2022年高考数学一轮复习专题3-3 函数的奇偶性与周期性(含答案解析)

又由 ，可得 ， , ,
则 ，
所以 .
故选：C.
【点睛】本题考查函数奇偶性与对称性，周期性，解题关键是由奇函数的性质和对称性得出函数为周期函数．
12.奇函数 的定义域为R，若 为偶函数，且 ，则 ＝（ ）
A.﹣2B.﹣1C.0D.1
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意和函数的奇偶性，得到函数 是周期为4的周期函数，进而利用函数的周期性，求得 的值，即可得到答案．
∴1＝2－ ，∴a＝2.
（2）由（1）知f(x)＝x－ ，
定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称．
f(－x)＝－x－ ＝－x＋ ＝－(x－ )＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
【点睛】本题考查函数解析式中参数的求解，利用奇偶性的定义判断函数奇偶性，属综合基础题.
高频考点二：函数奇偶性的应用
对于选项 ,令 ，则 ．
在 中，将 换为 ，得 ，
【点睛】本题考查利用函数周期性求函数值，涉及函数奇偶性的应用，属综合基础题.
14.已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时， ，则 （）
A.2019B.1C.0D.-1
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意推导出函数 的对称性和周期性，可得出该函数的周期为 ，于是得出
可得出答案．
【详解】 函数 是 上的奇函数，则 ，
对于D选项，令 ，则 ， ， 且 ，
所以，函数 为非奇非偶函数.
故选：B.
【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，考查函数奇偶性定义的应用，考查推理能力，属于基础题.
【知识拓展】
（1）奇、偶函数定义域的特点．
由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A、B、C选项中各函数的奇偶性，利用特殊值法可判断D选项中函数的奇偶性.
【详解】对于A选项，令 ，该函数的定义域为 ，
，所以，函数 为奇函数；
对于B选项，令 ，该函数的定义域为 ，
，所以，函数 为偶函数；
对于C选项，函数 的定义域为 ，则函数 为非奇非偶函数；
4.备考重点：
（1）抽象函数的奇偶性与周期性；
（2）利用奇偶性与周期性求参数取值范围；
（3）函数性质 综合应用问题.
【知识清单】
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意利用函数的单调性结合偶函数的性质得到关于实数 的不等式，求解不等式即可求得最终结果．
【详解】解：原问题等价于 ，
即 ．
函数 是定义在 上的偶函数，且 ， 在区间单调递增，
等价为 ， ．
求解关于实数 的对数不等式可得实数 的取值范围是 ．
故选：C．
2．判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
【变式探究】
13.已知 是定义在 上的奇函数，满足 ，且 ，则 （）
A.0B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数奇偶性和对称性求得函数周期，再利用周期性和奇偶性结合已知条件即可求得结果.
【详解】因为函数 满足
所以 关于直线 对称，所以 ，
又 是定义在 上的奇函数，所以 ，
又由 可得 ，
所以 ，故 ，
因此，函数 是以4为周期的周期函数，
所以 ，又
因此 .
故选：B
【变式探究】
3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由奇函数和偶函数的定义直接判断即可.
【详解】易知 和 为奇函数， 为偶函数.
令 ，则 ，即 且 .
所以 为非奇非偶函数.
故选D.
【点睛】本题主要考查了奇函数与偶函数的判定，注意判断函数奇偶性时要先求函数的定义域是否关于原点对称，属于基础题.
A. -26B. -18C. -10D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】令 +a +bx，利用函数的奇偶性求解即可.
【详解】令 +a +bx，由函数的奇偶性定义，函数为奇函数，
则 ，
所以 ，
得 ，
又函数 是奇函数，即 ，
所以 ，
则 .
故选：A
【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数值，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合；
③函数根据奇偶性可分 奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．
（4）奇、偶函数图象对称性的应用．
①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；
②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．
4.已知函数f(x)＝x－ 的图象经过点(2，1).
（1）求a的值；
（2）判断f(x)的奇偶性．
【答案】（1）a＝2；（2）f(x)为奇函数．
【解析】
【分析】（1）根据已知点的坐标满足函数解析式，代值计算即可；
（2）利用奇偶性的定义，结合函数定义域即可容易判断.
【详解】（1）∵点(2，1)在函数f(x)的图象上，
10.若函数 为偶函数，则 __________．
【答案】1或
【解析】
【分析】利用函数奇偶性的定义以及奇偶性的性质，即可容易求得结果.
【详解】令 ，根据函数 为偶函数，
可知 为奇函数，利用 ，
可得 ，所以 或 .
又当 时， ， ，
且其定义域关于原点对称，故 为奇函数.
故答案为： 或 .
【点睛】本题考查利用函数奇偶性求参数值，属简单题.
（2）奇、偶函数的对应关系的特点．
①奇函数有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔ ＝－1(f(x)≠0)；
②偶函数有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔ ＝1(f(x)≠0)．
（3）函数奇偶性的三个关注点．
①若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；
【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数，属于常考题型.
7.已知 是奇函数，且当 时， .若 ，则 __________.
【答案】-3
【解析】
【分析】当 时 ， 代入条件即可得解.
【详解】因为 是奇函数，且当 时 ， ．
又因为 ， ，
所以 ，两边取以 为底的对数得 ，所以 ，即 ．
【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．
【典例剖析】
高频考点一：函数奇偶性的判断
1.设函数 和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是
A. +|g(x)|是偶函数B. -|g(x)|是奇函数
C.| | +g(x)是偶函数D.| |- g(x)是奇函数
【答案】A
【解析】
【详解】由题设知: 于是有
，
，
，
.
2.下列函数中为偶函数的是（）
专题3.3函数的奇偶性与周期性
【考纲解读与核心素养】
1．理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性，了解函数的周期性.
2．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养.
3.高考预测：
（1）判断函数的奇偶性与周期性；
（2）函数的奇偶性、周期性，通常与抽象函数、函数的图象以及函数的单调性结合考查，常结合三角函数加以考查．
6.已知 是定义域为 的偶函数，则 （）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性，得到定义域关于原点对称，求出 ，再由 ，求出 ，即可得出结果.
【详解】∵ 在 上是偶函数，
∴ ，解得 ，Βιβλιοθήκη 所以 的定义域为 ， ，∵ 在区间 上是偶函数，
所以有 ，代入解析式可解得： ；
∴ ．
故选：B．
【总结提升】
函数奇偶性的应用
（1）求函数解析式
①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式．
（2）求参数值
在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．
【详解】由题意，奇函数 的定义域为R，若 为偶函数，
则 ，
即 ，则 ，
即 是周期为4的周期函数，
，
，
则 ，
故选B．
【点睛】本题主要考查了函数的求值问题，其中解答中结合条件判断函数的周期性是解决本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
【规律方法】
1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y＝Asin(ωx＋φ)，用公式T＝ 计算．递推法：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.换元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，则f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a．