八年级数学上册几何定理的表达与证明

合集下载

八年级数学上册《几何证明中典型例题的解析》优秀教学案例

二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握几何证明的基本概念，如对顶角、同位角、内错角等，并能运用这些概念分析几何图形。
2.使学生熟练掌握几种常见的几何证明方法，如综合法、分析法、递推法等，并能灵活运用这些方法解决实际问题。
3.培养学生运用几何定理和公理进行推理证明的能力，提高他们解决几何问题的技巧。
（四）反思与评价
1.鼓励学生在课后进行自我反思，总结自己在几何证明中的优点和不足，不断调整学习方法。
2.教师对学生的学习过程和结果进行评价，既要关注知识技能的掌握，也要关注学生在合作、探究等方面的表现。
3.定期组织学生进行阶段测试，检测学生对几何证明知识的掌握程度，及时发现问题，调整教学策略。
4.通过课堂提问、课后作业、小组讨论等多种方式，全面了解学生的学习情况，为教学提供有力支持。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示生活中常见的几何图形，如建筑物的立面图、道路的交叉线等，引发学生对几何图形的关注。
2.提问：“同学们，我们在生活中经常会遇到各种各样的几何图形，那你们知道如何证明这些几何图形的性质吗？”通过问题导入新课，激发学生对几何证明的兴趣。
3.简要回顾已学的几何知识，如角的性质、三角形的性质等，为新课的学习做好铺垫。
4.反思与评价机制的有效运用
本案例注重学生的自我反思和教师的评价，使学生在反思中总结经验、发现不足，不断调整学习方法。同时，教师的评价有助于了解学生的学习情况，为教学提供有力支持。这种反思与评价机制，有助于提高学生的学习效果和教师的教学质量。
5.内容与过程并重的教学策略
本案例在教学内容与过程的设计上，既注重知识的传授，又关注学生能力的培养。通过导入新课、讲授新知、小组讨论、总结归纳等环节，让学生在掌握几何证明知识的同时，培养了解决问题、合作交流、反思评价等多种能力。这种内容与过程并重的教学策略，有助于提高学生的综合素质。

八年级数学理科班讲义教学-几何证明

B CD AOB CE DA A CB ’ CA B C B ’ C 8、八年级数学理科班：直角三角形全等判定、性质姓名一、【直角三角形全等的特殊判定方法】知识要点：一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等。

简记为HL 。

1、【定理证明】已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △A’B’C’中，∠C=∠C’=90°，AC=A’C’，AB=A’B’ 求证： Rt △ABC ≌Rt △A’B’C’2、【直角三角形全等判定方法梳理】如图，具有下列条件的Rt △ABC 和Rt △A’B’C’（其中∠C=∠C’=90°）是否全等？如果全等在（）里打“√”，并在“——”上填写判定三角形全等的理由，如果不全等，在（）里打“×”. （1）AC=A’C’，∠A=∠A’ （） _______ （2）AC=A’C’，BC=B’C’ （） _______ （3）AB=A’B’，BC=B’C’ （） _______ （4）∠A=∠A’，∠B=∠B’ （） ________3、【应用练习】选择题1．下列说法正确的有（）① 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等② 两条边分别相等的两个直角三角形全等 ③ 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ④ 斜边相等的两个等腰直角三角形全等A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知，如图，BD ⊥AC 于D,CE ⊥AB 于E,BD 与CE 相交于O ，且BD=CE ，则图中全等的三角形共有（）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对3．如果两个三角形的两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角（）A ．相等B ．不相等C ．互余或相等D ．相等或互补4．如图，已知：∠A=∠D=90°,AB=CD,求证：AC=DBBC F E DABC FE D AB C F E D A5．如图，已知：AB=CD,AE ⊥BC,DF ⊥BC,BF=CE.求证：AB ∥CD6．如图，已知：AB=AE, ∠B=∠E=90°,AF 垂直平分CD,求证：BC=DE7．如图，已知：AD 平分∠BAC,DB ⊥AB,DF ⊥AC 于点F ，ED=CD,求证:AC=AE+2BE.8．已知：AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，AD=BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F ，求证：CE=DF二、直角三角形的性质 1、【定理】①直角三角形的两个锐角互余（显然） ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 2、【定理证明】已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 的中线.求证：AB CD 21例1．如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB与E，连接DE，取BC的中点M，DE的中点N，问：MN与DE有什么样的位置关系，并说明理由。

数学沪科版八年级(上册)第3课时三角形内角和定理及推论

度数是 90° .
A 60°
1 D
B
110° CE
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
∴∠C=∠1
∠2=∠4
F
E
∴∠A=∠2 又∵∠1+∠2+∠3=180° B
2
4
13 D
C
A
∴∠A+∠B+∠C=180°

F
2 13
D
E 4
C
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
A
B
C
D
△ABC的外角∠ACD与它不相邻的内角 ∠ A、 ∠ B有怎样的关系？
A
B
C
D
证明： △ABC中 ∵∠A+∠B+∠ACB=180° （三角形内角和定理） ∠ACB+∠ACD=180°（平角定义） ∴∠ACD=∠A+∠B（等量代换） A
（等量代换）
D
A E
=180°.
B
C
2. 补充完成下列证明：
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证明 D是BC边上一点，过点D作
DE//AB，DF//AC，分别交AC，AB于
点E，F.
B
∵ DE//AB，（所作）
A
F
2 13
D
E 4
C
∴∠A=∠4
∠B=∠3
又∵DF//AC
A
B
C
D
推论3 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论4 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
已知：如图，∠1、∠2、∠3是 △ABC的三个外角

初中几何证明的所有公理和定理

初中几何证明的所有公理和定理几何学是数学的一个分支，研究平面和空间中的图形、形状、大小以及它们之间的关系。

在几何学中，有一些基本的公理和定理被广泛应用于证明其他几何结论。

以下是初中几何中常用的公理和定理。

一、公理1.尺规公理：任意两点可以用直尺连接，任意一点可以用剪刀间距来复原。

2.同位角公理：同位角互等。

3.平行公理：通过点外一条直线的直线，与这条直线平行的直线只有唯一一条。

4.直线偏转公理：过直线和不在直线上的一点，有且只有一条直线与该直线相交。

二、定理1.垂直平分线定理：平分一条线段的直线必垂直于该线段。

2.三角形内角和定理：三角形内角的和为180°。

3.直角三角形定理：在直角三角形中，两个直角三角形的边长和斜边相等。

4.点到直线的距离定理：点到直线的距离等于点到该直线上垂线的距离。

5.等腰三角形定理：等腰三角形的底边中点到顶点的距离等于底边的一半。

6.等边三角形定理：等边三角形的三条边相等。

7.三角形外角定理：三角形外角等于其对应内角的和。

8.直角三角形的勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

9.海伦公式：已知三角形的三边长，可以通过海伦公式求解其面积。

10.等周定理：等周的两角相等，反之亦成立。

11.三角形中位线定理：三角形两边中点连线中位线，且平分第三边。

12.周长定理：四边形周长等于各边长的和。

13.三角形周长定理：三角形的周长等于三边长的和。

14.三角形中线定理：三角形中线等分中位线，且平分第三边。

15.三角形终边定理：一个角的终边上的点，到另一个角所在的直线的距离永远相等。

16.五边形内角和定理：五边形的内角和是540°。

17.钝角三角形的边长关系：钝角三角形两边长的平方和小于斜边长的平方。

18.三角形的相似性定理：对应角等价、对应边成比例的两个三角形为相似三角形。

19.平行线的性质定理：平行条边分别过枚角且长度成正比，则连线为平行线。

20.重叠三角形定理：如果两个角和一个边分别相等，则两个三角形相等。

八年级数学上册《定理与证明》教案、教学设计

在教学过程中，教师应以学生为主体，关注学生的个体差异，充分调动学生的积极性，使学生在轻松愉快的氛围中学习数学，提高学生的数学素养。同时，注重培养学生的逻辑思维能力和创新意识，为学生的终身发展奠定基础。
二、学情分析
八年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了基本的运算技能和解决问题的方法。在此基础上，他们对数学定理的学习具备以下特点：
直接进入本章节的教学设计正文部分：
**三、教学过程**
**1.导入新课（5分钟）**
-通过一个简单的几何问题，例如“为什么直角三角形的两个锐角互余？”，引发学生的思考，从而导入定理与证明的概念。
-使用多媒体展示一些生活中的实例，让学生体会到定理在生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
**2.新课内容展示与探究（20定理的概念，强调定理在数学推理中的重要性。
- **证明方法的学习**：分别介绍综合法、分析法、反证法等证明方法，并通过示例进行展示。
- **学生探究活动**：组织学生分组讨论，尝试用不同的方法证明一个简单的定理，如“对顶角相等”。
**3.练习与应用（15分钟）**
-设计一系列的练习题，让学生独立尝试证明，巩固所学的证明方法。
1.思维能力逐渐由具体形象向抽象逻辑转变，对数学定理的理解和证明具有一定的兴趣。
2.学生在解决实际问题时，能够尝试运用已知的定理，但可能在运用过程中出现理解不深、运用不当等问题。
3.部分学生对数学学科兴趣浓厚，具有较强的自主学习能力，但部分学生对数学学习存在恐惧心理，自信心不足。
4.学生在团队合作中，表现出一定的交流与协作能力，但仍有部分学生在团队中缺乏主动性。
-推荐一些拓展阅读材料，鼓励学生深入了解定理的历史背景和应用。
**四、教学评价**

北师大数学八年级上册各章单元教材分析

北师大数学八年级上册各章单元教材分析第一章勾股定理教材的地位和作用直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要的性质，如两个锐角互余、本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是一条非常重要的性质，勾股定理把几何图形与代数计算紧密地联系起来，充分体现了数形结合的思想方法，为后面的学习圆，解直角三形等知识的掌握，奠定了计算基础。

我古代的数学家对勾股定理的研究有许多重要的成就，不仅在很久以前独立发现了勾股定理，已使用许多巧妙的方法证明了它，尤其在勾股定量的应用方面，对其它国家的影响很大，这些都是古人对人类的重要贡献。

通过勾股定理背景知识的了解，让学生感受勾股定理的丰富文化内涵，激发学生热爱祖国悠久文化的思想感情。

单元学情分析勾股定理的探索、证明过程较为抽象、复杂，如果只是简单地介绍定理过程，学生会觉得这个知识点枯燥无味，并且被动地接收知识，也使得学生对勾股定理的理解不深刻。

因此，教学逐步设计了通过数格子的方法得到边长的特殊的等腰直角三解形，已知边长的一直角三角形，一直到不通过数格子得到边长的一般直角三角形，让学生动手操作、实验，经历小组合作探索，由易渐难，从特殊到一般，利用割补面积法来发现、得到勾股定理，这样的过程符合学生学习新知识的心理特点，能激发学生的学习兴趣。

勾股定理以及直角三角形判定条件的应用是本章的重点，因此，在课后应该督促学生进行适量的练习，来巩固本章的知识点。

单元目标导向知识技能1. 了解勾股定理的历史，体验勾股定理的探索过程，感受它的多种证明法。

2. 会运用直角三角形的判定条件，即勾股定理的逆定理来判定直角三角形。

3. 会用勾股定理及其逆定理解决简单的问题。

数学思考1. 通过观察一些以直角三角形两直角边为长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，利用图形之间的割补，得到图形面积之间的相等关系，从而发现勾股定理，发展合情推理探索数学结论的能力。

2. 通过画图、实验发现特殊关系的边长能构造出直角三角形，体会数学的实验操作。

圆幂定理浙教版八年级上册

圆幂定理浙教版八年级上册圆幂定理是几何学中一个重要的定理，出现在我国初中数学教材的八年级上册。

它涉及到圆、线段、角度等几何元素，为我们解决实际问题提供了有力的工具。

下面，我们将详细介绍圆幂定理的相关内容。

一、圆幂定理的定义及意义圆幂定理是指：在同一个圆中，相交弦（非直径）的长度乘以其所对的圆心角的正弦值，等于两弦端点与圆心构成的直角三角形的面积的两倍。

用数学公式表示为：AC × sinA = 2 × △ABC的面积。

这个定理在实际应用中具有很大的价值，可以帮助我们快速计算几何图形的面积、周长等参数。

二、圆幂定理的应用1.求解弦心距：已知弦长和弦所对的圆心角，可以利用圆幂定理求解弦心距。

2.求解三角形面积：已知三角形的一条边和对应的角度，可以利用圆幂定理求解三角形面积。

3.求解圆的半径：在已知弦长和弦所对的圆心角的情况下，可以利用圆幂定理求解圆的半径。

4.求解扇形面积：已知扇形的半径和圆心角，可以利用圆幂定理求解扇形面积。

三、圆幂定理的证明证明圆幂定理的方法有很多，这里我们以向量法为例进行证明。

设圆心为O，弦AB的两端点分别为A、B，圆心角为AOB，弦心距为OC。

根据向量加法、减法及数乘运算，我们可以得到以下关系：1.OA × OB = OC × OA + OC × OB2.OC × OA = △AOC的面积× 23.OC × OB = △BOC的面积× 2将上述三个式子相加，可以得到：OA × OB +OC × OA + OC × OB = 2 × (△AOC的面积+ △BOC的面积)根据向量数量积的性质，我们知道：OA × OB = △AOB的面积× R（R为圆的半径）将上式代入前面的等式，可以得到：△AOB的面积× R + OC × OA + OC × OB = 2 × (△AOC的面积+△BOC的面积)整理后，我们可以得到圆幂定理的公式：AC × sinA = 2 × △ABC的面积四、总结与拓展圆幂定理是几何学中的一个基本定理，掌握它有助于我们更好地解决实际问题。

华东师大版八年级上册数学教学设计《定理与证明》

华东师大版八年级上册数学教学设计《定理与证明》一. 教材分析华东师大版八年级上册数学教材在《定理与证明》这一章节中，主要向学生介绍定理与证明的概念、方法和过程。

本章内容是学生继学习几何初步知识后，进一步深化对几何图形性质和规律的理解，培养学生逻辑思维和论证能力。

本章的主要内容包括定理的定义、定理的证明、公理化体系等。

通过本章的学习，使学生掌握定理与证明的基本概念和方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经掌握了基本的几何知识，具备一定的逻辑思维能力。

但部分学生对抽象的逻辑论证过程可能存在理解上的困难，因此，在教学过程中需要关注这部分学生的学习情况，加强对其逻辑思维和论证能力的培养。

同时，学生对于新知识的学习兴趣和积极性较高，可以通过引导和激励，激发学生学习本章内容的兴趣。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握定理与证明的基本概念和方法，学会阅读和理解几何论证过程。

2.过程与方法：培养学生逻辑思维和论证能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习几何的兴趣，培养学生的抽象思维和创新意识。

四. 教学重难点1.教学重点：定理与证明的基本概念和方法，几何论证过程的阅读和理解。

2.教学难点：定理证明的逻辑推理过程，学生逻辑思维和论证能力的培养。

五. 教学方法1.引导法：通过问题引导，激发学生思考，培养学生逻辑思维和论证能力。

2.案例分析法：分析典型几何论证案例，使学生掌握定理与证明的方法。

3.小组合作学习法：引导学生进行合作交流，共同探讨几何论证问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作多媒体课件，帮助学生直观地理解定理与证明的概念和方法。

2.教学案例：准备一些典型的几何论证案例，用于分析和讲解。

3.练习题：设计一些有关定理与证明的练习题，巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习几何基本知识，引导学生思考几何论证的过程，引出本章内容——定理与证明。

【初中数学++】定理与证明+课件+华东师大版八年级数学上册

第13章全等三角形
13.1 命题、定理与证明
2.定理与证明
华师大版-数学-八年级上册
教学目标
1．理解和掌握定理的概念，了解证明(演绎推理)的概念.【重点】 2．掌握证明的基本步骤和书写格式，能运用已学过的几何知识证明一些简单的几何问题.【难点】 3.感受证明的必要性，培养说理有据，有条理地表达的良好意识.
( √) ( √) (√)
探索新知
基本事实：数学中这些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，即出发点.这样的真命题视为基本事实.
探索新知
例如下列的真命题作为基本事实： 1.两点确定一条直线； 2.两条之间，线段最短； 3.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 4.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 5.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
试一试：画一个钝角三角形试试看.
探索新知
思考：（3）我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论：n 边形的内角和等于(n - 2)×180°. 这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一规律？
实际上，这是一个正确的结论.
掌握新知
上面的几个例子说明了什么问题？通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确.因此，通过这种方式得到的结论，还需进一步加以证实.
情境导入
试判断下列句子是否正确：（1）如果两个角பைடு நூலகம்对顶角，那么这两个角相等. （2）两直线平行，同位角相等. （3）同旁内角相等，两直线平行. （4）平行四边形的对角线相等. （5）直角都相等. （6）三角形的内角和等于180°. （7）等腰三角形的两个底角相等 .

几何证明(4个概念2个性质3个判定2个定理2个应用2种思想方法1个轨迹)八年级数学上册沪教版

逆命题为“三条边对应相等的三角形全等”，成立.故答案为①④.
2 个性质3个判定
考点05 线段的垂直平分线
7.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P是△ABC
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三边垂直平分线的交点
(D )
8.已知：如图，QA＝QB.
求证：点Q在线段AB的垂直平分线上．
(2)区别：定义、公理、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其
他命题真假的依据，只不过公理是最原始的依据；而命题不一定是真
命题，因而不能作为进一步判断其他命题真假的依据．
考点04 互逆定理
6. [2022·江苏无锡宜兴市二模]下列命题的逆命题成立的是
①同旁内角互补，两直线平行
①④ .
⁠
②等边三角形是锐角三角形
证明：过点Q作MN⊥AB，垂足为点C，
故∠QCA=∠QCB=90°.
在Rt△QCA 和Rt△QCB中，
∵QA=QB，QC=QC，
∴Rt△QCA≌Rt△QCB（H.L.）.
∴AC=BC.
∴点Q在线段AB的垂直平分线上．
你能根据分析
中后一种添加辅
助线的方法，写
出它的证明过程
吗？
考点06 角平分线
AB=CB，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）.
15.如图，点B，E，F，C在同一条直线上，AE⊥BC，DF⊥BC，
AB=DC，BE=CF.试判断AB与CD的位置关系，并证明.
A
解：AB//CD，理由如下：
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB=∠DFC=90°
B
F
∵在Rt△ABE和Rt△DCF中， AB=DC，

沪科版数学八年级上册13.2命题与证明三角形内角和定理优秀教学案例

2.设计一系列子问题，如“三角形内角和能否大于180度？”“三角形内角和是否等于180度？”等，引导学生逐步深入探究。
3.引导学生运用转化思想，将复杂的几何问题转化为简单的问题，提高学生解决问题的能力。
4.鼓励学生提出自己的疑问，组织讨论，促进学生思维的发展。
（三）小组合作
1.组织学生分组进行讨论，鼓励学生互相交流、分享思路。
3.通过示例，讲解如何运用三角形内角和定理解决实际问题，让学生体会数学的应用价值。
（三）学生小组讨论
1.设计探究活动，让学生分组讨论如何证明三角形内角和定理。
2.引导学生运用归纳推理、类比推理等方法，深入探究三角形内角和成果，互相交流、学习。
（四）总结归纳
1.教师引导学生总结三角形内角和定理的证明方法，巩固所学知识。
2.总结三角形内角和定理在实际生活中的应用，强调数学的实际价值。
3.引导学生反思自己在讨论过程中的表现，总结自己的优点和不足。
（五）作业小结
1.设计课后作业，让学生运用所学知识解决实际问题，巩固所学内容。
2.要求学生在作业中运用转化思想，提高解决问题的能力。
3.鼓励学生在课后进行自主学习，深入研究三角形内角和定理的相关知识。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握三角形内角和定理，理解并能够运用该定理解决实际问题。
2.培养学生空间想象能力，通过观察、实践，让学生能够形象地理解三角形内角和定理。
3.培养学生逻辑思维能力，学会运用归纳推理、类比推理等方法，证明三角形内角和定理。
4.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，将所学知识运用到生活中，提高学生解决实际问题的能力。
4.运用多媒体技术辅助教学，为学生提供丰富的学习资源，提高课堂教学效果。

北师大版八年级上册数学第27讲《命题、证明及平行线的判定定理》知识点梳理

北师大版八年级上册数学第 27 讲《命题、证明及平行线的判定定理》知识点梳理【学习目标】1.了解定义、命题的含义，会区分命题的条件（题设）和结论；2.体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理；4.了解公理和定理的定义，并能正确的写出已知和求证，掌握证明的基本步骤和书写格式；5.掌握平行线的判定方法，并能简单应用这些结论.【要点梳理】要点一、定义与命题1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.要点诠释：（1）定义实际上就是一种规定.（2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题.2.命题：判断一件事情的句子叫做命题.真命题：正确的命题叫做真命题.假命题：不正确的命题叫做假命题.要点诠释：（1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论.（2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立.要点二、证明的必要性要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理. 推理的过程叫做证明.要点三、公理与定理1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理.要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理.2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理.要点诠释：证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程.要点四、平行公理及平行线的判定定理1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.2．平行线的判定定理判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.【典型例题】类型一、定义与命题1.请说出下列名词的定义：（1）无理数（2）直角三角形【答案与解析】解：（1）无理数：无限不循环小数叫做无理数.（2）直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.【总结升华】对学过的定义要准确地牢记.举一反三：【变式】指出下列句子哪些是定义.(1)两直线平行,内错角相等；(2)两腰相等的梯形叫等腰梯形；(3)有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；(4)等腰三角形的两底角相等；(5)平行四边形的对角线互相平分；(6)连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.【答案】（2），（3），（6）是定义.2.说出下列命题的条件和结论，并判断它是真命题还是假命题：（1）如果a >b, b >c ，那么a >c ；（2）如果两个角相等, 那么它们是对顶角.【答案与解析】解：（1）条件：a >b, b >c ；结论：a >c .它是真命题.（2）条件：两个角相等；结论：这两个角是对顶角.它是假命题.反例，你书的左下角和右下角两个角都是直角，相等，但不是对顶角.【总结升华】要判断一个命题是假命题,只要能够举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,就可以说明这一命题是假命题，这种例子通常称为反例.a 2 举一反三：【变式】（2013•贵港）下列四个命题中，属于真命题的是（）.A ．若 = m ，则a = mB ．若 a ＞b ，则 am ＞bmC ．两个等腰三角形必定相似D ．位似图形一定是相似图形【答案】D类型二、公理、定理及证明 3. 证明：等角的余角相等．【思路点拨】如果题目中没有明确指出“条件”和“结论”，应先写出已知、求证、证明，如果需要的话并画出图形，再证明.【答案与解析】已知：∠1＝∠2，∠1+∠3＝90°，∠2+∠4=90°.求证：∠3＝∠4.证明：∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，（已知）∴∠3=90°-∠1，∠4=90°-∠2.（等式的性质）∵∠1=∠2（已知），∴∠3=∠4（等量代换）.【总结升华】“等角的余角相等”与“等角的补角相等”可以作为今后证明的依据．此外，在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替，简称为“等量代换”.举一反三：【变式】“垂线段最短”是（）.A ．定义B ．定理C ．公理D ．不是命题【答案】B类型三、平行线的判定定理4. （2016•淄博）如图，一个由 4 条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．【思路点拨】根据同位角相等，两直线平行证明OB∥AC，根据同旁内角互补，两直线平行证明OA∥BC．【答案与解析】解：OA∥BC，OB∥AC．∵∠1=50°，∠2=50°，∴∠1=∠2，∴OB∥AC，∵∠2=50°，∠3=130°，∴∠2+∠3=180°，∴OA∥BC．【总结升华】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．举一反三：【变式】（2015•宁城）如图，下列能判定AB∥CD 的条件有（）个．（1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】解：（1）利用同旁内角互补判定两直线平行，故（1）正确；（2）利用内错角相等判定两直线平行，∵∠1=∠2，∴AD∥BC，而不能判定AB∥CD，故（2）错误；（3）利用内错角相等判定两直线平行，故（3）正确；（4）利用同位角相等判定两直线平行，故（4）正确．∴正确的为（1）、（3）、（4），共3 个；故选：C．5.（2015•日照期末）如图，AB∥CD，AE 平分∠BAD，CD 与AE 相交于F，∠CFE=∠E．求证：AD∥BC．【答案与解析】证明：∵AE 平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵AB∥CD，∠CFE=∠E，∴∠1=∠CFE=∠E，∴∠2=∠E，∴AD∥BC．【总结升华】主要考查角平分线的性质以及平行线的判定定理．举一反三：【变式】已知，如图，EF⊥EG，GM⊥EG，∠1=∠2，AB 与CD 平行吗？请说明理由．【答案】解：AB∥CD．理由如下：如图：∵EF⊥EG，GM⊥EG (已知)，∴∠FEQ＝∠MGE＝90°(垂直的定义)．又∵∠1＝∠2(已知)，∴∠FEQ -∠1＝∠MGE -∠2 (等式性质)，即∠3＝∠4．∴AB∥CD (同位角相等，两直线平行)．。

八年级数学上册《什么是几何证明》教案、教学设计

2.教学方法：教师巡回指导，解答学生疑问，关注学生解题过程中的思维方法和书写规范。
（五）总结归纳
1.教学活动：教师引导学生从以下几个方面进行总结：
-本节课学习的几何证明方法及其适用场景。
-几何证明过程中应注意的问题和技巧。
-本节课的收获和感受。
2.设计意图：通过总结归纳，帮助学生巩固所学知识，提高几何证明能力，同时培养学生的反思和总结习惯。
5.能够通过几何证明解决实际问题，提高解决问题的能力和逻辑思维能力。
（二）过程与方法
在教学过程中，教师将采用以下方法引导学生学习：
1.通过问题导入法，激发学生的学习兴趣，引导学生思考几何证明的意义和价值。
2.采用讲解与示范相结合的方法，让学生在实践中掌握几何证明的基本方法和步骤。
3.设计多样化的例题和练习题，让学生在自主探究、合作交流中学会运用不同的证明方法。
-培养学生面对复杂几何问题时，能够灵活运用不同证明方法，形成系统化、条理化的解题思路。
（二）教学设想
1.教学策略：
-采用情境导入法，通过生活中的实际例子，让学生感受几何证明的必要性，激发学习兴趣。
-运用问题驱动的教学方法，设计具有挑战性的问题，引导学生主动探究，培养学生的逻辑思维和创新能力。
-结合小组合作学习，鼓励学生相互交流、讨论，发挥集体智慧，共同攻克难关。
3.培养学生严谨、细致的学习态度，养成良好的学习习惯。
4.培养学生团队合作意识，学会倾听、表达、沟通与合作。
5.培养学生面对困难时勇于挑战、积极进取的精神风貌，树立正确的价值观。
二、学情分析
八年级学生已经具备了一定的数学基础，掌握了基本的几何知识和相关定理，但在逻辑推理和几何证明方面仍需加强。在此阶段，学生思维活跃，对新知识充满好奇心，但同时也可能存在以下问题：对几何证明的重要性认识不足，缺乏主动探究的积极性；逻辑思维能力有待提高，对证明过程的书写不规范；团队合作意识不强，沟通表达能力有待提升。因此，在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，充分调动学生的主观能动性，引导他们积极参与课堂讨论，培养严谨的几何证明素养，提高解决问题的能力。同时，注重激发学生的学习兴趣，让他们在实践中感受几何证明的魅力，从而更好地理解和掌握本章节内容。

沪教版八年级数学上册命题和证明

证明：“相等的两个角是对顶角”是假命题。
证明：如图，∠1=30°，∠2=30°，但∠1与∠2不是对顶角。
1 2
判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请（证1）明若：∣a∣=∣b∣,则a=b；
（2）如果ab>0，那么a、b都是正数；
（3）互为补角的两个角都是锐角。
人们从长期的实践中总结出来的真命题叫
∴∠B=∠2 (两直线平行，同位角相等) A
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°
E
∴∠A+∠B+∠ACB=180° B
12
CD
注意:辅助线应该用虚线表示
证法2：延长BC到D，过C作CE∥BA，
∵ CE∥BA
∴ ∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180°
判断一个句子是不是命题的关键是什么？
观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？
（1）如果两个三角形的三条边相等，那么这两个三角形全等；
（2）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；
（3）如果一个四边形的对角线相等，那么这个四边形是矩形；
命题的结构：
在数学中，许多命题是由题设(条件) 和结论两部分组成的. 题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项 . 这种命题常可写成 “如果 …，那么…”
的形式,“如果”开始的部分是题设,“那么” 开始的部分是结论.
指出下列命题的题设和结论: 1、如果两条直线相交，那么它们只
有一个交点；题设：两条直线相交
结论：它们只有一个交点

八年级数学上册第5章《几何证明初步》知识回顾(青岛版)

《几何证明初步》知识回顾“平行线的有关证明”一章是证明的初步，主要涉及命题、公理、定理的有关概念，以及与平行线、三角形的内角和等有关的简单的证明.通过本章的复习，要掌握证明的格式，能利用学过的公理、定理等进行简单问题的证明或计算.一、定义与命题1.定义：对术语和名称的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义.如“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离的定义.2.命题：判断一件事情的句子叫做命题，每个命题都是由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项.命题一般写成“如果……，那么……”的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.3.真命题、假命题与反例真命题：正确的命题称为真命题.假命题：不正确的命题称为假命题.反例：要说明一个命题是假命题，通常可以举出一二例子，使之具有命题的条件，而不具有命题的结论，这个例子称为反例.4.公理、定理、证明公理：人们公认的真命题称为公理.定理：经过证明了的真命题称为定理.证明：推理的过程称为证明.例1在下列命题中，真命题是（）.A.两个钝角三角形一定相似B.两个等腰三角形一定相似C.两个直角三角形一定相似D.两个等边三角形一定相似析解：本题是和三角形相似的有关命题的识别，真命题就是条件成立，结论正确的命题.两个三角形是否相似，主要看是否满足下列相似的条件之一：①有两组对应角相等的两个三角形相似；②两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似.所给的选项中只有两个等边三角形满足以上条件.所以选（D ）.说明：和命题有关的试题，多以选择题的形式出现，以判断真假命题类型题为主要形式.二、平行线的判定和性质1.平行线的判定公理：同位角相等，两直线平行.2.平行线的判定定理1：同旁内角互补，两直线平行.3.平行线的判定定理2：内错角相等，两直线平行.平行线的性质公理：两直线平行，同位角相等.4.平行线的性质定理1：两直线平行，内错角相等.平行线的性质定理2：两直线平行，同旁内角互补.注意：对于平行线的判定与性质，一定不要混淆它们的条件和结论，平行线的条件是由角的数量关系来确定直线的位置关系，平行线的性质是由平行线的位置关系来确定角的数量关系.对平行线的判定而言，“两直线平行”是结论，对平行线的性质而言，“两直线平行”是条件.因此，不能随便说“同位角相等”“同旁内角互补”.例2 如图1，AB CD ∥，EF 分别交AB CD ，于M N ，，50EMB =o ∠，MG 平分BMF ∠，MG 交CD 于G .求∠1的度数.分析：要求∠1的度数，根据两直线平行可得1BMG =∠∠，所以只要根据已知条件求出BMG ∠的度数即可.解：因为AB CD ∥，所以1BMG =∠∠（两直线平行，内错角相等）.又50EMB =o ∠，MG 平分BMF ∠，所以11(18050)6522BMG FMB ==-=o o o ∠∠. 所以165=o ∠.说明：根据平行条件求角的度数，一般借助平行线的性质（两直线平行，同位角相等，内错角相等或同旁内角互补）解决问题，有时还要用到三角形的外角性质等.三、三角形内角和定理探究三角形内角和定理时，将三角形的三个内角“凑”在一起，拼成一个平角，从而得到三角形的内角和等于180°，这里体现了一种重要的数学思想——转化思想.三角形内角和定理的证明方法较多，除了转化为平角证明外，还可以利用“构造周角”的方法以及“两直线平行，同旁内角互补”的方法解析证明.例3 如图2，已知ABC △中，90BAC =o ∠，AD BC ⊥于D ，E 是AD 上一点.求证：BED C >∠∠.分析：BED ∠与C ∠没有直接的联系，但BED ∠、C ∠都与BAC ∠有关，因此可以用BAC ∠作中间量进行过渡.证明：在ABC △中，90ABC C +=o ∠∠，因为AD BC ⊥，所以90ADB =o ∠，在ABD △中，90ADB =o ∠，所以90ABC BAD +=o ∠∠，所以C BAD =∠∠.因为BED BAD >∠∠（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角），所以BED C >∠∠.说明：证明角的不等关系式时一般用到三角形的外角与三角形的内角的关系：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.四、三角形的外角三角形内角和定理的两个推论是：推论1 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.推论2 三角形的一个外角等于任何一个和它不相邻的内角.关于三角形外角的重要结论是三角形内角和定理的推论.第一个推论反映了一个外角与它不相邻的两个的相等关系，应用在证明或计算内角与外角的大小问题中；第二个推论反映了一个外角与它不相邻的内角的不等关系，用于证明和三角形有关的角的不等关系问题中.例4 如图3，点P 是△ABC 内的一点，连接BP 、CP.求证：∠BPC>∠BAC.分析：要求证明∠BPC>∠BAC ，通常有两种方法：一是找到第三个角，利用不等式的传递性得证；二是将∠BPC 和∠BAC 都分成两个角，利用同向不等式的和所得不等式仍然成立来证明.证法一：如图3（1）所示，延长BP 交AC 于点D.由于∠BPC 是△DPC 的外角，所以∠BPC>∠CDP.由于∠CDP 是△ABD 的外角，所以∠CDP>∠BAC.所以∠BPC>BAC.证法二：如图3（2）所示，连接AP 并延长AP.因为∠1是△ABP 的外角，所以∠1>∠3.因为∠2是△APC 的外角，所以∠2>∠4.所以∠1+∠2>∠3+∠4.又因为∠1+∠2=∠BPC ，∠3+∠4=∠BAC ，所以∠BPC>∠BAC.点评：要证角的不等关系，一般地将大角转化为某三角形的外角，将小角转化为某三角形的内角.解决本题的关键是通过添加辅助线以达到此目的.练习1、写出下列命题的条件和结论.（1）如果一个三角形中有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形.（2）对顶角相等.2、如图，在△AFD 和△BEC 中，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，有下面4个论断：①AD=CB ；②BE=DF ；③∠B=∠D ；④AD//BC.请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，写出一个真命题，并证明.AC P D（1）（2）图3 B4 1 323、在△ABC 中，∠B-∠C=40°，∠A=80°，求∠A 、∠B 、∠C 的度数，并判断△ABC 的形状？4、如图，已知∠1=100°，∠2=140°，那么∠3=______.参考答案1、解析：（1）命题一般写成“如果A，那么B”的形式，A部分为条件，B部分为结论，所以（1）中的条件“一个三角形中有两条边相等”，结论为“这个三角形是等腰三角形”.（2）对于命题本身不含“如果”，“那么”词语，此时需将其改写成“如果……，那么……”的形式，再找条件和结论，便不易错，所以（2）中可改成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，故条件为“两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”.2、分析：本题是一道开放性问题，在写命题时，要根据题意找一个比较简单的，这样解答起来也较容易.解：如，已知：BE=DF，∠B=∠D，AD=CB.求证：AD//BC.证明：因为AD=CB，∠B=∠D，BE=DF，所以△ADF≌△CBE.所以∠A=∠C，所以AD//BC.3、分析：利用隐含条件：三角形的三个内角和等于180°.构造方程求解.解：因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A=80°，所以∠B+∠C=100°，又∠B-∠C=40°，所以∠B=70°，∠C=30°，所以△ABC为锐角三角形.4、分析：观察图形可知，欲求∠3的度数，可先求∠4的度数，这只要利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可.解：因为∠1=100°，所以∠4=1800°-∠1=70°.又∠2=∠3+∠4.所以∠3=∠2-∠4=140°-70°=70°.。

八年级数学上册第13章全等三角形 13.1 命题、定理与证明 2 定理与证明导学课件

第十一页，共十七页。
13.1 命题(mìng tí)、定理与证明
【归纳总结(zǒngjié)】证明文字叙述的真命题的一般步骤： (1)分清条件和结论；(2)画出图形；(3)根据条件写出已知，根据结论写出
求证；(4)证明.
第十二页，共十七页。
13.1 命题、定理与证明
总结(zǒngjié)反思
小结(xiǎojié)
图 13－1－1
第九页，共十七页。
13.1 命题、定理(dìnglǐ)与证明
解：可以判定(pàndìng)AB∥CD.理由： ∵ ∠1＋∠2＝80°＋100°＝180°， ∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
【归纳总结】证明(zhèngmíng)几何命题的依据：已知条件、定义、基本事实、定理等．
正确性需要进行证明；如果要说明它是假命题，只要举一个反例就可以了．
第八页，共十七页。
13.1 命题(mìng tí)、定理与证明
目标三会进行(jìnxíng)简单的推理证明
例 3 教材补充例题如图 13－1－1，直线 AB，CD 被直线 EF 所截，若∠1＝80°，∠2＝100°. 由此你可以判定 AB 和 CD 平行吗？为什么？ [全品导学号：90702083]
第十六页，共十七页。
内容(nèiróng)总结
第13章全等三角形。13.1 命题、定理与证明。2．经过观察(guānchá)、讨论、发现，理解由特殊事例得到的结论不一定正确．。于是小华猜想：不论a，b为何值，总有a2＋b2＞2ab.。理由：∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，。【归纳总结】由特殊事例递推猜想所得到的命题不一定是真命题，其正确性需要进行证明。解：可以判定AB∥CD.理由：。已知条件、定义、基本事实、定理等．。【归纳总结】证明文字叙述的真命题的一般步骤：

青岛版数学八年级上册5.3什么是几何证明优秀教学案例

（四）总结归纳
1.教师引导学生总结本节课所学内容，巩固知识点。
2.学生整理学习笔记，梳理几何证明的基本方法、定理和性质。
3.教师通过提问、举例等方式，检查学生对几何证明知识的掌握程度。
4.针对学生的掌握情况，教师进行有针对性的辅导和指导。
（五）作业小结
1.教师布置课后作业，要求学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
在现实生活中，几何证明的应用非常广泛，例如在建筑设计、工程技术等领域，都需要运用到几何证明的知识。因此，本节课的教学，不仅要让学生掌握几何证明的基本方法，更要让学生体会几何证明在实际生活中的应用，从而提高学生的学习兴趣和积极性。
针对八年级学生的认知特点，我设计了生动有趣的教学活动，通过引导学生观察、思考、动手操作，让学生在实践中掌握几何证明的方法，提高学生的几何证明能力。同时，我注重启发学生的思维，让学生在探索中发现问题、分析问题、解决问题，培养学生的创新精神和团队合作意识。
4.教师在小组合作过程中要加强指导，关注学生的学习进度，及时解答学生的疑问。
（四）反思与评价
1.引导学生对自己的学习过程进行反思，总结自己在几何证明学习中的优点和不足，提高学生的自我认知能力。
2.教师要关注学生的学习反馈，及时调整教学策略，以满足学生的学习需求。
3.采用多元化评价方式，如自评、互评、教师评等，全面客观地评价学生在几何证明学习中的表现。
青岛版数学八年级上册5.3什么是几何证明优秀教学案例
一、案例背景
本节课的教学内容是青岛版数学八年级上册5.3《什么是几何证明》。几何证明是数学中的重要组成部分，是学生从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的重要环节。通过几何证明的学习，可以使学生掌握推理的基本方法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。