上海市重点期末考试：虹口区高一(上)期末数学试卷及参考答案(2021.1)
高一年级上学期期末考试数学试卷含答案(上海市)
高一年级第一学期期末考试数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共12题，只要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得零分．1.已知幂函数()y f x =的图像过点12⎛⎝⎭，则2log (2)f =__________。
2.设A 、B 是非空集合，定义{}*|,A B x x A B x A B =∈∉且，{}22x x y x A -==，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==-41x y y B ，则=*B A ________________。
3.关于x 的不等式2201a xx a ->--（1a ≠）的解集为_____________。
4.函数)01(312<≤-=-x y x的反函数是_______________________。
5.已知集合{}2,A x x x R =>∈，{}1,B x x x R =≥-∈，那么命题p “若实数2x >，则1x ≥-”可以用集合语言表述为“A B ⊆”。
则命题p 的逆否命题可以用关于,A B 的集合语言表述为_______________________。
6.已知关于x 的方程ax-=⎪⎭⎫ ⎝⎛1121有一个正根，则实数a 的取值范围是______________。
7.定义在(1,1)-上的奇函数()f x 也是减函数，且2(1)(1)0f t f t -++<，则实数t 的取值范围为_____________。
8.若偶函数()f x 在(]0-，∞单调递减，则满足1(21)()3f x f -<的x 取值范围是____________。
9.作为对数运算法则：lg()lg lg a b a b +=+（0,0a b >>）是不正确的。
但对一些特殊值是成立的，例如：lg(22)lg 2lg 2+=+。
那么，对于所有使lg()lg lg a b a b +=+ （0,0a b >>）成立的b a 、应满足函数()a f b =的表达式为_______________________。
2021-2022学年上海虹口高级中学高一数学理上学期期末试题含解析
2021-2022学年上海虹口高级中学高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是（）A．2 B．3 C．6 D．9参考答案：B【考点】8F：等差数列的性质．【分析】由等差中项的性质，利用已知条件，能求出m，n，由此能求出m和n的等差中项．【解答】解：∵m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，∴，解得m=4，n=2，∴m和n的等差中项===3．故选：B．2. 函数f（x）=log3（4x﹣1）的定义域为（）A．（﹣∞，] B．[）C．（] D．（）参考答案：D【考点】对数函数的图像与性质．【专题】整体思想；换元法；函数的性质及应用．【分析】由对数有意义可得4x﹣1＞0，解不等式可得函数的定义域．【解答】解：由对数有意义可得4x﹣1＞0，解不等式可得x＞，∴函数的定义域为（，+∞）故选：D【点评】本题考查对数函数的定义域，属基础题．3. 三个数大小的顺序是（）A． B.C． D.参考答案：A略4. 若，且，则与的夹角是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据可得到，进而求出，从而可求出的值，从而得出与的夹角．【解答】解：；∴===0；∴；∴；又；∴的夹角为．故选B．5. 若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A BC D参考答案：D略6. 函数的图象是下列图象中的( )参考答案：C7. 已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5，6}，则?U A等于( ) A．{1，3，5} B．{2，4，6} C．{2，4} D．{1，3，5，6}参考答案：C【考点】补集及其运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】根据补集的定义，求出A在全集U中的补集即可．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5，6}，∴?U A={2，4}．故选：C．【点评】本题考查了补集的定义与应用问题，是基础题目．8. 设集合，则（）A．B．C．D．参考答案：B9. 下列函数既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的是( )A．f（x）=sinx B．f（x）=﹣|x+1|C．D．参考答案：D【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】常规题型．【分析】本题是选择题，可采用逐一检验的方法，只要不满足其中一条就能说明不正确．【解答】解：f（x）=sinx是奇函数，但其在区间[﹣1，1]上单调递增，故A错；∵f（x）=﹣|x+1|，∴f（﹣x）=﹣|﹣x+1|≠﹣f（x），∴f（x）=﹣|x+1|不是奇函数，∴故B错；∵a＞1时，y=a x在[﹣1，1]上单调递增，y=a﹣x[﹣1，1]上单调递减，∴f（x）=（a x﹣a﹣x）在[﹣1，1]上单调递增，故C错；故选 D【点评】本题综合考查了函数的奇偶性与单调性，是函数这一部分的常见好题．10. 设为直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A.若,,则B.若,,则C.若,,则D.若,,则参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 当时，函数的最大值为，则实数。
上海市2021学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
2021-2021学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、填空题1.已知集合{}2|20A x x x =--=，用列举法可表示为A =_________. 【答案】{}1,2- 【解析】 【分析】解方程220x x --=得1x =-或2x =，用列举法表示，即可. 【详解】方程220x x --=的解为：1x =-或2x =∴{}{}2|201,2A x x x =--==-故答案为：{}1,2-【点睛】本题考查集合的表示方法，属于容易题. 2.函数()lg(2)f x x =-的定义域是____________. 【答案】(2,+∞) 【解析】详解】∵20x ->，∴2x >．3.命题“若1x >，则0x >”的逆否命题是________. 【答案】若0x ≤，则1x ≤ 【解析】 【分析】根据命题“若p ，则q ”的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”，写出即可. 【详解】命题“若1x >，则0x >”的逆否命题是“若0x ≤，则1x ≤”故答案为：若0x ≤，则1x ≤【点睛】本题考查命题的四种形式，属于容易题.4.若函数()()11()31x f x x x >=-+≤⎪⎩，则()1f f -=⎡⎤⎣⎦________.【答案】3【解析】 【分析】先求解()14f -=，再求()4f ，即可.【详解】当1x ≤时()3f x x =-+，则()()1134f -=--+=. 当1x >时()1f x =，则()()1413f f f -==⎡⎤⎣⎦.故答案为：3【点睛】本题考查分段函数求值，属于较易题.5.已知集合{}{}2,1,2,1,A B a =-=，且B A ⊆，则实数a 的值为_________.【答案】2± 【解析】 【分析】根据题意可知，a A ∈，根据元素的互异性可知1a ≠，求解即可.【详解】若使得B A ⊆成立，则需1a Aa ∈⎧⎨≠⎩，即2a =-或2a =故答案为：2±【点睛】本题考查集合之间的关系，属于容易题.6.已知集合{}2|60A x x px =-+=，若3A ∈，则方程15x p -=的解为__________.【答案】2x = 【解析】 分析】由题意可知，3是方程260x px -+=的根，解得5p =.方程15x p -=等价变形为155x -=，解得，即可. 【详解】3A ∈∴3是方程260x px -+=的根，即23360p -+=，解得5p =.又方程155x p -==11x ∴-=，解得2x =.故答案为：2x =【点睛】本题考查元素与集合的关系以及实数指数幂的运算，属于较易题. 7.函数()2log f x x x =+零点个数为_________. 【答案】1 【解析】 【分析】函数()2log f x x x =+的零点个数，等价于方程()0f x =根的个数，等价于函数2log y x =与y x =-交点的个数，在同一坐标系下，画出函数图象，确定交点个数即可.【详解】由题意可知，在同一坐标系下，画出2log y x =与y x =-的函数图象，如图所示由图可知，函数2log y x =与y x =-有一个交点，则函数()2log f x x x =+有一个零点. 故答案为：1【点睛】本题考查函数的零点个数，属于较易题. 8.设函数()11f x x =-的反函数为()1f x -，则()11f -=_________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据原函数与反函数的关系，解方程111x =-，即可. 【详解】令()111f x x ==-解得2x = 函数()11f x x =-的反函数为()1f x -. ∴()112f -=故答案为：2【点睛】本题考查反函数，属于较易题.9.若函数()2f x ax bx c =++是定义域为()23,1a -的偶函数，则a b +=_________.【答案】1 【解析】 【分析】根据函数()f x 为偶函数，则定义域关于原点的对称，且0b =，列方程组得23100a b -+=⎧⎨=⎩，解方程组即可. 【详解】函数()2f x ax bx c =++是定义域为()23,1a -的偶函数∴23100a b -+=⎧⎨=⎩，解得1a =，0b =即1a b += 故答案为：1【点睛】本题考查函数的奇偶性，定义域关于原点对称是解决本题的关键，属于较易题. 10.方程2lg 3lg 20x x -+=的解为_________. 【答案】10或100 【解析】 【分析】令lg t x =，则方程2lg 3lg 20x x -+=变形为2320t t -+=，解得1t =或2t =，即lg 1x =或lg 2x =，解方程即可.【详解】令lg t x =，则方程2lg 3lg 20x x -+=变形为2320t t -+=.解得1t =或2t =，即lg 1x =或lg 2x =， 解得10x =或100x = 故答案为：10或100【点睛】本题考查解对数方程，属于较易题.11.己知函数()221f x x ax a =-++-在区间[]01，上的最大值是2,则实数a =______.【答案】1-或2. 【解析】 【分析】由函数对称轴与区间关系，分类讨论求出最大值且等于2，解关于a 的方程，即可求解. 【详解】函数()22221()1f x x ax a x a a a =-++-=--+-+，对称轴方程为为x a =；当0a ≤时，max ()(0)12,1f x f a a ==-==-；当2max 01,()()12a f x f a a a <<==-+=，即2110,2a a a --==（舍去），或152a （舍去）； 当1a ≥时，max ()(1)2f x f a ===， 综上1a =-或2a =. 故答案为:1-或2.【点睛】本题考查二次函数的图像与最值，考查分类讨论思想，属于中档题. 12.已知()f x 为奇函数，且在[)0,+∞上是减函数，若不等式()()12f ax f x -≤-在[]1,2x ∈上都成立，则实数a 的取值范围是___________.【答案】0a ≤ 【解析】 【分析】根据()f x 为奇函数，且在[)0,+∞上是减函数，可知12ax x -≤-，即11a x≤-，令11y x =-，根据函数11y x=-在[]1,2x ∈上单调递增，求解a 的取值范围，即可. 【详解】()f x 为奇函数，且在[)0,+∞上是减函数∴()f x 在R 上是减函数.∴12ax x -≤-，即11a x≤-. 令11y x =-，则11y x=-在[]1,2x ∈上单调递增. 若使得不等式()()12f ax f x -≤-在[]1,2x ∈上都成立. 则需min111101a x ⎛⎫≤-=-= ⎪⎝⎭.故答案为：0a ≤【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，属于中档题. 二、选择题13.下列四组函数中，表示同一函数的是( )A. ()()21,11x f x g x x x -==+-B. ()()0,1f x x g x ==C. ()(),f x x g x ==D. ()()0,0x x f x x g x x x >⎧==⎨-<⎩【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的两要素，定义域与对应法则，判断两个函数是否为同一函数，即可. 【详解】选项A ，()f x 的定义为{}1x x ≠，()g x 的定义为R 不相同，不是同一函数. 选项B ，()f x 的定义为{}0x x ≠，()g x 的定义为R 不相同，不是同一函数. 选项C ，()f x 的定义为R ，()g x 的定义为R 相同，()()f x g x x ==，是同一函数. 选项D ，()f x 的定义为R ，()g x 的定义为{}0x x ≠不相同，不是同一函数. 故选：C【点睛】本题考查函数的两要素，属于较易题. 14.已知集合{}2,1,0,1,2A =--，102x B x x ⎧⎫+=<⎨⎬-⎩⎭，则A B =( )A. {}1,0-B. {}0,1C. {}1,0,1-D. {}0,1,2【答案】B 【解析】 【分析】 解不等式102x x +<-，得12x -<<，即{}12B x x =-<<，与集合A ，求交集，即可. 【详解】{}10122x B x x x x ⎧⎫+=<=-<<⎨⎬-⎩⎭，{}2,1,0,1,2A =--{}0,1A B ∴⋂=故选：B【点睛】本题考查集合的运算，属于容易题.15.设命题甲为“0＜x ＜3”，命题乙为“|x -1|＜2“，那么甲是乙的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】化简命题乙，再利用充分必要条件判断出命题甲和乙的关系． 【详解】命题乙为“|x -1|＜2， 解得-1＜x ＜3．又命题甲为“0＜x ＜3”， 因为{|03}x x <<{|13}x x -<<那么甲是乙的充分不必要条件． 故选A ．【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.16.下列函数中，值域是()0,∞+的是( )A. 13y x = B. y =C. ||31x y =- D. 2yx【答案】D 【解析】 【分析】先求解四个选项对应函数的定义域，再根据定义域求解值域，即可. 【详解】因为函数13y x =的定义域为R ，值域为R ，不是()0,∞+ 所以选项A 不符合题意.因为函数y =={1x x ≤-或}3x ≥所以值域为[)0,+∞，不是()0,∞+，选项B 不符合题意. 因为函数31x y =-的定义域为R 关于原点对称，3131xxy --==-所以函数31xy =-为偶函数.当0x ≥时3131xx y =-=-，单调递增 当0x <时3131xx y -=-=-，单调递减所以0min 310y =-=即函数31xy =-值域为[)0,+∞，不是()0,∞+，所以选项C 不符合题意.因为函数2y x 的定义域为{}0x x ≠关于原点对称， ()22x x ---=所以函数2yx 为偶函数.当0x >时2210y xx -==>，单调递减 当0x <时2210y x x-==>，单调递减即函数2y x 值域为()0,∞+，所以选项D 符合题意.故选：D【点睛】本题考查求函数的值域，属于中档题. 三、解答题17.已知函数()(),1xf x a a =>在区间[]1,2上的最大值比最小值大2，求实数a 的值.【答案】2 【解析】 【分析】由题意可知，函数()f x 在[]1,2单调递增，则()()212f f -=，解方程，即可. 【详解】函数()(),1xf x a a =>∴函数()f x 在[]1,2单调递增即()()2max 2f x f a ==，()()min 1f x f a ==又函数()(),1xf x a a =>在区间[]1,2上的最大值比最小值大2.∴()()2212f f a a -=-=，解得2a =或1a =-（舍去）综上所述：2a =【点睛】本题考查指数函数的单调性，属于较易题.18.已知函数()f x =.求：(1)函数()f x 的定义域；(2)判断函数()f x 的奇偶性，并加以证明. 【答案】(1)[)(]1,00,1-；(2)偶函数，证明见解析.【解析】 【分析】(1)根据分式分母不为0，开偶次方的根式，被开方式大于或者等于0，列不等式组，求解即可.(2)根据函数奇偶性的定义，证明即可.【详解】(1)若使得函数()f x =有意义则需2010x x ≠⎧⎨-≥⎩解得10x -≤<或01x <≤. 所以函数()f x 的定义域为[)(]1,00,1-.(2)由(1)可知，函数()f x 的定义域为[)(]1,00,1-关于原点对称()()f x f x x-===∴函数()f x 为偶函数.【点睛】本题考查函数的奇偶性，属于较易题.19.甲乙两地的高速公路全长166千米，汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速[]70,120v ∈（千米/时）.已知汽车每小时．．．的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分为20.02v ，固定部分为220元.(1)把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域； (2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？（结果保留整数）【答案】(1)()[]20.0270,120166220,y v vv =+∈；(2)当105v =时，最小运输成本为696元. 【解析】 【分析】(1)由题意可知，汽车的行驶时间为166v（小时），汽车每小时．．．的运输成本为20020.20v +，从而确定全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/时）的函数关系，即可. (2)由(1)可知，()216684110000.0222025y v v v v ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，根据对号函数，求解即可. 【详解】(1)因为汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速[]70,120v ∈（千米/时）.所以汽车的行驶时间为166v（小时） 又汽车每小时．．．的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分为20.02v ，固定部分为220元所以汽车每小时．．．的运输成本为20022.20v +（元） 则全程运输成本()[]20.0270,120166220,y v vv =+∈ (2) 由(1)可知，()216684110000.0222025y v v v v ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭当v ⎡∈⎣时，函数841100025y v v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减当v ⎡⎤∈⎣⎦时，函数841100025y v v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增所以，当105v =≈时，全程运输成本取得最小值即最小运输成本为()2min 1660.02105220696105y =⨯+≈元. 【点睛】本题考查函数的实际应用，属于中档题. 20.已知m 是整数，幂函数()22m m f x x -++=在[)0,+∞上是单调递增函数.(1)求幂函数()f x 的解析式；(2)作出函数()()1g x f x =-的大致图象；(3)写出()g x 的单调区间，并用定义法证明()g x 在区间[)1,+∞上的单调性.【答案】(1)()2f x x =；(2)图象见解析；(3)减区间为(][],1,0,1-∞-；增区间为[][)1,0,1,-+∞，证明见解析.【解析】【分析】(1)根据幂函数()22mm f x x -++=在[)0,+∞上是单调递增函数，可知220m m -++>，解不等式即可.(2)由(1)可知()2f x x =，则()21g x x =-，先画出21y x =-的图象，再将该图象x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，即可.(3)根据(2)图象写出单调区间，再根据定义法证明函数单调性，即可.【详解】(1)由题意可知，220m m -++>，即12m -<<因为m 是整数，所以0m =或1m =当0m =时，()2f x x =当1m =时，()2f x x = 综上所述，幂函数()f x 的解析式为()2f x x =. (2) 由(1)可知()2f x x =，则()21g x x =- 函数()g x 的图象，如图所示：(3)由(2)可知，减区间为(][],1,0,1-∞-；增区间为[][)1,0,1,-+∞当[)1,x ∈+∞时，()2211g x x x =-=- 设任意的1x ，[)21x ∈+∞,且120x x ->则()()()()()()2222121212121211g x g x x x x x x x x x -=---=-=-+ 又1x ，[)21x ∈+∞,且120x x ->∴()()120g x g x ->即()g x 在区间[)1,+∞上单调递增.【点睛】本题考查求幂函数的解析式以及画函数图象，单调性的定义法证明.属于中档题.21.已知函数()()()4log 1,0,1a f x x a a =+->≠的反函数()1fx -的图象经过点()5,1P -，函数()2(),21x g x b b R =-∈+为奇函数. (1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()()22xF x g x =+-的零点； (3)设()g x 的反函数为()1gx -，若关于x 的不等式()()1g k x f x -+<在区间()1,0-上恒成立，求正实数k 的取值范围.【答案】(1)()()24log 1f x x =+-；(2)4log 3x =；(3)(]0,4.【解析】【分析】(1)根据原函数与反函数的关系可知，函数()f x 过点()1,5-，代入求解a 值，即可.(2)由题意可知()00g =，解得1b =，从而确定()22121x x F x =-+-+，令()0F x =，即()()21212x x -+=，即43x =，解方程，即可.(3)由题意可知，()()121log ,1,11x g x x x-+=∈--，则不等式()()1g k x f x -+<变形为()2214log 1x k x-<++，令()1,0,1t x t =+∈，则244log 4k t t ⎛⎫<++- ⎪⎝⎭，令244log 4y t t ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，根据函数的单调性，可知244log 44y t t ⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭，从而求解正实数k 的取值范围.【详解】(1)由题意，()f x 过点(1,5)-，即()14log 25a f -=+=，解得2a = 所以()()24log 1f x x =+-. (2)()g x 为R 上的奇函数∴()0201021g b b =-=-=+，解得1b =，即()2121x g x =-+ 则()()22x F x g x =+-令()0F x =，即221021x x -+-=+ 则()()()2212121412x x x x -+=-=-=即43x =，解得4log 3x =.(3)由(2)可知()2121x g x =-+ ∴()()121log ,1,11x g x x x-+=∈-- 即()()()12214log 1log 1x k f x g x x x-+<-=+---()()()2222114144log 4log 11x x x x x-+-++=+=+++ 令()1,0,1t x t =+∈，则2224444log 4log 4t t k t t t -+⎛⎫<+=++- ⎪⎝⎭令244log 4y t t ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，()0,1t ∈ 244log 4y t t ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭在()0,1t ∈单调递减 ∴22444log 44lo 41g 14y t t ⎛⎫⎛⎫=++->++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若关于x 的不等式()()1gk x f x -+<在区间()1,0-上恒成立,则4k ≤ 又k 为正实数∴(0,4]k ∈.【点睛】本题考查求函数的解析式，函数的零点，以及恒成立问题求参数取值范围，属于较难的题.。
2020-2021学年上海市虹口区高一(上)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年上海市虹口区高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共6小题，共18.0分）1.已知a、b都是实数，那么“a>b”是“a3>b3”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.函数f(x)=4x+12x的图象()A. 关于y轴对称B. 关于x轴对称C. 关于原点对称D. 关于直线y=x对称3.已知全集U=R及集合A={a|14≤22−a<8，且a∈Z}，B={b|b2+3b−10>0，其中b∈R}，则A∩B−的元素个数为()A. 4B. 3C. 2D. 14.已知函数y=2x+x，y=lnx+x，y=lgx+x的零点依次为x1、x2、x3，则x1、x2、x3的大小关系为()A. x1<x2<x3B. x2<x1<x3C. x2<x3<x1D. x1<x3<x25.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x2，若对任意的x∈[t,t+2]，不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是()A. [√2,+∞)B. [2,+∞)C. (0,2]D. [−√2,−1]∪[√2,√3]6.若函数y=−|x−a|与y=ax+1在区间[1,2]上都是严格减函数，则实数a的取值范围为()A. (−∞,0)B. (−1,0)∪(0,1]C. (0,1)D. (0,1]二、单空题（本大题共13小题，共39.0分）7.已知集合A={−1,1，2}，B={x|x2+x=0}，则A∩B=．8.不等式x+3x−1≤0的解集为______ ．9.函数f(x)=x+4x ，x∈[12,4]的值域为______ ．10.计算：log2209+2log23−log25+7log72=______ ．11.用“二分法”求方程x3+x−4=0在区间(1,2)内的实根，首先取区间中点x=1.5进行判断，那么下一个取的点是x=．12. 已知条件p ：2k −1≤x ≤1−k ，q ：−3≤x <3，且p 是q 的必要条件，则实数k 的取值范围为______ ．13. 不等式|x +2|+|x −1|≤5的解集为______ ．14. 已知函数f(x)=3x +a 的反函数为y =f −1(x)，若函数y =f −1(x)的图象过点(3,2)，则实数a 的值为______ ．15. 已知函数f(x)=2|x−a|在区间[1,+∞)上是严格增函数，则实数a 的取值范围为______ ．16. 已知集合A ={x||x −m|<m +13，其中x ，m ∈Z ，且m >0}，B ={x||x +13|<2m ，其中x ，m ∈Z ，且m >0}，则A ∩B 的元素个数为______ .(用含正整数m 的式子表示)17. 若集合A ={x|x 2+5x −6=0}，B ={x|ax +3=0,a ∈R}，且B ⊂A ，则满足条件的实数a 的取值集合为______ ．18. 已知函数f(x)={x 2+3x,x ≥03x −x 2,x <0，若f(a 2−3)+f(2a)>0，则实数a 的取值范围为______ ．19. 已知函数y =f(x)是定义在实数集R 上的偶函数，若f(x)在区间(0,+∞)上是严格增函数，且f(2)=0，则不等式f(x)x ≤0的解集为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）20. 已知a 、b 是任意实数，求证：a 4+b 4≥a 3b +ab 3，并指出等号成立的条件．21. 某居民小区欲在一块空地上建一面积为1200m 2的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m ，东西的人行通道宽4m ，如图所示(图中单位：m)，问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？22. 已知函数y =|2x−3x+1|．(1)作出这个函数的大致图象； (2)讨论关于x 的方程|2x−3x+1|=t 的根的个数．23. 已知函数f(x)=1−6a x+1+a (a >0,a ≠1)是定义在R 上的奇函数．(1)求实数a 的值及函数f(x)的值域；(2)若不等式t ⋅f(x)≥3x −3在x ∈[1,2]上恒成立，求实数t 的取值范围．24. 已知函数f(x)={log 2(1+x)x ≥0log 12(1−x)x <0．(1)判断函数y =f(x)的奇偶性；(2)对任意的实数x 1、x 2，且x 1+x 2>0，求证：f(x 1)+f(x 2)>0；(3)若关于x 的方程[f(x)]2+af(−x)+a −34=0有两个不相等的正根，求实数a取值范围．25.设a是正常数，函数f(x)=log2(√x2+1+ax)满足f(−1)+f(1)=0．(1)求a的值，并判断函数y=f(x)的奇偶性；(2)是否存在一个正整数M，使得M>f(x)对于任意x∈[1,√3]恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由．26.对于定义在D上的函数y=f(x)，设区间[m,n]是D的一个子集，若存在x0∈(m,n)，使得函数y=f(x)在区间[m,x0]上是严格减函数，在区间[x0,n]上是严格增函数，则称函数y=f(x)在区间[m,n]上具有性质P．(1)若函数y=ax2+bx在区间[0,1]上具有性质P，写出实数a、b所满足的条件；(2)设c是常数，若函数y=x3−cx在区间[1,2]上具有性质P，求实数c的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：若a >b 则a 3>b 3.是真命题，即a >b ⇒a 3>b 3． 若a 3>b 3则a >b.是真命题，即a 3>b 3⇒a >b ． 所以a >b 是a 3>b 3的充要条件． 故选：C ．判断命题的真假：若a >b 则a 3>b 3.是真命题，即a >b ⇒a 3>b 3.若a 3>b 3则a >b.是真命题，即a 3>b 3⇒a >b ．解决判断充要条件问题可以先判断命题的真假，最好用⇒来表示，再转换为是什么样的命题．2.【答案】A【解析】解：因为f(x)=4x +12x═4x2x +12x =2x +2−x ，所以f(−x)=2−x +2x =2x +2−x =f(x)，所以函数f(x)是偶函数，即函数图象关于y 轴对称． 故选A ．将函数进行化简，利用函数的奇偶性的定义进行判断．本题主要考查函数奇偶性和函数图象的关系，利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性是解决本题的关键．3.【答案】B【解析】解：∵A ={a|−2≤2−a <3,a ∈Z}={a|−1<a ≤4,a ∈Z}={0,1，2，3，4}，B ={b|b <−5或b >2}，且U =R ， ∴B −={b|−5≤b ≤2}，A ∩B −={0,1,2}， ∴A ∩B −的元素个数为：3． 故选：B ．可求出集合A ，B ，然后进行交集和补集的运算求出A ∩B −，然后即可得出A ∩B −的元素本题考查了描述法、列举法的定义，指数函数的单调性，一元二次不等式的解法，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：已知函数y=2x+x，y=lnx+x，y=lgx+x的零点依次为x1、x2、x3，y=2x+x=0时，2x=−x，即2x1=−x1，y=lnx+x=0时，lnx=−x，即lnx2=−x2，y=lgx+x=0时，lgx=−x，即lgx3=−x3，在同一坐标系中画出函数y=2x，y=lnx，y=lgx和y=−x的图象，由图象可知，这三个函数的零点依次增大，故x1、x2、x3的大小关系为x1<x3<x2．故选：D．化函数的零点为方程的根，然后在同一坐标系中画出函数y=2x，y=lnx，y=lgx和y=−x的图象，根据图象即可判断x1、x2、x3的大小关系．本题考查函数零点的定义，函数零点就是相应方程的根，考查了数形结合思想，属于基础题．5.【答案】A【解析】本题考查函数单调性的应用，利用单调性处理不等式恒成立问题，属于中档题． 由题意可得2f(x)=f(√2x)，由题意可知f(x)为R 上的增函数，故对任意的x ∈[t,t +2]，不等式f(x +t)≥2f(x)恒成立可转化为x +t ≥√2x 对任意的x ∈[t,t +2]恒成立，求解即可． 【解答】解：当x ≥0时，f(x)=x 2，当x <0时，−x >0，f (−x )=x 2=−f (x )，所以当x <0时，f (x )=−x 2，所以f(x)在R 上单调递增， 对于x ∈R,都有2f (x )=f(√2x)，∴f(x +t)≥2f(x)⇒f (x +t )≥f(√2x)，即x +t ≥√2x ⇒x ≤√2−1=(√2+1)t 对任意的x ∈[t,t +2]恒成立， ∴x max =t +2≤(√2+1)t ⇒t ≥√2， ∴实数t 的取值范围为[√2,+∞); 故选：A ．6.【答案】D【解析】解：因为y =−|x −a|与y =ax+1在区间[1,2]上都是严格减函数， 所以{a ≤1a >0，故0<a ≤1． 故选：D ．结合函数图象的变换及反比例函数与一次函数性质可求． 本题主要考查了基本初等函数单调性的应用，属于基础题．7.【答案】{−1}【解析】 【分析】可求出集合B ，然后进行交集的运算即可．本题考查了交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 【解答】解：∵A={−1,1，2}，B={−1,0}，∴A∩B={−1}．故答案为：{−1}．8.【答案】[−3,1)【解析】解：x+3x−1≤0⇒(x+3)(x−1)≤0且x−1≠0，解得−3≤x<1，即不等式的解集为[−3,1)，故答案为：[−3,1)．根据题意，原不等式等价于(x+3)(x−1)≤0且x−1≠0，再得到不等式的解集．本题考查分式不等式的解法，注意将分式不等式变形为整式不等式，属于基础题．9.【答案】[4,172]【解析】解：∵f(x)=x+4x 在[12,2]上单调递减，在(2,4]上单调递增，且f(12)=172,f(2)=4,f(4)=5，∴f(x)在[12,4]上的最大值为172，最小值为4，∴f(x)的值域为[4,172]．故答案为：[4,172]．可看出f(x)在[12,2]上单调递减，在(2,4]上单调递增，这样即可求出f(x)在[12,4]上的最大值和最小值，从而得出f(x)的值域．本题考查了函数值域的定义及求法，函数f(x)=x+4x的单调性，根据函数单调性求函数值域的方法，考查了计算能力，属于基础题．10.【答案】4【解析】解：原式=log2(209×9×15)+2=log24+2=2+2=4，故答案为：4．根据对数的运算法则即可求出．本题考查了对数的运算性质，属于基础题．11.【答案】1.25【解析】 【分析】构造函数f(x)=x 3+x −4，确定f(1)，f(2)，f(1.5)的符号，根据零点存在定理，即可得到结论．本题考查二分法，考查零点存在定理，考查学生的计算能力，属于基础题． 【解答】解：设函数f(x)=x 3+x −4，易知函数为增函数，∵f(1)=−2<0，f(2)=6>0，f(1.5)=1.53+1.5−4=0.875>0 ∴下一个有根区间是(1,1.5)， 那么下一个取的点是x =1+1.52=1.25，故答案为：1.25．12.【答案】(−∞,−2]【解析】解：∵条件p ：2k −1≤x ≤1−k ，q ：−3≤x <3，且p 是q 的必要条件， ∴{2k −1≤33≤1−k，解得k ≤−2．则实数k 的取值范围是(−∞,−2]． 故答案为：(−∞,−2]．条件p ：2k −1≤x ≤1−k ，q ：−3≤x <3，根据p 是q 的必要条件，可得{2k −1≤33≤1−k ，解得k 实数k 的取值范围．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.【答案】[−3,2]【解析】解：①当x<−2时，不等式可化为−x−2−x+1≤5，∴x≥−3∴−3≤x<−2②当−2≤x≤1时，不等式可化为x+2−x+1≤5，恒成立，−2≤x≤1；③当x>1时，不等式可化为x+2+x−1≤5，x≤2，∴1<x≤2，综上所述：不等式的解集为[−3,2]，故答案为：[−3,2]．对x分3种情况他要论去绝对值．本题考查了绝对值不等式的解法．属中档题．14.【答案】−6【解析】解：∵y=f−1(x)的图象过点(3,2)，∴函数y=f(x)的图象过点(2,3)，又f(x)=3x+a，∴32+a=3，即a=−6．故答案为：−6．由y=f−1(x)的图象过点(3,2)得函数y=f(x)的图象过点(2,3)，把点(2,3)代入y=f(x)的解析式求得a的值．本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，是基础的计算题．15.【答案】(−∞,1]【解析】解：令t(x)=|x−a|，原函数化为y=2t，函数y=2t为增函数，要使函数f(x)=2|x−a|在区间[1,+∞)上是严格增函数，则t=|x−a|在[1,+∞)上单调递增，则a≤1．∴实数a的取值范围为(−∞,1]．故答案为：(−∞,1]．令t(x)=|x−a|，函数y=2t为增函数，问题转化为t=|x−a|在[1,+∞)上单调递增，由此可得a的取值范围．本题考查复合函数的单调性，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键，是基础题．16.【答案】2m【解析】解：∵A={x|−13<x<2m+13,x,m∈Z,m>0}，B={x|−2m−13<x<2m−13,x,m∈Z,m>0}，∴A∩B={x|−13<x<2m−13,x,m∈Z,m>0}，∵x，m∈Z，且m>0，∴A∩B={0,1，2，…，2m−1}，∴A∩B元素的个数为：2m．可求出集合A，B，然后进行交集的运算求出A∩B，根据x，m∈Z且m>0即可得出A∩B 的元素个数．本题考查了绝对值不等式的解法，描述法的定义，考查了计算能力，属于基础题．17.【答案】{−3,0,12}【解析】解：由集合A={x|x2+5x−6=0}={1,−6}，∵B⊂A，当B=⌀时，即ax+3=0无解，此时a=0；当B≠⌀时，ax+3=0有解，x=−3a若1=−3a，可得a=−3；若−6=−3a ，可得a=12；∴满足条件的实数a的取值集合为{−3,0，12}.故答案为：{−3,0，12}.根据B⊂A，对B讨论，建立条件关系即可求实数a的取值集合．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．18.【答案】{a|a>1或a<−3}【解析】解：因为f(x)={x 2+3x,x ≥03x −x 2,x <0的图象如图所示，故f(x)为单调递增的奇函数， 若f(a 2−3)+f(2a)>0， 则f(a 2−3)>−f(2a)=f(−2a)， 所以a 2−3>−2a ，即a 2+2a −3>0， 解得，a >1或a <−3．故a 的取值范围{a|a >1或a <−3}． 故答案为：{a|a >1或a <−3}．先利用图象求解函数的单调性及奇偶性，然后结合单调性及奇偶性即可求解不等式． 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查不等式的求解，属于中档题．19.【答案】(−∞,−2]∪(0，2]【解析】解：因为y =f(x)是定义在实数集R 上的偶函数，f(x)在区间(0,+∞)上是严格增函数，且f(2)=0，所以f(x)在(−∞,0)上单调递减，且f(−2)=f(2)=0，所以在(−∞,−2]∪[2,+∞)上f(x)≥0，在(−2,0)∪(0,2)上f(x)<0， 因为不等式f(x)x≤0，所以{f(x)≥0x <0或{f(x)≤0x >0，即x =−2或x =2或{x <−2或x >2x <0或{−2<x <0或0<x <2x >0， 解得x ≤−2或0<x ≤2， 即不等式f(x)x≤0的解集为(−∞,−2]∪(0，2]．故答案为：(−∞,−2]∪(0，2]．根据题意可得f(x)在(−∞,0)上单调递减，且f(−2)=0，利用单调性即可得出在(−∞,−2]∪[2,+∞)上f(x)≥0，在(−2,0)∪(0,2)上f(x)<0，将不等式合理转化即可求得解集．本题考查了函数的奇偶性与单调性的综合，属于中档题．20.【答案】证明：a 4+b 4−a 3b −ab 3=(a 4−a 3b)+(b 4−ab 3)，=a 3(a −b)+b 3(b −a)=(a −b)(a 3−b 3)，=(a −b)2(a 2+ab +b 2)=(a −b)2[(a +12)2+34b 2]≥0， 即a 4+b 4≥a 3b +ab 3， 当且仅当a =b 时，等号成立．【解析】作差，再进行配方，与0比较，即可得到结论． 本题考查了不等式的证明，考查了推理论证能力，属于基础题．21.【答案】解：设矩形车场南北侧边长为xm ，则其东西侧边长为1200xm ，人行道占地面积为S =(x +6)(8+1200x)−1200=8x +7200x+48≥2√8x ⋅7200x+48=96， 当且仅当8x =7200x，即x =30(m)时取等号，S min =96(m 2)，此时1200x=40(m)，所以矩形停车场的南北侧边长为30m ，则其东西侧边长为40m ，才能使人行通道占地面积最小，最小面积是528m 2．【解析】设矩形车场南北侧边长为xm ，则其东西侧边长为1200xm ，人行道占地面积为S =(x +6)(8+1200x)−1200=8x +7200x+48，然后结合基本不等式即可求解．本题主要考查了基本不等式在实际问题中的应用，体现了转化思想的应用．22.【答案】解：(1)∵y =|2x−3x+1|=|2−5x+1|，首先将y =−5x 的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到y =2−5x+1的图象，最后将y =2−5x+1的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方， 便可得到y =|2x−3x+1|的图象；(2)当t <0时，方程|2x−3x+1|=t 的根的个数为0； 当t =0或t =2时，|2x−3x+1|=t 的根的个数为1；当0<t<2或t>2时，|2x−3x+1|=t的根的个数为2．【解析】(1)把已知函数解析式变形，再由函数图象的平移与翻折变换可得y=|2x−3x+1|的图象；(2)对t分类，数形结合得答案．本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想，是中档题．23.【答案】解：(1)由f(0)=0，解得：a=3，反之a=3时，f(x)=1−63x+1+3=3x−13x+1，f(−x)=−f(x)，符合题意，故a=3，由f(x)=1−23x+1，x→0时，f(x)→−1，x→∞时，f(x)→1，故函数的值域是(−1,1)；(2)f(x)=1−23x+1在x∈[1,2]递增，故f(x)∈[12,35 ]，故t≥(3x−3)⋅3x+13x−1，故t≥[(3x−3)⋅3x+13x−1]max，令3x−1=m，m∈[2,8]，则(3x−3)⋅3x+13x−1=(m−2)⋅m+2m=m−4m随m的增大而增大，最大值是152，故实数t的取值范围是[152,+∞)．【解析】(1)根据函数的奇偶性求出a的值，检验即可；(2)问题转化为t≥[(3x−3)⋅3x+13x−1]max，令3x−1=m，m∈[2,8]，根据函数的单调性求出t的范围即可．本题考查了函数的奇偶性，单调性问题，考查函数恒成立，转化思想，是一道中档题．24.【答案】解：(1)f(0)=log 2(1+0)=0．当x >0时，−x <0，有f(−x)=log 12[1−(−x)]=−log 2(1+x)=−f(x)， 即f(−x)=−f(x)．当x <0时，−x >0，有f(−x)=log 2[1+(−x)]=−log 12(1−x)=−f(x)， 即f(−x)=−f(x)．综上，函数f(x)是R 上的奇函数；证明：(2)∵函数y =log 2x 是(0,+∞)上的严格增函数，函数u =1+x 在R 上也是严格增函数，故函数y =log 2(1+x)在[0,+∞)上是严格增函数．由(1)知，函数y =f(x)在R 上为奇函数，由奇函数的单调性可知，y =log 12(1−x) 在(−∞,0)上也是严格增函数，从而y =f(x)在R 上是严格增函数． 由x 1+x 2>0，得x 1>−x 2，∴f(x 1)>f(−x 2)=−f(x 2)， 即f(x 1)+f(x 2)>0；解：(3)由(1)知，y =f(x)是R 上的奇函数，故原方程可化为 [f(x)]2−af(x)+a −34=0．令f(x)=t ，则当x >0时，t =f(x)>0，于是，原方程有两个不等正根等价于： 关于t 的方程t 2−at +(a −34)=0有两个不等的正根．即{△=a 2−4(a −34)>0a >0a −34>0⇔{a <1,或a >3a >0a >34⇔34<a <1或a >3． 因此，实数a 的取值范围是(34,1)∪(3,+∞)．【解析】(1)利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性；(2)证明函数y =log 2(1+x)在[0,+∞)上是严格增函数，结合函数的奇偶性可得y =log 12(1−x)在(−∞,0)上也是严格增函数，从而y =f(x)在R 上是严格增函数，由x 1+x 2>0，即可证明f(x 1)+f(x 2)>0；(3)由(1)知，y =f(x)是R 上的奇函数，故原方程可化为[f(x)]2−af(x)+a −34=0，把原方程有两个不等正根转化为关于a 的不等式组求解．本题考查函数奇偶性的判定及应用，考查函数的单调性，考查函数零点与方程根的关系，考查化归与转化思想，是中档题．25.【答案】解：(1)由f(−1)+f(1)=0得：log2(√2−a)+log2(√2+a)=log2(2−a2)= 0，解得：a=±1，∵a>0，∴a=1，f(x)=log2(√x2+1+x)，x∈R，=−log2(√x2+1+x)=−f(x)，又f(−x)=log2(√x2+1−x)=−log√x2+1−x∴f(x)为奇函数；(2)由(1)知：f(x)=log2(√x2+1+x)，x∈R，设任意的x1，x2满足1≤x1<x2≤√3，则有0<x12+1<x22+1，∴0<√x12+1+x1<√x22+1+x2，∴f(x1)=log2(√x12+1+x1)<f(x2)=log2(√x22+1+x2)，∴函数y=f(x)在[1,√3]上单调递增，∴f(x)max=f(√3)=log2(2+√3)，又由M>f(x)对于任意x∈[1,√3]恒成立可得：M>f(x)max=log2(2+√3)，∵M为正整数，∴存在M，且M min=2．【解析】(1)先由f(−1)+f(1)=0求解出a的值，进而求得函数f(x)，再利用函数奇偶性的定义判断其奇偶性即可；(2)先由题设和函数单调性的定义推导出函数f(x)在x∈[1,√3]的单调性，然后利用其单调性求得f(x)的最大值，再由M>f(x)对于任意x∈[1,√3]恒成立求得M的取值范围，进而求得M的最小值即可．本题主要考查函数的奇偶性判断、单调性的定义及单调性在处理恒成立问题中的应用，属于中档题．26.【答案】解：(1)当y=ax2+bx在[0,1]上具有性质P时，由其图象在R上是抛物线，∈(0,1)，故此抛物线开口向上即a>0，且对称轴x=−b2a于是，实数a，b满足的条件−2a<b<0；(2)记f(x)=x3−cx，设x1，x2是区间[1,2]上任意给定的两个实数，总有f(x1)−f(x2)=(x1−x2)(x12+x1x2+x22−c)，若c≤3，当x1<x2时，总有x1−x2<0且x12+x1x2+x22−c>0，故f(x1)−f(x2)<0，因此y=x3−cx在区间[1,2]上单调递增，不符合题意，若c≥12，x1<x2时，总有x1−x2<0且x12+x1x2+x22−c<0，故f(x1)−f(x2)>0，因此y=x3−cx在区间[1,2]上单调递减，不符合题意，若3<c<12，]时，总有x1−x2<0且x12+x1x2+x22−c>0，当x1<x2，且x1，x2∈[1,√c3故f(x1)−f(x2)>0，]上单调递减，因此y=x3−cx在区间[1,√c3,2]时，总有x1−x2<0且x12+x1x2+x22−c<0，当x1<x2，且x1，x2∈[√c3故f(x1)−f(x2)<0，]上单调递增，因此y=x3−cx在区间[1,√c3故3<c<12．综上，c的范围(3,12)【解析】本题以新定义为载体，综合考查了函数性质，考查了逻辑推理的能力，体现了分类讨论思想的应用．∈(0,1)，从而可求，(1)由题意得，抛物线开口向上即a>0，且对称轴x=−b2a(2)利用作差法f(x1)−f(x2)=(x1−x2)(x12+x1x2+x22−c)，结合x的范围对c的范围分类讨论，结合已知新定义可求．。
上海市虹口高级中学2025届高一数学第一学期期末检测试题含解析
15．对数函数 f x loga x （ a 0 且 a 1）的图象经过点 4, 2 ，则此函数的解析式 f x ________
16．已知函数
①
______；
②函数 与函数
，二者图象有______个交点
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．已知函数 f x ex 1 aex
（1）若 f x 是偶函数，求 a 值；
（2）若对任意 x 0, ，不等式 f x a 1恒成立，求 a 的取值范围
的 20．已知集合 A x x2 x 0 ，记函数 f (x) 1ax2 (a 0)的定义域为集合 B.
（1）当 a=1 时，求 A∪B； （2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围.
【解析】分别判断 a, b, c 与 0,1 等的大小关系判断即可.
【详解】因为1.50.2 1.50 1 .故 a 1.又 log0.2 1.5 log0.2 1 0 ,故 b 0 .又 0 0.21.5 0.20 1,故 0 c 1.所以
a c b.
故选：B
【点睛】本题主要考查了根据指对幂函数的单调性判断函数值大小的问题,属于基础题.
所以可知错误的是 C．由折线图可看出乙的波动比甲大，所以甲更稳定.
故选 C
4、C
【解析】由补集的概念，得 AB 0, 2,6,10，故选 C
【考点】集合的补集运算 【名师点睛】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地， 对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性， 进行合理转化 5、B 【解析】利用函数奇偶性的定义可判断 A、B、C 选项中各函数的奇偶性，利用特殊值法可判断 D 选项中函数的奇偶 性.
2020_2021学年上海虹口区高一上学期期末数学试卷(答案版)
2020~2021学年上海虹口区高一上学期期末数学试卷(详解)一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.【答案】【解析】【踩分点】已知集合，，则 ．∵集合，．∴．2.【答案】【解析】【踩分点】不等式的解集为 ．不等式可化为，或，解得，或，∴原不等式的解集为：．3.【答案】【解析】【踩分点】函数，的值域为 ．由双勾函数性质可知：函数在上单调递减，在上单调递增，又∵，，，∴函数，的值域是．4.【答案】【解析】【踩分点】计算： ．．5.【答案】【解析】【踩分点】用“二分法”求方程在区间内的实根，首先取区间中点进行判断，那么下一个取的点是 ．设函数，易知函数为增函数，∵，，，∴下一个有根区间是，那么下一个取的点是．故答案为：．6.【答案】【解析】已知条件，，且是的必要条件，则实数的取值范围为 ．∵条件：，：，且是的必要条件，∴，解得，则实数的取值范围是．【踩分点】故答案为︰．7.【答案】【解析】【踩分点】不等式的解集为 ．①当时，不等式可化为，∴，∴；②当时，不等式可化为，恒成立，；③当时，不等式可化为，，∴，综上所述：不等式的解集为．故答案为∶．8.【答案】【解析】【踩分点】已知函数的反函数为，若函数的图象过点，则实数的值为 ．的反函数为，∵函数的图象经过点，∴函数的图象经过点，∴，解得．故答案为：．9.已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为 ．【答案】【解析】【踩分点】令，原函数化为，函数为增函数，要使函数在区间上是增函数，则在上单调递增，则．∴实数的取值范围为．故答案为：．10.【答案】【解析】【踩分点】，其中，，且，，其中，，且，则的元素个数为 ．（用含正整数的式子表示）∵，，∴，∵，，且，∴，∴元素的个数为：．11.【答案】【解析】若集合，，且，则满足条件的实数的取值集合为 ．，解得或，则，【踩分点】①时，，此时满足条件；②时，要满足，则或，解得或，综上所述，实数的取值集合为．12.【答案】【解析】【踩分点】已知函数，若，则实数的取值范围为 ．函数的图象如图所示，当时，，，当时，，，所以在上单调递增，且，，所以，所以是奇函数，若，则相当于，相当于，即，得或，所以的取值范围是．13.已知函数是定义在实数集上的偶函数，若在区间上是增函数，且，则不等式的解集为 ．【答案】【解析】【踩分点】因为是定义在实数集上的偶函数，在区间上是增函数，且，所以在上单调递减，且，所以在上，在上．因为不等式，所以或，即或或或，解得或，即不等式的解集为．故答案为：．或或二、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）14.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】【解析】已知，都是实数，那么“”是“”的（ ）．C ∵函数在上单调递增，则当时，有，故充分性成立，当，即时，有，故必要性成立，∴“”是“”的充要条件．故选．15.A.关于轴对称B.关于轴对称函数的图象的对称性为（ ）．C.关于原点对称D.关于直线对称【答案】【解析】B 因为，定义域为，且，所以函数是偶函数，即函数图象关于轴对称．故选．16.A.B. C. D.【答案】【解析】已知全集及集合，，则的元素个数为（ ）．B 集合，集合，则，所以，含个元素．故选．且其中且且或17.A.B. C. D.【答案】【解析】已知函数，，的零点依次为，，，则，，的大小关系为（ ）．D 已知函数，，的零点依次为、、，当时，，即；当时，，即；当时，，即．在同一平面直角坐标系中分别作出函数，，，的图象，如图：由图知．故选．18.A. B.C.D.【答案】【解析】设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）．A（排除法）当则得，即在时恒成立，而最大值，是当时出现，故的最大值为，则恒成立，排除项，同理再验证时，恒成立，排除项，时，不成立，故排除项．故选：．19.A.B.C.D.【答案】【解析】若函数与在区间上都是严格减函数，则实数的取值范围为（ ）．D 对于函数，时，为减函数，时，为增函数，故应有．对于函数，显然不为，对比函数可知，时，在上为减函数，时，在上为增函数，因此．故选．三、解答题（本大题共5小题，共50分）20.【答案】【解析】【踩分点】已知，是任意实数，求证：，并指出等号成立的条件．证明见解析，时，等号成立．证明：因故，即．当且仅当时，等号成立．21.【答案】【解析】某居民小区欲在一块空地上建一面积为的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道．设计要求停车场外侧南北的人行通道宽，东西的人行通道宽，如图所示（图中单位：）．问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？北南停车场设计矩形停车场南北侧边长为，其东西侧边长为，人行通道占地面积最小，最小面积是．设矩形停车场南北侧边长为，则其东西侧边长为，【踩分点】人行通道占地面积为，由均值不等式，得 ，当且仅当，即时，，此时．所以，设计矩形停车场南北侧边长为，则其东西侧边长为，人行通道占地面积最小．22.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【踩分点】已知函数．作出这个函数的大致图象．讨论关于的方程的根的个数．图象见解析．当时，方程的根的个数为；当或时，方程的根的个数为；当或时，方程的根的个数为．，故先将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，最后将函数的图象轴下方部分翻折到轴上方，即可得到函数的大致图象．–8–6–4–22468–22468当时，方程的根的个数为；当或时，方程的根的个数为；当或时，方程的根的个数为．23.24.（1）（2）（3）（1）（2）【答案】已知函数．判断函数的奇偶性．对任意的实数，，且，求证：．若关于的方程有两个不相等的正根，求实数的取值范围．奇函数．证明见解析．（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【踩分点】已知函数是定义在上的奇函数．求实数的值及函数的值域．若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．，函数的值域是．实数的取值范围是：．由，解得：，反之时，，，符合题意，故，由，时，，时，，故函数的值域是．在递增，故，故，故，令，，则随的增大而增大，最大值是，故实数的取值范围是：．（3）（1）（2）（3）【解析】．因为，当时，，所以，即．当时，，，即．综上知，是奇函数．因为是单调递增函数，也是单调递增函数，由复合函数的单调性，知在上是单调递增函数．由（）知是上的奇函数．由奇函数的单调性知当时是单调递增函数，从而是定义在上的单调递增的奇函数．由，得，所以，即．由（）知函数是上的奇函数，故原方程可化为．令，则当时，，于是，原方程有两个不相等的正根等价于：关于的方程有两个不相等的正根，即【踩分点】或，因此实数的取值范围为．或25.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】设是正常数，函数满足．求的值，并判断函数的奇偶性．是否存在一个正整数，使得对于任意恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．；奇函数．存在；．由，得，即，注意到，解得．于是，对于任意实数，均有，即恒成立，故的定义域为．在中任取一个实数，都有，并且，故，因此是奇函数．设、是区间上任意给定实数，且，易知，故，因在上是严格增函数，故，【踩分点】从而在上是严格增函数，此时函数的最大值为．由对于任意恒成立，得，又是正整数，因此的最小值为．四、附加题26.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】对于定义在上的函数，设区间是的一个子集．若存在，使得函数在区间上是严格减函数，在区间上是严格增函数，则称函数在区间上具有性质．若函数在区间上具有性质，写出实数，所满足的条件．设是常数，若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围．．．当函数在区间上具有性质时，由其图象在上是抛物线，故此抛物线的开口向上（即)，且对称轴是；于是，实数，所满足的条件为：．记．设，是区间上任意给定的两个实数，总有．若，当时，总有且，故，因此在区间上是严格增函数，不符合题目要求．若，当时，总有且，故，因此在区间上是严格减函数，不符合题目要求．若，当且，时，总有且，故，因此在区间上是考查严格减函数；当且，时，总有且，故，因此在区间上是严格增函数．【踩分点】。
2020-2021学年上海市虹口区高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年上海市虹口区高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共6小题，共18.0分）1.数列{a n}的前n项和记为S n，则“数列{S n}为等差数列”是“数列{a n}为常数列”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.若定义域为R的奇函数f(x)满足f(1−x)=f(1+x)，且f(3)=2，则f(2021)=()A. 2B. 1C. 0D. −23.已知集合A={−3,−2,−1,0,1,2,3}，B={x|x2≥4}，则A∩B=()A. {−3,−2,2,3}B. {−2,2,3}C. {−2,2}D. {−3,3}4.函数f(x)=2lnx+x−2的零点所在的大致区间为()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)5.下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是()A. y=x+1B. y=−x2+1C. y=|x|+1D. y=1−1x6.已知y=f(x)是偶函数，且在区间(0,+∞)上是增函数，则f(−4)、f(π)、f(−1)的大小关系是()A. f(π)>f(−1)>f(−4)B. f(−1)>f(−4)>f(π)C. f(−4)>f(π)>f(−1)D. f(−4)>f(−1)>f(π)二、单空题（本大题共13小题，共39.0分）7.集合M={x|0<x≤3}，N={x∈N|0≤x−1≤1}，则M∩N=______ ．>0的解集是______ ．8.不等式(x+1)(x−5)x−29.函数f(x)=1g(3x−1)的定义域为______．10.计算：log32log83=______11.若函数f(x)=x3+x2−2x−2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：则方程x3+x2−2x−2=0的一个近似解(精确度0.04)为12. 已知α，β为三角形的内角，则“α>β”是“sinα>sinβ”的______ 条件(填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”)．13. 如果存在实数x使不等式|x+1|−|x−2|<k成立，则实数k的取值范围是______ ．14. 已知函数f(x)=2+log a(x+1)(a>0，且a≠1).若y=f(x)的反函数的图象经过点(1,2)，则a=______ ．15. 函数y=log0.5(2x2−ax+5)在区间[−1,+∞)上是减函数，则实数a的取值范围是______．16. 已知集合A={x|x2−x−2≤0}，集合B={x|1<x≤3}，则A∩B=．17. 集合{x,y,z}的子集个数为______．18. y=x|x|+3的单调增区间是______ ．x)为奇函数，则a=______．19. 若函数f(x)=x(log2(2x+a)−12三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）|+|x−a|(a>0)．20. 设函数f(x)=|x+6a(Ⅰ)证明：f(x)≥2√6；(Ⅱ)若f(3)<7，求a的取值范围．21. 在中，角，，所对的边分别是，，，已知．(Ⅰ)求角的值；(Ⅱ)若，求的取值范围．22. 已知函数f(x)=x2−4x+a+3，a∈R(1)若函数y=f(x)在[−1,1]上存在零点，求a的取值范围；(2)设函数g(x)=bx+5−2b，b∈R，当a=0时，若对任意的x1∈[1,4]，总存在x2∈[1,4]，使得f(x1)=g(x2)，求b的取值范围．23. 设函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R)，(1)若f(−1)=0，且对于任意的x，f(x)≥0恒成立，求f(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当x∈[−2,2]时，g(x)=f(x)−kx是单调函数，求实数k的取值范围．24. 已知方程x2+(m−3)x+m=0的两个根都是正数，求实数m的取值范围．25. 设f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=lg(x2−ax+10)，a∈R．(1)若f(1)=1，求f(x)的解析式；(2)若a=0，不等式f(k⋅2x)+f(4x+k+1)>0恒成立，求实数k的取值范围；(3)若f(x)的值域为R，求a的取值范围．26. 已知函数f(x)是定义域在R上的偶函数．(Ⅰ)若当x≥0时f(x)=x3+x+1，求当x<0时f(x)表达式；(Ⅱ)若函数f(x)在区间(−∞,0)上单调递减，求满足f(x2+2x+3)>f(−x2−4x−5)的x的集合．参考答案及解析1.答案：B解析：解：若数列{a n}为常数列，则设a n=a，所以S n=na，于是S1=a1=a，S n+1−S n=a，所以{S n}为等差数列，所以“数列{S n}为等差数列”是“数列{a n}为常数列”的必要条件；若数列{S n}为等差数列，设公差为d，则S n=S1+(n−1)d，于是a1=S1，a n+1=S n+1−S n=(S1+nd)−(S1+(n−1)d)=d，当a1=S1≠d时，数列{a n}不是常数列，所以，“数列{S n}为等差数列”不是“数列{a n}为常数列”的充分条件；综上所述，“数列{S n}为等差数列”是“数列{a n}为常数列”的必要不充分条件．故选：B．求出数列的通项公式，利用等差数列的定义及充分条件和必要条件概念进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的基本概念，考查了等差数列的基本性质，属于基础题．2.答案：D解析：解：根据题意，f(x)是奇函数，且f(1−x)=f(1+x)，则有f(1−x)=f(1+x)=−f(x−1)，f(0)=0，则f(x+2)=−f(x)，则f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，故f(2021)=f(1+2020)=f(1)，则有f(3)=f(−1)=−f(1)=2，变形可得f(1)=−2，故f(2021)=−2；故选：D．根据题意，分析可得f(x)是周期为4的周期函数，则有f(2021)=f(1)，由奇偶性求出f(1)的值，即可得答案．本题考查抽象函数的求值，涉及函数周期性的判断，属于基础题．3.答案：A解析：解：∵A={−3,−2,−1,0,1,2,3}，B={x|x≤−2或x≥2}，∴A∩B={−3,−2,2,3}．故选：A．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查了集合的列举法和描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．4.答案：B解析：由函数的解析式先判断单调性，再根据函数的零点的判定定理，函数f(x)=2lnx+x−2的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．本题考查函数的零点的判定定理，连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间端点处的函数值异号．解：易知函数f(x)=2lnx+x−2是(0,+∞)上的增函数，f(1)=1−2=−1<0，f(2)=2ln2+2−2=2ln2>0，故f(1)⋅f(2)<0，且f(x)在(0,+∞)上连续，故函数f(x)=2lnx+x−2的零点所在的大致区间为(1,2)，故选：B．5.答案：C解析：解：A、y=x+1是非奇非偶函数，A不满足条件；B、y=−x2+1是偶函数，在(0,+∞)上是减函数，B不满足条件；C、y=|x|+1是定义域R上的偶函数，且在(0,+∞)上是增函数，C满足条件；D、y=1−1是非奇非偶的函数，D不满足条件；x故选：C．根据基本初等函数的单调性、奇偶性，逐一分析答案中函数在(0,+∞)上的单调性和奇偶性，可得答案．本题考查了函数的奇偶性与单调性，熟练掌握基本初等函数的单调性和奇偶性是解答的关键．6.答案：C解析：本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．由函数的奇偶性可得f(−4)=f(4)，f(−1)=f(1)，再由单调性可作出判断．解：∵y=f(x)是偶函数，∴f(−4)=f(4)，f(−1)=f(1)，又∵函数在区间(0,+∞)上是增函数，∴f(4)>f(π)>f(1)，∴f(−4)>f(π)>f(−1)，故选：C．7.答案：{1,2}解析：解：∵M={x|0<x≤3}，N={x∈N|0≤x−1≤1}={x∈N|1≤x≤2}={1,2}，∴M∩N={1,2}．故答案为：{1,2}求出N中不等式解集的自然数解确定出N，找出M与N的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．8.答案：{x|x>5或−1<x<2}解析：解：原不等式可转化为(x+1)(x−2)(x−5)>0，结合高次不等式的求解得，x>5或−1<x<2．故原不等式的解集{x|x>5或−1<x<2}．故答案为：{x|x>5或−1<x<2}．把已知分式不等式直接转化为高次不等式，然后结合数轴标根法可求．本题主要考查了分式不等式的求解，体现了转化思想的应用，属于基础题．9.答案：(0,+∞)解析：解：要使f(x)有意义，则3x−1>0；∴x>0；∴f(x)的定义域为(0,+∞)．故答案为：(0,+∞)．可看出，要使得函数f(x)有意义，则需满足3x−1>0，解出x的范围即可．考查函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域，指数函数的单调性．10.答案：13。
上海市虹口区2021届高三第一学期期末(一模)质量监控数学试题
【区级联考】上海市虹口区2019届高三第一学期期末（一模）质量监控数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．计算153lim 54n nn nx +→∞-=+________.2．设全集U =R ，若{}2,1,0,1,2A =--，(){}2log 1B x y x ==-，则()U A C B =______.3．设常数a R ∈，若函数3()log ()f x x a =+的反函数的图像经过点()2,1，则a =__________.4．已知球的表面积为4π，则该球的体积为________． 5．函数8()([2,8])f x x x x=+∈的值域为__________.6．在二项式62x ⎫⎪⎭的展开式中，常数项的数值为________. 7．双曲线22143x y -=的焦点到其渐近线的距离为__________．8．若复数 1 sin i z cos iθθ-=（i 为虚数单位），则z 的模的最大值为__________.9．己知7个实数1,−2,4,a,b,c,d 依次构成等比数列，若从这7个数中任取2个，则它们的和为正数的概率为___________.10．如图，已知半圆O 的直径4AB =，OAC ∆是等边三角形，若点P 是边AC （包含端点A C 、）上的动点，点Q 在弧BC 上，且满足⊥OQ OP ，则OP BQ ⋅的最小值为__________．11．若直线y kx =与曲线2log (2)21x y x +=--恰有两个公共点，则实数k 的取值范围为________.二、单选题12．已知x ∈R ，则“1233x -<”是“1x <”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件13．关于三个不同平面,,αβγ与直线l ，下列命题中的假命题是（ ） A ．若αβ⊥，则α内一定存在直线平行于βB ．若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于βC ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥D ．若αβ⊥，则α内所有直线垂直于β14．已知函数2()1f x ax x =-+，1,? 1(),? 11?1,?1x g x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若函数()()y f x g x =-恰有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(0,)+∞B ．(,0)(0,1)-∞C ．1(,)(1,)2-∞-⋃+∞D ．(,0)(0,2)-∞15．已知点E 是抛物线2:2(0)C y px p =>的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C 的焦点，点P 在抛物线C 上.在EFP ∆中，若sin sin EFP FEP μ∠=⋅∠，则μ的最大值为（ ） A．2BCD三、解答题16．在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA 的中点.（1）求该圆锥的侧面积与体积；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小. 17．已知函数()161x f x a a+=-+(0,1)a a >≠是定义在R 上的奇函数.（1）求实数a 的值及函数()f x 的值域；（2）若不等式()33xtf x ≥-在[1,2]x ∈上恒成立，求实数t 的取值范围.18．某城市的棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经过调研、规划确定，棚改规划用地区域近似为圆面，该圆的内接四边形ABCD 区域是原棚户区建筑用地，测量可知边界()2AB AD km ==，()3BC km =，()1CD km =.（1）求AC 的长及原棚户区建筑用地ABCD 的面积；（2）因地理条件限制，边界AD ，DC 不能变更，而边界AB ，BC 可以调整，为了增加棚户区的建筑用地面积，请在弧ABC 上设计一点P ，使得棚户区改造后的新建筑用地（四边形APCD ）的面积最大，并求出这个面积最大值.19．设椭圆22:12x y Γ+=，点F 为其右焦点，过点F 的直线与椭圆Γ相交于点P ，Q .（1）当点P 在椭圆Γ上运动时，求线段FP 的中点M 的轨迹方程；（2）如图1，点R 的坐标为(2,0)，若点S 是点P 关于x 轴的对称点，求证：点Q ，S ，R 共线；（3）如图2，点T 是直线:2l x =上的任意一点，设直线PT ，FT ，QT 的斜率分别为PT k ，FT k ，QT k ，求证PT k ，FT k ，QT k 成等差数列.20．对于()*n n N ∈个实数构成的集合{}12,,,n E e e e =⋯，记12E n S e e e =++⋯+. 已知由n 个正整数构成的集合{}12,,,n A a a a =⋯（12,3n a a a n <<⋯<≥）满足：对于任意不大于A S 的正整数m ，均存在集合A 的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m .（1）试求1a ，2a 的值；（2）求证：“12,,,n a a a ⋯成等差数列”的充要条件是“()112A S n n =+”； （3）若2018A S =，求证：n 的最小值为11；并求n 取最小值时，n a 的最大值.参考答案1．5 【分析】分子分母同时除以5n ，利用无穷小量，求得所求的极限值. 【详解】135535lim lim 554415nn n n n n x x +→∞→∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭,故填5. 【点睛】本小题主要考查分式型极限的求法，其主要解决方法就是分子分母同时除以某一个数，变为趋向于0的量来求解.属于基础题. 2．{1,2} 【分析】求出集合B 中函数的定义域，再求的集合B 的补集，然后和集合A 取交集. 【详解】(),1B =-∞，(){}[){}2,1,0,1,21,1,2U A C B ⋂=--⋂+∞=,故填{}1,2.【点睛】本小题主要考查集合的研究对象，考查集合交集和补集的混合运算，还考查了对数函数的定义域.属于基础题. 3．8 【分析】反函数经过点()2,1，则原函数经过点()1,2，将该点坐标代入函数的解析式，由此求得a 的值. 【详解】()()3log f x x a =+的图像过()1,2，即()3log 128a a +=⇒=.故填8.【点睛】本小题主要考查互为反函数的两个函数对称点的关系，考查对数方程的求解，属于基础题.4．43π 【分析】先根据球的表面积公式24S R π=求出半径，再根据体积公式343V R π=求解. 【详解】设球半径为R ，则244S R ππ==，解得1R =，所以34433V R ππ== 【点睛】本题考查球的面积、体积计算，属于基础题. 5．⎡⎤⎣⎦【分析】利用导数画出函数()f x 的图像，根据图像的最高点和最低点，求得函数的最大值以及最小值，由此求得函数的值域. 【详解】由于()(2222881x x x f x x x x+-=-='-=，故函数在区间2,⎡⎣上单调递减，在区间⎡⎤+∞⎣⎦上单调递增.由此画出函数图像如下图所示，由图可知()((),8f x f f ⎡⎤⎡⎤∈=⎣⎦⎣⎦.故填⎡⎤⎣⎦.【点睛】本小题主要考查对钩型函数的值域，考查了利用导数求函数的单调区间的方法，考查了数形结合的数学思想方法.属于基础题. 6．60 【分析】通过二项式展开式的通项，令x 的指数等于零，求得r 的值，从而求得常数项. 【详解】363216622rrr r r r r T CC x x --+⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭当3302r -=，即2r =时，常数项为226260C ⋅=,故填60. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式.需要将二项展开式公式化简后，再来求指定项的值.属于基础题.7【解析】双曲线焦点到渐近线的距离为b ，故距离为b =8．12【分析】用行列式的公式化简复数z ，代入复数模的公式，利用降次公式和辅助角公式合并后，利用三角函数的性质求得z 模的最大值. 【详解】()sin cos 1z i i θθ=⋅-⋅- ()cos sin cos i θθθ=+-⋅，z ∴==== =≤=【点睛】本小题考查行列式的计算，考查复数模的运算公式，考查三角函数降次公式以及辅助角公式，还考查了三角函数的最大值.属于中档题.三角函数的降次公式包括21cos2cos 2xx +=，21cos2sin 2xx -=，这两个公式有点类似，记忆的时候不要记忆错误了.9．47【分析】根据前几项可知，数列的首项为1，公比为−2，由此求得a,b,c,d 的值.基本事件的总数有C 72.和为正数分成两种情况，一种是取出的两个数都是正数，另一种是一个正数一个负数，由此计算出和为正数的方法数，根据古典概型概率计算公式求得概率的值. 【详解】由题意得，这7个实数为1,−2,4−8,16,−32,64①所选2个数均为正数：C 42=6（种）； ②所选2个数一正一负：−2,4、−2,16、−2,64、−8,16、−8,64、−32,64，共6（种） ∴P =6+6C 72=47,故填47.【点睛】本小题主要考查古典概型的概率计算，考查了等比数列的概念.在计算古典概率的过程中，首先求得分母，也即是基本事件的总数，由于抽取时没有顺序，故用组合数来计算.然后考虑分子，分子是符合题意事件的个数，要用分类加法计数原理分成两种情况来求解.中档题. 10．2 【分析】将向量BQ 转化为BO OQ +，代入OP BQ ⋅，将所求向量的数量积转化为OP OA ⋅cos 2cos OP OA OP θθ=⋅⋅=⋅,cos OP θ⋅表示OP 在OA 上的投影，由此可求得最小值. 【详解】()OP BQ OP BO OQ ⋅=⋅+ OP BO OP OA =⋅=⋅ cos 2cos OP OA OP θθ=⋅⋅=⋅，由数量积的几何意义可知，当P 与C 重合时，OP 在OA 上的投影最短， 此时，()min2OP OA ⋅=,故填2.【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，以及几何图形中向量问题的求解.属于中档题. 11．(,0]{1}-∞根据函数()2log 2y x =+的图像，将曲线方程中的绝对值去掉，化为分段函数的形式，然后画出这个分段函数的图像，根据图像和直线y kx =的交点有两个，求得实数k 的取值范围. 【详解】如图，可知()()()222log 2,1log 2log 2,21x x x x x ⎧+≥-⎪+=⎨-+-<<-⎪⎩()2log 221x y x +∴=-- ()()22log 2log 221,121,21x x x x x x +-+⎧--≥-⎪=⎨---<<-⎪⎩ 3,121,1111,212x x x x x x ⎧⎪≥⎪=+-≤<⎨⎪⎪+--<<-+⎩ 由图可知，直线y kx =与曲线()2log 221x y x +=--恰有两个公共点，则0k ≤或1k =【点睛】本小题主要考查对数函数的图像，考查含有绝对值函数的处理方法，考查了数形结合的数学思想方法.属于中档题. 12．A 【解析】先求得绝对值不等式的解集，然后比较这个解集和1x <范围的大小，根据充要条件的知识得出正确选项. 【详解】12213333x x -<⇒-<- 21133x <⇒-<<，此为小范围，后者1x <为大范围，所以充分非必要条件.故选A. 【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查充分必要条件的判断方法，属于基础题. 13．D 【解析】 【分析】对四个选项，利用正方体中的线和面的关系，逐一验证，由此得出是假命题的选项. 【详解】画出一个正方体ABCD EFHG -如下图所示.平面ABCD ⊥平面ADHE ，而//EH AD ，即平行于这两个垂直平面的交线，有//EH 平面ABCD ，故A 选项命题是真命题，且D 选项命题是假命题.根据面面垂直的判定定理可知，B 选项命题是真命题.由下图可知，平面ADHE 和平面ABFE 同时垂直于平面ABCD ，它们的交线AE 也垂直平面ABCD ，故选项C 命题是真命题.综上所述，本题选D.【点睛】本小题主要考查空点点线面的位置关系，考查面面垂直的判定与性质，属于基础题. 14．B 【分析】将问题转化为()f x 和()g x 函数的图像有两个交点来解决.为了便于讨论，两个函数都加上1x -后，再画出相应的图像.通过图像求得a 的取值范围.【详解】令2()()1h x f x x ax =+-=，()()1x g x x ϕ=+-2,121,11,1x x x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩转化为()h x 与()x ϕ有两个交点时，求实数a 的取值范围， 如下图，1a =时，()h x 与()x ϕ相切于(1,1)点，当0a <或01a <<时，()h x 与()x ϕ有两个交点，故选B.【点睛】本小题主要考查函数零点问题的转化方法，考查化归与转化的数学思想方法和数形结合的数学思想方法.解法中有三次转化，一次是()()y f x g x =-的零点问题，即()()0y f x g x =-=，转化为()()f x g x =，即两个函数图像的交点；二次是为了便于作图，两个函数都加上1x -，转化新的两个函数；三次是将函数的代数问题，转化为图形的交点来解决. 15．C 【分析】利用抛物线的几何性质，求得,E F 的坐标.利用抛物线的定义以及正弦定理，将题目所给等式转化为1cos PEFμ=∠的形式.根据余弦函数的单调性可以求得μ的最大值.【详解】由题意得，准线:2p l x =-，,02p E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过P 作PH l ⊥，垂足为H ，则由抛物线定义可知PH PF =，于是sin sin EFP PE FEP PF μ∠==∠ 11cos cos PE PH EPH PEF===∠∠，cos y x =在()0,π上为减函数，∴当PEF ∠取到最大值时（此时直线PE 与抛物线相切），计算可得直线PE 的斜率为1，从而45PEF ∠=︒，max 2μ∴==,故选C.【点睛】本小题主要考查抛物线的几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，还考查了正弦定理.属于中档题. 16．（1）3； （2）. 【分析】（1）依题意可求得的底面的半径，通过勾股定理求得圆锥的高.利用圆锥侧面积公式和体积公式计算出圆锥的侧面积和体积.（2）取PO 的中点E ，连接DE ，CE ，则CDE ∠或其补角即为所求.通过勾股定理和中位线的性质，可求得线线角的正切值，再用反三角函数将其表示出来. 【详解】（1）由题意，得2OB =，4PB =，PO =，8S rl ππ==，21133V r h ππ==⋅22⋅⋅=；（2）取PO 的中点E ，连接DE ，CE ，则CDE ∠或其补角即为所求， 易证DE ⊥平面EOC ，DE EC ∴⊥，112DE OA ==，CE ===于是tan CDE ∠==，即异面直线AB与CD 所成角的大小为， 【点睛】本小题主要考查圆锥的侧面积公式以及体积公式，考查异面直线所称角的求法，属于基础题. 17．（1）3a =；(1,1)-； （2）15[,)2+∞. 【分析】（1）根据()00f =解得3a =，并检验3a =时，满足题意，得出函数解析式，求解值域；（2）根据函数值域，将问题转化()313331x xx t +≥-⋅-，故()max313331x x x t ⎡⎤+≥-⋅⎢⎥-⎣⎦，利用换元法求解最值即可得解. 【详解】（1）由()00f =解得3a =，反之3a =时，()16133x f x +=-+ 23113131x x x -=-=++ ()()31313131x x x x f x f x -----==-=-++，符合题意，故3a =，据此()()1301xf x f x +=>-，()()1,1f x ∈-，即值域为()1,1- （2）()2131x f x =-+在[]1,2x ∈显然是单调增函数，()14,25f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦为正数， 所以()313331x xx t +≥-⋅-，故()max313331x x x t ⎡⎤+≥-⋅⎢⎥-⎣⎦，令[]31,2,8xm m -=∈，则()()3133231x xx m +-⋅=-- 24m m m m +⋅=-随m 的增大而增大， 最大值为152，∴实数t 范围是15,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】此题考查根据函数奇偶性求参数的取值，根据不等式恒成立求解参数的取值范围，涉及参变分离，换元法求解最值.18．（1） （2）P 为线段AC 垂直平分线与弧ABC 交点时，面积最大，.【分析】（1）根据圆的内接四边形对角互补，可得B D π+=，它们的余弦值的和为零，由此利用余弦定理列方程，可求得AC 的值并求出cos ,cos B D 的值，进而求得sin ,sin B D 的值，利用三角形的面积公式，可求得ABCD 的面积.（2）设CP x =，AP y =，利用余弦定理和基本不等式求得xy 的最大值，利用三角形面积公式求得APCD 面积的表达式，将xy 的最大值，由此求得APCD 面积的最大值. 【详解】（1）cos cos 0B D B D π+=⇒+=⇒ 22222223210223221AC AC +-+-+=⨯⨯⨯⨯解得：AC =，1cos cos 2B D =-=，于是sin sin B D ==()121232S =⨯+⨯ sin B =（2）设CP x =，AP y =，由余弦定理得227x y xy +-=， 而2272x y xy xy xy xy =+-≥-=（当且仅当x y =时，等号成立）得1212APCD S =⨯⨯+ 12x y ⨯⨯≤， 所以，当且仅当AP CP =，即P 为线段AC 垂直平分线与弧ABC 交点时，面积最大，最大值为2. 【点睛】本小题主要考查圆的内接四边形对角互补的知识，考查利用余弦定理解三角形，考查了三角形的面积公式以及基本不等式的应用.属于中档题.第一问中，给定了四边形的四条边长，求对角线的长，可利用对角互补及余弦定理建立方程，由此的到对角线的长.19．（1）22(21)412x y -+=； （2）见解析； （3）见解析.【分析】（1）设出中点M 的坐标，利用点F 的坐标得到P 点的坐标，将P 点的坐标代入椭圆方程，化简得到点M 的轨迹方程.（2）当PQ 斜率存在时，设出直线PQ 的方程，代入椭圆椭圆方程化简后写出韦达定理，计算0RQ RS k k -=，由此证得点Q ，S ，R 共线. 当PQ 斜率不存在时，由椭圆对称性,易得结论成立.（3）设出T 的坐标，利用（2）的结果化简2PT QT FT k k k +-的表达式，化简得到结果为0，由此证得PT k ，FT k ，QT k 成等差数列.【详解】（1）()1,0F ，设(),M x y ，则()21,2P x y -，P 在椭圆Γ上，所以所求轨迹方程为()2221412x y -+=.（2）当PQ 斜率存在时，设其方程为：()1y k x =-，()11,P x y ，()22,Q x y 将()1y k x =-代入椭圆方程并化简得()()2222214210k x k x k +-+-=其中2122421k x x k +=+，()21222121k x x k -⋅=+212122RQ RS y y k k x x --=--- ()()21211122k x k x x x --=+--()()()()()()211221121222x x x x k x x ⎡⎤--+--=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦()()2122kx x =-- ()12122340x x x x ⎡⎤-++=⎣⎦所以RQ RS k k =，点Q ，S ，R 共线，而当PQ 斜率不存在时，由椭圆对称性，Q ，S 重合，结论显然成立，综上点Q ，S ，R 共线；（3）设()2,T t ，2PT QT FT k k k +- 1212222y t y tt x x --=+--- 由（2）知2121022y y x x +=--，12222PT QT FT t t k k k x x --∴+-=+-- 12112222t t x x ⎛⎫-=-++ ⎪--⎝⎭()()12124222x x t x x ⎡⎤+-=-+⎢⎥--⎢⎥⎣⎦()222222442120214242121k k t k k k k ⎡⎤⎢⎥-+⎢⎥=-+=⎢⎥-⎢⎥-⋅+++⎣⎦故PT k ，FT k ，QT k 成等差数列. 【点睛】本小题主要考查代入法求点的轨迹方程，考查利用斜率证明三点共线的方法，考查等差中项的性质.有关中点求轨迹方程的问题，往往是设出中点的坐标，利用已知条件得到另一个点的坐标，而这个点在一个已知的曲线上，故将这个点的坐标代入曲线的方程，即可求得所求点的轨迹方程.20．（1）11a =，22a =； （2）见解析； （3）见解析. 【分析】（1）取1m =，集合A 的子集为{}1a ，所有元素之和为11a =.取2m =，集合A 的子集为{}2a ，所有元素之和为22a =.（2）先证必要性.根据首项和第二项，求得等差数列的通项公式，由此求得A S 的值，证得必要性成立.再证充分性.利用集合A 的元素是正整数，且为递增的数列利用放缩法，证得()112A S n n ≥+，结合()112A S n n =+即只有取等号时符合.证得充分性成立.（3）先用反证法，证明12k k a -≤，然后在A S 的表达式中，通过放大k a ，变为等比数列来求和，由此求得n 的最小值.利用20181n n a a -≥-，求得n a 的最大值，并构造出符合题意的集合A ，验证后证得集合A 符合. 【详解】（1）取1m =，集合A 的子集为{}1a ，所有元素之和为11a =.取2m =，集合A 的子集为{}2a ，所有元素之和为22a =.故11a =，22a =；（2）先证必要性11a =，22a =，又12,,,n a a a ⋯成等差数列，n a n ∴=，()112A S n n ∴=+， 再证充分性12n a a a <<⋯<，12,,,n a a a ⋯为正整数数列，11a ∴=，22a =，33a ≥，44a ≥，...，n a n ≥， 12A n S a a a ∴=++⋯+ ()11212n n n ≥++⋯+=+， 又()112A S n n =+，()1,2,,k a k k n ∴==⋯，12,,,n a a a ∴⋯为等差数列； （3）先证明()121,2,,k k a k n -≤=⋯假设存在12p p a ->，且p 为最小的正整数，由题意3p ≥，则121p a a a -∴++⋯+≤ 2112221p p --++⋯+=-， 又12n a a a <<⋯<，∴当()121,p p m a -∈-时，m 不能等于集合A 的任何一个子集的所有元素之和，因此假设不成立，即()121,2,,k k a k n -≤=⋯成立，122018n a a a ∴=++⋯+ 112221n n -≤++⋯+=-，即22019n ≥，11n ∴≥， 2018A S =，12a a ∴++⋯+ 12018n n a a -=-，若20181n n a a -<-时，则当()2018,n n m a a ∈-时，集合A 中不可能存在若干不同元素之和为m ，故20181n n a a -≥-，即1009n a ≤，此时可构造集合{}1,2,4,8,16,32,64,128,256,498,1009A =， 当{}2,21m ∈+时，m 可以等于集合{}1,2中若干个不同元素之和，于是，当{}22222,21,22,23m ∈+++时，m 可以等于集合{}21,2,2中若干个不同元素之和， ……于是，当{}88882,21,22,,2255m ∈++⋯+时，m 可以等于集合{}281,2,2,,2⋯中若干个不同元素之和，于是，当{}4983,4984,,498511m ∈++⋯+时，m 可以等于集合{}281,2,2,,2,498⋯中若干个不同元素之和，于是，当{}1009,10091,10092,,10091008m ∈++⋯+时，m 可以等于集合{}281,2,2,,2,498,1009⋯中若干个不同元素之和，∴集合{}1,2,4,8,16,32,64,128,256,498,1009A =满足题设， ∴当n 取最小值11时，n a 的最大值为1009.【点睛】本小题主要考查对于新定义的理解，考查利用放缩法证明不等式，综合性很强，属于难题.。
2023-2024学年上海市虹口区高一上学期期末能力诊断测试数学模拟试题(含解析)
1 (2)试判断区间 2
,
3 2
是否为函数
y
f
(x)
的一个“ 区间”，并说明理由；
(3)求函数 y f (x) 在[1, ) 内的“ 区间”．
1． 0,1
【分析】由二次根式有意义的条件以及复合对数函数的定义域即可得解.
x 0 【详解】由题意函数 y x ln(1 x) 有意义，当且仅当 1 x 0 ，解得 0 x 1，即函数
为
．
（B 组）
11．若[x] 表示不大于 x 的最大整数，比如[2.1] 3,[1.2] 1，则[ ]
．
（A 组）
12．已知定义在 R 上的奇函数 y f (x) 在区间[0, ) 上是严格减函数．若对于任意的 x R ，
f
总有
kx2 2 f (kx k) 0 成立，则实数 k 的取值范围是
；
结论②：设 f (x) x2 2x 3 ，则有 f (x) f (x) 对 x R 恒成立．
A．①对②对
B．①对②错
C．①错②对
三．解答题（本大题满分 50 分）
21．已知 a 为实数，设集合 A x∣2x a x2 ．
(1)当a 8时，用区间表示集合 A ；
D．①错②错
(2)设集合 B {x∣lg x 0}，若 B A ，求实数 a 的取值范围． 22．已知角 的顶点在原点，始边在 x 轴的非负半轴．
x1 ，根据图象可得
2
x2
0
1 2
x3, 0
k
2
，整
x1x2 k 2 2 2 4 0, 2
【详解】因为 f (x) log3 x 在 0, 单调递增，且 f 9 log3 9 2 ，
x 1 0
2023届上海市虹口中学高一上数学期末复习检测试题含解析
因为 当且仅当 时取等号,所以 ，
因为 ,所以 .
故选：C.
【点睛】对于不等式任意或存在性问题，一般转化为对应函数最值大小关系，即 ； ，
10、D
【解析】利用全称量词命题的否定变换形式即可求解.
【详解】 的否定是 ， 的否定是 ，
故“ ， ”的否定是“ ， ”，
【详解】(1) ，
，
（2）， ,
，
，
当 时，当且仅当 时， 取最小值 ，解得 ；
当 时，当且仅当 时， 取最小值 ，解得 （舍）；
当 时，当且仅当 时， 取最小值 ，解得 （舍去），
综上所述， .
【点睛】本题主要考查求平面向量的数量积，向量的模，以及由函数的最值求参数的问题，熟记平面向量数量积的坐标表示，向量模的坐标表示，以及三角函数的性质即可，属于常考题型.
【解析】 详解】若A′C⊥BD，又BD⊥CD，
则BD⊥平面A′CD，则BD⊥A′D，显然不可能，故(1)错误.
因为BA′⊥A′D，BA′⊥CD，故BA′⊥平面A′CD，
所以BA′⊥A′C，所以∠BA′C=90°，故(2)正确.
因为平面A′BD⊥平面BCD，BD⊥CD，
所以CD⊥平面A′BD，CA′与平面A′BD所成的角为∠CA′D，
对于D， 的定义域为 ，而 的定义域是R，两个的数的定义域不相同，所以不是同一个函数.
故选：B.
3、B
【解析】本题首先可以通过图像得出函数的周期，然后通过函数周期得出 的值，再然后通过函数过点 求出 的值，最后将 带入函数解析式即可得出结果
【详解】因为由图像可知 ，解得 ，
所以 ， ，
因为由图像可知函数过点 ，
上海市高一上学期期末数学试题(解析版)
一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）1. 函数__________．()f x =【答案】1[,)2+∞【解析】【详解】依题意，. 1210,2x x -≥≥2. 直角坐标平面上由第二象限所有点组成的集合用描述法可以表示为_____________． 【答案】 (){},0,0,R x y x y y ∈【解析】【分析】根据给定条件，利用集合的描述法写出第二象限的点集作答. 【详解】依题意，第二象限所有点组成的集合是. (){},0,0,R x y x y y ∈故答案为： (){},0,0,R x y x yy ∈3. 集合，，若，则_____________．{}2,3x A ={},B x y ={}3A B ⋂=A B ⋃=【答案】{}1,2,3【解析】【分析】根据交集运算得出.,x y 【详解】若，则，，所以，所以．{}3A B ⋂=33x =3y =1x ={}1,2,3A B = 故答案为：{}1,2,34. 已知幂函数的图像经过点，则_____________．()y f x =()4,2()3f =【解析】【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，再求出函数值作答.()f x 【详解】依题意，设函数，且为常数，则有，解得，即()f x x α=R α∈(4)42f α==12α=12()f x x =，所以.(3)f =5. 已知方程的两个根为，则_____________．220x x +-=12,x x 221221x x x x +=【答案】2【解析】【分析】根据给定条件，利用韦达定理计算作答.【详解】显然方程有两个实根，它们为，则，220x x +-=12,x x 12121,2x x x x +=-=-所以． ()()2212211212212x x x x x x x x +=+=-⨯-=故答案为：26. 用反证法证明命题：“设x ，．若，则或”吋，假设的内容应该是R y ∈2x y +>1x >1y >_____________．【答案】且1x ≤1y ≤【解析】【分析】根据给定条件，写出已知命题结论的否定作答.【详解】命题若，则或”的结论是“或”，其否定为“且”， 2x y +>1x >1y >1x >1y >1x ≤1y ≤所以假设的内容应该是：且.1x ≤1y ≤故答案为：且1x ≤1y ≤7. 已知函数在区间上是严格减函数，则实数a 的取值范围是_____________．()224f x x ax =-+[]1,2【答案】[)2,+∞【解析】【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性求解作答.【详解】函数在上是严格减函数，依题意，， ()224f x x ax =-+(,]a -∞2a ≥所以实数a 的取值范围是.[)2,+∞故答案为：[)2,+∞8. 若关于x 的不等式的解集是R ，则实数k 的取值范围是______． ()2140x k x +-+>【答案】(3,5)-【解析】【分析】根据不等式的解集是R ，可得，解不等式可得答案. ()2140x k x +-+>2(1)440k ∆=--⨯<【详解】关于x 的不等式的解集是R ， ()2140x k x +-+>则方程的判别式 ,解得， ()2140x k x +-+=2(1)440k ∆=--⨯<35k -<<即实数k 的取值范围是，(3,5)-故答案为：(3,5)-9. 已知偶函数，，且当时，，则_____________．()y f x =x ∈R 0x ≥()3221x f x x =+-()2f -=【答案】19【解析】【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义直接计算作答.【详解】R 上的偶函数，当时，， ()y f x =0x ≥()3221xf x x =+-所以. ()()3222222119f f -==⨯+-=故答案为：1910. 若则的最小值为_________.log 41,a b =-a b +【答案】1【解析】【详解】试题分析：由得， log 41,a b =-104a b =>所以（当且仅当即时，等号成立） 114a b b b +=+≥=14b b =12b =所以答案应填1.考点：1、对数的运算性质；2、基本不等式.11. 甲、乙两人解关于x 的不等式，甲写错了常数b ，得到的解集为，乙写错了常20x bx c ++<()3,2-数c ，得到的解集为．那么原不等式的解集为_____________．()3,4-【答案】()2,3-【解析】【分析】根据给定条件，求出常数，再解一元二次不等式作答.,b c 【详解】依题意，，，即，326c =-⨯=-341b -=-+=1b =-因此不等式为：，解得，20x bx c ++<260x x --<23x -<<所以原不等式的解集为． ()2,3-故答案为：()2,3-12. 已知函数的定义域为D ，对于D 中任意给定的实数x ，都有，，且()y f x =()0f x >x D -∈．则下列3个命题中是真命题的有_____________（填写所有的真命题序号）．()f x -⋅()1f x =①若，则；0D ∈()01f =②若当时，取得最大值5，则当时，取得最小值； 3x =()f x 3x =-()f x 15③若在区间上是严格增函数，则在区间上是严格减函数．()f x ()0,∞+()f x (),0∞-【答案】①②【解析】【分析】根据给定条件，逐一验证各个命题在条件被满足时，结论是否成立作答.【详解】对于①，，有，则，又，所以，①0D ∈0D -∈2[(0)](0)(0)1f f f =-⋅=(0)0f >()01f =正确；对于②，依题意，，，x D ∀∈0()(3)5f x f <≤=则，，即当时，取得最小值，②正确； x D -∈11(3)(3)()(3)()5(3)f f f x f f x f -⋅-=≥==-3x =-()f x 15对于③，，有，则，依题意，在上是严格减函数， (,0)x ∈-∞(0,)x -∈+∞1()()f x f x =-()f x -(,0)-∞因此在上是严格增函数，即函数在上是严格增函数，③错误， 1()f x -(,0)-∞()f x (,0)-∞所以3个命题中是真命题的有①②.故答案为：①②二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题）13. 已知a >0>b ，则下列不等式一定成立的是（ ） A. a 2<－ab B. |a |<|b |C. D. 11a b >1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】【分析】由特殊值法可以排除选项A,B,D ，由指数函数的单调性可知选项C 正确.【详解】法一：当a ＝1，b ＝－1时，满足a >0>b ，此时a 2＝－ab ，|a|＝|b|，，所以A ，B ，1122a b ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 不一定成立．因为a >0>b ，所以b －a<0，ab <0，所以，所以一定成立，故选110b a a b ab --=>11a b >C. 法二：因为a >0>b ，所以，所以一定成立， 110a b >>11a b>故选：C.【点睛】对于不等式的判定，我们常取特殊值排除法和不等式的性质进行判断，另外对于指数式，对数式，等式子的大小比较，我们也常用函数的单调性．14. 函数的零点所在的区间可以是（ ） ()357f x x x =+-A.B. C. D.()0,1()1,2()2,3()3,4【答案】B【解析】 【分析】利用零点存在性定理，可得答案.【详解】，，，()070f =-<()115710f =+-=-<()28107110f =+-=>，，()327157350f =+-=>()464207770f =+-=>由，则函数的零点存在的区间可以是，()()120f f <()f x ()1,2故选：B.15. “”是“关于的不等式的解集为”的（ ）0a =x 21ax b ->∅A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据“关于的不等式的解集为”求得的范围，从而可判断两个条件之间的关系.x 21ax b ->∅a 【详解】解：关于的不等式的解集为，当时，不等式为，解集为，符合x 21ax b ->∅0a =21b ->∅题意；当时，不等式化为，则，不符合题意；当时，不等式化为0a >21ax b >+21b x a +>a<0，则，不符合题意；综上， 21ax b >+21b x a +<0a =所以“”是“关于的不等式的解集为”的充要条件.0a =x 21ax b ->∅故选：C .16. 设集合，，，{}21|10P x x ax =++>{}22|20P x x ax =++>{}21|0Q x x x b =++>其中，给出下列两个命题：命题：对任意的，是的子集；命{}22|20Q x x x b =++>,a b ∈R 1q a 1P 2P 题：对任意的，不是的子集．下列说法正确的是（ ）2q b 1Q 2Q A. 命题是真命题，命题是假命题1q 2q B. 命题是假命题，命题是真命题1q 2q C. 命题、都是真命题1q 2q D. 命题、都是假命题1q 2q 【答案】A【解析】【分析】根据不等式的特征，可判断命题，利用判别式，可得集合、的关系，从而判断命题.1q 1Q 2Q 2q 【详解】由于，即时，一定成立，故是的22211x ax x ax ++=+++210x ax ++>220x ax ++>1P 2P 子集，因此命题是真命题.1q 令，； 20x x b ++=114104b b ∆=-⨯⨯<⇒>令，.从而可知，当时，，此时，是的220x x b ++=44101b b ∆=-⨯⨯<⇒>1b >12Q Q R ==1Q 2Q 子集，故命题是假命题.2q 故选：A三、解答题（本大题满分52分，本大题共有4题）17. 解下列不等式：（1）； 212302x x -+-≤（2）. 5331x x +-≤【答案】（1）；（2）. ⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭[3,1)-【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，直接求解即可；（2）根据分式不等式的解法，等价于，再求解即可. 5331x x +-≤(26)(1)010x x x +-≤⎧⎨-≠⎩【详解】（1）由可得： ， 212302x x -+-≤20461x x ≤-+解得：， x x ≥故解集为： ⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ （2）由化简为：， 5331x x +-≤531x x +--3≤0即，等价于， 261x x +-≤0(26)(1)010x x x +-≤⎧⎨-≠⎩解得，故解集为.31x -≤<[3,1)-18. 已知全集，集合，．U =R []2,10A =-{}2B x x m =-≤（1）若，求；10m =A B （2）若，求实数m 的取值范围；A B ⋂=∅（3）若“”是“”的必要非充分条件，求实数m 的取值范围．x A ∈x B ∈【答案】（1）；()()212,-∞-+∞ （2）；()()212,-∞-+∞ （3）.[]0,8【解析】【分析】（1）把代入，求出集合B ，再利用并集、补集的定义求解作答.10m =（2）化简集合B ，利用交集的结果列出不等式，求解作答.（3）利用必要不充分条件的意义，结合集合的包含关系求解作答.【小问1详解】当时，，则，10m ={}[]28,12B x x m =-≤=[]2,12A B =- 所以.()()212,A B =-∞-+∞ 【小问2详解】 ，{}[]22,2B x x m m m =-≤=-+因为，则或，解得或，A B ⋂=∅210m ->22m +<-12m >4m <-所以m 的取值范围为．()()212,-∞-+∞ 【小问3详解】因为“”是“”的必要不充分条件，则有，x A ∈x B ∈B A ⊂由（2）知，或，解得或，因此， 21022m m +≤⎧⎨-+>-⎩21022m m +<⎧⎨-+≥-⎩08m <≤08m ≤<08m ≤≤所以实数m 的取值范围是.[]0,819. 设常数，函数． 0a ≥()22x x a f x a+=-（1）若，判断函数在区间上的单调性，并说明理由；2a =()y f x =[)2,+∞（2）根据a 的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．()y f x =【答案】（1）函数在区间上是严格减函数，理由见解析()y f x =[)2,+∞（2）具体见解析【解析】【分析】（1）由定义结合指数函数的单调性得出单调性；()y f x =（2）分类讨论的值，结合奇偶性的定义判断即可.a 【小问1详解】 当，， 2a =()241222x x x a f x a +==+--任取，有，所以 122x x ≤<1202222x x <-<-12442222x x >--所以， ()()12f x f x >所以函数在区间上是严格减函数()y f x =[)2,+∞【小问2详解】①当时，，定义域为，故函数是偶函数；0a =()()1R f x x =∈x ∈R ()y f x =②当时，，定义域为， 1a =()2121x x f x +=-()(),00,∞-+∞U ，故函数为奇函数； ()()21212121x x x x f x f x --++-==-=---()y f x =③当且时，定义域为关于原点不对称，0a >1a ≠()()22,log log ,a a -∞+∞ 故函数既不是奇函数，也不是偶函数，()y f x =所以当时，函数是偶函数，当时，函数是奇函数，当且时，0a =()y f x =1a =()y f x =0a >1a ≠函数是非奇非偶函数.()y f x =20. 某公司拟投资开发一种新能源产品，估计公司能获取不低于100万元且不高于1600万元的投资收益．该公司对科研课题组的奖励方案有如下3条要求：①奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加；②奖金不低于10万元且不超过200万元；③奖金不超过投资收益的20%．（1）设奖励方案函数模型为，我们可以用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型，比如方案()y f x =要求③“奖金不超过投资收益的20%”可以表述为：“恒成立”．请你用用数学语言表述另外两条()5x f x ≤奖励方案；（2）判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由； ()3030x f x =+（3）已知函数符合公司奖励方案函数模型要求．在该奖励方案函数模型前提下，科研()45g x =-课题组最多可以获取多少奖金？【答案】（1）答案见解析；（2）不符合；（3）195万元.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用函数单调性、值域的意义写出方案的前两个要求作答.（2）根据给定函数，逐一判断方案中的3个要求是否都满足作答.（3）根据给定的函数模型，求出a 的取值范围，再求出最多可以获取的奖金作答.【小问1详解】“奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加”可以表述为：当时，[100,1600]x ∈是的增函数；()y f x =x “奖金不低于10万元且不超过200万元”表述为：函数值.[10,200]y ∈【小问2详解】函数在上是增函数，， ()3030x f x =+[100,1600]x ∈100250(100),(1600)33f f ==函数的值域， ()f x 100250[,][10,200]33⊆由得：，解得，因此对，不成立， ()5x f x ≤30305x x +≤180x ≥[100,180)x ∈()5x f x ≤即对，不等式不恒成立， [100,1600]x ∀∈()5x f x ≤所以函数不符合公司奖励方案函数模型的要求. ()3030x f x =+【小问3详解】因为函数符合公司奖励方案函数模型要求，则函数在上是增函数，()45g x =-()g x [100,1600]x ∈有，0a >，，解得， min ()(100)104510g x g a ==-≥max ()(1600)4045200g x g a ==-≤114928a ≤≤由，不等式恒成立，得， [100,1600]x ∀∈()5x g x ≤4555x a ≤⇔≤，即时取等号， [10,40]30≥==225x =于是，解得，从而， 530a ≤6a ≤1162a ≤≤因此当，时，，当且仅当且1162a ≤≤[100,1600]x ∈()4545195g x ≤-≤-=6a =时取等号，且，1600x =195200<所以在该奖励方案函数模型前提下，科研课题组最多可以获取195万元奖金.。
2022-2023年上海市虹口区高一数学上学期期末试卷及答案
2022-2023年上海市虹口区高一数学上学期期末试卷及答案一、积累应用 19分1. 按要求填空。
（1）___________，到中流击水，浪遏飞舟？（毛泽东《沁园春·长沙》）（2）___________，失向来之烟霞。
（李白《梦游天姥吟留别》）（3）___________，渚清沙白鸟飞回。
（杜甫《登高》）（4）江山如画，___________。
（苏轼《念奴娇·赤壁怀古》）（5）蟹六跪而二螯，非蛇鳝之穴无可寄托者，___________。
（《荀子·劝学》）（6）___________，而卒莫消长也。
（苏轼《赤壁赋》）【答案】①. 曾记否②. 惟觉时之枕席③. 风急天高猿啸哀④. 一时多少豪杰⑤. 用心躁也⑥. 盈虚者如彼2. 按要求选择。
（1）学校诗社刚成立，李老师想送给社员们一副对联表示鼓励和期望，以下选项中最合适的一联是（）A. 男儿志兮天下事，但有进兮不有止。
B. 借问别来太瘦生，总为从前作诗苦。
C. 别裁伪体亲风雅，转益多师是汝师。
D. 十岁裁诗走马成，冷灰残烛动离情。
（2）将下列编号的语句依次填入语段空白处，语意连贯的一项是（）为更好发挥政府投资资金对社会投资的引导带动作用，应针对不同领域的具体特征选择适宜的政府投资方式。
_______，_______，_______，_______。
在外部性领域，因为某些产业存在一定的外部性，需要政府采取投资补助等方式，有效引导市场投资。
①无法形成有效市场或市场机制不充分②市场失灵主要体现为公共产品的受益者不可识别或可识别度低③需要政府履行全部或部分公共投资的职能④在公共产品领域A. ②④①③B. ④②③①C. ④②①③D. ②④①③【答案】（1）C （2）C3. 写出下列加点词在句中的意思。
（1）声非加疾也，而闻者彰（《劝学》）（2）假舆马者，非利足也，而致千里（《劝学》）（3）巫医乐师百工之人，君子不齿（《师说》）（4）余嘉其能行古道（《师说》）（5）凌万顷之茫然（《赤壁赋》）（6）方其破荆州，下江陵（《赤壁赋》）（7）其远古刻尽漫失（《登泰山记》）【答案】（1）清楚（2）到达（3）并列，排列（4）赞许（5）越过（6）攻占（7）模糊4. 以下是虚词“以”的部分义项，请从下列选项中分别为其选择恰当的例句。
2021-2022学年上海市虹口区高一上学期期末数学复习卷 (2)(含解析)
2021-2022学年上海市虹口区高一上学期期末数学复习卷 (2)一、单选题（本大题共5小题，共15.0分）1. 若a >b ，则下列不等式一定成立的是( )A. 1a <1bB. a 5>b 5C. ac 2>bc 2D. |a|>|b| 2. 已知条件p ：|x +1|>2，条件q ：x 2−5x +6<0，则p 是q 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 3. 某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了5次涨停(每次上涨10%)，又经历了5次跌停(每次下跌10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A. 略有盈利B. 略有亏损C. 没有盈利也没有亏损D. 无法判断盈亏情况 4. 函数f(x)=log 3x +2x −8的零点位于区间( )A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (5,6) 5. 设函数f(x)是偶函数，且当x >0时，f(x)=2x+1，则在区间[−4,−2]内，函数f(x)( )A. 单调递增，最大值25B. 单调递减，最大值23C. 单调递增，最小值23D. 单调递增，最大值23 二、单空题（本大题共14小题，共42.0分）6.方程组{x +2y =42x −y =3的解集为 ． 7. 下列五个命题： ①命题“若xy =1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若xy =0，则x =0且y =0”的逆否命题．④椭圆x 2m+1+y 2m =1的两个焦点为F 1、F 2，P 为椭圆上的动点，△PF 1F 2的面积的最大值2，则m 的值为4．其中是真命题的是______(填上你认为正确的命题的序号)．8.函数y=x+1，x∈{1,2,3,4}的值域为______．9.已知函数下列命题是真命题的是__________(只填命题序号)．①函数是偶函数；②对任意；③对任意；④对任意；⑤若存在使得，则x，y都为无理数．10.已知关于x的不等式|x+2|+|x−2|≤a2解集为空集，则a的取值范围为______ ．11.下列几个命题，正确的有______ .(填正确命题的序号)①若方程x2+(a−3)x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a<0；②若函数y=f(x+1)为偶函数，则函数y=f(x)的图象关于直线x=−1成轴对称；③函数f(x)=log13(6−x−x2)的单调递增区间是[−12,2)．12.已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，且其定义域为[a−1,2a]，则y=f(x)的值域为______．13.若log m n=−1，则m+2n的最小值为______ ．14.16.函数在区间[−t,t](t>0)上的最大值与最小值的和是．15.函数y=√ln√2x−112+x的定义域是______ ．16.已知0<α<π2，设函数f(x)=2014x+1+20122014x+1+sinx(x∈[−α,α])的最大值为P，最小值为Q，则P+Q=______ ．17.已知函数f(x)的定义域为R，若存在常数k>0，使|f(x)|≤k2015|x|对一切实数x均成立，则称f(x)为“海宝”函数．给出下列函数：①f(x)=x2；②f(x)=sinx+cosx；③f(x)=xx2+x+1；④f(x)=3x+1其中f(x)是“海宝”函数的序号为______ ．18.定义在R上的奇函数f(x)满足f(−x)=f(x+3)，f(2015)=1，f(1)=______ ．19.若函数f(x)={log14(x+1)(x≥0)2x−1(x<0),则f(x)≤−12的解集为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）20.已知f(x)=2lnx−ax2+ax2．)>0；(1)当0<a<1时，求证：f(a2(2)若f(x)有三个零点时，求a的范围．21.已知f(x)=x+1．x−1(1)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)求证：函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递减；(3)判断函数g(x)=f(x)−x2的零点个数．(只需写出结论)22.已知函数f(x)=3|x|+|3−x|．(Ⅰ)求f(x)的最小值；(Ⅱ)若不等式f(x)<5的解集为M，且a，b∈M，证明：ab>a+b−1．23.若函数(x≥0)的反函数是f−1(x)，则不等式f−1(x)>f(x)的解集为_______．24.已知函数f(x)=x2+(2a−1)x−3．(1)当a=2，x∈[−2,3]时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在[−1,3]上的最大值为1，求实数a的值．25.(本题满分8分)已知函数。
高一上期末数学参考答案(2021.01) (1)
1 2 ln e 2 log 3 log 4 2 3 15 2 log 3 22 log 32 20 lg p tk 20 lg 0.00022 10 520 l g p t 20 lg k p t2 10 5 100 ， 20lg10 20dB2020-2021 高一上期数学参考答案一、选择题（60 分）AACAD,CCBDB,BD二、填空题（20 分）13. - 7 . 14. 1 15.1 16. m < -1或者 2 < m < 313 4 3 2三、解答题（70 分）17. 由锐角α , β 满 足 cos α = 2 5 ,sin β = 10，5 10 ∴sin α = 5 , cos β = 3 105 10 …………….2 分cos(α + β ) = 2 5 ⨯ 3 10 - 5 ⨯ 10 = 50 = 2 …………….6 分5 10 5 1010 2α + β ∈ (0,π ),∴α + β = π …………….10 分418. （1） tan 43sin 2 c os tan 25cos sin 5 tan 4 2…….3 分3 2 …….6 分5 4 193（2） 25 …….9 分 1…….12 分5 19.（1） S …….3 分 所以两人小声交谈时声压级为20dB …….6 分（2） S …….8 分[0, ] 2x 2 6 , 7 6 6 lg p t 2 10 5 5, p t2 10 5 105 , p2因此该学校礼堂此时声压的有效值为 2 …….12 分20. f (x ) log (1 x ) log (1 1 x 0x ) .由 x ( 1,1) …….2 分2 2（1） 1 x 0x f (x ) 为偶函数 …….5 分（2） x 设 (0,1), f (x ) 单减， x ( 1, 0), f (x ) 单増所以 x (0,1), f (x ) 单减，…….9 分由偶函数的性质得 x ( 1, 0), f (x ) 单増. …….10 分因此函数在区间[ 2 ,1) 上的值域 2 ， 1 …….12 分21. f (x ) 3 sin 2x cos 2x m 1 2sin(2x 6 ) m 1 ,x …….2 分（1） f (x )max f ( ) 12 m 3 6, m 3 …….4 分f (x )min f ( ) 4 1=3…….6 分2（2） f (x ) f (x 1 ) f (x 2 ) log 2 11 x21 x2 2f (x 1 ) f (x 2 )f ( x ) f (x ) log 2 (1 x ) 2( 1 ,x 1 x 2 1, 1 x 1 1 x 2 2 2 011 x 21 x2 122sin(2x 6 ) 4tg (x ) x [0, ] …….8 分 2 ， 2g (x ) t 0，t 2g (x )=4sin(2x ) …….10 分 3在 x [0, ] 时， x 的方程2g (x ) t 2 0 有两个不同实数解所以2 22. （1） 若 f (x ) …….12 分即 1 1=1 x 2x 1 0 x +1 x 0 00 0而 x 2 x 1 0, 3 0 无解0 0f (x ) x 1 不在 M 中 …….6 分（2） 由 g (x 1) g (x ) g (1) 得设h (x ) 2x 1 x 1, h (0) 1 0, h (1) 1 02存在 x 0 (0,1)使h (x 0 ) 0，即满足（f x 0 +1） （f x 0）=（f 1） M . …….12 分2x 1 (x 1)2 2x x 2 3, 2x 1 x 1 0 ， 2sin(2x 2 6 ) 2sin(2x 3 ) 2x 3 , 23 3 3 t4 x 1 M x 0 A 满足（f x 0 +1） （f x 0）=（f 1） g (x )。
2021-2022学年上海虹口区实验中学高一数学文上学期期末试卷含解析
2021-2022学年上海虹口区实验中学高一数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. 1B. 2C.D.参考答案：D【分析】根据给定的几何体的三视图可得，该几何体表示一个三棱锥，其中三棱锥的底面为底边长为2，高为2的等腰三角形，三棱锥的高为2，利用锥体的体积公式，即可求解.【详解】由题意，根据给定的几何体的三视图可得，该几何体表示一个三棱锥，其中三棱锥的底面为底边长为2，高为2的等腰三角形，三棱锥的高为2，所以该三棱锥的体积为.故选：D.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.2. 函数的定义域是（）A. RB. {x|x＞2}C. {x|x≥1}D. {x|x≥1且x≠2}参考答案：D【分析】由题得，解不等式即得解.【详解】由题得，解之得且，所以函数的定义域为{x|x≥1且x≠2}.故选：D【点睛】本题主要考查求具体函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3. 用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1，当x=0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（）A．6，6 B．5，6 C．5，5 D．6，5参考答案：A【考点】E3：排序问题与算法的多样性．【分析】把所给的多项式写成关于x的一次函数的形式，依次写出，得到最后结果，从里到外进行运算，结果有6次乘法运算，有6次加法运算，本题也可以不分解，直接从最高次项的次数直接得到结果．【解答】解：∵f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1=（3x5+4x4+5x3+6x2+7x+8）x+1=[（3x4+4x3+5x2+6x+7）x+8]+1={{{[（3x+4）x+5]x+6}x+7}x+8}x+1∴需要做6次加法运算，6次乘法运算，故选A．4. 计算sin105°=（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】诱导公式一．【分析】利用105°=90°+15°，15°=45°﹣30°化简三角函数使之成为特殊角的三角函数，然后求之．【解答】解：sin105°=sin（90°+15°）=cos15°=cos（45°﹣30°）=（cos45°cos30°+sin45°sin30°）=．故选D．5. 已知不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（）.A. B. C. D.参考答案：A略6. 的值等于A． B．C． D．参考答案：A略7. 设x、y均为正实数，且，则xy的最小值为（）A．4 B．C．9 D．16参考答案：D【考点】7F：基本不等式．【分析】本题基本不等式中的一个常见题型，需要去掉分母，再利用基本不等式转化为关于xy的不等式，解出最小值．【解答】解：由，可化为xy=8+x+y，∵x，y均为正实数，∴xy=8+x+y（当且仅当x=y等号成立）即xy﹣2﹣8≥0，可解得≥4，即xy≥16故xy的最小值为16．故应选D．【点评】解决本题的关键是先变形，再利用基本不等式来构造一个新的不等式．8. 若直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的斜率为()A．1B．－1 C．－2或1D．－1或2参考答案：D9. 把长为3的线段随机分成两段，则其中一段长度大于2的概率是（）A. B. C.D.参考答案：C10. 已知θ∈[，π]，则=（）A．sinθ﹣cosθ B．cosθ﹣sinθC．±（sinθ﹣cosθ）D．sinθ+cosθ参考答案：A【考点】三角函数的化简求值．【分析】直接由三角函数的诱导公式化简结合已知条件计算即可得答案．【解答】解：由，===|sinθ﹣cosθ|=sinθ﹣cosθ，故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设函数对任意的都满足，且,则________()参考答案：略12. 满足48﹣x＞4﹣2x的x的取值集合是．参考答案：（﹣8，+∞）【考点】指、对数不等式的解法．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；不等式的解法及应用．【分析】由指数函数的性质化指数不等式为一元一次不等式求解．【解答】解：由48﹣x＞4﹣2x，得8﹣x＞﹣2x，即x＞﹣8．∴满足48﹣x＞4﹣2x的x的取值集合是（﹣8，+∞）．故答案为：（﹣8，+∞）．【点评】本题考查指数不等式的解法，考查了指数函数的性质，是基础题．13. 设A是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是A 的一个“孤立元”，给定，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个.参考答案：10略14. 数列1，1+2，1+2+4，，1+2+4++,的前项和= 。