章第二节数列的极限2

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第2章数列极限 2-3

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例6
设
xn
sin1 sin 2 21 22 L
sin n 2n ,
n 1, 2, L
.
求证 { xn } 收敛.
证 0, N log , 当 n m N 时, 有
log 2
xn xm
sin(m 2m1
1)
L
sin n 2n
1 2m1 L
1 2n
1
1
对于任意正数，存在 N 0，当 n, m N 时, 有 an am .
柯西准则的充要条件可用另一种形式表达为：
0, N 0, 当 n N 时，对任意 p N+ , 均有 | an an p | .
满足上述条件的数列称为柯西列.
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由于该定理充分性的证明需要进一步的知识，因
.
22
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例5
设
1 xn 1 3 L
1 , n 1, 2,L n
. 证明 { xn }
发散.
证取 0 12， N 0, n0 N , m0 2N , 使得
xn0 xm0
1 N 1
1 L N 2
1 2N
1 1 1
2N 2N
2N
0.
由柯西收敛准则的否定陈述, 可知 { xn } 发散.
此这里仅给出必要性的证明.
证
设 lim n
an A. 由极限定义，
0,
N 0, 当 n, m N ( 或 n, m N )
时, 有
| an A | 2 , | am A | 2 .
柯西( Cauchy,A.L.
1789－1857 ,法国 )
由此推得
an am

数学分析讲义 - CH02(数列极限)

第二章数列极限 §1 数列极限概念一、数列极限的定义()函数:,f N n f +→R n 称为数列。

()f n 通常记作12,,,,n a a a或简单地记作，其中称为该数列的通项。

}{n a n a 例如：11{}:1,,,,2n a n ，通项1n a n=。

如何描述一个数列“随着的无限增大，无限地接近某一常数”。

下面给出数列极限的精确定义。

n n a 定义1 设为数列，a 为定数．若对任给的正数}{n a ε，总存在正整数，使得当时，有N n N >n a a ε-<则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作}{n a a a }{n a a a n n =∞→lim ，或)(∞→→n a a n读作“当n 趋于无穷大时，{}n a 的极限等于或趋于”． a n a a 若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列． }{n a }{n a }{n a 【注】该定义通常称为数列极限的“N ε-定义”。

例1 设（常数），证明n a c =lim n n a c →∞=.证对0ε∀>，因为0n a c c c ε-=-=<恒成立，因此，只要取，当n 时，便有1N =N >n a c ε-<这就证得li .m n c c →∞=例2 1lim0n n→∞=(0)α>. 证对0ε∀>，要110n nε-=< 只要1n ε>只要取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当时，便有N n >110n nε-=< 这就证得1lim0n n→∞=。

例3 lim 11n nn →∞=+.证因为11111n n n n-=<++ 对0ε∀>，取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当时，便有N n >11111n n n nε-=<<++ 这就证得lim 11n nn →∞=+。

关于数列极限的“N ε-定义”，作以下几点说明：【1】定义中不一定取正整数，可换成某个正实数。

02——数列极限

第二章数列极限第一节数列极限概念一、数列的概念定义：设f 定义在+上，则称:f +→ ，或(),f n n +∈ 为数列，写作12,,,,,n a a a 或简记为{}n a ，其中n a 称为该数列的通项。

例：1111,,,,,23n二、收敛数列的概念考虑数列1{}n ，不难看出10n a n=→（当n 足够大时），即随着n 的无限增大，n a 无限的接近某一常数0a =。

下面给出收敛数列及其极限的精确定义。

1、收敛数列的定义定义1：设n a 为数列，a 为一定数，若0,N ε+∀>∃∈ ，使得n N >时，有||n a a ε-<，则称数列{}n a 收敛于a ，定数a 称为{}n a 的极限，记为lim n n a a →∞=，或()n a a n →→∞，如：1{}n收敛于0()n →∞。

2、发散数列的定义若{}n a 没有极限，则称{}n a 不收敛，或称{}n a 为发散数列。

例：①{(1)}n -发散，②{},(||1)nq q <收敛。

3、应注意的几个问题（1）ε的任意性（2）N 的相应性（3）定义1的几何意义“当n N >时有||n a a ε-<” ⇔当n N >时，有(,)n a U a ε∈。

定义'1（等价于定义1）0ε∀>，若在(,)U a ε之外{}n a 中的项只有有限个，则称{}n a 收敛于极限a 。

注：若00ε∃>，使得无穷多0(,){}n n a U a a ε∉⇒一定不以a 为极限。

4、例子24P 例3，25P 例5，28P 习题5（2）。

三、无穷小数列定义2：若lim 0n n a →∞=，则称{}n a 为无穷小数列。

如：1{},{}(||1)nq q n<。

定理2.1：lim lim()0n n n n a a a a →∞→∞=⇔-=。

四、课堂练习1、证明定理2.1，2、27P 习题1，3、27P 习题3，4、28P 习题7。

高等数学第二节数列的极限

"" 表示"至少有一个" 或"存在".
lim
n
xn
a 的"
N" 定义 :
lim
n
xn
a
0, N N ,当n N 时, 有
| xn a | .
注意: (1) 0 的任意性; a xn a
(2) N 的存在性：N N ( ).
(3) 几何解释当 x = n, 则 xn f (n)
第n 项 xn 叫做数列的一般项.
例如:
1 , 2 , 3 ,, n ,: 2 3 4 n1
n n
1
;
2,
1 2
,
4 3
,,
n
(1)n1 n
,:
n
(1)n1 n
;
2,4,8,,2n ,:
{2n };
1,1,1,,(1)n1,: {(1)n1}.
注意: 1. 数列的每一项都是数.
n
2
2 n2
n n2
)
1 .
2
1. 证明lim( n2 1 n) 0. n
证 0,
n2 1 n 0 ( n2 1 n)( n2 1 n) n2 1 n
n2
1 1
n
1 2n
,
欲使 1 , 只须n 1 ,
2n
2
取
N
1
2
,
则当n N时,
n2 1 n 0 ,
lim
n
xn
a
f(n)
a
x1
a的邻域
x2
a
自然数 N
xn
对一切 n > N a

数学《数列极限》讲义

第二章数列极限1. 教学框架与内容教学目标①掌握数列极限概念，学会证明数列极限的基本方法．②掌握数列极限的主要性质，学会利用数列极限的性质求数列的极限．③掌握单调有界定理；理解柯西收敛准则．教学内容①数列极限的分析定义，数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念与几何意义；利用放缩法证明数列收敛或发散.②数列极限性质（唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则）的证明与应用，数列的子列及有关子列收敛的定理．③单调有界定理的证明及应用；柯西收敛准则，用柯西收敛准则判别数列的敛散性．2. 重点和难点①数列极限的Nε-语言，数列极限证明中N的存在性.②数列极限性质的分析证明, 数列极限性质的应用．③数列单调有界定理的证明和应用，利用柯西收敛准则判别数列的敛散性．3. 研究性学习选题● 数列极限证明的技巧将书后习题分类，首先自己总结数列极限证明的技巧，然后进行小组交流和讨论.● 如何利用单调有界原理求迭代数列的极限课后自己总结单调有界原理求极限的方法与步骤，选用经典习题小组讨论，进行讲解并评分.4. 综合性选题，尝试写小论文：★不等式技巧在数列极限证明中的应用.★数列极限存在的常用结论.5. 评价方法◎课后作业，计20分.◎研究性学习选题计30分.◎小论文计20分.◎小测验计30分§1数列极限概念一、数列若函数f 的定义域为全体正整数集合Z +(或N )，则称:f N R → 或()f n n N ∈为数列. 通常记为()n a f n =.或 12,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ .数列表示法：通项、递推公式、1{}n n a ∞=或0{}n n a ∞=.特殊数列：常数数列、单调数列、有界数列、等比数列、等差数列. 二、数列极限------反映变量在某个变化过程中的变化趋势 [作图]1{}n、(1){}n n -、 {}n 、{(1)}n -、 {(1)}n n - 变化趋势： 1) 有一定的变化趋势; 无限接近于某数a ----收敛;震荡、无限增大、无限减小----定向发散;2) 无一定变化趋势----不定向发散.数列{}n a 收敛于a ，||0n a a -→(n a 与a 的距离越来越接近). 1、定义下面我们首先给出数列收敛及其极限的精确定义.定义1 ()N ε- 设{}n a 为数列, a 为一定数, 若对任给的正数0ε>，总存在正整数N ，使得当n N >时，有n a a ε-<，则称数列{}n a 收敛于a ，而a 称为{}n a 的极限. 记作 lim n n a a →∞= 或 n a a →(n →∞).若数列{}n a 没有极限，则称{}n a 不收敛或发散, 也称{}n a 为发散数列.例1验证下列极限:1) 1lim 0n n →∞=;2) 1lim 02n n →∞=;3) lim 0n n q →∞=, ||1q <;4) 223lim 33n n n →∞=-.注1 ε的任意性.ε的作用在于刻画数列{}n a 与定数a 之间的接近程度.ε越小表示接近度越好，而正数ε—可任意小说明n a 与a 可以无限接近，ε虽具有任意性，但一经给出，就可看作暂时固定的数,并由此确定N ,从而N 与ε有关系. 同时，ε主要用于刻画n a 与a 的逼近程度，因而n a a ε-<中的ε可用22εε,2,εk ε(0k >常数)等代替，同时n a a ε-<可改写成n a a ε-≤.注 2 N 的相应性. 前面说过N 与ε有关，可记作()N ε但并不意味着N 由ε唯一确定. 这里我们主要强调N 的存在性(一般来说,ε愈小,相应的N 越大)，同时n N ≥时(对大于N 的任一n )有n a a ε-<.如对11,1000n a n ε==，相应的1001, 1002N =都可.例2 1) 0n →∞=;2) 1(1)n a =>;3) 1n =;4) 2lim 04n n n →∞=.思考考虑1n =, 3lim 04n n n →∞=?2、几何意义当n N >时,n a a ε-<d⇔所有下标大于N 的项n a 都落在a 的邻域(,)U a ε内，而在(,)U a ε之外，数列{}n a 至多只有有限项(至多N 项). 定义1’任给0ε>，若在(,)U a ε之外{}n a 至多只有有限项，则称{}n a 收敛于a . 例3 改变或去掉数列的有限项，不改变数列的敛散性.例4 设n a a →,则n k a a +→. 这里k 为某固定的正整数.例5 设lim lim n n n n x y a →∞→∞==，作数列{}n z 1122,,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅验证: lim n n z a →∞=. 思考用N ε-定义如何证明?3、收敛的否定n a a →0, , ||dn N n N a a εε⇔∀>∃∀>-<：;0, (,)U a εε⇔∀>之外至多有{}n a 的有限项.n a →a 00000,, ||n N n N a a εε⇔∃>∀∃>-≥：; ⇔存在某00ε>,使数列{}n a 有无穷多项落在邻域0(,)U a ε之外.{}n a 收敛, 0, , ||n a R N n N a a εε⇔∃∈∀>∃∀>-<：. {}n a 发散0000, 0, , ||n a R N n N a a εε⇔∀∈∃>∀∃>-≥：.例6 验证 1) lim 01n nn →∞≠+;2) 2{}, {}n n (-1)为发散数列.4、N ε-定义的一些等价形式(变形)1D ：20,, , (n N n N a a k εεε∀>∃≥-<：或. (k 为常数)2D ：0(),, n c N n N a a εεε∀><∃>-<：. 3D ：0,, n N n N a a εε∀>∃>-<有理数：. 4D ：1,, n m N N n N a a m∀∈∃>-<：. 5、无穷小数列定义若lim 0n n a →∞=，则称{}n a 为无穷小数列.定理 n a a →{}n a a ⇔-为无穷小数列.注 3 ||00n n a a →⇔→.例7 证明: 若lim n n a a →∞=，则lim ||||n n a a →∞=. 但反之未必成立，即||||n a a →⇒n a a →.习题1. 用N -ε定义验证1) lim 12n nn →∞=+; 2) 2233lim 212n n n n →∞-=+;3) !lim 0n n n n →∞=; 4) limsin 0n nπ→∞=;5) lim cos1n nπ→∞=; 6) lim02nn n→∞=;2. 指出下列数列哪些是无穷小数列.; ; 11n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭; 32n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭; {}n n q α(,||1)R q α∈<.3. 证明：若a a n n =∞→lim ，则对任一正整数k , 有a a k n n =+∞→lim .4. 试用定义1'证明：1) 数列}1{n不以1为极限； 2) 数列}{)1(n n -发散.§2 收敛数列的性质一、收敛数列的性质1、唯一性若数列{}n a 收敛，则它只有一个极限.2、有界性若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列. 即0, , n M n N a M ∃>∀∈≤使得. (画图分析) 推论无界数列必发散.注 1 有界数列未必是收敛的(定理2.3的逆未必成立).3、保号性若lim 0 (0)n n a a →∞=><或，则对任何(0,)r a ∈(,0))a ∈（或r ，存在N ，使得n N >时，0 0n n a r a r >><<（或）.推论若lim 0n n a a →∞=>，则存在N ，n N >时，0n a > (保符号).若lim 0n n a a →∞=≠，则存在N ，n N >时，||||02n a a >>. 注 2 由lim 0n n a →∞≥不能推出 , , 0n N n N a ∃>≥.4、保不等式性设{}n a 和{}n b 为收敛数列，若存在,,N n N >使得时n n a b ≤，则lim lim n n n n a b →∞→∞≤. [直接证明或反证法]定理设lim , lim , n n n n a a b b a b →∞→∞==>, 则存在N ,n N >时，n n a b >.注 3 在定理2.5中，不等式若为n n a b <, 则不能推出a b <.例1 设0, 1,2,n a n ≥=⋅⋅⋅. 若n a a →.5、迫敛性若数列{}n a 、{}n b 和{}n c 满足n n n a c b ≤≤,n N ∀∈,, n n a a b a →→, 则n c a →.注 4 用得较多的是0, 0 0n n n n c b b c ≤≤→⇒→.例2 1) 1lim sin 0n n n →∞=2) lim 3n →∞= .... 一般形式?思考上述定理中若{},{}n n a b 均发散, 能否推出{}n c 发散? 6、四则运算定理若, n n a a b b →→，则1) n n a b a b +→+， 2) n n a b a b ⋅→⋅，3) 若还有0,0n b b ≠≠,则n n a ab b→.思考若{},{}n n a b 均发散或其中之一发散, 上述结论又如何?例3 求 11101110lim , , 0, 0m m m m m k k k n k k a n a n a n a m k a b b n b n b n b ---→∞-++⋅⋅⋅++≤≠≠++⋅⋅⋅++.例4 求 lim 1nn n a a →∞+ (1a ≠-).例5 求 1) (31)(5)lim (12)(25)n n n n n →∞++-+;2) 268n ;3) n .例6 求1) 21)sin(21)n n →∞+;2) 1lim nn i →∞=;3)1)21n n →∞⋅⋅⋅++.二、子列的收敛性定义(子列) 设{}n a 为一数列，{}k n N ⊂为无限子集，且12k n n n <<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅，则数列 12,,,,k n n n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，称为数列{}n a 的一个子列，记作{}k n a .注 5 {}k n a 选自{}n a 中且保持{}n a 中的顺序不变, 注意k n a 为{}k n a 中的第k 项，是{}n a 的第k n 项，故k n k ≥. 注意子列的子列仍为子列. 例 7 数列{(1)}n -，奇子列21{}k a +与偶子列2{}k a .注 6 平凡子列是指数列{}n a 本身或者去掉有限项得到的数列,易见平凡子列与数列{}n a 本身的性质(态)完全一样.定理数列{}n a 收敛⇔{}n a 的任一子列(非平凡子列)均收敛.⇔{}n a 的任一子列(非平凡子列)均收敛于同一个数.注 7 我们通常用上述定理来证明数列{}n a 不收敛，只需找到某个发散子列或某两个子列收敛但极限不同. 如{(1)}n -. 三、利用上述性质讨论极限*例8 证明: 数列2(1){}31n n nn +-⋅+发散.例9 1) 22231lim(12...)n n n→∞+++; 2) n ;3) n 11lim ()n nn n n a b a b a b++→∞+≠-+.例10 1) 1321lim 242n n n →∞-⋅⋅⋅⋅⋅⋅; 2) lim[(1)]n n n αα→∞+- 01α<<;3) 22lim(1)(1)(1)nn ααα→∞++⋅⋅⋅+ 1α<.例11 设1,...,m a a 为m个正数，则1max{,,}m n a a =⋅⋅⋅.例12 设lim nn na b →∞存在，则若0n b →，必有0n a →.例13 若1||||n n a q a +≤，01q <<，则lim 0n n a →∞=.例14 若0n a >，1lim1nn n a L a →∞+=>，则lim 0n n a →∞=, 并利用其求2lim 4n n n →∞, 3lim n n n q →∞以及213lim 22n →∞+ 212n n -+⋅⋅⋅+. 一般常用结论: 若1lim ||1n n na l a +→∞=<, 则lim 0n n a →∞=.习题1. 求下列数列的极限1) limn→∞(n2) limn→∞3) limn→∞(1n4) limn→∞11(2)3(2)3n nn n++-+-+5) limn→∞212232n nnn++++6) limn→∞12()22n nn+++-+7)limn→∞8) limn→∞11(1)nkk k=+∑2. 设{}n a为无穷小数列, {}n b为有界数列, 证明: {}n na b⋅为无穷小数列.3. 求下列极限1)122lim(2sin cos)nnn n→+∞+2)1lim(arctan)nnn→+∞3) 11lim(1)n n n→∞- 4) 22)nn →∞⋅5) 1!2!!lim!n n n →∞+++ 6) 1321lim 242n n n→∞-⋅⋅⋅4. 说明下列数列发散1) (1)1nn n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭ 2) {}(1)n n- 3) sin 4n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭5. 证明: 若0>n a , 且1lim 1>=+∞→l a a n nn , 则.0lim =∞→n n a6．设a a n n =∞→lim , 证明:1) a nna n n =∞→][lim;2) 若0,0>>n a a , 则1lim =∞→n n n a .§3 数列极限存在条件考察数列极限问题，首先应考察其极限是否存在 (极限存在性问题)，若极限存在，则应考虑如何求极限值(极限的计算问题). 一、单调有界原理 (充分条件)定理 (单调有界定理) 有界的单调数列必有极限.[上(下)有界的单调递增(递减)数列必有极限且极限为其上(下)确界] 例1 设111123n a nααα=+++⋅⋅⋅+, (2)α≥, 证明: {}n a 收敛.例2 设12,n a a a ==⋅⋅⋅=n 重根号)，证明：{}n a 单调有界, 并求其极限.注 1 在具递推关系式的数列{}n a 中，如1()n n a f a +=，若要求其极限，则我们可首先假定极限存在设为a ,则有()a f a =.由此方程解出a (此值一般即为极限), 其次一方面可考察n a a -(考虑用N ε-定义);另一方面,可考察是否有n a a ≤ (或n a a ≥)? 若n a a ≤，则一般证n a 递增(如n a a ≥，则证n a 递减)，此时应考察1n n a a +-的符号(或1n na a +与“1”的大小关系).例3 设1, 0a x >，11()2n n nax x x +=+，n N ∈, 求证: {}n x 收敛,并求其极限.例4 证明: 极限1lim (1)n n n→+∞+存在，并利用其来求下列极限1) 1lim (1)n k n n +→+∞+ 2) 31lim (1)2n n n →+∞+3) 1lim (1)n n n -→+∞- 4) 1lim (1)n n n →-∞+5) 3lim ()2n n n n →+∞++ 6) 31lim (1)2n n n→+∞-.二、Cauchy 准则定义 (Cauchy 列) 如果数列{}n a 满足：0,,,:m n N m n N a a εε∀>∃>-<，则称数列{}n a 为Cauchy 列或基本列.注 2 {}n a 为Cauchy 列0,,,:dn p n N n N p N a a εε+⇔∀>∃∀>∀∈-<. 定理 (Cauchy 准则) {}n a 收敛⇔{}n a 为Cauchy 列.注 3 Cauchy 准则方便之处在于无需知道具体极限值的情况下，就可以直接判断{}n a 是否收敛.例6 利用Cauchy 准则证明：{}n a 收敛, 其中22211112n a n =++⋅⋅⋅+.例7 利用Cauchy 准则叙述{}n a 发散的条件, 并证明1112n a n =++⋅⋅⋅+发散.例8 利用Cauchy 准则证明limsin n n →∞不存在.三、邻域的语言*a R ∈,a 的邻域，(,)U a a εε=-+; ∞的邻域，(,)M -∞-⋃(,)M +∞，0M ∀>+∞的邻域, (,)M +∞,0M ∀> -∞的邻域，(,)M -∞-,0M ∀>lim n n a a →∞=0,,:n N n N a a εε⇔∀>∃>-<.⇔对a 的任一邻域U ，∃+∞的邻域V ，:n n N V a U ∀∈⋂∈.lim n n a →∞=+∞0,,:n M N N n N a M ⇔∀>∃∈>>.⇔对+∞的任一邻域U ，∃+∞的邻域V ，:n n N V a U ∀∈⋂∈.lim n n a →∞=-∞⇔……记*{,}R R =⋃-∞+∞，*a R ∈.*lim n n a a R →∞=∈⇔对a 的任一邻域U ，存在+∞的邻域V ，:n n N V a U ∀∈⋂∈.习题1. 证明}{n a 收敛，并求其极限，，其中11n a a +==1,2,n =.2. 设c a =1)0(>c , 11,2...n a n +==, 证明数列}{n a 极限存在并求其值.3. 求下列极限1) 1lim(1)nn n→∞-; 2) 21lim(1)n n n →∞+; 3) 241lim ()2n n n n +→+∞++.4. 证明: 若单调数列}{n a 含有一个收敛子列, 则}{n a 收敛.5. 证明: 若}{n a 为递增(递减)有界数列, 则{}{}).(inf sup lim n n n n a a a =∞→又问逆命题成立否?7. 应用Cauchy 准则证明{}n x 收敛，其中 1) 2sin1sin 2sin 222n n nx =++⋅⋅⋅+2) 0.90.090.0009n x =++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅（n 个0）8. 利用Cauchy 准则叙述数列}{n a 发散的充要条件,并用它证明下列}{n a 发散:1) n a nn )1(-=; 2) 2sinπn a n =.习题课一、知识复习1、n a a →d⇔0,,:n N n N a a εε∀>∃>-< ⇔{}n a 的任一子列均收敛于a ⇔{}n a 的奇偶子列均收敛于a . n a a →⇔2、 {}n a 收敛 ⇔{}n a 的任一子列均收敛⇔{}n a 的任一子列均收敛并且收敛于同一个数.⇔0,,,:n m N m n N a a εε∀>∃>-<. {}n a 发散⇔3、单调有界数列必收敛 1lim(1)n n e n →∞+=.4、n a a →的几何意义.5、收敛数列的性质及其证明. 二、典型方法 1、求极限的方法 1) 利用定义a) 观察确定极限值，利用定义验证.b) 对递推数列，可先假定极限存在，利用递推关系，求得极限，再用定义验证.2) 利用10nα→ (0)α>，0n a → (1)a <, 1(0)a →>,1及四则运算法则.3) 利用已知极限，如1lim(1)n n e n →∞+=.4) 利用单调有界原理(如何求极限).5) 利用适当的变换或变形(拆项、插项、裂项).2、证明极限存在方法 1) 用定义(先求极限值). 2) 利用单调有界原理. 3) 利用Cauchy 准则.3、证明极限不存在的方法 1) 定义.2) 找一个发散子列或两个收敛子列但极限不等. 3) 利用Cauchy 准则.4、一些常用结论1) lim 0n n a →∞=，{}n b 有界，则lim 0n n n a b →∞=.2) limnn na b →∞存在，且lim 0n n b →∞=，则lim 0n n a →∞=. 3) 设1lim ||1n n na l a +→∞=<，则lim 0n n a →∞=.4) 若数列满足{}n a 满足1n n a a q a a +-≤-, 01q <<，则lim n n a a →∞=.5) 若{}n x 满足11n n n n x x q x x +--≤- 01q <<，则{}n x 收敛. 6) 1,...,m a a 为m个正数，则1lim max{,,}m n a a =⋅⋅⋅.思考: 设{}n a为有界正数列，则?n =. 7) 设n n x a y ≤≤，0n n x y -→，则,n n x a y a →→.8) 设{}n x ↑，{}n y ↓, 0n n x y -→, 则{},{}n n x y 均收敛,且极限相同. 9) 0,n n a a b b →>→，则n b b n a a →.10) , n n a a b b →→，则max{,}max{,}n n a b a b →, min{,}min{,}n n a b a b →. 11) 设lim n n a a →∞=，则i) 12limnn a a a a n→∞++⋅⋅⋅+=，ii) 若0n a >，则n a =.并考察下列极限(教材43页第四题)(1)1112n n ++⋅⋅⋅+(2) 0)a >(3)……12) (Stolz 定理) 设{},{}n n x y 满足i) 1n n y y +>， ii) lim n n y →∞=+∞，iii)11lim n n n n n x x l y y +→∞+-=-，(l 为有限数)，则lim n n nxl y →∞=.并利用Stolz 定理求下列极限 i) 设n x a →，求1222limnn x x nx n →∞++⋅⋅⋅+.ii) 112lim p p pp n n n +→∞++⋅⋅⋅+ (0)p >.iii)113(21)lim p p pp n n n+→∞++⋅⋅⋅+- (0)p >.利用单调有界原理或Cauchy 准则考察下列命题.13) 设10x >，13(1)3n n n x x x ++=+，证明: lim n n x →∞存在并求极限.14) 证明: 若}{n a 为递增数列，}{n b 为递减数列，且0)(lim =-∞→n n n b a ，则n n a ∞→lim 与n n b ∞→lim 都存在且相等.15) 设011>>b a , 记 211--+=n n n b a a , 11112----+=n n n n n b a b a b .,3,2 =n 证明: 数列}{n a 与}{n b 的极限都存在且等于11b a .16) 给定正数1a 与)(111b a b >,作出等差中项2112b a a +=与等比中项112b a b =, 一般地令 21n n n b a a +=+, n n n b a b =+1, ,2,1=n . 证明: n n a ∞→lim 与n n b ∞→lim 皆存在且相等.17) 设0,0>>σa ,1111(), (), 1,2,.22n n n n a a a a n a a σσ+=+=+=证明: 数列}{n a 收敛, 且其极限为σ.18) 设数列}{n a 满足: 存在正数M , 对一切n 有 .12312M a a a a a a A n n n ≤-++-+-=-证明: 数列}{n a 与}{n A 都收敛.19) 若单调数列有一子列收敛，则该数列收敛.20) 若S 为有界集，则存在数列{}n x S ⊂，使得sup n x S →.21) 若S 为有界集，如果sup S S ∉，那么存在严格递增数列{}n x S ⊂，使得sup n x S →.22) 设S 为无界集，则存在{}n x S ⊂,使得n x →∞23) 若S 为无上界集, 则存在严格增的{},n n x S x ⊂→+∞.24) 证明: 任一数列必有单调子列.25) 证明: 任一有界数列必有收敛子列.。

高等数学(第五版)同济大学主编 1-2节数列极限

第二节数列的极限
§2.1数列的极限
我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的应用．
1
按照某一法则依次序排列的数，例如：
1 2 3 n , , ,, , ; 2 3 4 n 1
n xn n 1
2,4,8,,2 ,;
1 1 1 1 , , , , n , ; 2 4 8 2
| xn 0 |
得证 lim xn 0
n
11
例
1 证明： lim n 0. n 2
证 0,
1 1 1 1 2n 由 n 0 n n log 2 2 2
故取
N [log 2 ] 1

则 n > N 时,
1 0 n 2 1 由极限的定义, 得 lim n 0 . n 2
2 1 3 2 2 1 3 2 n 1 1
课堂练习P30。 1. 6
的极限存在，则极限值定理（唯一性）若数列 xn 1 唯一的。
的极限存在，则 xn 是有界的。定理2 （有界性）若数列 xn
即M 0, n N , 有 xn M .
解
例5
1 2 n 求 lim ( 2 2 2 ). n n n n
n 时, 是无穷小之和．先变形再求极限.
解
1 2 n 1 2 n lim( 2 2 2 ) lim n n n n n n2
1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim (1 ) . 2 n n 2 n n 2
n
设 lim xn a, lim yn b, 则

高等数学第二节数列的极限

{xn } 单调增加, 也记为 {xn } ↓ .
不增加的
严格单调增加(单调增加) 严格单调减少(单调减少) 单调增加(不减少的) 单调减少(不增加的) 数列
统称为单调数列
(2) 数列的有界性
回想一下前面讲过的函数的有界性的情形
我学过吗？
若 ∃ M > 0, 使得当 x ∈ I 时, 有 | f ( x ) | ≤ M 成立,
{xn } 单调增加, 也记为 {xn } ↑ .
不减少的数列单调减少的情形怎么定义？有谁来说一说.
若 {xn } 满足 x1 > x2 > ⋯ > xn > ⋯ , 则称
{xn } 严格单调增加, 记为 {xn } ↓ .
单调减少
若 {xn } 满足 x1 ≥ x2 ≥ ⋯ ≥ xn ≥ ⋯ , 则称
故有
n→ +∞
lim | xn | = | a | .
注意：该例题结论的逆命题不真. 例如, {(−1)n}.
三. 数列的性质
单调性
有界性
(1) 数列的单调性
若 {xn } 满足 x1 < x2 < ⋯ < xn < ⋯ , 则称
{xn } 严格单调增加, 记为 {xn } ↑ .
单调增加
若 {xn } 满足 x1 ≤ x2 ≤ ⋯ ≤ xn ≤ ⋯ , 则称
证明 : 若 lim xn = a, 则 lim | xn | = | a | .
n →+∞ n→+∞
证
因为 lim xn = a, 所以 ∀ε > 0, ∃ N > 0,
n→ +∞
当 n > N 时, 有 | x n − a | < ε .

2 数列极限

从而且
,得，根据夹逼定理知
解法二由条件知 un>0，显然{un}递增，知
递减，且
，由单调有界定理知
收
敛，设
，有
. 若不然
,有
，
又
，
得 =0，与
相矛盾，故假设不成立，所以
.
（4）利用单调有界定理证明数列
有极限。
定理 1.3 (单调有界定理) 数列
递增（递减）有上界（下界），则数列
收敛，即单调有界
数列有极限。
单调有界定理适合数列的项用递推关系式给出的数列。单调有界定理仅能证明数列极限存在，至于
数列极限的值是多少只能用别的方法去解决。
例 10 设
为常数，证明
极限存在，并求
。
分析由于
，容易观察出是递增的，并可用数学归纳法证明。关键是证明它
有上界，哪一个数是
的上界呢？我们观察不出来。由于
是递增的，所以，若
解取
。得子数列
，
，
取 n=8k，得子数列
，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
散。
（2）若数列{an}无界，则数列{an}发散
例 15 判断数列
的收敛性。
解设
,有
界，故{an}无界
，由
，知数列
发
，知
，从而{an}无
，假设
时,
，当
时,
法知对一切设
，都有
。即
时也成立，由数学归纳
。根据单调有界定理知收敛。
，令
，有
，解得
，知
，
知
，由条件知
。知
。
在上题证明了数列有界时，我们也可用下面方法证。
我们已经证明了

高等数学上册 1.2 数列的极限

ln
在此处键入公式。
> 1+
.
− 1 ln < ln , 亦即
ln||
ln
, 则当n > N 时, 就有
因此, 取 = 1 +
ln||
| −1 − 0 | < ,
故
第二节数列的极限
lim −1 = 0.
→∞
第一章函数与极限
二、收敛数列的性质
定理1 收敛数列的极限唯一.
证
用反证法.
假设数列收敛, 则有唯一极限存在.
1
取 = , 则存在N , 使当n > N 时, 有
2
1
1
− < < + .
2
2
但因交替取值1与－1, 而此二数不可能同时落在
1
1
长度为1的开区间 − , + 内, 因此该数列发散.
2
2
第二节数列的极限
第一章函数与极限
→∞
+
−
.
− <
, 从而 >
2
2
取 = max 1 , 2 ,则当 n > N 时, 满足的不等式矛盾.
故假设不真 ! 因此收敛数列的极限必唯一.
第二节数列的极限
第一章函数与极限
+1 ( = 1, 2, ⋯ )
是发散的.
例4 证明数列 = (−1)
= 0.
故 →∞
→∞ ( + 1)2
思考:
也可由
1
− 0 =
( + 1)2
1
取 =
−1

N 的存在性

数列极限的精确定义

21
例1 证明 lim C C, (C为常数) x x0
证 0, d 0, 当 0 x x0 d 时,
f ( x) A C C 0 成立,
lim C C. x x0
例2
证明
lim
x x0
x

x0 .
证 f ( x) A x x0 , 0, 取d ,

ba 2
,
因此同时有
xn

b 2
a
及
xn

ba 2
,
这是不可能的. 所以只能有a=b. 11
例4. 证明数列
是发散的.
证明: 用反证法.
假设数列 xn 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .
取

1 2
, 则存在 N ,
使当 n
>N
时,有
a

1 2

xn

a

1 2
但因 xn交替取值 1 与－1 , 而此二数不可能同时落在
x0 x0 d x 20
注
1） d 语言表述
当时, 有 2） 0 x x0 表示 x x0 , x x0时 f ( x) 有无极限与 f ( x0 )有无定义没有关系.
3) 任意给定后，才能找到d ， d 依赖于，一般的越小，d 越小.
4) d 不唯一，也不必找最大的，只要存在即可.
n1
| xn a | ,
或 n 1 1,
只要
9
例3 设|q|<1, 证明等比数列 1, q , q2, , qn-1,
的极限是0.

第二章数列极限

⑸ 迫敛性定理：设收敛数列 {a n } ， {bn } 都以 a 为极限，数列 {cn } 满足：存在正数 N 0 ，当 n > N 0 时有 a n ≤ c n ≤ bn ，则数列 {cn } 收敛，且 lim c n = a 。
n→∞
2. 数列极限的判定定理 ⑴ 数列 {a n } 收敛的充要条件是： {a n } 的任何非平凡子列都收敛。
1⎞ 1 ⎛ 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛ 1 = 1 + 1 + ⎜1 − ⎟ + ⎜ − ⎟ + L + ⎜ − ⎟ = 1 + 1 + 1 − < 3. ⇒ x n 有界. n ⎝ 2⎠ ⎝ 2 3⎠ ⎝ n −1 n ⎠
综上, 数列{ x n }单调有界. 证法二： ( 利用 Bernoulli 不等式 ) 注意到 Bernoulli 不等式 (1 + x) ≥ 1 + nx,
n(n − 1) 2 n(n − 1)(n − 2 ) 3 ⋅3 + ⋅ 3 + L + 3n 2! 3!
证明：因为
4 n = (1 + 3) = 1 + n ⋅ 3 +
n
>
n(n − 1)(n − 2 ) 3 ⋅3 ，n ≥ 3 . 3!
注意到对任何正整数 k , n > 2k 时有 n − k >
n 就有 2
0<
n > 4 6n ⋅ 4 n2 6n 2 6n 24 1 1 < = < = ⋅ < n 2 27n(n − 1)(n − 2 ) 27(n − 1)(n − 2) 27n 27 n n 4
于是，对 ∀ε > 0 ，取 N = max ⎨4, ⎢ ⎥ ⎬, L . ε 例 4 试证： lim n a = 1, a > 1 。

高等数学1_2数列极限(含weierstrass定理以及单调递增

xn0,只要
1 n 1

,
即
1 n

1
.
取
N [11],

则当
nN时, 就有
xn0,
故 nl im xnnl im (n(11)n)20 也可由 xn0(n11)2
说明: N 与有关, 但不唯一. 取 N11
x 不n一0 定取n1 最1 小1 n 的, 故N 也. 可取
设{ x n } 为一数列如果存在常数 a , 对于任意给定的正数，总存在正整数 N , 使得当 n 时N 总有
xn a 成立则称常数 a 是数列{ x n } 的极限或者称数列{ x n } 收敛于 a ，记为
lim
n
xn

a,
或
xn a(n ).
•极限定义的简记形式
所以
(1 1), n1
11
1
lim
1.
n 12 23 n(n1)
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三.收敛准则
定理2.5 单调有界数列必有极限单调增，上有界数列必有极限单调减，下有界数列必有极限
anan1,anM
a1

a3

a2
A
aN

M
o an
m
bn1bn,mbn
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数列的极限
观察数列
{1
(1)n1 n
} 的变化趋势。
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观察数列
{1
(1)n1 n
} 的变化趋势。
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数列的极限
观察数列

第二章数列极限

2
a { ([ a ] 1) N
三数列极限定义的几何意义
a
x2 x N 1
2
a
a
x N 2 x3
x
当 n N 时 , 所有的点 xn 都落在 ( a , a )内, 只有有限个 (至多只有 N 个 ) 落在其外 . 数列极限定义的等价定义：定义 1：若对 0，数列 { x n }中落在 U ( a ; ) 之外的点顶多只有有限个，则称 { x n }收敛于 a .
n
n 3
例4
证明 lim q 0, 其中 q 1 .
n n n n n
证法一：当 q 0 时， q 0，显然 lim q 0 . 当 q 0 时，由于 | q | 1，故可令则 | q |
n
1 |q|
1 h ( h 0 ),
正整数 k 满足 k 1 | a | k ，事实上， k [| a |] 1, 于是 | a
n
0 | |a|
|a| n!
k
n

| a | | a | | a | | a | 1 2 k n
K
|a| n
,
n! 其中 K
1 n

1
1
] 1, 则当 n N 时，便有

1 N

,
即|
1 n

0 | .
这就证明了
lim
1 n

n
0.
例3
证明 lim

第二节数列的极限

证设 lim xn a , 又 lim xn b,
0, 存在N1, 当n > N1时, 成立 x n a 存在N2, 当n > N2时, 成立 xn b
取N=max{N1, N2}, 当n>N时，成立
a b ( x n b) ( x n a ) x n b x n a 2.
n ( 1) lim n n
n 1
1.
n ( 1)n1 xn n
n 1
n ( 1) 0, x n 1 n

1 1 n

若 xn 1 只需 n 1 , 只需 n [1] =N (自然数) 换一种说法：
0,
1 存在自然数N [ ], 当n>N时，
n 1 （） 1 lim n 2 n 1 2 1 n （2） lim 2 sin 0 n n 3
lim xn a
n
0,
自然数N
当n>N时，成立 xn a
二、收敛数列的性质(A)
定理1
n
若数列{xn}收敛，则它的极限唯一.
n
lim q n 0.
n
当n>N时，成立 xn a
例3. 已知
证明
1 1 证: xn 0 2 (n 1) n 1 1 1 只要 (0 ,1) , 欲使 , 即 n 1. n 1 1 取 N [ 1] , 则当 n N 时, 就有 xn 0 ,
1 n lim (1 ) e n n
1 n 2 (1 ) n 2 lim n 1 2 (1 ) n 2

第二章数列极限

其中 : 每一个或任给的 ; : 至少有一个或存在 .
几何解释:
a
x2 x1 x N 1
2
a
x N 2 x3
a
x
当n N时, 所有的点 x n都落在 (a , a )内, 只有有限个 (至多只有N个) 落在其外.
an a 只须证明注意3：证明极限 lim n
n
a 1 n 取N , 则当 n N 时 , 有 a 1 .
故
n
lim
n
a 1
(其中a 1).
1 1 n (3) 设 0 < a < 1, 则 1, 由(2)知 lim 1. n a a
即 >0, N, 当n>N时, 有
3n 2 3 由定义 lim 2 n n 4
适当予先限定n＞n0是允许的！但最后取N时要保证n＞n0
例5 证明 lim q n 0, 其中 q 1.
n
n 则 lim q lim 0 0; 若 q 0 , 任给 0 , 证 n n
若0 q 1,
n
例如
nn 1 n 1 n 1 1 1 n n ( ( 1 ) 1 ) lim lim lim 1 lim n n 00 lim lim 1 1 n n 1 n n 1 n n 22 n n nn
小结 (1), 数列极限的定义; (2), 数列极限的几何意义; (3), 应用数列极限的定义证明数列极限的方法.
作业
P27: 1, 2, 3, 5.
0, N N , n N
有
an a
“ 0 ”是证题者给出的，给出之后，要找

数学分析课件之第二章数列极限

02
数列极限的运算性质
数列极限的四则运算性质
01
02
03
04
加法性质
若$lim x_n = a$且$lim y_n = b$，则$lim (x_n + y_n) =
a + b$。
减法性质
若$lim x_n = a$且$lim y_n = b$，则$lim (x_n - y_n) =
a - b$。
数列极限的性质
总结词
数列极限具有一些重要的性质，如唯一性、收敛性、保序性等。
详细描述
数列极限具有一些重要的性质。首先，极限具有唯一性，即一个数列只有一个极限值。其次，极限具有收敛性，即当项数趋于无穷时，数列的项逐渐接近极限值。此外，极限还具有保序性，即如果一个数列的项小于另一个数列的项，那么它们的极限也满足这个关系。
指数性质
若$lim x_n = a$且$0 < |a| < 1$ ，则$lim a^{x_n} = 1$。
幂运算性质
若$lim x_n = a$，则$lim x_n^k = a^k$（其中$k$为正整数）。
数列极限的运算性质在数学中的应用
解决极限问题
利用数列极限的运算性质，可以推导和证明一系列数学定理和公式，如泰勒级数、洛必达法则等
无穷小量是指在某个变化过程中，其值无限趋近于0的变量。
性质
无穷小量具有可加性、可减性、可乘性和可除性，但不可约性。
无穷大量的定义与性质
定义
无穷大量是指在某个变化过程中，其值无限增大的变量。
性质
无穷大量具有可加性、可减性、可乘性和可除性，但不可约性。
无穷小量与无穷大量的关系
1 2
无穷量是无穷大量的极限状态

数列的极限2-精选文档

a x 2 x 1 x N 1
2
a
xN 2 x 3
a
x
当 n N 时 , 所有的点 x 都落在 ( a ,a ) 内 , n 只有有限个 ( 至多只有 N 个 ) 落在其外 .
例1 设 x C ( C 为常数 ), 证明 lim x C . n n
n
同样, 若存在 B ，对一切 n 都满足 x B ， n
3. 单调性
称数列 {x 数列 { x } 若满足 x x x , n} n 1 2 n
若满足 x x x , 为单调增数列； 1 2 n
单调减数列．则称数列 { x } 为 n 单调增数列和单调减数列统称为单调数列．
n n 例如, 数列有界；无界 x 数列 x 2 n n n1
x 数轴上对应于有界数列的点落在闭区间 n都
上 . [ M ,M ]
若存在实数 A ，对一切 n 都满足 x A ， n
是 { x } 的下界；称 {x 为下有界 , A n n} 是 { x } 的上界．称 {x 为上有界 , A n n}
而 x 在原数列 x 中却是第 x 项，显 n k . n n k k k
三、数列极限的定义(Limit of a sequence)
n 1
( 1 ) 观察数列 { 1 } 当 n 时的变化 . n
播放
无限增大时, x n 是否无限接近于某一问题: 当 n 确定的数值?如果是,如何确定? 通过上面演示实验的观察:
4. 子数列
在保持原有顺序情定义：将数列 x ，任 n
列，简称子列．
, x , , x , x , 例如， x 1 2 i n

第二章数列极限

n →∞
注 5 “ ε − N ”定义的否定叙述： lim an ≠ a ⇔ ∃ε 0 > 0 ， ∀N ∈ N * ， ∃n0 > N 使
an0 − a ≥ ε 0 。
按定义验证 lim an ≠ a 的关键是求出不等式组（视 N 为定数，视 n 0 、 ε 0 为待求数）
n →∞
n0 > N ， an0 − a ≥ ε 0
显然看出 lim
n →∞
。关），使 an0 − a ≥ ε 0 ” 验证分析：取 ε 0 =
1 ， 200
an0 − a ≥ ε 0 ； an0 − a ≥ ε 0 ； an0 − a ≥ ε 0 ；
对 N = 1 ， ∃ n0 = 201 > N ⇒ 对 N = 10 ， ∃ n0 = 210 > N ⇒
定义 1*： lim an = a ⇔ ∀ε > 0 ，在区间 ( a − ε , a + ε ) 之外至多有 {an } 的有限项。
n →∞
lim an ≠ a ⇔ ∃ ε 0 > 0 ，在区间 (a − ε 0 , a + ε 0 ) 之外有 {an } 的无限项。
n →∞
四
收敛与发散的概念
数列{ an }收敛 ⇔ { an }存在有限极限；
( a − ε , a + ε ) 之外至多有 {an } 的有限项，则称 {an } 收敛于 a ，记作 lim an = a 。
n →∞
注 2 在区间 ( a − ε , a + ε ) 之外至多有 {an } 的有限项 ⇔ ∃N , ∀n > N ，有 an − a < ε 。事实上： “⇐” 已知 ∃N ，∀n > N 有 a − ε < an < a + ε ，这说明在区间 ( a − ε , a + ε ) 之外至多

章第二节数列的极限2

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