小学数学思维方法：最大公因数与最小公倍数

最大公因数与最小公倍数

【知识要点】

一、相关概念

1.如果一个自然数a 能被自然数b 整除，那么称a 为b 的倍数，b 为a 的约数。

2.如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在所有公因数中最大的一个公因数，称为这若干个自然数的最大公因数。自然数a 1，a 2，…，a n 的最大公因数通常用符号（a 1，a 2，…，a n ）表示，例如，（8，12）=4，（6，9，15）=3。

3. 如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。自然数a 1，a 2，…，a n 的最小公倍数通常用符号[a 1，a 2，…，a n ]表示，例如[8，12]=24，[6，9，15]=90。

二、最大公因数与最小公倍数的求法

常用的求最大公因数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。

用短除法求若干个数的最大公约数与最小公倍数的区别：

1.求n 个数的最大公因数：

（1） 必须每次都用n 个数的公约数去除；

（2） 一直除到n 个数的商互质（但不一定两两互质）；

（3） n 个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。

2.求n 个数的最小公倍数：

（1） 必须先用（如果有）n 个数的公约数去除，除到n 个数没有除去1以外的公约数后，在用1

n -个数的公约数去除，除到1n -个数没有除1以外的公约数后，再用2n -个数的公约数去除，如此继续下去，为保证这一条，每次所用的除数均可选质数；

（2） 只要有两个数（被除数）能被同一数整除，就要继续除，一定要除到n 个数的商两两互质为止；

（3）

n 个数的最小公倍数即为短除式中，所有除数和最后两两互质的商的乘积。

【典型例题】

例1 用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？

解：因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元，分装后每袋的价格相等，所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶，分装的袋数应相同，即分装的袋数应是144，180，240的公约数。题目要求每袋的价格尽量低，所以分装的袋数应尽量多，应是144，180，240的最大公因数。

所以（144，180，240）=2×2×3=12，即每60元的茶叶分装成12袋，每袋的价格最低是60÷12=5（元）。

例2 用自然数a去除498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少？

解：因为498，450，414除以a所得的余数相同，所以它们两两之差的公约数应能被a整除。

498-450=48，450-414=36，498-414=84。

所求数是（48，36，84）=12。

例3 现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？

解：只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条

件“它们的和是1111”入手分析。三个数的和是1111，它们的公约数一定是1111的约数。因为

1111=101×11，它的约数只能是1，11，101和1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数都小

于1111，1111不可能是三个自然数的公约数，而101是可能的，比如取三个数为101，101和909。所以

所求数是101。

例4在一个30×24的方格纸上画一条对角线（见下页上图），这条对角线除两个端点外，共经过多少

个格点（横线与竖线的交叉点）？

解：（30，24）=6，说明如果将方格纸横、竖都分成6份，即分成6×6个相同的矩形，那么每个矩形

是由（30÷6）×（24÷6）=5×4（个）

小方格组成。如果把每个5×4的小矩形看成一个大方格，考虑在6×6的简化图中，对角线也是它所

经过的每一个矩形的对角线，所以经过5个格点（见左下图）。在对角线所经过的每一个矩形的5×4个

小方格中，对角线不经过任何格点（见右下图）。

所以，对角线共经过格点（30，24）-1=5（个）。

例5 甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？

解：甲、乙、丙走一圈分别需60秒、75秒和90秒，因为要在起点相会，即三人都要走整圈数，所

以需要的时间应是60，75，90的公倍数。所求时间为[60，75，90]=900（秒）=15（分）。

例6 爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？

解：爷爷和小明的年龄随着时间的推移都在变化，但他们的年龄差是保持不变的。爷爷的年龄现在是

小明的7倍，说明他们的年龄差是6的倍数；同理，他们的年龄差也是5，4，3，2，1的倍数。由此推知，他们的年龄差是6，5，4，3，2的公倍数。

[6，5，4，3，2]=60，

爷爷和小明的年龄差是60的整数倍。考虑到年龄的实际情况，爷爷与小明的年龄差应是60岁。所以现在

小明的年龄=60÷（7-1）=10（岁），

爷爷的年龄=10×7=70（岁）。

练习题

1.有三根钢管，分别长200厘米、240厘米、360厘米。现要把这三根钢管截成尽可能长而且相等的小段，一共能截成多少段？

2.两个小于150的数的积是2028，它们的最大公约数是13，求这两个数。

3.用1～9这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公约数？

4.大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长。亮亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印。问：这个花圃的周长是多少米？

5.有一堆桔子，按每4个一堆分少1个，按每5个一堆分也少1个，按每6个一堆分还是少1个。这堆桔子至少有多少个？

6.某公共汽车站有三条线路的公共汽车。第一条线路每隔5分钟发车一次，第二、三条线路每隔6分钟和8分钟发车一次。9点时三条线路同时发车，下一次同时发车是什么时间？

7.四个连续奇数的最小公倍数是6435，求这四个数。