任意角与弧度制习题
高一数学(必修一)《第五章-任意角和弧度制》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第五章 任意角和弧度制》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、多选题1．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（ ） A ．1 B ．4C ．2D ．3二、单选题2．终边与直线y x =重合的角可表示为（ ） A ．45180,k k Z ︒︒+⋅∈ B ．45360,k k Z ︒︒+⋅∈ C ．135180,k k Z ︒︒+⋅∈ D ．225360,k k Z ︒︒+⋅∈3．下列角中与116π-终边相同的角是（ ） A ．30-︒B ．40-︒C ．20︒D ．390︒4．下列说法正确的是（ ）A ．长度等于半径的弦所对的圆心角为1弧度B ．若tan 0α≥，则()2k k k Z ππαπ≤≤+∈C ．若角α的终边过点()()3,40P k k k ≠，则4sin 5α D ．当()224k k k Z ππαπ<<+∈时，则sin cos αα<5．已知一个母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于240︒，则该圆锥的侧面积为（ ）A B ．881πCD ．23π6．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4πm肩宽约为8πm ，“弓”所在圆的半径约为5m 41.414≈和1.732）（ ）A ．1.012mB ．1.768mC ．2.043mD ．2.945m三、填空题7．6730'︒化为弧度，结果是______.8．已知扇形的周长为20cm ，面积为92cm ，则扇形的半径为________.9．折扇最早出现于公元五世纪的中国南北朝时代，《南齐书》上说：“褚渊以腰扇障日．”，据《通鉴注》上的解释，“腰扇”即折扇．一般情况下，折扇可以看作从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的弧长为l ，扇形所在的圆的半径为r ，当l 与r 的比值约为2.4时，则折扇看上去的形状比较美观.若一把折扇所在扇形的半径为30cm ，在保证美观的前提下，此折扇所在扇形的面积是_______2cm ．10．设地球半径为R ，地球上北纬30°圈上有A ，B 两点，点A 在西经10°，点B 在东经110°，则点A 和B 两点东西方向的距离是___________.四、解答题11．将下列各角化成360,,0360k k βαα=+⋅︒∈︒≤<︒Z 的形式，并指出它们是第几象限的角：（1）1320︒；（2）315-︒；（3）1500︒；（4）1610-︒．12．根据角度制和弧度制的转化，已知条件：1690α=︒(1)把α表示成2k πβ+的形式[)()Z,02k βπ∈∈，；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且()4,2θππ∈--．13．已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积． 14．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l. (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)已知扇形的周长为10 cm ，面积是4 cm 2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，则这个扇形的面积最大？ 15．已知扇形的周长为c ，当扇形的圆心角为多少弧度时，则扇形的面积最大．16．某商场共有三层楼，在其圆柱形空间内安装两部等长的扶梯Ⅰ、Ⅱ供顾客乘用，如图，一顾客自一楼点A 处乘Ⅰ到达二楼的点B 处后，沿着二楼地面上的弧BM 逆时针步行至点C 处，且C 为弧BM 的中点，再乘Ⅱ到达三楼的点D 处，设圆柱形空间三个楼面圆的中心分别为半径为8m ，相邻楼层的间距为4m ，两部电梯与楼面所成角的正弦值均为13.(1)求此顾客在二楼地面上步行的路程； (2)求异面直线AB 和CD 所成角的余弦值.17．某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的)．已知2OA =米，OB x =米()02x <<，线段BA 、线段CD 与弧BC 、弧AD 的长度之和为6米，圆心角为θ弧度．(1)求θ关于x 的函数解析式；(2)记该宣传牌的面积为y ，试问x 取何值时，则y 的值最大?并求出最大值．参考答案与解析1．AB【分析】利用扇形的弧长与面积公式建立方程组求解，再利用圆心角公式.【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S ，圆心角为α，则212l r +=，182S lr ==解得2r =和8l =或4r =和4l ，则4lrα==或1．故C ，D 错误. 故选：AB ． 2．A【分析】根据终边相同的角的概念，简单计算即可.【详解】终边与直线y x =重合的角可表示为45180,k k Z +⋅∈． 故选：A. 3．D【分析】由角度制与弧度制的互化公式得到113306π-=-︒，结合终边相同角的表示，即可求解. 【详解】由角度制与弧度制的互化公式，可得113306π-=-︒ 与角330-︒终边相同的角的集合为{|330360,}A k k Z αα==-︒+⋅︒∈ 令2k =，可得390α=︒所以与角330α=-︒终边相同的角是390α=︒. 故选：D. 4．D【分析】利用弧度制、三角函数值的正负、三角函数的定义和三角函数线的应用逐一判断选项即可. 【详解】对于A ，长度等于半径的弦所对的圆心角为3π弧度，A 错误； 对于B ，若tan 0α≥，则()2k k k ππαπ≤<+∈Z ，B 错误；对于C ，若角α的终边过点()()3,40P k k k ≠，则4sin 5α=±，C 错误；对于D ，当()224k k k ππαπ<<+∈Z 时，则sin cos αα<，D 正确.故选D.5．D【分析】根据扇形的圆心角、弧长和半径的关系以及扇形的面积求解. 【详解】解：将圆心角240︒化为弧度为：43π，设圆锥底面圆的半径为r 由圆心角、弧长和半径的公式得：4213r ππ=⨯，即23r =由扇形面积公式得：22133S ππ=⨯⨯=所以圆锥的侧面积为23π. 故选：D. 6．B【分析】由题意分析得到这段弓形所在的弧长，结合弧长公式求出其所对的圆心角，双手之间的距离，求得其弦长，即可求解.【详解】如图所示，由题意知“弓”所在的弧ACB 的长54488l ππππ=++=，其所对圆心角58524ππα==则两手之间的距离()522sin 1.768m 44AB AD π==⨯⨯≈．故选：B ．7．38π【解析】根据角度制与弧度制的关系180π︒=，转化即可. 【详解】180π︒= 1180π︒∴=36730'67.567.51808ππ︒∴︒==⨯=故答案为：38π 【点睛】本题主要考查了弧度制与角度制的转化，属于容易题. 8．9cm【分析】由题意设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，由扇形的周长、面积可得1(202)92r r -=，解出r 后，验证即可得解.【详解】设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，圆心角为θ ∵220l r +=，∴202l r =-∴192lr =，即1(202)92r r -=，解得1r =或9r = 当1r =时，则18l =，则181821l r θπ===>，不合题意，舍去； 当9r =时，则2l =，则229l r θπ==<，符合题意. 故答案为：9cm.【点睛】本题考查了扇形弧长及面积公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 9．1080【分析】首先求出弧长，再根据扇形面积公式计算可得；【详解】解：依题意30r =cm ， 2.4lr=所以 2.472l r ==cm ，所以117230108022S lr ==⨯⨯=2cm ；故答案为：108010 【分析】求出,O A O B ''的长度，确定AO B ∠'的大小，再由弧长公式求得A,B 两地的东西方向的距离. 【详解】如图示，设O '为北纬30°圈的圆心，地球球心为O则60AOO '∠= ,故AO '=,即北纬30°R由题意可知2π1203AO B '∠==故点A 和B 两点东西方向的距离即为北纬30°圈上的AB 的长故AB 的长为2π3R =11．（1）132********︒=︒⨯+︒，第三象限； （2）()315360145-︒=︒⨯-+︒，第一象限； （3）1500360460︒=︒⨯+︒，第一象限； （4）()16103605190-︒=︒⨯-+︒，第三象限．【分析】先将各个角化为指定形式，根据通过终边相同的角的概念判断出角所在象限.【详解】（1）132********︒=︒⨯+︒，因为240︒的角终边在第三象限，所以1320︒是第三象限角； （2）()315360145-︒=︒⨯-+︒，因为45︒的角终边在第一象限，所以315-︒是第一象限角； （3）1500360460︒=︒⨯+︒，因为60︒的角终边在第一象限，所以1500︒是第一象限角； （4）()16103605190-︒=︒⨯-+︒，因为190︒的终边在第三象限，所以1610-︒是第三象限角. 12．(1)254218α=⨯π+π； (2)4718θπ=-.【分析】(1)先把角度数化成弧度数，再表示成符合要求的形式. (2)由(1)可得252,(Z)18k k θππ=+∈，再按给定范围求出k 值作答. (1)依题意，169251690169081801818παπππ=︒=⨯==+ 所以254218α=⨯π+π. (2)由(1)知252,(Z)18k k θππ=+∈，而(4,2)θππ∈--，则25422,()18k k Z ππππ-<+<-∈，解得2k =- 所以254741818θ=-π+π=-π. 13．80π【分析】先求出弧长，再利用扇形的面积公式直接求解. 【详解】设扇形弧长为l ，因为圆心角272721805ππ︒⨯=＝rad 所以扇形弧长2·2085l r παπ⨯=＝＝ 于是，扇形的面积S ＝12l ·r ＝12×8π×20＝80π. 14．（1）103π；（2）12；（3）=10,=2l α 【分析】（1）根据扇形的弧长公式进行计算即可．（2）根据扇形的周长公式以及面积公式建立方程关系进行求解 （3）根据扇形的扇形公式结合基本不等式的应用进行求解即可． 【详解】(1)α＝60°＝rad ，∴l ＝α·R ＝×10＝(cm).(2)由题意得解得 (舍去)，故扇形圆心角为. (3)由已知得，l ＋2R ＝20.所以S ＝lR ＝ (20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，则S 取得最大值25 此时l ＝10，α＝2.【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式和面积公式的应用，根据相应的弧长公式和面积公式建立方程关系是解决本题的关键．15．当扇形的圆心角为2rad 时，则扇形的面积最大.【解析】设扇形的半径为r ，弧长为l ，利用周长公式，求得2l c r =-，代入扇形的面积公式，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l 则2l r c +=，即2(0)2c l c r r =-<<由扇形的面积公式12S lr =，代入可得222111(2)()22416c S c r r r cr r c =-=-+=--+当4c r =时，则即22cl c r =-=时，则面积S 取得最小值此时2l rad r α==，面积的最小值为2c 16.【点睛】本题主要考查了扇形的周长，弧长公式，以及扇形的面积公式的应用，其中解答中熟记扇形的弧长公式和面积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 16．(1)2πm【分析】（1）过点B 作一楼地面的垂线，垂足为B '，则B '落在圆柱底面圆上，结合题意计算出1BO M ∠的大小，再利用扇形的弧长公式即可得出结果.（2）建立空间直角坐标系，求出异面直线AB 和CD 的方向向量，再由异面直线所成角的向量公式代入即可得出答案. （1）如图，过点B 作一楼地面的垂线，垂足为B '，则B '落在圆柱底面圆上 连接B A '，则B A '即为BA 在圆柱下底面上的射影 故BAB '∠即为电梯Ⅰ与楼面所成的角，所以1sin 3BAB '∠=.因为4BB AM '==，所以AB '=在AOB '中8OA OB ='=，所以AOB '是等腰直角三角形 连接1O ，B ，1O M ，则1π2BO M AOB '∠=∠= 因为BC CM =，所以BC 的长为π82π4⨯= 故此顾客在二楼地面上步行的路程为2π m . （2）连接2OO ，由（1）可知所在直线两两互相垂直.以O 为原点OB '，OA 和2OO 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则()8,0,4B ()0,8,0A 与()C 和()D -，所以()8,8,4AB =- ()4CD =-. 设异面直线AB 和CD 所成角为θ，则·42cos cos ,=9AB CD AB CD AB CDθ==故异面直线AB 和CD 17．(1)22(02)2x x x θ+=<<+； (2)当12x =时，则y 的值最大，最大值为94．【分析】(1)根据弧长公式和周长列方程得出θ关于x 的函数解析式；(2)根据面积公式求出y 关于x 的函数表达式，根据二次函数性质可得y 的最大值． (1)根据题意，弧BC 的长度为x θ米，弧AD 的长度2AD θ=米2(2)26x x θθ∴-++=∴22(02)2x x x θ+=<<+． (2)依据题意，可知2211222OAD OBC y S S x θθ=-=⨯-扇扇 化简得：22y x x =-++ 02x <<∴当12x =，则2max 1192224y ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭．∴当12x =时，则y 的值最大，且最大值为94．。
高一任意角与弧度制题型练习(全)
任意角知识梳理一、角的概念的推广1.角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角．①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角．例如，画出下列各角：，，．2.在直角坐标系中讨论角：①角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．②若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角．二、终边相同的角的集合设表示任意角，所有与终边相同的角，包括本身构成一个集合，这个集合可记为．集合的每一个元素都与的终边相同，当时，对应元素为．例如，如图，角、角和角都是以射线为终边的角，它们是终边相同的角．特别提醒：为任意角，“”这一条件不能漏；与中间用“”连接，可理解成；当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差的整数倍．终边不同则表示的角一定不同．三、区间角、区域角1.区间角、区域角的定义介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如．终边介于某两角终边之间的角的几何叫做区域角，显然区域角包括无数个区间角．2.区域角的写法（1）若角的终边落在一个扇形区域内，写区域角时，先依逆时针方向由小到大写出一个区间角，然后在它的两端分别加上“”，右端末注明“”即可．（2）若角的终边落在两个对称的扇形区域内，写区域角时，可以先写出终边落在一个扇形区域内的一个区间角，在此区间角的两端分别加上“”，右端末注明“”即可．例如，求终边落在图中阴影内（包括边界）的角的集合，可先求落在第一象限内的区间角，故终边落在图中阴影内（包括边界）的角的集合为．3.各象限角的集合象限角象限角的集合表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角四、倍角和分角问题已知角的终边所在的象限，求的终边所在象限．1.代数法由的范围求出的范围．通过分类讨论把写成的形式，然后判断的终边所在的象限．2.几何法画出区域：将坐标系每个象限等分，得个区域．标号：自轴正向起，沿逆时针方向把每个区域依次标上、、、，如图所示（此时）．确定区域：找出与角的终边所在象限标号一致的区域，即为所求．题型训练题型一任意角的概念1.下列四个命题中，正确的是（）A．第一象限的角必是锐角B．锐角必是第一象限的角C．终边相同的角必相等D．第二象限的角必大于第一象限的角2.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③锐角一定是第一象限的角；④小于的角一定是锐角；⑤终边相同的角一定相等．其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．43.设集合，，则?题型二终边相同的角的集合1.下列各个角中与2020°终边相同的是（）A．-150°B．680°C．220°D．320°2.写出终边在图中直线上的角的集合．3.写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．4.下列各组中，终边相同的角是（）A．和（）B．和C．和D．和5.若角与的终边关于轴对称，且，则所构成的集合为．6.与2021°终边相同的最小正角是．7.写出角的终边在阴影中的角的集合．题型三象限角的定义1.在，，，，这五个角中，属于第二象限角的个数是（）A．2B．3C．4D．52.若是第四象限角，则一定是第几象限角？3.已知，则所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第一或第二象限D．第三或第四象限题型四角所在象限的研究1.已知α为第二象限角，则所在的象限是（）A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限2.已知θ为第二象限角，那么是（）A．第一或第二象限角B．第一或四象限角C．第二或四象限角D．第一、二或第四象限角3.若是第二象限角，则，是第几象限角？弧度制知识梳理一、弧度制和弧度制与角度制的换算1.角度制角可以用度为单位进行度量，度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．2.弧度制①弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．②弧度制定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．记法：用符号表示，读作弧度．特别提醒：（1）用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可，如角可写成．而用度为单位表示角的大小时，“度”或“°”不可以省略．（2）不管是以弧度还是以度为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值．二、角度与弧度的换算1.弧度与角度的换算公式(1)关键:抓住互化公式rad=180°是关键;(2)方法：度数弧度数；弧度数度数2.一些特殊角的度数与弧度数的对应表：【注意】①在同一问题中，角度制与弧度制不能混用；②弧度制下角可以与实数可以建立一一对应的关系，所以弧度制表示的角的范围可以用区间表示，如，但角度制表示的角的范围一般不用区间表示，即不用表示，因为区间表示的是数集，但角度数不是实数．三、弧长公式、扇形面积公式如图，设扇形的半径为，弧长为，圆心角为．1.弧长公式：．注意：在应用弧长公式时，要注意的单位是“弧度”，而不是“度”，如果一直角是以“度”为单位的，则必须先把它化为以“弧度”为单位，再代入计算．2.扇形面积公式：．3.弧长公式及扇形面积公式的两种表示角度制弧度制弧长公式扇形面积公式注意事项是扇形的半径，是圆心角的角度数是扇形的半径，是圆心角的弧度数题型训练题型一弧度制与角度制互化1.与角终边相同的最小正角是？（用弧度制表示）2.若四边形的四个内角之比为，则四个内角的弧度数依次为．3.对应的弧度数为4.把化为弧度的结果是5.如图，用弧度制表示终边落在下列阴影部分的角．6.若θ=-3rad，则θ的终边落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限题型二扇形的弧长、面积、与圆心角问题1.半径为，中心角为的角所对的弧长为（）A．B．C．D．2.已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（）A．2B．4C．6D．83.已知扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为？4.一个扇形的弧长与面积都是，则这个扇形圆心角的弧度数为（）A．B．C．D．5.已知弧度的圆心角所对的弦长为，那么，这个圆心角所对的弧长是（）A．B．C．D．6.半径为，圆心角为的扇形的弧长为（）A．B．C．D．7.设扇形的弧长为，半径为，则该扇形的面积为?8.已知扇形的周长为，面积为，则扇形圆心角的弧度数为?。
新高考高中数学必修一-任意角和弧度制同步测试题(含解析)
人教A 版（2019）必修第一册 5.1 任意角和弧度制一、单选题1．已知第二象限角α的终边上一点()sin ,tan P ββ，则角β的终边在 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．“角A 小于2π”是“角A 是第一象限角”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件3．下列选项中，满足αβ<的是（ ） A ．1α=，2β=︒ B ．1α=，60β=-︒ C ．225α=︒，4β= D ．180α=︒，πβ=4．下列各组的两个角中，终边不相同的一组角是（ ） A ．-56°与664° B ．800°与-1360° C ．150°与630° D ．-150°与930°5．角α和β满足关系：2()k k αππβ=+-∈Z ，则角α与β的终边（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．以上答案都不对6．将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆所示就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图所示是分别以A 、B 、C 为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ（又称莱洛三角形），下列关于曲线Γ的描述中，正确的有（ ） （1）曲线Γ不是等宽曲线；（2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长； （3）曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB 的长； （4）在曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等； （5）若曲线Γ和圆的宽相等，则它们的面积相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．半径为1cm ，圆心角为120︒的扇形的弧长为（ ） A ．1cm 3B ．2cm 3C ．cm 3πD ．2cm 3π8．已知()1,4k k k πθααπ⎧⎫∈=+-⋅∈⎨⎬⎩⎭Z ，则角θ的终边所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第一或第二象限D ．第三或第四象限9．如图所示的时钟显示的时刻为4:30，此时时针与分针的夹角为()0ααπ<≤．若一个半径为1的扇形的圆心角为α，则该扇形的面积为（ ）A ．2πB ．4π C ．8π D ．16π10．已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形面积为（ ） A ．2π B ．3πC ．154π D ．52π11．下列说法：①终边相同的角必相等；①锐角必是第一象限角；①小于90︒的角是锐角；①第二象限的角必大于第一象限的角；①若角α的终边经过点(0,3)M -，则角α是第三或第四象限角，其中错误的是（ ） A ．①①①B ．①①①C ．①①①①D ．①①①①{}|4590,B k k Z ββ==︒+⋅︒∈，则（ ）A ．AB =∅ B ．B①AC ．A①BD ．A B =二、填空题13．已知本次数学考试总时间为2小时，你在奋笔疾书沙沙答题，分针滴答滴答忙着转圈.现在经过了1小时，则此时分针转过的角的弧度数是 _______．14．已知角2020α=-︒，则与α终边相同的最小正角是______．15．大于360-︒且终边与角75︒重合的负角是________.16．已知扇形的周长为16cm ，面积为162cm ，则扇形的圆心角α的弧度数为___________.三、解答题17．已知扇形的周长为20cm ，求扇形面积的最大值，并求此时圆心角的弧度数．18．一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形面积最大，并求此扇形的最大面积.19．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（包括边界，如图7-1-7所示）．20．把下列各角化为2(02,)k k πααπ+<∈Z 的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合． （1）463π-； （2）1485-︒；21．分别写出当角α在第四象限时，角2α的所在象限．参考答案：1．C根据第二象限横纵坐标的正负值判断得sin 0,tan 0,ββ<⎧⎨>⎩再判断角β的象限即可.【详解】因为点()sin ,tan P ββ在第二象限，所以有sin 0,tan 0,ββ<⎧⎨>⎩所以β是第三象限角.故选：C本题考查各象限三角函数值的正负.属于基础题. 2．D利用特殊值法结合充分、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若角A 小于2π，取4A π=-，此时，角A 不是第一象限角，即“角A 小于2π”⇒“角A 是第一象限角”；若角A 是第一象限角，取24A ππ=+，此时，2A π>，即“角A 小于2π”⇐/“角A 是第一象限角”. 因此，“角A 小于2π”是“角A 是第一象限角”的既不充分也不必要条件.故选：D. 3．C先判断出B ，D 不满足αβ<；然后利用角度制与弧度制的互化，判断出C 正确． 【详解】解：对于选项B ，有αβ>， 对于D ，有αβ=； 对于A ，因为1801()2π=︒>︒，所以满足αβ>， 对于C ，因为18044()225π=⨯︒>︒，满足αβ<．故选：C ． 4．C利用终边相同的两个角符合的规律逐一判断各选项即可得解. 【详解】因终边相同的两个角总是相差360的整数倍，对于A ，664(56)7202360--==⋅，即角-56°与664°终边相同，A 不正确； 对于B ，800(1360)21606360--==⋅，即角800°与-1360°终边相同，B 不正确； 对于C ，6301504801360120-==⋅+，即角150°与630°终边不相同，C 正确； 对于D ，930(150)10803360--==⋅，即角-150°与930°终边相同，D 不正确， 所以角150°与630°终边不相同. 故选：C 5．B根据终边相同角的定义判断可得； 【详解】解：因为角α和β满足关系：2()k k αππβ=+-∈Z ， 因为β与πβ-的终边关于y 轴对称， 而2()k k αππβ=+-∈Z 与πβ-的终边相同， 所以角α与β的终边关于y 轴对称 故选：B 6．B若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽为1，则圆的半径为12，根据定义逐项判断即可得出结论. 【详解】若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽为1，则圆的半径为12， （1）根据定义，可以得曲线Γ是等宽曲线，错误； （2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长，正确； （3）根据（2）得（3）错误；（4）曲线Γ的周长为1326ππ⨯⨯=，圆的周长为122ππ⨯=，故它们的周长相等，正确； （5）正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为2166ππ⨯=，正三角形的面积1112S =⨯⨯，则一个弓形面积6S π=则整个区域的面积为3(62ππ= 而圆的面积为2124ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，不相等，故错误；综上，正确的有2个， 故选：B.本题主要考查新定义，理解“等宽曲线”得出等边三角形是解题的关键． 7．D利用扇形弧长公式直接计算即可. 【详解】圆心角120︒化为弧度为23π， 则弧长为221cm 33ππ⨯=. 故选：D.8．C利用终边相同的角的概念，对当k 是奇数和偶数进行分类讨论，即可得解. 【详解】由已知，()1,4k k k πθααπ⎧⎫∈=+-⋅∈⎨⎬⎩⎭Z ，当()2k m m =∈Z 时，24m πθπ=+，即角θ的终边在第一象限；当()21k m m =+∈Z 时，324m πθπ=+，即角θ的终边在第二象限． 所以角θ的终边在第一或第二象限． 故选：C 9．C求出α的值，利用扇形的面积公式可求得扇形的面积. 【详解】由图可知，1284παπ=⨯=，所以该扇形的面积212481S ππ=⨯⨯=．故选：C. 10．B把圆心角化为弧度，然后由面积公式计算． 【详解】 21203π︒=．2123323S ππ=⨯⨯=． 故选：B ． 11．C①取特殊角：0︒与360︒进行判断；①根据锐角的范围直接判断； ①取负角进行否定； ①取特殊角进行否定； ①取特殊角进行否定． 【详解】①终边相同的角必相等错误，如0︒与360︒终边相同，但不相等； ①锐角的范围为(0,90)︒︒，必是第一象限角，正确； ①小于90︒的角是锐角错误，如负角；①第二象限的角必大于第一象限的角错误，如120︒是第二象限角，390︒是第一象限角； ①若角α的终边经过点(0,3)M -，则角α是终边在y 轴负半轴上的角，故①错误． 其中错误的是①①①①． 故选C ．（1）要证明一个命题为真命题，需要严格的证明；要判断一个命题为假命题，举一个反例就可以了.（2）角的概念的辨析题中，通常可以取特殊角来否定结论. 12．D考虑A 中角的终边的位置，再考虑B 中角的终边的位置，从而可得两个集合的关系. 【详解】. 45180,k k Z α=︒+⋅︒∈ 表示终边在直线y x =上的角，135180,k k Z α=︒+⋅︒∈ 表示终边在直线y x =-上的角，而4590,k k Z β=︒+⋅︒∈ 表示终边在四条射线上的角，四条射线分别是射线,0;,0;,0;,0y x x y x x y x x y x x =≥=-≤=≤=-≥ ， 它们构成直线y x =、直线y x =-，故A B =. 故选：D.本题考查终边相同的角，注意180k α⋅︒+的终边与α 的终边的关系是重合或互为反向延长线，而90k α⋅︒+的终边与α 的终边的关系是重合或互为反向延长线或相互垂直，本题属于中档题. 13．2π-先明确1小时是60分钟，得到分针转过的角度，再算出弧度数. 【详解】因为1小时是60分钟，分针正好转过一周360-， 所以转过的角的弧度数是2π-. 故答案为：2π-本题主要考查弧度制，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 14．140°先求出与α终边相同角的集合，再通过解不等式进行求解即可. 【详解】与2020α=-︒终边相同的角的集合为{}2020360,k k Z θθ=-︒+⋅︒∈， 令20203600k -︒+⋅︒>︒，解得10118k >，故当6k =时，140θ=︒满足条件． 故答案为：140° 15．285-︒根据终边相同的角的概念进行判断. 【详解】大于360-︒且终边与角75︒重合的负角是285-︒. 故答案为：285-︒本题考查终边相同的角，属于基础题. 16．2设扇形圆心角为α，半径为r ，列方程组求出α的值．【详解】解：由扇形的周长为16cm ，面积为216cm ，可设扇形圆心角为α，且(0,2)απ∈，半径为r ， 则22161162r r r αα+=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩， 解得24r α=⎧⎨=⎩所以2α=．故答案为：2．17．面积最大值为225cm ，此时圆心角弧度数为2设扇形的半径为R ，弧长为l ，依题意有220l R +=，利用扇形面积公式12S lR =扇形，利用基本不等式即可求得答案．【详解】解：设扇形的半径为R ，弧长为l ，则220l R +=．()()()210112021025222R R S lR R R R R -+⎡⎤==-⋅=-⋅=⎢⎥⎣⎦扇形（当且仅当5R =时取等号）． S 扇形最大值为25，此时5R =，10l =．故扇形圆心角的弧度数2l Rα==． 所以扇形面积最大值为225cm ，此时圆心角弧度数为2.18．2α=弧度，最大面积225cm设扇形的半径为r ，得出弧长为202,010r r -<<，确定扇形面积函数式，利用二次函数的性质，求出面积最大时半径和弧长的值，即可得出结论【详解】设扇形的半径为r ，其周长为20，则扇形弧长为202r -，且2020,010r r ->∴<<， 扇形面积221(202)10(5)252S r r r r r =-=-+=--+， 当=5r ，1025α==时，S 取最大值为25， 所以圆心角为2弧度时，扇形面积最大为25.本题考查扇形面积、弧长公式的应用、以及二次函数的最值，合理设元是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.19．（1）522,612k k k ππαπαπ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ； （2）3322,44k k k ππαπαπ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ； （3）,62k k k ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ．将角度化成弧度，结合任意角概念表示出来即可.【详解】对图（1），可看作5,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦范围内的角，结合任意角概念，可表示为522,612k k k ππαπαπ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 对图（2），可看作33,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦范围内的角，结合任意角概念，可表示为3322,44k k k ππαπαπ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 对图（3），可看作由,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的范围角，经过旋转半圈整数倍形成的角，故可表示为,62k k k ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ．20．（1）第二象限角，终边相同的角的集合为22,3k k πββπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣；（2）第四象限角．终边相同的角的集合为72,4k k πββπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣；（3）第四象限角，终边相同的角的集合为{2(820),}k k ββππ=+-∈Z ∣．利用与角α终边相同的角的集合的结论，即可得出结果.【详解】（1）4628233πππ-=-⨯+，它是第二象限角，终边相同的角的集合为22,3k k πββπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣． （2）714855*********ππ-︒=-⨯︒+︒=-⨯+，它是第四象限角．终边相同的角的集合为72,4k k πββπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣． （3）2042(820)ππ-=-⨯+-，而382022πππ<-<． 所以20-是第四象限角，终边相同的角的集合为{2(820),}k k ββππ=+-∈Z ∣． 21．答案见解析由终边相同的角和象限角的定义进行判断即可【详解】（1）当角α在第一象限时，即22,2k k k Z ππαπ<<+∈，则,24k k k Z απππ<<+∈， 当2k n =（n Z ∈）时，22,24n n n Z απππ<<+∈，则2α为第一象限的角， 当21k n =+（n Z ∈）时，(21)(21),24n n n Z απππ+<<++∈，即522,24n n n Z αππππ+<<+∈，则角2α为第三象限的角， 综上，角2α在第一或第三象限； （2）当角α在第二象限时，即22,2k k k απ+π<<π+π∈Z ，则,422k k k αππ+π<<+π∈Z ， 当2k n =（n Z ∈）时，22,422n n n Z παπππ+<<+∈，则 2α为第一象限的角，当21k n =+（n Z ∈）时，(21)(21),422n n n Z παπππ++<<++∈，即5322,422n n n Z παπππ+<<+∈，则 2α为第三象限的角， 综上，角2α在第一或第三象限； （3）当角α在第三象限时，即322,2k k k Z πππαπ+<<+∈，则3,224k k k Z παπππ+<<+∈， 当2k n =（n Z ∈）时，322,224n n n Z παπππ+<<+∈，则2α为第二象限的角， 当21k n =+（n Z ∈）时，3(21)(21),224n n n Z παπππ++<<++∈，即3722,224n n n Z παπππ+<<+∈，则2α为第四象限的角， 综上，角2α在第二或第四象限； （4）当角α在第四象限时，即3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈，则3,42k k k Z παπππ+<<+∈， 当2k n =（n Z ∈）时，322,42n n n Z παπππ+<<+∈，则2α为第二象限的角， 当21k n =+（n Z ∈）时，3(21)(21),42n n n Z παπππ++<<++∈，即 7222,42n n n Z παπππ+<<+∈，则2α在第二或第四象限， 综上，角2α在第二或第四象限。
任意角和弧度制测试题(含解析)
任意角和弧度制测试题一、单选题1.在单位圆中，200∘的圆心角所对的弧长为( )A. 7π10B. 10π9C. 9πD. 10π二、多选题2.给出下列说法正确的有()A. 终边相同的角同一三角函数值相等；B. 不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；C. 若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；D. 若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角3.下列说法错误．．的是．( )A. 若角α=2rad，则角α为第二象限角B. 将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°C. 若角α为第一象限角，则角α2也是第一象限角D. 若一扇形的圆心角为30°，半径为3cm，则扇形面积为3π2cm24.下列结论正确的是( )A. 是第三象限角B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为C. 若角的终边过点，则D. 若角为锐角，则角为钝角三、填空题5.(1)第三象限角的集合表示为(以弧度为单位)．(2)弧度数为3的角的终边落在第象限．(3)−2π3弧度化为角度应为．(4)与880∘终边相同的最小正角是.(5)若角α的终边经过点A(−2,3)，则tanα值为．(6)已知扇形的圆心角α=2π3，半径r=3，则扇形的弧长l为．6.下列说法中，正确的是.(填序号)①第一象限的角必为锐角；②锐角是第一象限的角；③终边相同的角必相等；④小于900的角一定为锐角；⑤角α与−α的终边关于x轴对称；⑥第二象限的角必大于第一象限的角．7.集合{α|k⋅180∘+45∘⩽α⩽k⋅180∘+90∘,k∈Z}中，角所表示的取值范围(阴影部分)正确的是(填序号)．8.−600°是第象限角，与−600°终边相同的最小正角为弧度．9.线段OA的长度为3，将OA绕点O顺时针旋转120∘，得到扇形的圆心角的弧度数为，扇形的面积为．四、解答题10.已知角β的终边在直线y=−x上．(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式−360°<β<360°的元素．答案和解析1.B 根据弧长公式，l =nπR 180，代入计算即可．2.AB 解：对于A ，由任意角的三角函数的定义知，终边相同的角的三角函数值相等，故A 正确；对于B ，不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，故B 正确； 对于C ，若sinα=sinβ，则α与β的终边相同或终边关于y 轴对称，故C 错误；对于D ，若cos θ<0，则θ是第二或第三象限角或θ的终边落在x 轴的非正半轴上，故D 错误． 3.BCD 解：对于选项A .若角α=2rad ，2∈(π2,π)，则角α为第二象限角，正确；对于选项B .将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是−30°，故错误；对于选项C .若角α为第一象限角，2kπ<α<π2+2kπ,k ∈Z ，则kπ<α2<π4+kπ,k ∈Z ， 当k =2n ，n ∈Z 时，2nπ<α2<π4+2nπ,k ∈Z ，即角α2是第一象限角；当k =2n +1，n ∈Z 时，2nπ+π<α2<5π4+2nπ,k ∈Z ，即角α2是第三象限角； 则角α2是第一或第三象限角，故错误；对于选项D .扇形面积为30°π·32360°=3π4cm 2，故错误． 4.BC 解：A 、−7π6=−2π+5π6，所以−7π6与5π6终边相同，是第二象限角，所以不正确； B 、若圆心角为π3的扇形半径为r ，由弧长为π3⋅r =π，则半径r =3，所以该扇形面积为12×π×3=3π2，正确；C 、若角α的终边过点P(−3,4)，则r =√(−3)2+42=5，cos α=−35，正确； D 、若角α为锐角，设α=30∘，则角2α=60∘为锐角，所以不正确． 5.解：(1)第三象限角的集合表示为{α|π+2kπ<α<3π2+2kπ,k ∈Z}． 故答案为{α|π+2kπ<α<3π2+2kπ,k ∈Z}． (2）∵π2<3<π,∴弧度数为3的角为第二象限角，故其终边落在第二象限，故答案为二．(3)−2π3=−23×180°=−120°，故答案为−120∘．(4)与880∘终边相同的角α=880°+360°×k (k ∈Z )，当k =−2时，α=160∘即为最小正角，故答案为160∘．(5)根据任意角三角函数的定义，可知tanα=y x =−32，故答案为−32． (6)l =|α|·r =2π，故答案为2π． 6.解：命题①，390°角的终边在第一象限内，但不是锐角，故说法错误;命题②，锐角是第一象限角，故说法正确;命题③，390°角与30°角的终边相同，但两个角不相等，故说法错误;命题④，−30°小于90°，但不是锐角，故说法错误;命题⑤，角α与角−α的终边关于x 轴对称，故说法正确;命题⑥，120°角是第二象限角，390°角是第一象限角，120°小于390°，故说法错误． 故答案为②⑤．7.解：集合{α|k ⋅180∘+45∘⩽α⩽k ⋅180∘+90∘,k ∈Z}中，当k 为偶数时，集合为 {α|n ⋅360∘+45∘⩽α⩽n ⋅360∘+90∘,n ∈Z}，当k 为奇数时，集合为 {α|n ⋅360∘+225∘⩽α⩽n ⋅360∘+270∘,n ∈Z}，符合题意的只有③8.解：由−600°=(−2)×360°+120°，∴−600°在第二象限，∴与−600°终边相同的最小正角为120°，而120°=2π3，故答案为二；2π3． 9.解：由题意得扇形的圆心角α=−120∘ =−2π3，故扇形的面积S =12|α|⋅|OA|2= 12×2π3×9=3π．10.解：(1)直线y =−x 过原点，它是第二、四象限的角平分线所在的直线，故在0°～360°范围内，终边在直线y =−x 上的角有两个：135°，315°．因此，终边在直线y =−x 上的角的集合S ={β|β=135°+k ·360°,k ∈Z}∪{β|β=315°+k ·360°,k ∈Z}={β|β=135°+2k ·180°,k ∈Z}∪{β|β=135°+(2k +1)·180°,k ∈Z} ={β|β=135°+n ·180°,n ∈Z}．(2)由于−360°<β<360°，即−360°<135°+n ·180°<360°，n ∈Z ．解得−114<n <54，n ∈Z.所以n =−2，−1，0，1．所以集合S 中适合不等式−360°<β<360°的元素为：135°−2×180°=−225°；135°−1×180°=−45°；135°+0×180°=135°； 135°+1×180°=315°；(2)在集合S 内，分别取k =−2，−1，0，1，可得适合不等式−360°<β<360°的元素．。
典型例题：任意角和弧度制
任意角和弧度制第1题：写出终边在直线y x =上的角的集合S ，并把S 中适合不等式360720β-<≤的元素β写出来．答案：解：如图，在直角坐标系中画出直线y x =，可以发现它与x 轴的夹角是45，在o o 0360到范围内，终边在直线y x =上的角有两个：45，225． 因此，终边在直线y x =上的角的集合． {}{}|45360,|225360,S k k k k ββββ==+⋅∈=+⋅∈Z Z{}|45180,k k ββ==+⋅∈Z ．S 中适合360720β-<≤的元素是 452180315-⨯=-， 451180135-⨯=-， 4518045⨯=+0， 45180225⨯=+1， 452180405⨯=+，2254545180585⨯=+3．第2题：已知α是锐角，那么2α是（ ） （A ）第一象限角 （B ）第二象限角 （C ）小于180的正角 （C ）第一或第二象限角 答案：C ．第3题：已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角是 ，即 rad ．如果大轮的转速为180min r /（转／分），小轮的半径为10.5 cm ，那么小轮周上一点每1s 转过的弧长是 ． 答案：864，24π5，151.2πcm 第4题：已知扇形的周长是6cm ，面积是22cm ，则扇形的圆心角的弧度数是（ ） （A ）1（B ）1或4（C ）4（D ）2或4答案：B第5题：已知集合{}M =第一象限角，{}N =锐角，{}90P =小于角，则下列关系式中正确的是（ ） （A ）M N P == （B ）M P（C ）M P N =（D ）N P N =答案：D第6题：若三角形的三个内角的比等于2:3:7，则各内角的弧度数分别为 ． 答案：ππ7π6412，，第7题：写出角α的终边在下图中阴影区域内角的集合（包括边界）．答案：（1）{}|904590k k k αα+∈Z ，··≤≤； （2）{}|120360150360k k k αα-++∈Z ，··≤≤第8题：单位圆上两个动点M N ，，同时从(10)P ，点出发，沿圆周运动，M 点按逆时针方向旋转π6弧度/秒，N 点按顺时针方向旋转π3弧度/秒，试求它们出发后第三次相遇时的位置和各自走过的弧度．答案：解：设从P 点出发后，t 秒时M N ，第三次相遇，则有ππ6π63t t +=，解得12t =（秒）．故M 走了π122π6⨯=弧度，N 走了π124π3⨯=弧度，且知两点又回到了P 点． 第9题：已知扇形OAB 的圆心角为120，半径长为6cm ，求： （1）弧AB 的长；（2）该扇形所含弓形的面积．答案：解（1）2120π3α==，6cm r =，2π64πcm 3l ∴=⨯=．（2）2114π612πcm 22OAB S lr ==⨯⨯=扇形，2132AOB S =⨯=△．212πAOB OAB OAB S S S ∴=-=-弓形扇形△．第10题：将时钟拨快了10分钟，则时针转了 度，分针转了 弧度． 答案：π53--，第11题：已知扇形的周长为10cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角α的弧度数为 ． 答案：12第12题：若角π|π(1)4m m m θαα⎧⎫==+-∈⎨⎬⎩⎭Z ，·，则角θ所在的象限是 ．答案：第一或第二象限第13题：在扇形AOB 中，90AOB ∠=，弧AB 的长为l ，则此扇形内切圆的面积为 ． 21282- 第14题：下列选项中，错误的是（ ） （A ）“度”与“弧度”是度量的两种不同的度量单位 （B ）一度的角是周角的1360，一弧度的角是周角的12π（C ）根据弧度的定义，180一定等于π弧度（D ）不论是用角度制还是弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关 答案：D第15题：如图，圆上一点A 以逆时针方向作匀速圆周运动，已知点A 每分钟转过θ角（0πθ<≤），经过2分钟到达第三象限，经过14分钟回到原来位置，求θ的大小．答案：解：由题目得142πk k θ=∈Z ，，即π7k θ=，k ∈Z ， 又0πθ<≤，所以022πθ<≤，又2θ在第三象限，即3π2π2θ<<，则π3π24θ<<，即ππ3π274k <<． 解得72124k <<，k ∈Z ，故4k =或5． 4π7θ∴=或5π7．。
高中数学总复习练习题---任意角和弧度制(解析版)
高中数学总复习练习题专题47 任意角和弧度制一、选择题1．（2019·广西高一期末（文））150o 化成弧度制为（ ） A.56πB.4π C.23π D.3π 【答案】A【解析】由题意可得51501501806ππ=⨯=o，故选：A. 2．把85π-化为角度是（ ） A.96-o B.144-oC.288-oD.576-o【答案】C【解析】由题意，根据角度制和弧度制的互化，可得8818028855π-=-⨯=-o o . 故选：C.3．下列角的终边与37o 角的终边在同一直线上的是（ ） A.37-o B.143oC.379oD.143-o【答案】D【解析】与37o 角的终边在同一直线上的角可表示为37180k +⋅o o ，k Z ∈，当1k =-时，37180143-=-o o o ，所以，143-o 角的终边与37o 角的终边在同一直线上. 故选：D ．4．与468-o 角的终边相同的角的集合是（ ）A.{}360456,k k Z αα=⋅+∈ooB.{}360252,k k Z αα=⋅+∈ooC.{}36096,k k Z αα=⋅+∈ooD.{}360252,k k Z αα=⋅-∈oo【答案】B【解析】因为4682360252-=-⨯+o o o ，所以252o 角与468-o 角的终边相同，所以与468-o 角的终边相同的角的集合为{}360252,k k Z αα=⋅+∈o o. 故选：B ．5．如果角α的终边上有一点()0,3P -，那么α（ ）A.是第三象限角B.是第四象限角C.是第三或第四象限角D.不是象限角【答案】D【解析】因为点P 在y 轴的负半轴上，即角α的终边落在y 轴的非正半轴上，所以α不是象限角． 故选：D.6．已知角α的终边落在x 轴的非负半轴上，则角2α的终边落在（ ） A.x 轴的非负半轴上 B.x 轴上 C.y 轴的非负半轴上 D.y 轴上【答案】B【解析】由题意，知()360k k Z α=⋅∈o，则()1802k k Z α=⋅∈o .当k 为偶数时，设()2k n n Z =∈，则3602n α=⋅o ，此时，角2α的终边在x 轴的非负半轴上； 当k 为奇函数时，设()21k n n Z =+∈，则()()211801803602n n n Z α=+⋅=+⋅∈o o o ，此时，角2α的终边在x 轴的非正半轴上. 综上所述，角2α的终边在x 轴上.故选：B ．7．（2019·河南高一期末）已知一个扇形的圆心角为56π，半径为3．则它的弧长为（ ） A.53πB.23π C.52πD.2π 【答案】C【解析】由扇形弧长公式得：55362L r ππα==⨯= 本题正确选项：C8．（2019·山东高一期末）下列各角中，与角6π终边相同的角是（ ） A.136π-B.116π-C.116πD.196π【答案】B 【解析】角6π终边相同的角可以表示为2,()6a k k Z ππ=+∈，当1k =-时，6a 11π=-，所以答案选择B 9．若角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，则集合{}1804518090,k k k Z αα⋅+≤≤⋅+∈oooo中的角α的终边在图中的位置（阴影部分）是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】当k 为偶数时，设()2k n n Z =∈，则有3604536090n n α⋅+≤≤⋅+o o o o ，角α的终边在介于4590o o :角终边所在的区域；当k 为奇数时，设()21k n n Z =+∈，则有360225360270n n α⋅+≤≤⋅+o o o o ，角α的终边在介于225270o o :角终边所在的区域.故选：C.10．若2弧度的圆心角所对的弧长为4，则这个圆心角所在的扇形的面积为（ ） A ．4 B ．2C ．4πD ．2π【答案】A【解析】由已知得，=24l θ=，，又因为弧长l R θ=，所以扇形的半径=2R ，所以面积11=42=422S lR =⋅⋅．选A ．11．（2019·安徽高三月考（文））已知某扇形的面积为22.5cm ，若该扇形的半径r ，弧长l 满足27cm r l +=，则该扇形圆心角大小的弧度数是（ ）A.45B.5C.12D.45或5 【答案】D【解析】据题意，得27,1 2.5,2l r lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩解得5,22r l ⎧=⎪⎨⎪=⎩或1,5,r l =⎧⎨=⎩所以45l r =或5.故选D . 12．（2019·湖北高三月考（文））《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=⨯（弦×矢+矢2），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23π，矢为2的弧田，按照上述方法计算出其面积是( )A.2+43B.13+2C.2+83D.4+83【答案】A 【解析】如图，由题意可得23AOB π∠=， 在Rt AOD ∆中，,36AOD DAO ππ∠=∠=，所以2OB OD =，结合题意可知矢2OB OD OD =-==，半径4OB =， 弦2216443AB AD ==-= 所以弧田面积12=（弦⨯矢+矢2）21(4322)4322=+=， 故选A. 二、填空题13．（2019·上海交大附中高一开学考试）2018°是第________象限角. 【答案】三【解析】20185360218=⨯+o o o Q ，又218o 是第三象限角，所以2018o 也是第三象限角. 故答案为：三.14．（2019·上海市吴淞中学高一期末）圆心角为60︒的扇形，它的弧长为2π，则该扇形所在圆的半径为______. 【答案】6 【解析】263l r r r παπ===∴=故答案为：615．（2018·江西高一期末）扇形的半径为1cm ，圆心角为30°，则该扇形的弧长为________cm 【答案】6π【解析】圆弧所对的圆心角为30°即为6π弧度，半径为1cm 弧长为l ＝|α|•r 6π=⨯16π=（cm ）．故答案为：6π． 16．（2019·上海市复兴高级中学高一月考）若角α与角3-2π终边相同（始边相同且为x 轴正半轴），且302πα≤＜，则=α______． 【答案】2π 【解析】因为角α与角32π-终边相同（始边相同且为x 轴正半轴）， 所以322k παπ=-，k ∈Z ， 又因302πα≤<， 所以当1k =时，2πα=.故答案为：2π 三、解答题17．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合.【答案】(1) {α|＋2k π<α<＋2k π，k ∈Z}；(2) {α|－＋2k π<α≤＋2k π，k ∈Z}；(3){α|k π≤α≤＋k π，k ∈Z}；(4) {α|＋k π<α<＋k π，k ∈Z}. 【解析】 (1)将阴影部分看成是由OA 逆时针转到OB 所形成， 故满足条件的角的集合为{α|＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}．(2)若将终边为OA 的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成是OA 逆时针旋转到OB 所形成，故满足条件的角的集合为{α|－＋2kπ<α≤＋2kπ，k∈Z}．(3)将图中x 轴下方的阴影部分看成是由x 轴上方的阴影部分旋转πrad 而得到，所以满足条件的角的集合为{α|kπ≤α≤＋kπ，k∈Z}．(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转πrad 后可得到第四象限的阴影部分．所以满足条件的角的集合为{α|＋kπ<α<＋kπ，k∈Z}．18．已知1570α=-o ，2750α=o，135βπ=，23βπ=-． （1）将12,αα用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；（2）将12,ββ用角度制表示出来，并在720,180⎡⎤--⎣⎦o o内找出与它们终边相同的所有角．【答案】（1）1196πα=-终边位于第二象限，2256πα=终边位于第一象限； （2）12108,60ββ==-o o，与1β终边相同的角为252-o 和612-o ，与2β终边相同的角为420-o .【解析】（1）由题意，根据角度制与弧度制的互化公式，可得：1195705701806ππα=-=-⨯=-o oo， 2257507501806ππα==⨯=o o o， 又由1195466ππαπ=-=-+，所以1α与角56π的终边相同，所以1α终边位于第二象限；225466ππαπ==+，所以2α与角6π的终边相同，所以2α终边位于第第一象限.（2）根据角度制与弧度制的互化公式，可得131085βπ==o ，2603βπ=-=-o ， 根据终边相同角的表示，可得与1β终边相同的角为1360108,k k Z θ=⨯+∈o o，当1k =-时，1360108252θ=-+=-o o o ；当2k =-时，12360108612θ=-⨯+=-o o o. 与2β终边相同的角为236060,k k Z θ=⨯-∈o o ，当1k =-时，136060420θ=--=-o o o.19．在角的集合{}|9045,k k αα︒︒=+∈Z g， （1）有几种终边不同的角？（2）写出区间(180,180)︒︒-内的角？ （3）写出第二象限的角的一般表示法．【答案】(1) 4种．(2) 135,45,45,135︒︒︒︒--．(3) 360135,k k ︒︒+∈Z g ．【解析】（1）由题知9045,k k α︒︒=+∈Z g ，令0,1,2,3k =，则45,135,225,315α︒︒︒︒=， ∴在给定的角的集各中，终边不同的角共有4种． （2）由1809045180,k k ︒︒︒︒-<+<∈Z g ，得53,22k k -<<∈Z ，∴2,1,0,1k =--， ∴在区间(180,180)︒︒-内的角有135,45,45,135︒︒︒︒--． （3）由（1）知，第二象限的角可表示为360135,k k ︒︒+∈Z g ．20．已知扇形面积为225cm ，当扇形的圆心角为多大时，扇形的周长取得最小值？ 【答案】当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取得最小值．【解析】设扇形的半径为R ，弧长为l ，扇形的周长为y ，则2y l R =+． 由题意，得1252lR =，则50l R =，故502522(0)y R R R R R ⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭． 利用函数单调性的定义，可得当05R <…时，函数502y R R=+是减函数； 当5R >时，函数502y R R=+是增函数． 所以当5R =时，y 取得最小值20，此时10l =，2lRα==， 即当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取得最小值．21．（2019·宁夏银川一中高一期中）已知在半径为的圆中，弦的长为.（1）求弦所对的圆心角的大小；（2）求圆心角所在的扇形弧长及弧所在的弓形的面积. 【答案】（1）（2）【解析】（1）由于圆的半径为，弦的长为，所以为等边三角形，所以.（2）因为，所以.，又，所以.22．已知一扇形的中心角为α，所在圆的半径为R ．（1）若,6cm 3R απ== ，求该扇形的弧长l ． （2）若扇形的周长为12cm ，问当α多大时，该扇形有最大面积？并求出这个最大面积．【答案】（1）2π； （2）2α=，扇形的最大面积为29cm . 【解析】（1）由扇形的弧长公式，可得该扇形的弧长为623l R παπ==⨯=；（2）由题意，扇形的周长为12cm ，所以212R l +=，可得122l R =-， 又由扇形的面积公式，可得2211(122)6(3)922S lR R R R R R ==-=-+=--+, 当3R =时，扇形的面积取得最大值，此时最大面积为29S cm =， 此时1226l R =-=，即36R αα=⨯=，解得2α=.。
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任意角和弧度制练习题一、选择题1、下列角中终边与330°相同的角是（ ）A ．30°B ．-30°C ．630°D ．-630°2、－1120°角所在象限是 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、把－1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是（ ）A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360°4.在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中，属于第二象限的角是（ )A.①B.①②C.①②③D.①②③④5、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ）A ．｛α∣90°<α<180°｝B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝D.｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝6.终边落在X 轴上的角的集合是（ ）Α.{ α|α=k ·360°,K ∈Z } B.{ α|α=(2k+1)·180°,K ∈Z }C.{ α|α=k ·180°,K ∈Z }D.{ α|α=k ·180°+90°,K ∈Z }7.若α是第四象限角，则180°+α一定是（ ）Α.第一象限角 B. 第二象限角 C.第三象限角 D. 第四象限角8.下列结论中正确的是( )A.小于90°的角是锐角B.第二象限的角是钝角C.相等的角终边一定相同D.终边相同的角一定相等9．下列命题中的真命题是 （ ）A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B ．第一象限的角是锐角C ．第二象限的角比第一象限的角大D ．{}Z k k ∈±⋅=,90360| αα={}Z k k ∈+⋅=,90180| αα 10、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=C C ．A ⊂CD ．A=B=C11.若α是第一象限的角，则-2α是( ) A.第一象限的角 B.第一或第四象限的角 C.第二或第三象限的角 D.第二或第四象限的角12.集合A={α｜α=k ·90°,k ∈N +}中各角的终边都在( )A.x 轴的正半轴上B.y 轴的正半轴上C.x 轴或y 轴上D.x 轴的正半轴或y 轴的正半轴上13.α是一个任意角，则α与-α的终边是( ) A.关于坐标原点对称 B.关于x 轴对称C.关于直线y=x 对称D.关于y 轴对称14．设k ∈Z ，下列终边相同的角是 （ ）A ．（2k +1）·180°与（4k ±1）·180°B ．k ·90°与k ·180°+90°C ．k ·180°+30°与k ·360°±30°D ．k ·180°+60°与k ·60° 15．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A ．2B ．1sin 2C ．1sin 2D ．2sin16．一钟表的分针长10 cm ，经过35分钟，分针的端点所转过的长为：（ ）A ．70 cmB ．670 cm C ．(3425-3π)cm D ．3π35 cm 17．180°－α与α的终边（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．以上都不对18．设集合M ={α|α=5-2ππk ，k ∈Z }，N ={α|－π＜α＜π}，则M ∩N 等于（） A ．{－105ππ3,} B ．{－510ππ4,7} C ．{－5-105ππππ4,107,3,} D ．{07,031-1ππ } 19．某扇形的面积为12cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数为（ ）A ．2°B ．2C ．4°D ．420．如果弓形的弧所对的圆心角为3π，弓形的弦长为4 cm ，则弓形的面积是：（ ） A ．（344-9π） cm 2 B ．（344-3π ）cm 2 C ．（348-3π）cm 2 D ．（328-3π） cm 2 21．设集合M ={α|α=k π±6π，k ∈Z }，N ={α|α=k π+(－1)k 6π，k ∈Z }那么下列结论中正确的是（ ）A．M=N B．M N C．N M D．M N且N M二、填空题（每小题4分，共16分，请将答案填在横线上）22. 若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为____________________．23．与1991°终边相同的最小正角是______,绝对值最小的角是_________．α角的终边在,2α角的终边24．若角α是第三象限角，则2在______________.25. 若角α、β的终边互为反向延长线，则α与β之间的关系是___________．α则α的范围是.26．已知α是第二象限角，且,4|2+|≤27. 在0与360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？（1）120-（2）640（3）95012'-28．中心角为60°的扇形，它的弧长为2π，求它的内切圆的面积29．已知扇形的周长为20 cm，当扇形的中心角为多大时，它有最大面积，最大面积是多少？答案:1.B2.D3.D4.D5.D6.C7.B8.C9.D 10.B11.D 12.C 13.B 14.A 15.B16.D 17.B 18.C 19.B 20.C 21.C22.试题分析：在上第一个出现终边在第二象限角平分线的角为，之后每隔个单位出现一个落在第二象限角平分线上角，因此所求集合为.23. 1991=360*5+191=360*6-169与1991°终边相同的最小正角是（191）,绝对值最小的角是（169）24.这里有一个技巧,就是把每个象限两等分（求角的几等分,就把每个象限几等分）,就是沿原点对折,给这八个区域依次编上号,怎么编呢,就是1,2,3,4,1,2,3,4,这里出现三的区域是第二象限和第四象限 （看原来的那个角在第几象限,这里就找出现几的区域）,所以答案就是第二象限和第四象限,你多练几次,就知道了.第二问的话,因为180度+2k π= 25. 角α与角β的终边互为反向延长线，说明α=β+（2k+1）π，k ∈Z ， 故答案为：（1）α=π-β+2k π，（k ∈z ）；（2）α=π+β+2k π，（k ∈z ）． 26. 第二象限角为2k π+π∕2﹤a ﹤2k π+π,又由绝对值≤4得,-6≤a ≤2. k=0时,π∕2﹤a ﹤π,满足范围；k=1时,-3/2 π﹤a ﹤-π,满足范围.k 取其他值时不成立,故a 的取值范围为]2,2(),23(πππ⋃-- 27. （1）-120度=-360度+240度 所以0度到360度的范围内 240度和-120度终边相同 在第三象限（2）640度=360度+280度 所以0度到360度的范围内 280度和640度终边相同 在第四象限（3）-990度12分=-360度×3+89度48分 所以0度到360度的范围内 89度48分和-990度12分终边相同 在第一象限28. 设扇形和内切圆的半径分别为R ，r ．由2π＝π 3R ，解得R=6．∵3r=R=6，∴r=2．∴S=4π29.25. 设半径=x,则弧长为20-2x扇形面积=1/2*半径*弧长=1/2*x*(20-2x)=-x ²+10x对称轴是x=5∴x=5时,扇形面积最大值=-25+50=25平方厘米弧长为=10cm圆心角=弧长/半径=10/5=2 rad。
高中试卷-5.1 任意角和弧度制(含答案)
5.1任意角和弧度制1. 任意角；2. 终边相同的角；3. 终边在某条直线上的角的集合；4. 区域角的表示；5. 分角、倍角所在角限的判断；6. 有关“角度”与“弧度”概念的理解；7. 角度制与弧度制的转化；8. 用弧度制表示区域角；9. 求扇形面积最值的函数思想.一、单选题1．（2021·伊美区第二中学高一月考）300-o 化为弧度是（ ）A ．43p-B ．53p -C ．23p -D ．56p -【答案】B 【解析】300530023603pp -=-´=-o 2．（2021·广东高一期末）下列各角中，与2021°终边相同的角为（ ）A ．41°B ．129°C ．219°D ．﹣231°【答案】C 【解析】因为20195360219=´+o o o ，所以219o 与2021°终边相同.故选：C.3．（2021·永昌县第四中学高一期末）若α是第四象限角，则180°＋α一定是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】B 【解析】∵α是第四象限角，∴k·360°－90°<α<k·360°.∴k·360°＋90°<180°＋α<k·360°＋180°. ∴180°＋α在第二象限，故选B.4．（2021·江西省铜鼓中学高一期末）一个扇形的圆心角为150°，面积为53π，则该扇形半径为（ ）A ．4B ．1C D ．2【答案】D 【解析】圆心角为51506pa ==o，设扇形的半径为R ，2215152326S R R p p a =×Þ=´，解得2R =.故选：D5．（2021·永州市第四中学高一月考）在0360~°°的范围内，与510°-终边相同的角是（ ）A ．330°B ．210°C ．150°D ．30°【答案】B 【解析】因为510720210°-=-+o o ,则在0360~°°的范围内，与510°-终边相同的角是210°,故选：B.6．（2021·山西平城·大同一中高一月考）已知扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，则此扇形的面积为（ ）．A ．8cm 2B ．10cm 2C ．12cm 2D ．14cm 2【答案】A 【解析】设扇形的半径为r cm ，∵扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，∴2412r r +=，得2r =，∴此扇形的面积214282S =´´=（cm 2），故选：A ．7．（2021·河南林州一中高一月考）已知集合A ＝{α|α小于90°}，B ＝{α|α为第一象限角}，则A∩B＝( )A ．{α|α为锐角}B ．{α|α小于90°}C ．{α|α为第一象限角}D ．以上都不对【答案】D【解析】∵A＝{α|α小于90°}，B ＝{α|α为第一象限角}，∴A∩B＝{小于90°且在第一象限的角}，对于A ：小于90°的角不一定是第一象限的，不正确，比如﹣30°；对于B ：小于90°的角且在第一象限的角不一定是0°～90°的角，不正确，例如﹣300°；对于C ：第一象限的角不一定是小于90°的角且在第一象限的角，不正确，例如380°，故选D ．8．（2021·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高一期末）已知半径为1的扇形面积为38p，则扇形的圆心角为（ ）A ．316p B ．38p C ．34p D ．32p 【答案】C 【解析】由212S r a =得231182p a =´´，所以34pa =，故选：C.9.（2021·山东潍坊·高一期末）已知某扇形的半径为4cm ，圆心角为2rad ，则此扇形的面积为（ ）A ．232cm B ．216cm C ．28cm D ．24cm 【答案】B【解析】由题意，某扇形的半径为4cm ，圆心角为2rad ，根据扇形的面积公式，可得22211241622S r cm a ==´´= 所以此扇形的面积为216cm .故选：B.10．（2021·四川德阳·高三其他（理））将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆所示就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图所示是分别以A 、B 、C 为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线G （又称莱洛三角形），下列关于曲线G 的描述中，正确的有（ ）（1）曲线G 不是等宽曲线；（2）曲线G 是等宽曲线且宽为线段AB 的长；（3）曲线G 是等宽曲线且宽为弧AB 的长；（4）在曲线G 和圆的宽相等，则它们的周长相等；（5）若曲线G 和圆的宽相等，则它们的面积相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】若曲线G 和圆的宽相等，设曲线G 的宽为1，则圆的半径为12，（1）根据定义，可以得曲线G 是等宽曲线，错误；（2）曲线G 是等宽曲线且宽为线段AB 的长，正确；（3）根据（2）得（3）错误；（4）曲线G 的周长为1326p p ´´=，圆的周长为122p p ´=，故它们的周长相等，正确；（5）正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为2166p p´=，正三角形的面积1112S =´´=，则一个弓形面积6S p=，则整个区域的面积为3(62pp -=-而圆的面积为2124p p æö=ç÷èø，不相等，故错误；综上，正确的有2个，故选：B.二、多选题11.（2021·涟水县第一中学高一月考）下列四个选项正确的有（ ）A ．75-°角是第四象限角B ．225°角是第三象限角C ．475°角是第二象限角D ．315-°是第一象限角【答案】ABCD 【解析】对于A 如图1所示，75-°角是第四象限角；对于B 如图2所示，225°角是第三象限角；对于C 如图3所示，475°角是第二象限角；对于D 如图4所示，315-°角是第一象限角.故选：ABCD .12．（2021·全国高一课时练习）下列与412°角的终边相同的角是（ ）A ．52°B ．778°C ．308-°D ．1132°【答案】ACD 【解析】因为41236052=°°+°，所以与412°角的终边相同角为36052,k k Z b =´°+°Î，当1k =-时，308b =-°，当0k =时，52b =°，当2k =时，772b =°，当3k =时，1132b =°，当4k =时，1492b =°，综上，选项A 、C 、D 正确.故选：ACD.13．（2021·全国高一课时练习）下列条件中，能使a 和b 的终边关于y 轴对称的是（ ）A ．90a b +=oB ．180a b +=oC ．()36090k k Z a b °°+=×+ÎD ．()360k k Z a b °+=×ÎE.()()21180k k Z a b +=+×Îo【答案】BE【解析】假设a 、b 为0180o o :内的角，如图所示，因为a 、b 的终边关于y 轴对称，所以180a b °+=，所以B 满足条件；结合终边相同的角的概念，可得()()36018021180Z k k k a b +=×+=+×Îooo，所以E 满足条件，ACD 都不满足条件．故选：BE.14．（2021·重庆高一月考）设a 是第三象限角，则2a所在象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】BD【解析】a Q 是第三象限角，360180360270k k a \×°+°<<×°+°，k Z Î，则180901801352k k a×°+°<<×°+°，k Z Î，令2k n =，n Z Î有360903601352n n a×°+°<<×°+°，n Z Î；在二象限；21k n =+，n z Î，有3602703603152n n a×°+°<<×°+°，n Z Î；在四象限；故选：B D ．三、填空题15．（2021·宁县第二中学高一期中）已知角a 的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么a Î________.【答案】{}|180********,n n n a a ×°+°<<×°+°ÎZ .【解析】在0360o o :范围内，终边落在阴影内的角a 满足：30150a <<o o 或210330a <<o o\满足题意的角a 为：{}{}30360150360210360330360k k k k a a a a +×<<+×È+×<<+×oo o o o o o o{}{}302180150218021021803302180k k k k a a a a =+×<<+×È+×<<+×o o o o o o o o{}()(){}3021801502180302118015021180k k k k a a a a =+×<<+×È++×<<++×o o o o o o o o{}30180150180n n a a =+×<<+×o o o o ，k Z Î，n ZÎ本题正确结果：{}30180150180,n n n Za a +×<<+×Îoooo16．（2018·福建高一期中）已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为 ．【答案】4【解析】设扇形半径为r ，弧长为l ，则142{2lr l r==，解得4{2l r ==．17．（2021·上海杨浦·复旦附中高一月考）一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是________弧度【答案】12【解析】设扇形的所在圆的半径为r ，圆心角为a ，因为扇形的面积为1，弧长也为1，可得21121r r a a ì×=ïíï=î，即221r r a a ì×=í=î，解得12,2r a ==.故答案为：12四、双空题18．（2021·上海高一课时练习）24°=_________弧度；49p 弧度=________.【答案】215p 80° 【解析】根据角度制与弧度制的互化公式1801,1180rad pp==oo，可得2180241245pp °==´，441808099p =´=o o .故答案为：215p ，80o .19．（2021·全国高一课时练习）（1）给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角或直角或锐角.其中正确说法的序号为________.(把正确说法的序号都写上)（2）将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________.【答案】② 120-° 【解析】（1）①锐角的范围为()0,90°°是第一象限的角，命题①正确；②第一象限角的范围为()()360,90360k k k Z ×°°+×°Î，故第一象限角可以为负角，故②错误；③根据任意角的概念，可知小于180°的角，可以为负角，故③错误；故答案为：②（2）将时针拨快20分钟，则分针顺时针转过120°，即转过的度数为120-°故答案为：120-°20．（2021·浙江柯城·衢州二中高三一模）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB 长是__________，弧田的面积是__________．【答案】 【解析】∵如图，弧田的弧AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，过O 作OC AB ^，交AB 于D ，根据圆的几何性质可知，OC 垂直平分AB .∴α＝∠AOB＝46p ＝23p ，可得∠AOD＝3p，OA ＝6，∴AB＝2AD ＝2OAsin3p＝2×66，∴弧田的面积S ＝S 扇形OAB ﹣S △OAB ＝12´4π×6﹣132´．故答案为：．21．（2021·宁波市北仑中学高一期中）已知扇形的周长为40，当它的圆心角为____时，扇形的面积最大，最大面积为____.【答案】2 100【解析】设扇形半径为r ，则其弧长为402r -，4020,20r r -><，∴020r <<．∴221(402)20(10)1002S r r r r r =-=-+=--+，∴10r =时，max 100S =．此时圆心角为40210210-´=．故答案为：2；100．五、解答题22．（2021·全国高一课时练习）写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．【答案】{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}；元素β见解析【解析】与α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1910°，k∈Z}．∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，∴1111363636k £< (k∈Z)，故取k ＝4,5,6.k ＝4时，β＝4×360°－1910°＝－470°；k ＝5时，β＝5×360°－1910°＝－110°；k ＝6时，β＝6×360°－1910°＝250°.23.（2021·全国高一课时练习）写出终边在直线y x =上的角的集合.【答案】{|=,}6k k Z pb b p +Î【解析】直线y x=的倾斜角为6p a =，所以终边在直线y x=上的角为=2,6k k Z p b p +Î或7=2,6k k Z p b p +Î，=2(21),66k k k Z ppb p p p ++=++Î，综合得终边在直线y x =上的角为=,6k k Z p b p +Î，所以终边在直线y x =上的角的集合为{|=,}6k k Z p b b p +Î.24.（2021·全国高一课时练习）已知a 为第二象限角，则2a 是第几象限角？【答案】第一或第三象限角【解析】∵a 是第二象限角，∴+2+22k k k Z p p a p p <<Î，，∴++422k k k Zpapp p <<Î，.当k 为偶数时，2a 是第一象限角；当k 为奇数时，2a 是第三象限角．所以2a第一或第三象限角.点睛:确定2()*n n N n a³Î，终边位置的方法步骤：(1)用终边相同角的形式表示出角a 的范围；(2)写出n a的范围；(3)根据k 的可能取值讨论确定n a的终边所在位置25．（2021·全国高一课时练习）已知如图．（1）写出终边落在射线OA 、OB 上的角的集合；（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．【答案】（1）终边落在射线OA 上的角的集合为{}210360,k k Z a a =+×Îo o ，终边落在射线OB 上的角的集合为{}300360,k k Z a a =+×Îo o ；（2）{}210360300360,k k k Z a a +×££+×Îo o o o .【解析】（1）终边落在射线OA 上的角的集合是{}210360,k k Z a a =+×Îo o ，终边落在射线OB 上的角的集合{}300360,k k Z a a =+×Îo o ；（2）终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是{}210360300360,k k k Z a a +×££+×Îo o o o .26．（2021·全国高一课时练习）已知扇形AOB 的圆心角α为23p ，半径长R 为6，求：（1）弧AB 的长；（2）扇形所含弓形的面积.【答案】（1）4π；（2）12π－【解析】（1）l ＝α·R＝23π×6＝4π，所以弧AB 的长为4π.（2）S 扇形OAB ＝12lR ＝12×4π×6＝12π.如图所示，过点O 作OD⊥AB，交AB 于点D ，23π＝120°，所以∠AOD＝60°，∠DAO＝30°，于是有S △OAB ＝12×AB×OD＝12×2×6cos 30°×3＝所以弓形的面积为S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－.所以弓形的面积是12π－.27．（2021·浙江高一课时练习）已知一扇形的圆心角为(0)a a >，所在圆的半径为R.（1）若60a °=，10R cm =，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角a 等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?【答案】（1）103cm p ，()2503cm p æ-çè；（2）2rad a =.【解析】（1）设扇形的弧长为l ，弓形面积为S ，则603pa °==，10R =，101033l cm pp =´=，()22110501010233S cm p p æ=´´-=-çè.（2）设扇形弧长为l ，则220l R +=，即10202101l R R p æö=-<<ç÷+èø，∴扇形面积2211(202)10(5)2522S IR R R R R R ==-×=-+=--+，∴当5R cm =时，S 有最大值225cm ，此时10l cm =，2rad l Ra ==.因此当2rad a =时，这个扇形面积最大.点睛:12,2C l R S lR =+=当周长C 为定值时可得面积()211222S C R R R CR =-=-+当面积S 为定值时可得周长22S C R R =+.。
任意角和弧度制练习题有答案
任意角和弧度制练习题有答案(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--任意角和弧度制练习题一、选择题1、下列角中终边与330°相同的角是（）A．30° B．-30° C．630° D．-630°2、－1120°角所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3、把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（）A．45°－4×360° B．－45°－4×360°C．－45°－5×360° D．315°－5×360°4.在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中，属于第二象限的角是（ )A.①B.①②C.①②③D.①②③④5、终边在第二象限的角的集合可以表示为：（）A．｛α∣90°<α<180°｝B．｛α∣90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z｝C．｛α∣－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z｝D.｛α∣－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z｝6.终边落在X轴上的角的集合是（）Α.{ α|α=k·360°,K∈Z } B.{ α|α=(2k+1)·180°,K∈Z }C.{ α|α=k·180°,K∈Z }D.{ α|α=k·180°+90°,K∈Z }237.若α是第四象限角，则180°+α一定是（ ）Α.第一象限角 B. 第二象限角 C.第三象限角 D. 第四象限角8.下列结论中正确的是( )A.小于90°的角是锐角B.第二象限的角是钝角C.相等的角终边一定相同D.终边相同的角一定相等 9．下列命题中的真命题是（ ） A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B ．第一象限的角是锐角C ．第二象限的角比第一象限的角大D ．{}Z k k ∈±⋅=,90360| αα={}Z k k ∈+⋅=,90180| αα10、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=C C ．A ⊂CD ．A=B=C 11.若α是第一象限的角，则-2α是( ) A.第一象限的角B.第一或第四象限的角C.第二或第三象限的角D.第二或第四象限的角12.集合A={α｜α=k ·90°,k ∈N +}中各角的终边都在( )轴的正半轴上轴的正半轴上 轴或y 轴上 轴的正半轴或y 轴的正半轴上13.α是一个任意角，则α与-α的终边是( )4A.关于坐标原点对称B.关于x 轴对称C.关于直线y=x 对称D.关于y 轴对称14．设k ∈Z ，下列终边相同的角是（ ）A ．（2k +1）·180°与（4k ±1）·180°B ．k ·90°与k ·180°+90°C ．k ·180°+30°与k ·360°±30°D ．k ·180°+60°与k ·60° 15．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A ．2B ．1sin 2C ．1sin 2D ．2sin 16．一钟表的分针长10 cm ，经过35分钟，分针的端点所转过的长为：（ ）A ．70 cmB ．670 cmC ．(3425-3π)cmD ．3π35 cm 17．180°－α与α的终边（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．以上都不对18．设集合M ={α|α=5-2ππk ，k ∈Z }，N ={α|－π＜α＜π}，则M ∩N 等于（） A ．{－105ππ3,} B ．{－510ππ4,7} C ．{－5-105ππππ4,107,3,} D ．{07,031-1ππ } 19．某扇形的面积为12cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数为（ ）A ．2°B ．2C ．4°D ．420．如果弓形的弧所对的圆心角为3π，弓形的弦长为4 cm ，则弓形的面积是：（ ）5A ．（344-9π） cm 2B ．（344-3π ）cm 2 C ．（348-3π）cm 2 D ．（328-3π） cm 2 21．设集合M ={α|α=k π±6π，k ∈Z }，N ={α|α=k π+(－1)k 6π，k ∈Z }那么下列结论中正确的是（ ）A ．M =NB ．M NC ．N MD ．M N 且N M二、填空题（每小题4分，共16分，请将答案填在横线上）22. 若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为____________________．23．与1991°终边相同的最小正角是______,绝对值最小的角是_________．24．若角α是第三象限角，则2α角的终边在 ,2α角的终边在______________.25. 若角α、β的终边互为反向延长线，则α与β之间的关系是___________．26．已知α是第二象限角，且,4|2|≤+α则α的范围是 .27. 在0与360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角（1）120- （2）640 （3）95012'-28．中心角为60°的扇形，它的弧长为2π，求它的内切圆的面积29．已知扇形的周长为20 cm ，当扇形的中心角为多大时，它有最大面积，最大面积是多少？答案:622.试题分析：在上第一个出现终边在第二象限角平分线的角为，之后每隔个单位出现一个落在第二象限角平分线上角，因此所求集合为. 23. 1991=360*5+191=360*6-169与1991°终边相同的最小正角是（191）,绝对值最小的角是（169）24. 这里有一个技巧,就是把每个象限两等分（求角的几等分,就把每个象限几等分）,就是沿原点对折,给这八个区域依次编上号,怎么编呢,就是1,2,3,4,1,2,3,4,这里出现三的区域是第二象限和第四象限 （看原来的那个角在第几象限,这里就找出现几的区域）,所以答案就是第二象限和第四象限,你多练几次,就知道了.第二问的话,因为180度+2kπ=25. 角α与角β的终边互为反向延长线，说明α=β+（2k+1）π，k ∈Z ，故答案为：（1）α=π-β+2k π，（k ∈z ）；（2）α=π+β+2k π，（k ∈z ）． 26. 第二象限角为2k π+π∕2﹤a ﹤2k π+π,又由绝对值≤4得,-6≤a ≤2. k=0时,π∕2﹤a ﹤π,满足范围；k=1时,-3/2 π﹤a ﹤-π,满足范围.k 取其他值时不成立,故a 的取值范围为]2,2(),23(πππ⋃-- 27. （1）-120度=-360度+240度 所以0度到360度的范围内 240度和-120度终边相同 在第三象限（2）640度=360度+280度所以0度到360度的范围内 280度和640度终边相同在第四象限（3）-990度12分=-360度×3+89度48分所以0度到360度的范围内89度48分和-990度12分终边相同在第一象限28. 设扇形和内切圆的半径分别为R，r．由2π＝π3R，解得R=6．∵3r=R=6，∴r=2．∴S=4π.设半径=x,则弧长为20-2x扇形面积=1/2*半径*弧长=1/2*x*(20-2x)=-x²+10x对称轴是x=5∴x=5时,扇形面积最大值=-25+50=25平方厘米弧长为=10cm圆心角=弧长/半径=10/5=2 rad7。
1.1.3任意角、弧度制习题
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4 3 4
, k Z}
4 5 D { | 2k , k Z} 4 E { | 2k
, 或 2k
5 4
,k Z}
4
则相等的角的集合是
。
任意角、弧度
实地演习 1.(2)已知 M
{ | k 2 k 4
k , k Z },
任意角、弧度
实地演习 4.一个角的7倍所在的终边与这个角的终边重合， 问这样的角有几个，试求出它们。
任意角、弧度
实地演习 3.已知：
A { | 2k B { | 2k
5 6
2k , k Z },
1 4
2
2k , k Z },
求 A B, A B. 思考：将B改为下面集合，重求之。
B { | k
2
1 4
3.已知角 的终边，如何确定角2 、表示各种与角相关的公式；
5.用弧度制表示角并求角的三角函数值。
任意角、弧度
实地演习 1.(1)已知
A { | 2k B { | 2k C { | k
4
, k Z} , k Z}
N { |
2
则集合M与N的关系最正确的是：
A. M N
C. M N B. M N D. M N
任意角、弧度
实地演习 58 2.(1)在 (4 , 4 ) 内，找出与角 终边相同的 7 角是 ； (2)圆的弧长等于该圆内接正三角形的边长，则该 弧所对的圆心角是 ； (3)1弧度的圆心角所对弦长为2，则该圆心角所对 的弧长是 。
任意角和弧度制练习题
任意角和弧度制练习题一任意角和弧度制一、选择题1.一个扇形的弧长与面积都是5，则这个扇形圆心角的弧度数为（）A． B． C． D．2.与角终边相同的角是（）A． B． C． D．3.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为( )4.已知{第一象限角}，{锐角}，{小于90°的角}，那么、、关系是（）A．B． C． D．5.周长为,圆心角为的扇形的面积等于(A) (B) (C) D)6.已知MP，OM，AT分别为角的正弦线、余弦线、正切线，则一定有（）A. B. C. D.7.与角-终边相同的角是（）A． B. C. D.8.把－1125°化成α＋2kπ （0≤α＜2π,k∈Z＝）的形式是（）9.若角α终边在第二象限，则π－α所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10.下列各角中与240°角终边相同的角为（）11.（5分）（2010?宁夏）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．12.半径为10 cm，面积为100cm2的扇形中，弧所对的圆心角为（）A．2弧度B． C．弧度 D．10弧度13.下列命题正确的是（）A．小于的角一定是锐角B．终边相同的角一定相等C．终边落在直线上的角可以表示为D．若，则角的正切值等于角的正切值。
14.下面有五个命题：①函数的最小正周期是；②终边在y轴上的角的集合是；③在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有一个公共点；④把函数；⑤在中，若，则是等腰三角形；其中真命题的序号是（）．（1）（2）（3）．（2）（3）（4）．（3）（4）（5）．（1）（4）（5）15.已知弧度为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2 B． C． D．16.已知是锐角，那么是（）（Ａ）第一象限角 (B)第二象限角(C)小于180的正角 (D)第一或第二象限角17.点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长达到Q点，则Q的坐标为A. B. C. D.18.已知为第三象限角，则所在的象限是（）A. 第一或第二象限B. 第二或第三象限C.第一或第三象限D. 第二或第四象限19.若是第一象限角，则是 ( )第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角20.过原点作圆的两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 A． B． C． D．21.下列命题中正确的是（）A.第一象限角一定不是负角B.小于90的角一定是锐角C.钝角一定是第二象限的角D.终边相同的角一定相等22.若，则点位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限D．第四象限23.在内与终边相同的角有（）个1 2 324.若，且，则角的终边所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限25.若α、β的终边关于y轴对称，则下列等式正确的是（）A.sinα=sinβB.cosα=cosβC.tanα=tanβD.tanα·tanβ=126.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )．27.若是第三象限的角，则是（）A．第一、二、三象限角 B．第一、二、四象限角C．第一、三、四象限角 D．第二、三、四象限角28.下列命题正确的是（）Α．三角形的内角必是一、二象限内的角B．第一象限的角必是锐角C．不相等的角终边一定不同D．=29.将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是（）A. B.－ C. D.－30.若圆中一段弧长正好等于该圆外切正三角形的边长，设这段弧所对的圆心角是，则的值所在的区间为（）A． B． C． D．31.若sinα<0且tanα>0，则α的终边在( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限二、填空题32.已知扇形的半径为R，周长为3R，则扇形的圆心角等于____________．33.圆的半径为，为圆周上一点，现将如图放置的边长为的正方形（实线所示，正方形的顶点和点重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点第一次回到点的位置，则点走过的路径的长度为▲．34.已知是单位圆上（圆心在坐标原点）任一点，将射线绕点逆时针旋转到交单位圆于点，则的最大值为．35.若角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系是___________．36.如图，长为，宽为1的矩形木块，在桌面上做无滑动翻滚，翻滚到第三面后被一块小木块挡住，使木块与桌面成角，则点A走过的路程是_____________37.给出下列说法：①终边在y轴上的角的集合是②若函数f(x)=asin2x+btanx+2，且f(-3)=5，则f(3)的值为-1③函数y=ln|x-1|的图象与函数y=-2cos x(-2≤x≤4}的图像所有交点的横坐标之和等于6，其中正确的说法是__________〔写出所有正确说法的序号)38.如右图，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1,0)出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转．已知点P在1秒钟内转过的角度为θ(0＜θ＜π)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟后又恰好回到出发点A，则θ=．39.正方形铁片的边长为8cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积等于________cm3.40.给出下列结论①扇形的圆心角为弧度，半径为2，则扇形的面积是；②某小礼堂有25排座位，每排20个，一次心理学讲座，礼堂中坐满了学生，会后为了了解有关情况，留下座位号是15的所有25名学生进行测试，这里运用的是系统抽样方法；③一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“两次都不中靶”互为对立事件；④若数据：的方差为8，则数据的方差为16；其中正确结论的序号为.(把你认为正确结论的序号都填上)．41.已知是第四象限角，则必定不在第象限.42.若角与角的终边关于轴对称，则与的关系是___________________________.43.若α是第一象限的角，则π－α是第______象限的角44.若角满足，则的取值范围是_____________。
高一数学弧度制与任意角试题
高一数学弧度制与任意角试题1.（2分）圆的半径是6cm，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是（）A．cm2B．cm2C．πcm2D．3πcm2【答案】B【解析】利用扇形面积公式，即可求得结论．解：15°化为弧度为=∴15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是==cm2故选B．点评：本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题．2.（2分）﹣πrad化为角度应为．【答案】﹣345°【解析】利用角的弧度数与角的度数之间的换算关系：π rad=180°，求出结果即可．解：∵π rad=180°，∴两边同时乘以﹣，得﹣πrad=﹣345°故答案为：﹣345°点评：本题考查利用角的弧度数与角的度数之间的互化，利用角的弧度数与角的度数之间的换算关系：π rad=180°．3.（2分）设α，β满足﹣＜α＜β＜，则α﹣β的范围是．【答案】﹣π＜α﹣β＜0【解析】先确定﹣β的范围，再利用不等式的性质，即可得到结论．解：∵﹣＜β＜，∴﹣＜﹣β＜，∵﹣＜α＜，∴﹣π＜α﹣β＜π∵α＜β∴﹣π＜α﹣β＜0故答案为：﹣π＜α﹣β＜0点评：本题考查不等式的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．4.（2分）若α角与角终边相同，则在[0，2π]内终边与角终边相同的角是．【答案】．【解析】利用角与α为终边相同的角可得，α=2kπ+，k∈z，从而可得与终边相同的角，继而可得答案．解：依题意，α=2kπ+，k∈z，∴=+，k∈z，又∈[0，2π]，∴k=0，α=；k=1，α=；k=2，α=；k=3，α=．故答案为：．点评：本题考查终边相同的角，表示出与终边相同的角是关键，考查分析与转化及运算能力，属于中档题．5.（8分）1弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及圆心角所夹的扇形的面积．=．【答案】r=，∴l=r•α=，S扇【解析】利用弦长求出扇形的半径，从而可求圆心角所对的弧长及圆心角所夹的扇形的面积．解：由已知可得r=，∴l=r•α==l•r=•r2•α=•=．S扇点评：本题考查圆心角所对的弧长及圆心角所夹的扇形的面积，考查学生的计算能力，属于基础题．6.（5分）已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长为．【答案】【解析】解直角三角形AOC，求出半径AO，代入弧长公式求出弧长的值．解：如图：设∠AOB=2，AB=2，过点0作OC⊥AB，C为垂足，并延长OC交于D，则∠AOD=∠BOD=1，AC=AB=1．Rt△AOC中，r=AO==，从而弧长为α•r=2×=，故答案为．点评：本题考查弧长公式的应用，解直角三角形求出扇形的半径AO的值，是解决问题的关键，属于基础题．7.（5分）已知sinα=m，（|m|＜1），，那么tanα=【答案】【解析】先根据α的范围和sinα的值，利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，最后利用tanα=求得答案．解：∵∴cosα=﹣∴tanα==故答案为：点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系．要熟练记忆三角函数中平方关系，商数关系和倒数关系等．8.（5分）（2007•江苏）某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d（cm）表示成t（s）的函数，则d=，其中t∈[0，60]．【答案】10sin．【解析】由题意知可以先写出秒针转过的角度，整个圆周对应的圆心角是360°，可以算出一秒转过的角度，再乘以时间，连接AB，过圆心向它做垂线，把要求的线段分成两部分，用直角三角形得到结果．解：∵∴根据直角三角形的边长求法得到d=2×5×sin=10sin，故答案为：10sin．点评：本题是一个实际应用问题，为了学生掌握这一部分的知识，必须使学生熟练的掌握所有公式，在此基础上并能灵活的运用公式，培养他们的观察能力和分析能力，提高他们的解题方法．9.在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：（1）sin α≥；（2）cos α≤﹣．【答案】（1）{α|2kπ+≤α≤2kπ+，k∈z，}．（2）{α|2kπ+≤α≤2kπ+，k∈z，}．【解析】（1）作直线交单位圆于A、B两点，OA与OB围成的区域（阴影部分）即为角α的终边的范围，在[0，2π）内的角的范围为[，]，可得足条件的角α的集合．（2）作直线交单位圆于C、D两点，OC与OD围成的区域（图中阴影部分）即为角α终边的范围，在[0，2π）内的角的范围为[，]，得足条件的角α的集合．解：（1）作直线交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域（阴影部分）即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+≤α≤2kπ+，k∈z，}．（2）作直线交单位圆于C、D两点，连接OC、OD，则OC与OD围成的区域（图中阴影部分）即为角α终边的范围．故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+≤α≤2kπ+，k∈z，}．点评：本题考查利用单位圆中的三角函数线来表示三角函数的值的方法，体现了数形结合的数学思想．10.（1）一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？（2）一扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？【答案】（1）π﹣2，65°26′，（π﹣2）r2．（2）当α=2rad时，扇形的面积取最大值．【解析】（1）设扇形的圆心角，利用弧长公式得到弧长，代入题中条件，求出圆心角的弧度数，再化为度数，利用扇形的面积公式求扇形的面积．（2）设出弧长和半径，由周长得到弧长和半径的关系，再把弧长和半径的关系代入扇形的面积公式，转化为关于半径的二次函数，配方求出面积的最大值．解：（1）设扇形的圆心角是θrad，因为扇形的弧长是rθ，所以扇形的周长是2r+rθ．依题意，得2r+rθ=πr，∴θ=π﹣2=（π﹣2）×≈1.142×57.30°≈65.44°≈65°26′，∴扇形的面积为S=r2θ=（π﹣2）r2．（2）设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=20，即l=20﹣2r（0＜r＜10）①扇形的面积S=lr，将①代入，得S=（20﹣2r）r=﹣r2+10r=﹣（r﹣5）2+25，所以当且仅当r=5时，S有最大值25．此时l=20﹣2×5=10，α==2．所以当α=2rad时，扇形的面积取最大值．点评：本题考查角的弧度数与度数间的转化，扇形的弧长公式和面积公式的应用，体现了转化的数学思想．。
任意角和弧度制练习题有答案上课讲义
任意角和弧度制练习题有答案任意角和弧度制练习题一、选择题1、下列角中终边与330°相同的角是（）A．30° B．-30° C．630° D．-630°2、－1120°角所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3、把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（）A．45°－4×360° B．－45°－4×360°C．－45°－5×360° D．315°－5×360°4.在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中，属于第二象限的角是（ )A.①B.①②C.①②③D.①②③④5、终边在第二象限的角的集合可以表示为：（）A．｛α∣90°<α<180°｝B．｛α∣90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z｝C．｛α∣－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z｝D.｛α∣－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z｝6.终边落在X轴上的角的集合是（）Α.{ α|α=k·360°,K∈Z } B.{ α|α=(2k+1)·180°,K∈Z }C.{ α|α=k·180°,K∈Z }D.{ α|α=k·180°+90°,K∈Z }7.若α是第四象限角，则180°+α一定是（）Α.第一象限角 B. 第二象限角 C.第三象限角 D. 第四象限角8.下列结论中正确的是( )A.小于90°的角是锐角B.第二象限的角是钝角C.相等的角终边一定相同D.终边相同的角一定相等 9．下列命题中的真命题是 （ ）A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B ．第一象限的角是锐角C ．第二象限的角比第一象限的角大D ．{}Z k k ∈±⋅=,90360|οοαα={}Z k k ∈+⋅=,90180|οοαα 10、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=C C ．A ⊂CD ．A=B=C11.若α是第一象限的角，则-2α是( ) A.第一象限的角 B.第一或第四象限的角C.第二或第三象限的角D.第二或第四象限的角12.集合A={α｜α=k ·90°,k ∈N +}中各角的终边都在( )A.x 轴的正半轴上B.y 轴的正半轴上C.x 轴或y 轴上D.x 轴的正半轴或y 轴的正半轴上13.α是一个任意角，则α与-α的终边是( )A.关于坐标原点对称B.关于x 轴对称C.关于直线y=x 对称D.关于y 轴对称 14．设k ∈Z ，下列终边相同的角是（ ）A ．（2k +1）·180°与（4k ±1）·180°B ．k ·90°与k ·180°+90°C ．k ·180°+30°与k ·360°±30°D ．k ·180°+60°与k ·60° 15．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A ．2B ．1sin 2C ．1sin 2D ．2sin 16．一钟表的分针长10 cm ，经过35分钟，分针的端点所转过的长为：（ ） A ．70 cm B ．670 cm C ．(3425-3π)cm D ．3π35 cm 17．180°－α与α的终边（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．以上都不对18．设集合M ={α|α=5-2ππk ，k ∈Z }，N ={α|－π＜α＜π}，则M ∩N 等于（） A ．{－105ππ3,} B ．{－510ππ4,7} C ．{－5-105ππππ4,107,3,} D ．{07,031-1ππ } 19．某扇形的面积为12cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数为（ ）A ．2°B ．2C ．4°D ．420．如果弓形的弧所对的圆心角为3π，弓形的弦长为4 cm ，则弓形的面积是：（ ） A ．（344-9π） cm 2 B ．（344-3π ）cm 2 C ．（348-3π）cm 2 D ．（328-3π） cm 2 21．设集合M ={α|α=k π±6π，k ∈Z }，N ={α|α=k π+(－1)k 6π，k ∈Z }那么下列结论中正确的是（ ）A ．M =NB ．M NC ．N MD ．M N 且N M二、填空题（每小题4分，共16分，请将答案填在横线上）22. 若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为____________________．23．与1991°终边相同的最小正角是______,绝对值最小的角是_________．α角的终边在,2α角的终边在24．若角α是第三象限角，则2______________.25. 若角α、β的终边互为反向延长线，则α与β之间的关系是___________．α则α的范围是 .26．已知α是第二象限角，且,4+|≤|227. 在0o与360o范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？（1）120-o（2）640o（3）95012'-o28．中心角为60°的扇形，它的弧长为2π，求它的内切圆的面积29．已知扇形的周长为20 cm，当扇形的中心角为多大时，它有最大面积，最大面积是多少？答案:1.B2.D3.D4.D5.D6.C7.B8.C9.D 10.B11.D 12.C 13.B 14.A 15.B16.D 17.B 18.C 19.B 20.C 21.C22.试题分析：在上第一个出现终边在第二象限角平分线的角为，之后每隔个单位现一个终边落在第二象限角平分线上角，因此所求集合为.23. 1991=360*5+191=360*6-169与1991°终边相同的最小正角是（191）,绝对值最小的角是（169）24. 这里有一个技巧,就是把每个象限两等分（求角的几等分,就把每个象限几等分）,就是沿原点对折,给这八个区域依次编上号,怎么编呢,就是1,2,3,4,1,2,3,4,这里出现三的区域是第二象限和第四象限 （看原来的那个角在第几象限,这里就找出现几的区域）,所以答案就是第二象限和第四象限,你多练几次,就知道了.第二问的话,因为180度+2k π= 25. 角α与角β的终边互为反向延长线，说明α=β+（2k+1）π，k ∈Z ，故答案为：（1）α=π-β+2k π，（k ∈z ）；（2）α=π+β+2k π，（k ∈z ）．26. 第二象限角为2k π+π∕2﹤a ﹤2k π+π,又由绝对值≤4得,-6≤a ≤2. k=0时,π∕2﹤a ﹤π,满足范围；k=1时,-3/2 π﹤a ﹤-π,满足范围.k 取其他值时不成立,故a 的取值范围为]2,2(),23(πππ⋃-- 27. （1）-120度=-360度+240度 所以0度到360度的范围内 240度和-120度终边相同 在第三象限（2）640度=360度+280度 所以0度到360度的范围内 280度和640度终边相同 在第四象限（3）-990度12分=-360度×3+89度48分 所以0度到360度的范围内 89度48分和-990度12分终边相同 在第一象限28. 设扇形和内切圆的半径分别为R ，r ．由2π＝π 3R ，解得R=6．∵3r=R=6，∴r=2．∴S=4π29.25. 设半径=x,则弧长为20-2x扇形面积=1/2*半径*弧长=1/2*x*(20-2x)=-x ²+10x对称轴是x=5∴x=5时,扇形面积最大值=-25+50=25平方厘米弧长为=10cm圆心角=弧长/半径=10/5=2 rad。
任意角和弧度制练习题有答案.doc
任意⾓和弧度制练习题有答案.doc 任意⾓和弧度制练习题⼀、选择题1、下列⾓中终边与330°相同的⾓是（）A ．30°B ．-30°C ．630°D ．-630°2、－1120°⾓所在象限是（）A ．第⼀象限B ．第⼆象限C ．第三象限D ．第四象限3、把－1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是（）A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360°4.在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个⾓中，属于第⼆象限的⾓是（ )A.①B.①②C.①②③D.①②③④5、终边在第⼆象限的⾓的集合可以表⽰为：（）A ．｛α∣90°<α<180°｝B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝D.｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝6.终边落在X 轴上的⾓的集合是（）Α.{ α|α=k ·360°,K ∈Z } B.{ α|α=(2k+1)·180°,K ∈Z }C.{ α|α=k ·180°,K ∈Z }D.{ α|α=k ·180°+90°,K ∈Z }7.若α是第四象限⾓，则180°+α⼀定是（）Α.第⼀象限⾓ B. 第⼆象限⾓ C.第三象限⾓ D. 第四象限⾓8.下列结论中正确的是( )A.⼩于90°的⾓是锐⾓B.第⼆象限的⾓是钝⾓C.相等的⾓终边⼀定相同D.终边相同的⾓⼀定相等9．下列命题中的真命题是（）A ．三⾓形的内⾓是第⼀象限⾓或第⼆象限⾓B ．第⼀象限的⾓是锐⾓C ．第⼆象限的⾓⽐第⼀象限的⾓⼤D ．{}Z k k ∈±?=,90360|οοαα={}Z k k ∈+?=,90180|οοαα 10、已知A={第⼀象限⾓}，B={锐⾓}，C={⼩于90°的⾓}，那么A 、B 、C 关系是（）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=C C ．A ?CD ．A=B=C11.若α是第⼀象限的⾓，则-2α是( ) A.第⼀象限的⾓ B.第⼀或第四象限的⾓ C.第⼆或第三象限的⾓ D.第⼆或第四象限的⾓12.集合A={α｜α=k ·90°,k ∈N +}中各⾓的终边都在( )A.x 轴的正半轴上B.y 轴的正半轴上C.x 轴或y 轴上D.x 轴的正半轴或y 轴的正半轴上13.α是⼀个任意⾓，则α与-α的终边是( ) A.关于坐标原点对称 B.关于x 轴对称C.关于直线y=x 对称D.关于y 轴对称14．设k ∈Z ，下列终边相同的⾓是（）A ．（2k +1）·180°与（4k ±1）·180°B ．k ·90°与k ·180°+90°C ．k ·180°+30°与k ·360°±30°D ．k ·180°+60°与k ·60° 15．已知弧度数为2的圆⼼⾓所对的弦长也是2，则这个圆⼼⾓所对的弧长是（）A ．2B ．1sin 2C ．1sin 2D ．2sin16．⼀钟表的分针长10 cm ，经过35分钟，分针的端点所转过的长为：（）A ．70 cmB ．670 cm C ．(3425-3π)cm D ．3π35 cm 17．180°－α与α的终边（）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．以上都不对18．设集合M ={α|α=5-2ππk ，k ∈Z }，N ={α|－π＜α＜π}，则M ∩N 等于（） A ．{－105ππ3,} B ．{－510ππ4,7} C ．{－5-105ππππ4,107,3,} D ．{07,031-1ππ } 19．某扇形的⾯积为12cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆⼼⾓的度数为（）A ．2°B ．2C ．4°D ．420．如果⼸形的弧所对的圆⼼⾓为3π，⼸形的弦长为4 cm ，则⼸形的⾯积是：（） A ．（344-9π） cm 2 B ．（344-3π）cm 2 C ．（348-3π）cm 2 D ．（328-3π） cm 2 21．设集合M ={α|α=k π±6π，k ∈Z }，N ={α|α=k π+(－1)k 6π，k ∈Z }那么下列结论中正确的是（）A．M=N B．M N C．N M D．M N且N M⼆、填空题（每⼩题4分，共16分，请将答案填在横线上）22. 若⾓α的终边为第⼆象限的⾓平分线，则α的集合为____________________．23．与1991°终边相同的最⼩正⾓是______,绝对值最⼩的⾓是_________．α⾓的终边在,2α⾓的终边24．若⾓α是第三象限⾓，则2在______________.25. 若⾓α、β的终边互为反向延长线，则α与β之间的关系是___________．α则α的范围是.26．已知α是第⼆象限⾓，且,4|2+|≤27. 在0o与360o范围内，找出与下列各⾓终边相同的⾓，并判断它们是第⼏象限⾓？（1）120-o（2）640o（3）95012'-o28．中⼼⾓为60°的扇形，它的弧长为2π，求它的内切圆的⾯积29．已知扇形的周长为20 cm，当扇形的中⼼⾓为多⼤时，它有最⼤⾯积，最⼤⾯积是多少？答案:1.B2.D3.D4.D5.D6.C7.B8.C9.D 10.B11.D 12.C 13.B 14.A 15.B16.D 17.B 18.C 19.B 20.C 21.C22.试题分析：在上第⼀个出现终边在第⼆象限⾓平分线的⾓为，之后每隔个单位出现⼀个落在第⼆象限⾓平分线上⾓，因此所求集合为.23. 1991=360*5+191=360*6-169与1991°终边相同的最⼩正⾓是（191）,绝对值最⼩的⾓是（169）24.这⾥有⼀个技巧,就是把每个象限两等分（求⾓的⼏等分,就把每个象限⼏等分）,就是沿原点对折,给这⼋个区域依次编上号,怎么编呢,就是1,2,3,4,1,2,3,4,这⾥出现三的区域是第⼆象限和第四象限（看原来的那个⾓在第⼏象限,这⾥就找出现⼏的区域）,所以答案就是第⼆象限和第四象限,你多练⼏次,就知道了.第⼆问的话,因为180度+2k π= 25. ⾓α与⾓β的终边互为反向延长线，说明α=β+（2k+1）π，k ∈Z ，故答案为：（1）α=π-β+2k π，（k ∈z ）；（2）α=π+β+2k π，（k ∈z ）． 26. 第⼆象限⾓为2k π+π⁄2﹤a ﹤2k π+π,⼜由绝对值≤4得,-6≤a ≤2. k=0时,π⁄2﹤a ﹤π,满⾜范围；k=1时,-3/2 π﹤a ﹤-π,满⾜范围.k 取其他值时不成⽴,故a 的取值范围为]2,2(),23(πππ?-- 27. （1）-120度=-360度+240度所以0度到360度的范围内 240度和-120度终边相同在第三象限（2）640度=360度+280度所以0度到360度的范围内 280度和640度终边相同在第四象限（3）-990度12分=-360度×3+89度48分所以0度到360度的范围内 89度48分和-990度12分终边相同在第⼀象限28. 设扇形和内切圆的半径分别为R ，r ．由2π＝π 3R ，解得R=6．∵3r=R=6，∴r=2．∴S=4π29.25. 设半径=x,则弧长为20-2x扇形⾯积=1/2*半径*弧长=1/2*x*(20-2x)=-x 2+10x对称轴是x=5∴x=5时,扇形⾯积最⼤值=-25+50=25平⽅厘⽶弧长为=10cm圆⼼⾓=弧长/半径=10/5=2 rad。
(完整版)任意角和弧度制练习题(含答案)
§1.1 任意角和弧度制班级 姓名 学号 得分一、选择题1.若α是第一象限角，则下列各角中一定为第四象限角的是 ( )(A) 90°-α (B) 90°+α (C)360°-α (D)180°+α2.终边与坐标轴重合的角α的集合是 ( )(A){α|α=k ·360°，k ∈Z} (B){α|α=k ·180°+90°，k ∈Z}(C){α|α=k ·180°，k ∈Z}(D){α|α=k ·90°，k ∈Z} 3.若角α、β的终边关于y 轴对称，则α、β的关系一定是（其中k ∈Z ） ( )(A) α+β=π （B) α-β=2π (C) α-β=(2k +1)π (D) α+β=(2k +1)π 4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 ( ) (A)3π (B)32π (C)3 (D)25.将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 ( ) (A)3π (B)－3π (C)6π (D)－6π *6.已知集合A ={第一象限角}，B ={锐角}，C ={小于90°的角}，下列四个命题：①A =B =C ②A ⊂C ③C ⊂A ④A ∩C =B ,其中正确的命题个数为 ( )(A)0个 (B)2个 (C)3个 (D)4个二.填空题7.终边落在x 轴负半轴的角α的集合为 ，终边在一、三象限的角平分线上的角β的集合是 .8. -1223πrad 化为角度应为 . 9.圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的 倍.*10.若角α是第三象限角，则2α角的终边在 ，2α角的终边在 .三.解答题11.试写出所有终边在直线x y 3-=上的角的集合，并指出上述集合中介于-1800和1800之间的角.12.已知0°<θ<360°，且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，求θ.13.已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？*14.如下图，圆周上点A依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.参考答案§1.1任意角和弧度制一、CDDCBA二、7.{x |x =k ·3600+1800, k ∈Z }, {x |x =k ·1800+450,k ∈Z } ; 8.-345°; 9. 31; 10.第二或第四象限, 第一或第二象限或终边在y 轴的正半轴上三、11.{ α|α=k ·3600+1200或α=k ·3600+3000, k ∈Z } -60° 120°12.由7θ=θ+k ·360°，得θ=k ·60°（k ∈Z ）∴θ=60°，120°，180°，240°，300°13.∵l =20－2r ,∴S =21lr =21(20-2r )·r =－r 2+10r =-(r -5)2+25∴当半径r =5 cm 时，扇形的面积最大为25 cm 2,此时，α=r l =55220⨯-=2(rad) 14.A 点2分钟转过2θ，且π＜2θ＜23π,14分钟后回到原位，∴14θ=2k π,θ=72πk ，且2π<θ<43π，∴ θ=74π或75π。
(完整版)任意角和弧度制练习题有答案
任意角和弧度制练习题一、选择题1、下列角中终边与330°相同的角是（）A．30° B．-30° C．630° D．-630°2、－1120°角所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3、把－1485°转化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z）的形式是（）A．45°－4×360° B．－45°－4×360°C．－45°－5×360° D．315°－5×360°4.在“①160°②480°③-960°④—1600°”这四个角中,属于第二象限的角是（）A.①B.①②C.①②③ D。
①②③④5、终边在第二象限的角的集合可以表示为: （）A．｛α∣90°〈α<180°｝B．{α∣90°＋k·180°<α〈180°＋k·180°，k∈Z｝C．{α∣－270°＋k·180°〈α<－180°＋k·180°，k∈Z｝D。
｛α∣－270°＋k·360°〈α<－180°＋k·360°，k∈Z}6。
终边落在X轴上的角的集合是（ )Α。
｛α｜α=k·360°,K∈Z ｝ B.｛α|α=(2k+1)·180°,K∈Z }C。
{ α|α=k·180°,K∈Z ｝ D.{ α|α=k·180°+90°，K∈Z ｝7。
高考数学《任意角和弧度制及任意角的三角函数》真题练习含答案
高考数学《任意角和弧度制及任意角的三角函数》真题练习含答案一、选择题1．若一个扇形的面积是2π，半径是23 ，则这个扇形的圆心角为( )A ．π6B ．π4C ．π2D ．π3答案：D解析：设扇形的圆心角为θ，因为扇形的面积S ＝12 θr 2，所以θ＝2S r 2 ＝4π（23）2 ＝π3 ，故选D.2．三角函数值sin 1，sin 2，sin 3的大小关系是( ) 参考值：1弧度≈57°，2弧度≈115°，3弧度≈172° A ．sin 1>sin 2>sin 3 B ．sin 2>sin 1>sin 3 C ．sin 1>sin 3>sin 2 D ．sin 3>sin 2>sin 1 答案：B解析：因为1弧度≈57°，2弧度≈115°，3弧度≈172°，所以sin 1≈sin 57°，sin 2≈sin 115°＝sin 65°，sin 3≈sin 172°＝sin 8°，因为y ＝sin x 在0°<x <90°时是增函数，所以sin 8°<sin 57°<sin 65°，即sin 2>sin 1>sin 3，故选B.3．若角θ满足sin θ>0，tan θ<0，则θ2是( )A ．第二象限角B ．第一象限角C ．第一或第三象限角D ．第一或第二象限角 答案：C解析：由sin θ>0，tan θ<0，知θ为第二象限角，∴2k π＋π2 <θ<2k π＋π(k ∈Z )，∴k π＋π4<θ2 <k π＋π2 (k ∈Z )，∴θ2为第一或第三象限角． 4．若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3 x 上，则角α的取值集合是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π－π3，k ∈ZB ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋2π3，k ∈ZC ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π－2π3，k ∈ZD ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π－π3，k ∈Z答案：D解析：∵y ＝－3 x 的倾斜角为23π，∴终边在直线y ＝－3 x 上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π－π3，k ∈Z .5．一个扇形的弧长与面积都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：C解析：设扇形的圆心角为θ，半径为R ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧θR ＝6，12θR 2＝6，得θ＝3．6．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫35，－45 ，则cos α·tan α的值是( )A.－45 B ．45C ．－35D ．35答案：A解析：由三角函数的定义知cos α＝35 ，tan α＝－4535＝－43 ，∴cos αtan α＝35 ×⎝⎛⎭⎫－43 ＝－45. 7．给出下列各函数值：①sin (－1 000°)；②cos (－2 200°)；③tan (－10)；④sin 710πcos πtan 179π；其中符号为负的有( )A ．①B ．②C ．③D ．④ 答案：C解析：∵－1 000°＝－3×360°＋80°，为第一象限角， ∴sin (－1 000°)>0；又－2 200°＝－7×360°＋320°，为第四象限角， ∴cos (－2 200°)>0；∵－10＝－4π＋(4π－10)，为第二象限角， ∴tan (－10)<0；∵sin 710 π>0，cos π＝－1，179 π＝2π－π9，为第四象限角， ∴tan 179 π<0，∴sin 710πcos πtan 179π>0.8．已知角θ的终边经过点P (x ，3)(x <0)且cos θ＝1010x ，则x ＝( ) A ．－1 B ．－13C ．－3D ．－223答案：A 解析：∵r ＝x 2＋9 ，cos θ＝xx 2＋9 ＝1010 x ，又x <0，∴x ＝－1.9．(多选)下列结论中正确的是( )A ．若0<α<π2，则sin α<tan αB ．若α是第二象限角，则α2为第一象限角或第三象限角C ．若角α的终边过点P (3k ，4k )(k ≠0)，则sin α＝45D ．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度 答案：ABD解析：若0<α<π2 ，则sin α<tan α＝sin αcos α，故A 正确；若α是第二象限角，即α∈⎝⎛⎭⎫2k π＋π2，2k π＋π ，k ∈Z ，则α2 ∈⎝⎛⎭⎫k π＋π4，k π＋π2 ，k ∈Z ，所以α2为第一象限或第三象限角，故B 正确；若角α的终边过点P (3k ，4k )(k ≠0)，则sin α＝4k 9k 2＋16k 2＝4k|5k |，不一定等于45 ，故C 错误；若扇形的周长为6，半径为2，则弧长为6－2×2＝2，圆心角的大小为22＝1弧度，故D 正确．故选ABD.二、填空题10．已知扇形的圆心角为π6 ，面积为π3，则扇形的弧长等于________．答案：π3解析：设扇形所在圆的半径为r ，则弧长l ＝π6 r ，又S 扇＝12 rl ＝π12 r 2＝π3，得r ＝2，∴弧长l ＝π6 ×2＝π3.11．已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π ，则sin α＝________．答案：－45解析：∵θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π ，∴－1<cos θ<0，∴r ＝9cos 2θ＋16cos 2θ ＝－5cos θ，故sin α＝－45.12．已知角α的终边经过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m ＝________.答案：12解析：由题可知P (－8m ，－3)，∴cos α＝－8m64m 2＋9 ＝－45 ，得m ＝±12，又cos α＝－45 <0，∴－8m <0，∴m ＝12 .。
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1.任意角与弧度制
一 、选择题：
1.下列各角中与330°角终边相同的角是( ) A ．510° B ．150° C ．-390° D ．-150°
2.412°角的终边在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3.不相等的角的终边位置( )
A ．一定不同
B ．必定相同
C ．可能相同
D ．以上都不对 4．若α是锐角，则角()k k Z απ+∈所在象限是（ ）
A ．一或二
B ．一或三
C ．二或三
D ．二或四
5.与-463°终边相同的角可表示为( ) A ．k ·360°+436°(k ∈Z)
B ．k ·360°+103°(k ∈Z) C.k ·360°+257°(k ∈Z) D ．k ·360°-257°(k ∈Z)
6.用弧度制表示终边与角150°相同的角的集合为( )
A ．
B ．
C. D ． 7.将0300-化为弧度为（ ）
A.43π-
B. 53π-
C. 76
π- D. 74π- 8.下列转化结果错误的是( )
A ．60°化成弧度是3
π B ．-310π化成度是-600° C.-150°化成弧度是-67π D ．12
π化成度是15° 9.一个扇形的面积为3π,弧长为2π,则这个扇形圆心角为( ) A ．3π B ．4π C ．6π D ．
32π 10.已知某中学上午第一节课的上课时间是8点,那么,当第一节课铃声响起时,时钟的时针、分
针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是( )
A ．2π
B ．2
3π C ．32π D ．34π 11.设扇形的半径长为2 cm,面积为4 cm 2,则扇形的圆心角的弧度数是( )
A ．1
B ．2
C ．π
D ．65 12.已知圆的半径为π cm,则120°的圆心角所对的弧长是( )
A ．3πcm
B ．32
πcm C ．32πcm D ．322
π
cm
13.在半径为10 cm 的圆中，34π
的圆心角所对弧长为（ ）
A.340
π B.320
π C.3200
π D.3400π
14.下列各组角中，终边相同的角是（ ）
A.2π
k 与k π+2π
(k ∈Z) B.k π±3π与3π
k (k ∈Z)
C.(2k +1)π与(4k ±1)π (k ∈Z)
D.k π+6π
与2k π±6π
(k ∈Z)
15.设集合,24k M x x k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，,4N x x k k Z π
π⎧
⎫==±∈⎨⎬⎩⎭则M 、N 的关系是（
） A ． B ． C ． D ．
二、填空题：
16.已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半,则这个扇形的圆心角是________.
17.设扇形的周长为6,面积为2,则扇形的圆心角的弧度数的绝对值是________.
18.与-660°角终边相同的最小正角是________.(用弧度制表示)
19.三角形的三个内角的度数之比为1：2：3,其最小内角的弧度数为________.
20．用弧度制表示，终边落在坐标轴上的角的集合为 .
姓名 班级 座号 成绩
一、选择题：本大题共10小题．
1 2 3 4 5 6 7 8 得分
9 10 11 12 13 14 15
16 17_________ _ _ 18________ ___ 10______ _ 20________ ___。