1-5-14推理与证明

高考专题训练十四 推理与证明

班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：75分 总得分________

一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．

1.依次写出数列a 1＝1，a 2，a 3，…，a n (n ∈N *)的法则如下：如果a n －2为自然数且未写过，则写a n ＋1＝a n －2，否则就写a n ＋1＝a n ＋3，则a 6＝( )

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

解析：根据题中法则，依次逐个代入，得a 2＝4，a 3＝2，a 4＝0，a 5＝3，a 6＝6.

答案：C

2．(2011·郑州市高中毕业班第一次质量预测)已知a ，b ，c ∈R ＋，若c a ＋b

，则( ) A ．c

D ．c

解析：由已知得c (b ＋c )0，因此有c －a <0，a －b <0，故c

答案：A

3．(2011·四川省绵阳市高三第二次诊断性测试)记a ＝Sin (cos2010°)，b ＝sin(sin2010°)，c ＝cos(sin2010°)，d ＝cos(cos2010°)，则a 、b 、c 、d 中最大的是( )

A ．a

B ．b

C ．c

D ．d

解析：注意到2010°＝360°×5＋180°＋30°，因此sin2010°＝－sin30°＝－12，cos2010°＝－cos30°＝－32，－π2<－32<0，－π2<－

12

<0,0<12<32<π2，cos 12>cos 32>0，a ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

－32＝－sin 32

<0，b ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪

⎫－12＝－sin 1

2

<0，c ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝cos 12>d ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫

－32＝cos 32

>0， 因此选C. 答案：C

4．(2011·江西师大附中、临川一中高三联考)若实数a ，b ，c 成公差不为0的等差数列，则下列不等式不成立的是( )

A ．|b －a ＋1

c －b |≥2

B ．a 3b ＋b 3c ＋c 3a ≥a 4＋b 4＋c 4

C ．b 2>ac

D ．|b |－|a |≤|c |－|b |

解析：设等差数列a ，b ，c 的公差为d (d ≠0)，则|b －a ＋1

c －b |

＝|d ＋1d |＝|d |＋|1d

|≥2

|d |×1|d |＝2，因此A 成立；b 2

－ac ＝⎝

⎛⎭

⎪⎫a ＋c 22－ac ＝(a －c )2

4>0，因此C 成立；由2b ＝a ＋c 得|2b |＝|a ＋c |≤|c |＋|a |，

即|b |－|a |≤|c |－|b |，因此D 成立；对于B ，当a ＝－1，b ＝－2，c ＝－3时，a 3b ＋b 3c ＋c 3a ＝53，a 4＋b 4＋c 4＝98，此时B 不成立．综上所述，选B.

答案：B

5．(2011·西安市五校第一次模拟考试)已知“整数对”按如下规

律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( )

A ．(7,5)

B ．(5,7)

C ．(2,10)

D ．(10,1)

解析：依题意，就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知每组整数对的和为n ＋1，且每组共有n 个整数对，这样的前n 组一共有n (n ＋1)2个整数对，注意到10(10＋1)2<60<11(11＋1)2，因此第60个

整数对处于第11组(每对整数对的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每对整数对的和为12的组中的各对数依次为(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个整数对是(5,7)，选B.

答案：B

6．(2011·江苏镇江模拟)用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是( )

A ．假设三内角都不大于60度

B ．假设三内角都大于60度

C ．假设三内角至多有一个大于60度

D ．假设三内角至多有两个大于60度

解析：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即“三内角都大于60度”．故选B.

答案：B

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．

7．(2011·南昌一模)观察下列等式： 12＝1

12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …，

由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *， 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝________.

解析：注意到第n 个等式的左边有n 项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2＝n 2＋n 2，注意到右边的结果的符号的规律

是：当n 为奇数时，符号为正；当n 为偶数时，符号为负，因此所

填的结果是(－1)n ＋1n 2＋n 2

. 答案：(－1)n ＋1n 2＋n 2

8．(2011·东北三省四市教研联合体等值模拟诊断)设S 、V 分别表示面积和体积，如△ABC 面积用S △ABC 表示，三棱锥O －ABC 的体积用V O －ABC 表示．对于命题：如果O 是线段AB 上一点，则|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0.将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·OC →＝0.将它类比到空间的情形应该是：若O 是三棱锥A －BCD 内一点，则有___________________________ _________．

解析：由类比思想可得结论．

答案：V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0 9．(2011·山东威海模拟)用数学归纳法证明不等式1＋12＋14

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