三角函数与解三角形

三角函数与解三角形

热点一 三角函数的图象和性质

注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解.

【例1】已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x

2. (1)求f (x )的最小正周期；

(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡

⎦⎥⎤0，2π3上的最小值.

(1)解 因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3. ＝2sin ⎝

⎛⎭⎪⎫

x ＋π3－ 3.

所以f (x )的最小正周期为2π. (2)解 因为0≤x ≤2π

3， 所以π3≤x ＋π

3≤π.

当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值.

所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

2π3＝－ 3.

【类题通法】求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 周期与最值的模板

第一步：三角函数式的化简，一般化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋h 的形式；

第二步：由T ＝2π

|ω|求最小正周期；

第三步：确定f (x )的单调性；

第四步：确定各单调区间端点处的函数值； 第五步：明确规范地表达结论.

【对点训练】 设函数f (x )＝3

2－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π

4. (1)求ω的值；

(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡

⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值.

解 (1)f (x )＝3

2－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝3

2－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx

＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝

⎛

⎭⎪⎫2ωx －π3.

因为y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π

4，故该函数的周期T ＝4×π

4＝π.

又ω＞0，所以2π

2ω＝π，因此ω＝1.

(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.

设t ＝2x －

π

3

，则函数f (x )可转化为y ＝－sin t . 当π≤x ≤3π2时，5π3≤t ＝2x －π3≤ 8π

3，

如图所示，作出函数y ＝sin t 在⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

5π3，8π3 上的图象，

由图象可知，当t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，8π3时，sin t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1， 故－1≤－sin t ≤32，因此－1≤f (x )＝－sin ⎝

⎛

⎭⎪⎫2x －π3≤32.

故f (x )在区间⎣⎢⎡

⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.

热点二 解三角形

高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主.其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题.

【例2】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin C

c . (1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝6

5bc ，求tan B . (1)证明 在△ABC 中，根据正弦定理， 可设a sin A ＝b sin B ＝c

sin C ＝k (k >0). 则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C . 代入cos A a ＋cos B b ＝sin C

c 中， 有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C

k sin C ，变形可得

sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B ). 在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π， 有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， 所以sin A sin B ＝sin C .

(2)解 由已知，b 2＋c 2－a 2＝6

5bc ，根据余弦定理，有 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3

5. 所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.

由(1)知，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，

所以45sin B ＝45cos B ＋3

5sin B ， 故tan B ＝sin B

cos B ＝4.

【类题通法】(1)①在等式中既有边长又有角的正余弦时，往往先联想正弦定理；②出现含有边长的平方及两边之积的等式，往往想到应用余弦定理. (2)正余弦定理与两角和(差)角公式的活用是求解该类问题的关键.

【对点训练】 四边形ABCD 的内角A 与C 互补，且AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.

(1)求角C 的大小和线段BD 的长度； (2)求四边形ABCD 的面积. 解 (1)设BD ＝x ，

在△ABD 中，由余弦定理，得cos A ＝1＋4－x 2

2×2×1，

在△BCD 中，由余弦定理，得cos C ＝9＋4－x 2

2×2×3，

∵A ＋C ＝π，∴cos A ＋cos C ＝0. 联立上式，解得x ＝7，cos C ＝1

2. 由于C ∈(0，π).∴C ＝π

3，BD ＝7. (2)∵A ＋C ＝π，C ＝π3，∴sin A ＝sin C ＝3

2. 又四边形ABCD 的面积S ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD

＝12AB ·AD sin A ＋12CB ·CD sin C ＝3

2×(1＋3)＝23， ∴四边形ABCD 的面积为2 3.

编制：高中数学QQ 群648051755

热点三 三角函数与平面向量结合

三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数