高中数学导数的几何意义求切线方程专题-解析版

导数的几何意义求切线方程专题

题型一：切点已知求切线方程

【例1】.函数f(x)=xe x的图象在点(1,f(1))处的切线方程是________．

【答案】y=2ex−e

【解析】因为f(x)=xe x，

所以f(1)=e，f′(x)=e x+xe x，

所以f′(1)=2e，

所以f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y−e=2e(x−1)，即y=2ex−e．

变式1.已知函数f(x)=x+aln⁡x．当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；【答案】2x−y−1=0

【解析】当a=1时，f(x)=x+ln⁡x，

f′(x)=1+1

x

(x>0)．

所以f(1)=1，f′(1)=2，

所以切线方程为2x−y−1=0．

【备注】考查导数的几何意义，先由导数得到斜率，再根据点斜式得到切线方程．

变式2.已知函数f(x)=(x+1)ln⁡x−a(x−1)．当a=4时，求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；

【答案】y=−2x+2．

【解析】当a=4时，f(1)=0，函数f(x)的导函数

f′(x)=ln⁡x+1

−3,

因此f′(1)=−2，从而所求的切线方程为y=−2(x−1)，也即y=−2x+2．【备注】本小题是常规的利用导函数求函数的切线方程问题．

题型二：切点未知求切线方程

【例2】.【2018年浙江宁波高二下学期周测】过原点作曲线y=e x的切线，则切线方程为

________

【答案】

y=ex

【解析】

y′=e x

设切点的坐标为(x0,e x0)，切线的斜率为k，

则k=e x0，故切线方程为y−e x0=e x0(x−x0)

又切线过原点，∴−e x0=e x0(−x0)，∴x0=1，y0=e，k=e．

则切线方程为y=ex

故答案为y=ex．

变式.已知函数f(x)=x3−3x，过点P(2,−6)作曲线y=f(x)的切线，则切线方程是 ________【答案】

3x+y=0或24x−y−54=0

【解析】

由f(x)=x3−3x，得f′(x)=3x2−3，

设切点为(x0,x03−3x0)，则斜率k=3x02−3，

∴切线方程为y−(x03−3x0)=(3x02−3)(x−x0)，

即y=(3x02−3)x−2x03．

∵切线过点P(2,−6)，

则−6=2(3x02−3)−2x03，

解得：x0=0或x0=3．

∴所求切线方程是y=−3x或y=24x−54．

故答案为：3x+y=0或24x−y−54=0．

题型三：已知切线方程求参数

【例3】.若抛物线y=x2与直线2x+y+m=0相切，则m= ________【答案】1

【解析】设切点为P(x0,y0)．易知y′|x=x

=2x0．

由{2x0=−2,

y0=x02,得{

x0=−1,

y0=1,所以P(−1,1)．

又P(−1,1)在直线2x+y+m=0上，

所以2×(−1)+1+m=0，解得m=1．

变式1.【2016年辽宁大连单元测试】设函数f(x)=x2-ln⁡(x+a)+b，g(x)=x3．若函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x+y=0，求实数a,b的值；

【答案】a=1，b=0

【解析】f′(x)=2x−1

x+a

依题意{

f′(0)=−1

a

=−1 f(0)=−ln⁡a+b=0

变式2.【2015年浙江舟山高二下学期月考】在同一坐标系中，直线l是函数f(x)=√1−x2在(0,1)处的切线，若直线l与g(x)=−x2+mx相切于x=1处，则m=________

【答案】2

【解析】函数y=f(x)=2

即为上半圆x2+y2=1，(0,1)为与y轴的交点，

即有在(0,1)处的切线为y=1，

由题意可得直线l：y=1也是g(x)=−x2+mx的切线，

所以g(x)在x=0处的导函数值为0,g′(0)=−2∗0+m=0且g(1)=1,所以m=2

题型四:公切线求参数问题

【例4】.若直线y=kx+t是曲线y=e x+2的切线，也是曲线y=e x+1的切线，则

t=________ ．

【答案】4−2ln⁡2

【解析】设y=kx+t与y=e x+2和y=e x+1的切点分别为(x1,kx1+t)、(x2,kx2+t)．由导数的几何意义可得k=e x1=e x2+1，得x1=x2+1．

再由切点也在各自的曲线上，可得kx1+t=e x1+2，kx2+t=e x2+1．

联立上述式子{

k=e x1

x1=x2+1 kx1+t=e x1+2 kx2+t=e x2+1

解得k=2，x1=ln⁡2，t=4−2ln⁡2．

故答案为4−2ln⁡2．

【备注】本题考查了导数的几何意义，体现了方程思想，对学生综合计算能力有一定要求，中档题．

先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可

变式：函数f(x)=ln⁡x+mx

x+1

与g(x)=x2+1有公切线y=ax(a>0)，则实数m的值为

________ ．

【答案】4

【解析】设公切线y=ax与g(x)=x2+1的切点为(x0,x02+1)，

g"(x)=2x，故切线斜率为2x0，

则切线为y−(x02+1)=2x0(x−x0)，

因为切线过原点(0,0)，