4.4反函数
反函数的定义及其性质
反函数的定义及其性质反函数（Inverse Function），又称反映射，是指在数学中，如果一个函数 f 把集合 X 映射到集合 Y 上，且映射是双射（即每一个 Y 的值都对应于唯一的 X 的值），那么就可以定义出一个新函数 g，把 Y 映射回 X 上，这个 g 便称作 f 的反函数。
本文将介绍反函数的定义及其性质，让我们深入了解这一重要概念。
一、反函数的定义设函数 f 的定义域为 X，值域为 Y，如果对于 Y 中的任意元素y ，都只存在一个 X 中的元素 x 使得 f(x)=y，那么 f 是一个双射函数。
此时，可以定义另一个函数 g，将 Y 中的每个元素 y 分别与 f 中的一个元素 x 对应，记为 g(y)=x。
这个函数 g 便是函数 f 的反函数。
通俗来说，就是将 f(x) 的输出结果与 x 对应并得到一组函数值的过程。
二、反函数的性质1. 双射函数的反函数必定存在。
因为双射是存在一一对应，而各个元素“对应着对应的对应”，总是可以找到一个映射使得原函数是双射的，进而反函数一定存在。
2. 反函数是双射函数。
由反函数的定义可知，函数 f 的反函数 g 是把 Y 中的元素 y 映射回 X 的一个函数。
也就是说，反函数将 f 的输出结果逆向映射回其输入值，所以 g 也是一个双射函数。
反函数的存在，其实是描述两个集合之间逆向一一对应的性质，反函数也符合这一性质。
3. 函数的反函数唯一。
反函数的存在，说明原函数是双射函数，而双射函数有一个重要的性质：对于每个元素 y，都只有一个 x 与之对应。
也就是反函数只有一个，这是因为对于 f(x1)=y 和 f(x2)=y 的任意两个 x1 和x2 ，由于 f 是双射函数，所以x1 ≠ x2，所以每个 y 都唯一对应一个 x，在反函数中也就只能有一个 g(y)。
4. 函数和它的反函数互为反函数。
对于由函数 f 得到的反函数 g，其运算定义为 f 和 g 可以互相调用，即 g(f(x))=x ，f(g(y))=y。
高三数学反函数知识精讲
【本讲主要内容】反函数的概念，互反函数的关系，反函数的简单应用。
【知识掌握】 【知识点精析】1. 反函数的概念定义方法1：设确定函数)(x f y =，A x ∈，C y ∈的映射f 是从A 到C 的一一映射，则其逆映射1-f：A C →确定的函数记作)(1x fy -=为)(x f y =的反函数。
定义方法2：若对于函数)(x f y =，A x ∈，C y =从中解出)(y x ϕ=，且x 是y 的函数，则记)(1x y -=ϕ（C x ∈）是)(x f y =的反函数。
注：反函数首先是函数，其具有作为函数的独立性，一律是函数集合中的元素，但寻找它们之间的联系，便是)(x f y =与)(1x f y -=称作互反函数的。
2. 互反函数的关系设)(x f y =的反函数是)(1x fy -=（1）)(x f y =的定义域和值域分别是函数)(1x f y -=的值域和定义域。
有些时候，通过求)(1x fy -=的定义域寻找)(x f y =的值域。
（2）单调函数必有反函数，但有反函数的函数不一定单调。
（是否有反函数，还应从定义分析）（3）互反函数的图象间关于直线x y =对称；若两个函数图象关于x y =对称，可认为它们是互为反函数的，特别的，一个函数图象本身关于直线x y =对称，可称它为自反函数，即它的反函数即自身。
（4）由于在一个区间内自变量值的顺序与其对应函数值的顺序始终一致，称此函数为增函数，相反称为减函数，故互反函数单调性一致（如果是单调函数，单调性一致）（5）偶函数不可能有反函数，如果一个函数是奇函数，其有反函数则其反函数也必然是奇函数。
（如3x y =的反函数3x y =）【解题方法指导】[例1] 判断下列函数在各自给的区间内是否有反函数。
（1）xy 1=),0()0,(+∞⋃-∞∈x（2）x x y 22-= ),(+∞-∞∈x （3）x y sin = ]23,2[ππ∈x（4）x y ln = ),0(+∞∈x （5）x y -=12 ),(+∞-∞∈x 解：（1）由x y 1=yx y x 100=≠⇒≠⇒，x 是关于y 的函数∴ 有反函数且为其自身（2）11111)1(2+±=⇒+±=-⇒--=y x y x x y此式对于y 在),1(+∞-上任意取值，都有11+±y 两个值与之对应，即x 非y 的函数，故没有反函数。
数学公式知识：反函数的概念与计算方法
数学公式知识：反函数的概念与计算方法反函数是数学中重要的概念之一，它是指一个函数的输入与输出在二元组中完全对调的函数。
在实际应用中，反函数被广泛地应用于多种领域，比如物理学、工程学、计算机科学等。
本文将介绍反函数的概念、计算方法及应用。
我们希望通过本文，帮助读者更好地理解反函数的概念及其重要性。
一、反函数的概念首先要明确的是，一个函数必须满足单射条件，才能有反函数。
单射是指函数的每个输出值都对应唯一的输入值。
例如，函数f(x) = 2x是单射函数，因为每个x的输出值都是唯一的。
但是，函数f(x) = x^2不是单射函数，因为它的输出值对应多个输入值。
如果函数f(x)是单射函数，那么它的反函数f^(-1)(y)就是指满足以下条件的函数：f^(-1)(f(x)) = x这意味着，如果对于函数f(x)的某个输出值y，存在唯一的一个输入值x能够使得f(x)等于y，那么反函数f^(-1)(y)就表示这个唯一的输入值x。
根据反函数的定义，我们可以发现，反函数实际上就是函数f(x)在水平方向上的镜像，因为它是把原来输入的x和输出的f(x)对调了一下。
二、反函数的计算方法有些时候，我们需要计算一个函数的反函数，这时候我们可以按照以下方法进行计算：1.将函数f(x)改写成y = f(x)2.交换x和y的位置，得到x = f^(-1)(y)3.将x用y表示，得到f^(-1)(y) = g(y)，即为该函数的反函数。
例如，对于函数f(x) = 3x + 4，我们可以按如下步骤计算其反函数：1.把函数改写为y = 3x + 42.交换x和y的位置，得到x = 3y + 43.将x用y表示，得到f^(-1)(y) = (x - 4) / 3因此，函数f(x)的反函数就是f^(-1)(y) = (y - 4) / 3。
三、反函数的应用反函数在实际应用中有着很广泛的应用，以下是其中的一些例子：1.多项式插值多项式插值是一种用于拟合数据的技术，它通过一些已知的数据点来计算一个多项式函数。
反函数知识点总结讲义教案
反函数知识点总结讲义教案一、教学目标1. 理解反函数的概念，掌握反函数的性质和运算法则。
2. 学会求解反函数，并能应用反函数解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学表达能力。
二、教学内容1. 反函数的概念：什么是反函数，反函数的定义和性质。
2. 反函数的求解方法：如何求解一个函数的反函数。
3. 反函数的应用：反函数在实际问题中的应用举例。
4. 反函数的运算法则：反函数的组合和复合。
5. 反函数的局限性：反函数存在的条件和不存在的条件。
三、教学重点与难点1. 教学重点：反函数的概念、性质、求解方法和应用。
2. 教学难点：反函数的求解方法和反函数的运算法则。
四、教学方法与手段1. 教学方法：讲授法、案例分析法、问题驱动法。
2. 教学手段：黑板、PPT、数学软件。
五、教学过程1. 引入：通过一个实际问题引入反函数的概念。
2. 讲解：讲解反函数的定义、性质和求解方法。
3. 案例分析：分析一些实际问题，让学生了解反函数的应用。
4. 练习：让学生做一些练习题，巩固反函数的知识。
5. 总结：总结本节课的主要内容和知识点。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对反函数概念的理解程度。
2. 练习题：布置一些有关反函数的练习题，检查学生掌握反函数性质和求解方法的情况。
3. 小组讨论：让学生分组讨论反函数在实际问题中的应用，评估学生对反函数应用的理解。
七、教学拓展1. 反函数与其他数学概念的联系：例如，反函数与对数函数、反三角函数等的关系。
2. 反函数在科学研究和实际生活中的应用：例如，反函数在优化问题、信号处理等方面的应用。
八、教学反思1. 反思教学内容：检查教学内容是否全面、透彻，是否涵盖了反函数的所有重要知识点。
2. 反思教学方法：评估所采用的教学方法是否有效，是否能够帮助学生理解和掌握反函数知识。
3. 反思学生反馈：根据学生的课堂表现和练习情况，调整教学策略，以便更好地满足学生的学习需求。
九、课后作业1. 完成课后练习题：巩固反函数的基本概念和求解方法。
反函数知识点总结大全
反函数知识点总结大全一、基本概念1. 反函数的定义：设函数f是定义在集合A上的函数，如果对于A中的每一个x都有唯一的一个y使得f(x) = y，那么就存在一个函数g，使得g(y) = x。
则称g为函数f的反函数，记作g = f^(-1)。
反函数是满足f(g(x))=x和g(f(x))=x的一对函数。
2. 反函数存在的条件：一个函数有反函数的充分必要条件是该函数是一一映射的。
即对于函数f，如果对于不同的x1和x2，有f(x1)≠f(x2)，则称f是一一映射。
3. 反函数的表示：在一定条件下，函数的反函数可以表示为y=f^(-1)(x)，转换为x=f(y)。
可以通过求解来得到。
4. 反函数的组合：当两个函数互为反函数时，它们的反函数构成一对互为互逆的函数，进行组合后恰好得到自变量x，即(f^(-1)◦f)(x) = x。
二、性质1. 函数和反函数的图像关系：函数和它的反函数的图像分别关于y=x对称。
这意味着反函数的图像是原函数图像沿着y=x轴做对称得到的。
2. 反函数的导数关系：如果函数f在点x处可导且f'(x)≠0，则它的反函数g也在点y=f(x)处可导，且g'(y) = 1 / f'(x)。
3. 反函数的定义域和值域：一个函数的定义域和值域可以通过反函数来确定。
函数f的定义域是它的值域的反函数的定义域，函数f的值域是它的定义域的反函数的值域。
4. 函数和反函数的性质：反函数的奇偶性、周期性和单调性与原函数相似。
如果原函数是奇函数，那么反函数也是奇函数。
如果原函数是周期性函数，那么反函数也是周期性函数。
如果原函数是单调函数，那么反函数也是单调函数。
三、图像1. 原函数和反函数的图像：原函数和反函数的图像关于y=x轴对称。
通过这种方法，可以很方便得到反函数的图像。
2. 举例：y = f(x)，求f^(-1)(x)图像。
可以先画出原函数的图像，然后再对该图像进行关于y=x的对称处理。
函数运算知识点总结
函数运算知识点总结一、函数的概念1.1 函数的定义函数是一种数学对象，它表示输入到输出的映射关系。
一个函数通常用一个或多个自变量表示，通过特定的规则，计算得到相应的因变量。
一个函数可以表示为 f(x)=y，其中 x 是自变量，y 是因变量，f(x) 表示函数在自变量 x 下的取值。
1.2 函数的图像函数的图像是函数在坐标系中的几何表示，它是函数横坐标和纵坐标的关系。
函数的图像可以用函数的表达式绘制成图形，通过观察函数的图像可以了解函数的性质和行为。
1.3 函数的定义域和值域函数的定义域是指函数定义的自变量的取值范围，函数的值域是指函数在定义域内的所有可能的因变量的取值范围。
函数的定义域和值域在确定函数的性质和行为上起到了重要的作用。
1.4 初等函数初等函数是指一些基本的函数形式，包括代数函数、三角函数、指数函数、对数函数等。
初等函数是用于描述自然界和社会现象的一种数学模型，对于初等函数的研究在数学和物理等领域具有重要的意义。
1.5 函数运算函数运算是指对函数进行加、减、乘、除等运算，包括函数的复合、反函数、逆函数等。
函数运算的目的是得到新的函数，以便对函数进行更复杂的研究和应用。
二、函数的性质2.1 函数的奇偶性一个函数的奇偶性是指该函数在坐标系中的对称性。
若函数满足 f(-x)=f(x) ，则称其为偶函数；若函数满足 f(-x)=-f(x) ，则称其为奇函数。
奇偶性是函数性质的重要特征，在函数的图像和性质分析中起到重要的作用。
2.2 函数的单调性一个函数的单调性是指函数图像在定义域内的单调增加或单调减少的性质。
若函数满足对于任意的 x1<x2 ，有 f(x1)<f(x2) ，则称其为单调增加函数；若函数满足对于任意的x1<x2 ，有 f(x1)>f(x2) ，则称其为单调减少函数。
2.3 函数的极值和最值一个函数在定义域内的最小值和最大值称为函数的最值，而取得最值的自变量称为函数的极值点。
反函数知识点总结
反函数知识点总结反函数是函数概念中的重要内容，反函数的概念常常出现在高等数学和几何学中。
它是一个非常有用的工具，可以帮助我们解决各种数学问题。
首先，我们先来了解一下什么是函数。
在数学中，函数是一个特殊的关系，它将一个输入值映射到一个输出值。
数学上用一个函数图像来表示函数，函数图像是一条曲线，代表了所有可能的输入和对应的输出。
而反函数是与原函数相对应的另一个函数，它将原函数的输出值映射回原函数的输入值。
我们可以将反函数视为原函数的“逆运算”。
为了方便描述反函数的性质，我们假设有两个函数f和g，其中f是一个函数，g是f的反函数。
对于给定的x，如果我们将x作为输入传递给f，得到的输出记为y=f(x)；反过来，如果将y作为输入传递给函数g，得到的输出就是原始的输入x。
这一过程可以用g(f(x))=x来表示。
基于这个定义，我们可以得出反函数的一些重要性质：1. 反函数与原函数互为逆运算：对于函数f的反函数g，有f(g(x))=x和g(f(x))=x成立。
2. 函数与反函数的图像相互关于y=x对称：函数f与反函数g的图像通过y=x对称。
也就是说，如果我们将函数f的图像绕着直线y=x旋转180度，得到的图像就是反函数g的图像。
3. 函数必须是一一对应关系：为了存在反函数，函数f必须是一一对应关系，也就是说，不同的输入值对应不同的输出值。
如果函数f不是一一对应关系，那么它就没有反函数。
4. 反函数的定义域和值域与原函数相反：如果函数f的定义域为X，值域为Y，那么反函数g的定义域为Y，值域为X。
以上是反函数的一些基本性质。
在实际应用中，反函数可以帮助我们解决一些复杂的数学问题，例如求解方程、求解逆矩阵等。
对于一元函数，我们可以通过一些方法求解它的反函数。
例如，对于一次函数y=ax+b，反函数可以通过交换x和y，并解方程得到。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，可以通过配方法、求根公式等方法来求解反函数。
对于三次函数、四次函数等高次函数，求解反函数可能会更加复杂。
反函数的运算法则
反函数的运算法则
“嘿，同学们，今天咱们来讲讲反函数的运算法则。
”
反函数简单来说，就是把原来函数中自变量和因变量的位置调换一下。
那反函数的运算法则呢，听我慢慢道来。
比如说，有一个函数 y=f(x)，它的反函数就是 x=f^(-1)(y)。
这里要注意一个很重要的点，原函数和它的反函数的图像是关于直线 y=x 对称的。
举个例子吧，就拿最简单的正比例函数 y=2x 来说。
它的反函数怎么求呢？我们把 x 和 y 调换位置，就得到 x=2y，然后解出 y，也就是 y=x/2，这就是它的反函数。
再比如说指数函数 y=e^x，它的反函数就是对数函数 y=lnx。
它们之间就存在着这种反函数的关系。
在实际应用中，反函数的运算法则也很重要哦。
比如说在工程计算中，我们经常需要根据已知的结果去反推原来的输入。
这时候反函数就能派上大用场了。
就好像我们知道一个物体运动的路程和时间的关系函数，那么如果我们想要知道在某个特定的路程下，花费了多少时间，就可以通过求反函数来得到。
还有在经济学中，成本和产量的函数关系，如果我们想要知道达到某个成本时的产量，也可以利用反函数来计算。
总之，反函数的运算法则是数学中很重要的一部分，它帮助我们更好地理解和处理函数之间的关系，在很多领域都有广泛的应用。
同学们一定要好好掌握呀！以后遇到相关问题，就能轻松解决啦。
反函数及其图象
反函数及其图象知识点的辅导：反函数也是函数，它是函数部分的重要概念之一.从映射的观点认识，反函数也是一种映射：如果函数y ＝f （x ）是定义域集合A 到值域集合C 的映射，那么它的反函数y=f －1（x ）是集合C 到集合A 的映射.但必须明确只有一一映射确定的函数才有反函数.要正确地理解反函数的概念，关键是要弄清y ＝f （x ）、x= f －1（y ）以及y ＝f －1（x ）三者之间的关系，特别是在不同的函数中x 、y 在含义、地位上的区别，以及三个函数的图象之间的关系. 一、反函数的定义函数y ＝f （x ）中x 是自变量，y 是x 的函数，设它的定义域为A ，值域为C ，我们根据函数y ＝f （x ）中x 、y 的关系，用y 把x 表示出，得到x=φ（y ），如果对于y 在C 中的任何一个值，通过x=φ（y ），x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么x=φ（y ）就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数x=φ（y ）（y ∈C ）叫做函数y= f （x ）（x ∈A ）的反函数.记作x= f －1（y ）.在函数x= f －1（y ）中，y 是自变量，x 表示函数，但在习惯上，我们一般用x 表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x= f －1（y ）中的字母x 、y ，把它改写成y ＝f －1（x ）.注：1o不是任何函数都有反函数，因为函数是数集A 到数集B 的映射，它的对应法则包括一对一和多对一两种情况，根据反函数的定义，只有给出的函数y= f （x ）的对应关系是一对一的，才有反函数.例：（1）函数y=x 2（x ∈R ）有没有反函数？为什么？（2）怎样改变定义域才能使它有反函数？反函数是什么？解：（1）函数y=x 2（x ∈R ）没有反函数（2）如果把定义域分为（－∞，0]、[0，＋∞）两个区间，则y ＝x 2在（－∞，0]上存在反函数，其反函数是y ＝－)0(≥x x ，y ＝x 2在[0，＋∞）上存在反函数，其反函数是y ＝)0(≥x x .一般地，由于严格单调函数的对应关系是从“定义域到值域”的“一对一”，所以能求出它的反函数，即严格单调函数必有反函数，且严格递增函数的反函数也必严格递增，如果用某一个解析式表示的函数不是单调函数，可以将其定义域限制在一个单调区间内，也能研究它的反函数.2o 反函数的定义域与值域正好是原函数的值域与定义域，否则，即使对应法则互逆，也不能算是原函数的反函数.如：)(2)(2z x x y z y y x ∈=∈=与前者的值域不是后者的定义域，所以求原来函数的反函数时，必须已知或先确定原来函数的值域.3o 函数y ＝f （x ）如果有反函数y ＝f －1（x ），那么原来函数y=f （x ）也是反函数 y ＝f －1（x ）的反函数，即它们互为反函数.因而f －1[f （x ）]=x ，f[f －1（x ）]=x.4o y ＝f （x ），x ＝f －1（y ），y ＝f －1（x ）之间的关系.a. y ＝f （x ）与x ＝f －1（y ）：x ，y 所表示的量相同，但是地位不同.在y=f （x ）中，x 是自变量，y 是函数值；在x ＝f －1（y ）中，y 是自变量，x 是函数值. b. y ＝f （x ）与y ＝f －1（x ）：x 、y 地位相同，x 都是自变量，y 是函数值，这比较符合 习惯，并给研究函数带来某些方便，但是x 、y 所表示的量（指实际意义）在两式中被互换了，在y ＝f （x ）中的x 、y 所表示的量分别是y ＝f －1（x ）中的y 、x 所表示的量.c. x ＝f －1（y ）与y ＝f －1（x ）：都是y ＝f （x ）的反函数，它们的对应法则相同，故实质上是同一个函数.二、互为反函数的函数图象间的关系例：求函数y=3x －2（x ∈R ）的反函数，并且画出y ＝f （x ）、x ＝f －1（y ）与y ＝f －1（x ）考虑：在例中，函数y ＝3x －2的图象与其反函数32+=y x 的图象有何关系？函数y=3x －2的图象与其反函数32+=x y 的图象有何关系？为什么？分析：函数y ＝3x －2与其反函数32+=y x ，虽然形式上它们的图象是同一条直线，但它们的自变量轴与因变量轴恰恰相反.如果我们把x 轴都看作是自变量轴，y 轴看作因变量轴，那么它们的图象是关于直线y=x 对称的.为了看清这一点，我们把函数y ＝3x －2的反函数32+=y x 换写成32+=x y ，这时函数与反函数中x 都表示自变量，y 都表示因变量，从图中看到，它们的图象是关于直线y=x 对称的.结论：1o .函数y ＝f （x ）的图象和它的反函数y=f －1（x ）的图象关于直线y=x 对称； 2o .y ＝f （x ）与x ＝f －1（y ）的图象重合知识点的讲解例1：求下列函数的反函数：（1）y=)1(11≠-+x xxxxx（2）y=x 2－8x ＋13 （x ≥4） （3）y ＝x|x|＋2x （4）y ＝1－)01(12<≤-x x －（1）解：在原函数中，y=xxx xx -+-=-++--=-+12112)1(111-≠∴y 由y=xx -+11得：1＋x ＝（1－x ）y∴y －xy=1＋x∴（y ＋1）x ＝y －1 ① y ≠-1 ∴x=11+-y y ②∴原函数的反函数是y=11+-x x （x ≠-1）说明：本题在由①式得到②式时，不能想当然将等式两边同除y ＋1，应注意，这样做的前提条件是y ≠-1 ，所以本题一开始先求原函数的值域，一方面是为了得到反函数的定义域，另一方面是为了保证后面正确运算的可能性. （2）解：y ＝f （x ）＝x 2－8x ＋16=（x －4）2－3 ∴ 当x ≥4时，f （x ）单调递增 ∴它存在反函数.由y=（x －4）2－3得 （x －4）2＝y ＋3 ∴x －4＝3+±y∴x ＝43+±y 4≥x ∴ x ＝4＋3+y又)4(1382≥+-=x x x y的值域是 y ≥-3∴原函数的反函数是y ＝4＋3+x (x ≥-3)说明：通过本小题再次说明只有一一映射确定的函数才有反函数，y ＝x 2－8x+13本不存在反函数，但当把x 的取值范围限定在定义域的某个单调区间上以后，可以求出反函数，而且它的反函数也是唯一的，其表达式应由原函数中x 的范围(即x ≥4)加以确定. （3）解：y ＝x|x|＋2x ＝⎩⎨⎧<+-≥+0,20,222x x x x x x 1o .当x ≥0时，由y ＝x 2＋2x ＝（x ＋12）－1，得x ＋1＝1+±y ,11011++-=∴≥+±-=y x x y x又 y ＝x 2＋2x ，当x ≥0时，y ≥0∴y ＝x|x|＋2x 当x ≥0时的反函数是y ＝-1＋)0(1≥+x x ；2o .当x<0时，由y ＝-x 2＋2x ＝－（x －12）＋1，得（x －12）＝1－y ，即x-1＝y -±1，x ＝1y -±1 x<0 ∴x ＝1－y -1 又 y ＝x|x|＋2x 当x<0时，y<0∴y ＝x|x|＋2x （x<0）的反函数是y ＝1－)0(1<-x x∴y ＝x|x|＋2x 的反函数是 y ＝⎩⎨⎧<--≥++-)0(11)0(11x xx x说明：1o对于求分段函数的反函数问题，应分别求出每一段上原函数的反函数，然后再表示成分段函数的形式.2o要注意，本题反函数中的x ≥0与x<0是由原函数的值域得到的，而不是由原函数中的x ≥0，x<0直接得来的. （4）解：由y ＝1－21x －得21x －=1-y ∴1－x 2＝1－2y ＋y 2 ∴x ＝－22y y - 又 y ＝1－)01(12<≤--x x 的值域是0<y ≤1∴原函数的反函数是y ＝－)10(22≤<-x x x小结：求函数的反函数的步骤：①判断确定f(x)的映射是否为一一映射.一般情况下，所给的f(x)都是由一一映射所确定的函数，但是大家应明确不是由一 一映射确定的函数就求不出反函数；②将y=f(x)看成方程，解出x ＝f －1(y);③将x,y 互换，得到y ＝f －1(x);④写出y ＝f －1(x)的定义域.一般情况下，应通过原函数的值域确定反函数的定义域.例2：已知函数),(cd x R x dcx b ax y -≠∈++=中a 、b 、c 、d 均不为0（1）试求a 、b 、c 、d 满足什么条件时有反函数，并求出此反函数； （2）试求a 、b 、c 、d 满足什么条件时函数与反函数的图象重合.解：（1）由dcx b ax y ++=得cyx ＋dy ＝a x ＋b ，得（cy －a ）x=b －dy ，这里必须cy －a ≠0，即 000·≠-≠+--+≠-++ad cb dcx adcax cb cax a dcx bax c 得得，在此条件下，得acy dy b x --=∴知当cb －a d ≠0时，函数)(cd x R x dcx b ax y -≠∈++=且的反函数是)(c b x R x acx b dx y ≠∈-+-=且（2）由条件，函数与反函数的图象重合即两函数是同一函数.由dcx b ax y ++=与acx b dx y -+=－比较可得a ＋d ＝0，知当cb －a d ≠0且a ＋d=0时，函数与反函数的图象重合.说明：本题中的结论可作为一个规律，加以记忆，这样对于dcx b ax y ++=型的反函数，不需进行推导，可直接写出结果. 例3：求下列函数的反函数。
反函数的计算方法
反函数的计算方法嘿，咱来聊聊反函数呗！你知道不，反函数就像是一把神奇的钥匙，可以打开数学世界里的另一扇门。
先说说啥是反函数呢？简单来讲，就好比两个人互相照应，一个函数和它的反函数就是这样的关系。
如果一个函数能把某个数变成另一个数，那么它的反函数就能把后面这个数变回原来那个数。
神奇吧！那怎么计算反函数呢？这可是个关键问题。
首先得确定原函数是一一对应的。
啥叫一一对应呢？就像每个人都有唯一的身份证号码一样，一个自变量对应一个因变量，不能一对多或者多对一。
要是函数不是一一对应的，那就没法找到反函数啦。
接着呢，把原函数中的x 和y 互换位置。
这就好比两个人交换了角色。
原来x 是主角，现在y 成了主角，而x 则变成了配角。
然后解出y，这个新的y 就是原函数的反函数啦。
比如说，函数y = 2x + 1，咱来求它的反函数。
先把x 和y 互换位置，变成x = 2y + 1。
然后解这个方程，把y 解出来。
先把1 移到左边，变成x - 1 = 2y，再两边同时除以2，就得到y = (x - 1)/2。
这就是原来函数的反函数啦。
再看个复杂点的例子，y = x²（x≥0）。
互换位置后变成x = y²（y≥0）。
解这个方程可得y = √x。
这就是它的反函数。
反函数的计算过程就像是一场解谜游戏，充满了挑战和乐趣。
你想想，通过一步步的推导，最终找到那个神秘的反函数，是不是很有成就感呢？而且反函数在很多地方都有大用处呢。
比如在物理学中，一些公式的推导就需要用到反函数。
在工程学中，也常常会用到反函数来解决实际问题。
反函数就像是数学世界里的一个秘密武器，掌握了它，就能在数学的海洋里畅游得更自在。
你难道不想试试用反函数来解决一些难题吗？总之，反函数的计算方法并不难，只要掌握了关键步骤，就能轻松搞定。
多做一些练习题，熟悉了反函数的特点和计算方法，你会发现数学其实很有趣。
不要害怕挑战，勇敢地去探索反函数的奥秘吧！。
反函数关于
反函数关于一、反函数的概念与基本性质1.反函数的定义在数学中，如果两个函数互为反函数，那么我们就称这两个函数互为反函数。
具体来说，如果函数f(x)和函数g(x)满足以下条件：（1）对于任意的x，有f(g(x))=x；（2）对于任意的x，有g(f(x))=x。
那么我们就说函数f(x)和函数g(x)互为反函数。
2.反函数的基本性质（1）互为反函数的两个函数的定义域和值域恰好相反。
（2）互为反函数的两个函数的复合函数为恒等函数。
（3）互为反函数的两个函数的导数互为负倒数。
二、反函数的求法1.直接求法如果已知函数f(x)的反函数，我们可以直接写出反函数的表达式。
例如，如果已知f(x)=2x+1，那么我们可以通过求解以下方程得到反函数：f(x) = 2x + 1解得：x = (y - 1) / 2所以，反函数为：y = (x - 1) * 22.间接求法如果已知函数f(x)的导数，我们可以通过求解微分方程得到反函数。
例如，如果已知f(x)的导数为f"(x)=3x^2+2x+1，那么我们可以通过求解以下微分方程得到反函数：dy/dx = 3x^2 + 2x + 1解得：y" = 3x^2 + 2x + 1对两边积分，得：y = x^3 + x^2 + C所以，反函数为：f(x) = x^3 + x^2 + C三、反函数的应用1.函数与反函数的关系反函数是原函数的镜像，通过反函数可以更好地理解原函数的性质和特点。
例如，对于函数f(x)=ax+b（a≠0），其反函数为f^-1(x)=(x-b)/a，通过反函数我们可以看出原函数的增减性和单调性。
2.反函数在实际问题中的应用反函数在实际问题中有很多应用，如密码学、计算机科学中的排序算法、数学中的微积分等。
以密码学为例，加密算法可以看作是一个函数，将明文映射为密文。
要解密密文，我们需要找到一个与加密函数互为反函数的解密函数。
这样，通过解密函数，我们可以将密文还原为明文。
反函数知识点总结中考
反函数知识点总结中考一、概念1. 定义反函数是指对于给定的函数f(x)，若存在一个函数g(y)使得对任意的x∈X，有y=f(x)，且对任意的y∈Y，有x=g(y)，则称g(y)是f(x)的反函数，记作g(x)=f^(-1)(x)。
2. 注意事项（1）注意反函数是原来函数的逆运算，即f(g(x))=x。
（2）注意反函数的定义域和值域互换，即f:X→Y，g:Y→X。
（3）注意反函数只对满足水平线测试的函数有意义，即原函数为一一对应关系。
二、性质1. 反函数的性质（1）f(x)和f^(-1)(x)的图象关于y=x对称。
（2）f(x)和f^(-1)(x)的交点坐标为(x, x)。
（3）f^(-1)(f(x))=x，f(f^(-1)(x))=x。
（4）若f(X)=Y，则f^(-1)(Y)=X。
（5）如果f(x)有定义域和值域互换的性质，那么f^(-1)(x)也有值域和定义域互换的性质。
2. 复合函数的性质（1）f(x)和f^(-1)(x)是互为反函数的函数，则f(f^(-1)(x))=x，f^(-1)(f(x))=x。
（2）若f(x)和g(x)为互为反函数的函数，则(g∘f)^(-1)=(f^(-1)∘g^(-1))。
三、常见问题1. 反函数的存在性问题反函数的存在性需要满足原函数为一一对应关系，即每一个自变量对应唯一的因变量。
如果原函数不是一一对应关系，则反函数不存在。
2. 反函数的求法（1）如果f(x)已知，则可以通过交换自变量和因变量的位置来求得f^(-1)(x)。
（2）通过求导的方法也可以求得反函数。
3. 反函数的应用反函数在实际生活中有很多应用，比如温度的摄氏度和华氏度之间的转换、数学中的对数函数等都涉及到反函数的应用。
四、解题思路1. 根据反函数的性质来解题，如利用f(x)和f^(-1)(x)的对称性和交点坐标来求解问题。
2. 利用反函数的定义来解题，如根据f(x)和f^(-1)(x)之间的逆运算来解题。
高考数学反函数知识点
高考数学反函数知识点在高考数学中，反函数是一个重要的知识点。
通过学习反函数，我们可以更深入地理解函数概念，并在解决实际问题中灵活运用。
一、反函数的定义函数可以理解为一种映射关系，将一组自变量映射到一组因变量。
反函数则是指这个映射关系的逆过程，即将因变量映射回相应的自变量。
如果函数y=f(x)的定义域是X，值域是Y，那么反函数y=f^(-1)(x)的定义域是Y，值域是X。
二、反函数的性质1. 函数与反函数互为逆过程。
即函数f和反函数f^(-1)满足以下关系：f(f^(-1)(x))=x，f^(-1)(f(x))=x。
2. 函数与反函数的图像关于y=x对称。
这意味着函数的图像和其反函数的图像在y=x这条直线上对称。
三、求反函数的方法要求一个函数的反函数，可以按照以下步骤进行：1. 将函数中的自变量x和因变量y互换，得到y=f(x)。
2. 求解方程y=f(x)，将x表示为y的函数，得到y=f^(-1)(x)。
四、反函数的存在性和唯一性并非所有函数都存在反函数。
函数的反函数存在的条件是函数必须是一一对应的。
也就是说，函数中的每一个自变量对应一个唯一的因变量，且不同的自变量对应不同的因变量。
如果函数是一对一的，那么它的反函数存在且唯一。
五、反函数的应用1. 求解方程。
通过求解方程y=f(x)，可以将x表示为关于y的函数，从而求得该方程的解。
2. 函数关系的理解。
通过研究函数和反函数之间的关系，可以更深入地理解它们之间的性质和特点。
3. 函数图像的分析。
函数图像和其反函数图像在y=x上对称，通过对函数图像和反函数图像的分析，可以更好地理解函数的形态和性质。
六、注意事项在使用反函数时，需要注意以下几点：1. 函数必须是一对一的，否则反函数不存在。
2. 反函数的定义域和值域与原函数相反。
3. 在求解方程时，要注意是否使用了正确的反函数。
结语通过学习反函数知识点，我们可以更深入地理解函数的概念和性质。
掌握反函数的定义、性质、求解方法和应用，对于高考数学的考查和实际问题的解决都具有重要意义。
反函数的运算公式
反函数的运算公式反函数，这可是数学中的一个重要概念啊！对于很多同学来说，可能一开始会觉得有点头疼，但别怕，咱们一起来好好琢磨琢磨。
先来说说啥是反函数。
假如有一个函数 f(x)，通过一系列的运算和规则，把 x 变成了 y 。
那么反函数呢，就是能把 y 再变回 x 的那个函数。
比如说，函数 f(x) = 2x ，它的反函数就是 f -1 (x) = x/2 。
那反函数的运算公式是啥呢？一般来说，如果原函数是 y = f(x)，咱们先把 x 用 y 表示出来，得到x = φ(y)，那么反函数就是 f -1 (y) = φ(y) 。
给大家举个例子吧，就说函数 y = 3x + 1 。
咱们要找它的反函数，那就先把 x 解出来。
首先，y = 3x + 1 ，移项得到 y - 1 = 3x ，然后 x = (y - 1) / 3 ，所以它的反函数就是 f -1 (y) = (y - 1) / 3 。
我记得之前教过一个学生，叫小明。
这孩子呀，刚开始接触反函数的时候，那叫一个迷糊。
我给他讲了好几遍，他还是一脸懵。
后来我就发现，他老是在移项和解方程的时候出错。
我就专门给他找了一堆类似的题目，让他反复练习。
一开始，他做得那叫一个惨不忍睹，错误百出。
不过这孩子有股子倔劲儿，不服输。
每天都花好多时间在这上面，还主动来问我问题。
慢慢地，他开始找到感觉了。
有一次课堂练习，做到反函数的题目时，我看到他的眼神不再迷茫，而是充满了自信。
最后交上来的作业，全对！那一刻，我真的特别欣慰。
咱们再回到反函数的运算公式。
在实际运算中，大家一定要注意定义域和值域的问题。
因为原函数的定义域就是反函数的值域，原函数的值域就是反函数的定义域。
比如说，函数y = √x （x≥0），它的反函数就是 y = x²（x≥0）。
这里，原函数的定义域是x≥0 ，所以反函数的值域也是y≥0 。
总之，反函数的运算公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多练习，多琢磨，就一定能掌握。
反函数基本公式大全
反函数基本公式大全反函数是指对于一个函数f(x)，如果存在一个函数g(x)，使得f(g(x))=x，那么g(x)就是f(x)的反函数。
在数学中，反函数是一个非常重要的概念，它在解方程、求导、积分等数学问题中都有着重要的应用。
本文将介绍一些反函数的基本公式，希望能够帮助大家更好地理解和运用反函数的知识。
1. 反函数的定义。
设函数f(x)在区间I上是单调的且连续的，且在区间I上有一个逆函数g(x)，那么对于任意的x∈I，都有f(g(x))=x和g(f(x))=x成立。
这时，函数g(x)就是函数f(x)的反函数。
2. 反函数的求法。
若函数f(x)在区间I上是严格单调的，那么它在该区间上有且仅有一个反函数。
我们可以通过以下步骤来求反函数：（1）将原函数y=f(x)中的x和y互换位置，得到x=f(y)；（2）解出y=f^(-1)(x)，即得到原函数的反函数。
3. 反函数的基本公式。
（1）一次函数的反函数。
对于一次函数y=kx+b，它的反函数为y=(x-b)/k。
（2）幂函数的反函数。
对于幂函数y=x^n，它的反函数为y=x^(1/n)。
（3）指数函数的反函数。
对于指数函数y=a^x，它的反函数为y=logₐx。
（4）对数函数的反函数。
对于对数函数y=logₐx，它的反函数为y=a^x。
（5）三角函数的反函数。
对于三角函数y=sin(x)、y=cos(x)、y=tan(x)等，它们的反函数分别为y=arcsin(x)、y=arccos(x)、y=arctan(x)等。
4. 反函数的性质。
（1）反函数与原函数的图像关于直线y=x对称；（2）若函数f(x)在区间I上是严格单调递增的（或递减的），则它在该区间上有且仅有一个反函数；（3）若函数f(x)的定义域为D，值域为R，且有反函数g(x)，则函数g(x)的定义域为R，值域为D。
5. 反函数的应用。
（1）在求解方程时，可以利用反函数将复杂的方程转化为简单的形式；（2）在微积分中，反函数可以帮助我们求解一些复杂的积分问题；（3）在实际问题中，反函数也有着广泛的应用，如经济学、物理学等领域。
反函数的知识点总结
反函数的知识点总结一、反函数的概念反函数是函数的一个重要概念，它是指对于一个给定的函数f(x)，如果存在另一个函数g(x)，使得对于f的定义域中的任意x，都有f(g(x))=x和g(f(x))=x，那么g就是f的反函数，记作g=f^(-1)。
也就是说，反函数是对原函数进行逆运算的函数。
反函数的存在与否直接与原函数的性质有关，比如函数是否是一一对应的，以及函数的定义域和值域等。
二、反函数的性质1. 对于函数f(x)，其反函数f^(-1)(x)的定义域和值域是原函数f(x)的值域和定义域，即f^(-1)(x)的定义域是f(x)的值域，f^(-1)(x)的值域是f(x)的定义域。
2. 对于反函数f^(-1)(x)，有f(f^(-1)(x))=x和f^(-1)(f(x))=x成立。
3. 若原函数f(x)是一一对应的，则其反函数f^(-1)(x)也是一一对应的。
一一对应的函数是指对于不同的自变量，其函数值必然不同。
4. 原函数f(x)和其反函数f^(-1)(x)的图象关于y=x对称。
三、反函数的求解方法求解函数的反函数，一般有以下几种方法：1. 通过代数方法直接求解对于一些简单的函数，可以通过代数方法直接求解其反函数。
比如对于f(x)=2x+3，可以通过代数运算得到其反函数f^(-1)(x)=(x-3)/2。
2. 通过图像求解通过作出原函数的图象，再通过求出其关于y=x的对称图象，得到反函数的图象，从而得到反函数的表达式。
3. 通过换元法求解对于一些复杂的函数，可以通过换元法来求解其反函数。
比如对于f(x)=e^x，可以通过令y=e^x来求解其反函数。
4. 通过迭代法求解对于一些无法用代数方法求解的函数，可以通过迭代法来求解其反函数。
迭代法是通过反复逼近的方式来求解函数的反函数。
四、反函数的应用反函数在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，其中包括以下几个方面：1. 函数的逆运算反函数是对原函数进行逆运算的函数，它可以帮助我们对原函数进行逆运算，从而解决一些实际问题。
常见的反函数公式大全
常见的反函数公式大全反函数是数学中一个常见的概念。
它是指可以将原函数f（x）映射到另一个函数g（x），并且具有以下性质f（g（x））= xg（f（x））= x例如，y= sin x反函数为 y = arcsin x，其中 arcsin x示 sin-1 x意思，也就是 x应的 sin。
反函数是日常生活中经常用到的一种函数，也是工程计算中经常用到的工具。
因此，了解反函数的相关知识，对我们的科学与技术的发展有很大的帮助。
本文将介绍反函数的定义、性质以及一些常见的反函数公式。
一、反函数的定义反函数，也叫做逆函数。
它是指原函数 f（x）另一个函数，即 g （x），可以将原函数 f（x）按照一定的规则映射到另一个函数 g（x），具有以下性质：f（g（x））= xg（f（x））= x例如，y= sin x反函数为 y = arcsin x，表示 x应的 sin。
也就是说，当反函数 g（x）映射到原来的函数 f（x）后，得到的值等于 x。
反函数并不是每个函数都有的，只有满足特定条件的函数才有反函数。
二、反函数的性质反函数是有特定条件的函数才有的，而且有一些显著的性质。
1、反函数是对称的反函数存在对称性，也就是说，如果函数 f（x）有反函数 g（x），那么 f（-x）也有反函数 g（-x），两者是对称的。
2、反函数是可逆的它满足以下关系：f（g（x））= xg（f（x））= x这也表明反函数是可逆的，也就是说，当反函数 g（x）映射到原来的函数 f（x）后，得到的值等于 x。
3、反函数是单射的反函数是单射的，也就是说，反函数映射后的结果是唯一的，不存在多个映射的情况。
三、常见的反函数公式1、幂函数的反函数y = xm（m≠ 0）的反函数为 y = x1/m2、对数函数的反函数为y = a log x（a>0）的反函数为 y = a x3、三角函数的反函数sin x反函数为 arcsin x；cos x反函数为 arccos x；tan x反函数为 arctan x。
反函数的原理
反函数的原理反函数是一个非常重要的概念，在数学中很常见，它与函数之间构成了一种互逆的关系，反函数可以帮助我们解决一些问题。
反函数的定义：对于一个函数 f(x) ,如果存在另一个函数 g(y) 使得 g(f(x))=x,且f(g(y))=y，那么g(y)就是f(x)的反函数。
其中，f(x)是原函数，g(y)是反函数，它们互为反函数。
举例来说，如果我们有一个函数 f(x)=2x+1，那么可以求出它的反函数g(x)=(x-1)/2。
因为g(f(x))=(2x+1-1)/2=x,所以g(x)是f(x)的反函数；同样的，对于任意的y，f(g(y))=2((y-1)/2)+1=y，所以g(x)也是f(x)的反函数。
关于反函数，有以下原理：一个函数的反函数是唯一的，这意味着如果存在2个反函数g_1(x)和g_2(x),那么它们在定义域上必须相等。
证明如下：假设有2个反函数g_1(x)和g_2(x)都是f(x)的反函数，而且它们的定义域分别为D_1和D_2。
那么对于任意的x∈D_1∩D_2,有：g_1(f(x))=x (1)由（1）式得：g_2(g_1(f(x)))=g_2(x)，即g_2(f(x))=g_2(x)因此，在D_1∩D_2上，g_1(x)=g_2(x)。
一个函数有反函数的必要条件是它单调且一一映射，因为反函数的定义要求它们互为反函数，这说明它们的定义域必须一一对应。
证明如下：假设f(x)是一个单调递增的函数，那么如果存在两个不同的数a和b，使得f(a)=f(b)，那么a<b且f(a)<=f(b)矛盾，所以f(x)一一映射。
同理，如果f(x)是一个单调递减的函数，也可以证明它一一映射。
因此，如果一个函数是单调递增或单调递减的，那么它的反函数存在。
对于一个函数f(x)，如果它的反函数存在，那么可以用下面的方法求它的反函数。
步骤一：将f(x)中的x换成y。
f(y)=x步骤二：将y和x互换。
步骤三：解出y下面，我们来举个例子说明。
反函数相关公式
反函数相关公式在咱们的数学世界里，反函数可是个相当有趣的家伙！今天就来好好聊聊反函数相关的公式。
先来说说啥是反函数。
想象一下，有一个函数就像一个神奇的魔法机器，你给它输入一个数，它就给你输出一个特定的结果。
而反函数呢，就是这个魔法机器的逆向操作，能把输出的结果再变回输入的那个数。
比如说，函数 y = 2x ，它的反函数就是 x = y/2 。
这就好像是把原来的过程倒着走了一遍。
那反函数有啥相关公式呢？对于一个函数 y = f(x) ，如果它的反函数存在，并且记为 x = f⁻¹(y) ，那么就有一个重要的公式：f(f⁻¹(y)) = y 且 f⁻¹(f(x)) = x 。
这就好比是两个小伙伴，互相帮忙，最终都能回到最初的状态。
我给您举个特别实在的例子哈。
就拿简单的一次函数 y = 3x + 1 来说。
咱们先把它写成用 x 表示 y 的形式，就是 x = (y - 1) / 3 ，这就是它的反函数。
那咱们来验证一下刚才说的那个公式。
先算 f(f⁻¹(y)) ，把反函数 x= (y - 1) / 3 代入原函数 y = 3x + 1 中，得到 y = 3 * ((y - 1) / 3) + 1 ，经过计算，嘿，果然就等于 y ！反过来，把原函数的 x 代入反函数，也能得到 x 。
这就像是你去一个陌生的地方，去的时候有一条路，回来的时候又有另一条路，但最终都能顺利往返。
再比如说，指数函数 y = a^x （a > 0 且a ≠ 1），它的反函数就是对数函数x = logₐ y 。
这里面也能用上咱们的反函数公式，保证严丝合缝，不出差错。
在实际解题的时候，反函数的公式可帮了大忙啦！比如说，给您一道题：已知函数 f(x) = 2x - 3 ，求它的反函数，并验证公式。
那咱们就先把它写成 x = (y + 3) / 2 ，这就是反函数。
然后按照公式一验证，答案就明明白白的。
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4.4 反函数的概念
考点诠释
1 反函数的定义：
2 互为反函数的两个函数的性质：
① 原函数和反函数的图像关于直线y x =对称；
② 反函数的定义域为原函数的值域，反函数的值域为原函数的定义域 ③ 若原函数是奇函数则反函数也为奇函数； ④ 原函数与反函数有相同的单调性； ⑤ [()][()]11f f x f f x x --==
注意：①“一个函数为单调函数”是“这个函数具有反函数”的充分非必要条件；
（单调函数一定有反函数；但是若一个函数有反函数这个函数未必单调，例如，反
比例函数）
②反函数与原函数的交点不一定在直线y x =上；
若反函数与直线y x =有交点，这个点一定在反函数上。
③若函数()y f x =的反函数为()1y f x -=
则函数()1y f x =+的反函数为()11y f x -=-； 函数()1y f x =+的反函数为()11y f x -=-
例题精析
例1 求下列函数的反函数 （1
）[,]503y x =∈-
；（2）(,)332232
x y x x x +=≥-≠-+ 精辟分析
解： （1）
[,]2
52503y x =-∈-，[,],50y ∴∈-且.
22
259y x =-
x ∴=；
所以原函数[,]503y
x =∈-的反函数为[,]50y x =∈-。
（2）313
23246
x y x x +=
=+++
,,,324624602x x x x ≥-≠-∴+≥-+≠33462x ∴≤-+或3046x >+,1
12
y y ∴≤->
又,.1333333461246422212
y y x x x y y y --=+=∴=-=
+--- 所以函数(,)332232x y x x x +=
≥-≠-+的反函数是(,)331
1212
x y x x x -=≤->- 方法规律和总结 求一个函数的反函数可以遵循以下步骤：
1 求原来函数的值域；
2 把()()y f x x D =∈看作关于x 的方程，用y 的解析式表示x ，即
()x g x =；2 如果()x g y =中任一个y 对应唯一的x ，那么()(),.1f x g x x A -=∈如果()x g y =中，存在一个y 对应多个x ，那么原函数不存在反函数。
误区警示 （1）学生会忽视x 是小于0
的，开方时错解为x = 例2 已知函数12y x m =+和1
3
y nx =-互为反函数，求 （1）实数,m n 的值；
（2）两个函数图像的交点P 的坐标；
精辟分析
解：（1）由1
2
y x m =
+，得,22x y m =-所以反函数为22y x m =- ,.2123n m =⎧⎪∴⎨-=-⎪⎩解方程组，得162
m n ⎧
=⎪⎨⎪=⎩ （2）由1126123y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解方程组，得13
1
3x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，∴点P 坐标为(,)1133。
例3 已知函数5
2x y x m -=+的图像关于直线y x =对称，求实数m 的值。
思维引领 因为52x y x m -=+存在反函数，且图像关于直线y x =对称，所以函数5
2x y x m
-=
+的反函数就是它本身。
方法一：利用反函数与函数5
2x y x m -=+是同一个函数，求出m 的值
方法二：因为（5,0）在5
2x y x m
-=+的图像上，所以(,)05在其反函数的图像上，也就
是在5
2x y x m
-=+的图像上，从而确定m 的值。
精辟分析
解：方法一：由52x y x m -=
+，得5
12my x y
+=-，所以52x y x m -=+的反函数为512mx y x +=-。
因为
52x x m -+与5
12mx x
+-是同一函数的解析式，所以1m =-。
方法二：在5
2x y x m
-=+中，令,50x y ==。
所以(,)50在52x y x m -=
+的图像上，故(,)50关于y x =对称的点(,)05在5
2x y x m -=+的反
函数上。
因为52x y x m -=+的反函数是其本身，故(,)05在52x y x m -=+上，即5
5m
-=，
解得1m =-。
方法规律总结 如果一个函数的图像关于直线y x =对称，那么这个函数的反函数就是它
本身。
例4
已知,311233x x x +==，求12x x +的值。
思维引领 直接通过方程解出,12x x 的难度比较大，因为方程是三次方程。
我们对方程进行
变形;33112233x x x x -=-=，则发现实际上,12x x 是函数,3y x =-分别与函数3
y x =和函
数y =的交点。
由于3y x =
和y 互为反函数所以图像关于直线y x =对称，所以根据图像可以得到。
解：如图函数,3y x =-的图像为直线l ，l 与3y x =的交点为(,)311x x
，与函数y =的交点为(,)322x x 。
3y x =和3y x =互为反函数。
又直线AB 垂直于直线y x =，所以点
A,B 关于直线y x =对称。
点A 的纵坐标31x 就是点B 的横坐标2x 。
312113x x x x ∴+=+=。
拓展训练
一 填空题
1 已知函数()y f x =的反函数是()12
3x f x -+=，则()9f =___________
2 已知函数x
y a k =+的图像经过(,)17点，又其反函数()1
f x -的图像经过点(,)40，则函
数()f x 的
3 已知函数()y f x =有反函数，则方程()f x b =的解的个数为______ 0或1
4 已知函数2
1y x ax =++，(,)12x ∈有反函数，则a 的取值范围是_____1a ≥-或2a ≤-
5 “已知函数()f x 是单调函数”是“函数()f x 有反函数”的_______条件。
充分非必要
6 已知函数()1
a x
f x x a -=--的反函数()1f x -的图像的对称中心为(,)13-，则实数a 的值为
________
7 已知函数()y f x =图像恒过定点(,)10，则函数()11y f x -=+过点________ (,)02 8点（1,2）既在函数y kx b =+的图像上，又在该函数的反函数的图像上，则数对（k,b ）为______________ 二 选择题
9已知函数y =y =_________ A [,]10- B [,]01 C [,]11- D [,)(,]1001-
三 解答题
10求函数)1y x =
≤-的反函数。
解：函数的定义域为(,]1-∞-，值域为[,),0+∞由y =
得221y x =-，得
x =故所求反函数为[,)0y x =∈+∞。
11若函数()3f x a x b =+
-与函数()121
c g x x =++互为反函数，求,,a b c 的值 解：因为()g x 的定义域为(,)(,)11
22
-∞--+∞，()f x 的值域时(,)(,)a a -∞+∞，又因
为()g x 的定义域是()f x 的值域，所以;1
2
a =-又因为()f x 的定义域为(,)(,)
b b -∞+∞，
()g x 的值域为(,)(,)11-∞+∞，所以1b =；所以()13
21
f x x =-+-。
令3x =，则
(),31f =即(,)31在原函数图像上，又因为(),()f x g x 互为反函数，所以(,)31关于直线y x =的对称点为(,)13在()g x 的图像上。
,3163c c ∴=+=；,,.1
162
a b c ∴=-==
12 给定实数(,)01a a a >≠，已知函数(,)11
1x y x R x ax a
-=
∈≠-，证明：这个函数的图像关于直线y x =对称。
证明：由(),(),().11
11111x y x y ax x x ay y ax a
-=
≠-=--=-- 若1010ay y -=⎧⎨-=⎩解方程组，得11
y a =⎧⎨=⎩与已知矛盾，10ay ∴-≠即()11
1y x y ay a -=
≠- 所以原函数与反函数是同一个函数，所以这个函数的图像关于直线y x =对称。
五年高考试题
（2009年上海）已知函数1()y f x -=是()y f x =的反函数。
定义：若对给定的实数
(0)a a ≠，函数()y f x a =+与1()y f x a -=+互为反函数，则称()y f x =满足“a 和性
质”；若函数()y f ax =与1()y f ax -=互为反函数，则称()y f x =满足“a 积性质”。
(1)判断函数2()1(0)g x x x =+>是否满足“1和性质”，并说明理由； (2)求所有满足“2和性质”的一次函数；
(3)设函数()(0)y f x x =>对任何 0a >，满足“a 积性质”。
求()y f x =的表达式。