【B版】人教课标版高中数学选修1-1导学案：函数的平均变化率-新版
新人教B版高中数学(选修1-1)3.1.1《函数的平均变化率》
2019/2/12
3
3V . 4
当空气容积V从 0增加到1 L时, 气球半径增加了 r 1 r 0 0.62cm , r 1 r 0 气球的平均膨胀率为 0.62dm / L . 10 类似地,当空气容量从1 L增加到2 L时, 气球半径 增加了r 2 r 1 0.16dm , r 2 r 1 气球的平均膨胀率为 0.16dm / L . 21 可以看出, 随着气球体积逐渐变大, 它的平均膨 胀率逐渐变小了. 思考 当空气的容量从 V1 增加到V2时, 气球的平 均膨胀率是多少 ?
1.1变化率与导数
丰富多彩的变化率问题随处可见. 让我们从其中的两个问题, 开始变 化率与导数的学习吧!
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1.1.1函数的平均变化率
2019/2/12
问题1 气球膨胀率 很多人都吹过气球 .回忆一下吹气球的过程 , 可以发现, 随着气球内空气容量的 增加, 气球 的半径增加得越来越慢 .从数学的角度, 如何 描述这种现象呢? 我们知道, 气球的体积V 单位 : L 与半径 r (单 4 3 位 : dm)之间的函数关系是 V r r , 3 如果把半径r表示为体积V的函数, 那么
x是一个整体符号 , 而不是与 x相乘.
可把x 看作是相对于x1 的一个" 增量" , 可用 x1 x代替x2 ; 类似地, f f x2 f x1 . f 于是, 平均变化率可表示为 . x
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y
y f x f x 2 f x 1 f x2 f x1
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问题 2 高台跳水 人们发现 , 在高台跳水运动中 , 运动员相对于水 面的高度 h 单位 : m 与起跳后的时间t 单位 : s 2 存在函数关系 h t 4.9t 6.5t 10. 如果我们用运动员某段 时间内的平均速度 v描 述其运动状态 , 那么 在0 t 0.5这段时间里 , h0.5 h0 v 4.05 m / s ; 0.5 0 在1 t 2这段时间里 , h2 h1 v 8.2 m / s . 21
高二数学(选修-人教B版)-函数的平均变化率-1教案
教案（复习坡度的概念）实际上，山坡一般都是弯曲的，我们该如何刻画它的陡峭程度呢？（三）以直代曲思想的理解即使是弯曲不平的山坡，我们也可以将它划分为许多小段，每一段山路都近似地看成“平直”的．为什么可以把“不平直”的山路看成“平直”的呢？下面是一个曲线的一个局部图形，你能判断它是直的还是弯曲的吗？如果显示出网格线，能否判断呢？这个图的全貌其实是这样的：如果我们用一个“高倍显微镜”来看曲线的一个局部，都可以近似地把它看成直线段．所以，我们也可以把弯曲的山路看成许多平直的小段组成．概念的形成（四）构造数学模型表示山坡陡峭程度假设下图是一座山的剖面示意图．爬山者上升的高度y可以看成水平行进距离x的函数，这座山的山坡剖面图则可以看作函数y=f(x)的图象，建立平面直角坐标系如图所示．我们把山路分成许多近似平直的小段．对于AB这一段平直的山路，放大如下图：坡度为：1010tany y yx x xθ-∆==-∆.对于CD这一段弯曲的山路，可以分成许多段，比如第一小段CD1可以近似地看成直线段，于是这一段山路的陡峭程度可表示为：结合函数的概念，以函数图象表示山坡的剖面图，将实际问题数学化．用数学语言表达山路的陡峭程度．OyxD1x3接这一段的始点与终点的直线的斜率，即点11(())x f x ，与点00(())x f x ，连线的斜率，亦即曲线()f x 的割线的斜率．这是函数平均变化率的几何意义，是曲线陡峭程度的“数量化”，其值可粗略地表示函数的变化趋势．AB k ＝y B －y A x B －x A ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝ΔyΔx ＝tan θ.函数1y x=在 1 到 1＋△x 之间的平均变化率为11x-+∆． 所以，它们在 1 到 1＋△x 之间的平均变化率的大小关系为：②＞①＞③． 【思考】（请同学们自行思考）（1）如果10x -<∆<，它们的大小关系如何？你能结合函数的图象来解释吗？（2）与y x =的平均变化率比较，它们的大小关系如何呢？例 两工厂经过治理，污水的排放流量(W )与时间(t )的关系，如图所示．试指出哪一个厂治污效果较好？分析：这是一个应用问题．读图的关键点是“治污效果”用什么量来刻画——考查函数的平均变化率的应用． 解：甲、乙两厂在相同的时间内都将污水排放流量治理到标准要求．甲厂原来的排放流量较大，因而平均变化率较大，所以甲厂的治污效果较好．本节课学习的主要内容是函数的平均变化率．学习过程从生活情境到数学情境，再到数学概念以及几何意义，初步体会了“以直代曲”的思想和数形结合的方法．。
高中数学平均变化率教案新课标人教B版选修1-1
平均变化率学案一、学习目标通过实例的分析，感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，理解平均变化率的意义及其几何意义，能够解释生活中的现象并会求函数的平均变化率，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景。
B 案课前自主学习[情境1]下图是一段登山路线。
（图形见课本）[问题1] 同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力。
想想看，为什么？[问题2] “陡峭” 是生活用语，如何量化线段BC 的陡峭程度呢？[情境2] 镇江市2004年3月18日到4月20日期间的日最高气温记载.[问题3] 你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？[问题4]如果将上述气温曲线看成是函数y = f(x) 的图象, 则函数y = f(x)在区间[1，34]上的平均变化率为__________在区间[1， x 1]上的平均变化率为__________在区间[x 2，34]上的平均变化率为__________。
你能据此归纳出 “函数f(x)在区间[x 1,x 2]上的平均变化率”的一般性定义吗？[问题5] 如图，请分别计算气温在区间[1，32]和区间[32，34]上的平均变化率。
[实验班补充问题]：如图，分别计算曲线在区间[1，2]和[2，4]上的平均变化率。
[结论] 平均变化率的绝对值越大，曲线越陡峭，变量变化的速度越快。
[归纳总结]：C 案合作探究〖例1〗某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率。
[练习1] 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，ts 后容器甲中水的体积t t V 1.025)(-⨯=（单位：3cm ），计算第一个10s 内V 的平均变化率。
[思考] 容器甲中水的体积V的平均变化率是一个负数, 它的实际意义是什么？〖例2〗已知函数f（x）=2x+1，g（x）= -2 x，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上函数f（x）及g（x）的平均变化率。
高中数学新人教B版选修1-1课件：第三章导数及其应用3.1.1函数的平均变化率(第1课时)
1．如果物体的运动规律是 s＝s(t)，那么物体在 t 到 t＋Δt 这段 时间内的平均变化率就是物体在这段时间内的平均速率，即 v ＝ Δs Δt.
2．解答此类题目，首先要明确自变量与函数值的实际意义， 然后利用定义求平均变化率，并结合题意回答有关问题．
一质点作直线运动，其位移 s 与时间 t 的关系为 s(t)＝t2＋1， 该质点在 2 到 2＋Δt(Δt>0)之间的平均速度不大于 5，求 Δt 的取值 范围．
题目类型二、平均变化率的比较
试比较正弦函数 y＝sin x 在 x＝0 和 x＝π2附近的平均变 化率的大小．
【思路探究】 先求出 y＝sin x 在 x＝0 和 x＝π2附近的平均变 化率，再作差比较．
【自主解答】 当自变量从 0 变到 Δx 时，函数的平均变化率
为
k1＝sin
Δx－sin Δx
2．函数 f(x)＝2x 在 x1＝1 到 x2＝1＋Δx 的平均变化率怎样计算 呢？
【提示】 fxx22－ －fx1x1＝f11＋＋ΔΔxx－ －1f1＝21＋ΔΔxx－2×1＝2.
已知函数 y＝f(x)在点 x＝x0 及其附近有定义，令 Δx＝x－x0； Δy＝y－y0＝ f(x)－f(x0) ＝ f(x0＋Δx)－f(x0) ，则当 Δx≠0 时，比 值fx0＋ΔΔxx－fx0＝ΔΔyx叫做函数 y＝f(x)在 x0 到 x0＋Δx 之间的平均 变化率.
2．求函数 f(x)的平均变化率的步骤： (1)求函数值的增量 Δy＝f(x2)－f(x1)； (2)计算平均变化率ΔΔyx＝fxx22－ －fx1x1.
1．下列说法错误的是( ) A．函数的平均变化率可以大于零 B．函数的平均变化率可以小于零 C．函数的平均变化率可以等于零 D．函数的平均变化率不能等于零 【解析】 根据比值：fx0＋ΔΔxx0－fx0，当 Δx0≠0 时，f(x0＋Δx) －f(x0)可以为零，所以函数的平均变化率可以等于零． 【答案】 D
2018-2019学年人教B版选修1-1函数的平均变化率教案
函数的平均变化率学习目标：1.会求函数在某一点附近的平均变化率.2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点难点)3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系．(易混点)[自 主 预 习·探 新 知]1．函数的平均变化率(1)定义式：Δx Δy ＝x2－x1f(x2.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．(3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率Δx Δy ＝x2－x1f(x2表示割线P 1P 2的斜率．思考：Δx ，Δy 的取值一定是正数吗？[提示] Δx ≠0，Δy ∈P .2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率(1)定义式：lim Δx →0 Δx Δy ＝lim Δx →0 Δx f(x0＋Δx .(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值．(3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢．3．函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δx Δy ＝lim Δx →0Δx f(x0＋Δx .[基础自测]1．思考辨析(1)Δy 表示f (x 2)－f (x 1)，Δy 的值可正可负也可以为零． ( )(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量．( )(3)函数f (x )＝x 在x ＝0处的瞬时变化率为0. ( )[答案] (1)√ (2)× (3)×2．已知函数f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( )A ．0.40B ．0.41C ．0.43D ．0.44B [Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2.12－4＝0.41.]3．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度为( )A ．0.41B ．3C ．4D ．4.1D [Δ＝Δt Δs ＝ 2.1－23＋2.12－(3＋22＝4.1.][合 作 探 究·攻 重 难]求函数的平均变化率2则Δx Δy＝( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2(2)汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图311，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为__________．图311(3)球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为__________．[解] (1)Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－(2×12－1)＝2(Δx )2＋4Δx∴Δx Δy＝2Δx ＋4，故选C.(2)由题意知，＝k OA ，＝k AB ，＝k BC .根据图象知<<.(3)Δv ＝34π×23－34π×13＝328π.∴Δr Δv ＝328π.[答案] (1)C (2)<< (3)328π1．(1)函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为________，当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值为________．(2)已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图象上的一点A (－1，－2)及临近一点B (－1＋Δx ，－2＋Δy )，则Δx Δy ＝________.(1)6x 0＋3Δx 12.3 (2)－Δx ＋3 [(1)函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为(x0＋Δx f(x0＋Δx＝Δx ＋2＝Δx 6x0·Δx ＋3(Δx＝6x 0＋3Δx .当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.(2)∵Δy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )－[－(－1)2＋(－1)]＝－(Δx )2＋3Δx ，∴Δx Δy ＝Δx －(Δx＝－Δx ＋3.]求瞬时速度若一物体的运动方程为s ＝3t2＋2，t ≥3(路程单位：m ，时间单位：s)．求：(1)物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度；(2)物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．[思路探究] (1)先求Δs ，再根据＝Δt Δs求解．(2)先求Δt Δs ，再求lim Δx →0 Δt Δs . [解] (1)因为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48(m)，Δt ＝2 s ，所以物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度为Δt Δs ＝248＝24(m/s)．(2)因为Δs ＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3×(1－3)2＝[3(Δt )2－12Δt ](m)，所以Δt Δs ＝Δt 3(Δt ＝3Δt －12(m/s)， 则物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为lim Δx →0 Δt Δs＝lim Δx →0 (3Δt －12)＝－12(m/s)．2．质点M 按规律s ＝2t 2＋3作直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)．求质点M 在t ＝2时的瞬时速度以及在[1,3]上的平均速度.[解] v ＝lim Δx →0 Δt s(2＋Δt ＝lim Δx →0Δt 2×(2＋Δt ＝lim Δx →0 (2Δt ＋8)＝8(cm/s)， ＝3－1s(3＝22×32＋3－(2×12＋3＝8(cm/s)．求函数在某点处的导数求函数在某点处的导数的步骤和求瞬时速度的步骤有何异同？提示：根据函数在某点处的导数的定义知，两者步骤完全相同．(1)函数y ＝在x ＝1处的导数为__________．(2)如果一个质点由定点A 开始运动，在时间t 的位移函数为y ＝f (t )＝t 3＋3， ①当t 1＝4，Δt ＝0.01时，求Δy 和比值Δt Δy；②求t 1＝4时的导数．[思路探究] (1)→Δx Δy →Δy Δx(2)①→Δt Δy②→Δt Δy →Δy Δt[解析] (1)Δy ＝－1，Δx Δy ＝Δx 1＋Δx －1＝＋11，lim Δx →0 ＋11＝21，所以y ′|x ＝1＝21.[答案] 21(2)①Δy ＝f (t 1＋Δt )－f (t 1)＝3t 12·Δt ＋3t 1·(Δt )2＋(Δt )3，故当t 1＝4，Δt ＝0.01时，Δy ＝0.481 201，Δt Δy＝48.120 1.②lim Δx →0 Δt Δy ＝lim Δx →0 [3t 12＋3t 1·Δt ＋(Δt )2]＝3t 12＝48，故函数y ＝t 3＋3在t 1＝4处的导数是48，即y ′|t 1＝4＝48.3．求函数y ＝x －x 1在x ＝1处的导数．[解] ∵Δy ＝(1＋Δx )－1＋Δx 1－11＝Δx ＋1＋Δx Δx ，∴Δx Δy ＝1＋Δx ＝1＋1＋Δx 1.当Δx →0时，Δx Δy→2，∴f ′(1)＝2，即函数y ＝x －x 1在x ＝1处的导数为2.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则Δx Δy 等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2 C [Δx Δy ＝Δx f(1＋Δx ＝Δx 2(1＋Δx ＝4＋2Δx .]2．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( )A ．2Δt ＋4B ．－2Δt －4C ．4D ．－2Δt 2－4ΔtB [＝Δt 4－2(1＋Δt ＝Δt －4Δt －2(Δt ＝－2Δt －4.]3．一质点按规律s (t )＝2t 2运动，则在t ＝2时的瞬时速度为__________. 8 [s (2＋Δt )－s (2)＝2(2＋Δt )2－2×22＝2(Δt )2＋8Δt .∴lim Δt →0 Δt s(2＋Δt ＝lim Δt →0 Δt 2(Δt ＝lim Δt →0 (2Δt ＋8)＝8.]4．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________.2 [f ′(1)＝lim Δt →0 Δx f(1＋Δx ＝lim Δt →0 Δx a(1＋Δx ＝a ，又∵f ′(1)＝2，∴a ＝2.]5．求函数y ＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数．[解] Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3)＝2(Δx )2＋16Δx ，∴Δx Δy ＝Δx 2(Δx ＝2Δx ＋16.y ′|x ＝3＝lim Δt →0 Δx Δy ＝lim Δt →0 (2Δx ＋16)＝16.。
人教B版高中数学选修函数的平均变化率学案
§3.1.1变化率问题【学习目标】了解平均变化率的定义。
理解公式并会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
【自学点拨】[问题1] 已知函数()x f ，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数()x f 从1x 到2x 的___________.习惯上用x ∆表示12x x -，即x ∆=___________,可把x ∆看做是相对于1x 的一个“增量”，可用+1x x ∆代替2x ，类似有=∆)(x f __________________,于是，平均变化率可以表示为_______________________[问题2] 在吹气球问题中，当空气容量V 从0增加到1L 时，气球的平均膨胀率为__________ 当空气容量V 从1L 增加到2L 时，气球的平均膨胀率为__________________ 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率为_______________[问题3]在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态?在5.00≤≤t 这段时间里，v =_________________在21≤≤t 这段时间里，v =_________________在21t t t ≤≤这段时间里，v =_________________ [问题4]对于公式，应注意：（1）平均变化率公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的_______的差。
（2）平均变化率公式中,分子、分母中同为被减数的是右端点，减数是左端点，一定要同步。
[问题5] 平均变化率=∆∆x f12)()(x x x f x f --表示什么?【课前练习】1、函数()2x x f =在区间[]3,1-上的平均变化率是（ ） x 2 AA 、4B 、2C 、41D 、43 2、经过函数22x y -=图象上两点A 、B 的直线的斜率（1,5.1==B A x x ）为_______;函数22x y =在区间[1，1.5]上的平均变化率为_________________3、如果质点M 按规律23t s +=运动，则在时间[2，2.1]中相应的平均速度等于______【课后练习】1、 已知函数1)(2+-=x x f ，分别计算()x f 在下列区间上的平均变化率 （1）[1，1.01] (2)[0.9,1] (3)[0.99,1] (4)[1,1.001]2、 已知一次函数)(x f y =在区间[-2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点（0，2），试求此一次函数的表达式。
2017-2018学年高一数学选修1-1全册同步导学案含答案【人教B版】
提示：常见的全称量词除“所有”外，还有“一切”“每一个”“任一个”等．
特别提醒全称命题实际上是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题．有时省去全称量词，但仍为全称命题．如“正方形都是平行四边形”，省去了全称量词“所有”．
3．存在量词与存在性命题
思考3如何判断一个命题是全称命题还是存在性命题？
3.3.2利用导数研究函数的极值
3.3导数的应用3.3.3导数的实际应用
1.1命题与量词
预习导航
课程目标
学习脉络
1.了解命题的定义．
2．理解全称量词与存在量词的意义．
3．会判断全称命题与存在性命题的真假.
1．命题
思考1数学中的定义、公理、定理与命题的关系是怎样的？
提示：数学中的定义、公理、定理都是命题，但命题与定理是有区别的：
(1)命题有真假之分，而定理都是真的；
(2)命题一定有逆命题，而定理不一定有逆定理．
名师点拨(1)并不是任何语句都是命题，只有能够判断真假的语句才是命题．一般地，祈使句、感叹句、疑问句都不是命题．
(2)有些语句尽管现在不能确定其真假，但随着时间的推移，总能判断其真假，这样的语句也是命题．
2．全称量词与全称命题
判断下列命题的真假：
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形
(2)0是最小的自然数
(3)0既不是奇数，也不是偶数
(4)空集是任何非空集合的真子集
答案：(1)假(2)真(3)假(4)真
类题演练3
(2)疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题.
(3)是假命题，数0既不是正数也不是负数.
(4)是假命题，没有考虑到“在两个三角形中，其他两边对应相等”的情况.
人教版高中选修(B版)1-13.1.1函数的平均变化率课程设计
人教版高中选修(B版)1-13.1.1函数的平均变化率课程设计前言函数是数学中非常重要的一个概念，平均变化率是研究函数变化的重要工具。
这篇课程设计将以人教版高中选修(B版)1-13.1.1函数的平均变化率为主题，介绍课程设计的目的、方法和实施步骤。
课程设计目的本课程设计旨在：1.复习和巩固函数的概念和性质；2.学习和掌握函数的平均变化率的概念、计算方法和实际应用；3.发展学生的数学思维和解决实际问题的能力；4.拓宽学生的数学知识应用领域，提高学生的综合素质。
课程设计方法本课程设计采用“课堂讲授+小组讨论+实际应用”的教学方法。
1.课堂讲授：介绍函数的平均变化率的概念、计算方法和实际应用；2.小组讨论：分组进行实践操作，解决实际问题；3.实际应用：引导学生运用所学知识解决实际问题。
课程设计实施步骤本课程设计共包括以下步骤。
步骤一：回顾函数的概念和性质在学习函数的平均变化率前，首先需要回顾函数的概念和性质。
通过讲解和练习，巩固学生对函数常用性质的理解和掌握，包括：1.函数的定义；2.函数的定义域、值域和图像；3.奇偶性、单调性和周期性等函数的性质；4.复合函数和反函数的概念和性质。
步骤二：介绍函数的平均变化率的概念和计算方法介绍函数的平均变化率的概念和计算方法，包括：1.平均变化率的定义；2.平均变化率的计算公式；3.平均变化率的几何意义和实际应用。
步骤三：小组讨论将学生分成小组，让学生进行实践操作，解决实际问题。
例如，给出一个具体的实际问题，比如一架汽车在一个路程内的速度变化；学生需要通过观察汽车的行驶路线和时间，来计算汽车在这段路程内的平均速度变化率和平均加速度。
步骤四：实际应用引导学生运用所学知识解决实际问题。
例如，选择一份合适的文献、数据或文章，让学生进行分析解读，从中找到需要用到平均变化率的实际问题，并对其进行解决。
总结通过本课程设计，学生可以更好地理解平均变化率的概念、计算方法和实际应用，更加深入地理解函数的性质和应用。
高二数学(人教B版)选修1-1全册课件1、3-1-1平均变化率、瞬时速度与导数
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
[例4] 已知f(x)＝(x－1)2，求f′(x)，f′(0)，f′(2)． [分析] 求导数的步骤一般是先求导函数，再求导函 因为Δf＝(x＋Δx－1)2－(x－1)2＝2xΔx－2Δx＋
2
数在各点的导数．
[解析] (Δx)2，
Δf 2xΔx－2Δx＋(Δx) 所以Δx＝ ＝2x－2＋Δx， Δx Δf 所以 f′(x)＝liΔx→0 m ＝liΔx→0 (2x－2＋Δx)＝2x－2， m Δx 所以 f′(0)＝2· 0－2＝－2，f′(2)＝2· 2－2＝2， 因此 f′(x)＝2x－2，f′(0)＝－2，f′(2)＝2.
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
某质点沿曲线运动的方程为y＝－2x2＋1(x表示时间，y 表示位移)，则该质点从x＝1到x＝2时的平均速度为( A．－4 C．6 B．－8 D．－6 )
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[解析]
令f(x)＝y＝－2x2＋1，则质点从x＝1到x＝2时
的平均速度为
2 2 Δy f(2)－f(1) [－2×2 ＋1]－[－2×1 ＋1] v＝ ＝ ＝ Δx 2－1 2－1
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(选修1-1)
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(选修1-1)
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(选修1-1)
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第三章 导数及其应用
(选修1-1)
4．如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每点处都有导
数，此时对于每一个x∈(a，b)，都对应着一个确定的导数
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第三章 导数及其应用
(选修1-1)
人教新课标版数学高二B版选修1-1 函数的平均变化率
双基达标 （限时20分钟）1．函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx 中，Δx不可能是( )． A ．大于0 B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于0答案 C2．如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度是( )．A ．4B ．4.1C ．0.41D ．3 解析 ＝（3＋2.12）－（3＋22）0.1＝4.1.答案 B3．函数y ＝x 2＋x 在x ＝1到x ＝1＋Δx 之间的平均变化率为( )． A ．Δx ＋2 B ．2Δx ＋(Δx )2 C ．Δx ＋3 D ．3Δx ＋(Δx )2解析Δy Δx ＝f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝（1＋Δx ）2＋（1＋Δx ）－（12＋1）Δx ＝Δx ＋3.答案 C4．已知函数y ＝2＋1x ，当x 由1变到2时，函数的增量Δy ＝________． 解析 Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－(2＋1)＝－12.答案 －125．一个作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体在t ＝0到t ＝2之间的平均速度为________．解析 物体在t ＝0到t ＝2之间的平均速度为（3×2－22）－02－0＝1.答案 16．已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝－2x ，分别计算在下列区间上f (x )及g (x )的平均变化率；(1)[－3，－1]；(2)[0，5]．解 (1)函数f (x )在区间[－3，－1]上的平均变化率为f （－1）－f （－3）（－1）－（－3）＝[2×（－1）＋1]－[2×（－3）＋1]2＝2，g (x )在区间[－3，－1]上的平均变化率为g （－1）－g （－3）（－1）－（－3）＝[－2×（－1）]－[－2×（－3）]2＝－2.(2)函数f (x )在区间[0，5]上的平均变化率为 f （5）－f （0）5－0＝（2×5＋1）－（2×0＋1）5＝2，g (x )在区间[0，5]上的平均变化率为g （5）－g （0）5－0＝－2×5－（－2×0）5＝－2.综合提高 （限时25分钟）7．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )． A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2(Δx )2解析Δy Δx ＝f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝2（1＋Δx ）2－2Δx＝4＋2Δx .答案 C8．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1，1＋Δt ]内相应的平均速度为( )．A ．2Δt ＋4B ．－2Δt －4C ．4D ．－2Δt 2－4Δt解析 v ＝4－2（1＋Δt ）2－（4－2×12）Δt ＝－4Δt －2（Δt ）2Δt＝－2Δt －4. 答案 B9．已知圆的面积S 与其半径r 之间的函数关系为S ＝πr 2，其中r ∈(0，＋∞)，则当半径r ∈[1，1＋Δr ]时，圆面积S 的平均变化率为________．解析 当r ∈[1，1＋Δr ]时，圆面积S 的平均变化率为ΔSΔr ＝π（1＋Δr ）2－πΔr ＝π＋2π·Δr ＋（Δr ）2π－πΔr ＝2π＋πΔr .答案 2π＋πΔr10．国家环保局在规定的排污达标的日期前， 对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图所示．治污效果更好的企业是(其中W 表示排污量)________．解析 ΔW Δt ＝W （t 1）－W （t 2）Δt ，在相同的时间内，由图可知甲企业的排污量减少的多，∴甲企业的治污效果更好． 答案 甲企业11．假设在生产8到30台机器的情况下，生产x 台机器的成本是c (x )＝x 3－6x 2＋15x (元)，而售出x 台的收入是r (x )＝x 3－3x 2＋12x (元)，则生产并售出10台至20台的过程中平均利润是多少元？ 解 由题意，生产并售出x 台机器所获得的利润是：L (x )＝r (x )－c (x )＝(x 3－3x 2＋12x )－(x 3－6x 2＋15x )＝3x 2－3x ，故所求的平均利润为：L ＝L （20）－L （10）20－10＝87010＝87(元)．12．(创新拓展)婴儿从出生到第24个月的 体重变化如图，试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率．解第一年婴儿体重平均变化率为11.25－3.7512－0＝0.625(千克/月)；第二年婴儿体重平均变化率为14.25－11.2524－12＝0.25(千克/月)．。
高二数学(选修人教B版)函数的平均变化率1教案
教案下面是一个曲线的一个局部图形，你能判断它是直的还是弯曲的吗？如果显示出网格线，能否判断呢？这个图的全貌其实是这样的：如果我们用一个“高倍显微镜”来看曲线的一个局部，都可以近似地把它看成直线段．所以，我们也可以把弯曲的山路看成许多平直的小段组成．从学生的知识经验理解“以直代曲”．类比双曲线，理解弯曲山路中的“以直代曲”．概念的形成（四）构造数学模型表示山坡陡峭程度假设下图是一座山的剖面示意图．爬山者上升的高度y可以看成水平行进距离x的函数，这座结合函数的概山的山坡剖面图则可以看作函数y =f (x )的图象，建立平面直角坐标系如图所示．我们把山路分成许多近似平直的小段．对于AB 这一段平直的山路，放大如下图：坡度为： 1010tan y y yx x xθ-∆==-∆. 对于CD 这一段弯曲的山路，可以分成许多段，比如第一小段CD 1可以近似地看成直线段，于是这一段山路的陡峭程度可表示为：32323232()()y y f x f x y x x x x x --∆==-∆-． 一般地，任何一小段山路的陡峭程度可以表示为：11()()k k k k f x f x y x x x ++-∆=∆-．念，以函数图象表示山坡的剖面图，将实际问题数学化．用数学语言表达山路的陡峭程度．O y x D 1x 3AB k ＝y B －y A x B －x A ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝ΔyΔx ＝tan θ.概念的 巩固例 求函数y =x 在x 0到x 0+∆x 之间的平均变化率． 解：当自变量从x 0变到x 0+∆x 时，函数的平均变化率为0000()()()1f x x f x x x x x x +∆-+∆-==∆∆．思考与总结：（1）函数y =2x 在x 0到x 0+∆x 之间的平均变化率是什么？你有什么发现？函数y =2x 在x 0到x 0+∆x 之间的平均变化率是2. 我们发现，一次函数在任何一个区间内的平均变化率等于它的一次项系数，几何意义就是直线的斜率． （2）求函数的平均变化率的主要步骤：①求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1；②求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)；③求函数的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.（3）求函数在x 0附近的平均变化率，常用f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 的形式来表达．例 求函数y =x 2在x 0到x 0+∆x 之间的平均变化率． 解：当自变量从x 0变到x 0+∆x 时，函数的平均变化率为2200000()()()2f x x f x x x x x x x x +∆-+∆-==+∆∆∆．计算与探索： （1）当∆x =13，x 0=1，2，3时，求函数的平均变化率；（2）当x 0=1，∆x =13，12，1时，求函数的平均变化率．通过例题研究具体函数在x 0到x 0+∆x 之间的平均变化率，并研究它随着x 0及∆x 变化而变化的规律，加深和巩固对函数的平均变化率的理解．【思考】（请同学们自行思考）（1）如果10x-<∆<，它们的大小关系如何？你能结合函数的图象来解释吗？（2）与y x=的平均变化率比较，它们的大小关系如何呢？例两工厂经过治理，污水的排放流量(W)与时间(t)的关系，如图所示．试指出哪一个厂治污效果较好？分析：这是一个应用问题．读图的关键点是“治污效果”用什么量来刻画——考查函数的平均变化率的应用．解：甲、乙两厂在相同的时间内都将污水排放流量治理到标准要求．甲厂原来的排放流量较大，因而平均变化率较大，所以甲厂的治污效果较好．课堂小结本节课学习的主要内容是函数的平均变化率．学习过程从生活情境到数学情境，再到数学概念以及几何意义，初步体会了“以直代曲”的思想和数形结合的方法．概括本节课的主要知识与思想方法．布置作业（1）求223y x x=-+在2到94之间的平均变化率．（2）试比较正弦函数siny x=在0到π6之间和π3到π2之间的平均变化率，哪一个较大？延伸巩固函数的平均变化率的概念．。
人教B版高中数学选修(1-1)-3.1教学教案：函数的平均变化率2
3.1.1 平均变化率一.教材依据函数的平均变化率二.设计思想指导思想：（1）用已知探究未知的思考方法（2）用逼近的思想考虑问题的思考方法．设计理念：为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数．随着对函数的深入研究，产生了微积分．导数概念是微积分的基本概念之一，导数是对事物变化快慢的一种描述，是研究客观事物变化率和优化问题的有力工具．理解和掌握导数的思想和本质显得非常重要．正如《数学课程标准（实验）解读》中所说的，以前是，“先讲极限概念，把导数作为一种特殊极限来讲，于是，形式化的极限概念就成了学生学习的障碍，严重影响了对导数思想和本质的认识和理解；”“…．这样造成的结果是：因为存在着夹生饭现象，大学不欢迎；中学感受不到学导数的好处，反而加重了学生的负担，因此也不欢迎．” 故为了让学生充分认识导数的思想和本质，先要理解和掌握平均变化率的概念．在设计这节课时，我把重点放在（1）通过大量实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；（2）掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法．三.教学目标1.通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；2.掌握平均变化率的概念及其计算步骤，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法；3.掌握求函数在指定区间上的平均变化率，能利用平均变化率解析生活中的实际问题；4.通过分析实例，初步探究由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，让学生体会用已知探究未知的思考方法．四.教学重点1.通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；2.掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法；五.教学难点1.如何从数学的角度描述吹气球过程中的现象“随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢？”2.掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法；六.教学准备1.认真阅读教材、教参，寻找有关资料；2.向有经验的同事请教；3.从成绩好的学生那里了解他们预习的情况和困惑的地方．七.教学过程1.教学基本流程：。
人教课标版高中数学选修1-1《变化率与导数(第1课时)》教案-新版
3.1.1 变化率与导数第一课时一、教学目标 1.核心素养:通过了解平均变化率，培养学生的数学抽象和运算能力. 2.学习目标（1）理解平均变化率的概念. （2）了解平均变化率的几何意义. （3）会求函数在某点处附近的平均变化率. 3.学习重点平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率. 4.学习难点 平均变化率的概念. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 任务1阅读教材P72—P74，思考：什么是平均变化率？计算平均变化率的步骤有哪些？平均变化率有怎样的几何意义？ 2.预习自测1.在平均变化率的定义中，自变量的增量x ∆满足（ ） A.0x ∆> B.0x ∆< C.0x ∆= D.0x ∆≠ 解：D2.下列各式中，不能表示平均变化率的是（ ） A.yx ∆∆ B.1212()()f x f x x x -- C.11()()f x x f x x +∆-∆ D.1221()()f x f x x x --解：D（二）课堂设计 1.知识回顾（1）sv t=,即速度等于路程变化量除以时间变化量.（2）1212y y k x x -=-,即直线的斜率等于直线上两点纵坐标之差除以横坐标之差.2.问题探究问题探究一 ●活动一 分析实例 想一想：（1）气球在吹起过程中，随着吹入气体的增加，它的膨胀速度有何变化？ （2）你认为膨胀速度与哪些量有关系？ （3）球的体积公式是什么？有哪些基本量？（4）结合球的体积公式，试用两个变量之间的关系来表述气球的膨胀率问题？总结：可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢?气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=，如果将半径r 表示为体积V 的函数，那么343)(πV V r =. 分析:对于343)(πV V r =， （1）当V 从0增加到1时，气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈-，气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--（2）当V 从1增加到2时，气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈-，气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了. 想一想：当空气容量从1V 增加到2V 时，气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系2() 4.9 6.510h t t t =-++.想一想：如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态? 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度. 在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=.●活动二 探索新知上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示，称为函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率，若设12x x x -=∆，)()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于1x 的一个“增量”可用1x +x ∆代替2x ，同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)，则平均变化率为=∆∆=∆∆x fx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212. 问题探究二 平均变化率有怎样的几何意义？ ●活动一 观察结构，得出结论 平均变化率=∆∆x f 1212)()(x x x f x f --表示函数()y f x =图像上两点11(,())x f x ,22(,())x f x 连线的斜率.问题探究三 如何计算函数在某点附近的平均变化率？●活动一 初步运用，计算平均变化率例1 物体的运动方程是23s t =+，则在一小段时间[2，2.1]内相应的平均速度为（ ） A.0.41 B.3 C.4 D.4.1 【知识点：平均变化率】详解：平均速度为22(3 2.1)(32)4.12.12s t ∆+-+==∆-,答案选D.●活动二 结合图形，深化运用例2 现有重庆市某年3月和4月某天日最高气温记载.观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为：思考1：“气温陡增”是一句生活用语，若从数学角度描述，那该如何描述？ 2：如何从数学角度说明曲线上升的陡峭程度？温度T (℃时间t （d ）【知识点：平均变化率；数学思想：数形结合】详解：（1）“气温陡降”从数学角度是指在相应时间内，气温的平均变化率很大. （2）从A 到B ，平均变化率为18.6 3.50.49321-≈-；从B 到C ，平均变化率为33.418.67.43432-=-点拨：关于平均变化率计算的问题，关键是准确算出各自的变化量. 3.课堂总结 【知识梳理】 平均变化率=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212. 【重难点突破】x ∆表示横坐标的变化量，可以为正数，也可以是负数，但不能为0. 4.随堂检测1.物体的运动方程是22s t =，则从2s 到3s 这段时间内路程的增量为（ ） A.18 B.8 C.10 D.12 【知识点：平均变化率】 解：B2.某质点A 沿直线运动的方程为221y x =-+，则该质点从t ＝1到t ＝2时的平均速度为（ ） A.－4 B.－8 C.－6 D.6 【知识点：平均变化率】 解：C3.已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]；（2）[-2，-1]；（3）[-1，2]；（4）[5，10] 【知识点：平均变化率】解：（1）(3)(1)431y f f x ∆-==∆-;（2）(2)(1)31y f f x ∆---==-∆-；（3）(2)(1)13y f f x ∆--==∆（4）(10)(5)155y f f x ∆-==∆. 4.某婴儿从出生到第12个月的体重变化如右图所示，试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率. 【知识点：平均变化率；数学思想：数形结合】 解：11(3)(0)13y f f x ∆-==∆；22(12)(6)0.46y f f x ∆-==∆. （三）课后作业 基础型 自主突破1.在平均变化率的定义中，自变量的增量满足（ ）A.0x ∆>B.0x ∆<C.0x ∆=D.0x ∆≠ 【知识点：平均变化率】 解：D2.物体的运动规律是()s s t =，物体在t 至t t +∆这段时间内的平均速度是（ ）A._st v t = B._s t v t ∆=∆ C._s v t ∆=∆ D.0t ∆→时，_s t v t ∆=∆解：C【知识点：平均变化率】 能力型 师生共研3.水经过水管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积0.1()52t V t -=⨯（单位：3cm ），计算第一个10s 内的平均变化率. 【知识点：平均变化率】 解：(10)(0)1104y v v x ∆-==-∆. 4.已知函数()21f x x =+，g()2x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及g()x 的平均变化率.【知识点：平均变化率】解：在[-3-1]，上，(-1)(-3)22f f f x ∆-==∆;(-1)(-3)22g g g x ∆-==-∆; 在[05]，上，(5)(0)25f f f x ∆-==∆；(5)(0)25g g g x ∆-==-∆. 探究型 多维突破5.已知函数2()f x x x =-+的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-，则=∆∆xy. 【知识点：平均变化率】 解：-3x ∆+∵222(1)(1)32y x x x x -+∆=--+∆+-+∆=-∆+∆-,∴=∆∆xy-3x ∆+. 6.过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +∆+∆作曲线的割线，则当0.1x ∆=时割线的斜率为 .【知识点：平均变化率】 解：3.311.3311(1.1,1.331), 3.310.1y Q k x ∆-===∆. （四）自助餐1.在平均变化率的定义中，自变量的增量x ∆是（ ） A.0x ∆> B.0x ∆< C.0x ∆≠ D.0x ∆= 【知识点：平均变化率】 解：C2.设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆是（ ） A.()0f x x +∆ B.()0f x x +∆ C.()0f x x ⋅∆ D.()()00f x x f x +∆- 【知识点：平均变化率】 解：D3.已知函数()224f x x =-的图象上一点()1,2-及附近一点()1,2x y +∆-+∆，则yx∆∆等于（ ） A.4 B.4x C.42x +∆ D.()242x +∆ 【知识点：平均变化率】 解：C4.自变量0x 变到1x 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ ） A.在区间[]01,x x 上的平均变化率 B.在0x 处的变化率 C.在1x 处的变化量 D.在区间[]01,x x 上的导数 【知识点：平均变化率】 解：A5.如果质点M 按规律23s t =+运动，则在一小段时间[]2,2.1中相应的平均速度是（ ） A.4 B.4.1 C.0.41 D.3 【知识点：平均变化率】 解：B6.一质点运动方程为253s t =-，则在一段时间[]1,1t +∆内的平均速度是（ ） A.36t ∆+ B.36t -∆+ C.36t ∆- D.36t -∆- 【知识点：平均变化率】 解：D7.已知212s gt =(其中g 为重力加速度)，t 从3秒到3.1秒的平均速度是 . 【知识点：平均变化率】 解：3.05g8.已知函数32y x =-，当2x =时，yx∆=∆ . 【知识点：平均变化率】 解：2612yx x x∆=∆+∆+∆。
2020版高中数学第一章导数及其应用1_1_1函数的平均变化率学案新人教B版选修2_2
1．1.1 函数的平均变化率 明目标、知重点 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．1．函数的平均变化率已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝Δy Δx叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx (或[x 0＋Δx ，x 0])之间的平均变化率．2．函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义Δy Δx＝f x 2－f x 1x 2－x 1表示函数y ＝f (x )图象上过两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))的割线的斜率．[情境导学]某市2013年5月30日最高气温是33.4℃，而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2013年4月28日最高气温3.5℃和5月28日最高气温18.6℃进行比较，可以发现二者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃，而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？探究点一 函数的平均变化率思考1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？答 如图，表示A 、B 之间的曲线和B 、C 之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的斜率来量化．如用比值y C －y B x C －x B近似量化B 、C 这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在[x B ，x C ]上的平均变化率．思考2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？答 如果问题中的函数关系用y ＝f (x )表示，那么问题中的变化率可用式子f x 2－f x 1x 2－x 1表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢．思考3 平均变化率有什么几何意义？答 设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1＝f x 1＋Δx －f x 1Δx为割线AB 的斜率． x 1，x 2是定义域内不同的两点，因此Δx ≠0，但Δx 可正也可负；Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是相应Δx ＝x 2－x 1的改变量，Δy 的值可正可负，也可为零．因此，平均变化率可正可负，也可为零．例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．解 从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为6.5－3.53－0＝1(千克/月)． 从第6个月到第12个月，婴儿体重平均变化率为11－8.612－6＝2.46＝0.4(千克/月)． 反思与感悟 求平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)．(2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1.(3)得平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1. 跟踪训练1 如图是函数y ＝f (x )的图象，则：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________；(2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．答案 (1)12 (2)34解析 (1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f 1－f －11－－1＝2－12＝12. (2)由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋32，－1≤x ≤1x ＋1，1<x ≤3. 所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f 2－f 02－0＝3－322＝34. 探究点二 求函数的平均变化率 例2 已知函数f (x )＝x 2，分别计算f (x )在下列区间上的平均变化率：(1)[1,3]；(2)[1,2]；(3)[1,1.1]；(4)[1,1.001]．解 (1)函数f (x )在[1,3]上的平均变化率为 f 3－f 13－1＝32－122＝4；(2)函数f (x )在[1,2]上的平均变化率为 f 2－f 12－1＝22－121＝3； (3)函数f (x )在[1,1.1]上的平均变化率为f 1.1－f 11.1－1＝1.12－120.1＝2.1； (4)函数f (x )在[1,1.001]上的平均变化率为f 1.001－f 11.001－1＝1.0012－120.001＝2.001. 反思与感悟 函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，自变量的改变量Δx 取值越小，越能准确体现函数的变化情况．跟踪训练2 求函数y ＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？解 在x ＝1附近的平均变化率为 k 1＝f 1＋Δx －f 1Δx ＝1＋Δx 2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为 k 2＝f 2＋Δx －f 2Δx ＝2＋Δx 2－22Δx＝4＋Δx ； 在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f 3＋Δx －f 3Δx ＝3＋Δx 2－32Δx＝6＋Δx ； 对任意Δx 有，k 1<k 2<k 3，∴在x ＝3附近的平均变化率最大．思考 一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)在区间[m ，n ]上的平均变化率有什么特点？答 根据函数平均变化率的几何意义，一次函数图象上任意两点连线的斜率是定值k ，即一次函数的平均变化率是定值．探究点三 平均变化率的应用例3 甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？解 由图象可知s 1(t 0)＝s 2(t 0)，s 1(0)>s 2(0)，则s 1t 0－s 10t 0<s 2t 0－s 20t 0， 所以在从0到t 0这段时间内乙的平均速度大．反思与感悟 平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢． 跟踪训练3 甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？解 甲赚钱的平均速度为105×12＝1060＝16(万元/月)，乙赚钱的平均速度为25(万元/月)． 因为乙平均每月赚的钱数大于甲平均每月赚的钱数，所以乙的经营成果比甲的好．1．如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度是( )A ．4B ．4.1C ．0.41D ．3答案 B解析 v ＝3＋2.12－3＋220.1＝4.1.2．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度为________． 答案 23．已知函数h (x )＝－4.9x 2＋6.5x ＋10.(1)计算从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为①2；②1；③0.1；④0.01.(2)根据(1)中的计算，当|Δx |越来越小时，函数h (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解 (1)∵Δy ＝h (1＋Δx )－h (1)＝－4.9(Δx )2－3.3Δx ，∴Δy Δx＝－4.9Δx －3.3. ①当Δx ＝2时，Δy Δx＝－4.9Δx －3.3＝－13.1； ②当Δx ＝1时，Δy Δx＝－4.9Δx －3.3＝－8.2； ③当Δx ＝0.1时，Δy Δx＝－4.9Δx －3.3＝－3.79； ④当Δx ＝0.01时，Δy Δx＝－4.9Δx －3.3＝－3.349. (2)当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.[呈重点、现规律]1．函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率，在实际问题中表示事物变化的快慢．2．求函数f (x )的平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)；(2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1；(3)得平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1.。
人教B版选修(1-1)3.1.1《函数的平均变化率》word学案1
课题：学习目标：1.会求函数的平均变化率2.培养学生的分析能力解决问题能力3.认识导数的工具性重点：函数平均变化率的求法难点：函数在某一区间的平均变化率使用说明及学法指导：1.当天落实用20分钟左右的时间，阅读探究课本中的内容，熟记基础知识，自主高效预习。
2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测题。
3. 将预习中不能解决的问题标出来，并写到“我的疑惑”处。
一．相关知识1、向量的坐标2、倾斜角和斜率的概念二．教材助读已知函数y=f(x)在点x=x及其附近有定义，令，则当时，比值叫做函数y=f(x)在x0到x+x之间的平均变化率三．预习自测（自测题体现一定的基础性，又有一定的思维含量，只有“细心才对，思考才会”）1、y=3x在x=1到x=3的平均变化率2、y=c在x=1附近的平均变化率我的疑惑？（请你将预习中未能解决的问题和疑惑的问题写下来，待课堂上与老师同学探究解决）一．学始于疑---我思考、我收获学习建议：请同学们用5分钟的时间认真思考这些问题，并结合预习中自己的疑惑开始下面的探究学习。
二． 质疑探究---质疑解疑、合作探究例题1求y=x 2在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率规律方法总结：例题2求x y 1= x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率规律方法总结：三． 我的知识网络—归纳梳理、整合内化四． 当堂检测—有效训练、反馈矫正1、函数f (x )＝8x －6在区间[m ，n ]上的平均变化率为________．2、球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为____________．3．求函数f (x )＝x 2＋3在[3,3＋Δx ]内的平均变化率．4．已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝－2x ，分别计算在下列区间上f (x )及g (x )的平均变化率：(1) [－3，－1]； (2) [0,5]．我的收获（反思静悟、体验成功）。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-2 1.1.1 函数的平均变化率》2
《函数的平均变化率》教学设计一、教学目标1．知识与技能理解函数平均变化率的概念；了解函数平均变化率的几何意义；会求函数在某点处附近的平均变化率2．过程与方法感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程3．情感、态度与价值观通过生活中登山问题的研究，体会数学与生活之间的联系，培养学习兴趣二、教学重点和难点教学重点：函数在某一区间的平均变化率教学难点：平均变化率的概念．三、教学方法以教师为主导，学生为主体，从生活中熟悉的登山经历出发，进行启发、诱导、探索，充分调动学生的积极性，发挥学生的主体作用四、教学过程（一）、情景引入以教材为依据，从人们的普遍感觉——爬山过程中，山坡平缓，则步履轻盈；山坡陡峭，则气喘吁吁——出发，引入函数的平均变化率便于学生理解接受，同时，体现了数学与生活之间的联系观察登山的图片（见课件第2页），思考怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面用函数变化的观点来研究这个问题假设一座山的剖面图（见课件第3页），在其上面建立直角坐标系，A 是出发点，=f 表示登山者的水平位置，函数值=f 表示此时登山者所在的高度——建立数学模型，解决实际问题思考，如何用数量表示登山路线的平缓与陡峭程度呢？首先，从A 点到B 点，（0，0）,点B （1，1），自变量的改变量为1-0，记为∆，函数值的改变量为1-2，记为∆，即∆=1-0，∆=1-0此人从点A 爬到点B 的位移可以用向量),(y x AB ∆∆=来表示，假设向量 AB 对轴的倾斜角为θ，直线AB 的斜率为,则有1010tan y y y k x x xθ-∆===-∆教师引导讨论斜率、倾斜角和x y ∆∆的关系 归纳：直线的斜率的绝对值越大，山坡越陡反之，越平缓引出问题：山路是弯曲的，怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？我们可以把弯曲山路分成许多小段，的陡峭程度可以用比值11()()x k x kf x f x y x x x ++-∆=∆-近似地刻画（类比平直线段AB 得出结论 结论：无论哪一段，高度的平均变化都可以用起点、终点的纵坐标之差与横坐标之差的比值11()()x k x kf x f x y x x x ++-∆=∆-来度量 归纳：不论山路平直还是弯曲，陡峭的程度主要看xy ∆∆绝对值得大小数学题 引出概念:比值称为函数在某一区间的函数变化率（二） 、概念形成 一般地，已知函数=f ，0，1是其定义域内的不同的两点，记∆=1-0，∆=1-0=f 1-f 0=f 0∆-f 0则当∆≠0时，商 00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆ 称作函数=f 在区间[0，0∆]（或[0∆, 0]）的平均变化率学生概括,教师补充完整（三） 、概念深化1对函数平均变化率的理解（1）函数在0处有定义；（2）1是0附近的任意点，∆≠0,可正可负（3）改变量相对应 1010()()x x x y f x f x ∆=-∆=-（4）平均变化率可正，可负，可零（5） 函数平均变化率的几何意义：直线的斜率，曲线的割线斜率2求函数平均变化率的步骤求函数=f 在0附近的平均变化率（1）求确定自变量改变量∆（2）求函数改变量∆（3）求平均变化率y x∆∆ （四）、应用举例例1 求函数=2 在区间[0，0∆]（或 [0∆，0]）的平均变化率（课件第7页）由学生在黑板上独立完成，考察学生对概念的理解，完成后，教师给予评价 教师在黑板上画出函数图象，归纳得出结论：（1）平均变化率与0,∆有关（2）平均变化率绝对值越大,曲线越陡例2 求函数1y x = 在 0 附近的平均变化率（课件第8页）提问学生得出结论，进一步理解概念，会求函数的平均变化率探索与研究课件第9页例2中所得函数的平均变化率表达式的值与函数图象之间的关系教师引导示范,师生共同回答结论:平均变化率的绝对值越大，曲线越陡。
高中数学新人教B版选修1-1第三章导数及其应用3.1.1函数的平均变化率课件
反思感悟 已知物体的运动方程，即知道物体运动过程中位移与时间的函 数关系，求其在[t0，t0＋Δt]内的平均速度，根据平均速度的意义可知就是 求这个函数在[t0，t0＋Δt]内的平均变化率.
跟踪训练3 动点P沿x轴运动，运动方程为x＝10t＋5t2，式中t表示时间(单位：
s)，x表示距离(单位：m)，求在20≤t≤20＋Δt时间段内动点的平均速度，其中
思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
1.在平均变化率的定义中，自变量x的增量Δx＞0.( × ) 2. 对 于 函 数 f(x) 在 区 间 [x1 ， x2] 内 的 平 均 变 化 率 也 可 以 表 示 为 fx2－fx1
x2－x1 .( √ ) 3.ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0是 f(x)在区间[x0，x0＋Δx](Δx＞0)上的平均变化率， 也可以说是 f(x)在 x＝x0 处的变化率.( × )
2 题型探究
PART TWO
多维探究
题型一 函数的平均变化率
命题角度1 求函数的平均变化率
例1
求函数f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx的值悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1). (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1. (3)得平均变化率ΔΔyx＝fxx22－－fx1x1.
变化率.
2.平均变化率的实质：函数值 的改变量与 自变量 的改变量之比. 3.作用：刻画函数在区间[x0，x0＋Δx]上变化的快慢. 4.几何意义：已知 P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数 y＝f(x)的图象上两点，则平
均变化率ΔΔyx＝fxx22－－fx1x1表示割线 P1P2 的 斜率 .
数学人教B版选修1-1学案：课堂导学 3-1 导 数 含解析
课堂导学三点剖析一、求函数的平均变化率【例1】 求y =2x 2+1在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率.解析：当自变量从x 0到x 0+Δx 时函数的平均变化率为：xx x x x x f x x f ∆+-+∆+=∆-∆+)12()]1(2[)()(20000 =4x 0+2Δx温馨提示求函数f (x )平均变化率的步骤：(1)求函数值的增量Δf =f (x 2)-f (x 1)(2)计算平均变化率1212)()(x x x f x f x f --=∆∆ 二、利用导数的定义求导【例2】 利用导数的定义求下列函数的导数.(1)y =x 2+ax +b ;(2)y =.1x解析：Δy =(x +Δx )2+a (x +Δx )+b -x 2-ax -b=(Δx )2+a (Δx )+2x Δx .xx x x a x x y ∆∆+∆+∆=∆∆·2)()(2=Δx +a +2x . y ′=0lim →∆x (Δx +a +2x )=2x +a . (2)Δy =xx x 11-∆+ .21,21·21lim .)(··1.)(··23230222--→∆-='-=-=∆∆∴∆++∆+-=∆∆∴∆++∆+∆-=∆+∆+-=x y x xx x y x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x 即 温馨提示利用定义求导数分三步：①求Δy ;②求x y ∆∆;③求x y x ∆∆→∆0lim . 三、利用导数求切线方程【例3】 求函数y =41x 2在点P (2,1)处切线的方程.思路分析：利用导数求切线方程的步骤：①先求出函数y =f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0);②根据直线方程的点斜式，得切线方程为y -y 0=f ′(x 0)(x -x 0).解：欲求切线方程需先求过点P 的切线的斜率K =.lim 0xy x ∆∆→∆而Δy =41(2+Δx )2-41×22=21×2Δx +41(Δx )2, ∴1)41221(lim lim 00=∆+⨯∆∆→∆→∆x x y x x ∴过点p 的切线方程为y -1=x -2.即x -y -1=0.温馨提示f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)，即为在该点处的切线的斜率，这是导数的几何意义.各个击破类题演练1求函数y =x 3-2,当x =2时，x y ∆∆的值. 解：Δy =(x +Δx )3-2-(x 3-2)=(2+Δx )3-23=(Δx )3+6(Δx )2+12Δx ∴xy ∆∆=(Δx )2+6Δx +12变式提升1自由落体运动方程为s =21g t 2,计算从3 s 到3.1 s 内的平均速度. 解：Δt =3.1-3=0.1(s) Δs =s (3.1)-s(3)=21g×3.12-21g×32=0.305g cm ∴1.0305.0g t s v =∆∆==3.05g(m /s)类题演练2求函数y =x 在x =1处的导数.解析：Δy =11111,11+∆+=∆-∆+=∆∆-∆+x x x x y x |21|,21111lim 10='=+∆+=→∆x x y x变式提升2已知f (x )在x 0处可导，则hh x f h x f h 2)()(lim 000--+→等于( ) A.21f ′(x 0)B.f ′(x 0)C.2f ′(x 0)D.4f ′(x 0) 解析：转化成导数的定义.).()]()([21])()(lim )()(lim [21])()()()([21lim 2)]()([)()(lim 2)()(lim 0000000000000000000000x f x f x f hx f h x f h x f h x f hx f h x f h x f h x f hx f h x f x f h x f hh x f h x f h h h h h '='+'=---+-+=---+-+=----+=--+→→→→→ 答案：B类题演练3求曲线y =x x-1上一点p (4,-47)处的切线方程. 解析：由导数的定义，求得y ′=-.165)4(,32112-='∴-f x ∴所求切线的斜率为-165. 所求切线方程为5x +16y +8=0变式提升3已知曲线C :y =x 3-3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且直线l 与曲线C 相切于点(x 0,y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标.解：∵直线l 过原点，则k =00x y (x 0≠0). 由点(x 0,y 0)在曲线c 上得y 0=x 30-3x 20+2x 0, ∴.2302000+-=x x x y 由导数的定义，求得 y ′=3x 2-6x +2,∴k =3x 20-6x 0+2.又k =x 20-3x 0+2,∴3x 20-6x 0+2=00x y =x 20-3x 0+2 整理得2x 20-3x 0=0.∵x 0≠0,∴x 0=23.此时y 0=83-,k =-41. 因此直线l 的方程为y =-41x , 切点坐标为(83,23-,).。
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3.1.1变化率问题
【学习目标】了解平均变化率的定义.
理解公式并会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率.
【自学点拨】
[问题1]已知函数()x f ，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数()x f 从1x 到2x 的___________.习惯上用x ∆表示12x x -，即x ∆=___________,可把x ∆看做是相对于1x 的一个“增量”，可用+1x x ∆代替2x ，类似有=∆)(x f ________________,于是，平均变化率可以表示为___________________
[问题2] 在吹气球问题中，当空气容量V 从0增加到1L 时，气球的平均膨胀率为_______ ___；当空气容量V 从1L 增加到2L 时，气球的平均膨胀率为______________；当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率为_______________.
[问题3]在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h (单
位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )=
-4.9t 2+6.5t +10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v
粗略地描述其运动状态?
在5.00≤≤t 这段时间里，v =_________________
在21≤≤t 这段时间里，v =_________________
在21t t t ≤≤这段时间里，v =_________________
[问题4]对于公式，应注意：（1）平均变化率公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的_______的差.（2）平均变化率公式中,分子、分母中同为被减数的是右端点，减数是左端点，一定要同步.
[问题5] 平均变化率
=∆∆x f 1212)()(x x x f x f --表示什么?
f (x 2)
x 2
【课前练习】
1、函数()2x x f =在区间[]3,1-上的平均变化率是（ ）
A 、4
B 、2
C 、41
D 、4
3 2、经过函数22x y -=图象上两点A 、B 的直线的斜率（1,5.1==B A x x ）为_______;函数22x y =在区间[1，1.5]上的平均变化率为________________
3、如果质点M 按规律23t s +=运动，则在时间[2，2.1]中相应的平均速度等于______
【课后练习】
1、已知函数1)(2+-=x x f ，分别计算()x f 在下列区间上的平均变化率
（1）[1，1.01] (2)[0.9,1] (3)[0.99,1] (4)[1,1.001]
2、已知一次函数)(x f y =在区间[-2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点（0，
2），试求此一次函数的表达式.
3、已知函数12)(2-==x x f y 的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+x ∆，+1(f x ∆）），求
x
y ∆∆.
4、将半径为R 的球加热，若球的半径增加R ∆，则球的体积增量
()________________)(34)(432+∆+∆=∆R R R V ππ。