信号通过系统的频域分析方法

§4-1 概述系统的频域分析法，是将通过傅利叶变换，将信号分解成多个正弦函数的和（或积分），得到信号的频谱；然后求系统对各个正弦分量的响应，得到响应的频谱；最后通过傅利叶反变换，求得响应。

频域分析法避开了微分方程的求解和卷积积分的计算，容易求得系统的响应。

但是它必须经过两次变换计算，计算量比较大。

但是在很多情况下，直接给定激励信号的频谱，且只需要得到响应信号的频谱，这时就可以不用或少用变换。

频域分析法只能求解系统的稳态响应或零状态响应。

§4-2信号通过系统的频域分析方法一、系统对周期性信号的稳态响应1、 基本思路：周期性信号可以表示（分解）成若干个（复）正弦函数之和。

只要分别求出了系统对各个（复）正弦函数的响应（这一点已经在电路分析课程中做了充分讨论），就可以得到全响应。

⏹ ⏹ 稳态响应：周期信号是一个无始无终的信号，可以认为在很远的过去就已经加到系统上，系统的响应已经进入了一个稳定的状态——响应中只存在稳态响应。

2、 电系统对周期信号的响应： 1） 将周期信号分解为傅利叶级数； 2） 求电路系统对各个频率信号的作用的一般表达式——网络函数)(ωj H ―――求解方法：利用电路分析中的稳态响应3） 求系统对各个频率点上的信号的响应； 4） 将响应叠加，得到全响应。

注意：这里的叠加是时间函数的叠加，不是电路分析中的矢量叠加。

例：P167， 例题4-1⏹ 某些由周期性信号组成的非周期信号（或概周期信号）也可以用这种分析方法。

例如信号：t t t e πcos cos )(+=虽然不是周期信号，但是也可以分解成为周期信号的和，从而也可以用这种方法求解。

3、 通过微分方程求系统对周期信号的响应：在很多场合，已经给出了系统的微分方程，如何求解系统对周期信号的响应？（1） 对于用微分方程描述的一般系统，有：)()(...)()()()(...)()(0111101111t e b t e dt db t e dt d b t e dt d b t r a t r dtd a t r dt d a t r dt d m m m m m m n n n n n ++++=++++------ 我们可以先假设系统对复正弦信号的响应仍然是同频率的复正弦信号（这个假设是否成立？有待验证！） 设：激励信号是复正弦信号tj ej E ωω⋅)(，其响应也是同样频率的复正弦信号tj e j R ωω⋅)(。

其中)(ωj E 、)(ωj R 分别为频率为ω的复正弦激励和响应信号的复振幅。

将其带入微分方程，可以得到：()()t j m m mmtj n n n e j E b j b j b j b e j R a j a j a j ωωωωωωωωωω)()(...)()()()(...)()(0111011++++=++++---或：()())()(...)()()()(...)()(0111011ωωωωωωωωj E b j b j b j b j R a j a j a j m m mmn n n ++++=++++---所以，)()(...)()()(...)()()(0110111ωωωωωωωωj E a j a j a j b j b j b j b j R n n n m m m m ++++++++=---可见，“系统对复正弦信号的响应仍然是同频率的复正弦信号”这样的假设完全成立，可以找到满足系统对tj e j E ωω⋅)(的响应t j e j R ωω⋅)(。

如果要在理论上更加严格的话，还可以进一步证明只有t j e j R ωω⋅)(可能是系统对t j e j E ωω⋅)(信号的响应。

令系统的传输函数为：0110111)(...)()()(...)()()(a j a j a j b j b j b j b j H n n n m m m m ++++++++=---ωωωωωωω它实际上可以将时域中的转移算子)(p H 中的算子p 用ωj 替代后得到。

这里的H 完全是一个代数表达式，可以应用所有的代数运算法则。

这时候，激励和响应的复振幅之间的关系可以表示为为：)()()(ωωωj E j H j R =)(ωj H 反映了复正弦激励下激励信号的复振幅与响应信号复振幅之间的关系：响应信号复振幅等于激励信号的复振幅与系统传输函数的乘积，它的幅度等于)(ωj E 和)(ωj H 幅度的积，相位)(ωj E 和)(ωj H 两者相位的和。

由此可以得到根据微分方程求解系统对周期信号响应的方法： 1） 将周期信号分解为复数傅利叶级数的和；2） 求出系统转移算子)(p H ，将其中的算子p 用ωj 替代后得到)(ωj H 。

3） 求系统对各个复频率点上的信号的响应：)()()(i i i j E j H j R ωωω=4） 将各个频率点上的响应叠加，得到全响应。

⏹ 这里的结论和方法与电路稳态分析中的结论相似，只不过在正弦稳态分析中讨论的是信号对于实正弦信号的响应，而这里讨论的是对复正弦信号的响应。

⏹ 实数正弦信号可以表示为两个幅正弦信号的和：2)cos(tj t j e e t ωωω-+=。

系统对这两个基本点复正弦信号的传输函数分别为)(ωj H 和)(ωj H -。

如果微分方程中的系数都是实数，则可以得到)()(*ωωj H j H =-。

假设：)()()(ωϕωωj e j H j H =则系统对正弦信号的响应为：[]2)()(2)()()(*t j t j tj t j e j H e j H e j H e j H t r ωωωωωωωω+=-+=- ()())(c o s )(2)()()(ωωωωωωωωϕ+=+=-ϕ-ϕt j H e e e e j H t j j t j j所以，)(ωj H 同时也反映了系统对频率为ω的实正弦信号的幅度和相位的影响。

这就是电路正弦稳态分析中的结论。

所以，这里的第二步也可以改为： 1） 将周期信号分解为实数傅利叶级数的和；2） 求出系统转移算子)(p H ，将其中的算子p 用ωj 替代后得到)()()(ωϕωωj e j H j H =。

3） 求系统对各个频率点上的信号的响应： ())(cos )()(ωωωϕ+=t j H t r i4） 将各个频率点上的响应叠加，得到全响应。

求系统对各个频率点上的信号的响应： 4、 系统的频率特性)(ωj H 在特定ω点上的取值实际上表示了系统对该频率点上的信号的幅度和相位的影响。

由)(ωj H 可以引出系统的频域特性： 1） 频域特性定义：系统的频率特性是指系统对各个频率的复正弦信号的影响：包括对复正弦信号幅度和相位的影响。

2）频率特性曲线系统的传输特性也可以用图形的方法表示。

系统的传输特性曲线同样可以分为幅频特性和相频特性。

其中：● ● 幅频特性曲线作出了)(ωj H 与频率之间的关系，描述了系统对各个频率的（复）正弦信号的幅度的影响， ● ● 相频特性曲线作出了)(ωϕ与频率之间的关系，描绘了系统对各个频率的（复）正弦信号的相位的影响。

系统输出信号的频谱可以通过将信号的频谱与系统的频域特性曲线两者合成分析出： （1） 将激励信号的幅频特性曲线与系统的幅频特性曲线对应频率点上的幅度相乘，可以得到响应信号的幅频特性曲线； （2） 将激励信号的相频特性曲线与系统的相频特性曲线对应频率点上的幅度相加，可以得到响应信号的相频特性曲线。

由输出信号的频谱不难求得输出信号。

⏹ 系统的相频特性)(ωϕ有两种定义方法。

第一种是直接定义为)(ωj H 的相角，即令)()()(ωωωϕ=j e j H j H ；第二种是定义为)(ωj H 的相角的负数，即令)()()(ωωωϕ-=j e j H j H 。

在这两种定义下的相位特性的符号相反。

两种定义中，第一种定义数学上比较直接；第二种定义在画相频特性曲线时比较方便：因为实际系统的)(ωj H 相位在0>ω时一定是负数——它只可能将信号延时，而不会将信号提前。

二、系统对非周期信号的零状态响应非周期信号通过线性系统的zs r 的求解方法的基本思想与周期信号相似，都是将信号分解为许多个周期性信号之和，然后分别求解，最后求和（积分）。

在某频率点ω，实际（复）振幅是一个无穷小量： ωπωωπωωd j E j E j E T T 2)()(2lim )(1lim )(0=Ω==→Ω∞→E所以其响应为：ωπωωωωωd j E j H j H 2)()()()()(==∴E R将各个子信号的响应相叠加，求和（积分）：{})()(...)()(212)()()()(ωωωωωπωπωωωωωωωj E j H T F I d e j E j H d e j E j H e t r t j t j t j ====∴⎰⎰∑∞+∞-∞+∞-R或：{})()()(..)(ωωωj E j H t r T F j R ==∴由此可以得到求解系统对非周期信号的zs r 步骤：1） 通过F.T.，求激励信号)(t e 的频谱: {})(..)(t e T F j E =ω 2） 通过电路稳态分析或者系统的转移算子，求出系统对各个频率点上信号的影响——频域特性)(ωj H （又称频域传输函数） 3） 求出系统响应的频谱特性: )()()(ωωωj E j H j R =4） 通过I.F.T ，求)(t r ：{}⎰+∞∞-==ωωπωωd e j R j R T F I t r t j )(21)(..)(周期性信号与非周期信号分析方法比较：相同：通过变换，将以时间为自变量的信号，变为以频率为变量的函数。

避免求解微分方程，但是增加了F.T. 和I.F.T. 计算。

差异： 1） 一个使用FS ，将信号分解为许多个有限振幅的正弦信号之和；另一个用FT ，将信号分解为许多个具有无穷小振幅的正弦信号之和； 2） 在叠加时，一个用叠加，一个用积分（I.F.T.）非周期信号的分析方法，也可以从数学的角度，通过对微分方程两边同时求取傅利叶变换而得到。

对于用微分方程描述的一般系统，有：)()(...)()()()(...)()(0111101111t e b t e dt db t e dt d b t e dt d b t r a t r dtd a t r dt d a t r dt d m m m m m m n n n n n ++++=++++------⏹ ⏹非周期信号通过线性系统的zsr 求解公式还有第三种推导方法：根据卷积积分公式，有：)()()(t h t e t r ⊗={}{}{}{})(.)(.)()(.)(.t h T F t e T F t h t e T F t r T F =⊗=∴)()()(ωωωj H j E j R =∴注意：这里的)(ωj H 为： {})(..)(t h T F j H =ω它定义为系统冲激响应的F.T. 。