勒贝格积分与黎曼积分的比较

Lebesgue积分与Riemann积分的比

较

欧阳学文

1000449 陈佳龙 1003908 王珏 1000194 杜腾飞

整个空间。这种优越性是基于测度论与可测函

数相关理论而在其定义上便已显现出来了。为更好

地说明L积分与R积分的异同，我们有必要将R积

分的定义在此描述。R积分是这样定义的：

.

如果当时，和数不管分割如何取法，也不管如何取法，都有共同的极限，即

则称此极限为函数从到的黎曼积分，记作

，

关于勒贝格积分有多种等价表述形式，为了更好的的说明问题，我们选取了两种定义模式，当然还有其它的定义方式，如张喜堂老师编的《实变函数论的典型问题与法方》中，对L积分的定义是先从有界函数的L积分着手，即定义有限可测集E的一个分划D，进而定义于D相关的小和数与大和数。最后定义有界函数的上下勒贝格积分。若上下积分相等，则称函数勒贝格可积。就本文所列举的的两种定义而言，其中第一种定义模式仿照了黎曼积分的定义，而第二种以测度为基础，先定义简单函数的积分，进而定义一般函数的积分，此种方式也适用于一般测度空间上的积分。在后面的相关论述中我们将主要选取第二种方式。

定义1：设勒贝格可测集E的勒贝格测度有限().设是E上有界可测函数

()。任取分点

令

任取若当时，和

存在极限A，则称A 是在E上的勒贝格积分，简称L积分，记为

由此可以看出与黎曼积分不同勒贝格积分是划分值域而不是划分定义域来求和的。显然与黎曼函数不同，由于黎曼积分要求小区间的长度而勒贝格积分要求定义域的测度，故对定义在定义在多维有界可测集上的广义实函数这样定义其积分就显得自然流畅,而黎曼积分只能对“ 标准”的实函数定义积分。

第二种定义方式是基于勒贝格测度论与勒贝格函数论，先定义有界可测集上简单函数的勒贝格积分，进而定义一般可测函数的L积分，最后定义无限可测集上的可测函数的勒贝格积分。此种定义，借助测度的性质及勒贝格可测函数的性质，对勒贝格积分性质的讨论自然流畅。

定义2.1 有界可测集E上简单函数L积分定义为，设E 上简单函数有表示

其中等为互不相交的可测集，称和为简单函数在E上的积分，并记为

有时可以简写成。

对于以上定义，我们可以把记号中的换成是允许的，从以上简单函数L积分的定义可以看出当为一个常数c时，其积分值为c

倍的可测集E的测度。而当c为1时，该积分值为可测集E的测度。另外还应注意，简单函数积分同函数表示式无关，即

在叙述一般函数L积分定义之前，有必要先对简单函数L积分的一些性质进行描述。（i ）如果简单函数的正部与负部分别为与，则有

简单函数的L积分具有线性可加性（ii ）设，是E 上简单函数，，是常数，则有

（iii ）设是E 上简单函数，，

，为互不相交的可测集，则

对于以上简单函数L积分的性质我们可以类比定义在闭区间上的连续函数的黎曼积分的线性性质。

我们知道，勒贝格可测集E上的可测函数均可由E上的简单函数列逼近，那么，自然会问，E上的可测函数的勒贝格积分与简单函数的勒贝格积分是何种关系。事实上，我们可以通过简单函数的L积

分来定义有界可测集合E上的可测函数的勒贝格积分

定义2.2：设是有界可测集E上的可测函数，对于的情形，取简单函数满足

，令变动，定义在E上的L积分为

此式右边非负数或.如果此量为有限，则称

在E上L 可积。否则只说在E 上的积分为（即此时称函数在可测集E上不可积）.对于更一般的可测函数，当与不同时

为时，定义在E上的积分为

.

当此右式两项均有限时，也只有在此时积分是有限的，我们称在E 上可积，记作或简记为

.当右边两项均不可积时，原积分无意义.即，积分不存在.当右边两项有一项不可积分时，我们称函数不可积.

以上便是可测函数在有界可测集E上的勒贝格积分的定义的第二种处理方式。我们有必要强调，我们只考虑对定义在可测集E上的勒贝格可测函数定义勒贝格积分。事实上，在上面的所有论述中，我们都是假定可测集E是有界的。事实上，对于无界可测集上的可测函数亦是可以定义其勒贝格积分的.其处理方式是将定义在有界可测集上的简单函数推广到无界。对比黎曼积分，我们可以将有界区间推广为无界，即无穷积分。最后关于L积分的定

义，我们可以借助可测集E的示性函数将L积分的定义推广到整个空间。我们还应指出，对于非负函数的L积分表现为n+1维测度。这与非负

函数的黎曼积分表下表为面积是相近的。其实上，对于一维非负函数的L积分也表现为“面积”

对比定义在闭区间上函数黎曼积分的定义，其

方式上是不同.当然，最根本的不同是其处理的问题不同且L积分的定义更加广泛。我们知道，可测集E上的连续函数都是可测的，且黎曼积分处理的均为一维区间上的函数，即定义在Borel集的一个子集类上的函数，由于Borel集是可测的，所以对于黎曼积分的问题我们都可以试图用勒贝格积分去考虑

。

二，勒贝格可积函数类与黎曼可积函数类对于黎曼可积函数的判定，我们有上和，下和，的概念。并且有振幅的概念，即函数黎曼可积的充要条件是.我们知道闭区间上的

连续函数是黎曼可积的.这样就确定了一大类黎曼可积函数。并且我们还有闭区间上的单调有界函数是黎曼可积的，闭区间上间断点不多的函数是黎曼可积的。以及黎曼可积函数的必要条件即函数必须是有界的，这样又排除了一类黎曼不可积函数。我们知道，可测集上的连续函数是可测的，并且几乎处处有限的可测函数基本上是连续函数。那么我们自然会问，定义在可测集上的连续函数是否是L可积的？是不是R可积了就一定L可积，如果不是，那么L可基函数与R可积函数类之间有何关系呢？是否某一类函数一定是L可积的，或者那一类函数一定是L不可积的呢？最后既然勒贝格可测函数可用连续函数逼近，那么勒贝格可积函数是不是能用连续函数逼近呢？对与上述问题的回答，将在该部分该部分做出论述。

1）有界可测函数必勒贝格可积.

2）勒贝格可积函数必几乎处处有限.

注释：上述可测函数定义在有界可测集E上。

3）定理1 设是上的勒贝格可积函数，则对任何正数，有上的连续函数，使

4）定理2 定义在有限区间上的函数若为R可积，则必L可积分，且积分相等.

注释:上述四条回答了最初的提问，即勒贝格可积函数与黎曼可积函数之间的关系，其中就“4）”，

可以做补充，即“函数在上R可积的充要条件是函数在上地不连续点所成之集测度为0”.可

以看出，若不考虑反常积分，则黎曼可积的函数是勒贝格可积的。并且可以看出，定义在区间上的勒贝格可积函数是可以用连续函数来平均逼近的。对比几乎处处有限的函数可用连续函数逼近，此处的条件明显加强了。事实上勒贝格可积函数必是几乎处处有限的，则在区间上的L可积函数必是几乎处处有限的，那么此处将可测函数限制在了闭区间上，而不是多维闭区间或者是有界可测集E 上，虽不太完美，但也很漂亮。

5）若，则E 上的任何函数都是L可积的，并且积分等于0

注释：我们知道，定义在零侧集上的函数均可测，而上述定理告诉我们零侧集上勒贝格积分的性质，两者统一来看，是非常漂亮的结论，此结论也告诉我们一个重要事实:在一个测度为零的集合上改变函数的值，既不影响函数的可积性，也不敢变其积分值.

三：勒贝格积分与黎曼积分性质的比较。

比较完勒贝格积分与黎曼积分的定义与函数类之后，最后我们对勒贝格积分与黎曼积分的性质进行比较.该部分的论述将分两部分进行，其中第一部分就函数而言，第二部分就函数列而言.其中对可测函数列的勒贝格积分的讨论中，我们会与一致收敛的函数项级数的相关性质进行比较.事实