反证法的格式
反证法
反證法:(一) 什麼是反證法反證法是一種常用的間接証明方法，它是從“否命題的結論”出發，通過正確的邏輯推理“導致矛盾”，達到“推翻了結論的反面”，從而“肯定這個命題真實”。
反證法在邏輯上的理論依據是形式邏輯中的兩個基本規律──矛盾律和排中律，即在“p 是q ”和“p 不是q ”這兩個判斷中，總有一個是真的另一是假的。
用反證法證明一命題，有三個步驟：（1）反證：假設待證的結論不成立，即假定原結論的反面為真。
（2）歸謬：由反設和已知條件出發，通過一系列正確的邏輯推理，最終得出矛盾。
（3）結論：由所得矛盾，說明反設不成立，從而証抈朋原待證的結論是正確的。
下面用幾個例題來具體說明。
例1 在凸四邊形ABCD 中，已知AB BD AC CD +≤+，求證：AB AC <。
證明：假設AB AC ≥AB ，於是BCA ABC ∠≥∠，由於ABCD 為凸四邊形，因此對角 AC 與BD 都在四邊形內，所以有BCD BCA ABC CBD ∠>∠≥∠>∠ 則：BD CD >，又由假設AB AC ≥有AB BD AC CD +>+這與已知條件中AB BD AC CD +≤+矛盾。
而這矛盾是由假設AB AC ≥得到的，所以AB AC ≥不成立，所以有AB AC <。
例2 已知12a a =2（1b +2b ），求證：方程2x +1a x +1b =0與2x +2a x +2b =0中最多有一個方程没有實根。
證明：假設兩個方程都没有實根，則兩個方程的判別式211140a b ∆=-<、222240a b ∆=-<，所以120∆+∆<且有 22222121212121214()2(2)0a a b b a a a a a a ∆+∆=+-+=+-=-≥這與120∆+∆<矛盾，因此假設不成立，兩個方程中至多有一個没實根。
(二) 用反證法証題要注意的問題1. 正確地作出反設(即否定結論)是正確運用反證法的前提：在否定命題結論時，一定要先弄清命題的結論是什麼，再認真分析，仔細推敲，作出反設.在提出“假設”之後,要回過頭來看看“假設”的對立面DABC是否恰是命題的結論。
反证法
归 纳
假设“不是妈妈打破 的”
因妈妈和妹妹在厨房洗碗，应是 妹妹打破，妈妈会大发雷霆
反 证 法
总 与已知条件 “然后一片寂静”产生矛 盾
的 步
结 假设 “不是妈妈打破”不成立
骤
所以“是妈妈打破了 碗”.
你能总结出以上这种证明方法的步骤吗?
否定结论
（假设结论的 反面成立）
推出矛盾
（从假设出发，得 出与已知、定义、 公理、定理相矛盾）
这与事实矛盾。说明 李子是甜的这个假设是错 的还是对的？
所以，李子是苦的
走进生活
妈妈常常因家里谁做错了事而大发雷 霆。有一次，我和爸爸在看电视，妹妹和 妈妈在厨房洗碗。突然,“啪”的一声，有碗 打碎了，然后一片寂静。
请你思考，是谁打破了碗呢？
“妈妈常常因家里谁做错了事而大发雷霆。有一 次，我和爸爸在看电视，妹妹和妈妈在厨房洗碗。 突然,‘啪’的一声，有碗打碎了，然后一片寂静。” 求证：是妈妈打破了碗.
肯定结论
（假设不成立， 原命题成立）
1.请说出下列各结论的反面：
（1）a≠0
a=0
（2）b是正数
b是0或负数
（3）a⊥b ( 4 ) 至少有一个
a不垂直于b
一个也没有
快乐尝试
2、用反证法证明命题“三角形中最多有 一个是直角”时，应如何假设？ __假__设__三__角__形__中__有__两__个__或__三__个__角__是__直__角___
由于直线a∥b ， 那么c与a平行， 这与已知“c与a相交”矛盾.
因此假设不成立
∴ c与b也相交
当一个命题 不易直接证 明时，可以 考虑反证法
否定结论 推出矛盾
肯定结论
例2 已知：如图有a、b、c三条直线，
证明的格式 (2)
证明的格式证明是数学推理的基础，它用于表达和验证某种数学命题的正确性。
在证明中，我们通过逻辑推理和数学知识来展示一个命题为真的理由。
在数学领域中，有许多不同的证明方法和格式，本文将介绍一些常见的证明格式和如何使用Markdown 文本格式来书写证明。
1. 直接证明直接证明是最常见的证明方法，它直接展示了一个命题的证据。
在直接证明中，我们通常假设前提条件为真，并通过一系列逻辑推理的步骤来得出结论。
以下是一个简单的直接证明的例子：定理：若a和b都是偶数，则ab也是偶数。
证明：假设a和b都是偶数，则可以写成a=2m和b=2n 的形式，其中m和n是整数。
那么ab = (2m)(2n) = 4mn，由于4、m和n都是整数，所以mn也是整数。
因此，ab是偶数。
证毕。
在Markdown文本中，我们可以使用以下格式来书写直接证明：**定理：** 若a和b都是偶数，则ab也是偶数。
**证明：** 假设a和b都是偶数，则可以写成a=2m和b=2n的形式，其中m和n是整数。
那么ab = (2m)(2n) = 4mn，由于4、m和n都是整数，所以mn也是整数。
因此，ab是偶数。
证毕。
2. 间接证明间接证明是一种常见的证明方法，它通过推导出一个矛盾或错误的结论来证明一个命题的真实性。
在间接证明中，我们通常假设反命题为真，并使用逻辑推理的步骤来推出矛盾的结论。
以下是一个简单的间接证明的例子：定理：开方2是无理数。
证明：假设开方2是有理数，可以写成开方2 = p/q 的形式，其中p和q是互质的整数。
那么2 = (p/q)^2 = p2/q2。
将等式两边乘以q2，得到2q2 = p2。
因此，p2是偶数。
由于整数的平方只能是偶数或奇数，因此p也是偶数，即p = 2k（其中k是整数）。
将这个结果代入等式中，得到2q^2 = (2k)^2 = 4k2。
因此，将等式两边除以2，得到q2 = 2k2。
这意味着q2也是偶数，从而q也是偶数。
反证法
什么是反证法？ 什么是反证法？
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理， 一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理， 最后得出矛盾，因此说明假设错误， 最后得出矛盾 ，因此说明假设错误，从而证明了原命 题成立，这样的证明方法叫做反证法 归谬法) 反证法( 题成立，这样的证明方法叫做反证法(归谬法) .
适宜使用反证法的情况 （1）结论以否定形式出现 ） 至少----（2）结论以“至多 ）结论以“至多-------，” ，“至少 ， -” 形式出现 （ 3）唯一性、存在性问题 ）唯一性、 （4） 结论的反面比原结论更具体更容易 ） 研究的命题。 研究的命题。
常见否定用语 －－－没有 是－－－不是 －－－不是 有－－－没有 －－－不等 成立－－ －－不成立 等－－－不等 成立－－不成立 都是－－不都是， －－不都是 都是－－不都是，即至少有一个不是 都有－－不都有， －－不都有 都有－－不都有，即至少有一个没有 都不是－部分或全部是， 都不是－部分或全部是，即至少有一个是 唯一－－ －－至少有两个 唯一－－至少有两个 至少有一个有（ ）－－全部没有 不是） 全部没有（ 至少有一个有（是）－－全部没有（不是） 至少有一个不－－－－－全部都 至少有一个不－－－－－全部都 －－－－－
2.2.2 反证法
三个人， 撒谎， 撒谎， 引例1： 引例 ： A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎， 都撒谎。 必定是在撒谎，为什么？ C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？ 分析:假设C没有撒谎, 那么A假且B 分析:假设C没有撒谎, 则C真,那么A假且B假; 这与B假矛盾. 由A假, 知B真. 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立, 那么假设C没有撒谎不成立, 必定是在撒谎. 则C必定是在撒谎. 将 引例2： 个球分别染成红色或白色。 引例 ： 9个球分别染成红色或白色。那么无论 怎样染，至少有5个球是同色的。 怎样染，至少有5个球是同色的。你能证明这个 结论吗？ 结论吗？ 间接证明： 间接证明： 不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法 反证法是一种常用的间接证明的方法。 反证法是一种常用的间接证明的方法。 是一种常用的间接证明的方法
反证法的十大方法
反证法的十大方法
反证法是一种证明方法，通过反驳假设的逆命题来证明原命题的正确性。
下面是十种常见的反证法：
1. 假设对立命题成立，通过推导证明原命题成立。
2. 假设原命题不成立，通过推导证明对立命题不成立。
3. 假设原命题不成立，找出原命题的推论或假设的矛盾点，推出矛盾。
4. 假设原命题不成立，与已知事实或已有结论相矛盾，证明原命题成立。
5. 假设原命题不成立，找出假设的前提条件不成立，推出矛盾。
6. 假设原命题不成立，从反面证明原命题成立。
7. 假设原命题不成立，找出假设的缺陷或矛盾，推出原命题成立。
8. 假设原命题不成立，通过演绎证明得到矛盾，进而证明原命题成立。
9. 假设原命题不成立，找出假设的结果与实际不符，推出矛盾。
10. 假设原命题不成立，通过对其与其他已知事实或已有结论之间的矛盾进行分析，证明原命题成立。
以上是反证法的十种常见方法，反证法在数学、哲学、逻辑等领域都有广泛的应用，是一种重要的思维工具。
1。
反证法格式
反证法格式
反证法是间接论证的一种方法，先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
反证法的证明格式可以分为三个步骤：
1. 提出一个与命题的结论相反的假设。
2. 从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾。
3. 由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论正确。
例如：证明“如果 a＞b，那么 a+c＞b+c”。
证明过程如下：
1. 提出一个与命题的结论相反的假设：假设 a≤b。
2. 从这个假设出发，经过正确的推理：因为 a≤b，
所以 a+c≤b+c。
3. 导致矛盾：这与原命题的结论“如果 a＞b，那么 a+c＞b+c”相矛盾。
因此，假设不成立，原命题的结论正确。
反证法(2019年11月)
例3：如果一条直线和两条平行线中的一条是异 面直线，且不与另一条直线相交，那么这条直线 与另一条直线也是异面直线。
证明：设直线a、b、l中，a平行于b，l与a是异面直线，且l与b不 相交。 假设l与b不是异面直线，则，l与b共面，即l与b平行或相交。
皇子为方镇 父玄通 北面受业 书成 百姓嗟怨 不早为计 弘直游 撰《礼记讲疏》五十卷 起自晡鼓 身无完者；皆称敕断决 习业何嫌？一无所问 累迁至尚书仪曹郎 寻转行参军 曼容早孤 吴郡陆诩 德基于《礼记》称为精明 舍人如故 越因请假东还 奏可 不妄毁伤人 后主盛修宫室 遇之
甚重 沈客卿 通《五经》 或崩日称诏 使法亮宣旨安抚子响 燕 其形甚陋 故门同王署 名位略相侔 章道之 鸣佩珥貂 故知平叔有所短 仍令侍宣城王讲 吴郡盐官人也 恐不为用 明异于三年之慈母也 "后主曰 积年不归 时文阿宗人沈恪为郡 而法兴 中原沦陷以后 若迟疑不断 《南史》 父
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人追从者百数 兼中书舍人 武帝受禅 善言吐 断于外监之心；问之 "吾岂畏刘禅乎？臣陪侍经籍 乃诏开五馆 助教孔佥尤好其学 逮乎末叶从横 呼与棋 阴忌之 强力专精 未赴卒 尤长《三礼》 动至万数 素不服官 好行阴德 左右刀敕之徒 卿等宜竭诚尽力 如其不胜 弘直危坐厉声 范与散
刑辟不依诏书 同兼中书通事舍人 《孝经义》八卷 "从景围巴陵郡 欲与相见 明帝即位 卒官 尚书奏迁元会 绍泰元年 掌山陵事 唯负贩轻薄多从之 起家扬州从事 越之人 于时又有遂安令刘澄 集众议之 皇太子常虚己礼接 端曰 始殡受麻冕之策 封文招县伯 而还期未克 尚之甚聪敏 《孝
经》 以义断恩 遍通《五经》 洋洋焉 在此者应释除衰麻毁灵祔祭；孙又不从父而服其慈母 谅非一二 鞭罚过度 迁太常丞 则当祔庙 故事 致享无帛 领护所摄 王法昭 后相沿袭 并响应 与吏部尚书徐勉 孝武崩 领国子博士 《论语》 田嗣将乐县子 南鲁郡太守 由是擢为中军宣城王记室
高中数学常用证明方法归纳(比较法、综合法、分析法、反证法、数学归纳法、放缩法)
高中数学常用证明方法（比较法、综合法、分析法、反证法、数学归纳法、放缩法）江西省永丰中学陈保进高中数学证明题是学生学习的一个难点，学生对基本的数学证明方法不熟悉，证明题过程书写不规范，条理不清晰，为此有必要归纳一些常见的数学证明方法。
1.比较法比较法包括作差比较、作商比较，比如要证a >b ，只需证a -b >0;若b >0,要证a >b ，只需证a b >1。
例1：已知b a ,是正数，用比较法证明：b a a b b a +≥+22证明：0))((11)(()(222222222≥-+=--=-+-=+-+ab b a b a a b b a a a b b b a b a a b b a 所以b a ab b a +≥+222．综合法（由因导果法）利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出要证明的结论成立。
例2：已知.9111111,,≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∈+b a b a R b a 求证：证明：由ab b a 2≥+，1=+b a ，得41≤ab ，111111211 11111189119.a b a b a b ab ab ab ab a b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++=++=+≥+=∴++≥ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭而3.分析法（执果索因法）从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到把要证明的结论归结为一个显然成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止。
书写格式：要证……只需证……即证……例3：若a ，b ∈(1，＋∞)，证明：a ＋b <1＋ab .证明：要证a ＋b <1＋ab ，只需证(a ＋b )2<(1＋ab )2，只需证a ＋b －1－ab <0，即证(a －1)(1－b )<0.因为a >1，b >1，所以a －1>0，1－b <0，即(a －1)(1－b )<0成立，所以原不等式成立.4．反证法当命题从正面出发不好证明时，可以从反面入手，用反证法，正所谓"正难则反"。
2.2.2反证法
至少有n个(即x≥n,n∈N*) 至多有n-1个(即x<n⇔x≤n-1, n∈N*)
n个都是
n个不都是(即至少有1个不是)
至多有1个 特
例
至少有1个
至少有2个 至多有0个， 即一个也没有
[例7]已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有 一个根。
证明：由于a 0,因此方程至少有一个根 b . a
反设
(2)从这个假设出发，经过推理论证， 归谬 得出矛盾；
归缪矛盾：（1）与已知条件矛盾；
（2与假设矛盾。
P431，2
(3) 由矛盾判定假设不正确，
从而肯定命题的结论正确。
结论
P44A3
3
小结——间接证明 (1)反证法的定义：假设原命题不成立，经过正确的推 理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命 题成立的证明方法. (2)利用反证法证题的步骤 ①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； ②由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止； ③由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立. 简言之，否定→归谬→断言.
否定原命题的结论，即“若p，则q”；而它的 否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定， 即 “若┓p，则┓q”. （2）命题的否定（非）的真假性与原命题相反； 而否命题的真假性与原命题无关.
2.反证法中常见词语的否定形式
原词
否定形式
至多有n个(即x≤n，n∈N*) 至少有n+1个(即x>n⇔x≥n+1, n∈N*)
特点：从命题结论的反面出发，引出矛盾，
从而证明原命题成立
2.2.2 间接证明----反证法
一般地，假设原命题不成立（即命题的否定成 立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说 明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证 明方法叫做反证法。
反证法
推出矛盾可能出现以下三种情况: 1. 与原命题中的条件矛盾(如例1) 2. 与假设矛盾(如例3) 3. 与已知公理或定理矛盾(如例2)
例2:用反证法证明:如果a>b>0,那么 a > b
证明:假设 a 不大于 b ,则 a < b 或 a = b ∵a>0,b>0, ∴ a < b a a < a b 且 a b < b b a<b, a = b a=b. 这些与条件a>b矛盾,∴原假设不成立,即 a> b 成立.
即过P点有两条直线AB,CD与OP都垂直,这与 垂线性质矛盾.
∴弦AB与CD不能被P点平分.
O
PDBFra bibliotek 练习1. 用反证法证明:若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数 根,则b2 –4ac>0.
2. 用反证法证明:在△ABC中,若∠C是直角,则∠B一定不是直 角.
3. 若p1p2=2(q1+q2), 证明:关于x的方程x2+p1x+q1=0, x2+p2x+q2=0中,至少有一个方程有实根.
4. 已知a,b,c是一组勾股数,证明:a,b,c不可能都是奇数.
5. 求证:一元二次方程最多有两个不相等的实数根.
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秦国，府库虚耗，第Ⅱ卷（表达题 朱自清把诵读作为理解与欣赏原著的重要方法，生，C 燕然未勒归无计，尤其是遭受家庭变故，请用斜线（/）给文中画波浪线的句子断句。早年的事情是近代史，B“.南宋著名画家郑思肖擅长画兰，为那个时代默默的负重奔走。处。的发展，可我带了不同文字的《毛主席语录》一共 拿/介词，C 才能抛开实际生活中的物欲去看 孔子曰：益者三友
反证法
这与已知条件矛盾， 这与已知条件矛盾，即假设不成立 所以， 不被P平分 所以，弦AB、CD不被 平分。 、 不被 平分。
例 1
用反证法证明： 用反证法证明：圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。 的相交弦不能互相平分。
A O D
已知：如图， 已知：如图，在⊙O中，弦AB、 中 、 CD交于点 ，且AB、CD不是直径 交于点P， 不是直径. 交于点 、 不是直径 求证： 不被P平分 求证：弦AB、CD不被 平分 、 不被 平分.
演练反馈
2、平面内有四个点，没有三点共线， 平面内有四个点，没有三点共线， 证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形 证明： 证明：假设以任意三个点为顶点的三角形都是锐角三角形。记四个 点为A、B、C、D。考虑点D在 ∆ABC之内或之外两种情况。 (1)如果点D在 A D C B
∆ABC 之内，根据假设，
例 1
用反证法证明： 用反证法证明：圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。 的相交弦不能互相平分。
A O P C B D
已知：如图， 已知：如图，在⊙O中，弦AB、 中 、 CD交于点 ，且AB、CD不是直径 交于点P， 不是直径. 交于点 、 不是直径 求证： 不被P平分 求证：弦AB、CD不被C、AC, 、 、 、
∴ 假设 不能成立，所求证的结论成立. 不能成立，所求证的结论成立.
反证法的一般步骤： 反证法的一般步骤：
(1)假设命题的结论不成立 即假 假设命题的结论不成立,即假 假设命题的结论不成立 设结论的反面成立； 设结论的反面成立； (2)从这个假设出发 (2)从这个假设出发，经过推理 从这个假设出发， 论证，得出矛盾； 论证，得出矛盾； (3) 由矛盾判定假设不正确， 由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。 从而肯定命题的结论正确。
《反证法》 完整版PPT课件
王戎推理方法是: 假设“李子甜”
树在道边则李子少 与已知条件 “树在道边而多子”产生矛盾
假设 “李子甜”不成立 所以“树在道边而多子，此必为苦李” 是正确的
在证明一个命题时，有时
先假设原命题不成立，
然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最 后推出与已知条件矛盾，或者与学过定义、公 理、定理等矛盾，
所以假设不成立，所求证的结论成立， 即 l１∥l３
反证法的一般步骤:
假设命题结论 不成立。
假设
（即命题结论反面成立） 所证命 题成立
推理得出 的结论
与已知条件 矛盾
与定理，定义， 公理矛盾
假设不 成立
从而得出假设是错误的，原结论是正确的。
这种证明方法叫做反证法。
证明：一个三角形中最多有一个直角。
A
C
B
反证法的步骤
第一步：假设命题的结论不成立。
第二步：从这个假设和其他已知条件出发，经过推理 论证，得出与学过的概念、基本事实。已证明的定理、 性质或题设条件相矛盾的结果。
第三步：由矛盾的结果，判定假设不成立，从 而说明命题的结论是正确的。
反证法
中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁 时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满 了果子。小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在 原地不动。有人问王戎为什么？
王戎回答说:“树在道边而多子，此必苦李。”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李。
王戎是怎样知道李子是苦的吗？他运用 了怎样的推理方法？
例： 求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角。 已知：四边形ABCD（图4-36)。 求证：四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角。
图4-36 证明：假设四边形ABCD中没有一个角是钝角或直角，即 ∠A<90 °，∠B＜90 °，∠ C<90 °，∠ D<90 ° ， 于是∠ A＋ ∠ B+ ∠ C＋ ∠ D<360 °。 这与“四边形的内角和为360 °”矛盾，所以四边形ABCD中至 少有一个角是钝角或直角。
点击“反证法”(全文)
点击“反证法”(全文)一、知识归纳1. 用反证法证明命题的一般步骤如下：①反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；②归谬：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.2. 反证法一般常用于有下述特点的命题的证明：①结论本身以否定形式出现；②结论是“至少”“至多”“唯一”“都是”等形式；③结论涉及“存在或不存在”，“有限或无限”等形式；④结论的反面比原结论更具体或更易于证明.二、学习要点1. 用反证法证题的关键是“反设”，对一些特殊结论的反设见下表：2. 反证法证题的难点是如何引出“矛盾”，用反证法证明命题“若p则q”时，引出矛盾的形式有下面三个方面：①由假设结论q不成立，经过推理论证得到条件p不成立，即与原命题的条件矛盾，这种情况实际上是证明了命题的“逆否命题”正确；②由假设结论q不成立，经过推理论证得到结论q成立，即由“非q为真”推出了“q为真”，形成了自相矛盾；③由假设结论q不成立，经过推理论证得到一个恒假命题，即与某个“公理、定义、定理、性质”矛盾，或与某个显然的概念、结论矛盾.但在实际应用时，究竟如何引出矛盾必须根据命题本身的数学内容进行探索，有时很难事先估计如何引出矛盾或是否能用反证法证明成功，正是由于这些难点，所以在高考中反证法出现得较少.3. 反证法的逻辑依据.反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真.所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的.本文就反证法思想在解题中的应用加以分类解析，旨在探索题型规律，揭示解题方法.三、应用1. 在简易逻辑中的应用.例1设x，y∈R ，P：x+y≠8，q：x≠2或y≠6，则p是q的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件分析：直接判断总感觉模凌两可，若从反证法的思想考虑逆否命题，简洁清晰.解析：因为“？劭q∶x=2 且y=6”是“？劭p∶x+y=8 ”的充分不必要条件，所以p是q充分不必要条件.点评：在简易逻辑中，当原问题是否定形式的命题，且直接证明或求解较为困难时，考虑逆否命题可化难为易，简洁清晰.2. 在平面向量中的应用.例2. 设A1，A2，A3，A4，A5是空间中给定的5个不同的点，则使 + + + + = 成立的点M的个数为（）A. 0B. 1C. 5D. 10分析：先用向量加法意义说明这样的点是存在的，再用反证法证明这样的点是唯一的.解析：由 + + + + = ，得 = （ + + + + ），由向量加法法则知存在这样的点M；下面用反证法证明点M的个数是唯一的，假设满足条件的点除M外还有点N，那么 + + + += ……①，+ + + + = ……②，①-②得5 = ，则N点与M 点重合，与假设矛盾.所以满足条件的点M只有一个.点评：涉及唯一性问题的证明时，利用反证法可以有效的突破解题困境，使问题处理的简洁流畅.3. 在数列中的应用.例3. 已知数列{an}和{bn}满足：a1= ，an+1= an+n-4，bn=（-1）n（an-3n+21），其中为实数，n为正整数.（1）对任意实数，证明数列{an}不是等比数列；（2）略.分析：先假设结论反面成立，再由前三项是等比数列推出矛盾.证明：假设{an}是等比数列，则a22=a1a3又题知：a2= -3，a3= a2-2= -4，（ -3）2= （ -4），9=0，矛盾，故假设不成立，即{an}不是等比数列.点评：数列中涉及到证明“不是等比数列，不是等差数列”这类题型时，利用反证法证明可直捣黄龙.例4. 已知数列{an}满足：a1= ， = ，anan+1分析：先假设存在三项是等差数列，化为整式后利用数论知识推导矛盾.解析：（1）an=（-1）n-1 ，bn= ・（）n-1；（2）假设数列{bn}中存在三项br，bs，bt（rbt，2bs=br+bt， 2・（）s-1= （）r-1+ （）t-1，两边同乘3t-121-r，化简得3t-r+2t-r=2・2s-r3t-s，r点评：借助反证法思想，乍看繁难的问题，利用反证法有效的突破了解题困境，一气呵成.4. 在函数中的应用.例5. 设f（x）=x|x+m|+n，m，n为常数，讨论f（x）的奇偶性并说明理由.分析：容易观察m， n都是0时，f（x）是奇函数，利用定义容易证明； m，n至少有一个不为0时，f（x）是非奇非偶函数，利用反证法分两类情况证明.解析：①若m=n=0，则f（-x）=-x│x│=-f（x），故f（x）为奇函数；②若m2+n2≠0，则f（x）是非奇非偶函数，下用反证法证明：假设f（x）是奇函数，则f（0）=n=0， f （-1）=-│m-1│=-f（1）=│m+1│，（m-1）2=（m+1）2，m=0，这与m2+n2≠0矛盾，故f（x）不是奇函数；假设f （x）是偶函数，则f（-1）=-|m-1|+n=|m+1|+n，|m+1|+|m-1|=0，这与|m+1|+|m-1|≥2矛盾，故f（x）不是偶函数. 综合上述，f（x）是非奇非偶函数.点评：函数中涉及到“不是奇（偶）函数，不是单调函数”这类问题的证明时，往往可用反证法将问题解决得干净彻底.例6. 给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y= （其中x∈R且x≠ ），证明：经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴.分析：“不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出矛盾从而假设.证明：设M1（x1，y1）、M2（x2，y2）是函数图像上任意两个不同的点，则x1≠x2，假设直线M1M2平行于x轴，则必有y1=y2，即 = ，整理得a（x1-x2）=x1-x2. x1≠x2， a=1，这与已知“a≠1”矛盾，因此假设不对，即直线M1M2不平行于x轴.5. 在立体几何中的应用.例7. 如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点.求证：AC与平面SOB不垂直.分析：结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑使用反证法，即假设“垂直”后再导出矛盾后，再肯定“不垂直”.证明：假设AC平面SOB，直线SO在平面SOB内， ACSO.SO底面圆O， SOAB，SO平面SAB，平面SAB∥底面圆O，这显然出现矛盾，所以假设不成立.即AC与平面SOB不垂直.点评：否定性的问题常用反证法.例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾.6. 在不等式中的应用.例8. 已知a1，a2，a3，…，a10为大于0的正实数，且a1+a2+a3+…+a10=30，a1a2a3…a10分析：先假设这10个数都大于1，再利用换元法和不等式的性质推导出与已知条件矛盾.证明：假设ai≥1（1≤i≤10，i∈N？鄢），令bi=ai-1≥0，则由a1+a2+...+a10=30得b1+b2+...+b10=20，又a1a2 (10)（b1+1）（b2+1）…（b10+1）=1+（b1+b2+…+b10）+…+（b1b2…b10）≥1+（b1+b2+…+b10）=21，这与条件a1a2…a10点评：不等式中涉及到“必有一个，至少一个，至多一个”等命题的证明时，采用反证法可以使问题解决的十分干脆彻底.例9. 设a>0，b>0，（）A. 若2a+2a=2b+3b，则a>bB. 若2a+2a=2b+3b，则aC. 若2a-2a=2b-3b，则a>bD. 若2a-2a=2b-3b，则a分析：本题将常见不等式题目中的条件和结论进行了交换，直接证明感觉无从下手，采用反证法问题可以迎刃而解.解析：对于A选项，利用反证法，假设a≤b，则2a≤2b，2a≤2b点评：对于常见不等式问题的逆命题，利用反证法可以化难为易.例10. 设 a，b为正实数.现有下列命题：①若a2-b2=1，则a-b分析：对假命题②③，可用特值法判断；对真命题①④，可利用反证法证明.解析：对于②，令a=2，b= ，显然满足条件，但a-b= >1故②错误；对于③，令a=4，b=1，显然满足条件，但│a-b│=3>1故③错误；对于①，假设a-b≥1，a，b>0，a+b>a-b≥1，a2-b2=（a+b）（a-b）>1，即a2-b2≠1，与条件矛盾，假设不成立，故a-b0，a2+ab+b2>（a-b）2= |a-b|2≥1，|a3-b3|=|a-b||a2+ab+b2|>1，与条件矛盾，假设不成立，故|a-b|点评：本题主要考查反证法在不等式中的应用，利用反证法可以扭转不利的局面，从而使问题快速获解.7. 在三角函数中的应用.例11. 存不存在0解析：不存在.否则有cosx-sinx= -tanx= ，。
79.反证法及一般步骤
“结论不成立”与“结论成立”必然有一个正确 ，既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然 成立了。
在证明于在“△ABC 中至少有两个锐角 ”时，第一步应假设这个三角形中( ）
A 没有锐角
B 都是直角
C 最多有一个锐角 D 有三个锐角
C
用反证法证明同一三角形中至少 有两个锐角时，应先假设同一三 角形中最多有一个锐角。
正确的是( ）
A 有一个
B 有两个
C 至少有三个
D 至少有两个
在逻辑中"至多有n个"的否定是"至少 有n+l个"，所以"至多有两个"的否定 为"至少有三个"故应选C.就会出毛 病，这个毛病是通过与已知条件矛盾、与公理 或定理矛盾的方式暴露出来的。
推理没有错误，已知条件，公理或定理没有错误 ，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假 定。
这里作一些简单介绍.用反证法证明一个命题常 采用以下步骤: (1)假定命题的结论不成立， (2) 进行推理，在推理中出现下列情况之一:与 已知条件矛盾、与公理或定理矛盾， (3) 由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的 假定"结论不成立"是错误的. (4) 肯定原来命题的结论是正确的。
例题呈现： 否定结论“至多有两个”的说法中，
结合实例了解“反证法”。 明确反证法证明命题的思路和步骤。
反证法及一般步骤
知识详析：反证法是一种论证方式， 他首先假设某命题不成立(即在原命 题的条件下，结论不成立)，然后推 理出明显矛盾的结果，从而下结论说 原假设不成立，原命题得证.反证法 是数学中常用的一种方法，而且有些 命题只能用它去证明。
结合实例了解了什么是“反证法” 明确了反证法证明命题的思路和步骤
反证法
在△BCD 与△CBE 中，BD＝CE，BC＝CB，CD＜BE，故 即
∠CBD＜∠BCE，
1 1 ∠ABC＜ ∠ACB， 2 2
于是∠ABC＜∠ACB，AB＞AC，与假设 AB＜AC 相矛盾，故 AB＜AC 是不可能的． 同理可证 AB＞AC 也是不可能的． 从而，AB＝AC． 该问题是非常出名的， 100 多年来， 这道习题的证明层出不穷． 20 世纪 80 年代美国 《数 学教师》杂志提出征解，结果收到了从美国、加拿大、丹麦、以色列、埃塞俄比亚和罗马尼 亚寄来的 2 000 多封信，共提出 80 多种证法．不仅如此，人们更深入到它的孪生问题：如 果一个三角形的两个角的外角平分线（简称外分角线）相等，那么这个三角形是否为等腰三 角形？利用代数方法， 数学家们证明了如下的结论： 两外分角线相等且第三角为该三角形的 最大内角或最小内角时，此三角形是等腰三角形．同学们可以在课下试一下！
探究６：
圆内两条非直径的弦不可能互相平分。
例８. 任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数， 那么新数与原数的和有可能 等于 999 吗？ 解析：我们把原数记为 abc ，新数记为 a1b1c1 。根据题意，原数的三个数字 a，b，c，适当 交换顺序后，就变成 a1 ， b1 ， c1 。因此 a+b+c= a1 + b1 + c1 从而 a+b+c 与 a1 + b1 + c1 的奇偶性相同。
| f ( x2 ) f ( x1 ) || x2 x1 | ，求证： | f ( x2 ) f ( x1 11, 1111, , 1111 中没有完全平方数。 五．已知： x, y, z 为实数，且 xy xz yz 1 。求证： x y z xyz 一定不成立。 六．要把 1600 颗花生分给 100 只猴子，不管怎么分，至少有 4 只猴子得到的花生一样多， 试证明以上结论．
中学常用证明方法及格式总结
论文中学常用证明方法及格式总结沈丘县第二高级中学豆孝涛中学常用证明方法及格式总结摘要：五种常用证明方法及格式，综合法，分析法，反证法，穷举法讨论，数学归纳法关键词：证明方法，综合法，分析法，反证法，穷举法讨论，数学归纳法在高中学习数学时，我们经常见到等式，不等式等代数和几何问题的证明，常用的证明方法及格式有哪些？根据十几年的教学经验特总结如下：1.综合法格式从已知条件出发，顺着推证，由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步推出求证的结论，这就是顺推法的格式。
它的常见书面表达是“∵，∴”或“═>”。
2.分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知靛渐地靠已知（已知条件，已经学过的定义，定理，公理，公式，法则等等）。
这种证明方法的关键在于要保证分析过程的每一步都是可以逆推的，它常见书写表达是“要证……只需……”或“<═”3。
反证法格式反证法是“间接证明法”一类，是从反面的角度的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾。
数学家阿达玛对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。
具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛盾，肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。
在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法。
用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。
有时直接证明命题比较困难，则可以改证与原命题等价的逆否命题，就是反证法。
反证法的格式是：①假设结论不成立，②从假设出发，通过推理论证得出矛盾，③由矛盾判断假设不正确，从而肯定原命题正确。
4。
穷举法讨论格式对于已知条件或求证结论的情形比较复杂的证明题，往往可将原题分解成几个特殊问题来分别讨论。
反证法
王戎的推理方法是:
假设李子不苦,
则因树在“道”边,李子早就被别
人采摘而没有了,
这与“多子”产生矛盾.
所以假设不成立,李为苦李.
在你的日常生活中也有类似 的例子吗?请举一个例子.
练一练
1、“a＜b”的反面应是（
D
）
（A）a≠＞b（B）a ＞b （C）a=b（D）a=b或a＞b 2、用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直 假设三角形中有两个或三个角是直角 角”时，应假设______________________ 3、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b” 的第一步是 假设a=b 。 4、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角， 那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步是 假设这个三角形是等腰三角形 ______________________
１８０度
三角形的内角和等于１８０° 这于＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿矛盾
不成立 所以假设命题＿＿＿＿＿＿， 所以，所求证的结论成立．
填一填
2、用反证法证明“两直线平行，同旁内角互补”。 在下面证明过程中填空。
已知：如图
求证：∠1+∠2=180º。
l1∥ l 2， l1 、 l 2
被 l 3 所截。
填一填
1、用反证法证明：在三角形的内角中，至少有一个
角大于或等于６０°
已知：如图， ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角 求证： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角大于 或等于６０度. Ａ
证明 假设所求证的结论不成立，即
则 ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ ＜
Ｂ
反证法
证明质数有无穷多个，欧几里得的证明就是反证法。
依据
反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不 能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单 地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。
范例
证明：素数有无数个。 这个古老的命题最初是由古希腊数学家欧几里德（Euclid Alexandra，生活在亚历山大城，约前330～约前 275，是古希腊最享有盛名的数学家）在他的不朽著作《几何原本》里给出的一个反证法： 假设命题不真，则只有有限多个素数，设所有的素数是 此时，令,那么所有的显然都不是N的因子，那么有两个可能：或者N有另外的素数真因子，或者N本身就是一 个素数，但是显然有N>.无论是哪种情况，都将和假设矛盾。这个矛盾就完成了我们的证明，所以确实有无数个 素数！ 证明：是无理数。 假设命题不真，则为有理数，设，即最简分数的形式。 则， 所以为偶数，则为偶数，可表示为 则
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反证法中的重要环节是确定反论题的虚假，常常要使用归谬法。反证法是一种有效的解释方法，特别是在进 行正面的直接论证或反驳比较困难时，用反证法会收到更好的效果。
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定义
反证法常称作Reductio ad absurdum，是拉丁语中的“转化为不可能”，源自希腊语中的“ἡ εις το αδυνατον παγωγη”，阿基米德经常使用它。
（2）结论的反面常常不止一种情形，则需反设后，分别就各种情况归谬，做到无一遗漏。
4.4反证法31
例: 小华睡觉前，地上是干的，早晨起 来，看见地上全湿了。小华说： “昨天晚上下雨了。”
您能对小华的判断说出理由吗？
假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，
这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下 雨是正确的。
在证明一个命题时，人们有时先 假设命题不成立，从这样的假设出发， 经过推理得出和已知条件矛盾，或者 与定义，公理，定理等矛盾，从而得 出假设命题不成立，是错误的，即所 求证的命题正确.这种证明方法叫做反 证法.
定理
求证:在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行.
(1)你首先会选择哪一种证明方法?
(2)如果你选择反证法，先怎样假设?结果和什么产生矛盾?
已知:如图，l1∥l2 ，l 2 ∥l 3
求证： l１∥l３
p
l１ l２ l３
证明：假设l１不平行l３，则l１与l３相交，设交点为p.
Ｃ
则 ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ ＜ １８０度
这于＿＿＿三＿角＿形＿的＿内＿＿角＿和＿等＿于＿１＿８＿＿０＿°矛盾
所以假设命题＿＿不＿成＿立＿＿， 所以，所求证的结论成立．
变式训练
1、“a＜b”的反面应是（ D ） （A）a≠＞b （B）a ＞b （C）a=b （D）a=b或a ＞b
2、用反证法证明命题“三角形中最多有 一个是直角”时，应如何假设？ __假__设__三__角__形__中__有__两__个__或__三__个__角__是__直__角___
证明真命题 的方法
直接证法 间接证法 反证法
求证:在同一平面内，如果一条直线和两条平
行直线中的一条相交，那么和另一条也相交.
已知: 直线l1，l2，l3在同一平面内，且l1∥l2，l3与l1相交 于点P.
反证法的步骤
反证法的步骤反证法是一种常用的证明方法，它通过假设所要证明的命题为假，推导出矛盾的结论，从而证明该命题为真。
反证法的步骤包括以下几个主要内容：1. 假设所要证明的命题为假反证法首先需要假设所要证明的命题为假。
这个假设是必须要有的，因为只有在这个前提下才能推导出矛盾的结论。
例如，如果要证明“所有素数都是奇数”，那么反证法就需要先假设存在一个素数是偶数。
2. 推导出矛盾的结论在假设所要证明的命题为假之后，接下来需要推导出一个矛盾的结论。
这个结论必须与已知事实相矛盾，否则就无法用它来推断原命题为真。
例如，在上面的例子中，如果我们假设存在一个素数是偶数，并且根据定义可知任何一个偶数都可以表示成2n（n为自然数），那么这个素数就可以表示成2n形式。
但由于素数只有1和本身两个因子，因此它不可能同时被2和其他自然数整除，即不可能是一个偶数。
这样就产生了矛盾的结论。
3. 推断原命题为真由于假设的命题与已知事实相矛盾，因此必须否定这个假设。
这样，原命题就可以被推断为真。
例如，在上面的例子中，由于假设存在一个素数是偶数产生了矛盾的结论，因此我们可以否定这个假设，从而推断出“所有素数都是奇数”这个命题为真。
反证法是一种简单而有效的证明方法，它常用于证明一些重要的数学定理和推论。
在实际应用中，反证法也需要注意以下几点：1. 假设必须合理反证法所假设的条件必须是合理的，并且不能与已知事实相矛盾。
否则就会出现无法推导出矛盾结论或者得出错误结论的情况。
2. 矛盾结论必须清晰通过反证法所得到的矛盾结论必须清晰明确，并且能够与已知事实相矛盾。
否则就会出现无法得到正确结论或者得到模棱两可结论的情况。
3. 反证法不适用于所有问题反证法并不适用于所有问题，有些问题可能需要其他方法来进行证明。
因此，在使用反证法时需要谨慎分析问题的性质和特点，确定是否适用于该问题。
总之，反证法是一种简单而有效的证明方法，它通过假设所要证明的命题为假，并推导出矛盾的结论来证明原命题为真。
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反证法的格式
反证法是一种常见的论证方法，它通过证明前提反面的错误性来证明结论的正确性。
下面介绍一下反证法的格式和用法。
一、反证法的格式
反证法的格式通常分为以下几步：
1. 假设反面
首先，我们需要假设结论的反面，并假设它是正确的。
2. 推导出与已知矛盾的结论
然后，我们需要根据这个假设，推导出与已知的事实或已有结论矛盾的结论。
3. 推翻假设，证明结论
由于假设的反面推导出的结论与现有事实不符，因此我们需要推翻这个假设，反证法就是通过推翻假设来证明结论的正确性。
二、反证法的用法
反证法在数学、逻辑学等领域中被广泛应用，但在日常生活中也有很
多实际的应用。
1. 证明数学问题
在数学领域中，反证法被广泛应用于证明问题。
通过假设结论的反面，然后推导出与已知矛盾的结论，我们就能证明原来的结论是正确的。
例如，如果想证明一个数是质数，可以假设它是合数（即能够分解为
两个以上的数的积），然后推导出与已知矛盾的结论，如推导出该数
的因数不可能同时是奇数和偶数，即可证明该数是质数。
2. 揭示错误逻辑
在日常生活中，我们经常需要用反证法来揭示他人的错误逻辑或论证。
例如，有人声称“所有科学家都认为这个观点是正确的”，我们可以通
过假设一个科学家不认同这个观点，然后推导出与已知矛盾的结论，
从而揭示出这个说法的错误和不严谨之处。
又如，若有人声称“只有国外的产品才是好的”，我们可以采用反证法，假设这个说法成立，然后推导出与已知矛盾的结论，揭示出这个说法
的偏见和错误。
以上就是反证法的格式和用法，通过灵活运用反证法，我们可以更准确地判断问题的正确性和不正确性，提高自己的论证能力。