转化与化归思想

转化与化归思想

转化与化归思想

就是把那些待解决或难解决的问题，通过某种手段，使之转化为一类已解决或易解决的问题，最终使原问题获解．使用化归思想的原则是：化难为易、化生为熟、化繁为简、化未知为已知．

转化与化归思想高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，它几乎可以渗透到所有的数学内容和解题过程中. 类型一 直接转化

【典例1】 已知在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n

a n ＋2，求数列{a n }的通项公式．

【答题模板】

【解析】 ∵a n ＋1＝2a n a n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1

a n ＋1－1a n ＝1

2.

又a 1＝1，则1a 1

＝1，∴{1a n

}是以1为首项，1

2为公差的等差数列．

∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12，∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．

【对点练1】 求下列函数的值域：

(1)y ＝sin x ＋cos x ；(2)y ＝sin 2x －cos x ＋1； (3)y ＝cos x

2cos x ＋1；(4)y ＝1＋sin x 3＋cos x

.

【解析】 (1)∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π

4)，∴函数的值域为[－2，2]． (2)∵y ＝sin 2x －cos x ＋1

＝2－cos 2x －cos x ＝－(cos x ＋12)2＋94，∴函数的值域为[0，9

4]． (3)由y ＝cos x 2cos x ＋1，得cos x ＝y

1－2y .

∵|cos x |≤1，

∴解不等式|y 1－2y |≤1，得y ≤13或y ≥1.∴函数的值域为(－∞，1

3]∪[1，＋∞)．

(4)由y ＝1＋sin x

3＋cos x ，得sin x －y cos x ＝3y －1，

即1＋y 2·sin(x －φ)＝3y －1.

∴sin(x －φ)＝3y －1

1＋y 2

.∵|sin(x －φ)|≤1，

∴|3y －11＋y 2

|≤1.平方化简得y ·(4y －3)≤0.

∴0≤y ≤34，即函数值域为[0，34]．

类型二 换元法

【典例2】 求函数y ＝(4－3sin x )(4－3cos x )的最小值． 【答题模板】

【解析】 y ＝16－12(sin x ＋cos x )＋9sin x cos x ，令t ＝sin x ＋cos x ，则t ∈[－2，2]且sin x cos x ＝t 2－12.

∴y ＝16－12t ＋9×t 2－12＝12(9t 2

－24t ＋23)． 故当t ＝43时，y min ＝7

2.

【对点练2】 (2015·衡水调研)已知x ＋y ＝－1，且x ，y 都是负数，求xy ＋1

xy 的最值． 【解析】 设x ＝－sin 2α(sin 2α≠0)，y ＝－cos 2α(cos 2α≠0)，则xy ＋1xy ＝sin 2αcos 2α＋1sin 2αcos 2α＝14sin 22α＋4sin 22α＝14(sin 22α＋16sin 22α)． ∵sin 22α＋16

sin 22α在sin 22α∈(0,1]上是减函数，

∴sin 22α＝1时，取得最小值，∴xy ＋1xy 的最小值为14(1＋161)＝17

4.

【典例3】 若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________． 【答题模板】 可采用换元法，令t ＝3x ，将问题转化为关于t 的方程有正解进行解决． 【解析】 设t ＝3x ，则原命题等价于关于t 的方程 t 2＋(4＋a )t ＋4＝0有正解，分离变量a 得

a ＋4＝－(t ＋4t )，∵t >0，∴－(t ＋4

t )≤－4.∴a ≤－8，即实数a 的取值范围是(－∞，－8]． 【对点练3】 设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________． 【解析】 令2x ＋y ＝t ，则y ＝t －2x .

则4x 2＋y 2＋xy ＝1变形为6x 2－3tx ＋t 2－1＝0. Δ＝9t 2－4·6·(t 2－1)≥0，t 2≤8

5.

∴－2105≤t ≤2105，即2x ＋y 的最大值是2105.

类型三 数形结合法

【典例4】 求函数f (x )＝2－sin x

2＋cos x 的值域．

【解析】 函数f (x )＝2－sin x

2＋cos x ，可看作点(2,2)，(－cos x ，sin x )两点连线的斜率．

点(－cos x ，sin x )的轨迹为x 2＋y 2＝1.

函数值域即为(2,2)与单位圆x 2＋y 2＝1上点连线斜率的范围，由图可知，过(2,2)且与单位圆相切的直线斜率存在，不妨设为k .

∴切线方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋2＝0.

∴满足|2－2k |1＋k 2

＝1，解之得k ＝4±73.∴函数f (x )的值域为[4－73，4＋73]． 【对点练4】 设f (x )＝1＋x 2，求证：对于任意实数a ，b ，a ≠b ，都有|f (a )－f (b )|<|a －b |.

【解析】 设A (x 1,1)，B (x 2,1)，

则|OA |＝1＋x 21，|OB |＝1＋x 2

2，|AB |＝|x 1－x 2|.

在△AOB 中，||OA |－|OB ||<|AB |，即有|1＋x 21－1＋x 2

2|<|x 1－x 2|，所以|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，即|f (a )－f (b )|<|a －b |. 类型四 构造法

【典例5】 在三棱锥P －ABC 中，PA ＝BC ＝234，PB ＝AC ＝10，PC ＝AB ＝241，则三棱锥P －ABC 的体积为________．

【答题模板】 用常规方法利用三棱锥的体积公式求解体积时，无法求出三棱锥的高．但若换个角度来思考，注意到三棱锥的三对棱两两相等，我们可以构造一个特定的长方体，将问题转化为长方体中的某个问题．

【解析】 如图所示，把三棱锥P －ABC 补成一个长方形AEBG －FPDC ，易知三棱锥P －ABC 的各棱分别是长方体的面对角线，不妨令PE ＝x ，EB ＝y ，EA ＝z ，则由已知有：