4.4反函数

4.4 反函数的概念

考点诠释

1 反函数的定义：

2 互为反函数的两个函数的性质：

① 原函数和反函数的图像关于直线y x =对称；

② 反函数的定义域为原函数的值域，反函数的值域为原函数的定义域 ③ 若原函数是奇函数则反函数也为奇函数； ④ 原函数与反函数有相同的单调性； ⑤ [()][()]11f f x f f x x --==

注意：①“一个函数为单调函数”是“这个函数具有反函数”的充分非必要条件；

（单调函数一定有反函数；但是若一个函数有反函数这个函数未必单调，例如，反

比例函数）

②反函数与原函数的交点不一定在直线y x =上；

若反函数与直线y x =有交点，这个点一定在反函数上。 ③若函数()y f x =的反函数为()1y f x -=

则函数()1y f x =+的反函数为()11y f x -=-； 函数()1y f x =+的反函数为()11y f x -=-

例题精析

例1 求下列函数的反函数 （1

）[,]503y x =∈-

；（2）(,)332232

x y x x x +=≥-≠-+ 精辟分析

解： （1）

[,]2

52503y x =-∈-，[,],50y ∴∈-且.

22

259y x =-

x ∴=；

所以原函数[,]503y

x =∈-的反函数为[,]50y x =∈-。

（2）313

23246

x y x x +=

=+++

,,,324624602x x x x ≥-≠-∴+≥-+≠33462x ∴≤-+或3046x >+,1

12

y y ∴≤->

又,.1333333461246422212

y y x x x y y y --=+=∴=-=

+--- 所以函数(,)332232x y x x x +=

≥-≠-+的反函数是(,)331

1212

x y x x x -=≤->- 方法规律和总结 求一个函数的反函数可以遵循以下步骤：

1 求原来函数的值域；

2 把()()y f x x D =∈看作关于x 的方程，用y 的解析式表示x ，即

()x g x =；2 如果()x g y =中任一个y 对应唯一的x ，那么()(),.1f x g x x A -=∈如果()x g y =中，存在一个y 对应多个x ，那么原函数不存在反函数。

误区警示 （1）学生会忽视x 是小于0

的，开方时错解为x = 例2 已知函数12y x m =+和1

3

y nx =-互为反函数，求 （1）实数,m n 的值；

（2）两个函数图像的交点P 的坐标；

精辟分析

解：（1）由1

2

y x m =

+，得,22x y m =-所以反函数为22y x m =- ,.2123n m =⎧⎪∴⎨-=-⎪⎩解方程组，得162

m n ⎧

=⎪⎨⎪=⎩ （2）由1126123y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解方程组，得13

1

3x y ⎧

=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

，∴点P 坐标为(,)1133。

例3 已知函数5

2x y x m -=+的图像关于直线y x =对称，求实数m 的值。

思维引领 因为52x y x m -=+存在反函数，且图像关于直线y x =对称，所以函数5

2x y x m

-=

+的反函数就是它本身。

方法一：利用反函数与函数5

2x y x m -=+是同一个函数，求出m 的值

方法二：因为（5,0）在5

2x y x m

-=+的图像上，所以(,)05在其反函数的图像上，也就

是在5

2x y x m

-=+的图像上，从而确定m 的值。

精辟分析

解：方法一：由52x y x m -=

+，得5

12my x y

+=-，所以52x y x m -=+的反函数为512mx y x +=-。

因为

52x x m -+与5

12mx x

+-是同一函数的解析式，所以1m =-。

方法二：在5

2x y x m

-=+中，令,50x y ==。

所以(,)50在52x y x m -=

+的图像上，故(,)50关于y x =对称的点(,)05在5

2x y x m -=+的反

函数上。因为52x y x m -=+的反函数是其本身，故(,)05在52x y x m -=+上，即5

5m

-=，

解得1m =-。

方法规律总结 如果一个函数的图像关于直线y x =对称，那么这个函数的反函数就是它

本身。

例4

已知,311233x x x +==，求12x x +的值。

思维引领 直接通过方程解出,12x x 的难度比较大，因为方程是三次方程。我们对方程进行

变形;33112233x x x x -=-=，则发现实际上,12x x 是函数,3y x =-分别与函数3

y x =和函

数y =的交点。由于3y x =

和y 互为反函数所以图像关于直线y x =对称，所以根据图像可以得到。

解：如图函数,3y x =-的图像为直线l ，l 与3y x =的交点为(,)311x x

，与函数y =的交点为(,)322x x 。

3y x =和3y x =互为反函数。又直线AB 垂直于直线y x =，所以点

A,B 关于直线y x =对称。点A 的纵坐标31x 就是点B 的横坐标2x 。312113x x x x ∴+=+=。

拓展训练

一 填空题

1 已知函数()y f x =的反函数是()12

3x f x -+=，则()9f =___________

2 已知函数x

y a k =+的图像经过(,)17点，又其反函数()1

f x -的图像经过点(,)40，则函

数()f x 的

3 已知函数()y f x =有反函数，则方程()f x b =的解的个数为______ 0或1

4 已知函数2

1y x ax =++，(,)12x ∈有反函数，则a 的取值范围是_____1a ≥-或2a ≤-