C 1的方程；（2）设椭圆1C 的左核心为1F ，右核心为2F ，直线1l 过点1F ，且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于1l ，垂足为点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；（3）设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点R 、S 在2C 上，且知足0=⋅，求||QS 的取值范围.21.（本小题满分14分）已知函数x x ax x g 2231)(23-+=，函数)(x f 是函数)(x g 的导函数. (1)若1=a ，求)(x g 的单调减区间； (2)若对任意R x x ∈21,且21x x ≠，都有2)()()2(2121x f x f x x f +<+，求实数a 的取值范围；(3)在第（2）问求出的实数a 的范围内，若存在一个与a 有关的负数M ，使得对任意]0,[M x ∈时4)(≤x f 恒成立，求M 的最小值及相应的a 的值.东莞市 高三理科数学模拟试题(二) 参考答案一、选择题（每小题5分，共40分）二、填空题：(每小题5分，共30分)10．6629+ 11．2 13．)32,31( 14．3 15．524 三、解答题：(共80分) 16．（本小题满分12分） 解：(1))(x f 的最小正周期为ππ331==T ． …………3分(2)33tan )663tan()23(==-=ππππf ． …………6分(3)由21)273(-=+παf ，得21]6)273(31tan[-=-+ππα，即21)tan(-=+απ， …………8分所以.21tan -=α …………9分0cos =/∴α，⋅+-=+-+-ααααπαπααπcos sin cos sin )4sin(2)cos()sin( ………10分1tan 1tan +-=αα …………11分3121121-=+---=． …………12分17．（本小题满分12分）解：（1）11(12345)3,(44566)555x y =++++==++++=，因线性回归方程ˆ=+ybx a 过点(,)x y ， ∴50.66 3.2a y bx =-=-⨯=，∴6月份的生产甲胶囊的产量数：ˆ0.66 3.2 6.8y=⨯+= …………5分（2）0,1,2,3,ξ= …………6分31254533991054010(0),(1),84428421C C C P P C C ξξ======== 213454339930541(2),(3).84148421C C C P P C C ξξ======== …………10分 其散布列为5105140123 422114213E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=.…………12分18．（本小题满分14分）证明：（1）∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴BC ⊥PA. …………1分∵∠ACB 是直径所对的圆周角，∴90o ACB ∠=，即BC ⊥AC. …………2分又∵PA AC A =，∴BC ⊥平面PAC . …………4分 （2）∵PA ⊥平面ABC ，OC ⊂平面ABC ，∴OC ⊥PA. …………5分 ∵C 是弧AB 的中点，∴∆ABC 是等腰三角形，AC=BC ， 又O 是AB 的中点，∴OC ⊥AB. …………6分 又∵PA AB A =，∴OC ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ， ∴BP OC ⊥. …………7分 设BP 的中点为E ，连结AE ，则//OF AE ，AE BP ⊥ ∴BP OF ⊥. …………8分∵OC OF O =，∴BP ⊥平面CFO . 又CF ⊂平面CFO ，∴CF BP ⊥. …………9分解：（3）由（2）知OC ⊥平面PAB ，∴OF OC ⊥，OC OB ⊥， …………10分∴BOF ∠是二面角F OC B --的平面角. …………11分 又∵BP OF ⊥，045FBO ∠=，∴045FOB ∠=， …………13分 ∴2sin FOB ∠=，即二面角F OC B --2. ………14分19.（本小题满分14分）解：（1）设}{n b 的公比为q ，由题意⎪⎩⎪⎨⎧+=+=d a aq d a aq 6242，即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-da aq da aq 6242， …………2分 1=q 不合题意，故311142=--q q ，解得22=q 2±=∴q . …………5分 （2）若}{n a 与}{n b 有公共项，不妨设m n b a =由（1）知：1221-=+m n m 为奇数，且. …………7分令)(12*N k k m ∈-=，则11122)2(---•=•=k k m a a b ， …………8分ac n n 12-=∴.…………9分若存在正整数,,λμω（其中λμω<<）知足题意，设,,p q r λμω===，则⎩⎨⎧+•++•=+•+=---)2()2()2(22111r a p a q a rp q r p q 11222--+=∴r p q，又)""(222222211===≥++-+--时取当且仅当r p r p r P r p ，且r p ≠，211222r p r p +-->+∴. …………12分又xy 2=在R 上单调递增，2r p q +>∴，与题设2rp q +=矛盾， ∴不存在,,λμω知足题意. …………14分20. （本小题满分14分）解：（1）由直线:2l y x =+与圆222x y b +=相切，得b =，即b =. ………2分由e =，得222213b e a =-=，所以a =， …………3分所以椭圆的方程是221:132x y C +=. …………4分（2）由条件，知2||||MF MP =，即动点M 到定点2F 的距离等于它到直线1:1l x =-的距离，由抛物线的概念得点M 的轨迹2C 的方程是x y 42=. …………7分（3）由（2），知(0,0)Q ，设221212,,,44y y R y S y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴222121121,,,44y y y QR y RS y y ⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. …………8分 由0=⋅，得()()222121121016y y y y y y -+-=. …………9分∵12y y ≠，∴21116y y y ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，∴222121256323264y y y =++≥+=，当且仅当2121256y y =，即14y =±时等号成立. …………11分又||y QS ⎛== ， …………12分∵2264y ≥，∴当2264y =，即28y =±时，min ||QS=， …………13分故||QS 的取值范围是)⎡+∞⎣. …………14分21. （本小题满分14分） 解：（1）当1a =时，321()223g x x x x =+-，2'()42g x x x =+-. ………1分由'()0g x <，解得22x -<<-+.…………2分∴当1a =时，函数()g x 的单调减区间为(22---. …………3分（2）易知2()'()42f x g x ax x ==+-.依题意知1212()()()22x x f x f x f ++-222121*********()4()2222x x x x ax x ax x a +++-++-=+--212()04ax x =--<. …………5分因为12x x ≠，所以0a >，即实数a 的取值范围是(0,)+∞. …………6分 （3）解法一易知2224()42()2f x ax x a x a a=+-=+--，0a >. 显然(0)2f =-，由（2）知抛物线的对称轴20x a=-<. …………7分 ①当424a --<-，即02a <<时，2(,0)M a∈-且()4f M =-.令2424ax x +-=-，解得x=…………8分此时M 取较大的根，即M ==.…………9分02a <<， ∴21422M a -=>--+. …………10分②当424a --≥-，即2a ≥时，2M a<-且()4f M =. 令2424ax x +-=，解得246ax a-±+=. …………11分此时M 取较小的根，即2466462a M a a --+-==+-. …………12分 2a ≥，∴63462M a -=≥-+-，当且仅当2a =时取等号.…………13分由于31-<-，所以当2a =时，M 取得最小值3-. …………14分 解法二对任意[,0]x M ∈时，“4f x ≤|()|恒成立”等价于“4f x ≤max ()且4f x ≥-min ()”. 由（2）可知实数a 的取值范围是(0,)+∞，故2()42f x ax x =+-的图象是开口向上，对称轴20x a=-<的抛物线. …………7分 ①当20M a-≤<时，()f x 在区间[,0]M 上单调递增， ∴f x =max ()(0)24f =-<， 要使M 最小，只需要2424f x f M aM M ==+-=-min ()().…………8分若1680a ∆=-<，即2a >时，无解； …………9分 若1680a ∆=-≥，即02a <≤时， 解得2422a M a a ---=<-（舍去） 或2421aM a -+-=≥-，故1M ≥-（当且仅当2a =时取等号）. …………10分 ②当2M a <-时，()f x 在区间2[,]M a -上单调递减，在2(,0]a-递增，(0)24,f =-<24()24f a a-=--≥-，则2a ≥. …………11分要使M 最小，则2424f M aM M =+-=()，即2460aM M +-=， …………12分百度文库- 好好学习，天天向上-11解得2Ma=>-（舍去），或3M==≥-（当且仅当2a=时取等号）. …………13分综上所述，当2a=时，M的最小值为3-. …………14分。
2025届广东省六校(广州二中,深圳实验,珠海一中,中山纪念,东莞中学高三第二次联考数学试卷含解析
2025届广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学高三第二次联考数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知定义在R 上函数()f x 的图象关于原点对称，且()()120f x f x ++-=，若()11f =，则()1(2)(3)(2020)f f f f ++++=（ ） A ．0 B ．1 C ．673 D ．6742．已知向量a ，b 夹角为30，()1,2a =，2b = ，则2a b -=( )A ．2B ．4C ．D ．3．已知椭圆22:13x C y +=内有一条以点11,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为中点的弦AB ，则直线AB 的方程为( ) A ．3320x y --=B ．3320x y -+=C ．3340x y +-=D ．3340x y ++= 4．若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =-，则sin cos A A -的值为（ ）A B ． C D ．5-35．已知向量(,1),(3,2)a m b m ==-，则3m =是//a b 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件 6．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，148AB AA ==，.若EF ，分别是棱1BB CC，上的点，且1BE B E =，1114C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（ ）A ．210B ．2613 C ．1313 D ．13107．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=（ ）A ．134- B ．54 C ．5 D ．1548．集合{}|212P x N x =∈-<-<的子集的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．89．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ）A ．—1B ．—3C ．1D ．210．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A ．83B ．163C ．43 D ．811．已知复数z 满足：34zi i =+（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．43i +B ．43i -C ．43i -+D ．43i --12．已知函数()3sin ,f x x a x x R =+∈，若()12f -=，则()1f 的值等于（ ）A ．2B ．2-C ．1a +D ．1a -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省东莞市2020届高三下学期第二次统考6月模拟考试(最后一卷)政治试题答案及阅卷评分细则 2020年6月
东莞市2020届高三第二学期第二次统考（6月）高考冲刺试题（最后一卷）文科综合政治试题参考答案及阅卷评分细则题号121314151617181920212223答案A B B C C B D B A C A D38．(14分)（其他合理答案酌情得分，但最后得分不超过14分）加快5G建设将拉动新的投资、消费和出口，成为我国经济增长和高质量发展的新引擎。
（2分）【评分细则：如答拉动经济增长/推动高质量发展，可替代“拉动新的投资、消费和出口，成为我国经济增长和高质量发展的新引擎/新动力”，给2分。
】5G建设将拉动整个产业链巨大而长久的投资，发挥有效投资对经济增长的关键作用（2分）带动产业链上下游加速发展，加速信息技术与实体经济的深度融合，促进产业结构优化升级；（2分）【评分细则：从投资对经济的关键作用作答的，给2分；如答：拉动作用，给1分；从投资对产业结构的作用作答的，给2分：带动产业链上下游加速发展，给1分；加速信息技术与实体经济的深度融合/产业结构升级/深化供给侧结构性改革/建设现代化经济体系，任答一个给1分。
】5G建设将推动信息产品和服务丰富创新，增强信息消费有效供给，扩大消费需求，提升消费体验，（2分）增强消费对经济发展的基础性作用；（2分）【评分细则：从消费者或消费品的角度答消费的意义，如：满足消费者多样消费需求，给2分；写出材料的“信息产品和服务的创新”“信息产品和信息消费体验”给1分；从经济发展的角度答消费的基础性作用，给2分。
】5G建设将为我国打开新的出口市场空间，形成出口竞争新优势，（2分）助推中国制造走向全球价值链中高端，加快建设制造强国。
（2分）【评分细则：从出口竞争力的角度作答，给2分；从整个国家综合国力/制造强国的角度作答的，给2分。
】39．(12分)中国共产党的领导是中国特色社会主义制度的最大优势，（2分）是打赢脱贫攻坚战的根本保证。
（1分）【评分说明：替代为“中国共产党的领导是打赢脱贫攻坚战的根本保证”得2分）或“中国共产党的领导是中国特色社会主义最本质的特征”，得1分】坚持党对一切工作的领导，（2分）形成各方联动社会参与的大扶贫格局；（1分）【评分说明：替代为“发挥党总揽全局、协调各方的领导核心作用”或“中国共产党是中国特色社会主义事业的领导核心”，得2分；或“中国共产党通过政治领导、思想领导、组织领导”，写其中一个角度的领导得1分，写两个或三个得2分】践行全心全意为人民服务的宗旨，加强党组织建设，发挥干部先锋模范作用；（4分）【评分说明：践行全心全意为人民服务的根本宗旨（或替代为“立党为公、执政为民，或出发点和落脚点”或“为人民谋幸福，或以人民为中心”等角度），加强党组织建设（或替代为“发挥基层党组织的战斗堡垒作用”），发挥共产党员先锋模范作用。
2020年广东省东莞市高考数学二模试卷(文科) (含解析)
2020年广东省东莞市高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x(3−x)>0}，B={x|x>1}，则A∩B=()A. (0,1)B. (1,3)C. (3,+∞)D. (1,+∞)2.若复数z=i1+i(i为虚数单位)，则z⋅z=()A. 12i B. −14C. 14D. 123.已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的侧面积为()A. 2πB. 3πC. 4πD. 5π4.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a3=3+a1，则S9的值为()A. 15B. 27C. 30D. 405.某轮胎公司的质检部要对一批轮胎的宽度(单位：mm)进行质检，若从这批轮胎中随机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在195±3内，则称这批轮胎基本合格．已知这批轮胎的宽度分别为195，196，190，194，200，则这批轮胎基本合格的概率为()A. 25B. 35C. 710D. 456.古希腊数学家阿波罗尼奥斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为√2，记过圆锥轴的平面ABCD为平面α(α与两个圆锥面的交线为AC，BD)，用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的截线即为双曲线E的一部分，且双曲线E的两条渐近线分别平行于AC，BD，则双曲线E的离心率为()．A. 2√33B. √2C. √3D. 27.已知α为锐角，cosα=√55，则tan(π4+2α)=()A. −17B. −43C. −3D. −28.已知函数f(x)=e x+ae−x为偶函数，若曲线在点T(x0,f(x0))处的切线斜率为32，则x0的值为()A. ln2B. 2ln2C. 2D. √29. 已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足16OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则( )．A. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AC ⃗⃗⃗⃗⃗B. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −3AC ⃗⃗⃗⃗⃗C. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AC⃗⃗⃗⃗⃗ D. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −3AC⃗⃗⃗⃗⃗ 10. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c =2a ，bsinB −asinA =12asinC ，则cos B 等于( )A. 34B. 23C. 13D. 1211. 在三棱锥P −ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，△ABC 是边长为2√3的等边三角形，PA =PB =√7，则该三棱锥外接球的表面积为( )A. 16πB.49π4C.65π16D.65π412. 曲线f (x )=xe x (a <b <1)，则( )A. f(a)=f(b)B. f(a)<f(b)C. f(a)>f(b)D. f(a),f(b)的大小不确定二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知变量x 、y 满足{x −y −2⩽0x +2y −5⩾0y −2⩽0，则2x +y 的最大值为_________．14. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2=0，则公比q =_______ 15. 若|a ⃗ |=√2,|b ⃗ |=2且(a ⃗ −b ⃗ )⊥a ⃗ ，则a⃗ 与b ⃗ 的夹角是______ ． 16. 已知三棱锥P −ABC 中，PA =4，AB =AC =2√3，BC =6，PA ⊥平面ABC ，则此三棱锥的外接球的半径为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=3a n +1，(1)证明：数列{a n +12}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n =2n−12a n +1，求数列{b n }的前n 项和S n18.已知：梯形ABCD，AB//DC，AB=AD=2，DC=4，∠A=60°，将△ABD沿BD折起至△PBD的位置，使PC=4．(1)求证：平面PBD⊥平面BCD；(2)求点B到平面PCD的距离，19.为全面展开新旧动能转换重大工程．某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品．如图是设备改造前的样本的频率分布直方图，下表是设备改造后的样本的频数分布表．表：设备改造后样本的频数分布表质量指标值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45]频数4369628324(1)完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；设备改造前设备改造后合计合格品不合格品合计(2)根据图和表提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；附：P(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0250.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63520.已知斜率为1的直线与抛物线C：x2=2py(p>0)交于A，B两点，当直线过焦点F时，△AOB的面积为2√2．(1)求抛物线C的方程；(2)过抛物线C上任意一点M做切线交抛物线C的准线于点N，问y轴上是否存在定点P，使得PM⊥PN？若存在，求出P；若不存在，说明理由．21.已知f(x)=e x+alnx−ax．x(1)若a<0，讨论函数f(x)的单调性；)e x−x≥0在上恒成立，求b的取值范围．(2)当a=−1时，若不等式f(x)+(bx−b−1x22.平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为{x=√3+2cosα(α为参数)，在以坐标原点O为极y=1+2sinα上，且点P到极点O的距离为4．点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线l：θ=π3(1)求圆C的普通方程与点P的直角坐标；(2)求△OCP的面积．23.已知f(x)=|ax+1|，a∈R．(1)若关于x的不等式f(x)≤3的解集为{x|−2≤x≤1}，求实数a的值；)时，不等式f(x)≤2−|2x−1|恒成立．求实数a的取值范围．(2)若x∈(0,12-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．解：∵集合A ={x|x(3−x)>0}={x|0<x <3}， B ={x|x >1}，∴A ∩B ={x|1<x <3}，故A ∩B =(1,3)． 故选：B ．2.答案：D解析：解：∵z =i1+i =i(1−i)(1+i)(1−i)=12+12i ， ∴z ⋅z −=|z|2=(√(12)2+(−12)2)2=12． 故选：D ．利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由z ⋅z −=|z|2求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：A解析：解：圆锥的轴截面是边长为2的正三角形， 则该圆锥的底面圆半径为r =1，母线长为l =2， ∴它的侧面积为S 侧面=πrl =2π． 故选：A ．由题意知圆锥的底面圆半径和母线长，计算它的侧面积即可． 本题考查了圆锥的侧面积公式应用问题，是基础题．4.答案：B解析：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题，利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．解：设等差数列{a n}的公差为d，∵2a3=3+a1，∴2(a1+2d)=3+a1，可得a1+4d=3=a5．=9a5=27．则S9=9(a1+a9)2故选B．5.答案：C解析：本题考查古典概型，列出基本事件，找出满足题意的即可．本题的基本事件有(195,196，190)，(195,196，194)，(195,196，200)，(195,190，194)，(195,190，200)，(195,194，200)(196,190，194)，(196,190，200)，(196,194，200)，(190,194，200)十种情况，．满足轮胎基本合格的事件有7个，故这批轮胎基本合格的概率为710故选C．6.答案：B解析：本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于一般题．求得圆锥的高，可得矩形ABCD的对角线长，即有AC，BD的夹角，可得两条渐近线的夹角，由渐近线方程和离心率公式，计算可得所求值．解：两个圆锥的底面半径为r=1，母线长均为l=√2，可得圆锥的高为ℎ=√l2−r2=1，四边形ABCD为矩形，对角线AC，DB的长为√4+4=2√2,ABCD为正方形，可得直线AC，BD的夹角为45°，由双曲线E的两条渐近线分别平行于AC，BD，由双曲线的渐近线方程为y=±bax，即有ba=1，则e=ca=√1+1=√2．故选B．7.答案：A解析：解：∵α为锐角，cosα=√55，∴sinα=2√55∴tanα=sinαcosα=2∴tan2α=2tanα1−tan2α=−43∴tan(π4+2α)=1+tan2α1−tan2α=1−431+43=−17故选A．先利用同角三角函数关系，计算sinα，tanα，从而可得tan2α，即可求得结论．本题考查同角三角函数关系，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于基础题．8.答案：A解析：本题考查了导数的几何意义和函数的奇偶性性质，属于中档题．由偶函数的定义可得f(−x)=f(x)，可得a=1，求出导数，设出切点，可得切线的斜率，解方程可得切点的横坐标．解：∵函数f(x)=e x+ae−x为偶函数，∴f(−x)=f(x)，即e−x+ae x=e x+ae−x，∴(e x−e−x)(a−1)=0，∴a=1，。
广东省东莞市2020届高三第二学期第二次统考6月模拟考试(最后一卷)历史试题阅卷评分细则 2020年6月
东莞市2020届高三第二学期第二次统考（6月）高考冲刺试题（最后一卷）文科综合历史试题参考答案及阅卷评分细则题号242526272829303132333435答案C C D D A C B B A C B D41.（25分）（1）不同之处：①（产生条件不同）欧洲行会产生时城市自主性较强，市场狭小；中国行会产生于专制性较强、受儒家思想影响较深的社会。
②（成立条件不同）欧洲行会主要是民间自发产生；中国行会是奉政府之命成立。
③欧洲的商业行会与手工业行会存在较大矛盾，有着较为激烈的行业竞争；中国的商业行会与手工业行会关系相对融洽，共生性较强。
④欧洲行会的自主和自治明显，在城市管理中的地位较高或作用较大；中国行会的自主性和独立性较差，在城市管理中的作用有限。
⑤（影响不同）欧洲行会在一定程度上推动了资本主义经济的发展或推动了欧洲社会转型；中国行会对近代中国社会转型方面的推动作用有限。
（若使用对比式答题方式，答对一点3分，两点5分，三点8分，四点10分其他方面言之成理可酌情给分，不超过10分；若没有对比过程，每点2分，5点10分）（2）变化：在地方和城市中享有较大的自治权（或参与城市管理）；以独立社会力量的身份积极参与社会政治活动。
（2分，任意一点即可）原因：民族资本主义的发展，民族产阶级力量壮大；民族危机的不断加深；清政府调整经济政策；实业救国思潮的推动；西方社会文化的影响；清末新政的推行。
（一点2分，两点3分，三点5分，四点7分；其他方面言之成理可酌情给分不超过7分）影响：推动民族资本主义经济发展，民资产阶级壮大；促进了中国社会的发展和近代化程；为新文化运动提供了一定的经经济基础；推动了一系列政治运动的发生（辛亥革命、五四运动等）；为以后的城市管理、地方建设提供了一的借鉴和参考。
（补充不利影响2分：中国行会对近代中国社会转型方面的推动作用有限/没有过多的推进近代化历程；有利影响4分，不利影响2分；其中有利影响一点1分，两点3分，三点4分；只答有利影响最多4分）42．（12分）示例一：人与环境应和谐相处（论题2分）环境是人类发展的依托，人类不应为生存而破坏环境，更不能转嫁环境污染。
2020年广东省东莞市高考理科数学模拟试卷及答案解析
9．已知f（x）＝ ，不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣2，0）B．（﹣∞，0）C．（0，2）D．（﹣∞，﹣2）
10．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统，分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义，如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于一种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线．将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形．
16．如图，O在△ABC的内部，且 + +3 ＝ ，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为．
三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）
17．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2+2n，等比数列{bn}满足b2＝a1，b3＝a4．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）求数列{anbn}的前n项和Tn．
（1）通过分析可以认为学生初试成绩X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ＝66，σ2＝144，试估计初试成绩不低于90分的人数；
（2）已知小强已通过初试，他在复试中单选题的正答率为 ，多选题的正答率为 ，且每道题回答正确与否互不影响．记小强复试成绩为y，求y的分布列及数学期望．
附：p＜μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974．
2020年广东省东莞市高考理科数学模拟试卷
广东省东莞市2020届高三下学期第二次模拟考试数学(文)答案 (PDF版)
数学答案评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题不给中间分．一．选择题题号123456789101112答案D B C C D A B B A D C A二．填空题13．314．221或（答对一个2分）15．3π16．π338三、解答题17.（本小题满分12分）（1）由1211+=++n n n n b b a ，取1=n ，得121122+=b b a ，解得42=a （1分）取2=n ，得122233+=b b a ，解得83=a （2分）∵数列}{n a 是等比数列∴2,22123====qa a a a q （4分）（算对一个1分）∴求数列{}n a 的通项公式为n n n qa a 211==-（5分）（2）由（1）得n n n qa a 211==-，则12211+=++n n n nb b ，即12211=-++n n n n b b （6分）∴数列}2{n n b 是首项为21，公差为1的等差数列（7分）（评分细则：一定要详细写是怎样的数列，若只下“数列为等差数列”的结论该步不得分）∴数列n n b b n n=⨯-+=1)1(221，n n n b 2=（8分）设}{n b 的前n 项和为n S 则n n n S 2...23222132++++=，14322...2322212++++=n n n S （9分）则111322212211)21(121221...2121212++++-=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-+++=n n n n n n n n n S （11分）（评分细则：写对两式相减之后的结果或相减之后的求和公式即给1分，不重复给分）∴nn n S 222+-=（12分）18.（本小题满分12分）（1）证明：由已知可得BD BC ==BC BD CD BC BD ⊥∴=+∴,222（1分）//FC EA ，且AE ⊥面ABCD ，ABCD ⊥面（2分）BC ABCD ⊂面，BD FC ∴⊥（3分）FC BC C = ，BC BCF ⊂面，FC BCF ⊂面（4分）（步骤不全，本得分点不给分）∴BD BCF ⊥面（5分）BD BDF ⊂且面，所以BDF BCF ⊥面面（6分）（2）解法一：EA AD EA CD⊥⊥，AD CD AB AD CD AB ⊥∴⊥,,// 又EA ⊂平面EAD ，AD ⊂平面EAD ，EA AD A = EAD CD 平面⊥∴（7分）（步骤不全，本得分点不给分）又ED ⊂平面EAD ，CD DE∴⊥即三角形ECD 为直角三角形（8分）设点B 到平面ECD 的距离为h ,BCD E CDE B V V --=∴，即BCD CDE S AE S h ∆∆⋅⋅=⋅3131（9分）1212BCD CDE AE CD AD AE S h S CD DE ∆∆⋅⋅⋅⋅∴===⋅⋅分）（算式对结果错得1分）∴点B 到平面ECD 的距离为 2.（12分）解法二：//AB CD ，AB ⊄面ECD ，CD ⊂面ECD ，所以//AB 面ECD则点B 到平面ECD 的距离等于点A 到平面ECD 的距离，（7分）过A 作DE AM ⊥，垂足为M ，EA ⊥ 面ABCD ，AD ⊂面ABCD ，CD ⊂面ABCDCDEA AD EA ⊥⊥∴，AD CD AB AD CD AB ⊥∴⊥,,// 又EA ⊂面EAD ，AD ⊂面EAD ，EA AD A = CD ∴⊥面EAD （8分）又AM ⊂面EAD ，CD AM ∴⊥又DE AM ⊥，ED ⊂平面ECD ，CD ⊂平面ECD ，ED CD D = ECD AM 平面⊥∴，则AM 为点A 到平面ECD 的距离（9分）（上述证明过程可适当简化）2AD AE == ，EA AD ⊥2=∴AM ，即A 到平面ECD 的距离为2，（11分）∴点B 到平面ECD 的距离为 2.（12分）（解法二的给分要点为：写出距离的平行转移得1分，作出并证明AM 为点面距离得2分，计算出AM 得2分，回答所求结果1分）19.（本小题满分12分）（1）估计新设备所生产的产品优质率为%70%100100152530=⨯++（1分）估计旧设备所生产的产品优质率为%55%100)02.003.006.0(5=⨯++⨯（2分）（评分细则：上面两步如果都没有换成百分比数过程对扣1分）（2）（评分细则：只要发现1个错误扣1分，扣完即止）（4分）由列联表可得，841.38.410010012575)70455530(20022>=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=k （6分）非优质品优质品合计新设备产品3070100旧设备产品4555100合计75125200（评分细则：每一部分各1分，若没有具体代入数据计算过程答案算对给1分，观测值比较错误且前面过程无错误给1分；观测值算错过程对也给1分）∴有95%的把握认为产品质量高低与新设备有关。
2020年广东高三二模理科数学试卷-学生用卷
2020年广东高三二模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年广东高三二模理科第1题5分已知集合A={x|(x−√7)(x+3)<0}，B={x|−2<x<2√2}，则A∩B=（）．A. {x|−3<x<2√2}B. {x|−3<x<√7}C. {x|−2<x<√7}D. {x|−2<x<2√2}2、【来源】 2020年广东高三二模理科第2题5分已知复数z=i(a−i)（i为虚数单位，a∈R），若1<a<2，则|z|的取值范围为（）．A. (√2,√5)B. (√2,2)C. (2,√5)D. (1,2)3、【来源】 2020年广东高三二模理科第3题5分2020~2021学年10月甘肃兰州城关区甘肃省兰州第一中学高三上学期月考文科第6题5分2019~2020学年6月辽宁沈阳沈北新区东北育才双语学校高一下学期周测B卷第8题5分2020~2021学年10月甘肃兰州城关区甘肃省兰州第一中学高三上学期月考理科第6题5分2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三四模理科第4题5分《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为（）．A. 1.5尺B. 2.5尺C. 3.5尺D. 4.5尺4、【来源】 2020年广东高三二模理科第4题5分在△ABC中，已知∠A=45°，AB=6√2，且AB边上的高为2√2，则sinC=（）．A. √1010B. 3√1010C. √105D. 2√1055、【来源】 2020年广东高三二模理科第5题5分一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为√3π，则该圆锥的体积为（）．A. 2√3ππB. 2√33πC. 4√33πD. 8√336、【来源】 2020年广东高三二模理科第6题5分已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(0,+∞)上单调递减，f(−3)=0，则不等式f(x−1)>0的解集为（）．A. (−3,3)B. (−∞,−2)∪(1,4)C. (−∞,−4)∪(−1,2)D. (−∞,−3)∪(0,3)7、【来源】 2020年广东高三二模理科第7题5分2020年广东高三二模文科第8题5分已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，过点F 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ．若FA →⋅FB →=0，则该双曲线的离心率为（ ）．A. √5B. 2C. √3D. √28、【来源】 2020年广东高三二模理科第8题5分已知四边形ABCD 中，AD//BC ，∠A =30°，AB =2√3，AD =5，E 在CB 的延长线上，且AE =BE ，则AE →⋅DB →=（ ）．A. 1B. 2C. 12D. √39、【来源】 2020年广东高三二模理科第9题5分(x +y +2)6的展开式中，xy 3的系数为（ ）．A. 120B. 480C. 240D. 32010、【来源】 2020年广东高三二模理科第10题5分2020年广东高三二模文科第10题5分把函数f(x)=2sinx 的图象向右平移π3个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数g(x)的图象，关于g(x)的说法有：①函数g(x)的图象关于点(π3,0)对称；②函数g(x)的图象的一条对称轴是x =−π12；③函数g(x)在[π3,π2]上的最小值为√3；④函数g(x)在[0,π]上单调递增．则以上说法正确的个数是（ ）．A. 4B. 3C. 2D. 111、【来源】 2020年广东高三二模理科第11题5分如图，在矩形ABCD中，已知AB=2AD=2a，E是AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，连接A1C．若当三棱锥A1−CDE的体积取得最大值时，三棱锥A1−CDE外接球的体积为8√23π，则a=（）．A. 2B. √2C. 2√2D. 412、【来源】 2020年广东高三二模理科第12题5分已知函数f(x)=12ax2+cosx−1(a∈R)，若函数f(x)有唯一零点，则a的取值范围为（）．A. (−∞,0)B. (−∞,0]∪[1,+∞)C. (−∞,−1]∪[1,+∞)D. (−∞,0)∪[1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年广东高三二模理科第13题5分若x，y满足约束条件{x+y−3⩽0x−y−3⩽0x+1⩾0，则z=y−2x的最大值是．14、【来源】 2020年广东高三二模理科第14题5分已知cos(α+π12)=35，则sin(2α+2π3)=．15、【来源】 2020年广东高三二模理科第15题5分从正方体的6个面的对角线中，任取2条组成1对，则所成角是60°的有对．16、【来源】 2020年广东高三二模理科第16题5分如图，直线l过抛物线y2=4x的焦点F且交抛物线于A，B两点，直线l与圆(x−1)2+y2=1交于C，D两点，若2∣AC∣=∣BD∣，设直线l的斜率为k，则k2=．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年广东高三二模理科第17题12分已知数列{a n}和{b n}满足a n⋅b n+1−a n+1⋅b n−2a n⋅a n+1=0，且a1=1，b1=1，．设c n=b n an(1) 求数列{c n}的通项公式．(2) 若{a n}是等比数列，且a2=3，求数列{b n}的前n项和S n．18、【来源】 2020年广东高三二模理科第18题12分为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在(15,45]内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在(15,30]内的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值的频率分布直方图如图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示．(1) 请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率．(2) 优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有95%的把握认为“产品质量高与新设备有关”．附：K2=n(ad−bc)2，(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)其中n=a+b+c+d．(3) 用频率代替概率，从新设备所生产的产品中随机抽取3件产品，其中优质品数为X件，求X的分布列及数学期望．19、【来源】 2020年广东高三二模理科第19题12分如图，四棱锥P −ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，PA =PC ，BD ⊥PA ．E 是BC 上一点，且EC =3BE ．设AC ∩BD =O ．(1) 证明：PO ⊥平面ABCD ．(2) 若∠BAD =60°，PA ⊥PE ，求二面角A −PE −C 的余弦值．20、【来源】 2020年广东高三二模理科第20题12分2020年四川成都高新区成都石室天府中学高三零模文科第20题已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点为F 1(−c,0)，F 2(c,0)，P 是椭圆C 上一点．若椭圆C 的离心率为√22，且PF 1⊥F 1F 2，△PF 1F 2的面积为√22．(1) 求椭圆C 的方程．(2) 已知O 是坐标原点，向量m →=(1,1)，过点(2,0)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．若点Q (x,y )满足OQ →⋅m →=1，OM →+ON →=λOQ →，求λ的最小值．21、【来源】 2020年广东高三二模理科第21题12分已知函数f(x)=ae x −ex −a （a <e ），其中e 为自然对数的底数．(1) 若函数f(x)的极小值为−1，求a 的值．(2) 若a =1，证明：当x ⩾0时，f(x)+2x −xln(x +1)⩾0成立．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年广东高三二模理科第22题10分2020年广东高三二模文科第22题10分在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为x 212+y24=1，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为√2ρcos(θ−π4)=a(a>0)．(1) 求直线l的直角坐标方程．(2) 已知P是曲线C上的一动点，过点P作直线l1交直线l于点A，且直线l1与直线l的夹角为45°，若|PA|的最大值为6，求a的值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年广东高三二模理科第23题10分2020年广东高三二模文科第23题10分已知函数f(x)=|x−1|+|x+3|．(1) 解不等式：f(x)⩽6．(2) 若a，b，c均为正数，且a+b+c=f(x)min，证明：(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2⩾493．1 、【答案】 C;2 、【答案】 A;3 、【答案】 D;4 、【答案】 B;5 、【答案】 D;6 、【答案】 B;7 、【答案】 D;8 、【答案】 A;9 、【答案】 C;10 、【答案】 C;11 、【答案】 B;12 、【答案】 D;13 、【答案】6;;14 、【答案】−72515 、【答案】48;16 、【答案】12√2+16;17 、【答案】 (1) c n=2n−1．;(2) S n=(n−1)×3n+1．;18 、【答案】 (1) 70%，55%．;(2)有95%的把握认为产品质量高与新设备有关．;(3) X的分布列为E(X)=2.1．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) −√15．5;+y2=1．20 、【答案】 (1) x22;(2) 2−√6．;21 、【答案】 (1) 1．;(2) 证明见解析．;22 、【答案】 (1) x+y−a=0．;(2) 2．;23 、【答案】 (1) {x|−4⩽x⩽2}．;(2) 证明见解析．;。
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广东省东莞市2020届高三数学下学期第二次统考6月模拟考试（最
后一卷）试题 文
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共23小题，满分150分，考试用时120分钟
注意事项： 2020.6 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合{}
{}3,2,1,1,32-=<=B x x x A ，则A
B =
A. {}2,1,1-
B. {}2,1-
C.{
}32,1， D. {}2,1 2．已知复数12i
34i
z +=
+，i 为虚数单位，则||z = A ．
15 B ．5 C ．12 D ．2 3．在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心。
若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为
A.π3
B. π4
C.π5
D. π6 4.设等差数列{}n a 前n 项和n S ，满足92,6543==+a a a ，则7S =
A.
235 B. 21 C.2
49 D. 28 5.某轮船公司的质检部要对一批轮胎的宽度（单位：mm ）进行质检，若从这批轮胎中随机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在3195±内，则称这批轮胎基本合格。
已知这批轮胎的宽度分别为200194190196195，，，，，则这批轮胎基本合格的概率为
A.
52 B. 53 C.54 D. 10
7 6.古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法。
如右图将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两
个圆锥的底面半径均为1，母线长均为3，记过圆锥轴的平面ABCD 为平面α(α与两个圆锥侧面的交线为,AC BD )，用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线E 的一部分，且双曲线E 的两条渐近线分别平行于,AC BD ，则双曲线E 的离心率为
A.
4 B. 3
D. 7.已知α为锐角，53cos =α，则=-)24tan(α
π
A. 21
B. 3
1
C.2
D. 3
8.已知函数()x
x a f x e e
=+为偶函数，若曲线()y f x =的一条切线与直线230x y +=垂
直，则切点的横坐标为
A B ．ln 2 C ．2 D ．2ln 2 9.已知C B A ,,三点不共线，且点O 满足031216=--，则
A.312+=
B.312+-=
C.312-=
D.312--=
10.已知ABC △的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，C B c B c C b 2,3,6cos cos ===+， 则C cos 的值为
A.
53 B.43 C.33 D.2
3
11.在三棱锥BCD A -中,ABD △与CBD △均为边长为2的等边三角形,且二面角
C B
D A --的平面角为︒120,则该三棱锥的外接球的表面积为
A.
π3
16 B.π7
C.
π3
28
D.π8
12.已知函数()2
x
f x e ax =-，对任意10x <，20x <，都有()()()()
21210x x f x f x --<，
则实数a 的取值范围是
A.,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦ B.,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦ C.0,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.,02
e
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分）
13．已知实数x ，y 满足210020x x y x y -≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩
，则目标函数2z x y =+的最大值为
14.设等比数列{}n a 前n 项和n S ，满足8
7
,4132==
S a ，则公比q 为 15.若非零向量b a,满足a b 4=，a b a ⊥)2(-，则a 与b 的夹角为 16．在三棱锥A BCD -中，AB AD ⊥
，2,AB AD ==
，CB CD ==，当三棱锥A BCD -的体积最大时，三棱锥A BCD -外接球的体积与三棱锥A BCD -的体积之比为__________
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须做答；第22、23题为选考题，考生根据要求做答） （一）必考题（60分） 17. （12分）
已知数列}{n a 是等比数列，数列}{n b 满足12,8
3
,2111321+===
=++n n n n b b a b b b . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求}{n b 的前n 项和.
18. （12分）
已知几何体ABCDEF 中，//AB CD ，//FC EA ，AD AB ⊥，AE ⊥面ABCD ，
2AB AD EA ===，4CD CF ==．
（1）求证：平面BDF ⊥平面BCF ； （2）求点B 到平面ECD 的距离．
（3） 19．（12分）
为了提高生产效益，某企业引进一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指
标值均在(]4515，
以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在(]3015，以内的产品为合格品。
旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标如频数分布表所示。
A B
C
D E
F
（1）请分别估计新、旧设备所生产的产品优质品率。
（2）优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高。
根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有95%的把握认为“产品质量高低与新设备有关”。
（3）已知每件产品的纯利润y （单位：元）与产品质量指标t 的关系式为
⎩
⎨⎧≤<≤<=3015,14530,2t t y 。
若每台新设备每天可以生产1000件产品，买一台新设备需要80万元，
请估计至少需要生产多少天才可以收回设备成本。
参考公式：22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
20()P K k ≥
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
已知点(0,0)O 、点(4,0)P -及抛物线2
:4C y x =．
（1）若直线l 过点P 及抛物线C 上一点Q ，当OPQ ∠最大时求直线l 的方程；
非优质品
优质品 合计 新设备产品 旧设备产品 合计
（2）x 轴上是否存在点M ，使得过点M 的任一条直线与抛物线C 交于点B A ,，且点
M 到直线,AP BP 的距离相等？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．
21．（12分）
已知()ln x
e f x a x ax x
=+-． （1）若0a <，讨论函数()f x 的单调性；
（2）当1a =-时，若不等式1()()0x f x bx b e x x
+---≥在[1，)+∞上恒成立，求b 的取值范围．
（二）选考题（10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做则按所做的第一题计分）
22. 【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）
在平面直角坐标系xoy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为cos 2sin 1ρθρθ-=.若P 为曲线1C 上的动点,Q 是射线OP 上的一动点,且满足2=•OQ OP ，记动点Q 的轨迹为2.C
（1）求2C 的直角坐标方程;
（2）若曲线1C 与曲线2C 交于N M ,两点,求OMN △的面积.
23. 【选修4-5：不等式选讲】 （10分）
已知函数1
()|||3|2()2f x x k x k =-++-∈R .
（1）当1=k 时,解不等式1)(≤x f ；
（2）若x x f ≥)(对于任意的实数x 恒成立,求实数k 的取值范围.。