小学四年级奥数 容斥原理

容斥原理

在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A∪B＝A＋B－A∩B (其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思。)，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。

图示如下:

A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A∩B，即阴影面积。

1．先包含——A＋B

重叠部分A∩B计算了2次，多加了1次；

2．再排除——A＋B－A∩B

把多加了1次的重叠部分A∩B减去。

A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数＋B类元素个数＋C类元素个数－既是A类又是B 类的元素个数－既是B类又是C类的元素个数－既是A类又是C类的元素个数＋同时是A类、B类、C类的元素个数。

用符号表示为：A∪B∪C＝A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C＋A∩B∩C

图示如下：

图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，大圆表示C的元素的个数。

1．先包含——A＋B＋C

A∩B、B∩C、C∩A重叠了2次，多加了1次。

2．再排除——A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C

重叠部分A∩B∩C重叠了3次，但是在进行A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C计算时都被减掉了。3．再包含——A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C＋A∩B∩C

例1

一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积。

例2

50名同学面向老师站成一行。老师先让大家从左至右按1、2、3、…、49、50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转。问：现在面向老师的同学还有多少名？

求1～2009这2009个自然数既不能被7整除又不能被41整除的自然数有多少个？

例3

在1到2004所有自然数中，既不是2的倍数又不是3和5的倍数的数有多少个？

例4

如图，已知甲乙丙三个圆的面积都是30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，三个圆覆盖的总面积为73，求空白部分的面积。

例5

(第六届“中环杯”五年级初赛)甲、乙、丙三人浇花，甲浇了68盆，乙浇了62盆，丙浇了56盆。已知共有花90盆，则三人都浇了的花至少有多少盆？

例6

五年级3班有46名学生参加三项课外活动，其中24人参加了绘画小组，20人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有10人，求参加朗诵小组的人数。

测试题

1．把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条。已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？

2．有100种食品，其中含钙的有68种，含铁的有43种，那么同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是多少？

3．学而思组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有42人，参加中国象棋比赛的有55人，参加国际象棋比赛的有33人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有9人，其中三种棋赛都参加的有5人，问参加棋类比赛的共有多少人？

4．在前100个非零自然数中，能被2或3整除的数有多少个？

5．有三个面积各为30平方厘米的圆，两两重叠的面积分别为5平方厘米、6平方厘米、8平方厘米，三个圆共同重叠的面积为3平方厘米（如图）。三个圆共盖住多大面积？

6．甲、乙、丙三人同时在读同样的故事书，书中有100个故事，每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读，已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事，那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个？

答案

1．答案：

因为焊接部分为两根铁条的重合部分，

所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长3853487

+−=（厘米）。

2．答案：

最小值684310011

+−=种，最大值就是含铁的种数43种。

3．答案：

根据包含排除法，先把参加围棋比赛的42人，

参加中国象棋比赛的55人与参加国际象棋比赛的33人加起来，共是425533130

++=人。

把重复加一遍同时参加围棋和中国象棋的18人，

同时参加围棋和国际象棋的10人与同时参加中国象棋和国际象棋的9人减去，

但是，同时参加了三种棋赛的5人被加了3次，又被减了3次，

其实并未计算在内，应当补上，实际上参加棋类比赛的共有：130(18109)598

−+++=（人）。

=++−−−+，或者根据公式：A B C A B C A B B C A C A B C

参加棋类比赛的总人数为：42553318109598

++−−−+=（人）。

4．答案：

A

C B

如图所示，A圆内是前100个自然数中所有能被2整除的数，

B圆内是前100个自然数中所有能被3整除的数，

C为前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数。

前100个自然数中能被2整除的数有：100250

÷=(个)。

由1003331

÷=知，前100个自然数中能被3整除的数有：33个。

由100(23)164

÷⨯=知，前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数有16个。

所以A中有50个数，B中有33个数，C中有16个数。

因为A，B都包含C，根据包含排除法得到，能被2或3整除的数有：50331667

+−=(个)。

5．答案：

三个圆共盖住面积：303030568374

++−−−+=平方厘米

6．答案：

先考虑甲、乙两个人，甲、乙都读过的故事至少有756010035

+−=（个），甲单独看的故事是753540

−=（个），

−=（个），乙单独看的故事有603525

要使三人共同读过的故事最少，则丙应该尽量读甲或乙单独看的故事，

所以三人共同看过的故事最少有524012

−=（个）。