空间几何中的角度计算和距离计算-完整版
推导空间解析几何的位置关系与距离公式
推导空间解析几何的位置关系与距离公式在空间解析几何中，位置关系与距离公式是研究空间中点、直线、平面之间相互位置关系与距离的重要工具。
通过推导和研究，我们可以得到一系列的位置关系与距离公式，进一步拓宽我们对空间几何关系的认识。
一、点与点之间的位置关系与距离公式在三维空间中，我们首先考虑点与点之间的位置关系与距离公式。
假设点A（x1，y1，z1）和点B（x2，y2，z2）是空间中的两个点，我们可以得到它们之间的距离公式如下：d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)这个公式可以通过勾股定理推导得出，其中d表示两点之间的距离。
根据该公式，我们可以计算出任意两点之间的距离，从而判断它们的位置关系。
二、点与直线之间的位置关系与距离公式在空间解析几何中，点与直线之间的位置关系是一个重要的研究对象。
给定一条直线L与一个点P(x0, y0, z0)，根据点到直线的距离定义，我们可以推导出点P到直线L的距离公式。
设直线L的方程为：Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C分别为直线L的方向向量的分量。
点P到直线L的距离公式可以表示为：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A² + B² + C²)通过这个公式，可以判断点和直线之间的位置关系，进一步研究空间中的几何性质。
三、点与平面之间的位置关系与距离公式接下来，让我们考虑点与平面之间的位置关系与距离公式。
给定一个平面的方程为：Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C分别为平面的法向量的分量。
对于空间中的一个点P(x0, y0, z0)，点P到平面的距离可以表示为：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A² + B² + C²)通过这个公式，我们可以判断点和平面之间的位置关系，从而进一步研究和解决空间几何问题。
怎样求空间角、 空间距离
nPMdab2图npMdα1图MdP nβα4图MdP nα3图怎样求空间角、 空间距离求空间角、 空间距离高考的重点热点之一，属必考内容，同时也是最重要的得分点。
既是必考，就须反复操练，烂熟于心。
一、求空间距离方法方法一：用定义法做出相应的距离，转化为两点间的距离问题求解（通常转化为解三角形问题，有时也用等面积、等体积法求之）方法二： 向量坐标法 则d=||||n MP n ⋅（公式一）1、点P 到平面α的距离.如图1（M 为α内的点，n 为平面的法向量）2、异面直线a 与b 的距离如图2（P 为a 上一点，M 为b 上一点，n 为与两异面直线都垂直的向量）3、平行于平面α的直线l 到平面α的距离如图3（P 为线上一点，M 为面α内一点，n 为平面的法向量）4、平行平面α 、β间的距离如图4（P 为α内一点，M 为β内一点，n 为平面的法向量）二、求空间角的方法方法一：用定义法作角，转化为相交直线所成的角，然后求解. 1、异面直线a 与b 所成的角θ在一条直线上找一点作另一直线的平行线，构成三角形，或在具体图形中找另一点，过此点作两直线的平行线，构成三角形. 2、直线l 与平面α所成的角ϕ斜线上选点P ，过P 作PM ⊥α于M ，连 AM, ϕ=AMP ∠为所求;利用公式cos θb nam5图mαMPn6图=cos 1θ cos ϕ （θ为斜外角，1θ为面平角）3、二面角ϕ过二面角棱上一点分别在两个半平面内做垂线，从而得到所求的二面角（通常利用特殊图形法 、两垂一连法既三垂线定理去做）也可用射影面积公式求之 S ′=S cos ϕ方法二：向量法利用公式cos θ =||||||n m n m ⋅（公式二）求出θ= arccos||||||n m n m ⋅1、异面直线a 与b 所成的角θ如图5分别求出两条直线a 与b 的方向向量m 、n，利用公式二求出θ= arccos||||||n m n m ⋅2、直线l 与平面α所成的角ϕ如图6求与l 的方向向量m ,再求平面α的法向量n , m 与n 所在直线所成的角为θ，利用公式二求出θ= arccos||||||n m n m ⋅则ϕ＝2π－θ 3、求二面角ϕ如图7、8求两平面的法向量m 与n 或如图9、10找分别与两半平面平行且都垂直于棱的两向量m 与n .利用公式二求出θ= arccos||||||n m n m ⋅，当ϕ为锐角时如图7、9ϕ=θ， 当ϕ为钝角时如图8、10 ϕ= π－θ三.、用向量求角，求距离典型例题分析（对我们而言，不能求出角和距离许多时候是因为我们不能找到或作出角和距离。
空间几何角度计算公式
空间几何角度计算公式在空间几何中，角度是一个重要的概念，用于描述两条线、平面或多个向量之间的夹角。
计算空间几何角度的公式可以根据具体情况而变化，下面将介绍几种常见的计算公式。
1. 点和直线的夹角设直线L上有一点A，过点A引一直线与直线L相交于点B，计算点A和直线L之间的夹角，可使用以下公式：cosθ = |AB| / |OB|其中θ表示点A和直线L的夹角，|AB|表示线段AB的长度，|OB|表示向量OB的长度。
2. 直线与直线的夹角设两条直线L1和L2，如果它们的方向向量分别为a和b，计算直线L1和直线L2之间的夹角，可使用以下公式：cosθ = |a·b| / (|a| |b|)其中θ表示直线L1和直线L2的夹角，|a·b|表示向量a与向量b的点乘的绝对值，|a|和|b|表示向量a和向量b的长度。
3. 平面和平面的夹角设两个平面α和β，它们的法线向量分别为n1和n2，计算平面α和平面β之间的夹角，可使用以下公式：cosθ = |n1·n2| / (|n1| |n2|)其中θ表示平面α和平面β的夹角，|n1·n2|表示向量n1与向量n2的点乘的绝对值，|n1|和|n2|表示向量n1和向量n2的长度。
4. 空间向量的夹角设两个非零向量a和b，计算向量a和向量b之间的夹角，可使用以下公式：cosθ = (a·b) / (|a| |b|)其中θ表示向量a和向量b的夹角，a·b表示向量a与向量b的点乘，|a|和|b|表示向量a和向量b的长度。
以上就是在空间几何中常用的几种角度计算公式。
根据具体情况，选择适合的公式进行计算，可以帮助我们解决空间几何问题。
空间几何中的角度计算和距离计算
(
).
A.2 2
B.2 3
C.2 6
D.4
【解析】 取 BE 中点为 F,C'E=C'B=4,所以 C'F⊥BE,
所以 C'F⊥平面 ABED,作 C'G⊥AB,连接 FG,易证
FG⊥AB,所以 FG=2,C'F=2 2,所以 C'G=2 3.
3.三棱锥 P-ABC,PA=PB=PC= 73,AB=10,BC=8,CA=6,则二面
,AB=4,PC=3.
(1)求证:EF⊥平面PCH;
(2)求点B到平面PEF的距离.
【解析】 (1)∵E,F 是 AB,AD 的中点,
∴EF∥BD,且在正方形 ABCD 中,AC⊥BD,
∴EF⊥HC.
又∵PC⊥平面 ABCD,EF⊂平面 ABCD,
∴EF⊥PC,HC∩PC=C,∴EF⊥平面 PCH.
1 1
=
E
1 -B1
1
1
3
3
,即 h△1 1 E = ·C1F·△ 1 E ,
E
因为 AB=AA1=2 2,AC=BC=2,
所以 B1E=BE= 10,BB1=2 2,
1
所以Δ ห้องสมุดไป่ตู้ E = ×2 2×2 2=4,
2
又因为 B1E= 10,C1E= 4 + 2= 6,B1C1=2,
成的平面角,
所以∠ABC 为二面角 α-l-β 的平面角,所以
∠ABC=45°,
所以 AD=BD=AB×sin 45°= 3,
所以 CD=BC-BD=1,tan∠ACD=
= 3,
所以∠ACD=60°.
故直线 AC 与平面 β 所成角的大小为 60°.
空间中的“角”和“距离”
空间中的“角”和“距离”与“角”和“距离”有关的立几问题是立体几何中的基本问题．解决立几问题的出发点是基本概念和基本定理，一定水平的空间想象力和逻辑推理能力是解决立几问题的基础．1．与“角”有关的一些基本概念立体几何中，主要涉及了如下几个“角”的概念：直线与直线的夹角、直线与平面所成的角、二面角． 2．与“距离”有关的概念我们讨论的“距离”主要包括：点到直线的距离、异面直线之间的距离、点到平面的距离、直线与平面（平行时）的距离、两个平行平面之间的距离．3．常用定理除了一些基本定理（例如平行线公理）外，这里首先应强调的是三垂线定理、线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的判定与性质定理等．4．基本方法实现角度的求解，都需要将它们转化为“平面上的角”求解． 距离的求解，最终都需将其转化为求线段（例如公垂线段）的长度． “角”与“距离”的求解问题均可借助空间向量的运算来达到目的．例1 如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知AB ＝4，CD ＝20，EF ＝7，31==EC BE FD AF ．求异面直线AB 与CD 所成的角．例3 已知空间一个平面与一个正方体的12条棱的夹角都等于α，求α的值．例3 已知三棱锥S —ABC 的底面是正三角形，点A 在侧面SBC 上的射影H 是△SBC 的垂心，已知SA ＝32，V S-ABC ＝349．求二面角H －AB —C 的大小．例4 求棱长为l的正方体ABCD—A1B1C1D1中面对角线A1B与B1D1的距离．例5 已知三棱锥S—ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA＝SB＝SC＝2，AB＝2．设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，求点O到平面ABC的距离．例5 在三棱锥S —ABC 中，侧棱SC 等于底边AB ，且与底面ABC 成600角，顶点A 、B 、C 以及棱锥的侧棱中点都在半径为1的球上．求证：此球的球心在棱AB 上，并求此棱锥的高．例 5 已知正n 棱锥的侧面与底面所成的二面角的大小为α，侧棱与底面所成角的大小为β，求证：n2tan sin sin 222πβα≤-例5 已知正方体ABCD—A’B’C’D’的棱长为1，在AC上取一点P，过P、A’、B’三点作平面与底面所α+的最小值．成的二面角为α，过P、B’、C’三点作平面与底面所成的二面角为β，求β空间中的“角”和“距离”A 组1．正三棱锥S-ABC 的侧棱与底面边长相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，则EF 与SA 所成的角等于 （ ）．（A ）900 （B ）600 （C ）450 （D ）3002．在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝1，则P 到对角线BD 的距离为（ ）．（A ）229 （B ）513 （C ）517 （D ）21293．若异面直线a 、b 所成角为800，且过空间任一点P 的直线与a 、b 所成角都是500，则这样的直线有且仅有 （ ）．（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条4．在三棱锥的三个侧面和一个底面中，直角三角形最多有 （ ）．（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个5．与空间不共面的4个点距离都相等的平面有 （ ）．（A ）7个 （B ）4个 （C ）3个 （D ）6个6．ABCD 是正方形，E 是AB 的中点，如将△DAE 和△CBE 分别沿DE 和CE 折起，使AE 和BE 重合，设A 与B 重合的点为P ，则面PCD 与面ECD 所成的二面角的大小为 ．7．若P 为1200的二面角βα--l 内一点，P 到βα,的距离分别为6、9，则P 到棱l 的距离为 ． 8．把半径为1的4个小球叠成两层放在桌面上，使下层3个，上层1个，且两两相切，则上层小球最高点到桌面的高度为 ． 解答题9．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为l ，点M 、N 分别为BB 1、B 1C 1的中点，求直线MN 与正方体的体对角线AC 1所在直线的距离．10．三棱柱ABC —A 1B 1C 1的九条棱全部都等于1，且∠A 1AB ＝∠A 1AC ＝∠BAC ．点P 是侧面A 1ABB 1的对角线A 1B 上一点，A 1P ＝33，连结PC 1，求直线PC 1与AC 所成的角的大小．11．点正为正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱BC 的中点，F 为AA 1上的点，并且211 FA F A ．求面B 1EF 与上底面A 1B 1C 1D 1所成的二面角的大小．12．已知三棱锥S —ABC 的底面是一个边长为24的正三角形，侧棱SC ⊥面ABC ，且SC = 2，E 、D 分别为BC 与BA 的中点．求异面直线CD 与SE 之间的距离．B组13．已知正三棱柱ABC-A：B：C：中，AC = 6，CC1 = 8，D为AC的中点，求异面直线BD与AC1的距离．14．在棱长都相等的四面体A—BCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，连结AF、CE．（1）求异面直线AF、CE所成的角的大小；（2）求CE与底面BCD所成角的大小．15．设l 、m 是两条异面直线，在l 上有A 、B 、C 三点，且AB ＝BC ，过A 、B 、C 分别作m 的垂线AD 、BE 、CF ，垂足依次为D 、E 、F ，已知AD ＝15，BE ＝27，CF ＝10，求l 与m 的距离．16．已知平面α以及不在α上的两点A 、B ，试确定α上的一点P ，使得∠APB 最大．。
第二十七讲空间角与距离
第二十七讲 空间中的角与距离※基础知识一．空间角的计算空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次为(0°，90°]、[0°，90°]和[0°，180°]。
1.两条异面直线所成的角：求法：○1先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；○2通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是]2,0(π，向量所成的角范围是],0[π，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角2.直线和平面所成的角：求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。
除特殊位置外，主要是指平面的斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法” 3.二面角的证明与计算：解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成为解题的关键。
通常的作法有：（Ⅰ）定义法；（Ⅱ）利用三垂线定理或逆定理；（Ⅲ）自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法．此外，当作二面角的平面角有困难时，可用射影面积法解之，cos ＝SS '，其中S 为斜面面积，S ′为射影面积， 为斜面与射影面所成的二面角二．空间距离的计算1.点到平面的距离：平面外一点P 在该平面上的射影为P ′，则线段PP ′的长度就是点到平面的距离； 求法：（1）“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。
（2）等体积法。
2.直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离； 3.平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，即一个平面上任意一点到另一平面的距离叫做这两个平行平面的距离。
※典型例题题型一：空间角的计算例1.如图，已知点P 在正方体ABC D －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，∠PDA=60°。
1_高考专题空间角和距离的计算
高考专题：空间角和空间距离的求法一． 直线和平面所成的角1.定义：直线和平面所成的角，应分三种情况（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指这条直线和它在平面上的射影所成的锐角；（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角为。
90（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角为。
由此可知，直线和平面所成角的范围是]2,0[π，斜线和平面所成的角的范围是]2,0π（ 2.求斜线和平面所成角的方法方法一：定义法或几何法： 斜线和平面所成的角是一个直角三角形的锐角，它的三边分别是平面的垂线、斜线和斜线在平面上的射影，通过斜线上的某个点作出平面的垂线、垂足和斜足的连线是斜线在平面上的射影，这里引平面的垂线，确定垂足的位置是产生线面角的关键。
常借助以下两个方法确定垂足：A: 借助面面垂直的性质：若两个平面垂直，则在第一个平面内的一点在第二个平面内射影在两平面的交线上且垂直于交线。
B ：用二面角的平面角的性质：平面角的一边上任意一点到另一边的距离都垂直于第二边所在的平面；方法二：三弦公式法：如图，已知PA 与PB 分别是平面α的垂线和斜线，在平面α内过斜足B 任意引一直线BC ，设θθθ=∠=∠=∠PBC ABC PBA ,,21，有21cos cos cos θθθ⋅=。
方法三：虚拟高法：不需要做出所求线面角，而是先确定出斜线上的某点到斜足的距离L,再求出该点到已知平面的距离d （可用转化法或向量法求得）；设斜线与平面所成的角为θ，则Sin θ=Ld.一般的当线面角不易做出时常用该法。
方法四：空间向量法：建立恰当的空间直角坐标系，设直线的方向向量为，平面的法向量为，所求线面角为θ；则=θsin二． 二面角1.定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，二面角的大小是通过其平面角来度量的，而二面角的平面角需要具有以下三个特点： （1）顶点在棱上；（2）两边分别在两个面内；（3）角的两边都与棱垂直。
立体几何中的向量方法求空间角和距离
基础知识・自主学习I要点梳理知识冋顾理消救材1.空间向量与空间角的关系(1)已知异面直线11, 12的方向向量分别为S i, S2,当0<< Si, S2>< ，直线11与12的夹角等于〈S i, S2〉当n< < Si, S z>< n时，直线l1与l2的夹角等于n—< S1, S2 >.⑵已知平面n和n的法向量分别为n1和敗，当0<< n1, n2>< ，平面n与n的夹角等于〈n i, n2〉n当2< < n 1,敗〉^ n时，平面n与n的夹角等于兀―〈n i，n2>.⑶已知直线I的方向向量为S,平面n的法向量为n, 则直线l与平面n的夹角sin 0= |cos〈 s, n > |.2.距离公式点到直线的距离公式：d= . |PA|2—|P A S of.点到平面的距离公式：d= |PA n o|.I夯基释疑夯实基础突破疑砒1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“V”或“X”(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面的夹角.n(4)两异面直线夹角的范围是(0,刁，直线与平面所成角的范围是⑸直线I的方向向量与平面a的法向量夹角为120 °则I和a所成角为30°2.已知二面角a—I —B的大小是n, m, n是异面直线，且m丄a, n丄伏则m,3n所成的角n B.nnC.2nD.6|OP n| |n ||— 2— 6 + 2| =2,故选 B.• cos 〈 n , a >又I 与a 所成角记为 0,即 sin = |cos 〈 n , a >4 5133答案 B解析 ■/ m 丄a, n 丄B,•••异面直线m , n 所成的角的补角与二面角 a-1- B 互补.又•••异面直线所成角的范围为(0,彳, • m , n 所成的角为33.在空间直角坐标系 Oxyz 中，平面OAB 的一个法向量为n = (2, — 2,1),已知点P( — 1,3,2), 则点P 到平面OAB 的距离d 等于 ()A . 4B . 2C . 3D . 1答案 B解析 P 点到平面OAB 的距离为4.若平面a 的一个法向量为n = (4,1,1)，直线l 的一个方向向量为 a = (— 2, — 3,3)，则I 与 a 所成角的正弦值为 _______________________ . 答案解析 •/ na =— 8— 3 + 3 = — 8, |n |=“ 16+ 1 + 1 = 3 2, |a |= ” ‘4+ 9 + 9 = .22,n a ―84^/11|n| |a |= 3 2X 22=—335 . P 是二面角a — AB — B 棱上的一点，分别在平面a B 上引射线PM 、PN ，如果/ BPM =/ BPN = 45° / MPN = 60° 那么平面 a 与B 的夹角为 _________ . 答案 90° 解析不妨设PM = a , PN = b ,如图，A作ME 丄AB 于E , NF 丄AB 于F ,•••/ EPM = / FPN = 45° •PE =, PF = -22b ,E为CC i的中点，则异面直线B.嚅C並C. 103 10D.^思维启迪本题可以通过建立空间直角坐标系，利用向量BC I、AE所成的角来求. 答案B解析建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C i(0,2,2). BC i= (—1,0,2),Al= (—i,2,i),cos〈BC i, AE >BC i A E 30D,G/Hi/I11111/E C y|BC I||AE|10 -求解，而两异面直线所成角的范围是，两向量的夹角a的范围是［0, n,所以要注意二者的区别与联系，应有cos 0= |cos a|.已知直四棱柱ABCD —A1B1C1D1中，底面ABCD 为正方形，AA1= 2AB, E 为AA i的中点，则异面直线BE与CD i所成角的余弦值为10 D.；—> —> —> —> —> —>EM FN = (PM —PE) (PN—PF)=PM PN —PM PF —PE PN+PE PF=abcos 60 —ax^bcos 45 —乎abcos 45 +^axab ab—辿 + ab= 0O 1 O 5••• EM丄FN , •••平面a与B的夹角为90°题型分类・深度剖析题型一求异面直线所成的角【例 1 长方体ABCD —A I B I C I D I中，AB= AA i= 2, AD = 1,BC i与AE所成角的余弦值为所以异面直线BC i与AE所成角的余弦值为誉.思维升华用向量方法求两条异面直线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来1B.5答案C解析如图，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系.设AA i = 2AB = 2,则B(1,1,0), E(1,0,1), C(0,1,0), D i(0,0,2),•-BE = (0,- 1,1),••• cos 〈 BE , C D 1 >1 +2 = 3后2 • 5= 10题型二求直线与平面所成的角［例 2】如图，已知四棱锥 P — ABCD 的底面为等腰梯形， AB // CD ,AC 丄BD ，垂足为H , PH 是四棱锥的高，E 为AD 的中点. (1) 证明：PE 丄BC ;(2) 若/ APB = /ADB = 60 °求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值.思维启迪：平面的法向量是利用向量方法解决位置关系或夹角的关键，本题可通过建立 坐标系，利用待定系数法求出平面PEH 的法向量.(1)证明 以H 为原点，HA , HB , HP 所在直线分别为x , y , z 轴, 线段HA 的长为单位长度，建立空间直角坐标系(如图),则 A(1,0,0) , B(0,1,0).设 C(m,0,0), P(0,0, n) (m<0, n>0)，则 D(0, m,0), E ；,罗,0 . 可得 PE = 2,罗,-n , BC = (m ,- 1,0).因为 PE BC = m — m + 0 = 0,所以 PE 丄 BC.⑵解由已知条件可得 m = —_3故 C -于，0 0 , D 0，—于，0 , E J ,*, 0,P(0,0,1). 设n = (x , y , n H E = 0, 则Sgx -吕=0,』HP = 0, Z= 0.C D i = (0，- 1,2),yAC 丄BD,BC= 1 ,AD = AA1= 3.因此可以取n = (1, - 3, 0).又PA= (1,0, - 1), 所以|cos < F A, n〉1=乎.一迈所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为丁.思维升华利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角.虽21,1 汙― （2013 湖南）如图，在直棱柱ABCD —A1B1C1D1中，AD // BC,/ BAD = 90°(1) 证明：AC 丄B1D;(2) 求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.方法一(1)证明如图，因为BB1丄平面ABCD , AC 平面ABCD，所以AC丄BB1.又AC丄BD，所以AC丄平面BB1D, 而B1D 平面BB1D，所以AC丄B1D.⑵解因为B1C1 // AD,所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为9).如图，连接A1D，因为棱柱ABCD —A1B1C1D1是直棱柱，且 / B1A1D1= / BAD = 90°从而Rt △ ABC s Rt △ DAB，故AB = DA =BCAB，所以A i B i丄平面ADD I A I，从而A i B i丄AD i.又AD = AA i= 3，所以四边形ADD i A i是正方形.于是A i D丄AD i,故AD i丄平面A i B i D，于是AD i丄B i D. 由⑴知，AC丄B i D，所以B i D丄平面ACD i. 故/ ADB i= 90°—0,在直角梯形ABCD中，因为AC丄BD，所以/ BAC = Z ADB.即AB= , DA BC = 3.连接AB i，易知△ AB i D 是直角三角形，且B I D2= BB2+ BD2= BB?+ AB2+ AD2= 2i，即B i D = 2i.AD 3 vf2i在Rt△ AB i D 中，cos Z ADB i= =21 = ^^，即cos(90 ° 0= 从而sin 0=一即直线B i C i与平面ACD i所成角的正弦值为一尹.方法二⑴证明易知，AB，AD，AA i两两垂直.如图，以 A 为坐标原点，AB，AD，AA i所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设AB= t，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,0,0)，B i(t,0,3)，C(t,i,0)，C i(t,i,3)，D(0,3,0)，D i(0,3,3).从而E h D = (—1,3，—3)，AC= (t,i,0)，BD = (—t,3,0).因为AC丄BD，所以A C E B D = —t2+ 3 + 0= 0，解得t= .3或t =—,3(舍去).于是B T D = (—.3，3，—3)，AC= ( . 3，i,0)，因为AC B i D = —3+ 3 + 0= 0，(2)解 由 AC = CB =-^AB 得， 以C 为坐标原点，CA 的方向为 方向，CC 1的方向为z 轴正方向,AC 丄 BC.x 轴正方向，CB 的方向为y 轴正建立如图所示的空间直角坐标系sin 0= |cos 〈 n , B 1C 1 > |=n B 1C 1|n | |E h C 1| _ .3_ .21=7= 7即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为21 7题型三求两个平面的夹角【例3】(2013课标全国II )如图，直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中,J 2AB , BB 1 的中点，AA 1 = AC = CB =-^AB. (1) 证明：BC 1 〃 平面 A 1CD ;(2) 求平面A 1CD 与平面A 1CE 夹角的正弦值.思维启迪 根据题意知/ ACB = 90°故CA 、CB 、C®两两垂直，可以 C 为原点建立空 间直角坐标系，利用向量求两个平面的夹角.(1)证明 连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点. 又D 是AB 的中点，连接DF ，则BC 1 // DF . 因为DF 平面A 1CD , BC 「平面A 1CD , 所以BC 1 //平面A 1CD.所以AC 丄B i D ，即AC 丄B i D.⑵解 由⑴知，AD i = (0,3,3), AC= ( 3, 1,0), B i C i = (0,1,0).设n = (x , y , z)是平面ACD i 的一个法向量， n A C = 0, 3x + y = 0,则$，即丫n AD i = 03y+3z= 0,令 x = 1，则 n = (1, -3, 3).设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为0,则D ,C|C可取m = (2,i,—2).从而cos〈n, m> ~~，故sin〈 n, m>6 3 .Cxyz.设CA= 2,贝U D(1,1,0), E(0,2,1), A i(2,0,2),CD = (1,1,0), CE = (0,2,1), CA i= (2,0,2).设n= (x i, y i, z i)是平面A i CD的法向量,n CD = 0, x i + y i = 0,则即可取n= (i, - i,—i).n CA i= 0, 2xi+ 2zi =0.同理，设m是平面A i CE的法向量,m CE = 0, 则Tm CA i= 0.所以平面A i CD与平面A i CE夹角的正弦值为思维升华求平面间的夹角最常用的方法就是分别求出两个平面的法向量，然后通过两n 个平面的法向量的夹角得到所求角的大小，但要注意平面间的夹角的范围为[0,刁.吕I」H如图，在圆锥PO中，已知PO= 2, O O的直径AB= 2,C是；的中点，D为AC的中点.(1)证明：平面POD丄平面FAC;(2)求平面ABF与平面ACF夹角的余弦值.(1)证明如图，以O为坐标原点，OB, OC, OF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则O(0,0,0), A( —1,0,0),B(1,0,0), C(0,1,0), P(0,0, 2), D(—2, 2 0).设n i = (x i, y i, z i)是平面POD的一个法向量，则由n i OD = 0, n i OP = 0,lie —2xi + 2y i=,得2 2 (■：；'2 z i= 0.所以平面ABP与平面ACP夹角的余弦值为10 5所以z i = 0, x i = y i，取y i = 1,得n i = (1,1,0).设n2=(X2, y2, Z2)是平面PAC的一个法向量,则由n2 PA= 0, n2 PC= 0,| —X2—■.”'2Z2= 0,得y2 —：；.；2z2= 0.所以X2=—2z2, y2= ,2z2.取z> = 1,得n2= (—2, 2, 1).因为n 1 n2= (1,1,0) (—2, 2, 1)= 0,所以m丄n2•从而平面POD丄平面PAC.⑵解因为y轴丄平面FAB,所以平面PAB的一个法向量为n3= (0,1,0).由(1)知，平面PAC的一个法向量为n2= ( —2, 2, 1). 设向量n2和n3的夹角为0,则C0S 9=|器3|=€=甲.题型四求空间距离【例4 已知正方形ABCD的边长为4, CG丄平面ABCD , CG = 2, E, F分别是AB, AD的中点，则点C到平面GEF的距离为___________ .思维启迪所求距离可以看作CG在平面GEF的法向量的投影.答案*解析建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz,n=(1,1,3)所以点C到平面GEF的距离为d=嘗6 11 11则CG = (0,0,2)，由题意易得平面GEF的一个法向量为思维升华求点面距一般有以下三种方法:②等体积法；③向量法.其1.①作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离; 中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便.亍心讥IY4 （2012大纲全国改编）已知直四棱柱 ABCD — A I B I C I D I 中，底面 ABCD 为正 方形，AB = 2, CC 1 = 2 2, E 为C®的中点，则点 A 到平面BED 的距离为 （）A . 2 B. 3C. ,2D . 1答案 D解析 以D 为原点，DA 、DC 、DD i 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 (如图)，贝U D(0,0,0), A(2,0,0), B(2,2,0), C(0,2,0), C i (0,2,2 .2), E(0,2 ,,2).设n = (x , y , z)是平面BED 的法向量.n BD = 2x + 2y = 0 则S T.DE = 2y+V2z = 0取y = 1，贝U n = （— 1,1, — .2）为平面BED 的一个法向量. 又 D A = （2,0,0）,•••点A 到平面BED 的距离是|n D A|l— 1x 2+ 0+ 0||n |'.；—12+ 12+ — ,22=答题按板系列8利用空间向量求角典例：（12分）（2013江西）如图，四棱锥 P — ABCD 中，PA 丄平面 ABCD , E 为BD 的中点，G 为PD 的中点，△ DABDCB , EA = EB = AB = 1 , PA = 3，连接 CE 并延长交 AD 于F.6G⑴求证：AD丄平面CFG ;(2)求平面BCP与平面DCP夹角的余弦值.思维启迪(1)可利用判定定理证明线面垂直；(2)利用AD、AP、AB两两垂直建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量，利用向量夹角求两个平面BCP、DCP夹角的余弦值.规范解答(1)证明在厶ABD中，因为E为BD的中点，所以EA= EB = ED = AB= 1 ,n故/ BAD = 2，n3'/ ABE = / AEB =-因为△ DAB也厶DCB，所以△ EABECB ,n从而有 / FED = Z BEC = Z AEB =-,3所以Z FED = Z FEA. [2分] 故EF 丄AD , AF = FD ,又因为PG = GD，所以FG // FA.又FA丄平面ABCD ,[4分] 所以GF丄AD,故AD丄平面CFG. [6分]⑵解以A为坐标原点建立如图所示的坐标系,[9分] [10 分][12 分]则 A(0,0,0) , B(1,0,0), C 号，于，0 ,D(0, ,3, 0), P 0, 0, 2 , 故BC =扌冷,0, Cp = -2,设平面BCP 的法向量为 n i = （X i , y i , Z i ）,n i CP = 0 则 -n i BC = 0令 y i = — ,3,贝V X i = 3, Z i = 2, n i = （3，— 3, 2）. 同理求得面DCP 的法向量为n 2= （i ,,3, 2）,从而平面BCP 与平面DCP 夹角0的余弦值为 ,I n i n 2|4 卫cos Fsg n 2〉= |n i ||n 2= 4X 2=〒利用向量求空间角的步骤 第一步：建立空间直角坐标系. 第二步：确定点的坐标.第三步：求向量（直线的方向向量、平面的法向量）坐标. 第四步：计算向量的夹角（或函数值）. 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角.第六步：反思回顾•查看关键点、易错点和答题规范.温馨提醒 (1)利用向量求角是高考的热点，几乎每年必考，主要是突出向量的工具性作用.GD—3电I 2， 2，0. [8分](2) 本题易错点是在建立坐标系时不能明确指出坐标原点和坐标轴，导致建系不规范.(3) 将向量的夹角转化成空间角时，要注意根据角的概念和图形特征进行转化，否则易错.思想方法・感悟提高方法与技巧1 .用向量来求空间角，各类角都可以转化为向量的夹角来计算.2 .求点到平面的距离，若用向量知识，则离不开以该点为端点的平面的斜线段.失误与防范1 .利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角.因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同.2 .求点到平面的距离，有时利用等体积法求解可能更方便.B i D 和CD i 所成的角( )、选择题1.已知正方体ABCD — A i B i C i D i 如图所示，则直线为 A . 60 ° B . 45 ° C . 30 ° D . 90 °答案 D解析 以A 为原点，AB 、AD 、AA i 所在直线分别为x , y , z 轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为i ,则射线CD i 、B i D 的方向向量分别是 CD i = (-i,O,i),•••直线B i D 和CD i 所成的角为90°2 .如图，四棱锥 S — ABCD 的底面为正方形，SD 丄底面ABCD ，则下列 结论中不正确的是 ()A . AC 丄 SB B . AB //平面 SCDC . SA 与平面SBD 所成的角等于 SC 与平面SBD 所成的角 D . AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角 答案 D解析 •••四边形ABCD 是正方形，• AC 丄BD. 又••• SD 丄底面 ABCD , • SD 丄AC.其中SD A BD = D , • AC 丄平面SDB ，从而 AC 丄SB. 故A 正确；易知 B 正确；设 AC 与DB 交于O 点，连接SO.则SA 与平面SBD 所成的角为/ ASO , SC 与平面SBD 所成的角为/ CSO ,练出高分A 组专项基础训练 (时间：40分钟)B i D = (— i,i ,i),COS 〈 CD i , B i D >i + 0— i 2X- 3= 0,SA. i2nB.nnC.4nD.6答案B解析如图所示：iS ABC = 2 X ■. 3 X•.：：.；: 3 X. nsin 3=3“ 34A： 2B.3 C逅C. 3答案解析以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,设棱长为i,1则A i(0,0,i), E i , 0, 2 , D(0,i,0),Eft •-心=(0,i, —i) , A T E= i, 0, —2 ,设平面A i ED的一个法向量为n i= (i, y, z), y—z= 0 ,则i|i —2z= 0 ,y= 2,z= 2..n i= (1,2,2).•••平ABCD 的一个法向量为2n2= (0,0,i) , . cos〈n i ,血〉=23.所以平面A i ED与平面ABCD夹角的余弦值为2 3.在四面体P —ABC中,PA, PB, PC两两垂直,设PA = PB= PC = a,则点P到平面ABC又0A= OC, SA= SC,.•./ ASO= / CSO.故C正确；由排除法可知选 D.93. （2013山东）已知三棱柱ABC —A i B i C i的侧棱与底面垂直，体积为4底面是边长为.3的正三角形•若P为底面A i B i C i的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）VABC—A i B i C i = S\BC X OP = 3-43 X OP = 4, /. OP = _ 3. 又OA= ~2^X ,3X1= i, tan/ OAP = OA = .3,—/ 兀/ n又0< / OAP<2, OAP = 3.2 3余弦值为在正方体ABCD —A i B i C i D i中，点E为BB i的中点，则平面A i ED与平面ABCD夹角的的距离为A•身 B.fa C.3 D. 6a答案B解析根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系Pxy z,则P(0,0,0)，A(a,O,O)，B(0，a,0)，C(0,0，a).过点P作PH丄平面ABC，交平面ABC于点H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离.PA = PB= PC, ••• H ABC 的外心.又•••△ ABC为正三角形，• H ABC的重心，可得H点的坐标为(3，3，3)• PH - ... 3- 02+ a - 0 2+ 3 - 0 2詔a.•••点P到平面ABC的距离为-^a.二、填空题6. 已知两平面的法向量分别为_______________________________ m = (0,1,0), n= (0,1,1)，则两平面夹角的大小为 ____________________________________________ 答案n4m n 2 n解析cos〈m, n>=丽厂T，•〈m，n>=；.•两平面夹角的大小为n7. 如图所示，在三棱柱ABC—A i B i C i中，AA i丄底面ABC, AB = BC= AA i,/ ABC = 90°点E、F分别是棱AB、BB i的中点，则直线EF和BC i所成的角是_________ .答案60°解析以BC为x轴，BA为y轴，BB i为z轴，建立空间直角坐标系. 设AB = BC = AA i = 2,则C i(2,0,2), E(0,i,0), F(0,0,i),则E F = (0,- i,i), B C i= (2,0,2),•- EF BC i= 2,RBcos〈E F, B C1> 2 _ 1 -,2X2*2—2,答案3,5 i0解析以A为坐标原点，AB、AD、AA i所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，小i i则A i(0,0,i)，E(i,0，2)，F(2, i,0), D i(0,i,i).• A?E_ (1,0,—2), A?D i_ (0,1,0).设平面A i D i E的一个法向量为n_ (x, y, z),n A T E _ 0, 则n A i D i_ 0,1x —2z_ 0, 即2y_ 0.••• EF和BC i所成的角为60°8. 正方体ABCD —A i B i C i D i的棱长为1 , E、F分别为BB「CD的中点，则点F到平面AQ i E的距离为________令z_ 2，贝y x_ 1..・.n_ (1,0,2).又心_ (2, 1, —1),•••点F到平面A i D i E的距离为T1_ 心n I_〔2 —2|_ d_|n| _ 5 _10 .三、解答题9. 如图，四棱锥P—ABCD中，PD丄平面ABCD , PA与平面ABD所成的角为60°,在四边形ABCD 中，/ ADC _/ DAB _ 90° AB _ 4,CD _ 1 , AD _ 2.(1) 建立适当的坐标系，并写出点B, P的坐标;(2) 求异面直线PA与BC所成的角的余弦值.解(1)建立如图空间直角坐标系,•••/ ADC _ Z DAB _ 90°AB_ 4, CD_ 1, AD _ 2,a • A(2,0,0), C(0,1,0), B(2,4,0)..13 13，•异面直线PA与BC所成的角的余弦值为.13 13 .由PD丄平面ABCD，得/ FAD为PA与平面ABCD所成的角,•••/ FAD = 60°在Rt△ FAD 中，由AD = 2,得PD = 2.3, • P(0,0,2 . 3).—> ——>(2) •/ FA = (2,0，- 2 3), BC= (- 2,- 3,0),• cos〈PA, BC〉2 X - 2 + 0X -3 + - 2^3 X 04 .1310. (2013天津)如图，四棱柱ABCD - A1B1C1D1中，侧棱A1A丄底面ABCD , AB // DC , AB 丄AD , AD = CD = 1 , AA1 = AB= 2, E 为棱AA1的中点.(1) 证明：B1C1 丄CE;(2) 求二面角B1 - CE - C1的正弦值；(3) 设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为¥，求线段AM的长.方法一如图，以点A为原点，以AD, AA1, AB所在直线为x轴, y轴，z轴建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0), B(0,0,2) ,C(1,0,1),B1(0,2,2), C1(1,2,1), E(0,1,0).(1)证明易得B?C1 = (1,0, - 1), CE= ( - 1,1, - 1),于是B1C1C E =0,所以B1C1丄CE.(2)解B1C = (1 , - 2, - 1).设平面BQE的法向量m= (x, y, z),m B1C= 0, ]x-2y-z= 0,则即消去x,得y+ 2z= 0，不妨令z= 1，可得一个法m CE = 0, -x+ y-z=°.向量为m= (- 3,- 2,1).由(1)知，B1C1 丄CE，又CC1 丄B1C1，可得B1C1 丄平面CEC1, 故BQ1= (1,0，—1)为平面于是cos 〈 m, B i C i 〉 m B i C i|m | |B i C i |从而 sin 〈m , B ?C i 〉=亠尹sin 0= |cos 〈 AM , AB 〉|= AM AB||AM| |A B|于是-6，解得匸*（负值舍去）, CEC i 的一个法向量.所以二面角B i - CE - C i 的正弦值为亡尹 ⑶解 AE =（o,i,o ）, E C i =（i,i,i ），设E M = ?E C i =（入入为,o w 庄i ,有AM = AE + EM 可取AB = （0,0,2）为平面ADD i A i 的一个法向量.设B 为直线AM 与平面ADD i A i 所成的角，则所以AM = 2.方法二（1）证明因为侧棱CC i丄底面A i B i C i D i, B i C i平面A i B i C i D i，所以CC i丄B i C i.经计算可得B i E = .5, B i C i= .2, EC i=v3,从而B i E2= B i C i+ EC i,所以在△ B i EC i中，B i C i丄C i E,又CC i, C i E 平面CC i E, CC i Q C i E = C i,所以B i C i丄平面CC i E,又CE平面CC i E，故B i C i丄CE.⑵解过B i作B i G丄CE于点G,连接C i G.由⑴知，B i C i丄CE,故CE丄平面B i C i G，得CE丄C i G , 所以/ B i GC i为二面角B i-CE —C i的平面角.在Rt △ B1C1G 中, B i G ='42 3即二面角B i—CE —C i的正弦值为亠号.⑶解连接D i E,过点M作MH丄ED i于点H ,可得MH丄平面ADD i A i,连接AH , AM , 则/ MAH为直线AM与平面ADD i A i所成的角.设AM = x,从而在Rt△ AHM中，有在Rt△ C i D i E 中，C i D i = i, ED i = , 2,得EH = ,2MH = 3X.在厶AEH 中，/ AEH = i35° AE = i,由AH2= AE2+ EH2—2AE EHcos i35 °得珞（=i+9/+承整理得5x2— 2 2x— 6 = 0，解得x = ■, 2（负值舍去）.所以线段AM的长为.2.所以sin / B i GC i =• cos〈F D i, OE >〔+ 2=VT55 • 3= 5B组专项能力提升(时间：30分钟)1.过正方形ABCD的顶点A作线段PA丄平面ABCD ,若AB= PA,则平面ABP与平面CDP的夹角大小为A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案B解析建立如图所示的空间直角坐标系，设AB= PA= 1,知A(0,0,0) , B(1,0,0), D(0,1,0), C(1,1,0), P(0,0,1)由题意得，AD丄平面ABP,设E为PD的中点，连接AE,贝U AE丄PD ,又••• CD丄平面PAD, ••• AE丄CD,又PD A CD = D, • AE 丄平面CDP.• AD = (0,1,0), AE = (0, 2 , 2)分别是平面ABP、平面CDP的法向量,而〈AD, AE〉= 45°•平面ABP与平面CDP的夹角大小为45° 2 .在棱长为2的正方体ABCD —A i B i C i D i中，0是底面ABCD的中点，E, F分别是CC i,AD的中点，那么异面直线0E和FD i所成的角的余弦值等于 _____________ .答案严5解析以D为原点，分别以DA、DC、DD i为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，•F(1,0,O), D i(0,0,2), O(1,1,0), E(0,2,1),•F D i= (—1,0,2),OE = (—1,1,1),3. ________________________________________________________________________ 设正方体ABCD —A i B i C i D i的棱长为2，则点D i到平面A i BD的距离是_________________________DA I =(2,0,2), DB =(2,2,0),设平面A I BD的一个法向量n = (x, y, z),n DA I=2X+ 2z= 0 则S T .n DB = 2x+ 2y= 0令x= 1，贝U n= (1, - 1,- 1),•••点D1到平面A1BD的距离为.ID^A1 n| 2 23d |n| .3 3 .4. 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P—ABCD中，AD // BC,Z ABC=90° PA丄平面ABCD , PA = 3, AD = 2, AB = 2羽，BC= 6.(1)求证：BD丄平面PAC;(2)求平面BPD与平面ABD的夹角.(1)证明如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0) , B(2 3, 0,0),C(2 .3, 6,0), D(0,2,0), P(0,0,3),• A P =(0,0,3), A C = (2西，6,0), BD = (- 2亞,2,0).•- BD AP = 0, BD AC= 0.• BD 丄AP, BD 丄AC.又••• FA Q AC= A, • BD丄平面FAC.⑵解设平面ABD的法向量为m= (0,0,1), 平面PBD的法向量为n = (x, y, z),则n BD = 0, n BP = 0.答案2333解析如图建立空间直角坐标系,则D I(0,0,2) , A i(2,0,2), D(0,0,0), B(2,2,0), D1A1 = (2,0,0),••• BP = (- 2 3, 0,3), •••-2 3x+ 2y= 0,-2 3x+ 3z= 0, 丫=晶,解得\ =塑Z= 丁x.令x= .3，则n= ( .3, 3,2),m-n 1• cos〈 m, n > = ----- =一|m||n| 2•••平面BPD与平面ABD的夹角为60°(3)证明：在线段 5. (2013北京)如图，在三棱柱 ABC — A i B i C i 中，AAQ I C 是边长为4的正方形.平面 ABC 丄平面AA 1C 1C , AB = 3, BC = 5.(1)求证：AA i 丄平面ABC ;⑵求平面A 1BC 1与平面BB 1C 1夹角的余弦值;BD BC 1上存在点D ，使得AD 丄A 1B ，并求 的值. BC 1(1)证明 在正方形 AA 1C 1C 中，A 1A 丄AC.又平面ABC 丄平面AA 1C 1C ，且平面ABC 门平面AA 1C 1C = AC , ••• 丄平面 ABC.(2)解 在厶ABC 中，AC = 4, AB = 3, BC = 5,••• BC 2 = AC 2+ AB 2, AB 丄AC•以A 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 Axyz. A 1(0,0,4), B(0,3,0), C 1(4,0,4), B 1(0,3,4), A 1C 1= (4,0,0), A 1B = (0,3 , — 4), B 1C 1 = (4 , — 3,0) , BB 1 = (0,0,4). 设平面 A 1BC 1的法向量 n 1= (X 1 , y 1 , Z 1),平面 B 1BC 1的法向量n 2= (X 2 , y ,Z 2).A 1C 1 n 1 = 0 , 4x 1 = 0• \AB m= 0 脚-4乙=0•取向量 n 1= (0,4,3)f _B 1C 1 n 2= 0, 4x 2 — 3y 2 = 0,由S _ ? $^B _1 n 2= 0 -4z2= °.取向量 n 2= (3,4,0), m n 2 16 16…cos 〈 n 1, n 2〉= 1 1 1 . = = cl2 |n 1| |n 2| 5X 5 25'由题意知二面角 A 1 — BC 1 — B 1为锐角，•平面A 1BC 1与平面BB 1C 1夹角的余弦值为 黒 25 ⑶证明 设D(x , y , z)是直线BC 1上一点，且BD =疋_1.• (x , y — 3, z) = X 4，— 3,4),3— 3 X, 4 A 解得 x = 4 入 y = 3 — 3 入 z = 4 X — AD = (4 人又 AD 丄A i B , ••• 0+ 3(3 — 3R — 16X= 09 BD 9则X=旦，因此BD =— 则 A 25 '因此 BC i 25.。
第7讲 利用空间向量求空间角、空间距离
[注意] 直线与平面所成角的范围为[0，π2]，而向量之间的夹角的范围为 [0，π]，所以公式中要加绝对值．
6
利用空间向量求空间角、空间距离
《高考特训营》 ·数学 返 回
3．二面角
(1)若 AB，CD 分别是二面角αl-β 的两个平面内与棱 l 垂直的异面直线，
则二面角(或其补角)的大小就是向量A→B与C→D的夹角，如图①.
逻辑推理
的距离问题和简单夹角问题.
2.平面与平面的夹 数学运算
2.了解向量方法在研究立体几何问题中 角(二面角)
直观想象
的作用
3.距离问题
2
利用空间向量求空间角、空间距离
《高考特训营》 ·数学 返 回
01 02
知识特训 能力特训
3
利用空间向量求空间角、空间距离
《高考特训营》 ·数学 返 回
01
知识特训
范围为(0，π)，所以公式中要加绝对值．
5
利用空间向量求空间角、空间距离
《高考特训营》 ·数学 返 回
2．直线与平面所成角 如图所示，设 l 为平面α的斜线，l∩α＝A，a 为 l 的方向向量，n 为平面α 的法向量，θ为 l 与α所成的角，则 sin θ＝|cos 〈a，n〉|＝||aa|·|nn||.
(3)点到平面的距离
《高考特训营》 ·数学 返 回
如 B 到图平所面示，α 已的知距离AB为为|B→平O|面＝_α_|A的→_B_|n一_·_| 条_n_| 斜__线__段．，n 为平面 α 的法向量，则点
11
利用空间向量求空间角、空间距离
《高考特训营》 ·数学 返 回
[记结论·提速能] 【记结论】
9
利用空间向量求空间角、空间距离
(整理)立体几何中角度与距离求法
立体几何中角度距离的求法一 空间向量及其运算 1 .空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝___________. (2)共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔______________ a ⊥b ⇔__________⇔________________________(a ，b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝__________________， cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝__________.设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)， 则d AB ＝|AB →|＝___________. 2.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念①两向量的夹角，已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作____________，其范围是____________，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b __________，记作a ⊥b .②两向量的数量积，已知空间两个非零向量a ，b ，则____________叫做向量a ，b 的数量积，记作__________，即__________________.(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa )·b ＝____________； ②交换律：a·b ＝__________； ③分配律：a·(b ＋c )＝__________.2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是________________________.推论，如图所示，点P 在l 上的充要条件是：OP →＝OA →＋t a ① 其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB →＝a ， 则①可化为OP →＝________或OP →＝(1－t )OA →＋tOB →.(2)共面向量定理的向量表达式：p ＝____________，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点O ，有OP →＝____________或OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →，其中x ＋y ＋z ＝______.(3)空间向量基本定理，如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝____________，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底.二 用向量的方法求角度 (一)知识清单1.直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n·a ＝0n·b ＝0. 2.空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为m 1，m 2，则l 1与l 2所成的角θ满足cos θ＝____________. (2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α所成角θ满足sin θ＝__________.(3)求二面角的大小1°如图①，AB 、CD 是二面角α—l —β的两个面 内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝____________.2°如图②③，n 1，n 2分别是二面角α—l —β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝________________________________________. (二) 题型题型一 求异面直线所成的角例1如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝4，AD ＝3 AA 1＝2.E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB ＝BF ＝1. 求直线EC 1与FD 1所成的角的余弦值.解方法一以A 为原点，AB →、AD →、AA 1→分别为x 轴、y 轴、z 轴的 正向建立空间直角坐标系，则有D 1(0,3,2)，E (3,0,0)，F (4,1,0)， C 1(4,3,2)，于是EC 1→＝(1,3,2)，FD 1→＝(－4,2,2)，设EC 1与FD 1所成的角为β，则：cos β＝|EC 1→·FD 1→||EC 1→|·|FD 1→|＝1×(－4)＋3×2＋2×212＋32＋22×(－4)2＋22＋22＝2114， ∴直线EC 1与FD 1所成的角的余弦值为2114. 方法二延长BA 至点E 1，使AE 1＝1，连接E 1F 、DE 1、D 1E 1、DF ， 有D 1C 1∥E 1E ，D 1C 1＝E 1E ，则四边形D 1E 1EC 1是平行四边形. 则E 1D 1∥EC 1.于是∠E 1D 1F (或补角)为直线EC 1与FD 1所成 的角.在Rt △BE 1F 中， E 1F ＝E 1B 2＋BF 2＝52＋12＝26.在Rt △D 1DE 1中，D 1E 1＝DE 21＋DD 21＝AE 21＋AD 2＋DD 21＝12＋32＋22＝14. 在Rt △D 1DF 中，FD 1＝FD 2＋DD 21＝CF 2＋CD 2＋DD 21＝22＋42＋22＝24. 在△E 1FD 1中，由余弦定理得：cos ∠E 1D 1F ＝D 1E 21＋FD 21－E 1F22×D 1E 1×FD 1＝2114.∴直线EC 1与FD 1所成的角的余弦值为2114. 练习1 如图，在四棱锥O —ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形， ∠ABC ＝π4.OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点.(1)证明：直线MN ∥平面OCD ； (2)求异面直线AB 与MD 所成角的大小.(1)证明作AP ⊥CD 于点P .如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x ， y ，z 轴建立直角坐标系.A (0,0,0)，B (1,0,0)，P ⎝⎛⎭⎫0，22，0，D ⎝⎛⎭⎫－22，22，0， O (0,0,2)，M (0,0,1)，N ⎝⎛⎭⎫1－24，24，0. MN →＝⎝⎛⎭⎫1－24，24，－1，OP →＝⎝⎛⎭⎫0，22，－2，OD →＝⎝⎛⎭⎫－22，22，－2.设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·OP →＝0，n ·OD →＝0.即⎩⎨⎧22y －2z ＝0，－22x ＋22y －2z ＝0.取z ＝2，解得n ＝(0,4，2).∵MN →·n ＝⎝⎛⎭⎫1－24，24，－1·(0,4，2)＝0，∴MN ∥平面OCD .(2)解设AB 与MD 所成角为θ， ∵AB →＝(1,0,0)，MD →＝⎝⎛⎭⎫－22，22，－1，∴cos θ＝|AB →·MD →||AB →|·|MD →|＝12，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴θ＝π3.∴直线AB 与MD 所成的角为π3. 题型二 求直线与平面所成的角例2如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形， ∠ACB ＝90°，侧棱AA 1＝2，D 、E 分别是CC 1、A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G . 求A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值.解建立空间直角坐标系，坐标原点为C ，设CA ＝2a ，则A (2a,0,0)，B (0,2a,0) D (0,0,1)，A 1(2a,0,2)，E (a ，a,1)，G ⎝⎛⎭⎫2a 3，2a 3，13，EG →＝⎝⎛⎭⎫－a 3，－a 3，－23， BD →＝(0，－2a,1)，·BD →＝23a 2－23＝0，∴a ＝1，EG →＝⎝⎛⎭⎫－13，－13，－23，A 1B →＝(－2,2，－2).∵EG →为平面ABD 的一个法向量，且cos 〈A 1B →，EG →〉＝A 1B →·EG →|A 1B →||EG →|＝23，∴A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值是23.练习2如图所示，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝7， 点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，且DE ⊥A 1E . (1)证明：平面A 1DE ⊥平面ACC 1A 1； (2)求直线AD 和平面A 1DE 所成角的正弦值.(1)证明由正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的性质知，AA 1⊥平面ABC .又DE ⊂平面ABC ，所以DE ⊥AA 1.又DE ⊥A 1E ，AA 1∩A 1E ＝A 1， 所以DE ⊥平面ACC 1A 1 .又DE ⊂平面A 1DE ， 故平面A 1DE ⊥平面ACC 1A 1.(2)解 如图所示，设O 是AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐标 系，则相关各点的坐标分别是A (2,0,0)，A 1(2,0，7)， D (－1，3，0)，E (－1,0,0).易知A 1D →＝(－3，3，－7)，DE →＝(0，－3，0)，AD →＝(－3，3，0).设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1DE 的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝－3y ＝0，n ·A 1D →＝－3x ＋3y －7z ＝0.解得x ＝－73z ，y ＝0. 故可取n ＝(7，0，－3).于是cos 〈n ，AD →〉＝n ·AD →|n |·|AD →|＝－374×23＝－218.故直线AD 和平面A 1DE 所成角的正弦值为218. 题型三 求二面角例3如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)求二面角Q —BP —C 的余弦值.(1)证明如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，以AD 、DP 、DC 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Dxyz . 依题意有Q (1,1,0)，C (0,0,1)，P (0,2,0)，则DQ →＝(1,1,0)，DC →＝(0,0,1)， PQ →＝(1，－1,0). 所以PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC →＝0，即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC .又DQ ∩DC ＝D ，所以PQ ⊥平面DCQ . 又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ . (2)解依题意有B (1,0,1)，CB →＝(1,0,0)，BP →＝(－1,2，－1).设n ＝(x ，y ，z )是平面PBC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB →＝0，n ·BP →＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－x ＋2y －z ＝0. 因此可取n ＝(0，－1，－2).同理，设m 是平面PBQ 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BP →＝0，m ·PQ →＝0，可取m ＝(1,1,1).所以cos 〈m ，n 〉＝－155.故二面角Q —BP —C 的余弦值为－155. 练习3如图，在底面为直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ， ∠ABC ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6. (1)求证：BD ⊥平面P AC ； (2)求二面角P —BD —A 的大小.(1)证明 如图，建立坐标系，则A (0,0,0)，B (23，0,0)，C (23，6,0)， D (0,2,0)，P (0,0,3)，∴AP →＝(0,0,3)，AC →＝(23，6,0)，BD →＝(－23，2,0). ∴BD →·AP →＝0，BD →·AC →＝0. ∴BD ⊥AP ，BD ⊥AC . 又∵P A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥面P AC .(2)解设平面ABD 的法向量为m ＝(0,0,1)，设平面PBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ·BD →＝0，n ·BP →＝0.∵BP →＝(－23，0,3)，∴⎩⎨⎧－23x ＋2y ＝0，－23x ＋3z ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，z ＝233x .令x ＝3，则n ＝(3，3,2)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n |＝12. ∴二面角P —BD —A 的大小为60°. 二距离的求法 1.点面距的求法①垂面法：借助面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键 ②等体积法，转化为求三棱锥的高 ③等价转移法；④法向量法.如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量， 则B 到平面α的距离n BA d n⋅=2题型题型一 用向量法求空间距离例1在三棱锥S —ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA ＝SC ＝23，M 、N 分别为AB 、SB 的中点，如图所示. 求点B 到平面CMN 的距离.说明:点到平面的距离，利用向量法求解比较简单，它的理论基础仍出于几何法.如本题，事实上，作BH ⊥平面CMN 于H .由BH →＝BM →＋MH →及BH →·n ＝n ·BM →， ∴|BH →·n |＝|n ·BM →|＝|BH →|·|n |， ∴|BH →|＝|n ·BM →||n |，即d ＝|n ·BM →||n |.解 取AC 的中点O ，连接OS 、OB .∵SA ＝SC ，AB ＝BC ，∴AC ⊥SO ，AC ⊥BO . ∵平面SAC ⊥平面ABC ，平面SAC ∩平面ABC ＝AC ，∴SO ⊥平面ABC ， 又∵BO ⊂平面ABC ，∴SO ⊥BO .如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz ，则B (0,23，0)，C (－2,0,0)，S (0,0,22)， M (1，3，0)，N (0，3，2). ∴CM →＝(3，3，0)，MN →＝(－1,0，2)， MB →＝(－1，3，0). 设n ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧CM →·n ＝3x ＋3y ＝0MN →·n ＝－x ＋2z ＝0，取z ＝1，则x ＝2，y ＝－6，∴n ＝(2，－6，1).∴点B 到平面CMN 的距离 d ＝|n ·MB →||n |＝423.练习1 如图，△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形，平面 MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB ＝2 3 .求点A 到平面MBC 的距离.解 取CD 中点O ，连接OB ，OM ，则OB ⊥CD ，OM ⊥CD . 又平面MCD ⊥平面BCD ， 则MO ⊥平面BCD .取O 为原点，直线OC 、BO 、OM 为x 轴、y 轴、z 轴， 建立空间直角坐标系如图.OB ＝OM ＝3，则各点坐标分别为C (1,0,0)， M (0,0，3)，B (0，－3，0)，A (0，－3，23).设n ＝(x ，y ，z )是平面MBC 的法向量，则BC →＝(1，3，0)，BM →＝(0，3，3)， 由n ⊥BC →得x ＋3y ＝0；由n ⊥BM →得3y ＋3z ＝0.取n ＝(3，－1,1)，BA →＝(0,0,23)， 则点A 到平面MBC 的距离 d ＝|BA →·n ||n |＝235＝2155.题型二 用等体积法求距离例2 已知直二面角E AB D --中，四边形 ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB,F 为CE 上的点，且ACE BF 平面⊥(1) 求证BCE AE 平面⊥, (2) 求二面角E AC B --的大小， (3) 求点D 到平面ACE 的距离练习2、如图，已知正三棱柱ABC —111C B A 的底面边长是2，D 是侧棱1CC 的中点，直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45． （Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长； （Ⅱ）求二面角C BD A --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面ABD 的距离．解：（Ⅰ）设正三棱柱ABC —111C B A 的侧棱长为x ．取BC 中点E ，连AE ．ABC ∆ 是正三角形，AE BC ∴⊥．又底面ABC ⊥侧面11BB C C ，且交线为BC ．AE ∴⊥侧面11BB C C ．连ED ，则直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45ADE ∠=． 在AED Rt ∆中，tan 45AEED==，解得x =此正三棱柱的侧棱长为 注：也可用向量法求侧棱长．（Ⅱ）解法1：过E 作EF BD ⊥于F ，连AF ，⊥AE 侧面,11C C BB ∴AF BD ⊥．AFE ∴∠为二面角C BD A --的平面角 在BEF Rt ∆中，sin EF BE EBF =∠，又 1,sin 3CD BE EBF BD =∠===， ∴EF =． 又AE =∴在AEF Rt ∆中，tan 3AEAFE EF∠==，故二面角C BD A --的大小为arctan3． ABCD1A 1B 1C EF G HI解法2：（向量法，）（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）可知，⊥BD 平面AEF ,∴平面AEF ⊥平面ABD ，且交线为AF ，∴过E 作EG AF ⊥于G ，则EG ⊥平面ABD在AEF Rt ∆中，AE EFEG AF⨯===E 为BC 中点，∴点C 到平面ABD的距离为210EG =． 解法2：取AB 中点H ，连CH 和DH ，由,CA CB =DA DB =，易得平面ABD ⊥平面CHD ，且交线为DH ．过点C 作CI DH ⊥于I ，则CI 的长为点C 到平面ABD 的距离．解法3：等体积变换:由C ABD A BCD V V --=可求． 解法4：（向量法，见后）题（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法： （Ⅱ）解法2：如图，建立空间直角坐标系o 则(0,1,0),(0,1,0),(A B C D -设1(,,)n x y z =为平面ABD 的法向量．由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0,021n n 得0y y ⎧=⎪-=．取1(6,n =-又平面BCD 的一个法向量2(0,0,1).n =∴10101)3()6(1)1,0,0()1,3,6(,cos 222212121=+-+-⨯⋅--=⋅>=<n n n n n n ．结合图形可知，二面角C BD A --的大小为arccos10． （Ⅲ）解法4：由（Ⅱ）解法2，1(6,n =-(0,CA =-∴点C 到平面ABD 的距离d =2221)3()6()1,3,6()3,1,0(+-+---⋅-=＝10302． 练习题1.如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体 1ABCO —A ′B ′C ′D ′，A ′C 的中点E 与AB 的中点F 的 距离为_____22a ___. 2 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝5，AB ＝12，那么直线B 1C 1和平面A 1BCD 1的 距离是___6013_____.3.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别为BB 1、CD 的中点，则点F 到平面A 1D 1E 的距离为__3510______.4.在四面体P ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，设P A ＝PB ＝PC ＝a ，则点P 到平面ABC 的距离为___33a _____. 5.设A (2,3,1)，B (4,1,2)，C (6,3,7)，D (－5，－4,8)，则D 到平面ABC 的距离为___491717_____.6在空间直角坐标系O —xyz 中，平面OAB 的一个法向量为n ＝(2，－2,1)，已知点P (－1,3,2)，则点P 到平面OAB 的距离d 等于( B ) A. 4 B. 2 C .3 D .17已知在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，沿对角线AC 折叠，使面ABC 与面ADC 垂直，求B 、D 间的距离．解方法一如图，过D 、B 分别作DE ⊥AC 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，则由已知条件得AC ＝5，∴DE ＝AD ·DC AC ＝125，BF ＝AB ·BC AC ＝125. ∴AE ＝AD 2AC ＝95＝CF . ∴EF ＝AC －2AE ＝75.∵DB →＝DE →＋EF →＋FB →， ∴|DB →|2＝|DE →＋EF →＋FB →|2 ＝DE →2＋EF →2＋FB →2＋2DE →·EF →＋2DE →·FB →＋2EF →·FB →. ∵面ADC ⊥面ABC ，而DE ⊥AC ，∴DE ⊥面ABC ，∴DE ⊥BF .(8分) ∴|DB →|2＝DE →2＋EF →2＋FB →2＝14425＋4925＋14425＝33725.∴|DB →|＝3375，故B 、D 间的距离为3375方法二过E 作FB 的平行线交AB 于P 点，以E 为坐标原点，以EP 、EC 、ED 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图．则由方法一知DE ＝FB ＝125，EF ＝75.(4分)∴D ⎝⎛⎭⎫0，0，125，B ⎝⎛⎭⎫125，75，0.∴|DB →|＝⎝⎛⎭⎫1252＋⎝⎛⎭⎫752＋⎝⎛⎭⎫－1252＝3375.。
空间几何中的角度与距离计算
空间几何中的角度与距离计算在空间几何中，角度与距离的计算是非常重要的。
通过正确计算角度和距离，我们能够准确描述和分析物体的位置、运动以及相互关系。
本文将介绍空间几何中常用的角度计算方法和距离计算方法。
一、角度计算在空间几何中，角度是表示物体之间相对方向关系的重要指标。
常见的角度计算方法有以下几种：1. 余弦定理余弦定理是计算三角形内角的常用方法之一。
在空间几何中，如果已知三点的坐标，可以通过余弦定理计算出这三个点所形成的夹角。
余弦定理的公式如下：cos A = (b² + c² - a²) / (2bc)其中，A为夹角的大小，a、b、c为夹角对应的边长。
2. 矢量法矢量法是一种基于向量运算的角度计算方法。
通过将空间中的两个向量进行运算，可以得到它们之间的夹角。
常见的向量法角度计算包括点乘法和叉乘法。
（1）点乘法：两个向量的点乘结果等于它们的模长相乘再乘以它们之间的夹角的余弦值。
可以通过点乘法计算向量之间的夹角。
（2）叉乘法：两个向量的叉乘结果等于它们的模长相乘再乘以它们之间的夹角的正弦值。
可以通过叉乘法计算向量之间的夹角。
3. 三角函数在空间几何中，三角函数也是用于角度计算的常用方法之一。
通过正弦、余弦和正切等三角函数的运算，可以计算出角度的大小。
三角函数的计算方法需要先将坐标系进行转换，然后根据坐标的数值，利用相应的三角函数公式进行计算。
二、距离计算在空间几何中，距离是表示物体之间远近程度的重要指标。
常见的距离计算方法有以下几种：1. 欧几里得距离欧几里得距离是空间几何中最常用的距离计算方法。
对于二维或三维空间中的两个点，欧几里得距离可以通过计算它们在各坐标轴上的差值的平方和再开方的方式得到。
欧几里得距离的公式如下：d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²]其中，d为距离，(x₁, y₁, z₁)和(x₂, y₂, z₂)分别为两个点的坐标。
空间几何中的角度与距离计算(续续)
空间几何中的角度与距离计算（续续）在空间几何的研究中，角度与距离的计算是非常重要的一部分。
通过精确计算角度和距离，我们可以解决许多实际问题，包括建筑设计、航空导航、地理测量等领域。
本文将继续介绍一些常见的角度与距离计算方法和应用案例。
四、角度计算方法1. 三角函数法在空间几何中，我们可以通过三角函数来计算角度。
以直角坐标系为例，假设点A（x1, y1, z1）、点O（0, 0, 0）和点B（x2, y2, z2）构成的三个点，我们可以用向量的内积公式来计算它们之间的夹角θ：cosθ = （x1x2 + y1y2 + z1z2）/（√（x1^2 + y1^2 + z1^2）× √（x2^2 + y2^2 + z2^2））通过上述计算公式，我们可以得到点A、O和B之间的夹角θ。
2. 坐标差法如果我们只需计算平面内的角度，可以使用坐标差法进行计算。
假设有两条线段AB和AC，我们可以通过向量差的夹角来计算它们之间的角度。
首先，计算向量AB和向量AC的坐标差，分别为（x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1）和（x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1）。
然后，我们可以利用向量的内积公式计算这两个向量之间的夹角，方法与三角函数法类似。
五、距离计算方法1. 欧式距离法在空间几何中，我们常用欧式距离来计算两个点之间的距离。
对于点A（x1, y1, z1）和点B（x2, y2, z2），它们之间的欧式距离d可以通过以下公式计算：d = √（（x2 - x1）^2 + （y2 - y1）^2 + （z2 - z1）^2）欧式距离法也可以用于计算线段的长度，只需将线段的两个端点坐标代入上述公式即可。
2. 曼哈顿距离法曼哈顿距离也称为城市街区距离，在计算两个点之间的距离时，它不考虑直线距离，而是通过在每个坐标轴上的差值之和来计算距离。
对于点A（x1, y1, z1）和点B（x2, y2, z2），它们之间的曼哈顿距离d可以通过以下公式计算：d = |x2 - x1| + |y2 - y1| + |z2 - z1|曼哈顿距离法常用于城市导航、物流路径规划等领域，因为它更加符合实际路径的特征。
空间向量与立体几何板块四用空间向量计算距离与角度学生版
空间向量与立体几何板块四用空间向量计算距离与角度学生版空间向量是三维几何中的一个重要概念，它能够帮助我们计算两个点之间的距离和角度。
在立体几何中，我们常常需要计算点、直线或者平面之间的距离和角度。
首先，我们来讨论两个点之间的距离。
假设有两个点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，我们可以将这两个点看作两个向量，即AB向量。
这个向量可以表示为：AB=B-A=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)。
那么，AB的长度就是AB向量的模，可以通过计算开方来得到：AB，=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)这个公式就是计算两个点之间距离的空间向量公式。
接下来，我们来讨论两个向量之间的夹角。
假设有两个向量A(a1,a2,a3)和B(b1,b2,b3)，我们可以通过计算它们的点积来得到它们之间的夹角θ：cosθ = (A·B) / (，A，·，B，)其中，A·B表示A向量与B向量的点积，A，表示A向量的长度，B，表示B向量的长度。
通过这个公式，我们可以计算出夹角θ。
如果需要计算夹角的度数，则可以通过使用反余弦函数来得到。
这个公式就是计算两个向量之间夹角的空间向量公式。
在立体几何中，我们可以通过空间向量来解决一些具体的问题。
例如，我们可以利用空间向量来计算平面的交点、判断点是否在平面上、求平面的交线等。
举一个例子来说明如何利用空间向量计算立体几何问题。
假设有一个平面方程为ax + by + cz + d = 0，其中A(a, b, c)是平面上的一个点，N(a, b, c)是平面的法向量。
现在有一个点P(x, y, z)，我们需要判断点P是否在平面上。
我们首先计算AP向量和N向量的点积：AP·N=(x-a,y-b,z-c)·(a,b,c)=a(x-a)+b(y-b)+c(z-c)如果AP·N等于0，则点P在平面上；如果大于0，则点P在平面的一侧；如果小于0，则点P在平面的另一侧。
空间几何中的角和距离的计算
空间角和距离的计算(1)一 线线角1．直三棱柱A 1B 1C 1-ABC ，∠BCA=900，点D 1，F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成角的余弦值．2．在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD=900，AD ∥BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥面ABCD ，PD 与底面成300角．（1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ；（2）若AE ⊥PD ，求异面直线AE 与CD 所成角的大小．二．线面角1．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1、CD 的中点，且正方体的棱长为2．（1）求直线D 1F 和AB 和所成的角；（2）求D 1F 与平面AED 所成的角．B 1D12．在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，四边形AA 1B 1B 是菱形，四边形BCC 1B 1是矩形，C 1B 1⊥AB ，AB=4，C 1B 1=3，∠ABB 1=600，求AC 1与平面BCC 1B 1所成角的大小．三．二面角1．已知A 1B 1C 1-ABC 是正三棱柱，D 是AC 中点．（1）证明AB 1∥平面DBC 1；（2）设AB 1⊥BC 1，求以BC 1为棱，DBC 1与CBC 1为面的二面角的大小．2．ABCD 是直角梯形，∠ABC=900，SA ⊥面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=．（1）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的大小；（2）求SC 与面ABCD 所成的角．3．已知A 1B 1C 1-ABC 是三棱柱，底面是正三角形，∠A 1AC=600，∠A 1AB=450，求二面角B —AA 1—C 的大小．B1B 1BC1空间角和距离的计算(2)四 空间距离计算（点到点、异面直线间距离）1.在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 是BC 的中点，DP 交AC 于M ，B 1P 交BC 1于N ．（1）求证：MN 上异面直线AC 和BC 1的公垂线； （2）求异面直线AC 和BC 1间的距离．（点到线，点到面的距离）2．点P 为矩形 ABCD 所在平面外一点，PA ⊥面ABCD ，Q 为线段AP 的中点，AB=3，CB=4，PA=2，求：（1）点Q 到直线BD 的距离；（2）点P 到平面BDQ 的距离．3．边长为a 的菱形ABCD 中，∠ABC=600，PC ⊥平面ABCD ，E 是PA 的中点，求E 到平面PBC 的距离．C1A（线到面、面到面的距离）4. 已知斜三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的侧面A 1ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC=900，BC=2，AC=23，且AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C ． （1）求侧棱AA 1与底面ABC 所成角的大小；（2）求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的大小； （3）求侧棱B 1B 和侧面A 1ACC 1距离．5．正方形ABCD 和正方形ABEF 的边长都是1，且平面ABCD 、ABFE 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=NB=a （20<<a ）．（1）求MN 的长；（2）当a 为何值时，MN 的长最小．1。
立体几何求角、距离的解法
立体几何求角、距离的解法考点一、空间中的夹角空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次为(0°，90°]、[0°，90°]和[0°，180°]。
（1）两条异面直线所成的角求法：○1先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；○2通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是]2,0(π，向量所成的角范围是],0[π，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角（2）直线和平面所成的角 求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。
除特殊位置外，主要是指平面的斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法”（3）二面角的度量是通过其平面角来实现的解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成为解题的关键。
通常的作法有：（Ⅰ）定义法；（Ⅱ）利用三垂线定理或逆定理；（Ⅲ）自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法．此外，当作二面角的平面角有困难时，可用射影面积法解之，cos ＝SS '，其中S 为斜面面积，S ′为射影面积， 为斜面与射影面所成的二面角例题1：已知边长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 、O 1是上下底面正方形的中心，求二面角O 1-BC-O 的大小。
2：已知边长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为A 1D 1、C 11的中点，求平面EFCA 与底面ABCD 所成的二面角。
点评：利用平面角定义法中特殊位置的线段。
3：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求平面ACD 1与平面BDC 1所成的二面角。
解：设AC 与BD 交于E ，CD 1与C 1D 交于F ，连EF 是所求二面角B-EF-C 的棱，连A 1C ，易证A 1C ⊥平面BDC 1，垂足为H ，取AD 1中点O ，连OC 交EF 于G ，连GH 。
高考数学专题—立体几何(空间向量求空间角与空间距离)
高考数学专题——立体几何（空间向量求角与距离）一、空间向量常考形式与计算方法设直线l,m 的方向向量分别为l ⃗,m ⃗⃗⃗⃗，平面α,β的法向量分别为n ⃗⃗1,n 2⃗⃗⃗⃗⃗. （1）线线角：（正负问题）：用向量算取绝对值（因为线线角只能是锐角）直线l,m 所成的角为θ，则0≤θ≤π2，计算方法：cos θ=l⃗⋅m ⃗⃗⃗⃗|l⃗|⋅|m ⃗⃗⃗⃗|； （2）线面角：正常考你正弦值，因为算出来的是角的余角的余弦值 非正常考你余弦值，需要再算一步。
直线l 与平面α所成的角为θ，则0≤θ≤π2，计算方法：sin θ=|l ⃗⋅n 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗||l⃗|⋅|n ⃗⃗|； (3)二面角：同进同出为补角；一进一出为原角。
注意：考试从图中观察，若为钝角就取负值，若为锐角就取正值。
平面α,β所成的二面角为θ，则0≤θ≤π，如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝⟨AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗,CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⟩．如图②③，n ⃗⃗1,n 2⃗⃗⃗⃗⃗分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|n⃗⃗1⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n⃗⃗1|⋅|n2⃗⃗⃗⃗⃗⃗||，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)． (4)空间距离额计算：通常包含点到平面距离，异面直线间距离。
二、空间向量基本步骤空间向量求余弦值或正弦值四步法（1）建系：三垂直，尽量多点在轴上；左右下建系，建成墙角系；锥体顶点在轴上；对称面建系。
一定要注明怎样建成的坐标系（2）写点坐标（3）写向量：向量最好在面上或者轴上（可简化计算量） （4）法向量的简化计算直线的方向向量和平面的法向量（1）直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量，记作，显然一条直线的方向向量可以有无数个.（2）若直线l ⊥α，则该直线的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作，有无数多个，任意两个都是共线向量.平面法向量的求法：设平面的法向量为α⃗=(x,y,z ).在平面内找出（或求出）两个不共线的向量a ⃗=(x 1,y 1,z 1)，b ⃗⃗=(x 2,y 2,z 2)，根据定义建立方程组，得到{α⃗×a ⃗=0α⃗×b ⃗⃗=0，通过赋值，取其中一组解，得到平面的法向量.三、空间向量求距离向量方法求异面直线距离：先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上任意两点的连结线段在公共法向量上的射影长。
空间几何基本公式
空间几何基本公式在空间几何中，有一些基本公式被广泛应用于计算和解决几何问题。
这些公式涉及到线段长度、角度、面积和体积等概念。
下面将介绍一些常用的空间几何基本公式。
1. 线段长度- 在三维空间中，两点A(x₁, y₁, z₁)和B(x₂, y₂, z₂)之间的距离可以通过以下公式计算：AB = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²]2. 角度- 两个直线的夹角可以通过它们的方向向量之间的夹角来确定。
设向量A(a₁, b₁, c₁)和B(a₂, b₂, c₂)，则它们之间的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ = (a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂) / (|A||B|)3. 面积- 平面的面积可以通过它的边界上的点坐标求解。
设三角形的三个顶点分别为A(x₁, y₁, z₁)、B(x₂, y₂, z₂)、C(x₃, y₃, z₃)，则三角形ABC的面积可以通过以下公式计算：S = 0.5 * |AB × AC|，其中 ×表示叉乘运算4. 体积- 几何体的体积可以通过它的尺寸进行计算。
以下列举几种常见几何体的体积计算公式：- 直方体体积：V = lwh，其中l、w、h分别表示直方体的长、宽、高- 正方体体积：V = a³，其中a表示正方体的边长- 圆柱体积：V = πr²h，其中r表示圆柱的底面半径，h表示圆柱的高度- 球体积：V = (4/3)πr³，其中r表示球的半径- 圆锥体积：V = (1/3)πr²h，其中r表示圆锥的底面半径，h表示圆锥的高度这些是空间几何中的一些基本公式，它们可以在解决各种几何问题和计算几何体的属性时发挥重要作用。
应用这些公式可以帮助我们更好地理解和分析空间中的几何关系，进而解决实际问题。
在实际应用中，还可以根据具体问题进行各式各样的扩展和变形，以满足不同的需求。
9.6 空间角与距离的运算
答案
2 4
3.已知两平面的法向量分别为 m=（0，1，0），n=（0， 1，1），则两平面所成的二面角为45°或135° .
mn 1 2 , 解析 cos〈m,n〉= | m || n | 2 2 ∵〈m,n〉∈［0°,180°］.
即〈m,n〉=45°,其补角为135°, ∴两平面所成的二面角为45°或135°.
解
如图所示.
∵ BA BA BB , AC AB BC, 1 1 ∴ BA AC (BA BB ) ( AB BC)
1 1
∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，
∴ AB BC =0，
BA AB BA BC BB 1 AB BB 1 BC.
的坐标为A（0，0，0）、B（ 3，0， 0）、C（ 3 ，1，0）、D（0，1， 0）、P（0，0，2）、
1 E(0， ，1)， 2
从而 AC=（ 3，1，0），PB =（ 3 ，0，-2）. 设 AC与 PB 的夹角为θ ，
AC PB 3 3 7 , 14 | AC | | PB | 2 7 ∴AC与PB所成角的余弦值为 3 7 14
深度剖析
BB1C1C 的对角线都
【例 1】BB1⊥平面 ABC ，且△ ABC 是∠ B=90°的等
ABB1A1 、 分别相互垂直且相等，若 AB=a ，求异面直线 BA1 求异面直线所成角的关键是求异面直线上
两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须
把所求向量用空间的一组基向量来表示 .如该题中 的AC AB BC, AB、BC 即为基向量.
∴点B到平面CMN的距离d= | n MB | 4 2 .
|n| 3
跟踪练习2