小学四年级奥数 容斥原理
完整版小学四年级奥数容斥问题
容斥问题涉及到一个重要的原理一一包含与排除原理，也称为容斥原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复地计数，应从它们的和中排除重复部分。
这一讲我们先介绍容斥原理1对n个事物，如果采用两种不同的分类标准：按性质a分类与性质b分类（如图1），那么，具有性质a或性质b的事物的个数=Na+Nb-Nad例1•一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有12人，订阅《今日少年报》的有9人，两种报纸都订阅的有5人。
（1）订阅报纸的总人数有多少？（2）两种报纸都没订阅的有多少人？例2•一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会俄语的有18人，两样都不会的有4人，两样都会的有多少人？例3.在1到100的全部自然数中，既不是6的倍数也不是5的倍数的数有多少个？例4•艺术节那天，学校的画廊里展了了每个年级学生的图画作品，其中有23幅画不是五年级的，有21幅画不是六年级的，五、六年级参展的画共有8幅。
其他年级参展的画共有多少幅？练习与思考1•将边长分别为4厘米和5厘米的正方形纸片部分重叠，盖在桌面上（如图6）,已知重叠的部分为9平方厘米，两块正方形纸片盖住桌面的总面积是多少平方厘米？2 . 二（2）班有50名学生，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35人，做完数学作业的有40人，两种作业都做完的有多少人？3.有62名学生，其中会弹钢琴的有11名，会吹竖笛的有56名，两样都不会的有4名，两样都会的有多少名？4 •某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，作文比赛获奖的有14人，数学比赛获奖的有12人，有3人两项比赛都获奖的，两项比赛都没获奖的有多少人？5 •四（1）班有40个学生，其中有25人参加数学小组，23人参加航模水组，有19人两个小组都参加了，那么，有多少人两个小组都没有参加？6 •在一次数学测验中，所有同学都答了第1、2两题，其中答对第1题的有35人，答对第2题的有28人，这两题都答对的有20人，没有人两题都答错。
小学奥数教程之容斥原理
学习奥数的优点1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。
2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。
要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。
3、锻炼学生优良的意志品质。
可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心，以及战胜难题的勇气。
可以养成坚韧不拔的毅力4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。
容斥原理学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位容斥原理中的知识点比较简单，是计数问题中比较浅的一支。
这个知识点经常和数论知识结合出综合型题目。
这个原理本身并不是很难理解，不过经常和数论知识结合出题，所以对学生的理解层次要求较高，学生必须充分理解、吃透。
1.充分理解和掌握容斥原理的基本概念2.利用图形分析解决容斥原理问题知识梳理授课批注：本讲的知识点必须让学生充分理解、吃透，这个原理本身并不是很难理解，不过经常和数论知识结合出题所以对学生的理解层次要求较高。
一. 容斥原理的概念定义在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。
我们用|A|表示有限集A 的元素个数。
求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|，我们称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。
图示如右:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A∩B，即阴影面积。
用法：包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求|A|+|B|（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=|A∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素个数）二.竞赛考点1.容斥原理的基本概念2.与数论相结合的综合型题目例题精讲【试题来源】【题目】在一个炎热的夏日，10个小学生去冷饮店每人都买了冷饮。
小学奥数容斥原理
小学奥数容斥原理
小学奥数中的容斥原理是一种经典的数学方法，它常常用于解决有关组合计数的问题。
容斥原理可以帮助我们计算两个集合的交集、并集以及差集的元素个数。
具体来说，容斥原理告诉我们，要计算两个集合的并集的元素个数，我们可以先计算每个集合的元素个数，然后减去这两个集合的交集的元素个数。
这样可以避免重复计算。
例如，假设我们有两个集合A和B，集合A中有3个元素，集合B中有4个元素。
如果我们想计算这两个集合的并集的元素个数，根据容斥原理，我们应该先计算集合A的元素个数，再计算集合B的元素个数，然后减去集合A和集合B的交集的元素个数。
另外，容斥原理也可以用于计算三个集合的并集、四个集合的并集，以及更多集合的并集，只需要依次计算每个集合的元素个数，并根据公式依次加减交集的元素个数。
需要注意的是，在应用容斥原理时，我们需要确保计算交集和并集时没有重复计算的情况发生。
这需要我们对问题进行仔细分析和思考，以保证计算结果的正确性。
总之，容斥原理是一种解决组合计数问题的有力工具，在小学奥数中有着重要的应用，通过灵活运用容斥原理，我们可以更快、更准确地解决各类问题。
四年级奥数---容斥原理教案
奥数：容斥原理教学目标：1、理解容斥原理，会画图分析其中关系，正确的找出答案。
2、培养学生的逻辑思维和数学思考能力。
3、培养学生良好的书写习惯。
一、教学内容〔一〕知识介绍容斥问题涉与到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n 个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a 分类与性质b 分类〔如图〕，那么具有性质a 或性质b 的事物的个数=N a ＋N b －N ab 。
〔二〕例题精讲例1、一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！〞有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！〞有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？〞没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
[思路导航]完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
Nab NbNa例2、某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？[分析与解答]已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。
又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。
所以，两题都答得不对的有36－33=3人。
例3、某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？[分析与解答]要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。
小学四年级奥数举一反三专题第三十五周 容斥原理
小学四年级奥数举一反三专题第三十五周 容斥原理专题简析:容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理,也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复计数,应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理:对n 个事物,如果采用不同的分类标准,按性质a 分类与性质b 分类（如图）,那么具有性质a 或性质b 的事物的个数=N a ＋N b －N ab 。
例1:一个班有48人,班主任在班会上问:“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问:“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问:“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析 完成语文作业的有37人,完成数学作业的有42人,一共有37＋42=79人,多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次,在统计做完数学作业的人数时又算了一次,这样就多算了一次。
所以,这个班语文、数作业都完成的有:79－48=31人。
练 习 一1,五年级有122名学生参加语文、数学考试,每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人,数学优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？Nab NbNa2,四年级一班有54人,订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人,订《小学生优秀作文》的有45人,每人至少订一种读物,订《数学大世界》的有多少人？3,学校文艺组每人至少会演奏一种乐器,已知会拉手风琴的有24人,会弹电子琴的有17人,其中两种乐器都会演奏的有8人。
这个文艺组一共有多少人？例2:某班有36个同学在一项测试中,答对第一题的有25人,答对第二题的有23人,两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？分析与解答:已知答对第一题的有25人,两题都答对的有15人,可以求出只答对第一题的有25－15=10人。
又已知答对第二题的有23人,用只答对第一题的人数,加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数:10＋23=33人。
四年级奥数---容斥原理教案
四年级奥数---容斥原理教案奥数：容斥原理教学目标：1、理解容斥原理，会画图分析其中关系，正确的找出答案。
2、培养学生的逻辑思维和数学思考能力。
3、培养学生良好的书写习惯。
一、教学内容（一）知识介绍容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n 个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a 分类与性质b 分类（如图），那么具有性质a 或性质b 的事物的个数=N a ＋N b －N ab 。
（二）例题精讲例1、一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
【思路导航】完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
例2、某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有Nab NbNa23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？【分析与解答】已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。
又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。
所以，两题都答得不对的有36－33=3人。
例3、某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？【分析与解答】要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。
小学四年级奥数竞赛：容斥原理
课题容斥原理年级4授课对象编写人时间学习目标利用抽屉原理1、抽屉原理2解题。
学习重点、难点（1）找出题干中物品对应的量；（2）合理构造抽屉（简单问题中抽屉明显，找出即可）；（3）利用抽屉原理1、抽屉原理2解题。
教学过程T （测试）1，五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？2，四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？3，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。
这个文艺组一共有多少人？S （归纳）容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na＋Nb－Nab。
Nab NbNaE （典例）例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。
小学奥数-容斥问题
小学奥数-容斥问题
一、学习目标理解并掌握容斥问题
二、重点难点考点分析
容斥问题涉及到一个重要原理包含和排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数局部有重复包含时，为了不重复的计数，应从他们的和中减到重复局部。
三、概念解析
容斥原理：对几个事物，如果采用两种不同的分类标准，按照性质1和性质2分类，那么具有性质1或者性质2的事物个数等于性质1加上性质2 减去他们的共同性质。
四、课后作业
1、某班其中考试语文得优的人数为25,数学得优的人数为21,两门功课都得优的人数为10,问共有多少人？
2、某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题
的有23人，两题都答对的有15人，问，多少个同学两题都答的不对？
3、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样
都不会的有4人。
问两样都会的有多少人？。
小学奥数之容斥原理知识点
小学奥数之容斥原理知识点容斥原理容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b 的事物的个数=Na＋Nb－Nab。
例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析与解答：完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。
又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。
所以，两题都答得不对的有36－33=3人。
例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。
例4：在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析与解答：从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。
从1到100的自然数中，5的倍数有100÷5=20个，6的倍数有16个（100÷6=16……4），其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。
四年级奥数专题-容斥原理
四年级奥数专题-容斥原理专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理,也叫容斥原理.即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复计数,应从它们的和中排除重复部分.容斥原理：对n 个事物,如果采用不同的分类标准,按性质a 分类与性质b 分类（如图）,那么具有性质a 或性质b 的事物的个数=N a ＋N b －N ab .例1：一个班有48人,班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手.又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手.最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手.求这个班语文、数学作业都完成的人数.分析 完成语文作业的有37人,完成数学作业的有42人,一共有37＋42=79人,多于全班人数.这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次,在统计做完数学作业的人数时又算了一次,这样就多算了一次.所以,这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人.练 习 一1,五年级有122名学生参加语文、数学考试,每人至少有一门功课取得优秀成绩.其中语文成绩优秀的有65人,数学优秀的有87人.语文、数学都优秀的有多少人？Nab NbNa2,四年级一班有54人,订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人,订《小学生优秀作文》的有45人,每人至少订一种读物,订《数学大世界》的有多少人？3,学校文艺组每人至少会演奏一种乐器,已知会拉手风琴的有24人,会弹电子琴的有17人,其中两种乐器都会演奏的有8人.这个文艺组一共有多少人？例2：某班有36个同学在一项测试中,答对第一题的有25人,答对第二题的有23人,两题都答对的有15人.问多少个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有25人,两题都答对的有15人,可以求出只答对第一题的有25－15=10人.又已知答对第二题的有23人,用只答对第一题的人数,加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人.所以,两题都答得不对的有36－33=3人.练习二1,五（1）班有40个学生,其中25人参加数学小组,23人参加科技小组,有19人两个小组都参加了.那么,有多少人两个小组都没有参加？2,一个班有55名学生,订阅《小学生数学报》的有32人,订阅《中国少年报》的有29人,两种报纸都订阅的有25人.两种报纸都没有订阅的有多少人？3,某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛,结果3人两项比赛都获奖了,有27人两项比赛都没有获奖.已知作文比赛获奖的有14人,问数学比赛获奖的有多少人？例3：某班有56人,参加语文竞赛的有28人,参加数学竞赛的有27人,如果两科都没有参加的有25人,那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数,应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人,再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人.练习三1,一个旅行社有36人,其中会英语的有24人,会法语的有18人,两样都不会的有4人.两样都会的有多少人？2,一个俱乐部有103人,其中会下中国象棋的有69人,会下国际象棋的有52人,这两种棋都不会下的有12人.问这两种棋都会下的有多少人？3,三年级一班参加合唱队的有40人,参加舞蹈队的有20人,既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人.这两队都没有参加的有10人.请算一算,这个班共有多少人？例4：在1到100的自然数中,既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析与解答：从1到100的自然数中,减去5或6的倍数的个数.从1到100的自然数中,5的倍数有100÷5=20个,6的倍数有16个（100÷6=16……4）,其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）.因此,是6或5的倍数的个数是16＋20－3=33个,既不是5的倍数又不是6的倍数的数的个数是：100－33=67个.练习四1,在1到200的全部自然数中,既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？2,在1到130的全部自然数中,既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个？3,五（1）班做广播操,全班排成4行,每行的人数相等.小华排的位置是：从前面数第5个,从后面数第8个.这个班共有多少个学生？例5：光明小学举办学生书法展览.学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品,其中有24幅不是五年级的,有22幅不是六年级的,五、六年级参展的书法作品共有10幅,其他年级参展的书法作品共有多少幅？分析与解答：由题意知,24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数,22幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数.24＋22=46幅,这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数,从其中去掉五、六两个年级共参展的10幅作品,即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数,再除以2,即可求出其他年级参展作品的总数.（24＋22－10）÷2=18幅.练习五1,科技节那天,学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品,其中有110件不是一年级的,有100件不是二年级的,一、二年级参展的作品共有32件.其他年级参展的作品共有多少件？2,六（1）儿童节那天,学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品,其中有25幅画不是三年级的,有19幅画不是四年级的,三、四两个年级参展的画共有8幅.其他年级参展的画共有多少幅？3,实验小学举办学生书法展,学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品,其中有28幅不是五年级的,有24幅不是六年级的,五、六年级参展的书法作品共有20幅.一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4幅.一、二年级参展的书法作品共有多少幅？。
小学奥数之容斥原理
小学奥数之容斥原理容斥原理例1：给定长8厘米，宽6厘米的长方形和边长5厘米的正方形，求这两个图形覆盖桌面的面积。
分析与解：两个图形的重叠部分是一个直角三角形，可以用三种方法求出它的面积：方法一：方法二：方法三：最终答案为67平方厘米。
例2：六一班共有26名学生参加了无线电小组和航模小组，其中有17人参加了无线电小组，14人参加了航模小组，有多少人参加了两个小组？分析与解：如果直接将17人和14人相加，会把两个小组都参加的人算两次，因此需要用容斥原理来计算。
具体地，两个小组都参加的人数等于总人数减去只参加一个小组的人数：另一种方法是：最终答案为5人。
例3：六一班共有46名学生，其中19人会骑自行车，25人会游泳，7人既会骑车又会游泳，有多少人既不会骑自行车也不会游泳？分析与解：首先计算会骑车或会游泳的人数，然后减去既会骑车又会游泳的人数，就得到了既不会骑车也不会游泳的人数：最终答案为9人。
例4：某年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组，参加美术小组有20人，参加音乐小组有24人，参加手工小组有31人，同时参加美术和音乐两个小组的有5人，同时参加音乐和手工两个小组的有6人，同时参加美术和手工两个小组的有7人，三个小组都参加的有3人，这个年级参加课外小组的同学共有多少人？分析与解：用容斥原理计算总人数，需要减去重复多余的部分。
具体地，先计算参加至少一个小组的人数，然后减去同时参加两个小组的人数，再加上同时参加三个小组的人数：最终答案为60人。
例5：某班有若干学生参加了短跑、投掷和跳远三项检测，其中有4人三项都未达到优秀，其他人至少有一项是优秀。
给定各项检测中达到优秀的人数，求全班人数。
分析与解：用容斥原理计算全班人数，需要减去三项都未达到优秀的人数。
具体地，先计算跑、跳、投至少有一项达到优秀的人数，然后加上三项都未达到优秀的人数：最终答案为42人。
例6：求分母为105的最简真分数的个数。
分析与解：分母为105的最简真分数，可以表示成$a/105$ 的形式，其中 $a$ 是比105小的正整数，且 $a$ 和105互质。
四年级奥数 第35讲 容斥问题
第35周容斥问题专题简析:容斥问题涉及一个重要原理一一包含与排除原理，也叫容斥原理。
当两个计数部分有重复包含时，为了不重复地计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理:对n个事物，如果采用两种不同的分类标准,按性质a分类与性质b分类(如右图所示),那么具有性质a或性质b的事物的个数是Na 十Nb- Nab。
例1：一个班有48人，班主任在班会上问“谁做完语文作业了?请举手！”有37人举手。
又问:“谁做完数学作业了?请举手!”有42人举手。
最后问“谁语文、数学作业都没有做完?“没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
练习一：1、五年级有122 名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65 人，数学成绩优秀的有87 人。
语文、数学成绩都优秀的有多少人?2、四(1)班有54 人，订阅<小学生优秀作文》和(数学大世界)两种读物的有13 人，订《小学生优秀作文》的有45 人，每人至少订种读物。
订《数学大世界》》的有多少人?3、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。
这个文艺组一共有多少人?例2：城中小学选出10名学生参加区作文和数学比赛，结果每人都获奖。
其中有3人两项比赛都获奖，作文比赛获奖的有5 人,求数学比赛获奖的有多少人?练习：1、一个班有55 名学生，他们分别订阅了《小学生数学报》和《中国少年报》。
其中订阅《小学生数学报》的有32 人,两种报纸都订阅的有15 人,求订阅《中国少年报》的有多少人?2、四(1)班有40 个学生,有19 人参加了数学和科技两个兴趣小组。
其中有11人两个小组都没参加，有25人参加数学小组，求有多少人参加了科技小组?3、在四年级96 个学生中调查会下中国象棋和围棋的人数。
调查结果显示:有78人会下中国象棋，有24 人两样都会，还有12人两样都不会。
求会下围棋的有多少人?例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人?练习：1、一个旅行社有36 人，其中会英语的有24 人,会法语的有18 人,两样都不会的有4 人。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
容斥原理
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。
求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A∪B＝A＋B－A∩B (其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思。
)，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。
图示如下:
A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A∩B，即阴影面积。
1．先包含——A＋B
重叠部分A∩B计算了2次，多加了1次；
2．再排除——A＋B－A∩B
把多加了1次的重叠部分A∩B减去。
A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数＋B类元素个数＋C类元素个数－既是A类又是B 类的元素个数－既是B类又是C类的元素个数－既是A类又是C类的元素个数＋同时是A类、B类、C类的元素个数。
用符号表示为：A∪B∪C＝A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C＋A∩B∩C
图示如下：
图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，大圆表示C的元素的个数。
1．先包含——A＋B＋C
A∩B、B∩C、C∩A重叠了2次，多加了1次。
2．再排除——A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C
重叠部分A∩B∩C重叠了3次，但是在进行A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C计算时都被减掉了。
3．再包含——A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C＋A∩B∩C
例1
一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积。
例2
50名同学面向老师站成一行。
老师先让大家从左至右按1、2、3、…、49、50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转。
问：现在面向老师的同学还有多少名？
求1～2009这2009个自然数既不能被7整除又不能被41整除的自然数有多少个？
例3
在1到2004所有自然数中，既不是2的倍数又不是3和5的倍数的数有多少个？
例4
如图，已知甲乙丙三个圆的面积都是30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，三个圆覆盖的总面积为73，求空白部分的面积。
例5
(第六届“中环杯”五年级初赛)甲、乙、丙三人浇花，甲浇了68盆，乙浇了62盆，丙浇了56盆。
已知共有花90盆，则三人都浇了的花至少有多少盆？
例6
五年级3班有46名学生参加三项课外活动，其中24人参加了绘画小组，20人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有10人，求参加朗诵小组的人数。
测试题
1．把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条。
已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？
2．有100种食品，其中含钙的有68种，含铁的有43种，那么同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是多少？
3．学而思组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有42人，参加中国象棋比赛的有55人，参加国际象棋比赛的有33人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有9人，其中三种棋赛都参加的有5人，问参加棋类比赛的共有多少人？
4．在前100个非零自然数中，能被2或3整除的数有多少个？
5．有三个面积各为30平方厘米的圆，两两重叠的面积分别为5平方厘米、6平方厘米、8平方厘米，三个圆共同重叠的面积为3平方厘米（如图）。
三个圆共盖住多大面积？
6．甲、乙、丙三人同时在读同样的故事书，书中有100个故事，每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读，已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事，那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个？
答案
1．答案：
因为焊接部分为两根铁条的重合部分，
所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长3853487
+−=（厘米）。
2．答案：
最小值684310011
+−=种，最大值就是含铁的种数43种。
3．答案：
根据包含排除法，先把参加围棋比赛的42人，
参加中国象棋比赛的55人与参加国际象棋比赛的33人加起来，共是425533130
++=人。
把重复加一遍同时参加围棋和中国象棋的18人，
同时参加围棋和国际象棋的10人与同时参加中国象棋和国际象棋的9人减去，
但是，同时参加了三种棋赛的5人被加了3次，又被减了3次，
其实并未计算在内，应当补上，实际上参加棋类比赛的共有：130(18109)598
−+++=（人）。
=++−−−+，或者根据公式：A B C A B C A B B C A C A B C
参加棋类比赛的总人数为：42553318109598
++−−−+=（人）。
4．答案：
A
C B
如图所示，A圆内是前100个自然数中所有能被2整除的数，
B圆内是前100个自然数中所有能被3整除的数，
C为前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数。
前100个自然数中能被2整除的数有：100250
÷=(个)。
由1003331
÷=知，前100个自然数中能被3整除的数有：33个。
由100(23)164
÷⨯=知，前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数有16个。
所以A中有50个数，B中有33个数，C中有16个数。
因为A，B都包含C，根据包含排除法得到，能被2或3整除的数有：50331667
+−=(个)。
5．答案：
三个圆共盖住面积：303030568374
++−−−+=平方厘米
6．答案：
先考虑甲、乙两个人，甲、乙都读过的故事至少有756010035
+−=（个），甲单独看的故事是753540
−=（个），
−=（个），乙单独看的故事有603525
要使三人共同读过的故事最少，则丙应该尽量读甲或乙单独看的故事，
所以三人共同看过的故事最少有524012
−=（个）。