无穷级数知识点汇总

无穷级数总结

无穷级数总结一、概念与性质1. 定义：对数列 u 1,u 2,L ,u n L ， u n 称为无穷级数， u n 称为一般项；若部分和 n1数列｛&｝有极限S ，即limS n S ，称级数收敛，否则称为发散.n2. 性质① 设常数 c 0 ，则 u n 与 cu n 有相同的敛散性；n1n1② 设有两个级数 u n 与 v n ，若 u n s ，v n，则 (u n v n ) s ；n1n1n1n1n1若 u n 收敛，v n 发散，则 (u n v n ) 发散；n1n1n1若 u n ，v n 均发散，则(u n v n ) 敛散性不确定；n1n1n1③ 添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；④ 设级数 u n 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．n1注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定. ⑤ 级数 u n 收敛的必要条件： lim u n 0 ；n1n注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；③若 u n 发散，则 lim u n 0 未必成立． n1 n 二、常数项级数审敛法 1. 正项级数及其审敛法① 定义：若 u n 0 ，则 u n 称为正项级数 .n1② 审敛法：i ) 充要条件：正项级数 u n 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界②若 lim u n0 ，则 u n 未必收敛；n1(ii ) 比较审敛法：设U n①与V n②都是正项级数，且U n %(n 1,2丄)，则若②n 1 n 1收敛则①收敛；若①发散则②发散•A.若②收敛，且存在自然数N，使得当n N时有u n kv n(k 0)成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数N，使得当n N时有u n kv n(k 0)成立，则①发散；1B.设U n为正项级数，若有p 1使得u n—p (n 1,2丄)，贝U U n收敛；若n 1 n n 11U n (n 1,2,L )，贝U U n 发散•n n 1C.极限形式：设U n①与v n②都是正项级数，若lim l(0 l )，则n 1 n 1 n V nU n与V n有相同的敛散性n 1 n 1注：常用的比较级数：a①几何级数：ar n1 1 r r 1n 1 发散r| 1②p级数：［收敛P 1时.n 1 np发冃攵P 1时，③调和级数：丄1 1 1发散.n 1 n 2 n(iii )比值判别法(达郎贝尔判别法)设a n是正项级数，若n 1①lim也r 1，则a n收敛；②lim也r 1，则a.发散.n a n n 1 n a n n 1注：若lim 也1，或lim ：恳1,推不出级数的敛散.例1与2，虽然佃乩1，nan n n 1 n n 1n n a.lim n a n 1，但丄发散，而 $收敛•n' n 1 n n 1 na n是正项级数，lim , a n ，若1，级数收敛,n(iv )根值判别法(柯西判别法)设若 1则级数发散.(v )极限审敛法：设U n 0，且lim n p u n l ，则①lim n p u n l 0且p 1，则级数u n 发nnn 1散；②如果p 1，而limn%. 1(0 l ),则其收敛.(书上P317-2- n(1))注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法•正项级数的比(根)值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件. 2. 交错级数及其审敛法①定义：设U n 0(n 1,2丄)，则 (1)n 1U n 称为交错级数•n 1②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数 (1)n1U n ，若U nn 1收敛.注：比较u n 与u n 1的大小的方法有三种: ① 比值法，即考察是否小于1；u n② 差值法，即考察u n u n 1是否大于0； ③由u n 找出一个连续可导函数f(x)，使u n f(n),(n 1,2,)考察f (x)是否小于0.3. 一般项级数的判别法： ①若u n 绝对收敛，则 u n 收敛.n 1n 1②若用比值法或根值法判定 |u n I 发散，则 u n 必发散.n 1n 1三、幕级数 1. 定义： a n x n称为幕级数•n 02. 收敛性① 阿贝尔定理：设幕级数 a n x n在X 。

高等数学无穷级数知识点总结

高等数学无穷级数知识点总结
无穷级数是高等数学中的一个重要内容，它涉及到很多重要的概念和定理。

以下是一些高等数学无穷级数的知识点总结:
1. 无穷级数的基本概念：无穷级数是指一个数列的项按一定规律相加而成的数列。

其中，无穷级数的定义域可以是实数集或复数集。

2. 无穷级数的分类：无穷级数可以分为数项级数和函数项级数两大类。

数项级数是指以常数项级数的形式表示的无穷级数，而函数项级数则是以函数项的形式表示的无穷级数。

3. 无穷级数的敛散性：无穷级数的敛散性是指级数是否收敛或发散。

如果一个无穷级数收敛，则称其为收敛级数，反之则称为发散级数。

4. 无穷级数的判别法：无穷级数的判别法是指判断一个无穷级数是否收敛的方法。

常用的判别法包括比较判别法、比值判别法、根值判别法和莱布尼兹判别法等。

5. 无穷级数的和应用：无穷级数在数学中有着广泛的应用，例如求和、积分、微积分等。

在实际应用中，无穷级数往往被用来求解各种问题。

6. 无穷级数的和函数：无穷级数的和函数是指级数的每一项相加得到的总和。

无穷级数的和函数具有很多重要的性质，例如连续性、可导性等。

7. 无穷级数的广义性质：无穷级数的广义性质是指关于无穷级数的一些扩展概念和定理。

例如，无穷级数的前 n 项和的广义性质、
无穷级数的广义收敛性等。

以上是高等数学无穷级数的一些重要知识点总结。

希望能对读者有所帮助。

(完整版)无穷级数整理

无穷级数整理一、数项级数（一）数项级数的基本性质1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .（即部分和数列收敛）3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散.4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变.5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv之间自某项以后成立着关系：存在常数0>c ，使),2,1( =≤n cv u n n ，那么（i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.推论：设两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，且自某项以后有nn n n v v u u 11++≤，那么（i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.（3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，若0lim >=∞→l v u nnn ，那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容）另外，若0=l ，则当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；若∞=l ，则当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.常用度量： ①等比级数：∑∞=0n nq，当1<q 时收敛，当1≥q 时发散；②p -级数：∑∞=11n p n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散(1=p 时称调和级数)； ③广义p -级数：()∑∞=2ln 1n pn n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散.④交错p -级数：∑∞=--111)1(n pn n ，当1>p 时绝对收敛，当10≤<p 时条件收敛. （4）达朗贝尔判别法的极限形式（商值法）：对于正项级数∑∞=1n n u ，当1lim1<=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 收敛；当1lim1>=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 发散；当1=r 或1=r 时需进一步判断. （5）柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正项级数∑∞=1n nu，设n n n u r ∞→=lim ，那么1<r 时此级数必为收敛，1>r 时发散，而当1=r 时需进一步判断. （6）柯西积分判别法：设∑∞=1n nu为正项级数，非负的连续函数)(x f 在区间),[+∞a 上单调下降，且自某项以后成立着关系：n n u u f =)(，则级数∑∞=1n n u 与积分⎰+∞)(dx x f 同敛散.2.任意项级数的理论与性质（1）绝对收敛与条件收敛：①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然； ②对于级数∑∞=1n nu，将它的所有正项保留而将负项换为0，组成一个正项级数∑∞=1n nv，其中2nn n u u v +=；将它的所有负项变号而将正项换为0，也组成一个正项级数∑∞=1n nw，其中2nn n u u w -=，那么若级数∑∞=1n nu绝对收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都收敛；若级数∑∞=1n nu条件收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都发散.③绝对收敛级数的更序级数（将其项重新排列后得到的级数）仍绝对收敛，且其和相同. ④若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都绝对收敛，它们的和分别为U 和V ，则它们各项之积按照任何方式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV .特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11n n n n v u 也绝对收敛，且和也为UV . 注：⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∞=∞=∞=111n n n n n n v u c ，这里121121v u v u v u v u c n n n n n ++++=-- .（2）交错级数的敛散性判断（莱布尼兹判别法）:若交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足0lim =∞→n n u ，且{}n u 单调减少（即1+≥n n u u ），则∑∞=--11)1(n n n u 收敛，其和不超过第一项，且余和的符号与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值.二、函数项级数（一）幂级数1.幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域（1）柯西-阿达马定理：幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x <-0内绝对收敛，在Rx x >-0内发散，其中R 为幂级数的收敛半径. （2）阿贝尔第一定理：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处收敛，则它必在00x x x -<-ξ内绝对收敛；又若∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处发散，则它必在00x x x ->-ξ也发散.推论1：若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处收敛，则它必在ξ<x 内绝对收敛；又若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处发散，则它必在ξ>x 时发散.推论2：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处条件收敛，则其收敛半径0x R -=ξ，若又有0>n a ，则可以确定此幂级数的收敛域.（3）收敛域的求法：令1)()(lim1<+∞→x a x a nn n 解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性，取并集.2.幂级数的运算性质（1）幂级数进行加减运算时，收敛域取交集，满足各项相加；进行乘法运算时，有：∑∑∑∑∞==-∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0000n n n i i n i n n n n n n x b a x b x a ，收敛域仍取交集. （2）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内处处连续，且若幂级数∑∞=-00)(n nn x x a在R x x -=0处收敛，则)(x S 在[)R x R x +-00,内连续；又若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x +=0处收敛，则)(x S 在(]R x R x +-00,内连续.（3）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变. 3.函数的幂级数展开以及幂级数的求和（1）常用的幂级数展开：① +++++=nxx n x x e !1!2112∑∞==0!n n n x ，x ∈(-∞, +∞).②=11x -1+x +x 2+···+x n +··· =∑∞=0n n x ，x ∈(-1, 1). 从而，∑∞=-=+0)(11n nx x ，∑∞=-=+022)1(11n n n x x . ③∑∞=+++-=++-+-+-=0121253)!12()1()!12()1(!51!31sin n n nn n n x n x x x x x ，x ∈(-∞, +∞).④∑∞=-=+-+-+-=02242)!2()1()!2()1(!41!211cos n n n n n n x n x x x x ，x ∈(-∞, +∞). ⑤∑∞=-+-=++-+-+-=+11132)1(11)1(3121)1ln(n n n n n n x x n x x x x ，x ∈(-1, 1]. ⑥ ++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα，x ∈(-1, 1).⑦1202123)12()!(4)!2(12!)!2(!)!12(321arcsin +∞=+∑+=++-+++=n n n n x n n n n x n n x x x ，x ∈[-1, 1]. ⑧120123121)1(121)1(31arctan +∞=++-=++-++-=∑n n n n n x n x n x x x ，x ∈[-1, 1].（2）常用的求和经验规律：①级数符号里的部分x 可以提到级数外；②系数中常数的幂中若含有n ，可以与x 的幂合并，如将n c 和n x 合并为ncx )(； ③对∑∞=0n nnx a求导可消去n a 分母因式里的n ,对∑∞=0n n n x a 积分可消去n a 分子因式里的1+n ；④系数分母含!n 可考虑x e 的展开，含)!2(n 或)!12(+n 等可考虑正余弦函数的展开； ⑤有些和函数满足特定的微分方程，可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解. （二）傅里叶级数1.狄利克雷收敛定理（本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立）若)(x f 以l 2为周期，且在[-l , l ]上满足： ①连续或只有有限个第一类间断点； ②只有有限个极值点；则)(x f 诱导出的傅里叶级数在[-l , l ]上处处收敛. 2. 傅里叶级数)(x S 与)(x f 的关系：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++--++=.2)0()0(2)0()0()()(为边界点，为间断点；，为连续点；，x l f l f x x f x f x x f x S3.以l 2为周期的函数的傅里叶展开展开：∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=10sin cos 2)(~)(n n n l x n b l x n a a x S x f ππ（1）在[-l , l ]上展开：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰---l ln l l n l l dx l x n x f l b dx l x n x f l a dx x f l a ππsin )(1cos )(1)(10；（2）正弦级数与余弦级数：①奇函数（或在非对称区间上作奇延拓）展开成正弦级数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰l n n dxl x n x f l b a a 00sin )(200π；②偶函数（或在非对称区间上作偶延拓）展开成余弦级数：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰0cos )(2)(2000n l n l b dx l x n x f l a dx x f l a π；4.一些在展开时常用的积分：（1）;0cos ;1)1(sin 010=+-=⎰⎰+ππnxdx nnxdx n（2）2sin 1cos ;1sin 2020πππn n nxdx n nxdx ==⎰⎰；（3）2022010)1(2cos 1)1(cos ;)1(sin n nxdx x n nxdx x n nxdx x n n n -=--=-=⎰⎰⎰+πππππ；；（4）C nx n nx a e n a nxdx e axax +-+=⎰)cos sin (1sin 22； C nx a nx n e na nxdx e ax ax +++=⎰)cos sin (1cos 22；（5）C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21sin sin ；C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21cos cos .注：①求多项式与三角函数乘积的积分时可采用列表法，注意代入端点后可能有些项为0； ②展开时求积分要特别注意函数的奇偶性及区间端点和间断点的特殊性； ③对于π≠l 的情形，事先令x lt π=对求积分通常是有帮助的.。

无穷级数知识点总结

无穷级数知识点总结一、无穷级数的定义无穷级数是指由无限个实数或复数项组成的数列之和。

一般地，我们用数列 {a_n} 来表示无穷级数的各项，那么无穷级数就可以表示为：S = a_1 + a_2 + a_3 + ...其中 S 代表无穷级数的和，而 a_1, a_2, a_3, ... 分别代表无穷级数的各项。

无穷级数通常可以用极限的概念来进行定义，即无穷级数的和就是数列的极限。

如果数列 {S_n} 的部分和数列收敛到某个数 L，那么无穷级数 S 的和便为 L，即：S = lim (n->∞) S_n = L这里的 S_n 代表无穷级数的部分和数列，它可以写成：S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n无穷级数的定义是无穷数列极限的推广，它引入了无穷个数的概念，因此无穷级数的性质和收敛性等问题相对于有限级数来说更加复杂和多样。

二、无穷级数的性质无穷级数在数学中有着许多重要的性质，这些性质对于研究无穷级数的收敛性、计算方法以及应用等方面都有着重要的作用。

下面我们将详细介绍无穷级数的一些重要性质。

1. 无穷级数的有限项相加结果相同如果无穷级数的有限项相加的结果相同，那么这个无穷级数的和也相同。

即如果无穷级数S = a_1 + a_2 + a_3 + ... 的前 n 项之和等于 S_n，而无穷级数 T = b_1 + b_2 + b_3 + ... 的前 n 项之和等于 T_n，并且 S_n = T_n，那么这两个无穷级数的和也相等，即 S = T。

2. 无穷级数的倒序相加结果相同如果无穷级数的倒序相加的结果与原来的无穷级数相同，那么这个无穷级数的和同样相同，即如果无穷级数 S = a_1 + a_2 + a_3 + ... 的倒序相加的结果也等于 S，那么这个无穷级数的和就等于 S。

3. 无穷级数的部分和数列的有界性如果无穷级数的部分和数列 {S_n} 是有界的，即存在一个正数 M，使得对于所有的正整数n，都有 |S_n| <= M，那么这个无穷级数是收敛的。

无穷级数知识点汇总

无穷级数知识点汇总一、数项级数（一）数项级数的基本性质1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .（即部分和数列收敛）3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散.4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变.5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv之间自某项以后成立着关系：存在常数0>c ，使),2,1( =≤n cv u n n ，那么（i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.推论：设两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，且自某项以后有nn n n v v u u 11++≤，那么（i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.（3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，若0lim >=∞→l v u nnn ，那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容）另外，若0=l ，则当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；若∞=l ，则当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.常用度量： ①等比级数：∑∞=0n nq，当1<q 时收敛，当1≥q 时发散；②p -级数：∑∞=11n p n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散(1=p 时称调和级数)； ③广义p -级数：()∑∞=2ln 1n pn n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散.④交错p -级数：∑∞=--111)1(n pn n ，当1>p 时绝对收敛，当10≤<p 时条件收敛. （4）达朗贝尔判别法的极限形式（商值法）：对于正项级数∑∞=1n n u ，当1lim1<=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 收敛；当1lim1>=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 发散；当1=r 或1=r 时需进一步判断. （5）柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正项级数∑∞=1n nu，设n n n u r ∞→=lim ，那么1<r 时此级数必为收敛，1>r 时发散，而当1=r 时需进一步判断. （6）柯西积分判别法：设∑∞=1n nu为正项级数，非负的连续函数)(x f 在区间),[+∞a 上单调下降，且自某项以后成立着关系：n n u u f =)(，则级数∑∞=1n n u 与积分⎰+∞)(dx x f 同敛散.2.任意项级数的理论与性质（1）绝对收敛与条件收敛：①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然； ②对于级数∑∞=1n nu，将它的所有正项保留而将负项换为0，组成一个正项级数∑∞=1n nv，其中2nn n u u v +=；将它的所有负项变号而将正项换为0，也组成一个正项级数∑∞=1n nw，其中2nn n u u w -=，那么若级数∑∞=1n nu绝对收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都收敛；若级数∑∞=1n nu条件收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都发散.③绝对收敛级数的更序级数（将其项重新排列后得到的级数）仍绝对收敛，且其和相同. ④若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都绝对收敛，它们的和分别为U 和V ，则它们各项之积按照任何方式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV .特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11n n n n v u 也绝对收敛，且和也为UV . 注：⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∞=∞=∞=111n n n n n n v u c ，这里121121v u v u v u v u c n n n n n ++++=-- .（2）交错级数的敛散性判断（莱布尼兹判别法）:若交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足0lim =∞→n n u ，且{}n u 单调减少（即1+≥n n u u ），则∑∞=--11)1(n n n u 收敛，其和不超过第一项，且余和的符号与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值.二、函数项级数（一）幂级数1.幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域（1）柯西-阿达马定理：幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x <-0内绝对收敛，在Rx x >-0内发散，其中R 为幂级数的收敛半径. （2）阿贝尔第一定理：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处收敛，则它必在00x x x -<-ξ内绝对收敛；又若∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处发散，则它必在00x x x ->-ξ也发散.推论1：若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处收敛，则它必在ξ<x 内绝对收敛；又若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处发散，则它必在ξ>x 时发散.推论2：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处条件收敛，则其收敛半径0x R -=ξ，若又有0>n a ，则可以确定此幂级数的收敛域.（3）收敛域的求法：令1)()(lim1<+∞→x a x a nn n 解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性，取并集.2.幂级数的运算性质（1）幂级数进行加减运算时，收敛域取交集，满足各项相加；进行乘法运算时，有：∑∑∑∑∞==-∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0000n n n i i n i n n n n n n x b a x b x a ，收敛域仍取交集. （2）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内处处连续，且若幂级数∑∞=-00)(n nn x x a在R x x -=0处收敛，则)(x S 在[)R x R x +-00,内连续；又若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x +=0处收敛，则)(x S 在(]R x R x +-00,内连续.（3）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变. 3.函数的幂级数展开以及幂级数的求和（1）常用的幂级数展开：① +++++=nxx n x x e !1!2112∑∞==0!n n n x ，x ∈(-∞, +∞).②=11x -1+x +x 2+···+x n +··· =∑∞=0n n x ，x ∈(-1, 1). 从而，∑∞=-=+0)(11n nx x ，∑∞=-=+022)1(11n n n x x . ③∑∞=+++-=++-+-+-=0121253)!12()1()!12()1(!51!31sin n n nn n n x n x x x x x ，x ∈(-∞, +∞).④∑∞=-=+-+-+-=02242)!2()1()!2()1(!41!211cos n n n n n n x n x x x x ，x ∈(-∞, +∞). ⑤∑∞=-+-=++-+-+-=+11132)1(11)1(3121)1ln(n n n n n n x x n x x x x ，x ∈(-1, 1]. ⑥ ++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα，x ∈(-1, 1).⑦1202123)12()!(4)!2(12!)!2(!)!12(321arcsin +∞=+∑+=++-+++=n n n n x n n n n x n n x x x ，x ∈[-1, 1]. ⑧120123121)1(121)1(31arctan +∞=++-=++-++-=∑n n n n n x n x n x x x ，x ∈[-1, 1].（2）常用的求和经验规律：①级数符号里的部分x 可以提到级数外；②系数中常数的幂中若含有n ，可以与x 的幂合并，如将n c 和n x 合并为ncx )(； ③对∑∞=0n nnx a求导可消去n a 分母因式里的n ,对∑∞=0n n n x a 积分可消去n a 分子因式里的1+n ；④系数分母含!n 可考虑x e 的展开，含)!2(n 或)!12(+n 等可考虑正余弦函数的展开； ⑤有些和函数满足特定的微分方程，可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解. （二）傅里叶级数1.狄利克雷收敛定理（本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立）若)(x f 以l 2为周期，且在[-l , l ]上满足： ①连续或只有有限个第一类间断点； ②只有有限个极值点；则)(x f 诱导出的傅里叶级数在[-l , l ]上处处收敛. 2. 傅里叶级数)(x S 与)(x f 的关系：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++--++=.2)0()0(2)0()0()()(为边界点，为间断点；，为连续点；，x l f l f x x f x f x x f x S3.以l 2为周期的函数的傅里叶展开展开：∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=10sin cos 2)(~)(n n n l x n b l x n a a x S x f ππ（1）在[-l , l ]上展开：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰---l ln l l n l l dx l x n x f l b dx l x n x f l a dx x f l a ππsin )(1cos )(1)(10；（2）正弦级数与余弦级数：①奇函数（或在非对称区间上作奇延拓）展开成正弦级数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰l n n dxl x n x f l b a a 00sin )(200π；②偶函数（或在非对称区间上作偶延拓）展开成余弦级数：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰0cos )(2)(2000n l n l b dx l x n x f l a dx x f l a π；4.一些在展开时常用的积分：（1）;0cos ;1)1(sin 010=+-=⎰⎰+ππnxdx nnxdx n（2）2sin 1cos ;1sin 2020πππn n nxdx n nxdx ==⎰⎰；（3）2022010)1(2cos 1)1(cos ;)1(sin n nxdx x n nxdx x n nxdx x n n n -=--=-=⎰⎰⎰+πππππ；；（4）C nx n nx a e n a nxdx e axax +-+=⎰)cos sin (1sin 22； C nx a nx n e na nxdx e ax ax +++=⎰)cos sin (1cos 22；（5）C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21sin sin ；C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21cos cos .注：①求多项式与三角函数乘积的积分时可采用列表法，注意代入端点后可能有些项为0； ②展开时求积分要特别注意函数的奇偶性及区间端点和间断点的特殊性； ③对于π≠l 的情形，事先令x lt π=对求积分通常是有帮助的.。

无穷级数知识点汇总

无穷级数知识点汇总无穷级数是由无穷多个数的和组成的数列。

它是数学中的基本概念，具有广泛的应用，涉及到数学分析、物理学、工程学等领域。

无穷级数的收敛与发散是无穷级数研究的核心问题。

收敛意味着无穷级数的和存在，而发散则意味着无穷级数的和不存在。

接下来，我们将介绍几个与无穷级数收敛与发散相关的知识点。

1.部分和的概念：对于给定的无穷级数，在给定的位置截取有限个数进行求和，这个和称为部分和。

部分和序列是由部分和构成的数列。

在研究无穷级数收敛与发散时，通常先分析部分和序列的性质。

2.等比级数：等比级数是指形如a+ar+ar^2+...的级数，其中a是首项，r是公比。

当公比，r，<1时，等比级数收敛，和为a/(1-r)。

当，r，≥1时，等比级数发散。

3.绝对收敛与条件收敛：如果一个无穷级数的各项绝对值组成的级数收敛，那么这个级数是绝对收敛的。

如果一个级数是收敛的但不是绝对收敛的，那么这个级数是条件收敛的。

4. 正项级数：如果一个无穷级数的各项都是非负数，或者说对于所有的n，an≥0，那么这个级数是正项级数。

正项级数的部分和序列是递增的，且如果部分和序列有上界，则该级数收敛。

5.收敛判别法：为了判断一个无穷级数的收敛性，数学家发展了多种不同的方法。

其中一些著名的判别法包括比值判别法、根值判别法、积分判别法等。

这些方法根据级数项之间的关系，通过判断级数的部分和序列是否满足一些特定条件，进而判断级数的收敛性。

6.绝对收敛级数的性质：绝对收敛级数在加法和乘法运算下具有良好的性质。

例如，绝对收敛级数可以无限重排项而不改变其和。

此外，对于绝对收敛级数，我们可以通过将级数分拆成两部分再进行求和，这样的重排不改变级数的和。

除了以上内容，无穷级数还涉及到级数的收敛半径、幂级数、Fourier级数等等一系列的概念和方法。

-收敛半径是幂级数中重要的一个概念，指的是幂级数在哪些点上收敛的临界点。

可以使用柯西－阿达玛公式来计算收敛半径。

无穷级数知识点总结简短

无穷级数知识点总结简短
1. 无穷级数的定义
无穷级数是指由无限个数相加而成的级数，通常表示为：
S = a1 + a2 + a3 + ...
其中，a1, a2, a3...表示级数的每一项。

2. 无穷级数的收敛与发散
无穷级数可能收敛也可能发散。

如果无穷级数的部分和S_n在n趋向无穷时收敛于某一有
限数，即lim(S_n) = S，则称该无穷级数收敛；如果无穷级数的部分和S_n在n趋向无穷
时发散至无穷大或者发散至负无穷大，即lim(S_n) = ±∞，则称该无穷级数发散。

3. 无穷级数的收敛性判别法
无穷级数的收敛性判别法有很多种，包括比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判
别法等。

这些判别法可以用来判断无穷级数的收敛性，并且在实际问题中有很多应用。

4. 无穷级数的性质
无穷级数有许多重要的性质，包括级数的线性性质、级数的绝对收敛性、级数的收敛域等。

这些性质在研究无穷级数的收敛性和计算级数的和时非常重要。

5. 无穷级数的应用
无穷级数在物理、工程、计算机科学等领域都有重要的应用。

例如，在物理学中，泰勒级
数可用于近似计算非线性函数的值；在工程学中，级数可以用来描述振动、波动等现象；
在计算机科学中，级数在算法复杂性分析和数值计算中也有广泛的应用。

总之，无穷级数是数学中一个重要的概念，它涉及到收敛与发散、收敛性判别法、性质和
应用等方面，对于理解和应用级数有着重要的意义。

无穷极数知识点总结

无穷极数知识点总结1. 无穷级数的定义无穷级数是指由无穷多个项组成的级数，通常表示为a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，其中每一项an是一个实数或复数。

无穷级数可以是收敛的，即其和是一个有限的值，也可以是发散的，即其和不存在或为无穷大。

2. 无穷级数的收敛无穷级数收敛的概念是指无穷级数的和在某个范围内趋于一个有限的值。

收敛的无穷级数在数学分析和实际应用中有着广泛的应用，例如在泰勒级数展开、微积分中的积分计算等方面。

无穷级数的收敛有多种判别法，如比较判别法、根值判别法、积分判别法等。

3. 无穷级数的发散无穷级数发散的概念是指无穷级数的和无法趋向于一个有限的值，而是趋向于无穷大或者根本无法定义。

无穷级数的发散也有多种判别法，例如奇偶项判别法、柯西收敛准则等。

4. 绝对收敛与条件收敛无穷级数的收敛有两种情况，一种是绝对收敛，即该级数每一项的绝对值级数收敛；另一种是条件收敛，即该级数每一项的绝对值级数发散，但级数本身却收敛。

绝对收敛级数在某种程度上更容易处理和计算，而条件收敛级数的性质相对更为复杂，也更有意思。

5. 级数收敛的充分条件对于实数级数来说，级数部分和序列的收敛性与级数本身的收敛性之间是十分紧密的，因此研究级数部分和序列的收敛性可以得到级数收敛的充分条件。

比如级数收敛的柯西准则、级数收敛的柯西——施瓦茨准则、莱布尼茨级数收敛准则等。

6. 无穷级数的运算无穷级数也可以进行加减乘除等运算，不过进行这些运算时需要满足一定的条件，比如级数收敛、级数部分和序列的收敛性等。

无穷级数的运算规则也有许多特殊的性质，如级数的收敛性与绝对收敛性的性质、级数的乘法运算性质、级数的幂级数展开等。

7. 级数收敛的应用无穷级数的研究在数学中有着广泛的应用，比如在分析学中的泰勒级数展开、微积分中的求和、微分方程的求解、数论中的级数和等方面都有不同程度的应用。

无穷级数也在物理学、工程学、经济学等应用领域中有着很多重要的应用。

无穷级数知识点总结公式

无穷级数知识点总结公式无穷级数的定义：无穷级数的一般形式可以表示为：\[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots \]其中，$ a_n $ 是级数的第 n 个项。

级数的和通常记为 $ S $，即\[ S = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots \]当级数的和存在有限值时，称级数收敛；当级数的和不存在有限值时，称级数发散。

无穷级数的性质：1. 无穷级数的和与项的次序无关级数的项次序可以进行重新排列，其和仍然相同。

2. 收敛级数的任意项的和都趋于零对于收敛级数，其各项的和对应的部分和序列的极限为级数的和。

3. 收敛级数的每一项都可以表示为部分和序列的差对于收敛级数，其每一项都可以表示为相邻两个部分和之差。

无穷级数的收敛性：在讨论无穷级数时，我们关心的一个重要问题是该级数是否收敛。

无穷级数的收敛性可以通过不同的收敛判别法来进行判断。

1. 正项级数收敛判别法对于正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$：- 若 $ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 $ 且 $ a_n $ 单调递减（即 $ a_{n+1} \leq a_n $），则级数收敛；- 若 $ a_n $ 单调递减且有界，则级数收敛；- 若 $ \lim_{n \to \infty} a_n $ 不存在或 $ \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 $ ，则级数发散。

2. 比较判别法设 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_n $ 和 $ \sum_{n=1}^{\infty} b_n $ 为两个级数，若存在正常数 $ C $，当 $ n $ 充分大时有 $ 0 \leq a_n \leq Cb_n $，则级数$ \sum_{n=1}^{\infty} b_n $ 收敛时级数 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_n $ 收敛，级数$ \sum_{n=1}^{\infty} b_n $ 发散时级数 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_n $ 发散。

无穷级数

第七讲无穷级数一、主要知识点（一）常数项级数1．数项级数的概念（1）无穷级数定义：121n n n u u u u ∞==++++∑ ．（2）敛散性定义：若S S n n =∞→lim (有限)，则级数∑∞=1n n u 收敛，其和为∑∞==1n nuS ．若n n S ∞→lim 不存在，则∑∞=1n n u 发散，没有和．2．数项级数的性质（1）级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n ku 有相同的敛散性)0(≠k ．（2）设级数∑∞=1n n u 及∑∞=1n n v ，则若S u n n =∑∞=1，σ=∑∞=1n n v ，则σ±=±∑∞=S v u n n n )(1；若∑∞=1n n u 收敛，∑∞=1n n v 发散，则)(1∑∞=±n n n v u 发散；若∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 均发散，则)(1∑∞=±n n n v u 敛散性不能确定．（3）在级数∑∞=1n n u 中添加、去掉或改变有限项不影响级数∑∞=1n n u 的敛散性．（4）设级数∑∞=1n n u 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．（5）级数∑∞=1n n u 收敛的必要条件：0lim =∞→n n u ．3．正项级数∑∞=1n n u )0(≥n u 判敛法（1）收敛的基本定理：正项级数∑∞=1n n u 收敛的充分必要条件是部分和数列}{n S 有上界．（2）比较判别法1：设级数∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 均为正项级数，若存在N ，当N n >时，有n n v u ≤≤0成立，则1）若级数∑∞=1n n v 收敛，则级数∑∞=1n n u 收敛．2）若级数∑∞=1n n u 发散，则级数∑∞=1n n v 发散．（3）比较法的极限形式2：设级数∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 均为正项级数，且limn n nu A v →∞=(0)n v ≠，则1）当+∞<<A 0，则级数∑∞=1n n u 与级数∑∞=1n n v 敛散性相同．2）当0=A ，若级数∑∞=1n n v 收敛，则级数∑∞=1n n u 收敛．3）当+∞=A ，若级数∑∞=1n n v 发散，则级数∑∞=1n n u 发散．常用作比较的级数：几何级数⎪⎩⎪⎨⎧-=∑∞=发散,10q aaqn n1||1||≥<q q ； -p 级数⎩⎨⎧=∑∞=发散收敛11n pn11≤>p p ；调和级数+++=∑∞=3121111n n是发散的．注意：若级数的分母、分子关于n 的最高次数分别为p 和q ，即1qpn n n αβ∞=++∑（其中,αβ为含n 的次数分别低于,p q 的多项式），则当1p q ->时级数收敛，当1p q -≤时级数发散．（4）比值判别法（达朗贝尔判别法）（适用于n u 中含有!n ,nn 及na 等因子）：设级数∑∞=1n n u (0≥n u )，若ρ=+∞→nn n u u 1lim，则11111n n n n u u ρρρ∞=∞=⎧>⎪⎪⎪<⎨⎪⎪=⎪⎩∑∑若，则级数发散若，则级数收敛若，方法失效．（5）根值判别法（柯西判别法）（适用于n u 含有以n 为指数幂的因子）：设级数∑∞=1n n u (0≥n u )，若ρ=∞→nnn u lim，则11111n n n n u u ρρρ∞=∞=⎧>⎪⎪⎪<⎨⎪⎪=⎪⎩∑∑若，则级数发散若，则级数收敛若，方法失效．注意：根值法，比值法条件是充分条件而非必要条件．（6）拉阿伯判别法：设级数∑∞=1n n u (0n u >)，若1lim (1)n n n u n u ρ→∞+-=，则11111n n n n u u ρρρ∞=∞=⎧>⎪⎪⎪<⎨⎪⎪=⎪⎩∑∑若，则级数收敛若，则级数发散若，方法失效．（7）柯西积分判别法：若函数()(0)f x x >是非负的不增函数，则级数1()n f n ∞=∑与广义积分1()f x dx +∞⎰同时收敛或同时发散．例如：级数11pn n∞=∑；21(l n )pn n n ∞=∑；21l n (l n )pn n n n ∞=∑与广义积分1pdx x+∞⎰；2(l n )pdx x x +∞⎰；2l n (l n)pdx x x x +∞⎰当1p >时同时收敛，当1p ≤时同时发散．4．一般项级数判敛法（1）交错级数)0()1(11≥-∑∞=-n n n n u u 莱布尼兹判敛法：若交错级数∑∞=--11)1(n n n u ，满足条件1）1,(1,2,)n n u u n +≤= ；2）0lim =∞→n n u ，则交错级数∑∞=--11)1(n n n u 收敛，且其和1u s ≤，余项1+≤n n u R ．注意：证明比较n u 与1+n u 大小的方法有三种：1）比值法：考查11<+nn u u ；2）差值法：考查01<-+n n u u ；3）由一般项n u 找出连续可导函数)(x f ，使)(n f u n =，考查导数0)(<'x f ，函数)(x f 就是单调减少，则有n n u u <+1．（2）亚伯耳判敛法：级数1nn n uv ∞=∑(其中,n n u v 为实数)满足条件1）级数1n n u ∞=∑收敛，2）{}n v 为单调有界数列，则级数1n n n u v ∞=∑收敛．（3）狄里克利判敛法：级数1nn n uv ∞=∑(其中,n n u v 为实数)满足条件1）部分和数列1nn ii S u==∑有界，2）当n →∞时，n v 为单调趋向于零，则级数1n n n u v ∞=∑收敛．（4）绝对收敛与条件收敛判别：绝对收敛：若级数∑∞=1||n n u 收敛，则称级数∑∞=1n n u 为绝对收敛．条件收敛：若级数∑∞=1||n n u 发散，而级数∑∞=1n n u 收敛，则称级数∑∞=1n n u 为条件收敛．若级数∑∞=1||n n u 收敛，则级数∑∞=1n n u 收敛，反之不一定成立．如∑∞=-1)1(n nn．注意：若用比值法（或根植法）判定级数∑∞=1||n n u 发散，则级数∑∞=1n n u 一定发散．（二）幂级数1．幂级数的收敛区间设幂级数∑∞=0n n n x a ，若1lim ||n n na a ρ+→∞=（或limn ρ→∞=，则收敛半径1,0,00,R ρρρρ⎧≠⎪⎪⎪=+∞=⎨⎪=+∞⎪⎪⎩当时当时当时．收敛区间[],R R -、(,)R R -、[,)R R -、(,]R R -四种情况之一．注意：若幂级数为∑∞=022n nn xa 或∑∞=++01212n n n x a （即缺少项的幂级数）时，应如何求收敛半径？2．幂级数的和函数（1）幂级数和函数的性质：设幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数()S x 在区间收敛区间(,)R R -内连续、可导、可积，且可逐项求导、逐项积分，即11()(),(,)n n nn n n S x ax na xx R R ∞∞-==''==∈-∑∑，1(),(,)1x x nn n n n n a S x dx a x dx xx R R n ∞∞+====∈-+∑∑⎰⎰．（2）幂级数和函数的求法： 1）求出给定幂级数的收敛域；2）通过加、减、逐项积分或微分、变量代换（如：以x -代替x ，以2x 代替x ）等运算，将给定的幂级数化为常见函数展开式的形式，如：① 当所给的幂级数系数的分母出现!n 时，常常转化到xe 的展开式；② 当所给的幂级数系数出现)!2()1(n n-或1(1)(21)!n n +-+时，常常转化到x cos 或x sin 的展开式；③ 当系数是n 的多项式时，常常通过幂级数的加、减、逐项积分或微分运算，转化到等比级数xx n n -=∑∞=110，从而得到新的幂级数的和函数．3）对于得到的和函数再做相反的分析运算，便得原幂级数的和函数．3．函数的幂级数展开（1）泰勒级数：nn n x x n x f)(!)(000)(-∑∞=；（2）麦克劳林级数：()(0)!n nn fx n ∞=∑．（3）函数展开成幂级数1）展开式的唯一性：无论用什么方法将函数展为幂级数的展开式是唯一的； 2）展开的条件：函数在某点0x 的邻域内有任意阶导数；3）展开的方法：直接展开法与间接展开法．（4）直接展开法：利用泰勒级数nn n x x n x f)(!)(000)(-∑∞=，按下列步骤将函数)(x f 在点0x 展开．1）先求出函数)(x f 的各阶导数在0x x =处的值)(0x f ，0()f x '()00()()n f x fx ''再写出级数nn n x x n x f)(!)(000)(-∑∞=；2）写出拉格朗日余项)!1())(()(10)1(+-=++n x x fx R n n n ξ ，证明lim ()n n R x →∞是否趋于零，若lim ()0n n R x →∞=，则nn n x x n x fx f )(!)()(000)(-=∑∞=，即函数)(x f 在0x 处能展开成泰勒级数．3）求出收敛区间．（5）间接展开法：利用下面已知的6个函数的展开式，通过适当的变量代替，四则运算，复合及逐项积分、微分运算将一个函数展开成幂级数——间接展开法．常用的函数展开式1）23011,(1,1)1nnn x x x x x x x ∞==++++++=∈--∑；2）23011(1)(1),(1,1)1n nnnn x x x x x x x∞==-+-++-+=-∈-+∑ ；3）231111,(,)2!3!!!nxnn xe x x x x x n n ∞==++++++=∈-∞+∞∑；4）212135011sin (1)(1),(,)3!5!(21)!(21)!n n nnn xxx x x x x n n ++∞==-+-+-+=-∈-∞+∞++∑ ；5）2224011cos 1(1)(1),(,)2!4!(2)!(2)!nnnnn xxx x x x n n ∞==-+-+-+=-∈-∞+∞∑ ；6）1231111(1)ln(1)(1),(1,1]23nn nn n xxx x x x x nn-∞-=-+=-+-+-+=∈-∑；7）2(1)(1)(1)(1)1,2!!nn x x x x n ααααααα---++=+++++1(1)(1)1,(1,1)!nn n x x n ααα∞=--+=+∈-∑．（三）傅里叶级数1．周期函数的傅立叶级数（1）以2π为周期函数：设)(x f 在区间],[ππ-上是可积函数， ⎰-==πππ),2,1,0(,c o s )(1n n x d x x f a n ⎰-==πππ),2,1(,sin )(1n nxdx x f b n则称级数∑∞=++10)sin cos (2n n nnx b nx aa为函数)(x f 的傅里叶级数，称n n b a ,为傅里叶系数．（2）以2l 为周期函数：设)(x f 在区间],[l l -上是可积函数， ⎰-==l l n n dx l x n x f l a ),2,1,0(,cos )(1 π ⎰-==l ln n dx lx n x f lb ),2,1(,sin)(1 π则称级数∑∞=++10)sincos(2n n n lx n b lx n a a ππ为函数)(x f 的傅里叶级数，称n n b a ,为傅里叶系数．2．傅立叶级数收敛定理设函数)(x f 满足狄里克雷条件1）在区间],[l l -上连续或只有有限个第一类间断点； 2）在区间],[l l -上只有有限个极值点，则傅里叶级数∑∞=++10)sincos(2n n n lx n b lx n a a ππ在区间],[l l -上收敛，并且其和函数)(x f 有1）当x 为)(x f 连续点时，∑∞=++10)sincos(2n n n lx n b lx n a a ππ)(x f =；2）当x 为)(x f 间断点时，∑∞=++10)sincos(2n n n l x n b l x n a a ππ2)0()0(++-=x f x f ；3）当x 为)(x f 端点时，∑∞=++10)sincos (2n n n lx n b lx n a a ππ2)0()0(-++-=l f l f ．3．奇偶函数展开为傅立叶级数正弦级数：nx b n n sin 1∑∞=，其中⎰=ππsin )(2nxdx x f b n ，1,2,n = ；余弦级数：nx a a n n cos 210∑∞=+，其中⎰=ππcos )(2nxdx x f a n ，1,2,n = ．二．例题分析1．判别常数项级数敛散性例1．设∞=∞→n n a lim ，且0≠n a ，判别级数∑∞=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111n n na a 的敛散性．解：令111+-=n n n a a u ，则前n 项的部分和111322111)11()11()11(++-=-++-+-=n n nn a a a a a a a a S ，因为01lim1=+∞→n n a ，所以11lim a S n n =∞→，即原级数收敛且其和11a S =．例2．判别级数下列级数敛散性（1）∑∞=-1)cos1(n nπ；（2）11n ∞=∑（3）若级数)0(1≥∑∞=n n n a a 收敛，则级数∑∞=1n n na 收敛．解：（1）因为nn2sin2cos12ππ=-，所以将其与级数∑∑∞=∞==222212)2(2n n nn ππ比较，又因为 1)2(22s i n2lim222=∞→n nn ππ，所以级数nn 2sin221π∑∞=收敛，从而级数∑∞=-1)cos1(n nπ收敛．（2）将级数1n ∞=∑211n n∞=∑进行比较，即求极限222l i ml i m1(!)n n n n u nn n→∞→∞=，令22(!)n nny n =，则21ln 2ln 2ln !2[ln ln !]n y n n n n nn=-=-12[(l n l n 1)(l nl n 2)(l n l n)]nn nn n=-+-+-112l nni i n n==-∑，于是 1011l i m l n 2l i ml n 2l n l n 2nn n n i i y xdx n n→∞→∞==-=-=∑⎰，所以 2l i m n n y e →∞=，因此由级数∑∞=121n n收敛得到级数1n ∞=∑（3）由于)1(21122na na na n n n +≤⋅=，而且级数∑∞=1n n a 与级数∑∞=121n n均收敛，所以级数∑∞=1n n na 收敛．练习题：判别级数的敛散性（1）)0,0(1>>∑∞=s a na n sn ；当1<a 时，级数收敛，当1>a 时，级数发散，当1=a 时，级数为∑∞=11n sn，这是p 级数，当1>s 时收敛，当1≤s 时发散．（2）∑∞=1!3n nnnn ；（发散）（3）)0(111>+∑∞=a an n；（1>a 收敛，1≤a 发散）（4）∑∞=1233cosn nn n π；(收敛) （5）∑∞=+-+111)1(n n n n n．（收敛）例3．判别下列级数敛散性，若收敛是绝对收敛还是条件收敛？（1）1)1ln()1(1++-∑∞=n n n n；（2）1!(1)nnnn e n n∞=-∑；（3）当k 为何值时，级数221(1)(ln )nkn n n ∞=-∑收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？解：（1）先考虑正项级数1)1ln(1++∑∞=n n n ．将级数1)1ln(1++∑∞=n n n 与级数111+∑∞=n n 进行比较，因为)2(,1)1l n (11>++<+n n n n ，由级数111+∑∞=n n 的发散，即可得级数1)1ln(1++∑∞=n n n 发散，但是交错级数1)1ln()1(1++-∑∞=n n n n，满足条件：1）ln(1)ln(1)1limlimlim0111n x x n x n x x →∞→+∞→+∞++===+++，2）n n u u <+1，证明之，令 1)1l n ()()(++===x x x f n f u n ，因为导数1ln(1)()0,(3)1x f x x x -+'=<≥+，所以函数)(x f 当3≥x 时，是单调减少的，从而 n n u u ≤+1，),4,3( =n ，于是，由莱布尼兹判别法知级数1)1ln()1(1++-∑∞=n n n n条件收敛．（2）先考虑正项级数1!nnn e n n∞=∑，因为111(1)!(1)1!(1)n n n nnnnen u e n e n u nn+++++==+，而1(1)ne n+<，所以11(1,2,)n nu u +> ，于是11n n u u u e ->>>= ，则lim 0n n u →∞≠，从而lim (1)0n n n u →∞-≠，故原级数1!(1)nnnn e n n∞=-∑发散．（3）当1k ≥时，22110ln ln kn nn n<≤，由级数221ln n n n∞=∑收敛得到级数221ln kn n n∞=∑收敛，所以当1k ≥时，级数221ln kn n n ∞=∑绝对收敛；当01k ≤<时，由于211ln k n nn>，由级数21n n∞=∑发散得到级数221ln kn n n∞=∑发散，由因为21ln n ku n n=单调减少，且21lim0ln kn n n→∞=，2莱布尼茨判别法知级数221(1)(ln )nkn n n ∞=-∑收敛，于是级数221(1)(ln )nkn n n ∞=-∑条件收敛；当0k <时，由于21lim0ln kn n n→∞=∞≠，则级数221(1)(ln )nkn n n ∞=-∑发散．练习题：判断下列级数的敛散性，若收敛则说明是绝对收敛还是条件收敛？（1）1ln (1)nn n n∞=-∑；（条件收敛）（2）11(1)(1)!n nn nn +∞=-+∑．（发散）例4．设1211211212345632313n u n n n=+-++-+++--- ，111123n v n n n=++++ ，求（1）1010u v ；（2）lim n n u →∞．解：因为1211211212345632313n u n n n=+-++-+++---11111111234532313n n n =++++++++-- 21212121[()()()()]33669933n n -++++++++111111111(1)2345323n n =++++++-++++ ，所以（1）10111111121330u =++++，10111111121330v =++++，于是10101u v =；（2）由于当n →∞时，1111ln 23n C n++++-→ （0.577216C ≈称欧拉常数），则有1111ln 23n C n nε++++=++ ，（其中n ε为无穷小）于是 111111111(1)2345323n u n n=++++++-++++ l n 3(l n )n n C n C n τε=++-++，（其中,n n τε为无穷小） 3lnn n n nτε=+-，故3lim lim [ln]ln 3n n n n n n u nτε→∞→∞=+-=．2．求幂级数收敛域、收敛区间例5．求下列幂级数的收敛域（1）nn x n n ∑∞=12)!2()!(；（2）nn n xn n 212)1(∑∞=-+；（3）∑∞=--1)21(2)1(n nnnx n；（4）∑∞=+⨯+1129)13(n nn n x ．解：（1）因为4121)12(1lim)!2()!()!22(])!1[(limlim221=++=++==∞→∞→+∞→n n n n n n a a n n nn n ρ，所以收敛半径为4=R ．当4=x 时，原级数为∑∞=124)!2()!(n nn n ，令nn n n b 4)!2()!(2=，因为112221>++=+n n b b nn ，则0211>=>>>-b b b n n ，所以0lim ≠∞→n n b ，因此级数发散；当4-=x 时，原级数为∑∞=-12)4()!2()!(n nn n ，由于0lim ≠∞→n n b ，所以0)1(lim ≠-∞→n nn b ，因此级数发散，于是级数nn x n n ∑∞=12)!2()!(收敛域为)4,4(-．（2）令t x =2，则nn n t n n 2)1(1∑∞=-+=nn t nn ∑∞=++112，因为 221121111lim22121lim1=+++++=+++++=∞→+∞→nnn n n n n n nn n ρ，所以级数nn t nn ∑∞=++112的收敛半径为12R '=，从而级数nn n xn n 212)1(∑∞=-+的收敛半径为21=R ，当21±=x 时，级数∑∑∞=∞=++=++1111)21(12n nn nnn n n 发散，因此原幂级数的收敛域为)21,21(-．（3）令t x =-21，则=--∑∞=1)21(2)1(n nnnx n∑∞=-12)1(n nnnt n，因为 2112lim212lim1=+=+=∞→+∞→nnn n nn n ρ，所以幂级数12(1)nnnn ∞=-∑的收敛半径为12R '=，从而原级数∑∞=--1)21(2)1(n nnnx n的收敛半径为21=R ，当21-=x 时，级数∑∑∞=∞==--111)21(2)1(n n nnnnn 发散；当21=x 时，级数∑∑∞=∞=-=-11)1()21(2)1(n nn nnnnn 收敛，因此幂级数1(1)nnnn ∞=-∑的收敛域为]21,21(-．又因为t x =-21，则212121≤-<-x ，从中解出10≤<x ，于是原级数∑∞=--1)21(2)1(n nnnx n的收敛域为]1,0(．（4）设nn n n x x u 9)13()(12++=，因为由比值法211232|13|919)1(|13|9|13|lim)()(lim)(+=+++==+++∞→+∞→x n x n x x u x u x n n n n n n n n ρ，所以，当1|13|91)(2<+=x x ρ，即3234<<-x 时，原级数绝对收敛；当1|13|91)(2<+=x x ρ，即34-<x 或32>x 时，原级数发散；又当34-=x 时，原级数为∑∞=-13n n发散；当32=x 时，原级数为∑∞=13n n发散，因此该幂级数的收敛域为)32,34(-．练习题：求下列幂级数的收敛半径及收敛域1．11(3(2))nnnn x n ∞=+-∑；（[,3)-） 2．12141-∞=∑n n nxn ；（)2,2(-）3．∑∞=-⨯--1215)2()1(n nnn n x ．(]52,52[,5+-=R )例6．设111123n u n=++++，求幂级数1nn nxu ∞=∑的收敛半径、收敛区间及收敛域．解：因为1111111123limlimlim11111231n n n n n nn u n u u u n ρ→∞→∞→∞++++++====+++++ ，所以收敛半径为1R =，收敛区间为收敛区间（－1,1）．当1x =-时，级数1(1)nn nu ∞=-∑为交错级数，且1111lim0,n nnn u u u →∞+=>，由莱布尼茨判别法知级数1(1)nn nu ∞=-∑收敛；当1x =时，由于2n u n <，即有112nu n>，所以级数11n nu ∞=∑，于是幂级数1nn nxu ∞=∑的收敛域为[1,1)-．3．幂级数的求和（1）求出给定幂级数的收敛域；（2）通过加、减、逐项积分或微分、变量代换（如：以x -代替x ，以2x 代替x ）等等运算，将给定的幂级数化为常见函数展开式的形式，如：① 当所给的幂级数系数的分母出现!n 时，常常转化到x e 的展开式；② 当所给的幂级数系数出现)!2()1(n n-或)!12()1(1---n n 时，常常转化到x cos 或x sin 的展开式；③ 当系数是n 的多项式时，常常通过幂级数的加、减、逐项积分或微分运算，转化到等比级数xx n n -=∑∞=110，从而得到新的幂级数的和函数；（3）对于得到的和函数再做相反的分析运算，便得原幂级数的和函数．例7．求下列幂级数的和函数（1）)1(21212-∞=∑-n n nxn ；（2）∑∞=+1)1(n nn n x；（3）20(2)!nn xn ∞=∑；（4）求nn x n n ∑∞=+1!1的和函数，并由此求nn n n 8!11∑∞=+之值．解：（1）先求收敛域因为2222211211212lim21)12(2212limlimx xn n xn xn u u n n nnn n nn n =-+=-+==∞→-+∞→+∞→ρ，当1212<=xρ，即2||<x 时，幂级数)1(21212-∞=∑-n n nxn 收敛；当1212>=xρ，即2||>x 时，幂级数)1(21212-∞=∑-n n nxn 发散；当2||±=x 时，幂级数∑∑∞=-∞=-=-1112122212n n n nn n 发散，因此该级数)1(21212-∞=∑-n n nxn 的收敛域为)2,2(-．再求其和函数，当0≠x 时=)(x S )1(21212-∞=∑-n n nxn 211()2n nn x-∞='=∑2112n nn x -∞='⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ 2221112()212n n x x xx x ∞='⎛⎫'⎪⎛⎫==⋅ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭∑ 222222(2)xx xx '+⎛⎫== ⎪--⎝⎭，)0(≠x 当0=x 时，21)0(=S ．于是该幂级数的和函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠-+=0,210,)2(2)(222x x x x x S ．（2）显然幂级数∑∞=+1)1(n nn n x的收敛区间为]1,1[-，求和函数)(x S ：当0=x 时，0)0(=S ；当0≠x 时，因为 ()1n 1n 1()(1)n nx xxS x n n n +∞∞=='⎛⎫'==⎪+⎝⎭∑∑，且 ()11n 1n111()()(1)1n n n n xxxS x xn n nx+∞∞∞-===''⎛⎫'''====⎪+-⎝⎭∑∑∑，两边积分得 ()01()l n (1)1x x S x d x x x'==---⎰，两边再积分一次得 0()l n (1)(1)l n (1)x x S x x d x x x x=--=---⎰，因此 )1l n ()11(1)(x xx S ---=，于是该幂级数的和函数为⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈---=0,0)1,0()0,1(),1ln()11(1)(x x x xx S ．（3）级数的收敛域为(,)-∞+∞,令22421()1(2)!2!4!(2)!nnn xxxxs x n n ∞===+++++∑ ，两边求导，得213211()(21)!1!3!(21)!n n n xxxxs x n n --∞='==++++--∑于是有 234212()()1!2!3!4!(21)!(2)!n nx xxxxxs x s x n n -'+=++++++-而23421211!2!3!4!(21)!(2)!n nxx xxxxxe n n -=+++++++-所以()()xs x s x e '+= 这为一阶非齐次线性微分方程，可解得通解为1()2xxs x C ee -=+,由初始条件(0)1s =，得12C =,故 201()(2)!2nx xn xe en ∞-==+∑.（4）先求幂级数nn x n n ∑∞=+1!1的收敛域，因为0)!1(2lim1!)!1(2limlim1=++=+++==∞→∞→+∞→n n n n n n u u n n nn n ρ，所以收敛半径为+∞=R ，收敛区间为),(+∞-∞．再求和函数，因为该幂级数的系数带有!n ，所以它的和函数与指数函数x e 有关．于是 =)(x S nn xn n ∑∞=+1!11111(1)!!nnn n x xn n ∞∞===+-∑∑11111(1)!!n nn n x xx n n ∞∞-===+--∑∑1)1(1-+=-+=xxxe x e xe，),(+∞-∞∈x ，最后取8=x ，得118!nn n n ∞=+=∑198-e ．练习题：求下列幂级数的和函数（1）∑∞=+0)1(n n x n ；（)1,1(,)1(1)(2-∈-=x x x S ）（2）∑∞=+11n nx n n．（⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈-+-=0,0)1,0()0,1(),1ln(111)(x x x x x x S ）例8．计算下列各题：（1）设幂级数0n n n a x ∞=∑的系数满足012,1,(1,2,)n n a na a n n -==+-= ，求此幂级数的和函数．（2）设12211,1,23,(1)n n n a a a a a n ++===+≥，求幂级数0n n n a x ∞=∑的收敛半径、收敛域及和函数．（3）求级数31()n n x ∞=∑中20x 的系数．解：（1）据题意知1(1)1n n n a a --=-，因此 120111111(1)(1)(1)1!!n n n a a a a nn n n n ---=-=-==-=- ，所以 11!n a n =+，于是为11()(1)!!nnnnnn n n n s x ax xx xn n ∞∞∞∞======+=+∑∑∑∑1||11x e x x=+<-．（2）因为2123n n n a a a ++=+为差分方程，则特征方程为 2230r r --=，其根为123,1r r ==-，所以11123(1)n n n a c c --=+-，由121,1a a ==得12121,31c c c c +=-=，求出1212c c ==，所以111(3(1))2n n n a --=+-．下面讨论级数11111(3(1))2nn n nn n n a x x ∞∞--===+-∑∑，因为 11111(1)33(1)3limlimlim 313(1)1()3nn n n n n n n n n n nu u ρ-+--→∞→∞→∞--++-====+-+-，所以幂级数12(1)nnnn ∞=-∑的收敛半径为12R '=，从而原级数1111(3(1))2n n nn x ∞--=+-∑的收敛半径为13R =，当13x =-时，级数11111(1)1(3(1))()[()]333nn n nnn n ∞∞--==-+--=-∑∑发散；当13x =时，级数111111(1)(3(1))()[]333nn n nnn n ∞∞--==-+-=-∑∑发散，因此幂级数1111(3(1))2n n nn x ∞--=+-∑的收敛域为11(,)33-．设111111111()(3(1))[(3)(1)]223n n nnn nn n n s x x x x ∞∞∞---====+-=+-∑∑∑131(1)61321(13)(1)xxx x xxx x -=+=-+-+，11(,)33x ∈-．（3）因为333311()()()11n n x x x xx∞===--∑，因为230111nnn xx x x x x∞===++++++-∑ ，该式两边两阶导数，得23223243(2)(1)(1)nx x n n x x =+⋅+⋅+++++- 0(2)(1)nn nn x ∞==++∑，于是31(2)(1)(1)2nn n n x x ∞=++=-∑，则3333311(2)(1)()()()112n n n n xn n x x xxx∞∞+==++===--∑∑，故级数31()n n x ∞=∑中20x 的系数为19181712⨯=．4．求数项级数的和方法：1）利用级数收敛的定义：先求出部分和n S ，再求其极限S S n n =∞→lim 为所求；2）引入相应的幂级数：① 找一个幂级数n n n x a ∑∞=1，使n nn u x a =0；② 求幂级数nn n x a ∑∞=1的收敛区间(,)R R -，若当0(,)x R R ∈-时，幂级数01nn n a x ∞=∑收敛，则∑∞=1n n u 也收敛；③ 求出幂级数n n n x a ∑∞=1的和函数)(x S ，再让x 在收敛区间内取个特定的值0x x =，即可求出其和．例9．求下列数项级数的和：（1）1n S ∞==∑；（2）∑∞==12n nnS ；（3）∑∞=12!n n n；（4）01(1)(21)!nn n n ∞=+-+∑．解：（1）因为)1()12(+-++-+=n n n n u n ，所以+-+-+-+-=+++=)]32()34[()]21()23[(21n n u u u S+--+-+++-+-+)]1()1[()]43()45[(n n n n)]1()12[(+-++-++n n n n)12(21+-++-=n n12121++++-=n n ．因此该级数的和∑∞=++-+=1)122(n n n n S 21lim -==∞→n n S ．（2）解：设幂级数nn x n ∑∞=1，只要求出幂级数n n x n ∑∞=1在点210=x 收敛，且其和即为数项级数∑∞==12n nnS 的和．显然级数n n x n ∑∞=1的收敛区间为)1,1(-，和函数1111()()nn nn n n S x nxx nxx x ∞∞∞-==='===∑∑∑211(1)n n x x x x x x x ∞=''⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑．当21=x 时，∑∞==12)21(n nn S 2)211(212=-=，即所求的数项级数的和为221==∑∞=n nn S ．或用另一方法如下：该级数的部分和nn n S 223222132++++=，且1432223222121+++++=n n n S ，上两式相减得11322211))21(1(2122121212121++---=-++++=n nn nn n n S ，从而n n n nS 2))21(1(2--=，于是 2]2))21(1(2[lim lim =--==∞→∞→n n n n n nS S ．（3）根据该数项级数的特点，先考虑指数函数xe 的幂级数12012!(1)!(2)!n n n xn n n xxxe n n n --∞∞∞======--∑∑∑，取1=x 得，012111!(1)!(2)!n n n e n n n ∞∞∞======--∑∑∑，因此级数的和∑∞=12!n n n1111(1)!(1)!n n n n n n ∞∞==-+===--∑∑21112(2)!(1)!n n e n n ∞∞==+=--∑∑．（4）因为)!12(1)1(0++-∑∞=n n n n)!12(22)1(210++-=∑∞=n n n n⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-=∑∞=)!12(1)!12(12)1(210n n n n n 01111(1)(1)2(2)!2(21)!nnn n n n ∞∞===-+-+∑∑又由于正弦函数)!12()1(sin 120+-=+∞=∑n xx n n n，余弦函数)!2()1(cos 20n xx nn n∑∞=-=，取1=x ，得)!12(1)1(1sin 0+-=∑∞=n n n，)!2(1)1(1cos 0n n n∑∞=-=，于是)!12(1)1(0++-∑∞=n n n n1(c o s 1s i n 1)2=+．练习题求下列数项级数的和（1）1121211()n n n aa∞+-=-∑；(1a -)（2）1312nn n ∞=-∑．（提示：考虑1(31)n n n x ∞=-∑，结果为5）例10．求极限])2....(842[lim 312719131nnn ∞→．解：因为该级数的一般项为23111231113339273333[248 (2)]22ninni n i n=++++∑== ，所以若求出级数∑∞=13n nn 的和，则∑=∞=∞→133127191312])2....(842[lim n nnn nn ．先求出幂级数∑∞=1n nnx 的和，再取31=x 即得数项级数∑∞=13n nn 的和．因为 1111()()nn nn n n S x n x x n x x x∞∞∞-==='===∑∑∑21()()1(1)nn x x x x x xx ∞=''===--∑，所以 43)311(313)31(20=-==∑∞=n nnS ，从而 211121113l i m ()3339273334l i m [248 (2)]222nnnn n nn nn ∞→∞=+++→∞∑=== ． 5．函数展为幂级数（用间接法展开）例11．将下列函数展为x 的幂级数（1） )1ln()(2++=x x x f ；（2）将)1()(xe dxd x f x-=展开为x 的幂级数，并求数项级数∑∞=+1)!1(n n n 的和；（3）已知61212π=∑∞=n n，求定积分dx xx ⎰-101ln ．解：（1）因为=)(x f )1ln(2++x x 的导数为122()(1)f x x -'=+，),21(2x u m =-=，又导函数122()(1)f x x -'=+的展开式为122()(1)f x x -'=+++-----++---+-+=nxn n x x 242)121()121)(21(!1)121)(21(!21)21(1+--+++-=nnxn n x x 242!)!2(!)!12()1(!!4!!3211∑∞=--+=12!)!2(!)!12()1(1n nnxn n ，上式两边从0到x 积分，得)11(,12!)!2(!)!12()1()(112≤≤-+--+=∑∞=+x n x n n x x f n n n．（2）因为 ),(,!!1!31!211032+∞-∞∈=++++++=∑∞=x n xx n x x x e n nnx，所以xe x1-+∞<<=++++++=∑∞=--||0,!!1413121111132x n xxn x x x n n n上式两边对x 求导，得 )1()(xe dx d xf x-=1122)!1(!1433221-∞=-∑+=+-++++=n n n xn nxn n x x ，当1=x ，即可得11)1()1()!1(1211=+-=-==+==∞=∑x xxx xn xe xexe dxd f n n．（3）因为)1,1(,110-∈=-∑∞=x x x n n，所以111ln ln ()(ln )1nnn n xdx x x dx x xdx x∞∞====-∑∑⎰⎰⎰11112000ln 1(1)n n n x x x n n +∞+=⎡⎤=-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦∑ 1200ln 1lim 1(1)n x n x x n n ∞+→+=⎡⎤=-⎢⎥++⎣⎦∑。

无穷级数重要知识点总结

无穷级数重要知识点总结一、无穷级数的定义1.1 无穷级数的概念无穷级数是一种特殊的数列求和形式。

它由一个无穷数列的项之和构成，通常表示为a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，其中a1, a2, a3, ...是数列的项。

无穷级数的和是用极限的概念来定义的，即当n趋向无穷时，无穷级数的前n项和趋于一个确定的数。

1.2 无穷级数的收敛和发散无穷级数有两种基本的收敛性质：收敛和发散。

当无穷级数的和存在时，我们称这个级数是收敛的；当无穷级数的和不存在时，我们称这个级数是发散的。

1.3 无穷级数的通项无穷级数的通项是指级数中每一项的公式表示。

通项的形式多种多样，可以是一个简单的代数式，也可以是一个复杂的函数表达式。

通项的形式对于判断无穷级数的收敛性有着重要的作用。

二、无穷级数的性质2.1 无穷级数的加法性质如果无穷级数a1 + a2 + a3 + ... + an + ...和无穷级数b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...都存在，那么它们的和也存在，并且等于这两个级数的和的和。

即∑(ai + bi) = ∑ai + ∑bi。

2.2 无穷级数的乘法性质如果无穷级数a1 + a2 + a3 + ... + an + ...和无穷级数b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...都存在，那么它们的乘积也存在，并且等于这两个级数的乘积的和。

即(∑ai) * (∑bi) = ∑(ai * bi)。

2.3 无穷级数的极限性质当n趋向无穷时，无穷级数的前n项和会趋于一个确定的数。

这个极限的存在性和确定性是无穷级数的一个重要性质。

2.4 无穷级数的收敛性质对于一个给定的无穷级数，我们需要研究它的收敛性质，即它是否收敛、以及收敛到哪个数。

无穷级数的收敛性质对于很多数学问题有着深远的影响。

2.5 无穷级数的发散性质发散是无穷级数的另一个重要性质，它表示无穷级数的和不存在。

无穷级数知识点

无穷级数1.级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯一，即: Q Q& Him I 山存在，称级数收敛n ?： kJ2若任意项级数二U n 收敛, n A. £ Un 发散，则称f Un 条件收敛，若:£| n 2 n {n 』 U n |收敛，则称级数f U nn 」绝对收敛，绝对收敛的级数一定条件收敛。

2.任何级数收敛的必要条件是lim u n =0 3若有两个级数’二U n 和v V n ，〔二比=S,二：V n -；- ng n ^l ng ngoO①二(U n »Vn ) = S 士匚，n 4②& U n 收敛，& V n 发散，则二（U n V n ）发散ngn 4nJ③若二者都发散，则 QO QO7 (U n V n )不确定，如v 1,n 4k4Q QQ Q-1发散，而J 1-1 =0收敛kAk 44•三个必须记住的常用于比较判敛的参考级数: -n I 产，收敛，| 瓦ar =彳1 - r 心发散，r >1r <1贷1 :收敛，p>1n^n P 、发冃攵，P^1 £ 1 收敛，p>1 nm nln p n | 发散, p 兰1a ）等比级数:b ） P 级数：c ）对数级数: 5•三个重要结论①E （a n -a n 」）收敛二lim a n 存在②正项（不变号）级数Za .收=''a ；收,反之不成立,|③E a ；和瓦b ：都收敛二Z l anbn l 收，瓦凶或瓦回收 ----------- n n6•常用收敛快慢7.正项（不变号）级数敛散性的判据与常用技巧[\<1，收1.达朗贝尔比值法| lim业发（实际上导致了limA&O）--------------- f u n ―和[|=1,单独讨论（当生为连乘时）f l <1.收2.柯西根值法| |im曲=1 J l >1,发（当4n为某n次方时）r J =1,单独讨论3.比阶法|① 代数式U n E Vn n^V n收敛=> Z_U n收敛，瓦U n发散二瓦V n发散n£n吕门吕n吕② 极限式lim - A，其中：J U n和「V n都是正项级数。

高数第七章无穷级数知识点

第七章无穷级数一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）：1、形如∑∞=-11n n aq的几何级数（等比级数）：当1<q 时收敛，当1≥q 时发散。

2、形如∑∞=11n pn的P 级数：当1>p 时收敛，当1≤p 时发散。

3、⇒≠∞→0lim n n U 级数发散；级数收敛lim =⇒∞→n n U4、比值判别法（适用于多个因式相乘除）：若正项级数∑∞=1n nU，满足条件lU U n n n =+∞→1lim：当1<l 时，级数收敛；当1>l 时，级数发散（或+∞=l ）；当1=l 时，无法判断。

5、根值判别法（适用于含有因式的n 次幂）：若正项级数∑∞=1n nU，满足条件λ=∞→n n n U lim ：当1<λ时，级数收敛；当1>λ时，级数发散（或+∞=λ）；当1=λ时，无法判断。

注：当1,1==λl 时，方法失灵。

6、比较判别法：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散。

（通过不等式的放缩）推论：若∑∞=1n nU与∑∞=1n nV均为正项级数，且lV U nnn =∞→lim（n V 是已知敛散性的级数) 若+∞<<l 0，则级数∑∞=1n nU与∑∞=1n nV有相同的敛散性；若0=l 且级数∑∞=1n nV收敛，则级数∑∞=1n nU收敛；若+∞=l 且级数∑∞=1n nV发散，则级数∑∞=1n nU发散。

7、定义判断：若⇒=∞→C S n n lim 收敛，若nn S ∞→lim 无极限⇒发散。

8、判断交错级数的敛散性（莱布尼茨定理）：满足1+≥n n U U ，⇒=∞→0lim n n U 收敛，其和1u S ≤。

9、绝对收敛：级数加上绝对值后才收敛。

条件收敛：级数本身收敛，加上绝对值后发散。

二、无穷级数的基本性质：1、两个都收敛的无穷级数，其和可加减。

2、收敛的无穷级数∑∞=1n nU，其和为S ，则∑∞=1n naU，其和为aS （0≠a ）（级数的每一项乘以不为0的常数后，敛散性不变） 3、级数收敛，加括号后同样收敛，和不变。

无穷级数总结

无穷级数总结一、概念与性质1.定义：对数列U1,U2^|,U^| , U n称为无穷级数，U n 称为一般项；若部分和数列｛S n｝有极限S，即lim S n S，称级数收敛，否则称为发散•n2•性质①设常数C 0,贝U U n与CU n有相同的敛散性；n 1 n 1②设有两个级数U n与V n，若U n S，V* ，则（U n V n） S ；n 1 n 1 n 1 n 1 n 1若U n收敛，V n发散，则（片V n ）发散；n 1 n 1 n 1若U n，V n均发散，则（U n冷）敛散性不确定；n 1 n 1 n 1③添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；④设级数U n收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和.n 1注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定.⑤级数U n收敛的必要条件：lim U n 0 ；n 1 n注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；②若lim U n 0，则U n未必收敛；n n 1③若U n发散，则lim U n 0未必成立. nn 1二、常数项级数审敛法1.正项级数及其审敛法①定义：若U n 0，则U n称为正项级数•n 1②审敛法：（ii ）比较审敛法：设 U n ①与 V n ②都是正项级数，且U n %（n 1,2,），n 1n 1川则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散•A. 若②收敛，且存在自然数N ，使得当n N 时有U n k%（k 0）成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数 N ，使得当n N 时有U n kv n （k 0）成立，则 ①发散；1B. 设 U n 为正项级数，若有 p 1使得U n 帀（n 1,2,川），则U n 收敛；若n 11（ U n （n nC. 极限形式：U n 与 V n 有相同的敛散性.n 1n 1注：常用的比较级数：①几何级数：n 1 arr 1 1 r ・n 1发散r 1②p 级数：1收敛P 1时n 1n p发散P 1时， ③调和级数:11 1 1发散.n 1 n2n（iii ）比值判别法（达郎贝尔判别法）设 a n 是正项级数，若n 11，或iim; a n 1，推不出级数的敛散.例丄与2，虽然nn 1 n n 1 n充要条件：正项级数U n 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界），贝U Un 发散.n 11,2, U n ①与 V n ②都是正项级数，若lim 也1（0丨），则1 nV n①limna n 1 anr 1，则 a n 收敛；②lim 也 n 1nan r 1，则 a n 发散.n 1注：若limna n 1 anlim a n^ 1, lim n a n 1，但丄发散，而g收敛.n a n n■'n 1 n n 1 n2n ___(iv)根值判别法(柯西判别法)设a n是正项级数，』m ■, a n，若 1 ,n 1 n级数收敛，若1则级数发散.(v)极限审敛法：设u n o，且lim n p u n l，则①lim n p U n l 0且p 1，则级n n数U n发散；②如果p 1，而lim n p U n l(0 l ),则其收n 1 n敛.(书上P317-2- (1))注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法•正项级数的比(根)值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件.2.交错级数及其审敛法①定义：设U n 0(n 1,2J||)，则(1)n 1U n称为交错级数.n 1②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数(1)n 1u n，若u n u n 1且lim u n0，n 1 n贝U ( 1)n1u n收敛.n 1注：比较u n与u n 1的大小的方法有三种：①比值法，即考察也是否小于1；u n②差值法，即考察u n u n 1是否大于0;③由u n找出一个连续可导函数f(x)，使u n f(n) ,(n 1,2,)考察f (x)是否小于0.3.一般项级数的判别法：①若u n绝对收敛，则u n收敛.n 1 n 1②若用比值法或根值法判定|u n |发散，则u n必发散.n 1 n 1、幕级数1. 定义： a n X n称为幕级数.n 02. 收敛性有X 处绝对收敛.反之，若幕级数 a n X n在X !处发散，则其在满足x X !n 0的所有X 处发散. ②收敛半径(i) 定义：若幕级数在X X 0点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在一个正数R ，使得①当X X 0 R 时，幕级数收敛；②当XX 。

高数-第七章-无穷级数-知识点讲课讲稿

高数-第七章-无穷级数-知识点第七章无穷级数一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）：1、形如∑∞=-11n n aq 的几何级数（等比级数）：当1<q 时收敛，当1≥q 时发散。

2、形如∑∞=11n pn的P 级数：当1>p 时收敛，当1≤p 时发散。

3、⇒≠∞→0lim n n U 级数发散；级数收敛lim =⇒∞→n n U4、比值判别法（适用于多个因式相乘除）：若正项级数∑∞=1n nU，满足条件lU U n n n =+∞→1lim：✍当1<l 时，级数收敛；✍当1>l 时，级数发散（或+∞=l ）； ✍当1=l 时，无法判断。

5、根值判别法（适用于含有因式的n 次幂）：若正项级数∑∞=1n nU，满足条件λ=∞→n n n U lim ：✍当1<λ时，级数收敛；✍当1>λ时，级数发散（或+∞=λ）； ✍当1=λ时，无法判断。

注：当1,1==λl 时，方法失灵。

6、比较判别法：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散。

（通过不等式的放缩）推论：若∑∞=1n nU与∑∞=1n nV均为正项级数，且lV U nnn =∞→lim（n V 是已知敛散性的级数)✍若+∞<<l 0，则级数∑∞=1n nU与∑∞=1n nV有相同的敛散性；✍若0=l 且级数∑∞=1n nV收敛，则级数∑∞=1n nU收敛；✍若+∞=l 且级数∑∞=1n nV发散，则级数∑∞=1n nU发散。

7、定义判断：若⇒=∞→C S n n lim 收敛，若nn S ∞→lim 无极限⇒发散。

8、判断交错级数的敛散性（莱布尼茨定理）：满足1+≥n n U U ，⇒=∞→0lim n n U 收敛，其和1u S ≤。

9、绝对收敛：级数加上绝对值后才收敛。

条件收敛：级数本身收敛，加上绝对值后发散。

二、无穷级数的基本性质：1、两个都收敛的无穷级数，其和可加减。

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无穷级数总结一、概念与性质1.定义：对数列 u1, u2 ,L,u n L ，u n称为无穷级数， u n称为一般项；若部分和n 1数列 { S n} 有极限S，即lim S n S ，称级数收敛，否则称为发散 .n2.性质①设常数 c0 ，则u n与cu n有相同的敛散性；n 1n 1②设有两个级数u n与v n，若u n s ，v n，则(u n v n ) s；n1n 1n1n 1n 1若u n收敛，v n发散，则(u n v n ) 发散；n 1n 1n 1若u n，v n均发散，则(u n v n ) 敛散性不确定；n 1n 1n 1③添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；④设级数u n收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．n 1注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定．⑤级数u n收敛的必要条件： lim u n0 ；nn 1注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；②若 lim u n 0 ，则u n未必收敛；n n 1③若u n发散，则n 1二、常数项级数审敛法1.正项级数及其审敛法lim u n0 未必成立．n①定义：若 u n0 ，则u n称为正项级数.n 1② 审敛法：（ i）充要条件：正项级数u n收敛的充分必要条件是其部分和数列有界.n 1（ ii ）比较审敛法：设 u n ①与v n ②都是正项级数，且 u nv n (n1,2,L ) ，n 1n 1则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散 .A. 若②收敛，且存在自然数 N ，使得当 nN 时有 u nkv n (k 0) 成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数 N ，使得当 nN 时有 u n kv n (k0) 成立，则①发散；B. 设u n 为正项级数，若有p 1 使得 u1 (n 1,2,L ) ，则u n收敛；若n 1nnpn1u n1u n 发散 .(n 1,2,L ) ，则nn 1C. 极限形式：设u n ①与v n ②都是正项级数，若 limu nl (0 l) ，则n 1n 1nv nu n 与v n 有相同的敛散性 .n 1n 1注：常用的比较级数：ar n 1ar 1 ；①几何级数：1 rn 1发散r11收敛p时② p 级数：1 ；n 1 n p发散 p1时③ 调和级数：1111 发散．1n2nn（ iii ）比值判别法（达郎贝尔判别法）设a n 是正项级数，若n 1①注：若lima n 1r1，则 a n 收敛；② lima n 1r 1，则a n 发散．na nn 1na nn 1an 1n11lim1，或 lim a n1 ，推不出级数的敛散 .例与，虽然a nn 1n n 1n 2nnliman 11， lim n an 1 ，但1 发散，而 1 收敛 .na nnn 1nn 1n 2（ iv ）根值判别法（柯西判别法）设na n 是正项级数， lim an，若 1 ，n 1n级数收敛，若1则级数发散．（ v）极限审敛法：设u n0 ，且lim n p u n l ，则①lim n p u n l0 且 p 1 ，则级n n数u n发散；②如果 p 1 ，而 lim n p u n l (0l) ,则其收n1n敛．（书上 P317-2-（1））注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法．正项级数的比（根）值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件．2.交错级数及其审敛法①定义：设 u n 0(n 1,2,L ) ，则( 1)n 1u n称为交错级数.n 1②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数( 1)n 1u n，若 u n un 1且 lim u n0 ，n 1n则( 1)n 1 u n收敛.n 1注：比较 u n与 u n 1的大小的方法有三种：①比值法，即考察u n 1是否小于 1；u n②差值法，即考察 u n u n 1是否大于0；③由 u n找出一个连续可导函数 f ( x) ，使 u n f (n), (n 1,2, ) 考察 f ( x) 是否小于0．3.一般项级数的判别法：①若u n绝对收敛，则u n收敛 .n 1n1②若用比值法或根值法判定| u n |发散，则u n必发散.n1n1三、幂级数1.定义：a n x n称为幂级数.n 02.收敛性① 阿贝尔定理：设幂级数a n x n在 x00处收敛，则其在满足 x x0的所n 0有 x 处绝对收敛．反之，若幂级数 a n x n在 x1处发散，则其在满足 xx1n 0的所有 x 处发散．② 收敛半径（i）定义：若幂级数在x x0点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在一个正数 R ，使得①当x x0R 时，幂级数收敛；②当x x0R 时，幂级数发散；R称为幂级数的收敛半径.（ii ）求法：设幂级数 a n x n的收敛半径为R，其系数满足条件 lim an 1l ，n 0n a n或 lim n a n l，则当 0 l时， R1；当 l 0 时， R，n l当l时，R 0．注：求收敛半径的方法却有很大的差异．前一个可直接用公式，后一个则须分奇、偶项（有时会出现更复杂的情况）分别来求．在分成奇偶项之后，由于通项中出现缺项，由此仍不能用求半径的公式直接求，须用求函数项级数收敛性的方法．（i ii ）收敛半径的类型A.R 0 ，此时收敛域仅为一点；B.R，此时收敛域为( , )；C. R =某定常数，此时收敛域为一个有限区间．3.幂级数的运算（略）4.幂级数的性质①若幂级数的收敛半径R 0 ，则和函数S( x) a n x nn 0②若幂级数的收敛半径R 0 ，则和函数S( x) a n x nn 0在收敛区间在收敛区间( R, R) 内连续．( R, R) 内可导，且可逐项求导，即 S ( x) (a n x n )(a n x n )na n x n 1，收敛半径不变．n 0n 0n 1③若幂级数的收敛半径 R 0 ，则和函数S( x) a n x n在收敛区间 ( R, R) 内可积，n0x xa n t n )dt x且可逐项积分，即S(t )dt(a n t n dt ( x ( R, R)) ，收敛半径不00n 0n 00变．5.函数展开成幂级数①若 f ( x) 在含有点 x 0 的某个区间 I 内有任意阶导数， f ( x) 在 x 0 点的 n 阶泰勒公式为 f ( x)f ( x 0 ) f (x 0 )( x x 0 )f (x 0 )2 f (n) ( x 0 )2! (x x 0 )( x x 0 )n!f (n1) ()( x x 0 )( n 1)，记 R n ( x) f (n1) ()x 0) ( n 1) ，介于 x, x 0 之间，则 f ( x) 在 ( n 1)!(n 1)! ( xI 内能展开成为泰勒级数的充要条件为lim R n ( x) 0,x I .n②初等函数的泰勒级数 ( x 0 0)（ i ） e xx n , x (,) ；n 0 n!（ ii ） sin x(1) n 1 x 2n 1 , x( ,) ；n 1(2n 1)!（ iii ） cos x( 1) nx 2n( ,) ；( 2n)! , xn 0（ iv ） ln(1 x)( 1) n x n 1( 1, 1] ；n 1, xn 0（ v ） (1 x)1(1) ( n 1) x n , x( 1, 1), (R) ；n 1n!（ vi ）1xx n , x1 ；1 x( 1) n x n , x 1.1 n 01 n 06.级数求和①幂级数求和函数解题程序（ i ）求出给定级数的收敛域；（ ii ）通过逐项积分或微分将给定的幂级数化为常见函数展开式的形式（或易看出其假设和函数 s( x) 与其导数 s ( x) 的关系），从而得到新级数的和函数；注：系数为若干项代数和的幂级数，求和函数时应先将级数写成各个幂级数的代数和，然后分别求出它们的和函数，最后对和函数求代数和，即得所求级数的和函数．②数项级数求和（ i ）利用级数和的定义求和，即 lim S n s ，则u n s ，其中nn 1ns n u 1 u 2u nu k ．根据 s n 的求法又可分为：直接法、拆项法、递k1推法．A. 直接法：适用于u k 为等差或等比数列或通过简单变换易化为这两种数列；k 1B.拆项法：把通项拆成两项差的形式，在求n 项和时，除首尾两项外其余各项对消掉．（ ii ）阿贝尔法（构造幂级数法）a nlima n x n ，其中幂级数a n x n ，可通n 0x 1 n 0n 0过逐项微分或积分求得和函数 S(x) ．因此a nlim s(x) ．n 0x 1四、傅里叶级数 1. 定义①定义 1：设 f (x) 是以 2为周期的函数，且在 [ , ] 或 [ 0, 2 ] 上可积，则11a nf ( x) cos nxdx11b nf ( x) sin nxdx2 0, 1, 2 ) ，f (x) cosnxdx, (n 02 1, 2, ) ，f (x) sin nxdx,( n 0称为函数 f (x) 的傅立叶系数．②定义 2：以 f (x) 的傅立叶系数为系数的三角级数1 a 0(a n cos nx b n sin nx) ．2n 1称为函数 f ( x) 的傅立叶级数，表示为f ( x)～1a 0(a n cos nx b n sin nx) ．2n 1③定义 3：设 f (x) 是以 2l 为周期的函数，且在 [l , l ] 上可积，则以1l f (x) cosn xdx, (n 0, 1, 2 ) ，a nll l1lf (x) sinnxdx, (n 1, 2) 为系数的三角级数 b nll l1a 0( a n cosnx b n sinnx)称为 f ( x) 的傅立叶级数，表示为2n 1llf ( x)～ 1a 0(a n cosnx b n sin nx) ．2l ln 12. 收敛定理（狄里赫莱的充分条件）设函数f ( x) 在区间 [ , ] 上满足条件①除有限个第一类间断点外都是连续的；②只有有限个极值点，则 f ( x) 的傅立叶级数在 [ ,] 上收敛，且有f x ), x 是 f x 的连续点；( ( )1[ f ( x 0 0) f ( x 0 0)],a 02 .( a n cos nx b n sin nx)2x 是 f x 的第一类间断点；n 1( )1[ f (0)f (0)], x23. 函数展开成傅氏级数①周期函数（ i ）以 2 为周期的函数 f ( x) ： f ( x)～ aa n cos nxb n sin nx2n 11f ( x) cos nxdx(n 0, 1, 2, ) ， b n 1f ( x) sin nxdx(n1, 2,) ；a n注：①若 f ( x) 为奇函数，则 f ( x)～b n sin nx (正弦级数 )， a n 0 (n0, 1, 2, )n 1b n2f ( x)sin nxdx(n1, 2, ) ；②若 f ( x) 为偶函数，则f x ～a 0a n cos nx (余弦级数 )，( )2n 1a n2f ( x)cos nxdx (n0,1, 2, ) ， b n 0(n 1, 2, ) .（ ii ）以 2l 为周期的函数 f ( x) ： f x ～aa nnn x)( )2 cosx + bn sinn 1l l1lnxdx(n0, 1, 2,1l n xdx(n 1, 2, ) ；a nf (x) cos) ， b nf (x) sinllllll注：①若 f ( x) 为奇函数，则 f ( x)～b n sinn0 (n0,1, 2, )x (正弦级数 )， a nn 1l2 b nll 0f ( x)sin nxdx(n 1, 2, ) ；l②若 f ( x) 为偶函数，则f x ～aa nn ( )cosx ， (余弦级数 )2n 1l2a nllf ( x)cos nxdx (n 0, 1, 2, ) ， b n 0(n 1, 2, ) .l②非周期函数（ i ）奇延拓：f ( x), 0 x，则 F ( x) 除 x 0 外在A. f (x) 为 [0, ] 上的非周期函数，令 F ( x)x),xf ([, ] 上为奇函数， f ( x)～ b n sin nx ( 正弦级数 ) ， b n2f (x)sin nxdxn 1(n1, 2, ) ；B.f (x), 0 x lf (x) 为 [0, l ] 上的非周期函数，则令 F (x)f ( x), l，则 F (x) 除 x 0 外x 0在 [,] 上为奇函数，～n2f ( x)b n sin x (正弦级数)，b nn 1l l (n1, 2,) .lnf ( x)sin xdx l（ ii ）偶延拓：A. f (x)为[0,] 上的非周期函数，令 F ( x) f ( x),0x，f ( x),x0则 F (x) 除x0 外在[ ,] 上为偶函数， f (x)～a0a n cosnx (余2n 1弦级数 )，a n 20, 1, 2,) .f ( x)cos nxdx (nB. f (x)为[0, l ]上的非周期函数，令 F ( x) f ( x),0x l，则f ( x),l x0f ( x)～a0a n cosnx (余弦级数)，a n22n 1l llf ( x)cosnxdx (n 0,1, 2, ).l注：解题步骤：①画出图形、验证狄氏条件．画图易于验证狄氏条件，易看出奇偶性；②求出傅氏系数；③写出傅氏级数，并注明它在何处收敛于 f ( x) ．。

无穷级数知识点汇总

无穷级数知识点汇总一、数项级数（一）数项级数的基本性质1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .（即部分和数列收敛）3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散.4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变.5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv之间自某项以后成立着关系：存在常数0>c ，使),2,1( =≤n cv u n n ，那么（i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.推论：设两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，且自某项以后有nn n n v v u u 11++≤，那么（i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.（3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，若0lim >=∞→l v u nnn ，那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容）另外，若0=l ，则当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；若∞=l ，则当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.常用度量： ①等比级数：∑∞=0n nq，当1<q 时收敛，当1≥q 时发散；②p -级数：∑∞=11n p n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散(1=p 时称调和级数)； ③广义p -级数：()∑∞=2ln 1n pn n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散.④交错p -级数：∑∞=--111)1(n pn n ，当1>p 时绝对收敛，当10≤<p 时条件收敛. （4）达朗贝尔判别法的极限形式（商值法）：对于正项级数∑∞=1n n u ，当1lim1<=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 收敛；当1lim1>=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 发散；当1=r 或1=r 时需进一步判断. （5）柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正项级数∑∞=1n nu，设n n n u r ∞→=lim ，那么1<r 时此级数必为收敛，1>r 时发散，而当1=r 时需进一步判断. （6）柯西积分判别法：设∑∞=1n nu为正项级数，非负的连续函数)(x f 在区间),[+∞a 上单调下降，且自某项以后成立着关系：n n u u f =)(，则级数∑∞=1n n u 与积分⎰+∞)(dx x f 同敛散.2.任意项级数的理论与性质（1）绝对收敛与条件收敛：①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然； ②对于级数∑∞=1n nu，将它的所有正项保留而将负项换为0，组成一个正项级数∑∞=1n nv，其中2nn n u u v +=；将它的所有负项变号而将正项换为0，也组成一个正项级数∑∞=1n nw，其中2nn n u u w -=，那么若级数∑∞=1n nu绝对收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都收敛；若级数∑∞=1n nu条件收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都发散.③绝对收敛级数的更序级数（将其项重新排列后得到的级数）仍绝对收敛，且其和相同. ④若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都绝对收敛，它们的和分别为U 和V ，则它们各项之积按照任何方式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV .特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11n n n n v u 也绝对收敛，且和也为UV . 注：⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∞=∞=∞=111n n n n n n v u c ，这里121121v u v u v u v u c n n n n n ++++=-- .（2）交错级数的敛散性判断（莱布尼兹判别法）:若交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足0lim =∞→n n u ，且{}n u 单调减少（即1+≥n n u u ），则∑∞=--11)1(n n n u 收敛，其和不超过第一项，且余和的符号与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值.二、函数项级数（一）幂级数1.幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域（1）柯西-阿达马定理：幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x <-0内绝对收敛，在Rx x >-0内发散，其中R 为幂级数的收敛半径. （2）阿贝尔第一定理：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处收敛，则它必在00x x x -<-ξ内绝对收敛；又若∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处发散，则它必在00x x x ->-ξ也发散.推论1：若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处收敛，则它必在ξ<x 内绝对收敛；又若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处发散，则它必在ξ>x 时发散.推论2：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处条件收敛，则其收敛半径0x R -=ξ，若又有0>n a ，则可以确定此幂级数的收敛域.（3）收敛域的求法：令1)()(lim1<+∞→x a x a nn n 解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性，取并集.2.幂级数的运算性质（1）幂级数进行加减运算时，收敛域取交集，满足各项相加；进行乘法运算时，有：∑∑∑∑∞==-∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0000n n n i i n i n n n n n n x b a x b x a ，收敛域仍取交集. （2）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内处处连续，且若幂级数∑∞=-00)(n nn x x a在R x x -=0处收敛，则)(x S 在[)R x R x +-00,内连续；又若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x +=0处收敛，则)(x S 在(]R x R x +-00,内连续.（3）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变. 3.函数的幂级数展开以及幂级数的求和（1）常用的幂级数展开：① +++++=nxx n x x e !1!2112∑∞==0!n n n x ，x ∈(-∞, +∞).②=11x -1+x +x 2+···+x n +··· =∑∞=0n n x ，x ∈(-1, 1). 从而，∑∞=-=+0)(11n nx x ，∑∞=-=+022)1(11n n n x x . ③∑∞=+++-=++-+-+-=0121253)!12()1()!12()1(!51!31sin n n nn n n x n x x x x x ，x ∈(-∞, +∞).④∑∞=-=+-+-+-=02242)!2()1()!2()1(!41!211cos n n n n n n x n x x x x ，x ∈(-∞, +∞). ⑤∑∞=-+-=++-+-+-=+11132)1(11)1(3121)1ln(n n n n n n x x n x x x x ，x ∈(-1, 1]. ⑥ ++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα，x ∈(-1, 1).⑦1202123)12()!(4)!2(12!)!2(!)!12(321arcsin +∞=+∑+=++-+++=n n n n x n n n n x n n x x x ，x ∈[-1, 1]. ⑧120123121)1(121)1(31arctan +∞=++-=++-++-=∑n n n n n x n x n x x x ，x ∈[-1, 1].（2）常用的求和经验规律：①级数符号里的部分x 可以提到级数外；②系数中常数的幂中若含有n ，可以与x 的幂合并，如将n c 和n x 合并为ncx )(； ③对∑∞=0n nnx a求导可消去n a 分母因式里的n ,对∑∞=0n n n x a 积分可消去n a 分子因式里的1+n ；④系数分母含!n 可考虑x e 的展开，含)!2(n 或)!12(+n 等可考虑正余弦函数的展开； ⑤有些和函数满足特定的微分方程，可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解. （二）傅里叶级数1.狄利克雷收敛定理（本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立）若)(x f 以l 2为周期，且在[-l , l ]上满足： ①连续或只有有限个第一类间断点； ②只有有限个极值点；则)(x f 诱导出的傅里叶级数在[-l , l ]上处处收敛. 2. 傅里叶级数)(x S 与)(x f 的关系：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++--++=.2)0()0(2)0()0()()(为边界点，为间断点；，为连续点；，x l f l f x x f x f x x f x S3.以l 2为周期的函数的傅里叶展开展开：∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=10sin cos 2)(~)(n n n l x n b l x n a a x S x f ππ（1）在[-l , l ]上展开：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰---l ln l l n l l dx l x n x f l b dx l x n x f l a dx x f l a ππsin )(1cos )(1)(10；（2）正弦级数与余弦级数：①奇函数（或在非对称区间上作奇延拓）展开成正弦级数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰l n n dxl x n x f l b a a 00sin )(200π；②偶函数（或在非对称区间上作偶延拓）展开成余弦级数：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰0cos )(2)(2000n l n l b dx l x n x f l a dx x f l a π；4.一些在展开时常用的积分：（1）;0cos ;1)1(sin 010=+-=⎰⎰+ππnxdx nnxdx n（2）2sin 1cos ;1sin 2020πππn n nxdx n nxdx ==⎰⎰；（3）2022010)1(2cos 1)1(cos ;)1(sin n nxdx x n nxdx x n nxdx x n n n -=--=-=⎰⎰⎰+πππππ；；（4）C nx n nx a e n a nxdx e axax +-+=⎰)cos sin (1sin 22； C nx a nx n e na nxdx e ax ax +++=⎰)cos sin (1cos 22；（5）C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21sin sin ；C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21cos cos .注：①求多项式与三角函数乘积的积分时可采用列表法，注意代入端点后可能有些项为0； ②展开时求积分要特别注意函数的奇偶性及区间端点和间断点的特殊性； ③对于π≠l 的情形，事先令x lt π=对求积分通常是有帮助的.。

无穷级数知识点总复习

无穷级数知识点总复习本章重点是判断数项级数的敛散性，幂级数与傅里叶级数的展开与求和． §7.1 数项级数本节重点是级数的性质，正项级数的几个判别法，交错级数的莱布尼兹判别法，任意项级数绝对收敛与条件收敛．● 常考知识点精讲一、数项级数的概念1．数项级数定义定义：设{}n u 是一个数列，则称表达式121nn n uu u u ∞==++++∑L L为一个数项级数，简称级数，其中第n 项n u 称为级数的通项或一般项，1nn kk S u==∑称为级数的前n 项部分和． 2．级数收敛的定义定义：若数项级数1nn u∞=∑的部分和数列{}n S 有极限，则称级数1nn u∞=∑收敛，极限值lim n n S →∞称为此级数的和．当lim n n S →∞不存在时，则称级数1nn u∞=∑发散．利用级数收敛的定义，易知当1q <时，几何级数1nn q∞=∑收敛，和为11q-；当1q ≥，几何级数发散．[例1.1] 判断下列级数的敛散性⑴11(1)n n n ∞=+∑ ⑵1(1)n n n ∞=+-∑解：⑴由于 1111223(1)n S n n =+++⋅⋅+L 111111(1)()()122311n n n =-+-++-=-++L 所以 1lim lim(1)11n n n S n →∞→∞=-=+，故级数11(1)n n n ∞=+∑收敛．⑵ 由于(21)(32)(1)11n S n n n =-+-+++-=+-L所以lim n n S →∞=+∞，故级数1(1)n n n ∞=+-∑发散．二、级数的基本性质及收敛的必要条件1．设11,n nn n u v∞∞==∑∑都收敛，和分别为,a b ，则1()nn n uv ∞=±∑必收敛，且1()n n n u v a b ∞=±=±∑；评注：若1nn u∞=∑收敛，1nn v∞=∑发散，则1()nn n uv ∞=±∑必发散；若11,n n n n u v ∞∞==∑∑都发散，则1()nn n uv ∞=±∑可能发散也可能收敛．2．设k 为非零常数，则级数1nn u∞=∑与1nn ku∞=∑有相同的敛散性；3．改变级数的前有限项，不影响级数的敛散性； 4．级数收敛的必要条件：如果1nn u∞=∑收敛，则lim 0n n u →∞=；5．收敛的级数在不改变各项次序前提下任意加括号得到的新级数仍然收敛且和不变．评注：若某级数添加括号后所成的级数发散，则原级数亦发散． [例1.2] 判断下列级数的敛散性⑴111111210420210n n +++++++L L ⑵ 1(21)(1)(2)n n n n n ∞=+++∑解：⑴由于112n n ∞=∑收敛，1110n n ∞=∑发散，所以 111()210n n n ∞=+∑发散，由性质5的“注”可知级数111111210420210n n+++++++L L 发散； ⑵ 由于(21)lim20(1)(2)n n n n n →∞+=≠++，不满足级数收敛的必要条件，所以级数1(21)(1)(2)n n n n n ∞=+++∑发散．三、正项级数及其敛散性判别法各项为非负（0n u ≥）的级数1nn u∞=∑称为正项级数．1．正项级数收敛的基本定理定理：设{}n S 是正项级数1nn u∞=∑的部分和数列，则正项级数1nn u∞=∑收敛的充要条件是数列{}n S 有界．当1p >时，p 级数11pn n∞=∑收敛；当1p ≤时，p 级数发散．（1p =时的p 级数也叫调和级数）2．正项级数的比较判别法定理：（正项级数比较判别法的非极限形式）设11,n nn n u v∞∞==∑∑都是正项级数，并设0,()n n u v n N ≤≥，则⑴ 若1nn v∞=∑收敛，则1nn u∞=∑收敛；⑵ 若1nn u∞=∑发散，则1nn v∞=∑发散．定理：（正项级数比较判别法的极限形式）设11,n nn n u v∞∞==∑∑都是正项级数，并设limnn nu v ρ→∞=或为+∞，则⑴ 当ρ为非零常数时，级数11,n nn n u v∞∞==∑∑有相同的敛散性；⑵ 当0ρ=时，若1nn v∞=∑收敛，则必有1nn u∞=∑收敛；⑶ 当ρ=+∞时，若1nn v∞=∑发散，则必有1nn u∞=∑发散．评注：用比较判别法的比较对象常取p -级数与等比级数及211ln 1pn p n n p ∞=>⎧⎨≤⎩∑时，收敛时，发散． 3．正项级数的比值判别法定理：设1n n u ∞=∑是正项级数，若1limn n nu u ρ+→∞=或为+∞，则级数1n n u ∞=∑有 ⑴ 当1ρ<时，收敛； ⑵ 当1ρ>或∞时，发散； ⑶ 当1ρ=时，敛散性不确定．评注：⑴ 若11n n u u +≥(1,2,)n =L ，则级数1n n u ∞=∑必发散； ⑵ 如果正项级数通项中含有阶乘，一般用比值判别法判定该级数的敛散性； ⑶ 当1limn n nu u +→∞=1或不存在（但不为∞），则比值判别法失效．4．正项级数的根值判别法将比值判别法中的1n nu u +改成n n u ，其它文字叙述、结论均不改动，即为根值判别法． 5．利用通项关于无穷小1n的阶判定正项级数的敛散性定理：设1n n u ∞=∑是正项级数，n u 为1()n n →∞的k 阶无穷小，则当1k >时，正项级数1nn u ∞=∑收敛；当1k ≤时，正项级数1nn u∞=∑发散．[例1.3] 判断下列级数的敛散性 ⑴1111n nn∞+=∑⑵213n n n ∞=∑ ⑶11(ln(1))n n n ∞=+∑ ⑷21(1)n n n n ∞=+∑ 解：⑴ 由于1111lim lim 11nn n n nn n+→∞→∞==，而级数11n n ∞=∑发散，故原级数发散； ⑵ 由于2112(1)31lim lim 133n n n n n nu n u n ++→∞→∞+=⨯=<，所以由比值判别法可得，原级数收敛；⑶ 由于11lim lim 01(ln(1))ln(1)nn n n n n →∞→∞==<++，所以由根值判别法可知，原级数收敛；⑷ 由于2(1)n n n +为1()n n→∞的32阶无穷小，所以原级数收敛．四、交错级数及其敛散性判别法1．交错级数定义定义：若级数的各项是正项与负项交错出现，即形如112341(1),(0)n n n n u u u u u u ∞-=-=-+-+>∑L的级数，称为交错级数．2．交错级数的莱布尼兹判别法定理：若交错级数11(1),(0)n n n n u u ∞-=->∑满足条件⑴ 1(1,2,)n n u u n +≥=L ； ⑵ lim 0n n u →∞=，则交错级数11(1),(0)n n n n u u ∞-=->∑收敛，其和1S u ≤其余项n S S -满足1n n S S u +-≤．五、任意项级数及其绝对收敛若级数1nn u∞=∑的各项为任意实数，则称它为任意项级数．1．条件收敛、绝对收敛若1nn u∞=∑收敛，则称1nn u∞=∑绝对收敛；若1nn u∞=∑发散但1nn u∞=∑收敛，则称1nn u∞=∑条件收敛．评注：绝对收敛的级数不因改变各项的位置而改变其敛散性与其和． 2．任意项级数的判别法定理：若级数1nn u∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛．即绝对收敛的级数一定收敛．[例1.4] 判断下列级数是否收敛？若收敛，指明是绝对收敛还是条件收敛 ⑴111(1)3n n n n ∞--=-∑ ⑵111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑ 解：⑴ 记11(1)3n n n nu --=- 因为 11131lim lim 133n n n n n nu n u n -+→∞→∞+=⨯=<所以级数1nn u∞=∑收敛，故原级数收敛且为绝对收敛；⑵ 记11(1)ln(1)n n u n -=-+由于1n u n >，而11n n ∞=∑发散，所以级数1n n u ∞=∑发散又1nn u∞=∑是一交错级数，10()ln(1)n u n n =→→∞+，且1n n u u +>，由莱布尼兹定理知，原级数收敛，故原级数条件收敛．●● 常考题型及其解法与技巧一、概念、性质的理解[例7.1.1] 已知11(1)2n n n a ∞-=-=∑，2115n n a ∞-==∑，则级数1n n a ∞=∑的和等于__________.解：由于11(1)2n n n a ∞-=-=∑，所以根据级数的性质可得 21212()n n n a a ∞-==-∑从而21212211352[()]n n n n n n aa a a ∞∞--===-=--=∑∑因此21211()538n n n n n a aa ∞∞-===+=+=∑∑．[例7.1.2] 设10n u n≤≤，则下列级数中肯定收敛的是（A ）1nn u∞=∑；（B ）1(1)nnn u∞=-∑；（C ）1n n u ∞=∑；（D ）21(1)nnn u∞=-∑解：取11n u n =+，则10n u n ≤≤，此时（A ）1n n u ∞=∑与（C ）1n n u ∞=∑都发散；若取1(1)2n n u n +-=，则10n u n ≤≤，此时（B ）111(1)2nn n n u n∞∞==-=∑∑发散；由排除法可得应选（D ）．事实上，若10n u n ≤≤，则2210n u n≤≤，根据“比较判别法”得21nn u∞=∑收敛．从而21(1)nnn u∞=-∑收敛，故应选（D ）．[例7.1.3] 已知级数2121()n n n uu ∞-=+∑发散，则（A ）1nn u∞=∑一定收敛，（B ）1nn u∞=∑一定发散（C ）1nn u=∑不一定收敛（D ）lim 0n n u →∞≠解：假设1nn u∞=∑收敛，则根据级数敛散的性质，不改变各项的次序加括号后得到的新级数仍然收敛，即2121()n n n uu ∞-=+∑也收敛．这与已知矛盾，故1n n u ∞=∑一定发散．应选（B ）．[例7.1.4] 设正项级数1n n u ∞=∑的部分和为n S ，又1n nv S =，已知级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1nn u ∞=∑必（A ）收敛（B ）发散（C ）敛散性不定（D ）可能收敛也可能发散解：由于级数1n n v ∞=∑收敛，所以根据收敛的必要条件可得lim 0n n v →∞=，又1n nv S =，所以lim n n S →∞=∞，故级数1n n u ∞=∑发散，故应选（B ）． [例7.1.5] 设有命题（1）若1nn a∞=∑收敛，则21nn a∞=∑收敛；（2）若1n n a ∞=∑为正项级数，且11(1,2,)n n a n a +<=L ，则1n n a ∞=∑收敛；（3）若存在极限lim 0nn nu l v →∞=≠，且1n n v ∞=∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛；（4）若(1,2,3,)n n n w u v n <<=L ，又1nn v∞=∑与1nn w∞=∑都收敛，则1nn u∞=∑收敛．则上述命题中正确的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4解：关于命题（1），令(1)n n a n -=，则1n n a ∞=∑收敛，但21112n n n a n ∞∞===∑∑发散，所以不正确；关于命题（2），令1n a n =，则1n n a ∞=∑为正项级数，且11(1,2,)n n a n a +<=L ，但1n n a ∞=∑发散，所以不正确；关于命题（3），令1(1)(1),nnn n u v n nn --=+=，则在极限lim0n n n u l v →∞=≠，且1n n v ∞=∑收敛，但1nn u=∑发散，所以不正确；关于命题（4），因为(1,2,3,)n n n w u v n <<=L ，所以0n n n n u w v w <-<-，因为1nn v∞=∑与1nn w∞=∑都收敛，所以由“比较判别法”知1()nn n uw ∞=-∑收敛，故1n n u ∞=∑收敛．故应选（A ）．二、正项级数敛散性的判定正项级数1nn u∞=∑判别敛散的思路：①首先考察lim n n u →∞（若不为零，则级数发散；若等于零，需进一步判定）；②根据一般项的特点选择相应的判别法判定．评注：⑴ 若一般项中含有阶乘或者n 的乘积形式，通常选用比值判别法： ⑵ 若一般项中含有以n 为指数幂的因式，通常采用根值判别法：⑶ 若一般项中含有形如n α（α为实数）的因式，通常采用比较判别法．⑷ 如果以上方法还行不通时，则可考虑用敛散的定义判定． [例7.1.6] 判断下列级数的敛散性（1）21sin 2n n n π∞=∑ （2）1!2n n n n n∞=∑ （3）221(1)2n n n n n n ∞=+∑ （4）312ln n n n∞=∑（5）2111n n n∞=++∑（6）321(1)n nn n∞=+∑ 解：（1）用比值法．221122(1)sin(1)122limlim12sin22n n n n nn n n n n ππππ++→∞→∞++⋅==<⋅，所以原级数收敛．（2）用比值法．11(1)!22(1)lim2lim 1!2(1)n n n n n n n nn n n n n en ++→∞→∞++==<+，所以原级数收敛．（3）用根值法．22(1)1(1)lim lim 1222n n nn nn n n n n e n n→∞→∞++==>，所以原级数发散．（4）用比较法．取541n v n =，因为14ln lim lim 0n n n nu n v n →∞→∞==，而5141n n ∞=∑收敛，所以原级数收敛．（5）用比较法．取1n v n =，因为2lim lim 11n n n nu n v n n →∞→∞==++，而11n n ∞=∑发散，所以原级数发散．（6）由于32lim10(1)n nn n→∞=≠+，故由级数收敛的必要条件知原级数发散．评注：在考研题中遇到该类问题应①先看当n →∞时，级数的通项n u 是否趋向于零（如果不易看出，可跳过这一步），若不趋于零，则级数发散；若趋于零，则②再看级数是否为几何级数或p 级数，因为这两种级数的敛散性已知．如果不是几何级数或p 级数，则③用比值判别法进行判定，如果比值判别法失效，则④再用比较判别法进行判定．常用来做比较的级数主要有几何级数、p 级数等． [例7.1.7] 判断下列级数的敛散性（1）1(sin )n nn ππ∞=-∑ （2）111(ln(1))n n n ∞=-+∑ 分析：用比值判别法失效，用比较判别法不易找到用来作比较的级数，此时一般利用通项关于无穷小1n的阶判定正项级数的敛散性．解：（1）考查 sin lim 1()n k nn nππ→∞-换成连续变量x ，再用罗必达法则，2110001()sin()cos()2lim lim lim k k k x x x x x x x x kx kx πππππππ+++--→→→--== 取3k =，上述极限值为316π．所以原级数与311n n ∞=∑同敛散，故原级数收敛．（2）考查 11ln(1)lim 1()n k nn n→∞-+ 换成连续变量x ，再用罗必达法则，1200011ln(1)11lim lim lim (1)k k k x x x x x x x kx kx x +++--→→→--++==+ 取2k =，上述极限值为12．所以原级数与211n n ∞=∑同敛散，故原级数收敛． [例7.1.8] 研究下列级数的敛散性（1）1!n n n a n n∞=∑（0a >是常数）；（2）1nn n αβ∞=∑，这里α为任意实数，β为非负实数．分析：此例中两个级数的通项都含有参数．一般说来，级数的敛散性与这些参数的取值有关．对这种情况通常由比值判别法进行讨论．解：（1）记!n n n a n u n=，由比值判别法可得111(1)!lim lim lim 1(1)!(1)n n n n n n n n n n u a n n a au n a n e n+++→∞→∞→∞+=⋅==++ 显然，当a e <时，级数收敛；当a e >时，级数发散；当a e =时，由于111(1)!11(1)!(1)n n n n n nn u e n n eu n e n n++++=⋅=>++，所以lim 0n n u →∞≠，故级数发散．（2）记nn u n αβ=，由比值判别法可得11(1)1lim lim lim()n n n n n n nu n n u n n αααββββ++→∞→∞→∞++==⋅= 显然，当01β≤<，α为任意实数时，级数收敛；当1β>时，α为任意实数时，级数发散；当1β=时，比值判别法失效．这时n u n α=，由p 级数的敛散性知，当1α<-时，级数收敛；当1α≥-时，级数发散． [例7.1.9] 判别下列级数的敛散性（1）14011n n xdx x ∞=+∑⎰（2）11n x n n e dx ∞+-=∑⎰ 分析：此例两个级数的通项都是由积分给出的正项级数．如果能把积分求出来，再判定其敛散性，这样做固然可以，但一般工作量较大．常用的方法是利用积分的性质对积分进行估值．估值要适当：若放大则不等式右端应是某收敛的正项级数的通项；若缩小，则不等式左端应是某发散的正项级数的通项．解：（1）因为10x n <<时，411x x x n<<+，所以 132410()1n x dx x n<<+⎰由于级数3211()n n∞=∑收敛，所以原级数收敛．（2）因为函数xe-在区间[,1]n n +上单减，所以110n n x n n nne dx e dx e ++---<<=⎰⎰由于22limlim 01n n n n e n e n-→∞→∞==，又因为级数211n n∞=∑收敛，所以原级数收敛．三、交错级数判定敛散判别交错级数1(1),(0)nnnn u u∞=->∑敛散性的方法：法一：利用莱布尼兹定理；法二：判定通项取绝对值所成的正项级数的敛散性，若收敛则原级数绝对收敛；法三：将通项拆成两项，若以此两项分别作通项的级数都收敛则原级数收敛；若一收敛另一发散，则原级数发散；法四：将级数并项，若并项后的级数发散，则原级数发散．评注：法二、法三和法四适应于{}n u 不单调减少或判定单调很困难的交错级数． [例7.1.10] 判定下列级数的敛散性（1）111(1)ln n n n n ∞-=--∑ （2）2(1)(1)nnn n ∞=-+-∑ （3）11111112223334-+-+-+⨯⨯⨯L （4）2011sin 46(1)2n n n n n ∞-=-∑ 解：（1）该级数是交错级数，显然1lim0ln n n n→∞=-．令1()ln f x x x =-，则211()0,(1)(ln )x f x x x x -+'=<≥-，所以1ln n n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭单调减少．由莱布尼兹判别法可知，原级数收敛．（2）不难得到数列1(1)n n ⎧⎫⎨⎬+-⎩⎭不单调．而(1)(1)((1))1(1)111(1)n n n nnn n n n n n --+-==-+---+-，显然，级数211n n ∞=-∑发散；又级数2(1)1nn nn ∞=--∑是交错级数，显然满足lim01n n n →∞=-，令2(),(2)1x f x x x =≥-，则2221()0(1)x f x x --'=<-，所以1n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭单调减少，由莱布尼兹判别法可得，级数2(1)1nn nn ∞=--∑收敛．故由级数敛散的性质可得，原级数发散．（3）不难得到{}n u 不单调，但有1111111(1)()()122233341n n ∞=-+-+-+=⨯⨯⨯+∑L即加括号后得到的新级数发散，利用级数的性质可知，原级数发散．（4）显然判定数列20sin 462n nn ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的单调性很麻烦．但 20sin 4622n nn n n ≤，而由比值判别法易得到级数12n n n ∞=∑收敛，所以级数201sin 462n n n n ∞=∑收敛．从而原级数收敛，且绝对收敛．四、判定任意项级数的敛散性对任意项级数1nn u∞=∑，主要研究它绝对收敛性和条件收敛性．解题的一般思路：①先看当n →∞时，级数的通项n u 是否趋向于零，若不趋于零，则级数发散；若趋于零，则②按正项级数敛散性的判别法，判定1nn u∞=∑是否收敛，若收敛，则级数1nn u∞=∑绝对收敛；若发散，则③若上述发散是由正项级数的比值判别法或根值判别法得到，则原级数发散；若是由比较判别法判定的，此时应利用交错级数莱布尼兹判别法或级数敛散的性质判定1nn u∞=∑是否收敛（若收敛则为条件收敛）．[例7.1.11] 讨论下列级数的敛散性，若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛，说明理由（1）21sin,,n n n n αβπαβ∞=++∑为常数；（2）(1)1sin n n n x dx x ππ∞+=∑⎰；（3）111111111(0)12345678a a a a a a a a a a +-++-++-+≠++++++++L ．解：（1）2sinsin[()](1)sin()n n n n u n n n nαβββππαπαπ++==++=-+，由于当n 充分大时，sin()nβαπ+保持定号，所以级数从某项起以后为一交错级数．当α不是整数时，不论β取何值，总有lim lim sin()sin 0n n n u nβαπαπ→∞→∞=+=≠，故级数发散；当α是整数时，有(1)sin nn u nαβπ+=-，因而sin n u n βπ=，由于lim1nn u nβπ→∞= 所以利用比较判别法的极限形式可得，当0β≠时级数1nn u∞=∑发散，又因为sinn u nβπ=总是非增的趋于零，故由交错级数的“莱布尼兹判别法”知，级数1nn u∞=∑收敛，且为条件收敛；当0β=时，级数显然收敛，且绝对收敛．（2）由于(1)00sin (1)sin sin (1)n x n t n nnx t t dx dt dt x n tn t πππππππ=++-==-++⎰⎰⎰所以原级数为交错级数．先判定级数(1)011sin sin n nn n xt dx dt x n t ππππ∞∞+===+∑∑⎰⎰的敛散性由于当0x π<<时，sin sin sin t t t n n t n ππππ≤≤++，所以 02sin 2t dt n n t n πππππ≤≤++⎰由于级数12n n ππ∞=+∑发散，所以级数(1)011sin sin n nn n xt dx dt x n t ππππ∞∞+===+∑∑⎰⎰发散．因为原级数为交错级数，且满足莱布尼兹判别法的条件，因此级数为条件收敛．（3）这是任意项级数．考虑每三项加一括号所成的级数1111()333231n a n a n a n ∞=+-+-+-+-∑22196(1)21(33)(32)(31)n n n a a a a n a n a n ∞=+-+--=+-+-+-∑此级数的通项是n 的有理式，且分子的次数仅比分母的次数低一次，用比较判别法知它是发散的，由级数的基本性质可得，原级数发散．五、关于数项级数敛散性的证明题证明某个未给出通项具体表达式的级数收敛或发散这类题，一般用级数收敛的定义、比较判别法或级数的基本性质． [例7.1.12] 证明：如果级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑收敛，且(1,2,)n n n a c b n ≤≤=L ，则级数1nn c∞=∑也收敛．证明：由n n n a c b ≤≤可得，0n n n n c a b a ≤-≤-；由级数收敛的基本性质可得1()nn n ba ∞=-∑收敛，故由正项级数的比较判别法可得1()n n n c a ∞=-∑收敛．又由于11[()]n nn n n n c ca a ∞∞===-+∑∑，所以级数1n n c ∞=∑收敛．[例7.1.13] 设11112,()2n n na a a a +==+(1,2,)n =L ，证明（Ⅰ）lim n n a →∞存在；（Ⅱ）级数11(1)nn n a a ∞=+-∑收敛．证明：（Ⅰ）由于111()2n n n a a a +=+，所以根据均值不等式可得111()12n n na a a +=+≥ 故数列{}n a 有下界．又因为21111()()22n n n n n n na a a a a a a +=+≤+=，所以{}n a 单调不增，从而由单调有界准则可知，lim n n a →∞存在．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，101n n a a +≤-，所以级数11(1)n n n aa ∞=+-∑是正项级数．又因为11111n n n n n n n a a a a a a a ++++--=≤-，而正项级数11()nn n aa ∞+=-∑的前n 项和11111()lim nn kk n n n k S aa a a a a ++→∞==-=-→-∑所以正项级数11()nn n aa ∞+=-∑是收敛的，由比较判别法知，原级数收敛．[例7.1.14] 设()f x 在点0x =的某一邻域内有连续二阶导数，且0()lim0x f x x→=，证明级数 11()n f n∞=∑绝对收敛．分析：已知条件中出现高阶导数，可考虑使用泰勒公式完成．证明：由于()f x 在点0x =连续，且0()lim0x f x x→=，所以可得(0)0,(0)0f f '==．将()f x 在点0x =展开成一阶泰勒公式，有 2211()(0)(0)()()2!2f x f f x f x f x ξξ'''''=++=．由于()f x ''在点0x =的某一邻域内连续，故存在0M >，使得在0x =的某小邻域内()f x M ''≤，从而211()2M f n n≤⋅（当n 充分大时）由比较判别法可知，级数11()n f n∞=∑绝对收敛． [例7.1.15] 若()f x 满足：⑴在区间[0,)+∞上单增；⑵lim ()x f x A →+∞=；⑶()f x ''存在，且()0f x ''≤．证明（Ⅰ）1[(1)()]n f n f n ∞=+-∑收敛；（Ⅱ）1()n f n ∞='∑收敛．证明：（Ⅰ）由于1[(1)()](1)(1)nn k S f k f k f n f ==+-=+-∑，所以lim lim (1)11n n n S f n A →∞→∞=+-=-，从而级数1[(1)()]n f n f n ∞=+-∑收敛．（Ⅱ）由于()f x ''存在，且()0f x ''≤，所以函数()f x '单调不增．又因为()f x 在区间[0,)+∞上单增，所以必有()0f x '≥，即级数1()n f n ∞='∑是正项级数．根据拉格朗日中值定理可得(1)()(),1n n f n f n f n n ξξ'+-=<<+，所以 (1)()()n f n f f n ξ'''+≤≤．由（Ⅰ）可知1()nn f ξ∞='∑收敛，所以根据正项级数的比较判别法知，级数1(1)n f n ∞='+∑收敛，再根据级数收敛的性质可得级数1()n f n ∞='∑收敛．六、其它[例7.1.16] 设正项数列{}n a 单调减少，且1(1)nn n a ∞=-∑发散，判定级数11()1nn na ∞=+∑的敛散性．解：正项数列{}n a 单调减少，由单调有界准则可得，lim n n a →∞存在，记为a （0a ≥）．因为级数1(1)nn n a ∞=-∑是交错级数，若lim 0n n a →∞=，由莱布尼兹判别法可知，该级数收敛．但题设该级数发散，所以必定有0a >，于是 111lim ()lim 1111n n n n n na a a →∞→∞==<+++．由根值判别法知，级数11()1nn na ∞=+∑收敛．[例7.1.17] 讨论级数11111123421(2)x x x n n -+-++-+-L L 在哪些x 处收敛？在哪些x 处发散？解：⑴ 当1x =时，原级数为11111123456-+-+-+L ，这是交错级数，且满足“莱布尼兹判别法”的条件，故收敛；⑵ 当1x >时，2111111(1)(1)321223n x x x x S n n=+++-++++-L L 当n →∞时，111321n +++→+∞-L ，当n →∞时，1111(1)223x x x x n++++L 趋向定常数，故2lim n n S →∞发散，从而原级数发散；⑶ 当1x <时，211111111()()()2345(2)21n x x x S n n +=-------+L 由于1x <，所以上式中第一项以后的各项都为负的．考察级数111[](2)21x n n n ∞=-+∑，由于 111lim[]/1(2)21(2)x xn n n n →∞-=+，所以根据正项级数的“比较判别法”的极限形式知，级数111[](2)21x n n n ∞=-+∑发散．从而21lim n n S +→∞=-∞，即原级数发散．综上所述，当1x =时，级数收敛；当1x ≠时，级数发散． [例7.1.18] 已知111,cos n n a a a +==，判定级数1n n a ∞=∑的敛散性．分析：该级数的通项以递推公式给出，这给级数类型的判定以及通项n a 是否收敛于零带来困难．不妨先假设级数通项0()n a n →→∞，再看由递推公式两端取极限时能否导出矛盾．一旦产生矛盾，便可确定级数发散．解：若lim 0n n a →∞=，则1lim limcos 1n n n n a a +→∞→∞==．这与假设矛盾．因此lim 0n n a →∞≠，原级数发散．[例7.1.19] 设a 为常数，1a ≠-，讨论级数111nn a∞=+∑的敛散性．解：由于存在na ，因此想到分1,1,1a a a <=>讨论．当1a <时，由于lim 0nn a →∞=，所以1lim101n n a →∞=≠+，级数发散；当1a =时，11n a +=12，所以11lim 012n n a →∞=≠+，级数发散；当1a >时，由于111111111limlim lim 11111n n n n n n n n na a a a a a aa---++--→∞→∞→∞+++===<+++，所以级数111n n a ∞=+∑收敛，故级数111nn a ∞=+∑收敛且绝对收敛． [例7.1.20] 已知11a =，对于1,2,n =L ，设曲线21y x=上点21(,)n n a a 处的切线与x 轴交点的横坐标是1n a +（Ⅰ）求,2,3,n a n =L ；（Ⅱ）设n S 是以(,0)n a ，21(,)n n a a 和1(,0)n a +为顶点的三角形的面积，求级数1n n S ∞=∑的和解：（Ⅰ）曲线21y x =上点21(,)n n a a 处的切线方程为 2312()n n nY X a a a -=-- 从而13(1,2,)2n n a a n +==L ，从而11133()()22n n n a a --== （Ⅱ）由题意11221111112()()222443n n n n n n n n a S a a a a a -+=⨯⨯-=⨯⨯== 所以11112113()2434413n n n n S ∞∞-====⨯=-∑∑．§7.2 幂级数本节重点是求幂级数的收敛域、求幂级数的和函数、将函数展开成幂级数．● 常考知识点精讲一、函数项级数的概念1．函数项级数的定义定义：设函数()(1,2,3)n u x n =L 都在D 上有定义，则称表达式121()()()nn u x u x u x ∞==++∑L为定义在D 上的一个函数项级数，()n u x 称为通项，1()()n k k S x u x ∞==∑称为部分和函数．2．收敛域定义：设1()nn ux ∞=∑是定义在D 上的一个函数项级数，0x D ∈，若数项级数01()n n u x ∞=∑收敛，则称0x 是1()nn ux ∞=∑的一个收敛点．所有收敛点构成的集合称为级数的收敛域．3．和函数定义：设函数项级数1()nn ux ∞=∑的收敛域为I ，则任给x I ∈，存在唯一的实数()S x ，使得1()()n n S x u x ∞==∑成立．定义域为I 的函数()S x 称为级数1()n n u x ∞=∑的和函数．评注：求函数项级数收敛域时，主要利用收敛域的定义及有关的数项级数的判别法．二、幂级数1．幂级数的定义定义：设{}(0,1,2,)n a n =L 是一实数列，则称形如0()nnn a x x ∞=-∑的函数项级数为0x 处的幂级数．00x =时的幂级数为0n n n a x ∞=∑．2．阿贝尔定理定理：对幂级数()nnn a x x ∞=-∑有如下的结论：⑴ 如果该幂级数在点1x 收敛，则对满足010x x x x -<-的一切的x 对应的级数()nnn a x x ∞=-∑都绝对收敛；⑵ 如果该幂级数在点2x 发散，则对满足020x x x x ->-的一切的x 对应的级数()nnn a x x ∞=-∑都发散．[例2.1] 若幂级数(2)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，问此级数在4x =处是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？解：由阿贝尔定理知，幂级数(2)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则对一切适合不等式2123x -<--=（即15x -<<）的x 该级数都绝对收敛．故所给级数在4x =处收敛且绝对收敛．三、幂级数收敛半径、收敛区间如果幂级数()nnn a x x ∞=-∑不是仅在0x x =处收敛，也不是在整个数轴上收敛，则必定存在一个正数R ，它具有下述性质： ⑴ 当0x x R -<时，0()nnn a x x ∞=-∑绝对收敛；⑵ 当0x x R ->时，()nnn a x x ∞=-∑发散．如果幂级数()n n n a x x ∞=-∑仅在0x x =处收敛，定义0R =；如果幂级数()nnn a x x ∞=-∑在(,)-∞+∞内收敛，则定义R =+∞．则称上述R 为幂级数()nnn a x x ∞=-∑的收敛半径．称开区间00(,)x R x R -+为幂级数()nnn a x x ∞=-∑的收敛区间．四、幂级数收敛半径的求法求幂级数()nnn a x x ∞=-∑的收敛半径R法一：⑴ 求极限11000()()lim ()n n nn n a x x x x a x x ρ++→∞--=-⑵ 令00()1x x x x m ρ-<⇒-<则收敛半径为R m =；法二：若n a 满足0n a ≠，则1limnn n a R a →∞+=；法三；⑴ 求极限00()lim ()nn n n x x a x x ρ→∞-=-⑵ 令00()1x x x x m ρ-<⇒-< 则收敛半径为R m =．[例2.2] 求下列幂级数的收敛域⑴12!nn n x n ∞=∑ ⑵1(5)n n x n ∞=-∑ ⑶221212n n n n x ∞-=-∑ 解：⑴ 收敛半径1112(1)!lim lim 2!1n n n n n n a n R a n +→∞→∞++==⨯=+∞，所以收敛域为(,)-∞+∞；⑵ 收敛半径11limlim 11n n n n a R n a n→∞→∞+==⨯+= 当51x -=-时，对应级数为1(1)nn n ∞=-∑这是收敛的交错级数，当51x -=时，对应级数为11n n∞=∑这是发散的P -级数，于是该幂级数收敛域为[4,6)；⑶ 由于22122212()lim 2(21)2nn n n n x n x x n x ρ+-→∞+=⨯=- 令()1x ρ<，可得2x <，所以收敛半径为2R =当2x =±时，对应的级数为1212n n ∞=-∑，此级数发散，于是原幂级数的收敛域为(2,2)-．五、幂级数的性质设幂级数()nnn a x x ∞=-∑收敛半径为1R ；()nnn b x x ∞=-∑收敛半径为2R ，则1．000()()()()nnnnnn n n n n a x x b x x ab x x ∞∞∞===-±-=±-∑∑∑，收敛半径12min(,)R R R ≥； 2．00001[()][()]()()nnnn nn i n i n n n i a x x b x x a b x x ∞∞∞-====-⋅-=-∑∑∑∑，收敛半径12min(,)R R R ≥；3．幂级数()nnn a x x ∞=-∑的和函数()S x 在其收敛域I 上连续；4．幂级数在其收敛区间内可以逐项求导，且求导后所得到的幂级数的收敛半径仍为R ．即有11()[()][()]()nnn nnnn n n S x a x x a x x na x x ∞∞∞-==='''=-=-=-∑∑∑．5．幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，且积分后所得到的幂级数的收敛半径仍为R ．即有1000001()[()][()]()1xxxnnn n n n x x x n n n S x dx a x x dx a x x dx a x x n ∞∞∞+====-=-=-+∑∑∑⎰⎰⎰[例2.3] 用逐项求导或逐项积分求下列幂级数在收敛区间内的和函数 ⑴11(11)n n nxx ∞-=-<<∑ ⑵411(11)41n n x x n +∞=-<<+∑解：⑴ 令11()(11)n n S x nxx ∞-==-<<∑，则111()()1xxn n n n x S x dx nxdx x x∞∞-=====-∑∑⎰⎰ 所以2211(),(11)(1)(1)x x S x x x x -+==-<<--；⑵ 令411()(11)41n n x S x x n +∞==-<<+∑，则 4144411()()411n nn n x x S x x n x +∞∞==''===+-∑∑ 所以4422001111()(1)12121xx x S x dx dx x x x==-+⋅+⋅-+-⎰⎰ 111ln arctan 412x x x x +=+--，(11)x -<<．六、函数展开成幂级数1．函数展开成幂级数的定义定义：设函数()f x 在区间I 上有定义，0x I ∈，若存在幂级数()nnn a x x ∞=-∑，使得()(),nnn f x a x x x I ∞==-∀∈∑则称()f x 在区间I 上能展开成0x 处的幂级数． 2．展开形式的唯一性定理：若函数()f x 在区间I 上能展开成0x 处的幂级数 0()(),nnn f x a x x x I ∞==-∀∈∑则其展开式是唯一的，且()0()(0,1,2,)!n n f x a n n ==L ．七、泰勒级数与麦克劳林级数1．泰勒级数与麦克劳林级数的定义定义：如果()f x 在0x 的某一邻域内具有任意阶导数，则称幂级数()()00000000()()()()()()()!1!!n n nn n f x f x f x x x f x x x x x n n ∞='-=+-++-+∑L L 为函数()f x 在0x 点的泰勒级数．当00x =时，称幂级数()()0(0)(0)(0)(0)!1!!n n n nn f f f x f x x n n ∞='=++++∑L L 为函数()f x 的麦克劳林级数． 2．函数展开成泰勒级数的充要条件定理：函数()f x 在0x I ∈处的泰勒级数在I 上收敛到()f x 的充分必要条件是：()f x 在0x 处的泰勒公式()000()()()()!k nk n k f x f x x x R x k ==-+∑的余项()n R x 在I 上收敛到零，即对任意的x I ∈，都有lim ()0n n R x →∞=．八、函数展开成幂级数的方法1．直接法利用泰勒级数的定义及泰勒级数收敛的充要条件，将函数在某个区间上直接展开成指定点的泰勒级数的方法． 2．间接法通过一定的运算将函数转化为其它函数，进而利用新函数的幂级数展开将原来的函数展开成幂级数的方法．所用的运算主要是四则运算、（逐项）积分、（逐项）求导、变量代换．利用的幂级数展开式是下列一些常用函数的麦克劳林展开公式．幂级数常用的七个展开式0,(,)!nxn x e x n ∞==∈-∞+∞∑210sin (1),(,)(21)!n nn x x x n +∞==-∈-∞+∞+∑20cos (1),(,)(2)!nnn x x x n ∞==-∈-∞+∞∑1ln(1)(1),111n nn x x x n +∞=+=--<≤+∑2(1)(1)(2)(1)(1)1,(1,1)2!!n n x x x x x n αααααααα----++=+++++∈-L L L1,(1,1)1n n x x x ∞==∈--∑1(1),(1,1)1n n n x x x ∞==-∈-+∑．●● 常考题型及其解法与技巧一、阿贝尔定理的应用[例7.2.1] 设幂级数nn n a x∞=∑的收敛半径为2，则幂级数1(3)nn n a x ∞=-∑在下列点处必收敛（A ）{}2,3,4,e （B ）12,1,0,e ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭（C ）{}1,5 （D ）{}1,2,3,4,5,e解：由于nn n a x∞=∑与1(3)nn n a x ∞=-∑有相同的收敛半径，所以当32x -<的时候对应的级数1(3)nn n a x ∞=-∑都绝对收敛，显然集合{}2,3,4,e 中的点都满足不等式32x -<，故选（A ）[例7.2.2] 如级数nn n a x∞=∑在2x =处收敛，问级数1()2nn n a x ∞=-∑在2x =-处敛散性怎样？解：由阿贝尔定理，对一切2x <的x 值，级数0nn n a x ∞=∑绝对收敛，从而级数01()2nnn a x ∞=-∑满足：对一切122x -<的x 值，级数01()2nn n a x ∞=-∑绝对收敛．现2x =-显然不满足122x -<，故级数01()2n n n a x ∞=-∑在2x =-处敛散性不确定．[例7.2.3] 设1(1)2nnn n a ∞=-∑收敛，则1n n a ∞=∑（A ）条件收敛（B ）绝对收敛（C ）发散（D ）不定解：考查幂级数1nn n a x∞=∑，由于1(1)2nnn n a ∞=-∑收敛，所以幂级数1n n n a x ∞=∑在2x =-点收敛，根据阿贝尔定理当2x <-时，对应的幂级数都绝对收敛，所以当1x =时，对应的幂级数绝对收敛，而此时对应级数为1nn a∞=∑．所以应选（B ）[例7.2.4] 设幂级数1(1)nn n a x ∞=+∑在3x =处条件收敛，则该幂级数的收敛半径为_______．解：由于1(1)nn n a x ∞=+∑在3x =处条件收敛，由阿贝尔定理得，当14x +<时级数1(1)nn n a x ∞=+∑绝对收敛．所以收敛半径4R ≥；假设4R >．由收敛半径的定义知1x R +<时，对应的级数都绝对收敛，所以级数在3x =处应绝对收敛，矛盾．所以4R ≤．因此收敛半径4R =．二、收敛半径、收敛区间、收敛域求幂级数收敛半径的方法我们在常考知识点中介绍过，如果幂级数中的幂次是按自然数顺序依次递增的，这时幂级数()nnn a x x ∞=-∑的收敛半径的计算公式1limnn n a R a →∞+=如果幂级数中的幂次不是按自然数顺序依次递增的（如缺少奇数次幂或缺偶次幂等），这时不能用上面的公式计算收敛半径，而必须使用正项级数的比值判别法或根值判别法（即常考知识点中介绍的法一与法三）求出幂级数的收敛半径．设幂级数()nnn a x x ∞=-∑的收敛半径为R ．为了求幂级数的收敛域还需判别在x =0x R -与0x x R =+处级数00()n n n a x x ∞=-∑的敛散性．[例7.2.5] 求下列幂级数的收敛半径和收敛域（1）1!()n n x e n n ∞=-∑ （2）2311n n n x n ∞=+∑ （3）2111(1)3(21)n n n n x n +∞-=-+∑ （4）21(21)n n x n n ∞=-∑ （5）14(1)1(1)[4(1)]!n n n xn -∞-=--∑ 解：（1）此级数x e -的幂次是按自然数顺序依次递增的，其收敛半径可直接按公式计算：11!(1)1lim lim lim(1)(1)!n n n n n n n n a n n R e a n n n +→∞→∞→∞++==⨯=+=+在2x e e e =+=处，级数成为1!()nn en n ∞=∑，由[例7.1.8]中的（1）可知该级数发散；在0x e e =-=处，级数成为1!()nn e n n∞=-∑，可判定发散．故原级数的收敛域为(0,2)e ．（2）此级数的收敛半径也可按公式计算：23321(1)1lim lim 11(1)n n n n a n n R a n n →∞→∞+++==⋅=++ 在1x =-处，级数成为231(1)1nn n n ∞=-+∑，这是交错级数，满足莱布尼兹定理的条件，故收敛；在1x =处，级数成为2311n n n ∞=+∑，由于23lim 111n n n n →∞⨯=+，而级数11n n ∞=∑发散，故级数2311n n n ∞=+∑发散．因此所给级数的收敛域为[1,1)-．（3）此级数缺少x 的偶次幂．故需利用比值判别法求收敛半径．2321121(1)3(21)1()lim 3(23)(1)3n n n n n n n x n x x n x ρ++-+→∞-+=⨯=+-令()1x ρ<可得，3x <，故收敛半径为3R =．在3x =-处，级数成为13(1)21nn n ∞=-+∑，这是交错级数，满足莱布尼兹定理的条件，故收敛；在3x =处，级数成为113(1)21n n n ∞-=-+∑，这是交错级数，满足莱布尼兹定理的条件，故收敛．因此所给级数的收敛域为[3,3]-．（4）此级数缺少x 的奇次幂．故需利用比值判别法求收敛半径．2222(21)()lim (1)(21)n n n x n n x x n n xρ+→∞-=⋅=++ 令()1x ρ<可得，1x <，故收敛半径为1R =．在1x =-处，级数成为11(21)n n n ∞=-∑，该级数显然收敛；在1x =处，级数成为11(21)n n n ∞=-∑，该级数收敛．因此所给级数的收敛域为[1,1]-．（5）此级数中的x 的幂次不是按自然顺依次递增的．故需用比值判别法求收敛半径．4414(1)(1)[4(1)]!()lim 0(4)!(1)n n n n n x n x x n xρ--→∞--=⋅=⋅- 令()1x ρ<可得，(,)x ∈-∞+∞，故收敛半径为R =+∞．于是幂级数的收敛域为(,)-∞+∞．[例7.2.6] 求幂级数21()(,0)n n nn a b x a b nn ∞=+>∑的收敛域．解：设幂级数1n n n a x n ∞=∑，21n nn b x n∞=∑的收敛半径分别为12,R R ，则11R a =，21R b =．因此幂级数的收敛半径为1211min(,)min(,)R R R a b==．（1）若a b ≥，则1R a =．在1x a =-，级数为21111(1)(1)()n n n n n b n n a ∞∞==-+-∑∑收敛；在1x a =，级数为21111()n n n b n na ∞∞==+∑∑发散，从而收敛域为11[,)a a -．（2）若a b <，则1R b=．在1x b =-，级数为21111(1)()(1)n nn n n a n b n ∞∞==-+-∑∑收敛；在1x b =，级数为21111()n n n a n b n∞∞==+∑∑收敛；，从而收敛域为11[,]b b -．[例7.2.7] 已知幂级数(3)nn n a x ∞=-∑在0x =处收敛，在6x =处发散，求其收敛域．解：由于幂级数级数(3)nnn a x ∞=-∑在0x =处收敛，由阿贝尔定理可得，当3033x -<-=时，对应的幂级数绝对收敛，所以收敛半径3R ≥；假设收敛半径3R >，由收敛半径的定义可知，3x R -<时，对应的级数都绝对收敛，而633R -=<，所以级数(3)nn n a x ∞=-∑在6x =处绝对收敛，与已知矛盾．故3R ≤．综上可得，收敛半径3R =．又因为级数(3)nn n a x ∞=-∑在0x =处收敛，在6x =处发散，故收敛域为[0,6)．三、函数项级数求收敛域函数项级数1()nn ux ∞=∑求收敛域的基本方法：⑴ 用正项级数比值判别法（或根值判别法）求1()()lim ()n n nu x x u x ρ+→∞=（或()lim ()n n n x u x ρ→∞=）；⑵解不等式()1x ρ<，求出1()n n u x ∞=∑的收敛区间(,)αβ；⑶ 判定级数1()nn u α∞=∑与1()nn u β∞=∑的敛散性．评注：函数项级数1()nn ux ∞=∑求收敛域有时也利用变量代换化为幂级数，利用幂级数求收敛域的方法来完成，或者利用数项级数其它判别法、及性质完成．。

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