常见函数的导数

常见函数的导数

学习目标：能根据定义求几个简单函数的导数，加深对导数概念的理解，同时体会算法的 思想并熟悉具体的操作步骤。

学习重难点：利用导数公式求一些函数的导数 一、 知识点梳理

1. 基本初等函数，有下列的求导公式

'1.()(,)kx b k k b +=为常数 '2.()1x = 2'3.()2x x =

4.()0C '= 3'2

5.()3x x = '

2

116.()x

x =-

'=

1

8.()x x

ααα-'=（α为常数） 9.()ln (01)x

x

a a a a a '=>≠，

a a 1110.(log x)log e (01)x xlna a a '=

=>≠， x x 11.(e )e '= 112.(lnx)x

'= 13.(sinx)cosx '= 14.(cosx)sinx '=－

从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。

二、典例讲解

例1、求下列函数导数。

练习：（1）5

-=x

y （2）

、x

y 4= （3）、x x x y =

（4）、x y 3log = （5）、)100()

1(log 1

≠>>-=

x a a x a

y x ，，， （6）、y=sin(

2π+x) (7)y=sin 3

π

（8）、y=cos(2π－x) （9）、y=(1)f ' 例2、1.求过曲线y=cosx 上点P( 2π

，0 ) 的切线的直线方程.

2. 若直线y x b =-+为函数1

y x

=

图象的切线,求b 的值和切点坐标.

(1)(23)(2)(2)(3)3x x '-+='-='=4

(4)y x =3(6)y x -==0(5)sin 45y

练习：1.已知点P 在函数y=cosx 上，（0≤x ≤2π），在P 处的切线斜率大于0，求点P 的横坐标的取值范围。

变式1.求曲线y=x 2在点(1,1)处的切线方程. 变式2:求曲线y=x 2过点(0,-1)处的切线方程.

变式3:已知直线1y x =-,点P 为y=x 2上任意一点,求P 在什么位置时到直线距离最短.

总结切线问题：找切点 求导数 得斜率 三、课后练习

1、函数y =___________.

2、曲线212y x =在点1

(1,)2处切线的倾斜角为_________.

3、曲线3

y x =在点(1,1)处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形面积为__________．

4．直线1

2

y x b =+能作为下列函数()y f x =图象的切线吗？，若能，求出切点坐标，若不能，简

述理由。 （1）1()f x x = （2）1()f x x

=- （3）()sin f x x = （4）()x f x e =

5．求曲线()x

f x e =在0x =处的切线方程。

6．求曲线()ln f x x =在（2

,2e ）处的切线方程。

思考：路灯距地平面8m ，一个身高为1.6m 的人以84m/min 的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C 沿某直线离开路灯，求人影长度的变化速率v 。

和差积商的导数

学习目标：能利用导数公式表及导数的四则运算法则求简单函数的导数。 学习重难点：理解函数的和、差、积、商的导数法则，并能进行运用。 一、知识点梳理

（回顾）1.常见函数的导数公式：

0'=C ；()'kx b k +=(k,b 为常数) 1)'(-=n n nx x ； ()'ln (0,0)x x a a a a a =>≠且

()'x x e e =1(ln )'x x = 11

(log )'log (0,0)ln a a x e a a x x a

==>≠且

x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=（新知）2.函数的和、差、积、商的求导法则：

法则1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即'')'(v u v u ±=±法则2常数与函数的积的导数，等于常数与函数的积的导数，即()''Cu Cu =

法则3两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即 '')'(uv v u uv +=

法则4 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除

以分母的平方，即'

2

''

(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭

二、典例讲解

例1. 求下列函数的导数 1.y =x 3

+sin x 的导数. 2.求2(23)(32)y x x =+-的导数．(两种方法)

3.y=5x 10

sinx －2

x cosx －9，求y ′

4.求y =x

x sin 2

的导数. 5．求y =tan x 的导数.

变式：(1)求y =3

3

2

++x x 在点x =3处的导数. (2) 求y =

x

1

·cos x 的导数. 解法一： 解法二：