八年级数学上册几何定理的表达 与证明

八上数学定理的几何表达一、三角形的三边关系三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

几何表达式：在△ABC中，AB+AC＞BC;AB-AC＜BC;二、三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线。

几何表达式：（1）∵AH是ΔABC的高∴∠AHC=90°（垂直定义）(2) ∵∠AHC=90°∴AH是ΔABC的高（判定垂直）三、三角形的中线在三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.几何表达式：(1) ∵AD是三角形的中线∴BD = CD（性质）(2) ∵BD = CD∴AD是三角形的中线（判定）四、三角形的角平分线三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.几何表达式：（1）∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD（角平分线的定义）(2) ∵∠BAD=∠CAD∴AD是∠BAC的平分线（角平分线判定）五、三角形的内角和与外角和（1）三角形的内角和180°；（2）直角三角形的两个锐角互余；（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

（1）在△ABC中，∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180°（2）在Rt△ABC中，∵∠B=90°∴∠A+∠C=90°（3）∠ACD=∠A+∠B（4）∠ACD>∠A∠ACD>∠B六、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，对应角相等。

∵△ABC≌△DEF∴AB=DE, AC=DF, BC=EF∴∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F.七、全等三角形的判定1. 三边对应相等的两个三角形全等. 边边边（SSS）2. 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. 边角边（SAS）3. 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 角边角（ASA）4. 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等. 角角边（AAS）5. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 斜边、直角边（HL）（1）在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SSS）（2）在△ABC和△DEF中AB＝DEAC＝DFBC＝EFAB＝DE∴△ABC≌△DEF（SAS）（3）在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（ASA）（4）在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（AAS）（5）在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）或在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）∠A＝∠D∠B＝∠EAB＝DE∠A＝∠DBC＝EF∠B＝∠EAC＝A′C′AB＝A′B′BC＝B′C′AB＝A′B′八、角平分线的性质角平分线上的点到角的两边的距离相等。

∵AD 是∠C AB的角平分线，或∵∠DAC=∠DABDC⊥AC ，D B⊥AB∴DC=DB九、角平分线的判定角的内部，到角两边的距离相等的点在角平分线上。

∵DC⊥AC ，DB⊥AB，DC=DB∴点D在∠CAB的角平分线上。

或∴∠DAC=∠DAB内心：三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。

三角形的内心到三角形三边的距离相等。

十、线段的垂直平分线（中垂线）（1）线段垂直平分线的定义经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线。

∵PC是 AB的垂直平分线∴AC=BC，∠ACP=∠ BCP=90°（2）线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。

∵PC是 AB的垂直平分线∴PA=PB（3）线段垂直平分线的判定到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

或∵AP=BP∴点P 在AB的垂直平分线上。

方法一、利用线段垂直平分线的定义证明。

垂直+中点平分∵AC=BC，∠ACP=∠ BCP=90°∴PC是AB的垂直平分线方法二、利用等腰三角形三线合一性质证明。

等腰三角形+垂直（或平分）∵PA=PB∴△PAB是等腰三角形∵PC⊥AB∴AC=BC∴PC垂直平分AB方法三、利用两点确定一条直线证明。

∵PA=PB∴点P在AB的垂直平分线上。

∵DA=DB∴点D在AB的垂直平分线上。

∴PD垂直平分AB例题：如图,已知:在三角形ABC中,角BAC的角平分线交BC于D,且DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:AD是EF的垂直平分线。

解：∵AD是△ABC的角平分线.DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF （角平分线上的点到角两边的距离相等。

）方法一、利用线段垂直平分线的定义证明。

垂直+中点平分解：在Rt△ADE和Rt△ADF中，∵∠AED=∠AFD=90°,DE=DF（已证)AD=AD(公共边)∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL).∴ AE=AF(全等三角形的对应边相等).在△AOE和△AOF中，AE=AF(已证),∠EAO=∠FAO(已知)，AO=AO(公共边),∴△AOE≌△AOF(SAS).∴EO=FO,∠AOE=∠AOF(全等三角形的对应边,对应角相等).∴∠AOE=∠AOF=90°∴AD⊥EF(垂直的定义)∴ AD垂直平分EF(线段垂直平分线的定义).方法二、利用等腰三角形三线合一性质证明解:∵DE=DF (角平分线上的点到角两边的距离相等)，∵AD是△ABC的角平分线(已知)，∴∠EAD=∠FAD（三角形角平分线的定义).∵∠EDA=180°-∠EAD -∠AED=90°-∠EAD，∠FDA=180°-∠FAD—∠AFD=90°-∠FAD，∴∠EDA=∠FDA(等量代换）∵ DE=DF（△DEF是等腰三角形）∴AD⊥EF,EO=FO (等腰三角形三线合一)，即AD垂直平分EF.评析：等腰三角形三线合一性质非常重要,可以解决垂直、平分角、平分线段等问题,是解决问题的利器,这种方法,不通过证明三角形全等,书写过程简单.方法三、利用两点确定一条直线证明。

∴DE=DF(角平分线上的点到角两边的距离相等).∴点D在EF的垂直平分线上(到一条线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上).∵∠EDA=180°-∠EAD -∠AED=90°-∠EAD，∠FDA=180°-∠FAD—∠AFD=90°-∠FAD，∴∠EDA=∠FDA(等量代换）∴AE=AF(角平分线上的点到角两边的距离相等).同理,点A 也在EF的垂直平分线上。

∴AD垂直平分EF(（两点确定―条直线).评析：这种方法要证明两点都在线段EF的垂直平分线上,不需要证明三角形全等，书写简单,但逻辑思维性很强,有部分同学只证明出一个点在线段的垂直平分线上﹐就得出AD垂直平分EF,这是错误的,因为两点确定一条直线，只有两个点都在线段的垂直平分线上,才可得出结论,可举如下反例加以纠正。

如图，AE=AF，只能说明点A在EF的垂直平分线上，而不能得到AD垂直平分EF。

（4）外心：外接圆的圆心。

三角形三条垂直平分线的交点叫外心，外心到三个顶点的距离是相等的。

十一、等腰三角形（1）等腰三角形的定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。

∵AB=AC∴△ABC是等腰三角形。

（2）等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；在△ABC中，∵AB=AC∴∠B=∠C性质2：等腰三角形的“顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）；在△ABC中，∵AB=ACBD=CD∴AD⊥BC（或：∠ADB=∠ADC=90°）∴∠BAD∠DAC（三线合一，知其一另外两个可以直接用出来。

）性质3：如果一个三角形有两个角都相等，那么这两个角所对边也相等；（简写成“等角对等边”）。

在△ABC中，∵∠B=∠C∴AB=AC十二、等边三角形（1）等边三角形的定义：三边都相等的三角形是等边三角形（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°，等边三角形的三条边都相等。

（3）等边三角形的判定：判定一：三条边都相等的三角形是等边三角形；判定二：三个角都相等的三角形是等边三角形；判定三：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形（任意角等于60°即可）。

十三、直角三角形在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半.如图，将两个含30°角全等的三角尺摆放在一起，求证：CD与AC之间的关系。

∵△ABD和△ADC是轴对称图形，∴AB=AC∴∠BAC=60°即△ABC是等边三角形∵AD⊥BC∴BD=CD=1AC2∴∠DAC=30°，所对的直角边是斜边的一半。