11度量空间的定义与极限

11度量空间的定义与极限

第一篇：11 度量空间的定义与极限

第一章度量空间

第一章度量空间

若在实数集

R中点列xn的极限是x时，我们使用|xn-x|来表示xn和x的接近程度，事实上，|xn-x|可表示为数轴上xn和x这两

R中点列xn收敛于x也就是指xn和x之间的距离随着n→∞而趋于0，即limd(xn,x)=0．于是人们就想，n→∞

点间的距离，那么实数集在一般的点集，那么在点集X中也可借这一“距离”来定义极限，而究竟什么是“距离”呢？或者说“距离”的本质是什么？ X中如果也有“距离”

远和近你一会看我一会看云我觉得你看我时很远你看云时很近

诗人顾城的一首诗《远和近》对距离的感受又如何呢？

这首诗诗似乎是纯理性的，十分冷静，但细细品味，其中暗暗催动着一股热流：呼唤一种相互理解、相互信任、和谐融洽的人际关系．现实距离和心理距离并不总是一致的．现实距离很远，但心理距离却可能很近，“海内存知己，天涯若比邻”，即是此意．也可能现实距离很近，而心理距离却很远，所谓“咫尺天涯”大概就是指此而言了．那么如何给出距离这一概念？

1.1度量空间的定义与极限

1.1.1 度量空间的定义与举例

定义 1.1.1 设（1）（2）（3）则称d为

X为一非空集合．若存在二元映射d:X⨯X→R，使得∀x,y,z∈X，均满足以下三个条件：

d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当x=y(非负性Positivity)；d(x,y)=d(y,x)(对称性 Symmetry)；

d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)(三角不等式Triangle inequality)，X上的一个距离函数，称(X,d)为距离空间或度量空间(Metric Spaces)，d(x,y)

称为x和y两点间的距离．□

X．

注1：在不产生误解时，(X,d)可简记为下面我们来看一些具体的例子例 1.1.1 欧氏空间设

Rn．

Rn={(x1,x2，xn)|xi∈R,i=1,2，n}，定义

d(x,y)其中

x=(x1,x2，xn), y=(y1,y2，yn)∈Rn，可以验证(Rn,d)是一个度量空间．

在证明之前，引入两个重要的不等式．

引理1.1.1(许瓦兹(Schwarz)不等式)任给

2n个实数a1,a2，an,b1,b2，bn，有

∑ab≤(∑a

iii=

1i=1

nn

22i)(∑b)

i=1

n

2(1.1)i

证明任取实数

λ，则由

1.1度量空间的定义与极限

0≤∑(ai+λbi)=λ

i=1

n

∑b

i=1

n

2i

+2λ∑aibi+∑ai2

i=1

i=1

nn

知右端二次三项式的判别式不大于零，即n

⎛n⎫

∆=2∑aibi⎪-4∑bi2

i=1⎝i=1⎭

于是可得(1.1)式成立．□

进一步有Hölder不等式

1p

∑a

i=1

1qq

n

2i

≤0

∑ab

i=1

n

ii

≤(∑ai)(∑bi)

i=1

i=1

n

p

n

其中

p,q≥1且

+=1，称这样的两个实数p,q为一对共轭数． pq

引理1.1.2闵可夫斯基(Minkowski)不等式的和形式任给2n个实数a1,a2,n,an及b1,b2,12

n,bn，有

n

⎛⎛⎛2⎫2⎫2⎫∑(ai+bi)⎪≤∑ai⎪+∑bi⎪⎝i=1⎭⎝i=1⎭⎝k=1⎭

证明由(1.1)式得

(1.2)

∑(a+b)=∑a

i

i

i=1

i=1n

i

nn

2i

+2∑aibi+∑bi2

i=1

i=1

n

n

nn

⎛⎫

≤∑a+2 ∑ai2⎪i=1⎝i=1⎭n

⎛2⎫⋅∑bi⎪+∑bi2

i=1⎝i=1⎭

⎡n⎤n22⎛⎛2⎫2⎫⎥⎢=∑ai⎪+∑bi⎪⎢⎝i=1⎭⎝i=1⎭⎥⎣⎦

这就证明了(1.2)式．□

进一步可有Minkowski不等式的一般形式，其中k

n

≥1

k1

k

n

k1k

n

k1k

(∑ai+bi)≤(∑ai)(∑bi)

i=1

i=1

i=1

例 1.1.1 欧氏空间

Rn．设Rn={(x1,x2，xn)|xi∈R,i=1,2，n}，定义k≥1

d(x,y)=

其中

(1.3)

x=(x1,x2，xn), y=(y1,y2，yn)∈Rn，可以验证(Rn,d)是一个距离函数．

证明非负性(1)和对称性(2)显然成立，下面仅验证(3)也成立．对于任意的n

n

z=(z1,z2，zn)∈Rn，由闵可夫斯基不等式(1.2)有

⎡⎡2⎤2⎤

x-z=x-y+y-z()()∑∑iiiiii⎢⎥⎢⎥⎣i=1⎦⎣i=1⎦

≤

即d(x,z)

⎡⎡2⎤2⎤

x-y+y-z()()∑∑iiii⎢⎥⎢⎥⎣i=1⎦⎣i=1⎦

是一个距离函数．□

n