转化与化归思想

转化与化归思想
转化与化归思想
就是把那些待解决或难解决的问题，通过某种手段，使之转化为一类已解决或易解决的问题，最终使原问题获解．使用化归思想的原则是：化难为易、化生为熟、化繁为简、化未知为已知．
转化与化归思想高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，它几乎可以渗透到所有的数学内容和解题过程中. 类型一 直接转化
【典例1】 已知在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n
a n ＋2，求数列{a n }的通项公式．
【答题模板】
【解析】 ∵a n ＋1＝2a n a n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1
a n ＋1－1a n ＝1
2.
又a 1＝1，则1a 1
＝1，∴{1a n
}是以1为首项，1
2为公差的等差数列．
∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12，∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．
【对点练1】 求下列函数的值域：
(1)y ＝sin x ＋cos x ；(2)y ＝sin 2x －cos x ＋1； (3)y ＝cos x
2cos x ＋1；(4)y ＝1＋sin x 3＋cos x
.
【解析】 (1)∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π
4)，∴函数的值域为[－2，2]． (2)∵y ＝sin 2x －cos x ＋1
＝2－cos 2x －cos x ＝－(cos x ＋12)2＋94，∴函数的值域为[0，9
4]． (3)由y ＝cos x 2cos x ＋1，得cos x ＝y
1－2y .
∵|cos x |≤1，
∴解不等式|y 1－2y |≤1，得y ≤13或y ≥1.∴函数的值域为(－∞，1
3]∪[1，＋∞)．
(4)由y ＝1＋sin x
3＋cos x ，得sin x －y cos x ＝3y －1，
即1＋y 2·sin(x －φ)＝3y －1.
∴sin(x －φ)＝3y －1
1＋y 2
.∵|sin(x －φ)|≤1，
∴|3y －11＋y 2
|≤1.平方化简得y ·(4y －3)≤0.
∴0≤y ≤34，即函数值域为[0，34]．
类型二 换元法
【典例2】 求函数y ＝(4－3sin x )(4－3cos x )的最小值． 【答题模板】
【解析】 y ＝16－12(sin x ＋cos x )＋9sin x cos x ，令t ＝sin x ＋cos x ，则t ∈[－2，2]且sin x cos x ＝t 2－12.
∴y ＝16－12t ＋9×t 2－12＝12(9t 2
－24t ＋23)． 故当t ＝43时，y min ＝7
2.
【对点练2】 (2015·衡水调研)已知x ＋y ＝－1，且x ，y 都是负数，求xy ＋1
xy 的最值． 【解析】 设x ＝－sin 2α(sin 2α≠0)，y ＝－cos 2α(cos 2α≠0)，则xy ＋1xy ＝sin 2αcos 2α＋1sin 2αcos 2α＝14sin 22α＋4sin 22α＝14(sin 22α＋16sin 22α)． ∵sin 22α＋16
sin 22α在sin 22α∈(0,1]上是减函数，
∴sin 22α＝1时，取得最小值，∴xy ＋1xy 的最小值为14(1＋161)＝17
4.
【典例3】 若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________． 【答题模板】 可采用换元法，令t ＝3x ，将问题转化为关于t 的方程有正解进行解决． 【解析】 设t ＝3x ，则原命题等价于关于t 的方程 t 2＋(4＋a )t ＋4＝0有正解，分离变量a 得
a ＋4＝－(t ＋4t )，∵t >0，∴－(t ＋4
t )≤－4.∴a ≤－8，即实数a 的取值范围是(－∞，－8]． 【对点练3】 设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________． 【解析】 令2x ＋y ＝t ，则y ＝t －2x .
则4x 2＋y 2＋xy ＝1变形为6x 2－3tx ＋t 2－1＝0. Δ＝9t 2－4·6·(t 2－1)≥0，t 2≤8
5.
∴－2105≤t ≤2105，即2x ＋y 的最大值是2105.
类型三 数形结合法
【典例4】 求函数f (x )＝2－sin x
2＋cos x 的值域．
【解析】 函数f (x )＝2－sin x
2＋cos x ，可看作点(2,2)，(－cos x ，sin x )两点连线的斜率．
点(－cos x ，sin x )的轨迹为x 2＋y 2＝1.
函数值域即为(2,2)与单位圆x 2＋y 2＝1上点连线斜率的范围，由图可知，过(2,2)且与单位圆相切的直线斜率存在，不妨设为k .
∴切线方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋2＝0.
∴满足|2－2k |1＋k 2
＝1，解之得k ＝4±73.∴函数f (x )的值域为[4－73，4＋73]． 【对点练4】 设f (x )＝1＋x 2，求证：对于任意实数a ，b ，a ≠b ，都有|f (a )－f (b )|<|a －b |.
【解析】 设A (x 1,1)，B (x 2,1)，
则|OA |＝1＋x 21，|OB |＝1＋x 2
2，|AB |＝|x 1－x 2|.
在△AOB 中，||OA |－|OB ||<|AB |，即有|1＋x 21－1＋x 2
2|<|x 1－x 2|，所以|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，即|f (a )－f (b )|<|a －b |. 类型四 构造法
【典例5】 在三棱锥P －ABC 中，PA ＝BC ＝234，PB ＝AC ＝10，PC ＝AB ＝241，则三棱锥P －ABC 的体积为________．
【答题模板】 用常规方法利用三棱锥的体积公式求解体积时，无法求出三棱锥的高．但若换个角度来思考，注意到三棱锥的三对棱两两相等，我们可以构造一个特定的长方体，将问题转化为长方体中的某个问题．
【解析】 如图所示，把三棱锥P －ABC 补成一个长方形AEBG －FPDC ，易知三棱锥P －ABC 的各棱分别是长方体的面对角线，不妨令PE ＝x ，EB ＝y ，EA ＝z ，则由已知有：
⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2
＝100，x 2＋z 2＝136，y 2＋z 2＝164，解得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝6，y ＝8，z ＝10.
所以V P －ABC ＝V AEBG －FPDC －V P －AEB －V C －ABG －V B －PDC －V A －FPC ＝V AEBG －FPDC －4V P －AEB ＝6×8×10－4×16×6×8×10＝160.
故所求三棱锥P －ABC 的体积为160.
【对点练5】 已知正三棱锥P －ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上，若PA ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．
【解析】先在一个正方体中找一个满足条件的正三棱锥，再利用正方体的性质解题．如图，满足题意的正三棱锥P －ABC 可以是正方体的一部分，其外接球的直径是正方体的体对角线，且面ABC 与体对角线的交点是体对角线的一个三等分点，所以球心到平面ABC 的距离等于体对角线长的16，故球心到截面ABC 的距离为16×23＝3
3. 类型七 参数法
【典例8】 已知直线l 过点A (2,3)且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于M ，N 两点，则当|AM |·|AN |最小时，直线l 的方程为________． 【解析】 设∠AMO 为θ，则θ∈(0，π
2)， ∴|AM |＝3sin θ，|AN |＝2
cos θ. ∴|AM |·|AN |＝6sin θ·cos θ＝12
sin2θ≥12. 当且仅当sin2θ＝1，即θ＝π
4时取“＝”号．
此时k l ＝－1，∴l 的方程为x ＋y －5＝0. 【对点练8】 (2015·北京东城联考)已知点P (3,4)与圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，A ，B 是圆C 上两
个动点，且|AB |＝23，则OP →·(OA →＋OB →)(O 为坐标原点)的取值范围是( ) A ．[3,9] B ．[1,11] C ．[6,18] D ．[2,22]
【解析】 设AB 的中点为D ，则OA →＋OB →＝2OD →
，因为|AB |＝23，所以|CD |＝1，故点D
在圆(x －2)2＋y 2＝1上，所以点D 的坐标为(2＋cos α，sin α)，故OP →·(OA →＋OB →)＝2OP →·OD →＝2(6
＋3cos α＋4sin α)＝2[6＋5sin(α＋φ)]，而2≤2[6＋5sin(α＋φ)]≤22，则OP →·(OA →＋OB →)的取值范围是[2,22]．。