【教学设计】《归纳推理》精品教案

归纳推理

一．教学内容

“推理与证明”属于数学思维方法的范畴，是人们必不可少的思维过程，本章介

绍了两种基本的推理：合情推理和演绎推理，本节课是合情推理中的归纳推理。学

生从小就接触了很多运用归纳推理进行探索的实例，但是缺乏完整的认识，所以本

节课的核心就是引导学生对归纳推理有更全面而深刻的认识。另外，以往学生面对

的都是老师给出的规定性问题，侧重学生分析并解决问题的能力，而本节内容特点

是学生无法预料表象背后的结果，这一点恰好可以培养学生发现问题、提出问题的

能力。

二．教学目标

1.初步理解归纳推理的含义；初步掌握如何进行归纳推理，积累经验；

2.形成应用归纳推理的意识和思维习惯，做到言之有理、论证有据；

3.培养学生的创新意识以及发现问题、提出问题的能力。

三．教学重难点

教学重点：由典型实例抽象概括出归纳推理的概念；经历归纳推理的过程，学习观

察、归纳、猜想，培养归纳推理能力。

教学难点：用归纳进行推理并做出猜想。

四．教学方法

本节课采用问题驱动式教学，围绕这样的问题链展开：

什么是推理？→什么是归纳推理？→怎样进行归纳推理？→归纳推理的结论必然成立吗？→既然不一定成立，为什么学习归纳推理？引发学生探究性思维活动，使学生在思考、讨论、交流中感受每个知识点的产生和发展过程。

五．教学过程

分为五个环节：创设情境、新课导入、初步应用、深化认识、回顾小结巩固延伸

（一）创设情境

首先欣赏空城计的推理片段（视频），然后说到我们身边也有很多推理：医生诊断病情、气象专家预报天气、考古学家推断遗址的年代、警察侦破案件等，我们的数学也不例

外：数学家费马发现数列 前四项都是质数进而猜想形如这样的数都是质数，再

如：

12⎫⎬∠∠⎭

两直线平行，内错角相等和是内错角 可推出 21∠=∠ 说明推理在日常生活和科学研究中都是非常重要的。

问题1：什么是推理？

根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程叫做推理。

设计意图：本节课是一节章头课，所以先介绍推理，通过丰富的实例使学生初步感受推理的含义，体会推理的重要性和普遍性。为引出归纳推理做铺垫。

（二）新课导入

教师：同学们知道了什么是推理，那怎样进行推理呢？今天我们就来共同学习一种常见的

推理方法，先看这样几个例子：

引例1：铜能导电，铁能导电，铝能导电，铜、铁、铝都是金属，由此我们猜想一切金属

都能导电。

引例2：“三角形内角和180°，凸四边形内角和360°，凸五边形内角和540°，三角

221n n F =+

形、凸四边形、凸五边形都是凸多边形”，可猜想“凸n 边形内角和

180)2(⋅-n ”。

引例3：根据等差数列的定义⎪⎪

⎭

⎪⎪⎬⎫+=+=+=+=d a a d a a d a a d a a 43215141312 可猜想：d n a a n )1-(1+= 设计意图：在此我选用了简单的例子，因为概念的学习简单的例子更便于发现最本质、最

核心的内涵，学生容易抓住共性规律，有利于突出教学重点。

教师：请同学们总结出几个推理的共同特点。（学生回答）

教师：我们发现三个推理有着共同的结构特征，那么我们就用一个统一的形式来体现这种

结构，不妨将“铜、三角形、”记作,“铁、凸四边形、”记作,依此类推它们都属

于类，性质记作P,符号化后学生很自然的说出了：

.,,,,2121P S S S S S P S P S P S n n 类事物都具有性质可猜想类，

属于具有性质具有性质具有性质

问题2：什么是归纳推理？

由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简单地说，归纳推理就是由部分到整体、个别到一般的推理。

教师：请同学们举出也具有这种结构特征的归纳推理的例子。

留出充分时间让学生思考、举例、交流。

设计意图：通过设置循序渐进的几个要求使学生经历归纳推理概念的形成和建构过程，并

通过举例强化学生的认知层次，突出抽象与概括的思维过程。

（三）初步应用

教师：我们知道了什么是归纳推理，那么怎样进行归纳推理呢？现在我们带着这个问题完

成例1例2.

例1.已知数列{}),,3,2,1(1,111 =+=

=+n a a a a a n n n n 且第一项试归纳出这个数列的通项公式. 学生独立思考并猜出n

a n 1=后，我继续追问“你是怎样想的”，引导学生反思 “计算数列前几项→观察项数与项的对应关系，发现规律→概括推广，提出猜想”这一思维过程，其他方法不展开。

例 2.根据下图中5个图形及相应的圆圈的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有

________________个圆圈。

方法1：从形上观察学生发现，后一项较前一项既有方向的增加又有每个方向上数量的增加；

依次是 145,134,123,112,1+⨯+⨯+⨯+⨯，可猜想第n 个图圆圈个数

为

1)1(+-⨯n n ；

方法2：依次是21,13,7,3,154321=====a a a a a ，可得：6,4,2342312=-=-=-a a a a a a

845=-a a ，可归纳出)1(21-=--n a a n n ，累加即可得到1)1(+-=n n a n

（表面上几项没有必然联系，作差后就呈现一定规律了，引导学生学习如何观察分析）； 方法3：依次是222221234510,21,32,43,54a a a a a =-=-=-=-=-，可猜想： 2(1)(1)1n a n n n n =--=-+（有时适当改变形式便于发现规律）。

例2再次让学生体会“由特例观察发现规律、概括推广、提出猜想”的思维过程。 完成两个例题后回到刚才的问题

问题3.怎样进行归纳推理？

特例基础上观察、归纳、整理——概括推广——提出猜想。

设计意图：两个例题使学生经历归纳推理的过程，并体会观察分析的重要性，积累经验。

简单的问题背景不会使学生在叙述和理解上花费大量时间，反而更容易看清归纳推理的思维过程是如何展开的，为解决“问题3：如何进行归纳推理？”做了铺垫，凸显了重点也分解了难点。

（四）深化认识

问题4：归纳推理的结论必然成立吗？为什么？

可以从前提与结论的关系分析，也可以举反例，告诉学生要推翻一个猜想举一个反例即可，而要说明一个猜想是正确的需要严格证明。数学家欧拉就发现第五个费马数不是质数进而推翻费马猜想。

问题5：既然归纳推理的结论不可靠，那还有学习的必要吗？为什么？

学生展开讨论、各抒己见，有的同学能说到“为研究指明了方向”，我顺势说到：“那我们看看科学家是怎么做的，伟大猜想是怎样产生的。”

引例4：哥德巴赫无意中观察到：

根据上述过程，哥德巴赫大胆猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和。

我简单介绍哥德巴赫的学术背景和陈景润为此所做的贡献。

教师：归纳推理是一种具有创造性的推理，是科学发现的动力，虽然猜想是否正确有待严格证明，但为我们的研究提供了一种方向，具有发现新事实、获得新结论的作用。

同时，我鼓励学生只要同学们善于观察分析，也可以发现并提出问题，可以为数学发展甚至人类进步作出贡献。

设计意图：使学生对归纳推理有更全面而深刻的认识，提高学生的学习兴趣。

（五）回顾小结巩固延伸

学生梳理本节课的收获：

1.归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理。

2.其结果具有或然性，虽然猜想是否正确有待严格证明，但为研究提供了方向，有发现新事实、获得新结论的作用，是做出科学发现的重要手段。

3.归纳推理步骤：特例基础上观察、分析、归纳、整理——概括推广——提出猜想

六．布置作业

8631391002,971291000,

11516,7714,7512,5510,538,336+=+=+=+=+=+=+=+= {}1-1-1

111.1,()(2),2n n n n a a a a n a ==+≥在数列中，