不定积分例题及参考答案
不定积分的典型例题50题答案
例1． 解法1).12)(12(1224+-++=+x x x x x而 +++)12(2x x )1(2)12(22+=+-x x x 所以)121121(21112242dx x x dx x x dx x x ⎰⎰⎰++++-=++ .)]12arctan()12[arctan(211)12()12211)12()12(21)21)22(121)22(1[212222c x x x x d x x d dx x dx x +++-=+++++--=++++-=⎰⎰⎰⎰解法2dxx x x x xx x dx x x ⎰⎰+++-++-=++)12)(12(2)12(1122242.arctan 21)12arctan(211212242c x x dx x xx x dx +++=++++=⎰⎰解法3⎰⎰⎰+-=++=++≠2222242)1(1111,0xx x x d dx x x x dx x x x 当 c x x xx x x d +-=+--=⎰21arctan 212)1()1(22,2221arctan 21lim 20π-=-+→x x x ,2221arctan 21lim 20π=--→x x x 由拼接法可有.02221arctan 2100,2221arctan 21112242⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+--=>++-=++⎰x cx x x x c x x dx x x ππ 例2.解 将被积函数化为简单的部分分式(*)1)1(1)1()1(222223⋅⋅⋅⋅⋅++++++=+++x DCx x B x A x x x 两边同乘以2)1(+x ，约去1+x 的因子后令1-→x 得 .211)1(2)1(23=+-+-=B 两边同乘以2)1(+x ，对x 求导，再令1-→x ，施以上运算后，右端得A,而左端为.2.2426)1()2(2)1(3lim ]12[lim )1()1()1(2[lim 22322123122231=∴=+=++-+=++=++++-→-→-→A x x x x x x x dx d x x x x dx d x x x 在分解式（*）中令,0=x 得,2D B A ++=所以.21-=D 分解式（*）两边同乘以x ，再令,+∞→x 得.1,1-=⇒+=C C A 故有.arctan 21)1ln(21)1(211ln 2]1)1(1[)1()1(2222223c x x x x dxx DCx x B x A dx x x x +-+-+-+=++++++=+++⎰⎰例3.解 令 ,2x u =再用部分分式，則⎰⎰++=++))(1(21)()1(22244u u u dudx x x x x,11)()1(1222+++++=++u D Cu u B u A u u u 两边乘以,u 再令,0→u 得.1=A 两边乘以,1+u 再令,1-→u 得.21-=B 两边乘以,u 再令,+∞→u 得.21,0-=⇒++=C C B A 令.21,1-=⇒=D u.arctan 41)1()1(ln 81arctan 41)1ln(81)1ln(41ln 21arctan 41)1ln(811ln 41ln 21]12121)1(211[21))(1(21)()1(2422824222222244c x x x x c x x x x c u u u u du u u u u u u u dudx x x x x +-++=+-+-+-=+-+-+-=+--++-=++=++∴⎰⎰⎰ 例4828872882815)1(1181)1()1(dx x x dx x x x dx x x ⎰⎰⎰+-+=⋅+=+)1(])1(111[818288++-+=⎰x d x x .)1(81)1ln(8188c x x ++++= 例5. 解 令 ,2tant x =则=-++⎰dx xx xsin cos 1cos 1 .2)sin 1ln(21arctan )1ln(211ln )1111()1)(1(212121111112222222c x x ct t t dtt t t dtt t dx t t t t t t t ++--=++++--=+++--=-+=+⋅+-+-++-+⎰⎰⎰ 例6dx x x 122+⎰⎰+=22421dx x x.1ln 811)12(81))21(ln(161)21(41)21(21)21()21()21(212222222222222c x x x x x c u u u u du u x d x +++-++=+-+--=-=+-+=⎰⎰分部积分例7.25342)2()1(25232121232c x x x dx x x x dx x x ++-=+-=-⎰⎰-分项例8dx x x dx x ]1111[2111224++-=-⎰⎰ .arctan 2111ln 41c x x x ++-+= 例9．dx x x dx x x ⎰⎰+-+=+1111.134132111c x x x dx xdx x ++-+=+-+=⎰⎰例10．⎰⎰⎰---=-+=+)24(cos )24()2cos(1sin 12x x d x dxx dx πππ.)24tan(c x +--=π 例 11c t t dt x xdx tx +=-=-⎰⎰=arcsin 11212⎪⎩⎪⎨⎧-<+>+-=.1,1arcsin 1,1arcsin x c x x c x 例12．解 .2cos 41)2sin 211(c x x dx x J I ++=-=+⎰dx x x x x x dxxx x x x J I ⎰⎰++-=++-=-222)sin (cos )2sin 211)(sin (cos sin cos )2sin 211)(sin (cos.)12ln(sin 412sin 412sin 12cos )2sin 211(c x x dx x xx +++=++=⎰解上面的联立方程可得出.,J I例13． ).(,)1ln(31)1ln(1111111,)21(332arctan 332.1,1111111332322333233略从而可解出可求出令I c x x dx x x dx x dx x x x x dx x x J I c x J I dx x x J dx x x dx x x dx xx x dx x I ++-+=+-+=+-+-=+-=-+-=++=+-+-=+-+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 例14．)1(12arcsin 12arcsin++=+⎰⎰x d xxdx x x .212arcsin )1(112arcsin1c x xxx dx xx x x ++++=+++=⎰）（分部积分例15．解 令,)21(12,211,12222dt t t t dx t t x t x x x +++=+-=⇒+-=++ .)1212(231212ln 231ln 2])12(23)12(231[2)21(12222222c x x x x x x x x x dt t t t dt t t t t I ++++++++++-+++=+-+-=+++=⎰⎰例16．解 .sin 2cos 5]cos 2sin 5[x x x x +='- 被积函数的分子是x x sin ,cos 的线性组合，故有.1,2,cos )25(sin )25()cos 2sin 5()cos 2sin 5(cos sin 12==⇒-++='-+-=+B A x A B x B A x x B x x A x x 于是.cos 2sin 5ln 2cos 2sin 5)cos 2sin 5()cos 2sin 5(2cos 2sin 5cos sin 12c x x x dx x x x x x x dx x x x x +-+=-'-+-=-+⎰⎰例17．解 ⎰⎰⎰-=-+-=+=4cos 13)(cos sin 3sin 2cos 22t dtx x d x xdx t x .cos 2cos 2ln 41]2121[41c xx dt t t ++-=+--=⎰ 例18．⎰⎰+=+x xdxx dx 222cos )2cos 1(cos 21 .3tan arctan 313arctan 313tan 3)(tan 2cos )(tan 222c x c t t dtx x d xx d +=+=+=+=+⎰⎰⎰ 例19．.)1ln(18189623266332366c x x x x x dx x x x t x +++-+-=⋅⋅⋅=+-=⎰例20．.15arctan 21515ln153215c x xx x x x dx x xx t x x+-------+-=⋅⋅⋅=---=--⎰例21．.]1ln [arctan 2112sin 22c x x x x x dx tx t +-++=⋅⋅⋅=-+=≤⎰π 例22．,11ln 21211222tan 232c x x x x x dxx tx t +++-+-=⋅⋅⋅=+=<⎰π例23．⋅⋅⋅=+-=⎰t e x x xe e dx232换元后有理函数积分例24．.1arcsin arcsin 2c x x x xdx+-+=⎰分部积分例25．.)(c e dx e e dx exxx e xe xe +==⎰⎰+例26．”）妙用“1(cos sin 1ln cos sin 1)cos sin 1(cos sin 12cos c x x x x x x d x x xdx ++=++=+⎰⎰例27..)13()(2dx e x x e x x x x +++⎰.])[(32])[()()13(])[(23222322c e x x e x x d e x x e x x e x x x x x e ++=++=∴++='+⎰原式例28..11)1(arctan .)1(arctan 2111arctan22x x c x dx x x +-='+-=+⎰例29.=++-=+⎰⎰xb x a x b x a d a b dxx b x a x22222222222222sin cos )sin cos (1sin cos 2sin .2sin )()sin cos (.sin cos 2222222222222x a b x b x a c x b x a ab -='+++-例30.)ln ()ln (1)ln (ln 1)ln (ln 1222x xx d xx x dxxx x xxdx x x x ---=--=--⎰⎰⎰ .ln ln 1c x x xc xx x +-=+-=例31．.1212ln2211)1(22sin 22c xx xx xdxt x +---+-=-+⎰=例32．.111)1(22tan 2323c x x dx x x tx ++++=+=⎰例33．.313222sec 0422c x a x a dx x a x t a x a +⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=-=>⎰例34dt tt t dt t t x dx tx ⎰⎰⎰--=+=-+=22sin 2cos 1cos cos cos 1cos 11 .arcsin 112c x x x x ++-+-=例35．.ln 212ln 141)1(2)1()2(72717c x x dt tttx x dxtx +++-=-⋅+=+⎰⎰=例36．.13)12(2)431(]43)21[()1(2232121232232c xx x t tdt x dxx x dx tx ++++=+-=++=++⎰⎰⎰=+例37．.22)(212)2(2222c e x x dx e x x x e x dx x e x x xx x ++-='+++-=+⎰⎰ 例38．.)2ln(201ln 21)2()2(101010910c x x x x dx x x x dx ++-=+=+⎰⎰ 例39．.1ln 72ln )2()1()1()1(71076777c x x x x dx x x x x dx x ++-=+-=+-⎰⎰ 例40．.)1ln (1)()111(111112c x x nx d x n dx x x x x dx x n n n n n n n n n ++-=+-=+⋅=+⎰⎰⎰-- 例41．.)1(121003dx x x ⎰-+9899111003)1(493)1(1331)1(12----=-+=-⎰x x dx x x u x例51． 求,))((dx x b a x ⎰-- 其中.b a < 解 由配方得2,)2())((22a b R b a x R x b a x -=+--=--其中，令,2b a u x ++=则有原式 .))((4)(2)(2arcsin )(41cos sin 22)2sin 412(22cos 1cos 2222222sin 22c x b a x b a x ab b a x a bc t t R t R c t t R dt t R tdt R du u R t R u +--+-+-+--=++=++=+==-=⎰⎰⎰= 例52．设)(x f 有一个原函数,sin xx 求.)(⎰'dx x f x 解 用分部积分法有 (*))()()()(⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=='⎰⎰⎰dxx f x xf x xdf dx x f x.sin cos ]sin [])([)(sin )(211xx x x c x x dx x f x f c x x dx x f -='+='=⇒+=⎰⎰ 代入（*）有 1sin sin cos )(c xx x x x dx x f x ---='⎰， 即 .sin 2cos )(c x x x dx x f x +-='⎰。
(完整版)不定积分习题与答案
不定积分(A)求下列不定积分dx~~2X(x 2)2dxdx2) xV x2x .2dx 4) 1 x1、1) 3)5)7) 2、1) 3) 5) 7) 9) 11) 13) 15) 17)2 3X 53^△dx cos2x2 ；~2~dx6)cos xsin xX 3(2e )dxx求下列不定积分(第一换元法)(1 —y^'xYxdX8) x3(3 2x) dxsin t ..dtxtdxcosxsin xdx2) 32 3xdx,) xl n x In (I n x)xcos(x2)dxsinx , 厂dxcos xdx2x2 1sin 2xcos3xdxdxx x6) e e“、cos3xdx12)tan3x secxdx14)3x9 x2dx16)______ 13cos2 x—dx4sin x10 2arccosxdxarctan x ,dx 18) x(1 x)3、求下列不定积分（第二换元法）1) 2)sinxdx3) 4)2x----------- d x, (a 0)2 2.a x5)7) 4、1) 3) 5)7) 5、1)2)3)dx6)dx1 \2xdxx -J x28)dx1 T x2求下列不定积分（分部积分法）xSnxdxx2In xdxx2arcta nxdxIn2xdx求下列不定积分（有理函数积分）3xdxx 32x 32x 3xdxx(x21)1、一曲线通过点方程。
2、已知一个函数2)4)6)8)arcs inxdxe 2x sin -dx2x2cosxdx2 2 xx cos dx2(B)（M,3），且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数,F（x）的导函数为1 x2，且当x 1时函数值为2求该曲线的，试求此函数。
3、证明：若f(x)dx F(x)c，则f (ax b)dx 丄F(axa b) c,(a 0)o sin x4、设f(x)的一个原函数为求xf(x)dx。
(完整版)不定积分习题与答案
不定积分 （Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2xdx ２）⎰xxdx2３）dxx⎰-2)2(４）dxxx⎰+221 ５）⎰⋅-⋅dxxxx32532 ６）dxxxx⎰22sincos2cos７）dxxe x32(⎰+ ８）dxxxx)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dxx⎰-3)23( ２）⎰-332xdx３）dttt⎰sin４）⎰)ln(lnln xxxdx５）⎰xxdxsincos ６）⎰-+xx eedx７）dxxx)cos(2⎰ ８）dxxx⎰-4313９）dxxx⎰3cossin10）dxxx⎰--249111）⎰-122xdx 12）dxx⎰3cos13)⎰xdxx3cos2sin 14)⎰xdxx sectan315)dxxx⎰+23916)dxxx⎰+22sin4cos3117)dxxx⎰-2arccos211018)dxxxx⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dxxx⎰+211 ２）dxx⎰sin３）dxxx⎰-42４）⎰>-)0(,222adxxax５）⎰+32)1(xdx ６）⎰+xdx21７）⎰-+21xxdx ８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法） １）inxdxxs⎰ ２）⎰xdxarcsin３）⎰xdxx ln2４）dxxe x⎰-2sin2５）⎰xdxx arctan2 ６）⎰xdxx cos2７）⎰xdx2ln ８）dxxx2cos22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dxxx⎰+33２）⎰-++dxxxx1033223）⎰+)1(2xxdx （Ｂ）1、一曲线通过点)3,(2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。
2、已知一个函数)(xF的导函数为211x-，且当1=x时函数值为π23，试求此函数。
3、证明：若⎰+=c x F dx x f )()(，则)0(,)(1)(≠++=+⎰a cb ax F a dx b ax f 。
不定积分专题试题
不定积分专题试题（含答案）一、填空题1、若⎰==__)(sin cos )()('dx x xf u f u F ，则 C x F +)(sin2、设)(x f 的一个原函数为x x tan ，则⎰=___)('dx x xf C x xx +-tan 2sec 2 3、若)1()(ln '2>=x x x f ，则___)(=x f C e x +2214、_____1)2(=--⎰xx dxC x +--1arctan 25、设x x f ln )(=，则____)('=⎰--dx ee f x x C x +6、___sin cos 2222=+⎰xb x a dx C x a bab +)tan arctan(1 7、已知边际收益为x 230-，则收益函数为___ 230x x -8、=-+=⎰⎰dx x xf C x dx x f )1()(22，则若______ C x +--22)121（9、____)2ln 1(12=+⎰dx x x C x +2ln arctan10、若____1)1()()(2=⋅+=⎰⎰dx xxf C u F du u f ，则 C xF +-)1(二、选择题1、函数x x e 3的一个原函数为（ B ）A 、)3ln 1()3(+xe B 、3ln 1)3(+xeC 、3ln 3xe D 、3ln 3xe2、求dx x ⎰-42时，为使被积函数有理化，可作变换（C ）Ａ、t x sin 2= B 、t x tan 2= C 、t x sec = D 、42-=t x3、若x ln 是函数)(x f 的原函数，那么)(x f 的另一个原函数是BA 、ax lnB 、ax a ln 1C 、x a +lnD 、2)ln 21x （4、函数__)(_)()()(2D x F x x x f =+=的一个原函数A 、334xB 、334x xC 、)(3222x x x + D 、)(322x x x +5、__)(_)(cos )1cos 1(2D x d x =-⎰A 、C x x +-tanB 、C x anx +-cos tC 、C x x+--cos 1 D 、C x x +--cos cos 1三、计算题 1、⎰+)1(x x dxC x +arctan 2 2、dx x x ⎰-234 C x x +-+--3)4(443223、dx xx⎰-31 C x x x x x x +-++----666656711ln 3625676 4、dx e x x 23-⎰ C e e x x x +----22212125、dx x x ⎰+241 C x x x ++-arctan 336、dx xx ⎰22cos sin 1C x x +-cot tan 7、dx ex ⎰-12 C x ex +---)112(128、dx x )arcsin (2⎰ C x x x x ar x +--+2arcsin 12)sin c (229、xdx ⎰3tan C x x++cos ln 2tan 210、⎰-dx x x 123 C x x +-+-13)1(232 11、dx x x 23)(ln ⎰ C x x x x x ++-32ln 8)(ln 4442412、⎰dx x )sin(ln C x x x +-)]cos(ln )[sin(ln 213、dx x f x f ⎰)()(' )(2x f +C 14、dx ex ⎰+211C e e x x +++-+1111ln 2122 15、dx x x ⎰sin C x x x x x +-+-sin )2(6cos )6(2 四、证明题：设)(x f 的原函数)(x F 非负，且1)0(=F ，当x x F x f x 2sin )()(02=≥时，有，试证14sin 412sin )(2+-=x x xx f不定积分练习题1基础题 一．填空题 1.不定积分：⎰=_____x x dx22.不定积分：dx x ⎰-2)2(=______3.不定积分： dx x x x)11(2⎰-=_______ 4.不定积分：dx x ⎰-2)2(=__________5.不定积分：dx xe x)32(⎰+=_______ 6.一曲线通过点)3,e (2，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，则该曲线的方程为____________________7.已知一个函数)x (F 的导函数为2x 11-，且当1x =时函数值为π23，则此函数为_______________ 8.=+⎰x d )x 1x ( ________ 9. 设1()f x x=，则()f x dx '=⎰ 10.如果xe -是函数()f x 的一个原函数，则()f x dx =⎰11. 设21()ln(31)6f x dx x c =-+⎰,则()f x = . 12. 经过点(1,2),且其切线的斜率为2x 的曲线方程为 .13. 已知()21f x x '=+,且1x =时2y =,则()f x = .14. (103sin )xx x dx +-=⎰ .15.222()a x dx +=⎰. 16.3321(1)x x dx x-+-=⎰ . 二．选择题 1、，则设x d x1I 4⎰=I =（ ） c x 3 1)D ( c x 3 1)C ( cx 3 1)B ( c x 4)A (3335++-+-+--- 2、的一个原函数为则，设 )x (fx 1 1)x (f 2-=( )()arcsin ()arctan A x B x x 1 x 1 ln 2 1)C (+- x1x 1 ln 2 1)D (-+ 3、函数x 2 cos π的一个原函数为 （ ） (A) x 2 sin 2 ππ (B) x 2 sin 2 ππ- （C ）x 2 sin 2ππ (D) x2 sin 2ππ- 4、设f(x) 的一个原函数为F(x)， 则⎰=dx )x 2(f （ ）(A) F(2x)+ C (B) F( 2 x )+ C (C)C )x 2(F2 1+ (D) 2F( 2 x )+ C 5.设3()lnsin 44f x dx x C =+⎰，则()f x =（ ）。
(完整版)不定积分习题与答案
不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2xdx２）⎰xxdx2３）dxx⎰-2)2(４）dxxx⎰+221５）⎰⋅-⋅dxxxx32532６）dxxxx⎰22sincos2cos７）dxxe x)32(⎰+８）dxxxx)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dxx⎰-3)23(２）⎰-332xdx３）dttt⎰sin４）⎰)ln(lnln xxxdx５）⎰xxdxsincos６）⎰-+xx eedx７）dxxx)cos(2⎰８）dxxx⎰-4313９）dxxx⎰3cossin10）dxxx⎰--249111）⎰-122xdx12）dxx⎰3cos13)⎰xdxx3cos2sin14)⎰xdxx sectan315)dxxx⎰+23916)dxxx⎰+22sin4cos3117)dxxx⎰-2arccos211018)dxxxx⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dxxx⎰+211２）dxx⎰sin３）dxxx⎰-42４）⎰>-)0(,222adxxax５）⎰+32)1(xdx６）⎰+xdx21７）⎰-+21xxdx８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法）１）inxdxxs⎰２）⎰xdxarcsin３）⎰xdxx ln2４）dxxe x⎰-2sin2５）⎰xdxx arctan2６）⎰xdxx cos2７）⎰xdx2ln８）dxxx2cos22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dx xx⎰+33２）⎰-++dxxxx1033223）⎰+)1(2xxdx（Ｂ）1、一曲线通过点)3,(2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。
2、已知一个函数)(xF的导函数为211x-，且当1=x时函数值为π23，试求此函数。
3、证明：若⎰+=c x F dx x f )()(，则)0(,)(1)(≠++=+⎰a cb ax F a dx b ax f 。
不定积分例题与答案
求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的荃本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和荃本积分公式，査接求出不定积分!★(1),旅思路：被积函敌|:,由积分表中的公式(2)可解。
K 77T 八★⑶思路:根裾不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：j<2x +.K 2Wt = j2,rfA + f.rdv = -L.+lx i +C ★⑷J 仮(.丫-3皿 思酪:根拐不定积分的线性性质，将被积函薮分为两项，分别积分。
J7xU-3)rfv = |x-dv-3jA"dv = ^.v* -2.V-+C★★⑸『竺上竺旦厶息」廉:观察到3xJ3.E=w+ 1后，根拐不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
丿 ~-V+ 1 ~~.C+ 1~"*A x 2+11 ,根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：JI ' 心=j rfv-j ]:心=A -arctan .v+C.注.容島看出(5)(6)两題的解SI 思绝是一致的• 一般地，如果被积函数为一个有理的假分丈.谨常先将其分解为一个荃或加上或 减去一个真分丈的形丈.再分项积分.★(7) |(三二+W 心思路:分项积分。
4-~-r^ = J 'z£v -|-^<tv + 3|x 'rfv-4j.t u rfv★(8)上3 2 思路:分项积分。
■ J< ] 3 - F k£v = 3j J , dx-2jdr = 3arctan .v-2arcsinx + C.★★⑺j 后眾小思路:皿着看到皿頁=严—“直接积分。
解：J 厶斥曲Y = =加+ U息话:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
X ，.思路:注意到r_ JI + x* x l+x 2 l+.r 1+x 2 解: ★⑵ =x + arctan .v + C解：严小+认=★★(10) I忌路:裂项分项积分。
不定积分100道例题及解答
不定积分100道例题及解答不定积分100道例题及解答1. 问题：计算不定积分∫(x^2 + 2x + 1) dx解答：根据不定积分的基本性质，我们可以逐个对各项进行积分。
对于x^2，应用幂函数的基本积分法则得到 x^(2+1)/(2+1) =x^3/3。
对于2x，应用常数倍法则得到的积分结果为 x^2。
对于常数项1，则积分结果是x。
将这三个结果相加，即得到最终的积分结果为x^3/3 + x^2 + x + C，其中C为常数项。
2. 问题：计算不定积分∫(2e^x + 3x^2) dx解答：对于2e^x，应用指数函数的基本积分法则得到 2e^x。
对于3x^2，应用幂函数的基本积分法则得到 x^(2+1)/(2+1) = x^3/3。
将这两个结果相加，即得到最终的积分结果为 2e^x + x^3/3 + C，其中C为常数项。
3. 问题：计算不定积分∫(sin(x) + cos(x)) dx解答：对于sin(x)，应用三角函数的基本积分法则得到 -cos(x)。
对于cos(x)，同样应用三角函数的基本积分法则得到 sin(x)。
将这两个结果相加，即得到最终的积分结果为 -cos(x) + sin(x) + C，其中C为常数项。
4. 问题：计算不定积分∫(1/x^2) dx解答：对于1/x^2，可以应用倒数函数的基本积分法则得到 -1/x。
因此，最终的积分结果为 -1/x + C，其中C为常数项。
5. 问题：计算不定积分∫(ln(x) + 1/x) dx解答：对于ln(x)，应用对数函数的基本积分法则得到 xln(x) - x。
对于1/x，同样应用倒数函数的基本积分法则得到 ln(x)。
将这两个结果相加，即得到最终的积分结果为 xln(x) - x + ln(x) + C，其中C为常数项。
6. 问题：计算不定积分∫(e^2x + x^3) dx解答：对于e^2x，应用指数函数的基本积分法则得到(1/2)e^2x。
不定积分例题(含过程及解析)
例题1dx e x x ⎰+)12( ce e x dxe e x x d e e x de x x x xx x x x+-+=•-+=+-+=+=⎰⎰⎰2)12(2)12()12()12()12( 根据分部积分法⎰⎰-=vdu uv udv ，（2x+1）为u ，e x 为v 。
（确定u 和v 的口诀：对反幂三指；对——对数函数、反——反函数、幂——幂函数、三——三角函数、指——指数函数）2x+1为幂函数，e x 为指数函数。
例题2dx xe x ⎰-ce xe dxe e xe dx e xe xde x x x x x x x++-=•+-=--=-=-------⎰⎰⎰1)(x e -是一个复合函数，其导数应为1-•-x e例题3⎰xdx arctanc x x x xd xx x dx x x x x xxd x x ++-=++-=+-•=-•=⎰⎰⎰)1ln(21arctan 11121arctan 1arctan tan arctan 2222arctanx ’=1/1+x 2，在这里会用到反三角函数的导数公式。
其它的反三角导数是arcsinx ’=211x -、arccosx ’=211x --、arccotx ’=211x +-例题4dx x x ⎰2cos 2sin|cos |ln 2cos cos 12cos sin 2cos cos sin 22x x d xdx xx dx xx x -=-===⎰⎰⎰这里用到二倍角公式，如下：Sin2x=2sinxcosxCos2x=2cos 2x-1=1-sin 2x-1例题5dx x x ⎰++2cos 1sin 12c x x x xdx dx dx x dx xx +-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰21tan 21sec 121cos 1cos 2cos 22222 这里除了用到二倍角公式，还会用到sin 、cos 、sec 、csc 间的相互转化，sinx 和cscx 互为倒数、cosx 和secx 互为倒数。
不定积分_计算题,含答案
第四章 不定积分(答案)1.⎰-233d xx ⎰-=21d 31xx =+13arcsin .x c2. x x x d tan csc 22⎰⋅x x d sec 2⎰==+tan .x c3.⎰+22d x x ⎰+=22)2(d xx=+122arctan .x c4.⎰+82d 2x x ⎰+=4d 212x x =+++1242ln .x x c5.⎰-9d 2x x⎰-=223d x x=-++1633ln .x x c6.⎰-63d 2x x ⎰-=2d 312x x =+-+1322ln .x x c7.⎰+232d x x ⎰+=232d 31x x=+1632arctan x c8. x x c 3++arctan .9.⎰+.d )sec (tan 22x x x ⎰-=x x d )1sec 2(2=-+2tan .x x c10.x x x d 122⎰+⎰+-+=x xx d 11122 ⎰⎰+-=21d d x x x =-+x x c arctan . 11.⎰-.d 122x x x x x x d 11122⎰----=⎰⎰-+-=21d d x x x =-++-+x x x c 1211ln . 12.x x x d 1322⎰-+x x x d 14122⎰-+-=⎰⎰-+=1d 4d 2x x x =+-++x x x c 211ln .13. x xx d sin 2sin 122⎰+=原式⎰⎰+=x x d 21d csc 212=-++1212cot .x x c14.x x x x d cos sin d 22⎰⎰⋅+=x xx xx d cos sin cos sin 2222⎰⎰+=x x x x d csc d sec 22.cot tan c x x +-=⎰=xx2sin d 4:2原式另解=-+22cot .x c15.⎰++x x x d 2cos 1cos 12x xxd cos 2cos 122⎰+=⎰⎰+=xx x d 21d sec 212=++1212tan .x x c 16. x xx x d sin cos 2cos ⎰-x x x x x d sin cos sin cos 22⎰--= ⎰+=x x x d )sin (cos =-+sin cos .x x c17.x x x x d sin cos 2cos 22⎰⎰-=x xx xx d sin cos sin cos 2222⎰⎰-=x x x x d sec d csc 22=--+cot tan .x x c18.⎰++++x x x x x x d 13323x xx x x x x d 21)1(322⎰+++++=x x x d )1211(2⎰+++==+++x x x c ln arctan .2 19. x x x d )111(22⎰+-=原式=--+1x x c arctan .20. x x x d )1111(2122⎰-++=原式 =++-+121411arctan ln .x x xc21.x x x d 124⎰+x xx x x d 1)1(2222⎰+-+=⎰⎰⎰++-=221d d d x x x x x =-++x x x c 33arctan .22.⎰+-)3)(2(d 22x x xx x x d )3121(5122⎰+--==-+-⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥+1512222133ln arctan .x x x c23.x x x xd )2sin 2(cos cos 22⎰-x x x d sin 1sin 12⎰--= ⎰+=x x d )sin 1(=-+x x c cos .24. ⎰⋅x ex xd cos sin ⎰=)d(sin sin xe x .sin c e x +=25.⎰x x d 2tan ⎰=x xxd 2cos 2sin ⎰-=xx 2cos )2d(cos 21=-+122ln cos .x c26. (解法一):⎰-.)1(d x x x⎰-=2)(1)d(2x x =+2arcsin x c⎰⎰---=-=22)21(41)21d(d :)(x x xx x 原式解法二.)12arcsin(2121arcsinc x c x +-=+-=27.⎰x x d cos 3⎰-=)d(sin )sin 1(2x x =-+sin sin .x x c 133 28. ⎰+x xxd cos 1sin ⎰+-=x x cos 1)d(cos .)cos 1ln(c x ++-= 29. (解法一)⎰x xxd cos sin 2⎰-=x x 2cos )d(cos =+1cos x c(解法二):⎰=x x x d tan sec 原式=+sec .x c30. ⎰-=22)3()2()3d(31x x 原式=⋅+-+131222323ln .x xc31.⎰+x x cos 1d ⎰=2cos 2d 2x x ⎰=)2d(2sec 2xx =+tan .x c 232..d cos 1sin x xx ⎰-⎰⎰--=-=x x x x cos 1)cos 1d(1cos )d(cos =-+ln(cos )1x c 33.x x x x d )(ln ln 12⎰+⎰⎰+=x x xx x x ln d )(ln d 2⎰⎰+=xx x x ln )d(ln )(ln )d(ln 2.ln ln ln 1c x x ++-=34. ⎰+x e e x x d 1⎰++=x x ee 1)1d(=++ln().1e c x35.⎰x x d sin 3)d(cos )cos 1(2x x ⎰--=⎰⎰-=)d(cos )d(cos cos 2x x x =-+133cos cos .x x c36. ⎰x x x d sec tan 3 ⎰-=)d(sec )1(sec 2x x =-+133sec sec .x x c37.⎰⋅x x x d sec tan 46⎰+=)d(tan )tan 1(tan 26x x x =++171979tan tan .x x c38.⎰x xexd )d(2x ex⎰==+2e c x39.x xx⎰+d 1arctan 2⎰=)d(arctan arctan x x =+122(arctan ).x c 40.⎰+x e e x x d 12⎰+=xx e e 21)d( .arctan c e x += 41.⎰+x e e xx d 122⎰++=xx ee 221)1d(21=++1212ln().e c x42.⎰-+2215d xx x ⎰---=2)1(16)1d(x x =-+arcsin.x c 1443.⎰-+22d x x x ⎰---=2)21(49)21d(x xc x +-=2321arcsin=-+arcsin ().2312x c44.⎰++32d 2x x x ⎰++=2)1(d 2x x=++1212arctan .x c45.x xxd sin ln cot ⎰⎰=x x sin ln )sin d(ln =+ln lnsin .x c 46. ⎰+-=xx cos 2)d(cos 原式⎰++-=xx cos 2)cos 2d(=-++22cos x c47.⎰-x xx xx d cos sin 4cos sin 22⎰-=1sin 5)d(sin 2122x x⎰--=1sin 5)1sin 5d(10122x x .1sin 5512c +-=48.x xxd cos ⎰)d(cos 2x x ⎰==+2sin .x c49.⎰-x x x d 913arccos 2)3d(arccos 3arccos 31x x ⎰-= =-+1632(arccos ).x c50.⎰-x xx d 183⎰-=244)(1)d(41x x =+144arcsin .x c51.x x x d 462⎰+⎰+=4)()d(31233x x =+1623arctan .x c52.⎰⋅x x x d 3cos 2sin ⎰+-=x x x d )5sin )(sin(21.5cos 101cos 21c x x +-=53. ⎰⋅.d 7sin 5sin x x x 求[]⎰--=x x x d )12cos()2cos(21=-+14212412sin sin .x x c54. ⎰-=222)2(1)2d(41x x 原式.2arcsin 412c x +=55.x x x d 4252⎰+-x x x x d 424)4d(25222⎰⎰+-++==+-+52422ln()arctan .x xc 56. x x x xd 13962⎰+++x x x x d 133232⎰+++=.13ln 313)13d(3222c x x x x x x +++=++++=⎰57.x x x xd )1(arctan ⎰+)d(arctan arctan2x x ⎰==+(arctan ).x c 258.⎰-x x x d 1102arccos 2⎰-=)arccos 2d(1021arccos 2x x=-+1210102ln .arccos x c59.⎰-+-x xx x d 34212⎰⎰----+-=222)23()25(d 2d 3423x xx xx x=+---+24322352x x x c arcsin .60.⎰x x d tan3⎰-=x x x d tan )1(sec 2⎰⎰-=x x x x d tan )d(tan tan =++122tan ln cos .x x c61.⎰--123d 2x x x=--+⎰1411331()x x dx =--++14131(ln ln )x x c =-++14131ln .x x c62. x x dx 44+⎰=+⎰124222d x x ()()=+1422arctan .x c63.322152x x x dx ---⎰=---+--⎰⎰322221521522x x x dx dxx x=--+--⎰3221511622ln ()x x dxx=--+---++322151814142ln ln x x x x c =--+-++3221518532ln ln .x x x x c64.sin cos x xdx 42+⎰=-+⎰d x x(cos )cos 42=-+++ln cos cos .x x c 4265.dx x x ()()2223-+⎰=--+⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎰⎰15121322x dx x dx=⋅-+-+15122221533ln arctan .x x xc66. 原式=-+⎰dxx x ()()2222=-++⎰14121222()x x dx.2arctan 24122ln 22141c xx x ++-+⋅=67.cos cos xxdx 22+⎰=-=-⎰⎰d x xd x x(sin )sin (sin )sin 32122322.)sin 32arcsin(21c x +=68. ⎰⋅==-tdt t dx t x x dx tan sec 2sec 242 令 原式=⋅=⎰⎰22sec tan tan sec t tdtttdt =++lnsec tan t t c 1=+-+ln xx c 24221=+-+ln .x x c 2469.arcsin arcsin xdx x x x xdx ⎰⎰=⋅--12=+--⎰x x d x x arcsin ()121122=+-+x x x c arcsin .1270.arctan arctan xdx x x xx dx ⎰⎰=⋅-+12=-++⎰x x d x xarctan ()121122=-++x x x c arctan ln().121271.x xdx xd x cos (sin )3133⎰⎰=[]=-⎰1333x x xdx sin sin =++133193x x x c sin cos .72.xe dx xd e x x--⎰⎰=-()=----⎰()xe e dx x x =--+--xe e c x x .73. xe dx xde x x4414⎰⎰=[]=-⎰1444xe e dx x x =-+1411644xe e c x x . 74.x xdx xd x sin cos ⎰⎰=-=-+⎰x x xdx cos cos=-++x x x c cos sin .75. xdxxxd x sin (cot )2⎰⎰=-=-+⎰x x xdx cot cot =-++x x x c cot lnsin .76. x xdx xd x ln .ln ()⎰⎰=22=⋅-⋅⎰x x x x dx 22221ln =⋅-+x x x c 2224ln .dx x x x x dx xx x x x xd xdx x ⎰⎰⎰⎰+-+-=+⋅-⋅==222222211121arctan 2112arctan 2)2(arctan arctan .77.arctan 2121arctan 22c x x x x ++-⋅=⎰⎰⎰⎰+=⋅-==⋅)(cos 2sin 2sin sin )(sin cos .782222x xd x x xdxx x x x d x xdx x[]=+-⎰x x x xdx 22sin cos cos =+-+x x x x x c 222sin cos sin .79.ln ln ln 2221xdx x x x x xdx ⎰⎰=⋅-⋅⋅=-⎰x x xdx ln ln 22=--⋅⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎰x x x x x x dx ln ln 221=-++x x x x x c ln ln .222dxxx x dx x x x x x xd dx x x⎰⎰⎰⎰-=⋅-⋅==12ln 212ln 2)2(ln ln .80 .4ln 2c x x x +-=⎰⎰⎰--=---=-2221arcsin arcsin 11arcsin .81x xd xdx x x dx x x x =--⋅+-⋅-⎰111222x x x dx xarcsin=--++12x x x c arcsin .⎰⎰⎰⎰+-=+-=-=)(sin 2cos cos 2cos )(cos sin .822222x xd x x xdxx x x x d x xdx x=-+-⎰x x x x xdx 222cos sin sin=-+++x x x x x c 222cos sin cos .dxx x x x xd x x x xd )1(csc sin ln cot )sin (ln cot sin ln cot )cot (sin ln .832-+⋅-=+⋅-=-=⎰⎰⎰原式 .cot sin ln cot c x x x x +---=⎰⎰⎰⎰+=+==)(sin cos sin cos )(cos cos .84xxx x x x e xd x e xdxe x e e xd xdx e=+-⎰e x e x e xdxx x x cos sin cos∴=++原式12e x x c x(cos sin ).⎰⎰⎰⎰-⋅=-⋅==)(cos sin cos sin )(sin sin .85xxx x x x e xd e x xdxe e x e xd xdx e=⋅-+-⎰sin cos (sin )x e e x e x dx x x x∴=-+原式e x x c x2(sin cos ). 86. (arcsin )(arcsin )arcsin x dx x x x x x dx 222211⎰⎰=-⋅-=+-⎰x x xd x (arcsin )arcsin 2221=+⋅----⎰x x x x x dxx (arcsin )arcsin 222221211=+⋅--+x x x x x c (arcsin )arcsin .22212⎰⎰⎰⎰⎰⋅-==+=+xdx x x x x d x xdx x xdx x x dx x x 2sin sin )(sin cos cos 216 )cos 1(21.87222232而原式＝12222sin 2cos 2sin cos 2cos 2sin cos 2sin sin 2sin c x x x x x xdx x x x x xxd x x xdx x x x +-+=-+=+=-=⎰⎰⎰ ∴=++-+原式x x x x x x c 32612sin cos sin .⎰⎰-=⋅===)(cos 2sin 22.882t td td t tdt dx t x 原式 令 c t t t ++-=sin 2cos 2 =-++22x x x c cos sin . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅+-=-=⋅⋅-=⎰⎰⎰dx x x x x x x x xdx x x dx xx x x x 1ln sin ln cos ln sin ln cos ln sin 1ln cos ln sin .89 原式 =--⎰x x x x xdx sinln cosln sinln∴=-+原式x x x x c 22sin ln cosln . )(222.902⎰⎰-=====du e ue du ue udu dx u x u x u u u 原式 令 =-+22ue e c u u =-+21e x c x ().。
不定积分100题
不定积分100题（附答案）容易题1—60，中等题61—105，难题106—122. 1．设⎰-=1tan cos 2x x dxI ， 则=I ( ). (C).;)1(tan 221C x +-2．设⎰-=12x xdx I ，则=I （ ）。
(D).C x+-1arcsin. 3．设⎰=x dxI sin ,则=I ( ). (B).C x c x +-tan csc ln4．设⎰=axdx I 2 ,则=I （ ）。
(A).C ax+2; 5．设⎰++=dx e e I xx 113,则=I ( ). (B).C x e e x x ++-2216．设⎰=xdx I tan ,则( ). (D).C x +-sin ln . 7．设⎰=xdx I ln 则（ ）。
(D).C x x x I +-=ln 8．设⎰=xdx I arctan , 则=I ( ). (B).C x x x ++-1ln arctan 29．设 ⎰=xdx x I cos sin ，则( ). (A).C x I +-=2cos 4110．设⎰+=21x dx I ， 则=I ( ). (B)C x x +++21ln11．设211)(xx f -=，则的一个原函数=)(x F （ ）。
(A).x x -+11ln 21 12．设)(x f 为可导函数，则（ ）。
(C).⎰=')())((x f dx x f13．设⎰=xdx I arcsin ，则( ). (C).C x x x +-+21arcsin14．=+⎰x x dx sin 2)2sin(( ) （B ）c x x ++|2tan |ln 412tan 812 15．=-⎰)4(x x dx ( ) （C ）c x+2arcsin2 16．=-⎰dx x x 21ln ( ) （B ）c xx+-ln17．设x xsin 为)(x f 的一个原函数，且0≠a ，则⎰dx a ax f )(=( ) （A ）xa ax 3sin19．欲使⎰⎰=dx x f dx x f )()(λλ，对常数λ有何限制？( ) 0≠λ。
不定积分例题及参考答案
第4章不定积分习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)思路: 被积函数52x -=，由积分表中的公式（2）可解。
解：532223x dx x C --==-+⎰★(2)dx⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22x x dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰★★(5)4223311x x dx x +++⎰ 思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x=-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。
一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
★(7)x dx x x x⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。
解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2 223134ln ||.423x x x x C --=--++ ★(8)23(1dx x -+⎰思路:分项积分。
不定积分例题及标准答案
第4章不定积分
习题4-1
1.求下列不定积分：
知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分!
★(１）
思路: 被积函数5
2
x -=,由积分表中的公式（2)可解。
解:53
22
23x dx x C --==-+⎰
★（2）dx
⎰
思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项，分别积分。
解:1
14111
3332223()2
4dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+⎰⎰⎰⎰ ★（3)22x x dx +⎰（）
思路：根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。
解:22
32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）
★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项,分别积分。
解：3153
222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰⎰ ★★（5)4223311x x dx x +++⎰
思路:观察到422223311311
x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x
++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6）2
21x dx x +⎰
思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
不定积分例题及参考答案87427763
不定积分例题及参考答案87427763不定积分例题及参考答案第4章不定积分内容概要课后习题全解 习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)思路: 被积函数52x-=，由积分表中的公式（2）可解。
解：532223x dx x C--==-+⎰★(2)dx⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22xx dx+⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx-思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C-=-=-+⎰⎰★★(5)4223311x x dxx +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰★★(6)221x dxx +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。
一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
★(7)x dx x x x⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。
不定积分习题及答案
（A层次）
rdx
」sinxcosx
Jsin5xsinIxdx;
7.
Jx^arctgxdx；
10.
13.
rdx
」xln xln Inx
16.
|sin>[xdx；
19.
r7cosx-3sinxfdx;
J 5cosx + 2sinx
22.
」cosxsinx
25.『干三如
-1
28
fxdx
• J(x + lX"2Xx + 3)；
“ r arccosx .
10.
JVl-x2
12.
15.
dx
sinx ,dx；1 + si nx + cosx
arcsin
—dx；
1 + x
dx
13.
—~ dx；
COS~Xtg X
a...；19.| x/gxsec4xdx;
£Z2cos2x + A2sin2xJ
(C层次)
1.设F(x)为/(x)的一个原函数，F(0)=l, F(x)>0,且当尤》0时，有
（B层次）
第四章不定积分
2.
5.
8.
17.
arctg長
Jxcos2xdx；
20.
23.
26.
29. J
3.
6.
9.
dx
15.
\ + ex]
arcsinVxf
|Q2arccojiv
dx
(2 + cosx)sin x
18.
f6/A
rdx
X+yj\-X2
(完整版)不定积分例题及答案理工类吴赣昌(可编辑修改word版)
第 4 章不定积分知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！d ⎡⎰ ⎤ ⎡⎰ ⎤ 性质 1： f (x )dx = f (x ) 或 d f (x )dx = f (x )dx ；dx ⎣⎦⎣⎦性质 2： ⎰ F '(x )dx = F (x ) + C 或⎰ dF (x ) = F (x ) + C ； 性质 3：⎰[f (x ) ± g (x )]dx =⎰ f (x )dx ± ⎰ g (x )dx ，,为非零常数。
设 f (u ) 的 原函数为 F (u ) ， u =(x ) 可导，则有换元公式：⎰ f ((x ))'(x )dx = ⎰ f ((x ))d(x ) = F ((x )) + C设 x =(t ) 单调、可导且导数不为零， f [(t )]'(t ) 有原函数 F (t ) ，则⎰ f (x )dx = ⎰ f ((t ))'(t )dt = F (t ) + C = F (-1(x )) + Cx 2 xx 2x⎰ x1 ★(1)⎰思路: 被积函数1 = x- 5 2，由积分表中的公式（2）可解。
解 ：⎰dx= ⎰ x 1- 52 2dx = - 3 - 3 x 2+ C★(2) ⎰( -dx x思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
11-11- 1 3 41解： ⎰ ( 3 x - )dx = ⎰ (x 3 - x 2 )dx = ⎰ x 3dx - ⎰ x 2dx = x 3 - 2x 2 + C 4★(3) ⎰（2x+ x 2）dx思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
x2x22x1 3解： ⎰（2 + x ）dx = ⎰ 2 dx + x dx = + x + Cln 2 3★(4)⎰x (x - 3)dx思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
高等数学不定积分例题和答案
高等数学不定积分例题和答案(1)解：(dx x ==+-⎰⎰(x +⎰，令t =2;dx tdt =2425315322122((1)22()5322(53x t t tdt t t dt t t C x x x C ∴+=+=+=++∴+=++⎰⎰⎰⎰⎰，令u =2;dx udu =242532532225533222222(1)22()5322(1)(1)5322[(1)][(1)].53u u udu u u du u u C x x C x x x x C ∴=-=-=-+∴=+-++∴=-++++++⎰⎰⎰⎰ (3)解：887888881(1)(1)(1)(1)1x dx x dx x dx dx dx x x x x x x x x x-=-=-+++++⎰⎰⎰⎰⎰ 对8(1)dx x x +⎰采用倒代换，令1x t=，则21dx dt t =-。
788182888111()ln(1)1(1)18181dx t t dt dt dt t C x x t t t t∴=-=-=-=-++++++⎰⎰⎰⎰ 111ln();8x C x+=-+88 78828811ln(1);8811x x dx x C x x ==++++⎰⎰d888811111ln()ln(1)ln ln(1).(1)884x x dx x C x x C x x x -+∴=--++=-+++⎰88 （5）、2(23)cos 2.x x xdx -+⎰解：22(23)cos2cos22cos23cos2x x xdx x xdx x xdx xdx -+=-+⎰⎰⎰⎰ 213sin 2sin 2cos 222213(sin 22sin 2)(sin 2sin 2)sin 222113(sin 2cos 2)(sin 2sin 22)sin 222211113sin 2cos 2cos 2sin 2cos 2sin 22222211sin 2c 22x d x xd x xd x x x x x x x x xdx x x x xd x x x xd x x x x x x xdx x x x x x x x =-+=--=+-=+---+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222d -+-+2113os 2sin 2sin 2cos 2sin 24221511()sin 2()cos 2.2422x x x x x x C x x x x x C --++=-++-+- (7)解：22222111arctan arctan arctan arctan 111x x xdx xdx xdx xdx x x x +-==-+++⎰⎰⎰⎰ 222arctan arctan arctan 111arctan ln(1)(arctan ).22x x x dx xd x x x x x x C =--+=-+-+⎰⎰ (9)解：令2sin ,02x t t π=<<，则2cos dx tdt =；2cos 11csc ln csc cot 2sin 2cos 2sin 22121ln .22tdt dt tdt t t C t t t C C x ∴====-+=+=+⎰⎰⎰（7）解：2233()()()()()()[]()()()()f x f x f x f x f x f x dx dx dx f x f x f x f x ''''-=-''''⎰⎰⎰ 而22223333()()()()()()()()()()()()()f x f x f x f x f x dx df x f x f x d f x f x f x f x '''''==-''''⎰⎰⎰ 245226()2()()3()()()()()()f x f x f x f x f x f x f x dx f x f x ''''-'=-''⎰ 2223()()()()23()()()f x f x f x f x dx dx f x f x f x ''=-+'''⎰⎰ 2223232232()()()()()()()[]3[]()()()()()()()()1()[].()2()()f x f x f x f x f x f x f x dx dx f x f x f x f x f x f x f x f x f x dx C f x f x f x ''''∴-=-+-'''''''∴-=+'''⎰⎰⎰解：7cos 3sin 5cos 2sin (5cos 2sin )x x x x x x '-=+++7cos 3sin 5cos 2sin (5cos 2sin )5cos 2sin 5cos 2sin (5cos 2sin )(5cos 2sin )[1]5cos 2sin 5cos 2sin (5cos 2sin )ln 5cos 2sin .5cos 2sin x x x x x x dx dx x x x xx x d x x dx dx x x x xd x x dx x x x C x x'-+++∴=++'++=+=++++=+=++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：令2tan ,,sec .2x t t dx tdt π=<=则3323223tan sec tan sec tan sec (sec 1)sec sec 1sec sec .3t tdt t tdt td t t d t t t t C C ∴====-=-+=⎰⎰⎰⎰解：令t=则321,3;x t dx t dt+==22231333(1)333ln111123ln1.t dt t dtt dt dt t t t Ct t tC∴===-+=-++++++=+⎰⎰⎰⎰解：令tan2xt=，则2222212sin,cos,;111t t dtx x dxt t t-===+++222221ln1ln1tan2112111dtdt xt t C Ct t tt t+∴==++=++-+++++⎰⎰解：令221(1)1A Bx Cxx x x+=+++，等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得：01A BCA+=⎧⎪=⎨⎪=⎩解之得：221111(1)1AxBx x x xC=⎧⎪=-∴=-⎨++⎪=⎩222221111ln(1)2(1)111ln ln(1).2xdx dx dx x d xxx x x xx x C C∴=-=-++++=-++=+⎰⎰⎰⎰()f x()xf x dx'⎰解：()()()()xf x dx x f x xf x f x dx'=-⎰⎰⎰d()=又2sin cos sin cos sin (),(),();x x x x x x xf x dx C f x xf xx xx--=+∴=∴=⎰cos sin sin2()cos sin Cx x x xxf x dx C x xx x x-'∴=-+=-+⎰二、求一个函数()f x,满足'()f x=(0)1f=。
第五章不定积分习题课参考答案
① f ( x, n ax b ) dx ，令 t n ax b ；② f ( x, a 2 x 2 )dx ，令 x a sin t ； ③ f ( x, a 2 x 2 )dx ，令 x a tan t ；④ f ( x, x 2 a 2 )dx ，令 x a sect ；
例6 求下列不定积分：
108896097.doc
-2-
①
xdx ； 1 x2
②
1 1 sin dx ； 2 x x
③
dx x 1 ln 2 x
；
凑微分求不定积分，必须牢记基本积分公式类型，这样就不会被复杂的式子所迷 惑，同时为提高凑微分技巧，应熟悉常见的微分公式． 常用的凑微分积分类型： 1 f (ax n b)d (ax n b) ； ① f (ax n b) x n 1 dx an ② f (sin x) cos xdx f (sin x)d sin x ； ③ f (tan x) sec 2 xdx f (tan x)d tan x ；
0 1
解: 由已知 x 2 x 为 f ( x) 的导函数，即 x2 x f ( x) 所以， xf ( x)dx x( x 2 x)dx ( x 3 x 2 )dx
0 0 0 1 1 1
1 4 1 3 x x C 4 3
例3 求下列不定积分： ①
x 2 x sin 2 x sin 2 x x 2 x sin 2 x cos 2 x dx C 4 4 4 4 4 8
例14 求下列不定积分：
xdx ① 3 ； x 3x 2 2x 3 dx ； ② 2 x x5
x4 1 dx ． ③ 6 x 1
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第4章不定积分习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)思路: 被积函数52x -=，由积分表中的公式（2）可解。
解：532223x dx x C --==-+⎰★(2)dx⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22x x dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰★★(5)4223311x x dx x +++⎰ 思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x=-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。
一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
★(7)x dx x x x⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。
解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2 223134ln ||.423x x x x C --=--++ ★(8)23(1dx x -+⎰思路:分项积分。
解：2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰ ★★(9)思路=？11172488xx ++==，直接积分。
解：715888.15x dx x C ==+⎰★★(10)221(1)dx x x +⎰思路:裂项分项积分。
解：222222111111()arctan .(1)11dx dx dx dx x C xx x x x x x =-=-=--++++⎰⎰⎰⎰ ★(11)211x xe dx e --⎰ 解：21(1)(1)(1).11x x x x x xxe e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--⎰⎰⎰ ★★(12)3x xe dx ⎰思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。
显然33x x xe e =（）。
解：333.ln(3)xxxxe e dx e dx C e ==+⎰⎰（）（）★★(13)2cot xdx ⎰思路:应用三角恒等式“22cot csc 1x x =-”。
解：22cot (csc 1)cot xdx x dx x x C =-=--+⎰⎰★★(14)23523x xxdx ⋅-⋅⎰ 思路:被积函数235222533x x xx ⋅-⋅=-（），积分没困难。
解：2()2352232525.33ln 2ln3xxxx x dx dx x C ⋅-⋅=-=-+-⎰⎰（（）） ★★(15)2cos 2x dx ⎰ 思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。
解：21cos 11cossin .2222x x d dx x x C +==++⎰⎰ ★★(16)11cos 2dx x+⎰思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。
解：221111sec tan .1cos 2222cos dx dx xdx x C x x ===++⎰⎰⎰ ★(17)cos 2cos sin xdx x x-⎰思路:不难，关键知道“22cos2cos sin (cos sin )(cos sin )x x x x x x x =-=+-”。
解：cos 2(cos sin )sin cos .cos sin xdx x x dx x x C x x =+=-+-⎰⎰★(18)22cos 2cos sin xdx x x⋅⎰ 思路:同上题方法，应用“22cos 2cos sin x x x =-”，分项积分。
解：22222222cos 2cos sin 11cos sin cos sin sin cos x x x dx dx dx x x x x x x x -==-⋅⋅⎰⎰⎰⎰ 22csc sec cot tan .xdx xdx x x C =-=--+⎰⎰★★(19)dx ⎰思路:注意到被积函数==，应用公式(5)即可。
解：22arcsin .dx x C ==+⎰★★(20)21cos 1cos 2xdx x++⎰思路:注意到被积函数 22221cos 1cos 11sec 1cos 2222cos x x x x x ++==++，则积分易得。
解：221cos 11tan sec .1cos 2222x x x dx xdx dx C x ++=+=++⎰⎰⎰ ★2、设()arccos xf x dx x C =+⎰，求()f x 。
知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。
思路分析：直接利用不定积分的性质1：[()]()df x dx f x dx=⎰即可。
解：等式两边对x 求导数得：()()xf x f x =∴=★3、设()f x 的导函数为sin x ，求()f x 的原函数全体。
知识点：仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。
思路分析：连续两次求不定积分即可。
解：由题意可知，1()sin cos f x xdx x C ==-+⎰所以()f x 的原函数全体为：112cos sin x C dx x C x C -+=-++⎰（）。
★4、证明函数21,2x x e e shx 和xe chx 都是s x e chx hx-的原函数知识点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。
思路分析：只需验证即可。
解：2xx e e chx shx=-，而22[][][]x x x x d d d e e shx e chx e dx dx dx ===1()2★5、一曲线通过点2(,3)e ，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。
知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。
思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。
解：设曲线方程为()y f x =，由题意可知：1[()]d f x dx x=，()ln ||f x x C ∴=+； 又点2(,3)e 在曲线上，适合方程，有23ln(),1e C C =+∴=， 所以曲线的方程为()ln || 1.f x x =+★★6、一物体由静止开始运动，经t 秒后的速度是23(/)t m s ，问：（1） 在3秒后物体离开出发点的距离是多少？（2） 物体走完360米需要多少时间？知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。
思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。
解：设物体的位移方程为：()y f t =， 则由速度和位移的关系可得：23[()]3()f t t f t t C =⇒=+ddt， 又因为物体是由静止开始运动的，3(0)0,0,()f C f t t ∴=∴=∴=。
(1) 3秒后物体离开出发点的距离为:3(3)327f ==米；(2)令3360t t =⇒=习题4-2★1、填空是下列等式成立。
知识点：练习简单的凑微分。
思路分析：根据微分运算凑齐系数即可。
解：234111(1)(73);(2)(1);(3)(32);7212dx d x xdx d x x dx d x =-=--=-2222111(4)();(5)(5ln ||);(6)(35ln ||);255112(tan 2);(9)(arctan 3).23cos 219x x dx dx e dx d e d x d x x x dx dx d d x d x x x ===--===+2、求下列不定积分。
知识点：（凑微分）第一换元积分法的练习。
思路分析：审题看看是否需要凑微分。
直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。
此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！★（1）3te dt ⎰思路:凑微分。
解：33311(3)33tt te dt e d t e C ==+⎰⎰ ★(2)3(35)x dx -⎰思路:凑微分。
解：33411(35)(35)(35)(35)520x dx x x x C -=---=--+⎰⎰d ★(3)132dx x -⎰思路:凑微分。
解：1111(32)ln |32|.322322dx d x x C x x =--=--+--⎰⎰ ★(4)思路:凑微分。
解：1233111(53)(53)(53)(53).332x x d x x C -=--=---=--+⎰ ★(5)(sin )x bax e dx -⎰思路:凑微分。
解：11(sin )sin ()()cos xx xbb b x ax e dx axd ax b e d ax be C a b a-=-=--+⎰⎰⎰★★(6)思路:如果你能看到td =，凑出d 易解。
解：2C ==⎰★(7)102tansec x xdx ⎰思路:凑微分。
解：10210111tan sec tan (tan )tan .11x xdx xd x x C ==+⎰⎰ ★★(8)ln ln ln dxx x x ⎰思路:连续三次应用公式(3)凑微分即可。
解：(ln ||)(ln |ln |)ln |ln ln |ln ln ln ln ln ln ln ln dx d x d x x C x x x x x x ===+⎰⎰⎰★★(9)⎰思路:是什么，是什么呢？就是解：ln |C ==-+⎰⎰★★(10)sin cos dxx x ⎰思路:凑微分。