数学中几何辅助线的常规作法集锦

∵在线段 AC同侧作正方形 ABMN及正方形 BCEF，
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∴BE∥AM。∴△ AME 与△ AMB同底等高。
∴△ AME的面积 =△AMB的面积。
∴当 AB=n时，△ AME的面积为 Sn 1 n2 ，当 AB=n－1 时，△ AME的面积为 2
1
2
Sn
n1。 2
∴当 n≥２时， Sn
Sn 1
4. （ 2011 湖南怀化 3 分）如图， 已知直线 a ∥ b ，∠1=40°， ∠2=60°． 则∠３等于 【 】 A、100° B 、60° C 、40° D 、20°
5. （ 2011 湖北恩施 3 分）将一个直角三角板和一把直尺如图放置，
【考点】 平行的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质。 【分析】 （ 1）由已知，应用 AAS即可证明△ ADE≌△ BFE。
（ 2）由∠ ADE=∠BFE，∠GDF=∠ADF 可得∠ GDF=∠BFE，从而根据等角对等边得 GD=G；F 由（ 1）△ ADE≌△ BFE 可得 DE=EF。根据等腰三角形三线合一的性质可得 EG⊥DF。 例 8. （ 2012 广西南宁 10 分） 如图，已知矩形纸片 ABCD， AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶 点 A 与边 CD上的点 E 重合，折痕 FG分别与 AB，CD交于点 G， F， AE与 FG交于点 O． （1）如图 1，求证： A， G， E， F 四点围成的四边形是菱形； （2）如图 2，当△ AED 的外接圆与 BC相切于点 N时，求Baidu Nhomakorabea：点 N 是线段 BC的中点；
（8）基本辅助线；（ 9）截取和延长变换；（ 10）对称变换；（ 11）平移变换；（ 12）旋转
变换。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。
一、构造基本图形： 每个几何定理都有与它相对应的几何图形， 我们把它叫做基本图形，
添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形。
如平行线， 垂直
线，直角三角形斜边上中线， 三角形、 四边形的中位线等。 等腰（边） 三角形、 直角三角形、
全等三角形、 相似三角形、 特殊四边形和圆的特殊图形也都是基本图形， 但我们后面把它们
单独表述。
典型例题：
例 1. （ 2012 湖北襄阳 3 分） 如图，直线 l ∥m，将含有 45°角的三角板 ABC的直角顶点 C
又∵∠ 2=∠1＋∠ 4，即∠ 4=∠2—∠ 1。
∴ 3 1800
2 1 1800 1400 650 1050 。故选 B。
例 3. （ 2012 广东梅州 3 分） 如图，∠ AOE=∠BOE=1°5 ， EF∥OB，EC⊥OB，若 EC=1，则 EF= ▲．
【答案】 2。
【考点】 角平分线的性质，平行的性质，三角形外角性质， 含 30 度角的直角三角形的性质。
（ 2）连接 ON， ∵△ AED是直角三角形， AE是斜边，点 O是 AE 的中点，
△AED的外接圆与 BC相切于点 N， ∴ON⊥BC。 ∵点 O是 AE 的中点，∴ ON 是梯形 ABCE的中位线。 ∴点 N是线段 BC的中点。
（ 3）∵ OE、 ON均是△ AED 的外接圆的半径，∴ OE=OA=ON。=2∴ AE=AB=。4 在 Rt△ADE中， AD=2， AE=4，∴∠ AED=30°。
AB=1时，△ AME的面积记为 S1；当 AB=2时，△ AME的面积记为 S2；当 AB=3时，△ AME的面
积记为 S3；…；当 AB=n时，△ AME的面积记为 Sn．当 n≥２时， Sn﹣ Sn﹣1= ▲ ．
【答案】 2n 1 。 2
【考点】 正方形的性质，平行的判定和性质，同底等高的三角形面积，整式的混合运算。 【分析】 连接 BE，
∴四边形 EFGH是矩形。
且∵ AC≠BD，∴四边形 EFGH邻边不相等。
∴四边形 EFGH不可能是菱形。
例 6.（ 2012 湖北天门、 仙桃、 潜江、 江汉油田 3 分）如图， 线段 AC=n+1（其中 n 为正整数），
点 B在线段 AC上，在线段 AC同侧作正方形 ABMN及正方形 BCEF，连接 AM、ME、EA得到△ AME．当
例 2.（ 2012 四川内江 3 分）如图， a // b , 1 65 0 , 2 140 0 , 则 3 【 】
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A. 1000 B. 1050 C. 1100 D. 1150
【答案】 B。
【考点】 平行的性质，三角形外角性质。
【分析】 如图，反向延长 b ，形成∠ 4。 ∵ a / /b ，∴∠ 3=180 0－∠ 4。
从而
判断出 EF=AG，得出四边形 AGEF是平行四边形，从而结合 AG=G，E 可得出结论。
（2）连接 ON，则 ON⊥BC， 从而判断出 ON是梯形 ABCE的中位线，从而可得出结论。
（ 3）根据（ 1）可得出 AE=AB，从而在 Rt△ADE中，可判断出∠ AED 为 30°，在 Rt△EFO
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（3）如图 2，在（ 2）的条件下，求折痕 FG的长．
【答案】 解：（ 1）由折叠的性质可得， GA=G，E ∠ AGF=∠EGF， ∵DC∥AB，∴∠ EFG=∠AGF。∴∠ EFG=∠EGF。∴ EF=EG=A。G ∴四边形 AGEF是平行四边形（ EF∥AG， EF=AG）。 又∵ AG=G，E ∴四边形 AGEF是菱形。
的中点，若 AC⊥BD，且 AC≠BD，则四边形 EFGH的形状是
▲ . （填“梯形”“矩
形”“菱形” ）
【答案】 矩形。
【考点】 三角形中位线定理，矩形的判定。
【分析】 如图，连接 AC， BD。
∵E， F， G， H 分别是 AB， BC， CD， DA的中点，
∴根据三角形中位线定理， HE∥AB∥GF，HG∥AC∥EF。 又∵ AC⊥BD，∴∠ EHG∠= HGF=∠GFE=∠FEH=90 0。
在 Rt△OEF中， OE=2，∠ AED=30°，∴ OF
23 。∴ FG=2OF
43
。
3
3
【考点】 翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，菱形的判定，梯形中位线性质，锐角三
角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】 （ 1）根据折叠的性质判断出 AG=G，E ∠AGF=∠EGF， 再由 CD∥AB 得出∠ EFG=∠AGF，
3. （ 2012 江苏南京 8 分） 如图，梯形 ABCD中， AD//BC ，AB=CD，对角线 AC、 BD交于点 O， AC BD， E、 F、 G、 H分别为 AB、 BC、 CD、 DA的中点 （1）求证：四边形 EFGH为正方形； （2）若 AD=2， BC=4，求四边形 EFGH的面积。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。 基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
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在几何题的证明或求解时， 需要构成一些基本图形来求证 （解） 时往往要通过添加辅助
专题 7：几何辅助线（图）作法探讨 一些几何题的证明或求解， 由原图形分析探究， 有时显得十分复杂， 若通过适当的变换， 即添加适当的辅助线（图），将原图形转换成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使 原问题的本质得到充分的显示， 通过对新图形的分析， 原问题顺利获解。 网络上有许多初中 几何常见辅助线作法歌诀，下面这一套是很好的： 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。 平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 圆 半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内切圆，内角平分线梦圆。 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。
中求
出 FO，从而可得出 FG的长度。
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练习题： 1. （ 2012 宁夏区 3 分） 如图， C 岛在 A 岛的北偏东 45°方向，在 B 岛的北偏西 25°方向， 则从 C 岛看 A、 B 两岛的视角∠ ACB＝ ▲ 度．
2. （ 2012 浙江嘉兴、舟山 5 分） 在直角△ ABC 中，∠ C=90°， AD平分∠ BAC交 BC于点 D， 若 CD=4，则点 D 到斜边 AB 的距离为 ▲ ．
】
A ．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．梯形
【答案】 A 。
【考点】 三角形中位线定理，平行四边形的判定。
【分析】 根据题意画出图形，如右图所示：
连接 AC，
∵四边形 ABCD各边中点是 E、F、 G、 H，
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∴HG∥AC， HG=1 AC，EF∥AC， EF= 1 AC。∴ EF=GH，EF∥GH。
放在直线 m上，若∠ 1=25°，则∠２ 的度数为【
】
A．20° B ．25° C ．30° D ．35° 【答案】 A。 【考点】 平行线的性质。 【分析】 如图，过点 B 作 BD∥l ，
∵直线 l ∥m，∴ BD∥l ∥m。 ∵∠ 1=25°，∴∠ 4=∠1=25°。 ∵∠ ABC=45°，∴∠ 3=∠ABC﹣∠ 4=45°﹣ 25°=20°。 ∴∠ 2=∠3=20°。故选 A。
【分析】 作 EG⊥OA于 F，
∵EF∥OB，∴∠ OEF=∠COE=1°5 ，
∵∠ AOE=1°5 ，∴∠ EFG=15°+15°=30°。
∵EG=CE=，1 ∴ EF=2×1=2。
例 4. （ 2012 广东佛山 3 分） 依次连接任意四边形各边的中点，得到一个特殊图形（可认为
是一般四边形的性质），则这个图形一定是【
2
2
∴四边形 EFGH是平行四边形。
由于四边形 EFGH是平行四边形，它就不可能是梯形；同时由于是任意四边形，所
以 AC=BD或 AC⊥BD 不一定成立，从而得不到矩形或菱形的判断。
故选 A。
例 5. （ 2012 江苏宿迁 3 分） 已知点 E， F， G， H 分别是四边形 ABCD的边 AB， BC，CD， DA
线（图）来形成，添加辅助线（图），构成的基本图形是结果，构造的手段是方法。
笔者从作辅助线的结果和方法两方面将几何辅助线（图）作法归纳为结果―――（
1）
构造基本图形；（ 2）构造等腰（边）三角形：（ 3）构造直角三角形；（ 4）构造全等三角
形；（ 5）构造相似三角形；（ 6）构造特殊四边形；（ 7）构造圆的特殊图形；方法―――
（2）连接 EG，判断 EG与 DF的位置关系，并说明理由。
【答案】 解：（ 1）证明：∵ AD∥BC，∴∠ ADE=∠BFE（两直线平行，内错角相等）。 ∵Ｅ是 AB 的中点，∴ AE=BE。 又∵∠ AED=∠BEF，∴△ ADE≌△ BFE（ AAS）。
（ 2） EG与 DF的位置关系是 EG⊥DF。理由如下： ∵∠ ADE=∠BFE，∠ GDF=∠ADF， ∴∠ GDF=∠BFE（等量代换）。∴ GD=G（F 等角对等边）。 又∵△ ADE≌△ BFE，∴ DE=EF（全等三角形对应边相等）。 ∴EG⊥DF（等腰三角形三线合一）。
1 n2 2
1
21
2n 1
n 1 = n+n 1 n n+1 =
。
2
2
2
例 7. （ 2012 江苏镇江 6 分） 如图，在四边形 ABCD中， AD∥BC， E 是 AB的中点，连接 DE并
延长交 CB的延长线于点 F，点 G在 BC边上，且∠ GDF=∠ADF。
（1）求证：△ ADE≌△ BFE；