自动控制原理第3章 习题及解析

自动控制原理（上）

习 题

3-1 设系统的结构如图3-51所示，试分析参数b 对单位阶跃响应过渡过程的影响。 考察一阶系统未知参数对系统动态响应的影响。 解 由系统的方框图可得系统闭环响应传递函数为

/(1)()()111

K Ts K

s Kbs T Kb s Ts +Φ==

+++

+ 根据输入信号写出输出函数表达式：

111

()()()()()11/()

K Y s s R s K s T Kb s s s T bK =Φ⋅=⋅=-++++

对上式进行拉式反变换有

1

()(1)t T bK

y t K e

-

+=-

当0b >时，系统响应速度变慢；

当/0T K b -<<时，系统响应速度变快。

3-2 设用

1

1

Ts +描述温度计特性。现用温度计测量盛在容器内的水温，发现1min 可指示96%的实际水温值。如果容器水温以0.1/min C ︒的速度呈线性变化，试计算温度计的稳态指示误差。 考察一阶系统的稳态性能分析(I 型系统的，斜坡响应稳态误差)

解 由开环传递函数推导出闭环传递函数，进一步得到时间响应函数为：

()1t T r y t T e -⎛

⎫=- ⎪⎝⎭

其中r T 为假设的实际水温，由题意得到：

60

0.961T

e

-

=-

推出18.64T =，此时求输入为()0.1r t t =⋅时的稳态误差。

由一阶系统时间响应分析可知，单位斜坡响应的稳态误差为T ，所以稳态指示误差为：

lim ()0.1 1.864t e t T →∞

==

3-3 已知一阶系统的传递函数

()10/(0.21)G s s =+

今欲采用图3-52所示负反馈的办法将过渡过程时间s t 减小为原来的1/10，并保证总的放大倍数不变，试选择H K 和0K 的值。

解 一阶系统的调节时间s t 与时间常数成正比，则根据要求可知总的传递函数为

10

()(0.2/101)

s s Φ=

+

由图可知系统的闭环传递函数为

000(10()()1()0.211010110()

0.2

1

110H H

H

H

K G s K Y s R s K G s s K K K s s K ==

++++==Φ++）

比较系数有

101011011010H

H

K K K ⎧=⎪

+⎨⎪+=⎩ 解得00.9,10H K K ==

3-4 已知二阶系统的单位阶跃响应为

1.5()1012sin(1.6+53.1t y t e t -=-）

试求系统的超调量%σ，峰值时间p t ，上升时间r t 和调节时间s t 。 解

1.51.5()1012sin(1.6+53.1=10[1 1.2sin(1.6+53.1]

t t y t e t e t --=--）

）

该二阶系统的放大系数为10。且注意到放大系数并不改变系统参数及动态性能指标。 根据二阶系统的单位阶跃响应为

)n t ζωωβ-+

有

1/ 1.21.5

n ζωω⎧=⎪⎪

=⎨⎪⎪⎩

解得=0.6

=2.5

n ζω⎧⎨

⎩

因0=0.61ζ<<，故系统为欠阻尼二阶系统。根据动态性能指标公式有

超调量%100%9.48%e

πζσ-==

峰值时间 1.57s p t =

=

上升时间 1.11s r t =

=

调节时间 3.5

2.33(5%s n

t ζω==∆=）

3-5 设单位反馈系统的开环传递函数为

()(0.21)

K

G s s s =

+

试求开环增益K 分别为10和20时系统的阻尼比ζ、无阻尼自振频率n ω、单位阶跃响应的超调量%σ 和峰值时间p t ，并讨论K 的大小对系统的动态性能的影响。 解 系统的闭环传递函数为

2

()0.2K

s s s K

Φ=

++

根据典型的二阶系统有ζ

，n ω=

故当10K =时，0.35,7.07rad/s n ζω==，由欠阻尼单位阶跃响应的性能指标计算公式有

%100%30.9%e πζσ-=⨯=

0.47s p t =

=

当20K =时，0.25,10rad/s n ζω==，由欠阻尼单位阶跃响应的性能指标计算公式有

%100%44.4%e πζσ-=⨯=

0.32s p t =

=

可以看出，随着开环增益K 的增大，系统的阻尼比减小，无阻尼自然频率增大，而对应的超调量增大，到达峰值的峰值时间减小。

3-6 系统的结构图和单位阶跃响应曲线如图3-53所示，试确定12K K 、和a 的值。

解 由图可知()2,0.8s,() 2.18,%9%p p y t y t σ∞==== 又系统的闭环传递函数为

212

222

1()2n n n

K K K s s as K s s ωζωωΦ==++++ 由终值定理有

12220

11

()lim ()()lim 2s s K K y s s R s s K s

s as K →→∞=Φ=⋅

⋅==++

根据欠阻尼单位阶跃响应性能指标计算公式有

%100%9%e πζσ-==

可反解0.6083ζ==

0.8s p t =

=

反解 4.95rad/s n ω=

=

则2

2124.5(rad/s),2 6.02rad/s n n K a ωζω====。

3-7 设系统的闭环传递函数为

222

()

()2n n n

Y s R s s s ωζωω=++ 1）试求0.1,1rad/s;n ζω==0.1,4rad/s;n ζω==0.1,12rad/s n ζω==时对应的单位阶跃响应的超调

量%σ和调节时间s t (取误差带5%∆=)。

2）试求0.5,4rad/s n ζω==时单位阶跃响应的超调量%σ和调节时间s t 。 3）讨论ζ和n ω与过渡过程性能指标的关系。

解 1）由系统的闭环传递函数可知，该系统为典型的二阶系统， 那么根据欠阻尼单位阶跃性能指标公式有

%100%e πζσ-=， 3.5

3.5

(5%s n

t ζωσ

=

=

∆=）

故当0.1,1rad/s n ζω==时

，%100%=72.92%e πζσ-=， 3.5

35s(5%s n

t ζω=

=∆=）

当0.1,4rad/s n ζω==时

，%100%=72.92%e

πζσ-=， 3.5

8.75s(5%s n t ζω==∆=） 当0.1,12rad/s n ζω==

时，%100%=72.92%e

πζσ-=， 3.5

2.92s(5%s n

t ζω=

=∆=） 2）当0.5,4rad/s n ζω==时

，%100%=16.30%e

πζσ-=， 3.5

1.75s(5%s n

t ζω=

=∆=）