误差的统计概率
圆误差概率
圆误差概率1. 前言圆误差是测量中的一种误差类型，它是指测量结果与真实值之间的偏差，通常用方差或标准差来表示。
在测量领域中，圆误差是一种比较复杂的误差类型，因为它受到许多因素的影响，如测量设备的精度、环境因素的影响等等。
本文将主要探讨圆误差的概念及其概率分布。
2. 圆误差的定义圆误差是指特定位置上的测量结果与实际位置之间的差异。
通常，它由如下公式表示：E = 切向误差^2 + 径向误差^2其中，切向误差是沿着圆的切线方向的误差，径向误差是沿着圆的径向方向的误差。
一般来说，径向误差比切向误差更难以控制，因为它受到许多因素的影响，如圆柱度和偏心等等。
3. 圆误差的概率分布圆误差通常被认为是随机变量，因此其概率分布可以用来描述其统计性质。
圆误差通常服从正态分布或柯西分布。
在正态分布中，圆误差可以用方差和均值来刻画。
这意味着大多数的圆误差值将位于均值附近，并且小部分的误差值将很远离均值。
在柯西分布中，圆误差的概率分布呈现出长尾特征，意味着误差值的极端情况下，出现的概率远远高于正态分布。
4. 圆度误差的应用圆度误差广泛应用于许多领域，包括制造和测量等。
在制造领域中，圆度误差通常用于描述精密零件的质量。
在测量领域中，圆度误差用于衡量测量设备的精度。
此外，在生物医学领域中，圆度误差被用于测量骨骼结构的精度，以及人体器官的形态学研究中。
5. 圆误差的减小方法圆误差的减小方法包括提高测量设备的精度、改善环境因素、优化测量方法等。
提高测量设备的精度可以通过使用更高精度的测量仪器来实现。
改善环境因素可以通过控制温度、湿度等因素来减小误差。
优化测量方法包括优化测量方法和数据处理方法等，可以使得误差更小，从而提高精度。
6. 总结本文主要探讨了圆误差的概念及其概率分布，并介绍了圆度误差的应用和减小方法。
圆误差是测量中的一种重要误差类型，其大小和分布对测量结果的准确度和精度有直接影响。
因此，在实际应用中，需要从多个方面考虑圆误差的大小和分布，以保证测量结果的准确性。
分析化学第三章 分析化学中的误差与数据处理_OK
分类
方法误差、仪器与试剂 环境的变化因素、主
误差、主观误差
观的变化因素等
性质
重现性、单向性（或周 服从概率统计规律、
期性）、可测性
不可测性
影响
准确度
精密度
消除或减 小的方法
校正
增加测定的次数 12
系统误差的校正
• 方法系统误差——方法校正 • 主观系统误差——对照实验校正（外检） • 仪器系统误差——对照实验校正 • 试剂系统误差——空白实验校正
误差
10
• 随机误差： • 由某些不固定偶然原因造成，使测定结果在一定范围内波动，大小、正负不定，难以
找到原因，无法测量。 • 特点：不确定性；不可避免性。 • 只能减小，不能消除。每次测定结果无规律性，多次测量符合统计规律。 • 过失、错误误差
11
系统误差与随机误差的比较
项目
系统误差
随机误差
产生原因 固定因素，有时不存在 不定因素，总是存在
相对误差: 绝对误差占真值的百分比,用Er表示
Er =E/xT = x - xT /xT×100％
2
相对误差反映误差在真值中所占的比例
误差以真值为标准
真值：某一物理量本身具有的客观存在的真实值。真值是
未知的、客观存在的量。在特定情况下认为 是已知的：
理论真值（如化合物的理论组成）(如，NaCl中Cl的 含量） 计量学约定真值（如国际计量大会确定的长度、质 量、物质的量单位等等） 相对真值（如高一级精度的测量值相对于低一级精 度的测量值）（例如，标准样品的标准值）
6 15.99 34 0.172
7 16.02 55 0.278
8 16.06 40 0.202
9 16.09 20 0.101
测量值和随机误差的概率分布
（2-8）
• 视为概率在微小区间 xi , xi x 上的增量
2 由概率密度定义推论 （1）点上的概率为零
f (x) dx f (x) 0 0
某点的概率密度大，则测量值在该点附近的概率大
（2）无穷小区间上的概率
dp f (x)dx
（2-9）
（3）区间（a，b）上的概率
b
P(a,b) a f (x)dx
•令 •即
f (r)
1
r2
e 2 2
2
f (x)dx f (r)dr
（2-15）
• f（r）为随机误差的正态分布密度函数，r为随机 误差
2-2-2 正态分布
• 因为
1
lim n n
1
ri
lim
n
n
(xi )
lim 1 n n
xi
0
（2-16）
• 即随机误差的总体平均值为0
• 所以正态分布曲线的位置是确定的，在曲线最高
Si
ni nx
x
ni n
（2）所有矩形面积之和等于频率的总和1
S
Si
ni nx
x
ni n
1
2 形状与分布规律
（1）频数曲线在横轴上跨越的范围就是测量值分布 的范围
这个范围并不小，说明测量值是分散的
（2）频数曲线两边低，中间高，
说明较大或较小的值，即偏离较远的值，出现的频 率小；
中间值，即趋近于样本平均值(60.78)的值，出现的 频率大，说明测量值又是集中的
• 前两条是一般统计检验的理论根据和出发点。 • 第三条说明增加测定次数可以减小直至消除随机
误差。
§2-3 标准正态分布（u分布）
概率与统计中的抽样误差与置信区间
概率与统计中的抽样误差与置信区间概率与统计是一门研究数据收集、分析和解释的学科，而在这一过程中，抽样误差与置信区间是非常重要的概念。
抽样误差是指通过抽取样本来估计总体参数时所引入的误差，而置信区间则是用于表示抽样误差的范围。
本文将深入探讨概率与统计中的抽样误差与置信区间的概念、计算方法以及其在实际问题中的应用。
一、抽样误差的概念抽样误差是指由于样本的有限性所引起的估计误差。
在概率与统计中，我们通常无法对整个总体进行调查，而是通过从总体中抽取一部分样本来对总体进行推断。
由于样本的有限性，样本所估计的参数值往往会与总体真值存在一定的差距，这种差距就是抽样误差。
二、置信区间的概念置信区间是用于表示样本所估计的参数值的范围。
在概率与统计中，我们通常会计算出一个置信区间，该区间给出了参数是落在其中的概率。
常用的置信水平有95%和99%等。
置信区间的计算是基于抽样误差的大小和样本统计量的分布情况来进行的。
三、抽样误差的计算方法抽样误差的计算方法主要有两种：标准误差和大样本抽样误差公式。
1. 标准误差：标准误差是指样本统计量的标准差。
对于均值来说，标准误差的计算公式如下：标准误差 = 样本标准差/ √n其中，n为样本的容量。
而对于比例来说，标准误差的计算公式如下：标准误差= √(比例估计值 * (1-比例估计值) / n)2. 大样本抽样误差公式：当样本容量足够大时，我们可以使用大样本抽样误差公式来计算抽样误差。
对于均值来说，大样本抽样误差公式如下：抽样误差 = 1.96 * (标准误差)其中，1.96是95%置信水平对应的z值。
而对于比例来说，大样本抽样误差公式如下：抽样误差= 1.96 * √(比例估计值 * (1-比例估计值) / n)四、置信区间的计算方法置信区间的计算方法主要有两种：Z分数法和t分数法。
Z分数法适用于样本容量较大（大于30）且总体标准差已知的情况，而t分数法适用于样本容量小于30或总体标准差未知的情况。
标准化均方根误差
均方根误差均方根误差，亦称标准误差，其定义为i=1，2，3，…n。
在有限测量次数中，均方根误差常用下式表示：√[∑di^2/n]=Re，式中：n 为测量次数；di为一组测量值与真值的偏差。
如果误差统计分布是正态分布，那么随机误差落在±σ以内的概率为68%。
均方根误差是预测值与真实值偏差的平方与观测次数n比值的平方根，在实际测量中，观测次数n总是有限的，真值只能用最可信赖（最佳）值来代替。
标准误差对一组测量中的特大或特小误差反映非常敏感，所以，标准误差能够很好地反映出测量的精密度。
这正是标准误差在工程测量中广泛被采用的原因。
因此，标准差是用来衡量一组数自身的离散程度，而均方根误差是用来衡量观测值同真值之间的偏差，它们的研究对象和研究目的不同，但是计算过程类似。
定义标准差是方差的算术平方根。
标准差能反映一个数据集的离散程度。
平均数相同的，标准差未必相同。
标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差。
：√[∑di^2/(n-1)]=Re，（式中:n为测量次数）；举例比如两组样本：第一组有以下三个样本：3，4，5第二组有以下三个样本：2，4，6这两组的平均值都是4，但是第一组的三个数值相对更靠近平均值，也就是离散程度小，均方差就是表示这个的。
同样，方差、标准差(方差开根,因为单位不统一)都是表示数据的离散程度的。
公式S={[(x1-x)^2+(x2-x)^2+......(xn-x)^2]/N}^0.5（x为平均数，N为样本个数）此公式中的X也就是所谓的平均数应改为x'1,x'2......（即真实值）。
均方根误差算的是观测值与其真值，或者观测值与其模拟值之间的偏差，而不是观测值与其平均值之间的偏差。
意义它的计算方法是先平方、再平均、然后开方。
比如幅度为100V而占空比为0.5的方波信号，如果按平均值计算，它的电压只有50V，而按均方根值计算则有70.71V。
这是为什么呢？举一个例子，有一组100伏的电池组，每次供电10分钟之后停10分钟，也就是说占空比为一半。
误差及数理统计基础
再现性是指在不同的条件下，即不同的操作者、非同一台仪 器、不同的实验室、不同的时间，但是用相同的分析方法和 分析相同样品所得结果的精密度. 准确度表示测量值与真值的 偏离程度，它由系统误差和偶然误差共同决定.
7
3.712 4.414 6.634
7
5.337
6.345
8.301
8
2.902 3.452 4.521
8
3.369 4.007 5.775
8
4.613
5.488
7.187
9
2.743 3.264 4.278
9
3.136 3.732 5.248
9
4.147
4.936
6.468
10
2.626 3.125 4.098
2. 相对误差 绝对误差在真值中所占的比率称相对误差，一般用百分率表 示 x 相对误差（％）＝ x μ0
μ0 当真值为未知时，可用多次重复测定结果的算术平均值代替 。相对误差没有量纲.
3. 粗差 粗差也称过失误差，是由于非正常实验条件或非正常操作所
造成的. 如测量时对错了标志, 误读了数码, 实验仪器未达到预想 的指标等. 含有粗差的测量值常称为坏值或异常值, 应予以剔除.
如由4个学生用浓度准确为0.1mol/L的盐酸滴定浓度准确为 0.1mol/L的氢氧化钠, 氢氧化钠的体积准确为10.00ml. 每个学 生重复测量5次, 其结果示于表1.1.
表1.1 用盐酸进行氢氧 化钠的滴定结果
由表1.1可见, 学生A尽管测试结果 重复性较好, 即精密, 但是准确性较差 (A的均值为10.10), 所有结果均偏高. 这是由于系统误差所致. 学生B的测试 落到准确值(即真值)的两侧, 其均值为 10.01. 此结果较准确, 但精密度较差, 主要受到了偶然误差的影响. 学生C测 量中既有偶然误差的影响, 又有系统误 差的影响, 所以既不精密, 也不准确. 只 有学生D测试结果比较精密(范围为 9.97-10.04ml), 又比较准确(均值为
误差基本知识及中误差计算公式
测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为：一.系统误差（system error）1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
2.特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。
二.偶然误差（accident error）1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。
但具有一定的统计规律。
2.特点：（1）具有一定的范围。
（2）绝对值小的误差出现概率大。
（3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。
（4）数学期限望等于零。
即：误差概率分布曲线呈正态分布，偶然误差要通过的一定的数学方法（测量平差）来处理。
此外，在测量工作中还要注意避免粗差（gross error）（即：错误）的出现。
§2衡量精度的指标测量上常见的精度指标有：中误差、相对误差、极限误差。
一.中误差方差——某量的真误差，[]——求和符号。
规律：标准差估值（中误差m）绝对值愈小，观测精度愈高。
在测量中，n为有限值，计算中误差m的方法，有：1.用真误差（true error）来确定中误差——适用于观测量真值已知时。
真误差Δ——观测值与其真值之差，有：标准差中误差（标准差估值），n为观测值个数。
2.用改正数来确定中误差（白塞尔公式）——适用于观测量真值未知时。
V——最或是值与观测值之差。
一般为算术平均值与观测值之差，即有：二.相对误差1.相对中误差=2.往返测较差率K=三.极限误差（容许误差）常以两倍或三倍中误差作为偶然误差的容许值。
即：。
§3误差传播定律一.误差传播定律设、…为相互独立的直接观测量，有函数，则有：二.权（weight）的概念1.定义：设非等精度观测值的中误差分别为m1、m2、…mn，则有：权其中，为任意大小的常数。
当权等于1时，称为单位权，其对应的中误差称为单位权中误差（unit weight mean square error）m，故有：。
02-实验二 随机误差的统计分布规律.
3. 分析本实验的测量结果和误差来源。
数据表格略（见实验报告）观察思考1. 统计规律需要大量实验数据作为基础，而且必须是在近似无系统误差或系统误差系统误差基本为一恒定值的条件下，对某一物理量进行多次等精度测量才能的处正确的结论。
由本次实验，你对这一论述有何体会？ 2. 你能用计算机编程计算“测量列的算术平均值”和“平均值的标准偏差”吗？不妨试一试？附录 8-1 操作功能进入统计计算模式清除内存输入数据计算器计算平均值和标准偏差的操作方法CASIO fx-3600 型计算器按键操作 MODE 3 INV 数据x 1 AC DATA 数据x 2 SHARP EL 型计算器按键操作STAT DATA…数据x n DATA x1 , x 2 , x3 , … xn 显示算术平均值显示标准偏差显示测量次数如果 m 个数据相同，可输入 x i 后键入乘 m，再按 DATA。
x （即 INV 1 ） x （即） S （即 RM ）） n（即））（即 INV 3 ） n （即 Kout 3 附录 8-2 6 个硬币的统计分布如果把玻璃杯中的 6 个硬币摇晃并倒在桌子上，进行一次或多次，我们并不能准确的预言任一次倾倒的硬币有多少个正面。
然而对于掷出的硬币从出现概率方面研究，我们可以正确的推断出那些可能出现的可能值并估计这些可能值出现有多大的可能。
6如果摇晃 6 个质量相同的硬币，则理论上 0、1、2、3、4、5 个正面的最可能出现的概率如下表 8-3 所示：表 8-3 出现正面的数目 0 1 2 3 4 5 6 在 64 次抛掷中预期的出现频率 1 6 15 20 15 6 1 在许多次抛掷中出现的相对频率 1 / 64 = .56% 6 / 64 = 9.38% 15 / 64 = 23.44% 20 / 64 = 31.25% 15 / 64 = 23.44% 6 / 64 = 9.38% 1 / 64 = 1.56% 表 8-3 中的那些“抛掷中预期的出现频率”是基于理论上出现的几率，是“先验的” ，因此不一定在每作 64 次抛掷都肯定达到。
如何进行误差计算
误差一、直接测量和间接测量在物化实验中需对某些物理量进行测量，以便寻找出化学反应中的某些规律，测量又可分为直接测量和间接测量。
直接测量是指实验结果可直接用实验数据表示。
如用温度计测量温度，用米尺测量长度，用压力计测量压力等。
另一类间接测量是指实验结果不能直接用实验数据表示，而必须由若干个直接测量的数据通过某种公式进行数学运算方可表示的实验结果。
如用凝固点降低法测溶质的分子量，就必须通过测量质量、体积和温差这些直接测量的数据，再用冰点降低公式进行数学运算后，方可得到溶质的分子量。
在直接测量过程中由于所使用的测量工具不准确，测量方法的不完善，都使得测量结果不准确，以致于偏离真实值，这就是误差。
在间接测量中由于直接测量的结果有误差，此误差可传递到最后的结果中，也可使其偏离真实值。
由上所述，可知误差存在于一切测量之中，所以讨论误差，了解其规律、性质、来源和大小就非常有必要。
实验误差的分析，对人们改进实验，提高其精密度和准确度（精密度和准确度的意义在以后讨论），甚至新的发现都具有重要的意义。
二、真值真值是一个实际上不存在的值，它只是一个理论上的数值。
例如，我们可取光在真空中的速度作为速度的计量标准，又如，可用理论安培作为电流的计量标准，其定义为：若在真空中有两根截面无限小的相距2米的无限长平行导体，在其上流过一安的电流时，则在二导体间产生10-7牛顿／米的相互作用力。
这样的参考标准实际上是不存在的，它只存在于理论之中，因此这样的真值是不可知的。
但人类的认识总是在发展的，能够无限地逐渐迫近真值。
由于真值是不可知的，所以一般国家（或国际上）都设立一个能维持不变的实物基础和标准器。
指定以它的数值作为参考标准。
例如，以国家计量局的铯射束原子频率标准中，铯原子的基态超精细能级跃迁频率的平均值作为9，129，631，770赫。
这样的参考标准叫做指定值。
在实际工作中，我们不可能把所使用的仪器都一一地与国家或国际上的指定值相对比，所以通常是通过多级计量检定网来进行一系列的逐级对比。
机械 加工误差的统计分析
2．平顶分布
4．偏态分布
如图4-31d）
采用试切法车削工件外圆或螳内孔时， 为避免产生不可修复的废品，操作者主观上 有使轴径加工得宁大勿小、使孔径加工得宁 小勿大的意向,按照这种加工方式加工得到 的一批零件的加工误差呈偏态分布。
返回
（三）正态分布
1. 正态分布的数学模型
( x x )2 2 2
三.加工误差的统计分析－工艺过程的点图分析方法
（一）点图的基本形式（逐点点图）
依次测量每件尺寸记入横坐标为零件号纵为尺寸的图表中
（二）均值-极差点图
采用顺序小样本（5～10） ，由小样本均值点图和极差点
图组成，横坐标为小样本组序号。具体作法如下：
① 定期测小样本尺寸； ② 计算均值 x 和极差R： ③确定中心线 x 和 R ：
2、工艺过程分布图分析
① 判断加工误差性质 系统误差、随机误差
② 确定工序能力及等级
精度的程度 Cp=T /6σ
工序能力系数Cp指满足加工
(表4－6工序能力等级）
③ 确定合格率和不合格率
3.分布图分析法特点
1）采用大样本，较接近实际地反映工艺过程总体；
2）能将常值系统误差从误差中区分开；
3）在全部样本加工后绘出曲线，不能反映先后顺 序，不能将变值系统误差从误差中区分开； 4）不能及时提供工艺过程精度的信息，事后分析； 5）计算复杂，只适合工艺过程稳定的场合。 点图分析法 计算简单，能及时提供主动控制信息， 可用于稳定过程、也可用于不稳定过程。
l）无变值性系统误差（或有但不显著）。
2）各随机误差之间是相互独立的。
3）在随机误差中没有一个是起主导作用
的误差因素。
如图4-31b） 在影响机械加工的诸多误差因素中，如 果刀具尺寸磨损的影响显著，变值性系统误 差占主导地位时，工件的尺寸误差将呈现平 顶分布。平顶分布曲线可以看成是随着时间 而平移的众多正态分布曲线组合的结果。 3．双峰分布 如图4-31c） 若将两台机床所加工的同一种工件混在 一起，由于两台机床的调整尺寸不尽相同， 两台机床的精度状态也有差异，工件的尺寸 误差呈双峰分布。
初中数学中的概率与统计样本容量和误差范围的计算
统计样本容量和误差范围在科学实验中的应用
统计样本容量：在 科学实验中，为了 获得准确的实验结 果，需要确定合适 的样本容量。
误差范围：在科学 实验中，由于各种 因素的影响，实验 结果往往会有一定 的误差，因此需要 确定误差范围。
应用实例：在药物 临床试验中，为了 确定药物的有效性 和安全性，需要确 定合适的样本容量 和误差范围。
加可靠。
减小误差范围以提高准确性
增加样本容量：增加样本数量可以降低误差范围 选择合适的样本：选择具有代表性的样本可以提高计算准确性 使用精确的测量工具：使用精确的测量工具可以减少测量误差 重复实验：多次实验可以减少随机误差，提高计算准确性
04
概率与统计计算中的常见错误及纠 正方法
概率计算中的常见错误及纠正方法
纠正方法：理解概率是事件发生的可能性，而频率是事件在一定样本中的出现次 数。
纠正方法：理解独立事件是指事件A的发生不影响事件B的发生，反之亦然。
纠正方法：理解条件概率是指在已知某个事件发生的前提下，另一个事件发生的 概率。
纠正方法：理解贝叶斯公式是计算条件概率的一种方法，需要正确理解公式中的 各个参数。
错误：计算误差范围时未考虑标准差 纠正方法：使用 正确的公式计算误差范围，包括标准差 纠正方法：使用正确的公式计算误差范围，包括标准差
错误：未考虑样本容量对误差范围的影响 纠正方法：了解 样本容量与误差范围之间的关系，合理选择样本容量 纠正方法：了解样本容量与误差范围之间的关系，合理选择样本 容量
05
概率与统计的基本概念
概率的定义与计算方法
概率的定义：事件发生的可能性 大小
概率的性质：非负性、规范性、 可加性、独立性等
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统计学中的抽样方法与误差分析
统计学中的抽样方法与误差分析引言：统计学是一门研究如何收集、整理、分析和解释数据的学科。
在实际应用中，统计学起到了至关重要的作用，帮助我们了解和解释现象背后的规律。
其中，抽样方法和误差分析是统计学中的两个重要概念。
本文将深入探讨这两个概念，并介绍它们在实际应用中的意义和应用方法。
一、抽样方法抽样方法是指从总体中选择一部分个体作为样本，通过对样本的研究来推断总体的特征。
在实际应用中，抽样方法可以分为概率抽样和非概率抽样两种。
1. 概率抽样概率抽样是指每个个体被选入样本的概率是已知的，并且可以根据概率进行推断。
常见的概率抽样方法包括简单随机抽样、系统抽样、分层抽样和整群抽样等。
简单随机抽样是最常用的一种概率抽样方法，它的特点是每个个体被选入样本的概率相等且独立。
例如，我们要调查某城市的居民对某项政策的满意度，可以通过简单随机抽样的方法从该城市的居民中随机选择一部分作为样本，然后对样本进行调查和分析，从而推断整个城市居民对该政策的满意度。
系统抽样是指按照一定的规则从总体中选择样本。
例如，我们要调查一所学校的学生体质健康状况，可以按照学生名单的顺序，每隔一定间隔选择一个学生作为样本。
这样做的好处是简单快捷，但可能存在某些规则性的偏差。
分层抽样是将总体划分为若干层，然后从每一层中分别抽取样本。
这种方法可以保证每一层的特征都能够得到充分的反映。
例如，我们要调查某个国家的人口结构，可以将总体按照年龄、性别、地区等因素进行分层，然后从每一层中抽取样本。
整群抽样是将总体划分为若干个互不重叠的群体，然后从每个群体中抽取样本。
这种方法适用于总体较大且分布不均匀的情况。
例如，我们要调查某个城市的交通流量，可以将城市划分为若干个区域，然后从每个区域中抽取样本。
2. 非概率抽样非概率抽样是指个体被选入样本的概率不是已知的，无法进行概率推断。
非概率抽样方法常用于研究特定群体或难以抽样的个体。
方便抽样是最常见的一种非概率抽样方法，它是根据个体的方便性选择样本。
抽样误差的概率度
n1 n
。
例如，某工厂生产某种电子元件，某批产品
共10000件，其中不合格品100件，则不合格品所占
的成数P 1 % 。若从中按随机的原则抽100件，其中
有3件不合格品，则样本的成数为 p 3 %。
指标名称 平均数
总体指标和样本指标的比照
参数
统计量
X X N
X
XF F
0.98 (1 0.98) 1.14% 150
若按不重复抽样方式：
p
p(1 p) (1 n )
n
N
0.98 (1 0.98) (1 150 ) 1.1374%
150
15000
三、影响抽样平均误差的因素：
1. 全及总体标志变异程度σ——正比关系 2. 抽样单位数目的多少ｎ——反比关系 3. 抽样方式 4. 抽样调查的组织形式
查方法上的必然选择，和普查相比，它 具有准确度高、成本低、速度快、应用 面广等优点。
一般适用于以下范围： 1.实际工作不可能进行全面调查观察，而又需要了解
其全面资料的事物；
2.虽可进行全面调查观察，但比较困难或并不必要；
3.对普查或全面调查统计资料的质量进行检查和修正；
4.抽样方法适用于对大量现象的观察，即组成事物
二、抽样平均误差
1、抽样平均误差的概念
抽样平均误差是指抽样平均数（或成数）的 标准差。即它反映了抽样指标与总体参数的平均 离差程度。通常用μ表示（样本统计量与总体参 数间的标准差）。
ｘ
( xi X )2
K
抽样误差与抽样平均误差的区别 ： 抽样误差就是指样本指标和总体指标之间数 量上的差别，即 x X 、p P 。
概率与统计中的抽样误差与置信区间
概率与统计中的抽样误差与置信区间在概率与统计学中，抽样误差和置信区间是两个重要的概念。
抽样误差是指由于采样过程中的随机性所导致的估计值与真实值之间的差异。
而置信区间则是用于估计参数真值的一种统计区间。
一、抽样误差在统计学中，我们往往无法对总体所有个体进行观察和测量，而是通过从总体中抽取样本来进行研究。
抽样误差是由于所选样本的随机性而引起的估计误差。
当我们从总体中抽取不同的样本时，得到的样本统计量（如样本均值、样本比例）会有所不同，这种差异就是抽样误差。
抽样误差是概率性的，它会导致估计值偏离真实值。
为了评估估计值的精确性，我们需要考虑抽样误差的大小。
通常，抽样误差的大小与样本容量相关，样本容量越大，抽样误差越小，估计值越接近真实值。
二、置信区间抽样误差与置信区间密切相关。
在统计推断中，当我们根据样本统计量对总体参数（如总体均值、总体比例）进行估计时，往往需要给出一个估计值的范围，这个范围就是置信区间。
置信区间提供了一个估计值的范围，表示我们对真实参数值的信心程度。
一般来说，置信区间具有两个边界，下界和上界。
置信区间的计算需要考虑样本容量、抽样误差和置信水平等因素。
置信水平表示我们对估计值落在置信区间内的程度的信心。
常用的置信水平有95%和99%。
以估计总体均值为例，假设我们从总体中抽取了一个样本，计算得到样本均值为x，样本标准差为s，样本容量为n。
若假设总体服从正态分布或样本容量较大（满足中心极限定理），那么我们可以使用正态分布来计算置信区间。
根据置信水平和抽样误差，我们可以通过公式计算出置信区间的下界和上界。
三、示例假设我们想要估计某城市成年人的平均身高。
我们从该城市中随机抽取了100个成年人进行测量，得到样本均值为170cm，样本标准差为5cm。
我们希望以95%的置信水平估计该城市成年人的平均身高。
根据样本数据和公式，可以计算出置信区间的下界和上界：下界 = 样本均值 - 抽样误差上界 = 样本均值 + 抽样误差首先，计算抽样误差：抽样误差 = 1.96 * （样本标准差/ √样本容量）然后，代入样本数据计算下界和上界：下界 = 170 - 1.96 * （5 / √100）上界 = 170 + 1.96 * （5 / √100）计算结果为：下界≈ 168.04cm上界≈ 171.96cm因此，我们可以以95%的置信水平得出结论，该城市成年人的平均身高的置信区间为（168.04cm，171.96cm）。
概率与统计中的抽样方法与样本误差
概率与统计中的抽样方法与样本误差在概率与统计学领域中，抽样方法是一种重要的数据收集技术，用于获取有关总体特征的信息。
通过适当地选择样本，我们可以在总体中获取代表性的数据样本，并利用统计学方法对总体特征进行推断。
然而，由于样本的有限性和随机性，样本误差是不可避免的。
本文将详细介绍概率与统计中常用的抽样方法以及样本误差的概念和影响。
一、简单随机抽样简单随机抽样是最基本的抽样方法之一，它通过随机地从总体中选择样本，确保每个个体被选择的概率相等。
这样可以有效避免个体差异对样本结果的影响。
进行简单随机抽样时，可以使用抽签、随机数表或计算机随机数发生器等方法，在具备随机性的基础上进行选取。
二、系统抽样系统抽样是按照事先确定的规则和间隔从总体中选择样本，这种方法相对于简单随机抽样更加快捷和方便。
例如，在一群学生中每隔10个人选择一个进行调查。
系统抽样在实际应用中常用于大规模抽样调查，如问卷调查等。
三、整群抽样整群抽样是将总体划分为若干个互不重叠的群组（或称为簇），然后随机选择若干个群组作为样本，并对所选的群组中的所有个体进行观测或调查。
这种抽样方法常用于人口调查、地理统计等领域，可以减少人力成本和时间成本。
四、分层抽样分层抽样是将总体划分为若干个互不重叠的层，然后分别从每个层中随机选择样本。
这种方法可以对不同层面的个体进行更加精确的估计，提高样本的代表性。
例如，在调查一个城市的居民满意度时，可以将城市划分为不同年龄、职业、收入等层次，然后从每个层次中随机选取样本。
五、多阶段抽样多阶段抽样是将抽样过程分为多个阶段进行，每个阶段抽取的样本都是前一阶段抽取样本的子集。
这种抽样方法常用于大规模调查，能够在减少调查成本的同时保持较高的效果。
样本误差是指样本统计量与总体特征之间的差异，它是由于样本选择所导致的不可避免的偏差。
样本误差的大小与样本容量、抽样方法、总体特征和样本的随机性等因素有关。
在概率与统计中，我们可以利用抽样理论和统计学方法来估计样本误差的大小，并进行推断和判断。
概率统计在误差理论和数据处理中的应用：.doc
概率统计在误差理论和数据处理中的应用：
测量是人类认识物质世界和改造物质世界的重要手段之一。
通过测量，人们可以对客观事物所作的大量观测归纳中，总结出一般的规律，建立起各种定律。
物理实验的任务不仅是定性观察各种自然现象，更重要的是定量地测量相关物理量。
而对事物定量地描述又离不开数学方法和进行实验数据的处理。
因此，误差分析和数据处理是物理实验课的基础。
误差理论及数据处理是一切实验结果中不可缺少的内容。
误差理论是一门独立的学科。
随着科学技术的发展，近年来误差理论概念和处理方法也有很大发展。
误差理论是以数理统计和概率论为其数学基础，研究误差性质、规律及如何消除误差。
概率与统计在误差理论与数据处理中的应用如：
1.系统误差产生变化具有确定规律性。
因此，系统误差通常是用它的极限值来表示。
2.随机误差的最主要特征是具有随机性，在重复性测量条件下，对同一被测量进行多次重复测量，单次测量的随机误差的绝对值和符号以不可预定的方式变化，没有确定的规律。
但像其他随机变量一样，对无限次测量，随机误差遵循某种统计规律的。
一般测量结果服从统正态分布，且用算术平均值及其标准偏差和权限误差来表示测量结果。
3.对测量结果的评定用“不确定度”来描述，而不确定度表示是指测量值与真值附近的一个范围。
4.测量的准确度，精密度，精确度的概念都是用概率与统计的语言来描述。
误差的种类
误差分类及特性（一）误差分类根据观测误差性质，可将其分为系统误差和偶然误差两类。
（1）系统误差在相同的观测条件下，对某量作一系列观测，如果误差的出现在符号和大小相同或按一定规律变化，这种误差称为系统•误差..。
系统误差对成果的影响具有规律性，可采取一定措施或采用改正公式消除或削弱其对观测成果的影响。
主要方法有：①在观测方法和程序上采取必要措施削弱其影响，如角度测量中，经纬仪盘左盘右观测，消除视准差、横轴误差和竖盘指标差等系统误差影响；水准测量中的前后视距相等，消除视准轴和水准管轴不平行引起的i角误差、地球曲率和大气折光对观测高差影响；②找出产生系统误差的原因，利用公式对观测值进行改正，如对钢尺量丈量距离，应加尺长改正、温度改正、地球曲率改正，以消除该三项系统误差影响等。
（2）偶然误差在相同的观测条件下，对某量作一系列观测，如果误差的出现在符号和大小均不一致，即从表面上看，没有什么规律性，这种误差称为偶然误差，...偶然误差又称为随机误差.。
偶然误差是由于人的感觉器官和仪器的性能受到一定的限制，以及观测时受到外界条件中气温、湿度、风力、明亮度、大气等的影响产生的。
例如用刻至1mm的钢尺，只能估读到十分之一毫米，读数时可能偏大，也可能偏小，从而产生读数误差，其对成果的影响符号和大小不具有预见性，对观测结果影响呈现出偶然。
测量工作过程中，除了上述两种误差外，还可能发生错误，即粗差，粗差不是观测误差。
粗差大多是由于是作业员疏忽大意造成的，如大数被读错、记错等。
为有效的发现粗差，采取必要的重复观测、多余观测、严格的检验、验算等措施，一经发现存在粗差，必须舍弃或进行重测，及时更正。
（二）偶然误差特性偶然误差，从单个误差看，其大小和符号没有规律性，即呈现出一种偶然性（随机性），但随着观测个数的增多，则呈现出一定的明显的统计规律性。
下面通过事例来说明。
在某测区，在相同的条件下，独立地观测358个三角形的全部内角，由于观测值含有误差，各三内角观测值之和不等于其真值180°。
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误差的统计概念
一.随机误差的正态分布
1. 正态分布
随机误差的规律服从正态分布规律，可用正态分布曲线（高斯分布的正态概率密度函数）表示：
(13)
式中：y—概率密度；μ—总体平均值；σ—总体标准偏差。
正态分布曲线依赖于μ和σ两个基本参数，曲线随μ和σ的不同而不同。
为简便起见，使用一个新变数（u）来表达误差分布函数式：
(14)
u的涵义是：偏差值（x-μ）以标准偏差为单位来表示。
变换后的函数式为：
(15)
由此绘制的曲线称为“标准正态分布曲线”。
因为标准正态分布曲线横坐标是以σ为单位，所以对于不同的测定值μ及σ，都是适用的。
图1：两组精密度不同的测定值图2：标准正态分布曲线
的正态分布曲线
“标准正态分布曲线”清楚地反映了随机误差的分布性质：
（1）集中趋势当x=μ时（u=0），，y此时最大，说明测定值x集中在μ附近，或者说，μ是最可信赖值。
（2）对称趋势曲线以x=μ这一直线为对称轴，表明：
正负误差出现的概率相等。
大误差出现的概率小，小误差出现的概率大；很大误差出现的概率极小。
在无限多次测定时，误差的算术平均值极限为0 。
（3）总概率曲线与横坐标从-∝到+∝在之间所包围的面积代表具有各种大小误差的测定值出现的概率的总和，其值为1（100%）
(16)
用数理统计方法可以证明并求出测定值x出现在不同u区间的概率(不同u值时所占的面积)即x落在μ±uσ区间的概率：
置信区
间置信概率
u= ± 1.00 x= μ± 1.00σ
68.3%
u= ± 1.96 x= μ± 1.96σ
95.0%
u= ± 3.00 x= μ± 3.00σ
99.7%
二. 有限数据随机误差的t分布
在实际测定中，测定次数是有限的，只有和S，此时则用能合理地处理少量实验数据的方法—t分布
1. t分布曲线（实际测定中，用、S代替μ、σ）
t分布曲线与标准正态分布曲线相似，纵坐标仍为概率密度，纵坐标则是新的统计量t
（17）
无限次测定，u一定→P 就一定；
有限次测定：t一定→P 随ν(自由度)不同而不同。
不同的ν值及概率所对应的t值，已有统计学家计算出来，可由有关表中查出。
2. 平均值的置信区间
应用t分布估计真值范围，考虑的符号时，则可得到如下关系式：
μ= x±t P,νS（18）
同样，对于样本平均值也存在类似的关系式：
（19）
此式表示的是在一定概率下，以样本平均值为中心的包括真值在内的取值范围，即平均值的置信区间。
称为置信区间界限。
此式表明：平均值与真值的关系，即说明平均值的可靠性。
平均值的置信区间取决于测定的精密度、测定次数和置信水平（概率）。
(分析工作中常规定为 95%)
测定精密度越高（S小），测定次数越多（n大），置信区间则越小，即平均值越准确。