矩阵论总结

A ≥ 0 ，等号当且仅当 A=0 成立； （2）齐次性： αA = α A , α ∈ k; AB ≤ A B
1
（ 3） 三角不等式 A + B ≤ A + B , A,B ∈ k m×n （4）相容性：
常用向量范数： 1 范数：
常用矩阵范数：
n
x 1 = ∑ ξi = 1 ，
i =1
列（和）范数：
⎡ξ 1 ⎢ξ −1 ⎢ 2 ⎢M ⎢ ⎣ξ n
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ξ 1' ⎤ ⎡ξ 1 ⎤ ⎢ '⎥ ⎢ ⎥ ξ2 ⎥ ξ2 ⎥ ⎢ [ y1 , y2 L , yn ]⎢ ⎥ = [x1 , x 2 L , x n ]⎢ ⎢M ⎥ M ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ' ⎢ ⎣ξ n ⎦ ⎣ξ n ⎥ ⎦
c 12 c 22 M c n2
L c1n ⎤ ⎥ L c 2n ⎥ = [ x 1 , x 2 L , x n ]C O M ⎥ ⎥ L c nn ⎦
X、Y 到简单基的过渡阵分别为 C1、C2，则 C=C1-1C2。 (C1 MC 2 ) → I MC1 C 2
−1
(
)
新基坐标
旧基坐标
⎡ ξ 1' ⎤ ⎡ ξ 1' ⎤ ⎡ξ 1 ⎤ ⎢ '⎥ ⎢ '⎥ ⎢ξ ⎥ ξ2⎥ ξ2⎥ 2 ⎥ ⎢ ⎢ → ⎢ C⎢ ⎥ = ⎢M ⎥ = C ⎢M ⎥ M ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ' ' ⎢ ⎢ ⎣ξ n ⎦ ⎣ξ n ⎥ ⎦ ⎣ξ n ⎥ ⎦
（1）Jordan 标准形的求法 a.求出特征矩阵
⎡λ i ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣0
1
λi
0⎤ ⎥ O ⎥ O 1⎥ ⎥ λi ⎦
m1
λ1 , λ 2 ,L , λ s 为 A 的 特
征值，可以是多重的。
( λ I − A ) 的初等因子组，设为 ( λ − λ1 )
、
( λ − λ2 )
m2
、L 、
( λ − λs )
⎡J 1 ⎢ J=⎢ ⎢ ⎢ ⎣0
J2
（2）Jordon 标准形变换矩阵的求法
P −1 AP = J
→
AP = PJ
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ O ⎥ Jr ⎦
a.将 P 按 J 的结构写成列块的形式
P = [P1 ↑ P2 L Pr ] ↑ ↑ mr列
→ A[P1
P2 L Pr ] = [P1
P2
m 1列 m 2 列
设 均对应一个实值函数，并满足以下四个条件： （1）非负性
x
，并满足：
x ≥ 0 ，等号当且仅当 x=0 时成立； αx = α x , α ∈ k, x ∈ V; （2）齐次性： （ 3） 三角不等式 x + y ≤ x + y , x, y ∈ V 。 则称 x 为 V 中向量 x 的范数，简称为向量范数。
A
e jA = cos A + j sin A
1 2
A 1 = max ∑ aij
1≤ j≤ n i =1
1≤ i ≤ n
n
2 范数（欧氏长度） ：
2⎞ ⎛ n x 2 = ⎜ ∑ ξi ⎟ ⎝ i =1 ⎠
1 p
谱范数：
A 2 = max λ i (A H A)
∞ 范数： x
∞
p⎞ ⎛ n = ⎜ ∑ ξi ⎟ ⎝ i =1 ⎠
行（和）范数：
（1）恒等变换 Te ： ∀x ∈ V , Te x
（6）线性变换的乘积 T1T2 ： ∀x ∈ V ，
(T1T2 ) x = T1 (T2 x ) −1 （7）逆变换 T ： ∀x ∈ V ， 若存在线性变换 S 使得 ( ST ) x ≡ x ， −1 则称 S 为 T 的逆变换 S = T
（8）线性变换的多项式： T 并规定 T
(
)
( (
) ( ) ) ( ) (
)
(
(
)
)
(
)
(
)
4．范数
向量范数定义： 设 V 为数域 K 上的向量空间，若对于 V 的任 一向量 x，对应一个实值函数 （1）非负性
矩阵范数定义：
k m×n (k = c或R) 表 示 数 域 k 上 全 体 m×n m × n 阶矩阵的集合。 若对于 k 中任一矩阵 A，
复正规矩阵
AT A = AAT
AH A = AAH
13．Jordan 标准形
任一 n 阶方阵 A 都与一个 Jordan 标准形相似。 （即任一方阵都可 Jordan 化，P-1AP=J）
0 ⎤ ⎡ J 1 (λ1 ) ⎢ ⎥ J 2 (λ 2 ) ⎥ ， J (λ ) = J=⎢ i i ⎢ ⎥ O ⎢ ⎥ J s ( λ s )⎦ ⎣ 0
（2） kT1 x 1 , x 2 , L , x n = x 1 , x 2 , L , x n ( kA)
（1） (T1 + T2 ) x 1 , x 2 , L , x n = x 1 , x 2 , L , x n ( A + B )
[
] [
]
[
7．矩阵的迹与行列式 trA = ∑ aii
i =1 n
T [ y1 ,y 2 ,L , y n ] = [ y1 , y 2 ,L , y n ]B
2
B = C −1 AC（ A 和 B 为相似阵）
即同一线性变换在不同基下的矩阵 为相似矩阵。
T 在 V n 的基 {x 1 , x 2 , L , x n }下的矩阵为 A ， 元素 x 在该
基 下 的 坐 标 为 (ξ 1 , ξ 2 , L , ξ n ) ， 则 Tx 在 该 基 下 的 坐 标
(η 1 ,η 2 , L ,η n ) 满足
⎡ξ 1 ⎤ ⎡η 1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢η 2 ⎥ = A⎢ξ 2 ⎥ ⎢M ⎥ ⎢M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ξ n ⎦ ⎣η n ⎦
] [ ] （3） (T1T2 )[ x 1 , x 2 , L , x n ] = [ x 1 , x 2 , L , x n ]( AB ) −1 −1 （4） T [ x 1 , x 2 , L , x n ] = [ x 1 , x 2 , L , x n ]A
0
n
= Te
n
= TT T， L 1 4 2 4 3
n个
f (T ) = ∑ anT
n= 0
N
→ f (T ) x = ∑ anT n x
n= 0
N
3．Euclid 空间（实内积空间、欧氏空间） 【酉空间（复内积空间）类似】
设 V 是实线性空间（ k ∈ R ） ，对于 V 中任何两个元素 x 、 y 均按某一规则存在一个实数与之对应 记为 x , y ，若它满足 （3）齐次律 kx , y = k x , y （1）交换律 x , y = y , x 非负性 x , x ≥ 0 ， 当且仅当 x = 0 时， x , x = 0 （2） 分配律 x , y + z = x , y + x , z （4）
所有对角元素之和；
trA = ∑ λi
i =1
n
det A = ∏ λi
i =1
n
tr( AB ) = tr( BA)
det(λ I m − AB ) = λ m − n det(λ I n − BA)
AB 与 BA 的特征值只差零 特征值的个数， 非零特征值 相同（sylvster 定理） 。
8．相似矩阵
⎡J 1 ⎢ ] L Pr ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
J2
→ APi = Pi J i ( i = 1,2L , r )
4
b.求解 r 个矩阵方程 APi = Pi J i c.将 r 个 Pi 合成变换矩阵 P = [P1
( i = 1,2L , r )
P2 L Pr ]
14．矩阵函数
1 1 e = I + A + A2 + A3 + L 2! 3!
A
= max ξi
1≤ i ≤ n p→∞
∞
= max ∑ aij
1≤ i ≤ m j=1
n
F 范数：
A
∞
= tr(AH A)
5．基变换与坐标变换
新基（Y） 旧基（X） 过渡阵（C 可逆）
⎡ c 11 ⎢ c 21 [ y1 , y 2 L , y n ] = [x 1 , x 2 L , x n ]⎢ ⎢ M ⎢ ⎣ c n1
6．线性变换矩阵表示
⎡a 11 a 21 L a n1 ⎤ ⎢ ⎥ a 12 a 22 L a n 2 ⎥ T [ x 1 , x 2 , L , x n ] = [ x1 , x 2 , L , x n ]⎢ = [ x 1 , x 2 , L , x n ]A ⎢M M O M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣a 1n a 2 n L a nn ⎥ ⎦
det( AB ) = det( A)det( B )
任何 n 阶矩阵与三角矩阵相似。
9．对角矩阵
n 阶方阵 A 与对角阵相似（即可对角化） ⇔ A 具有 n 个线性无关的特征向量。 n 阶方阵有 n 个互异的特征值，则必可对角化。
10．正交矩阵性质
（1）正交矩阵是非奇异的。 （2）正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵。 （3）两个正交矩阵的乘积仍为正交矩阵。 ∵QTQ=I∴|QTQ|=|QT|Q|=|Q|×|Q|=|Q|2=1,|Q|±1 (Q-1)TQ-1=(QT)-1Q-1=(QT Q) -1=I
可逆矩阵 P ， B
= P −1 AP ， A ~ B （ A 和 B 为相似矩阵） 。
相似矩阵具有相同的特征多项式 → 相同的特征 值、迹、行列式。
det(λ I − P −1 AP ) = det[ P −1 (λ I − A) P ] = det( P −1 )det(λ I − A)det( P ) = det( P −1 )det( P )det(λ I − A) = det(λ I − A)
1．线性空间的定义：
设 V 是一个非空集合，其元素用 x , y , z 等表示； K 是一个数域，其元素用 k , l , m 等表示。如果 V 满 足[如下 8 条性质，分两类]: （ II ） 在 V 中 定 义 一 个 “ 数 乘 ” 运 算 ， 即 当 （I）在 V 中定义一个“加法”运算，即当 x，y ∈ V 时，有唯一的和 x + y ∈ V （封闭性） ， x ∈ V , k ∈ K 时，有唯一的 kx ∈ V （封闭性） ，且 且加法运算满足下列性质: 数乘运算满足下列性质: x + ( y + z ) = ( x + y) + z ； （1）结合律 （5）数因子分配律 k ( x + y ) = kx + ky ； x+ y = y+ x； ( k + l ) x = kx + lx ； （2）交换律 （6）分配律 k ( lx ) = ( kl ) x ； （3）零元律 存在零元素 O ，使 x + O = x ； （7）结合律 1 x = x ； [数域中一定有 1 ] （4）负元律 对于任一元素 x ∈ V ，存在一元 （ 8） 恒等律 素 y ∈ V ，使 x + y = O ，且称 y 为 x 的负元素， 记为 ( − x ) 。则有 x + ( − x ) = O 。
ms
。
b.写出各 Jordan 块矩阵 （一个初等因子对应一个 Jordan 块矩阵）
( λ − λ i ) mi
⎡ λi ⎢ → J i (λ i ) = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣0
0⎤ ⎥ ⎥ ⎥ O ⎥ Js ⎦
1
λi
0⎤ ⎥ O ⎥ O 1⎥ ⎥ λi ⎦ m ×m i i
c. 合成 Jordan 矩阵：
AT = A AT = − A
正交矩阵 （A
−1
AH = A AH = − A
酉矩阵 （A
−1
正交矩阵：
AT A = AAT = I
正交相似变换
= AT ）
酉矩阵：
AH A = AAH = I
酉相似变换
= AHwk.baidu.com）
P 为正交矩阵，P −1 AP 为对 A 的正交相似变换；
正规矩阵
P 为酉矩阵， P −1 AP 为对 A 的酉相似变换。
2．线性变换的性质（类似线性空间定义逐条） ：
线性变换的运算
=x （2）零变换 T0 ： ∀x ∈ V , T0 x = 0 （3）变换的相等：T1 、T2 是V 的两个线性变换， ∀x ∈ V ，均有 T1 x = T2 x ，则称 T1 = T2 （4）线性变换的和 T1 + T2 ： ∀x ∈ V ， (T1 + T2 ) x = T1 x + Tx2 （5）线性变换的数乘 kT ： ∀x ∈ V ， ( kT ) x = k (Tx ) 负变换： ( −T ) x = − (Tx )
11．实对称矩阵性质
（1）实对称阵的特征值都是实数。 （2） 实对称阵的不同特征值所对应的特征向量是 正交的。 （3） 实对称阵正交相似与对角阵。 (Q1Q2)T(Q1Q2) = Q2TQ1TQ1Q2= Q2TQ2=I
3
12．正规矩阵
实对称矩阵 实对称矩阵： 实反对称矩阵： Hermit 矩阵（复对称阵） Hermit 矩阵： 反 Hermit 矩阵：