二阶偏微分方程的常规解与特殊解
标准二阶椭圆型偏微分方程
标准二阶椭圆型偏微分方程：解析、性质与应用一、引言偏微分方程是数学物理领域中的一个重要研究对象，尤其是二阶椭圆型偏微分方程，具有非常丰富的理论和实际应用价值。
标准二阶椭圆型偏微分方程是二阶椭圆型偏微分方程的一种特殊形式，具有独特的性质和广泛的应用领域。
本文将对标准二阶椭圆型偏微分方程进行详细解析，包括其定义、性质、解析方法以及在实际问题中的应用。
二、标准二阶椭圆型偏微分方程的定义在数学中，标准二阶椭圆型偏微分方程的一般形式可以表示为：Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy} + Du_x + Eu_y + Fu = G。
其中，A, B, C, D, E, F, 和G 是关于x 和y 的函数，并且满足一定的条件以保证方程是椭圆的。
当这些系数函数满足一定条件时，我们称这样的方程为标准二阶椭圆型偏微分方程。
三、标准二阶椭圆型偏微分方程的性质1. 椭圆性：对于标准二阶椭圆型偏微分方程，其解的存在性和唯一性与其椭圆性密切相关。
椭圆性条件保证了方程在一定区域内具有解的存在性和唯一性。
2. 正则性：标准二阶椭圆型偏微分方程的解具有一定的正则性，即解的光滑程度与方程的系数函数和边界条件有关。
这一性质为数值求解提供了理论依据。
3. 最大原理和边界值问题：最大原理是研究二阶椭圆型偏微分方程解的重要工具，它给出了方程解在区域内部和边界上的性质。
边界值问题则是二阶椭圆型偏微分方程在实际应用中的一个重要方面。
四、解析方法对于标准二阶椭圆型偏微分方程的解析方法，主要有以下几种：1. 分离变量法：适用于具有特定对称性的方程，通过将多元函数的偏微分方程转化为一元函数的常微分方程来求解。
2. 有限差分法：将连续的问题离散化，构造差分格式来逼近微分方程的解。
这是一种常用的数值求解方法。
3. 有限元法：将连续的问题离散化为有限个单元，并在每个单元上构造近似解。
这是一种广泛应用于工程和科学计算的数值方法。
4. 变分法：通过寻找泛函的极值来求解偏微分方程，具有深刻的物理背景和广泛的应用领域。
二阶偏微分方程的常规解与特殊解
株洲师范高等专科学校2010届毕业论文材料系、部：物理与电子工程系学生姓名：刘进萍指导教师：周昕职称:讲师专业：物理教育班级：07 物理教育2010年5月目录1、毕业论文课题任务书 (2)2、毕业论文开题报告 (4)3、指导教师评阅表 (8)4、评阅教师评阅表 (9)5、答辩及最终成绩评定表 (10)6、毕业论文 (11)2010届毕业论文课题任务书系：物理与电子工程系专业：物理教育株洲师范高等专科学校毕业论文开题报告系部_______物理与电子工程系____ 专业物理教育题目二阶偏微分方程的常规解与特殊解学生姓名__刘进萍学号04107103_指导教师周昕___职称__ 讲师_____2010年5月20日说明：开题报告作为毕业论文（设计）答辩委员会对学生答辩资格审查的依据材料之一，此报告应在导师指导下，由学生填写，将作为毕业论文（设计）成绩考查的重要依据，经导师签署意见及系审查后生效。
株洲师专2010届毕业论文指导教师评阅表系：物理与电子工程系株洲师专2010届毕业论文评阅教师评阅表系：物理与电子工程系株洲师专2010届毕业论文答辩及最终成绩评定表系（公章）：物理与电子工程系株洲师范高等专科学校2007届毕业论文弦振动二阶偏微分方程的常规解与特殊解系、部：物理与电子工程系学生姓名：刘进萍指导教师：周昕职称讲师专业：物理教育班级：物理教育班完成时间：2010年5月弦振动二阶偏微分方程的常规解与特殊解物理与电子工程系物理教育专业2007级刘进萍指导老师周昕摘要：对于弦振动的二阶偏微分方程，一般采用分离变法来解。
如果我们考虑其物理意义，波在离振源X0处的振动就是振源在时间上推迟了t=X0/v, 从而将振源的振动方程引入推迟因子后代入偏微分方程中，一定会满足方程，则该振动方程就是此偏微分方程的解。
该种方法物理意义明确，求解过程相对简化。
关键词：二阶偏微分方程；推迟因子；弦振动；波的传播Abstract: For the partial differential equation of two ranks, we often use separation reform to solution. If we consider its physical significance, from the source X0 wave is the source of vibration in time delayed t = X0 / v, which will be the source of vibration equation introduced delay partial differential equations, the factor of offspring will meet equation, the vibration equation is the partial differential equations of the solution. This method has clear physical meaning and the solving process is relatively simple.Keywords:partial differential equation of two ranks; suspend gene; libration of string; transmit ion of wave前言在解弦振动的二阶偏微分方程时, 在数学上，一般采用分离变法来解，这是一种纯数学的方法。
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结§1 二阶方程的分类1． 证明两个自变量的二阶线性方程经过可逆变换后它的类型不会改变，也就是说，经可逆变换后2211212a a a -=∆的符号不变。
证：因两个自变量的二阶线性方程一般形式为fcu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112经可逆变换 ⎩⎨⎧==),(),(y x y x ηηξξ0),(),(≠y x D D ηξ 化为 f u c u b u a u a u a =++++ηηηξηξξ22212112其中 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+++=++=22212211222212111222212211112)(2y y x x y y x y y x x x yy x x a a a a a a a a a a a a ηηηηηξηξηξηξξξξξ所以 y x y x y x y x x y y xa a a a a a a ηηξξηηξξηξηξ2211112222122221112222)(+-+=-=∆22221112222222211),(),())(()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆=--=+-y x D D a a a a a x y y x y x y x ηξηξηξηξξη因0),(),(2>⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x D D ηξ，故∆与∆同号，即类型不变。
2． 判定下述方程的类型（1）022=-yy xx u y u x （2）0)(2=++yy xx u y x u （3）0=+yy xx xyu u（4）)010001(sgn 0sgn 2sgn ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==++x x x x xu u yu yyxy xx(5) 0424=+++-zz yy xz xy xx u u u u u 解：(1)022=-yy xx u y u x因 022>=∆y x 当0,0≠≠y x 时0,0=>∆x 或0=y 时0=∆。
3. 二阶偏微分方程
§3 二阶偏微分方程一、 二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程考虑二阶偏微分方程()0),,,,,,(111,2=∂∂∂∂+∂∂∂∑=n nnj i j i ij x u x u u x x F y x u x a (1) 式中a ij (x )=a ij (x 1,x 2,…,x n )为x 1,x 2,…,x n 的已知函数.[特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面]代数方程()01,=∑=nj i jiijaa x a称为二阶方程(1)的特征方程；这里a 1,a 2,…,a n 是某些参数，且有012≠∑=ni ia.如果点x ︒=(x 1︒,x 2︒,…,x n ︒)满足特征方程，即()01,o =∑=nj i jiijaa x a则过x ︒的平面()01o=-∑=nk kk k x x a 的法线方向l :(a 1,a 2,…,a n )称为二阶方程的特征方向；如果一个(n 1-)维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特征曲面；过一点的(n 1-)维平面，如其法线方向为特征方向，则称这个平面为特征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面.[n 个自变量方程的分类与标准形式] 在点P (x 1︒,x 2︒,…,x n ︒)，根据二次型()∑=nj i jinijaa x x x a 1,o o 2o 1,,, (a i 为参量)的特征根的符号，可将方程分为四类：(i) 特征根同号，都不为零，称方程在点P 为椭圆型.(ii) 特征根都不为零，有n 1-个具有同一种符号 ，余下一个符号相反，称方程在点P 为双曲型.(iii) 特征根都不为零，有m n -个具有同一种符号(n >m >1)，其余m 个具有另一种符号，称方程在点P 为超双曲型.(iv) 特征根至少有一个是零，称方程在点P 为抛物型.若在区域D 内每一点方程为椭圆型，双曲型或抛物型，则分别称方程在区域D 内是椭圆型、双曲型或抛物型.在点P 作自变量的线性变换可将方程化为标准形式：椭圆型：∑==+∂∂ni ix u1220Φ双曲型：∑==+∂∂-∂∂n i ix ux u 22120Φ超双曲型：()10112222>>=+∂∂-∂∂∑∑=+=m n x ux u mi nm i ii Φ抛物型：()00122>=+∂∂∑-=m x umn i iΦ式中Φ为不包含二阶导数的项.[两个自变量方程的分类与标准形式] 方程的一般形式为0,,,,222222122211=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂y u x u u y x F y u a y x u a x u a (2) a 11,a 12,a 22为x ,y 的二次连续可微函数，不同时为零. 方程a 11d y 22-a 12d x d y +a 22d x 2=0称为方程(2)的特征方程.特征方程的积分曲线称为二阶方程(2)的特征曲线. 在某点P (x 0,y 0)的邻域D 内，根据Δ=a 122－a 11a 12的符号将方程分类： 当Δ>0时，方程为双曲型； 当Δ=0时，方程为抛物型； 当Δ<0时，方程为椭圆型.在点P 的邻域D 内作变量替换，可将方程化为标准形式：（i ） 双曲型：因Δ>0，存在两族实特征曲线11),(c y x =ϕ，22),(c y x =ϕ，作变换),(1y x ϕξ=，),(2y x ϕη=和,,ηηξ-=+=s t s 方程化为标准形式),,,,(2222t us u u t s t u s u ∂∂∂∂=∂∂-∂∂Φ 或),,,,(12ηξηξΦηξ∂∂∂∂=∂∂∂uu u u （ii ） 抛物型: 因Δ=0，只存在一族实的特征曲线c y x =),(ϕ，取二次连续可微函数),(y x ψ，使0),(),(≠∂∂y x ψϕ，作变换),(y x ϕξ=，),(y x ψη=，方程化为标准形式),,,,(222ηξηξΦη∂∂∂∂=∂∂uu u u （iii ） 椭圆型：因Δ<0，不存在实特征曲线，设c y x i y x y x =+=),(),(),(21ϕϕϕ为11221121212d d a a a a a x y -+=的积分，y x ϕϕ,不同时为零，作变量替换),(1y x ϕξ=，),(2y x ϕη=,方程化为标准形式),,,,(32222ηξηξΦηξ∂∂∂∂=∂∂+∂∂uu u u u二、 极值原理·能量积分·定解问题的惟一性定理椭圆型方程、抛物型方程的极值原理及双曲型方程的能量守恒原理是相应方程的解所具有的最基本性质之一，在定解问题的研究中起着重要的作用. [椭圆型方程的极值原理与解的惟一性定理]1︒ 极值原理 设D 为n 维欧氏空间E n 的有界区域，S 是D 的边界，在D 内考虑椭圆型方程()()()()x x x x f u c x ub x x u a Lu ni i i n j i j i ij =+∂∂+∂∂∂≡∑∑==11,2式中a ij (x ),b i (x ),c (x ),f (x )在D 上连续，c (x )≤0且二次型()∑=nj i j i ij a a a 1,x 正定，即存在常数μ>0，i ()∑∑==≥ni i n j i j i ij a a a a 121,μx定理1 设u (x )为D 内椭圆型方程的解，它在D 内二次连续可微，在D 上连续，且不是常数，如f (x )≤0（或f (x )≥0），则u (x )不能在D 的内点取非正最小值（或非负最大值）.如果过边界S 上的任一点P 都可作一球，使它在P 点与S 相切且完全包含在区域D 内，则有 定理2 设u (x )为椭圆型方程在D 内二次连续可微，在D 上连续可微的解，且不是常数，并设f (x )≤0（或f (x )≥0）.若u (x )在边界S 上某点M 处取非正最小值（或非负最大值），只要外法向导数错误！未定义书签。
二阶线性偏微分方程的解法和特解
二阶线性偏微分方程的解法和特解在数学领域中，二阶线性偏微分方程是一种重要的方程类型。
它在物理学、工程学以及其他领域的建模和问题求解中具有广泛的应用。
解决这类方程的问题既有理论上的方法，也有实用的数值解法。
本文将介绍二阶线性偏微分方程的求解方法，包括一般解法和特解法。
一、一般解法对于形如：\[a(x, y) \frac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}} + b(x, y) \frac{{\partial^2 u}}{{\partial x \partial y}} + c(x, y) \frac{{\partial^2 u}}{{\partial y^2}} + d(x, y) \frac{{\partial u}}{{\partial x}} + e(x, y) \frac{{\partial u}}{{\partial y}} + f(x, y) u = g(x, y)\]的二阶线性偏微分方程，其中\(a(x, y), b(x, y), c(x, y), d(x, y), e(x, y), f(x, y), g(x, y)\)是已知函数，我们希望求解未知函数\(u(x, y)\)满足该方程。
首先，我们可以采用变量分离法将方程化简。
令\(u(x, y) = X(x)Y(y)\)，代入原方程，可以得到两个方程：\[ a(x) \frac{{X''(x)}}{{X(x)}} + d(x) \frac{{X'(x)}}{{X(x)}} + f(x) = -\lambda \]\[ c(y) \frac{{Y''(y)}}{{Y(y)}} + e(y) \frac{{Y'(y)}}{{Y(y)}} +\lambda = -g(x, y) \]其中\(\lambda\)是常数。
我们先考虑第一个方程，它可以化为一个常系数齐次线性微分方程：\[ a(x) X''(x) + d(x) X'(x) + \left(f(x) + \lambda\right) X(x) = 0 \]接下来根据常系数线性微分方程的解法，可以求得\(X(x)\)的解。
第二节 两个自变量的二阶线性偏微分方程
四、 Auxx Buxy Cuyy D( x, y)的通解求法
Auxx Buxy Cuyy D( x, y)
的齐次方程(2)的通解与(6)的特解之和。 例4：u xx 4u xy 4u yy e
y
(5)
(5)是非齐次线性方程，易得到(5)的通解等于它所对应
y
Auxx Buxy Cuyy 0
(2)
分析： 引入变量 ，, (2)等价变形为：
Au Bu C u Du E u 0 (3)
2 2 A A x B x y C y B 2 A x x B x y y x 2C y 2 2 C A x B x y C y D A B C xx xy yy E A xx B ( x, y)) g ( ( x, y))
。 注意： ( x, y), ( x, y)就是特征线的左端函数
2. 0时，标准型都为 0, 原方程的通解为 当 u :
u( x, y) ( x, y) f ( ( x, y)) g ( ( x, y))
y
dy dy 特征方程：A B C 0 dx dx
2
： B 2 4 AC 0时，
a1x b1 y c1 a1x b1 y 求出特征线： ,引入变量 a2 x b2 y c2 a2 x b2 y
2
ax by 求出特征线：ax by c,引入变量 dx ey
d , e的选取保证J 0
显然A B D E 0, C 0
标准型为： u 0
二阶偏微分方程求解
二阶偏微分方程求解二阶偏微分方程是指含有两个自变量和二阶导数的偏微分方程。
通常形式可以表示为：A(x,y,u,u_x,u_y,u_{xx},u_{xy},u_{yy})=0其中，u表示未知函数，u_x表示u关于x的一阶导数，u_y表示u关于y的一阶导数，u_{xx}表示u关于x的二阶导数，u_{xy}表示u 关于x和y的混合二阶导数，u_{yy}表示u关于y的二阶导数。
要求解二阶偏微分方程，一般会采用分离变量法或特征方程法。
分离变量法是指将方程中的未知函数u表示为两个只与自变量x 和y有关的函数的积，然后将其带入方程中，再将等式两边的含有x 或y的项移到等号的一边，将与u无关的项移到等号的另一边，从而得到两个只与自变量x和y有关的方程。
特征方程法是针对特殊形式的方程，通过假设解具有特定的形式来求解。
假设解具有形式：u(x,y) = F(p,q)其中，p和q是通过变换或代换得到的新的自变量。
将此形式的解带入方程中，然后通过求解特征方程得到p和q的表达式，最后通过对F(p,q)进行积分得到u(x,y)的表达式。
解二阶偏微分方程的方法还包括变换法、齐次化法、特解叠加法等。
具体的方法选择取决于方程的形式和具体情况。
解二阶偏微分方程需要注意以下几点：1.解的存在性和唯一性：对于某些特殊的边界条件或初值条件，解可能不存在或者不唯一。
2.常数的确定：在求解中可能会需要确定一些常数，可以通过给定的边界条件或初值条件来确定。
3.解的性质：解的性质可以通过对方程进行分析得到，例如解的连续性、二阶导数的正负性等。
4.数值解法：对于复杂的二阶偏微分方程，可能无法通过解析的方法求得解，可以借助数值方法进行求解，如有限元法、有限差分法等。
总之，解二阶偏微分方程需要根据方程的具体形式选择适当的方法，并对解存在性和唯一性、常数的确定、解的性质等进行分析。
同时可以借助计算工具进行数值求解。
二阶线性偏微分方程的分类与总结
特点
1
偏微分方程的意义
2
3
描述现实问题中多个变量之间的动态关系。
建立数学模型，为解决实际问题提供理论支持。
通过求解偏微分方程，可以预测未来的发展趋势，为决策提供依据。
二阶线性偏微分方程的分类
02
特征方程为多项式形式
特征方程为三角函数形式
分离变量法
适用范围：积分变换法适用于具有特定边界条件的二阶线性偏微分方程，如周期性边界、狄利克雷边界等。基本思想：利用傅里叶变换、拉普拉斯变换等积分变换方法，将偏微分方程转化为常微分方程，从而简化求解过程。步骤选择适当的积分变换函数，如傅里叶变换、拉普拉斯变换等。对原方程进行积分变换，得到变换后的常微分方程。求解常微分方程，得到原方程的解。通过反变换得到原方程的通解。
二阶线性偏微分方程的展望与发展
05
有限差分法
通过离散化偏微分方程，将连续的空间离散为多个离散点，并使用差分近似公式来计算每个离散点处的数值解。
有限元法
将连续的空间离散为多个小的单元，每个单元内使用线性函数来近似解，从而将偏微分方程转化为线性方程组进行求解。
谱方法
利用傅里叶变换等函数变换方法，将偏微分方程转化为常微分方程进行求解，具有高精度和高分辨率的优点。
《二阶线性偏微分方程的分类与总结》
xx年xx月xx日
CATALOGUE
目录
二阶线性偏微分方程概述二阶线性偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的求解方法二阶线性偏微分方程的应用领域二阶线性偏微分方程的展望与发展二阶线性偏微分方程的案例分析
二阶线性偏微分方程概述
01
VS
二阶线性偏微分方程是包含未知函数及其偏导数的方程，且方程中未知函数的最高阶偏导数不超过二阶。
第二节 两个自变量的二阶线性偏微分方程
u( x, y) f ( ( x, y)) g (( x, y)) f (1x 1 y) g(2 x 2 y)
： B 4 AC 0时，
Step2: 化方程为标准型，求其通解。 Step3: 将第二步所求通解中的变量 , 换成 x, y
的函数即可。 评点该方法： 化标准型的过程很麻烦，很容易出错。但
是对于一些特殊方程，它们的标准型有一定的规律，给
求解带来很大的方便。 三、 Auxx Buxy Cuyy 0的通解求法
四、 Auxx Buxy Cuyy D( x, y)的通解求法
Auxx Buxy Cuyy D( x, y)
的齐次方程(2)的通解与(6)的特解之和。 例4：u xx 4u xy 4u yy e
y
(5)
(5)是非齐次线性方程，易得到(5)的通解等于它所对应
y
u ( y), 代入方程得到： 解：设原方程的特解为
e 4u yy e , 可以找到一个特解为 u 4 设原方程的通解为 : ey u ( x, y ) xf (2 x y) g (2 x y ) 4
y
u( x, y) xf (2 x y) g (2 x y)
例3： uxx u yy 0
2
dy 解： 特征方程： 1 0 dx ix y C1 特征线： ix y C2
u( x, y) f (ix y)) g (ix y)
： B 2 4 AC 0时，
1x 1 y c1 1x 1 y 求出特征线： ,引入变量 2 x 2 y c2 2 x 2 y 其中1 ，2，1 ，2为复数
二阶偏微分方程求解
二阶偏微分方程求解【序言】在数学领域中，偏微分方程是一类重要的数学方程，它们在物理学、工程学、经济学等学科中具有广泛的应用。
其中，二阶偏微分方程是一类形式特殊的方程，它们具有一定的数学难度和挑战性。
在本文中，我们将探讨二阶偏微分方程的求解方法，帮助读者理解和掌握这一重要的数学工具。
【概述】二阶偏微分方程是指具有二阶导数的偏微分方程。
通常表示为：(1) A(x, y)∂²u/∂x² + 2B(x, y)∂²u/∂x∂y + C(x, y)∂²u/∂y² + D(x,y)∂u/∂x + E(x, y)∂u/∂y + F(x, y)u = G(x, y)其中，u是未知函数，A(x, y), B(x, y), C(x, y), D(x, y), E(x, y), F(x, y)是已知的函数，G(x, y)是给定的函数。
解出u(x, y)是我们求解二阶偏微分方程的目标。
【求解方法】在求解二阶偏微分方程之前，我们先来了解一下常见的求解方法。
1. 特征值法特征值法是求解一类特殊形式的二阶偏微分方程的有效方法。
对于形如：(2) A∂²u/∂x² + 2B∂²u/∂x∂y + C∂²u/∂y² = 0的方程，我们可以通过求解其特征方程来求得解。
特征方程一般形式为：(3) Aλ² + 2Bλ + C = 0其中λ是未知参数。
通过求解特征方程所得到的特征根λ可以帮助我们确定对应的解形式。
具体的讨论和求解方法可以见附录一。
2. 分离变量法分离变量法是一种常用的求解二阶偏微分方程的方法，它的基本思想是将未知函数表示为两个独立变量的乘积形式，然后分别对每个变量求解常微分方程。
具体步骤如下：(4) 假设u可以表示为u(x, y) = X(x)Y(y)，即u的形式可以分离变量。
(5) 将假设的形式代入原方程，得到两个关于X和Y的常微分方程。
二阶抛物型偏微分方程
二阶抛物型偏微分方程
（原创版）
目录
1.二阶抛物型偏微分方程的定义与特点
2.二阶抛物型偏微分方程的求解方法
3.二阶抛物型偏微分方程的应用领域
正文
二阶抛物型偏微分方程是指一个包含二次项的偏微分方程，它在数学和物理学等领域有着广泛的应用。
二阶抛物型偏微分方程的一般形式为：u/t + cuu/t + au = 0
其中，u 表示函数，t 表示自变量，a 和 c 是常数。
这个方程的特点是，它的解可以表示为抛物线的形式，因此被称为抛物型偏微分方程。
对于二阶抛物型偏微分方程的求解，通常采用以下几种方法：
1.直接积分法：直接积分法是将偏微分方程直接积分，以求得函数
u(t)。
然而，这种方法只适用于一些简单的二阶抛物型偏微分方程。
2.齐次化处理法：齐次化处理法是将非齐次方程转化为齐次方程，然后求解。
对于二阶抛物型偏微分方程，齐次化处理后的方程形式为：u/t + cuu/t + au = 0
u(t) = e^(bt) + ce^(-bt)
其中，b 和 c 是待定系数。
3.变易法：变易法是将原方程中的参数用其他变量表示，从而转化为一个新的方程。
对于二阶抛物型偏微分方程，可以通过变易法得到一个关于 u(t) 的一阶方程。
二阶抛物型偏微分方程在许多领域都有应用，例如物理学、工程学、
经济学等。
例如，在物理学中，它可以描述弹簧的振动、简谐波的传播等；在工程学中，它可以描述电路的振荡、机械振动等；在经济学中，它可以描述价格波动、利率变化等。
二阶偏微分方程分类
二阶偏微分方程分类二阶偏微分方程是指含有两个独立变量的二阶偏导数的方程。
在数学中，它是一个重要的研究对象，具有广泛的应用领域，如物理学、工程学、生物学等。
本文将对二阶偏微分方程进行分类和介绍。
一、常系数二阶线性偏微分方程常系数二阶线性偏微分方程是指系数不随自变量变化而保持不变的二阶线性偏微分方程。
它们可以写成以下形式：$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + a\frac{\partial u}{\partial x} + b\frac{\partial u}{\partial y} + cu = f(x,y)$$其中$a$、$b$、$c$为常数，$f(x,y)$为已知函数。
这类方程可以通过特征方程法求解。
二、非齐次线性偏微分方程非齐次线性偏微分方程是指右端项不为零的线性偏微分方程。
它们可以写成以下形式：$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = f(x,y)$$其中$f(x,y)$为已知函数。
这类方程可以通过格林函数法求解。
三、椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程是指二阶偏微分方程中的系数满足$b^2 - 4ac < 0$，即判别式小于零的方程。
它们可以写成以下形式：$$a\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2b\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + c\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = f(x,y)$$其中$a$、$b$、$c$为常数，$f(x,y)$为已知函数。
这类方程在物理学中有广泛的应用，如热传导方程和电场方程等。
四、双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程是指二阶偏微分方程中的系数满足$b^2 - 4ac > 0$，即判别式大于零的方程。
二阶线性偏微分方程的分类与总结
要点一
要点二
信号处理
在信号处理中，信号的传递和处理往往涉及到二阶线性偏微分方程，例如差分方程、卷积等，通过求解可以得到信号的频谱、滤波效果等性质。
在工程中的应用
二阶线性偏微分方程的求解方法
在物理中的应用
化学反应速率
二阶线性偏微分方程可以描述化学反应的速率，例如反应速度与反应物浓度的关系，通过求解可以得到反应速率常数等参数。
化学振荡
某些化学反应会经历振荡现象，即反应物浓度周期性地变化，二阶线性偏微分方程可以描述这种现象，通过求解可以得到振荡的频率、幅度等性质。
Hale Waihona Puke 在化学中的应用控制工程
要点三
Laplace变换法是一种通过将时域问题转换到复域问题来求解二阶线性偏微分方程的方法。
概述
Laplace变换法
适用于具有初始条件、冲击激励等特殊性质的二阶线性偏微分方程，如RLC电路中的电压电流关系等。
适用范围
将原方程中的未知函数进行Laplace变换，得到复域中的解析解，再通过反变换得到时域中的解。
04
概述
适用范围
步骤
行波法
分离变量法
要点三
概述
分离变量法是一种通过将多变量问题分解为多个单变量问题来求解二阶线性偏微分方程的方法。
要点一
要点二
适用范围
适用于具有周期性、边界条件等特殊性质的二阶线性偏微分方程，如Sturm-Liouville方程等。
步骤
将原方程中的未知函数按照某种方式分解为多个单变量函数，通过对每个单变量函数分别求解，最终得到原方程的解。
3. 二阶偏微分方程
§3 二阶偏微分方程一、 二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程考虑二阶偏微分方程()0),,,,,,(111,2=∂∂∂∂+∂∂∂∑=n nnj i j i ij x u x u u x x F y x u x a (1) 式中a ij (x )=a ij (x 1,x 2,…,x n )为x 1,x 2,…,x n 的已知函数.[特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面]代数方程()01,=∑=nj i jiijaa x a称为二阶方程(1)的特征方程；这里a 1,a 2,…,a n 是某些参数，且有012≠∑=ni ia.如果点x ︒=(x 1︒,x 2︒,…,x n ︒)满足特征方程，即()01,o =∑=nj i jiijaa x a则过x ︒的平面()01o=-∑=nk kk k x x a 的法线方向l :(a 1,a 2,…,a n )称为二阶方程的特征方向；如果一个(n 1-)维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特征曲面；过一点的(n 1-)维平面，如其法线方向为特征方向，则称这个平面为特征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面.[n 个自变量方程的分类与标准形式] 在点P (x 1︒,x 2︒,…,x n ︒)，根据二次型()∑=nj i jinijaa x x x a 1,o o 2o 1,,, (a i 为参量)的特征根的符号，可将方程分为四类：(i) 特征根同号，都不为零，称方程在点P 为椭圆型.(ii) 特征根都不为零，有n 1-个具有同一种符号 ，余下一个符号相反，称方程在点P 为双曲型.(iii) 特征根都不为零，有m n -个具有同一种符号(n >m >1)，其余m 个具有另一种符号，称方程在点P 为超双曲型.(iv) 特征根至少有一个是零，称方程在点P 为抛物型.若在区域D 内每一点方程为椭圆型，双曲型或抛物型，则分别称方程在区域D 内是椭圆型、双曲型或抛物型.在点P 作自变量的线性变换可将方程化为标准形式：椭圆型：∑==+∂∂ni ix u1220Φ双曲型：∑==+∂∂-∂∂n i ix ux u 22120Φ超双曲型：()10112222>>=+∂∂-∂∂∑∑=+=m n x ux u mi nm i ii Φ抛物型：()00122>=+∂∂∑-=m x umn i iΦ式中Φ为不包含二阶导数的项.[两个自变量方程的分类与标准形式] 方程的一般形式为0,,,,222222122211=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂y u x u u y x F y u a y x u a x u a (2) a 11,a 12,a 22为x ,y 的二次连续可微函数，不同时为零. 方程a 11d y 22-a 12d x d y +a 22d x 2=0称为方程(2)的特征方程.特征方程的积分曲线称为二阶方程(2)的特征曲线. 在某点P (x 0,y 0)的邻域D 内，根据Δ=a 122－a 11a 12的符号将方程分类： 当Δ>0时，方程为双曲型； 当Δ=0时，方程为抛物型； 当Δ<0时，方程为椭圆型.在点P 的邻域D 内作变量替换，可将方程化为标准形式：（i ） 双曲型：因Δ>0，存在两族实特征曲线11),(c y x =ϕ，22),(c y x =ϕ，作变换),(1y x ϕξ=，),(2y x ϕη=和,,ηηξ-=+=s t s 方程化为标准形式),,,,(2222t us u u t s t u s u ∂∂∂∂=∂∂-∂∂Φ 或),,,,(12ηξηξΦηξ∂∂∂∂=∂∂∂uu u u （ii ） 抛物型: 因Δ=0，只存在一族实的特征曲线c y x =),(ϕ，取二次连续可微函数),(y x ψ，使0),(),(≠∂∂y x ψϕ，作变换),(y x ϕξ=，),(y x ψη=，方程化为标准形式),,,,(222ηξηξΦη∂∂∂∂=∂∂uu u u （iii ） 椭圆型：因Δ<0，不存在实特征曲线，设c y x i y x y x =+=),(),(),(21ϕϕϕ为11221121212d d a a a a a x y -+=的积分，y x ϕϕ,不同时为零，作变量替换),(1y x ϕξ=，),(2y x ϕη=,方程化为标准形式),,,,(32222ηξηξΦηξ∂∂∂∂=∂∂+∂∂uu u u u二、 极值原理·能量积分·定解问题的惟一性定理椭圆型方程、抛物型方程的极值原理及双曲型方程的能量守恒原理是相应方程的解所具有的最基本性质之一，在定解问题的研究中起着重要的作用. [椭圆型方程的极值原理与解的惟一性定理]1︒ 极值原理 设D 为n 维欧氏空间E n 的有界区域，S 是D 的边界，在D 内考虑椭圆型方程()()()()x x x x f u c x ub x x u a Lu ni i i n j i j i ij =+∂∂+∂∂∂≡∑∑==11,2式中a ij (x ),b i (x ),c (x ),f (x )在D 上连续，c (x )≤0且二次型()∑=nj i j i ij a a a 1,x 正定，即存在常数μ>0，i ()∑∑==≥ni i n j i j i ij a a a a 121,μx定理1 设u (x )为D 内椭圆型方程的解，它在D 内二次连续可微，在D 上连续，且不是常数，如f (x )≤0（或f (x )≥0），则u (x )不能在D 的内点取非正最小值（或非负最大值）.如果过边界S 上的任一点P 都可作一球，使它在P 点与S 相切且完全包含在区域D 内，则有 定理2 设u (x )为椭圆型方程在D 内二次连续可微，在D 上连续可微的解，且不是常数，并设f (x )≤0（或f (x )≥0）.若u (x )在边界S 上某点M 处取非正最小值（或非负最大值），只要外法向导数错误！未定义书签。
二阶偏微分方程的通解
二阶偏微分方程的通解二阶偏微分方程是指包含两个自变量的二阶微分方程，其中每个自变量都有两次导数。
这种方程通常涉及到物理学、工程学和数学等领域。
本文将介绍如何求解二阶偏微分方程的通解。
一、二阶偏微分方程的定义二阶偏微分方程可以写成如下形式：$$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partialy^2}=f(x,y,u,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y}) $$其中，$u(x,y)$是未知函数，$f(x,y,u,\frac{\partial u}{\partialx},\frac{\partial u}{\partial y})$是已知函数。
二、齐次线性偏微分方程齐次线性偏微分方程指的是$f(x,y,u,\frac{\partial u}{\partialx},\frac{\partial u}{\partial y})=0$的情况。
此时，原方程可以写成如下形式：$$a_{11}\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+a_{12}\frac{\partial^2u}{\partial x \ \ \ \ \ \ \ \ \ y}+a_{22}\frac{\partial^2u}{\ \ \ y^2}=0$$其中$a_{11},a_{12},a_{22}$为常数。
对于这种情况，我们可以采用分离变量法求解。
假设$u(x,y)=X(x)Y(y)$，则有：$$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=X''(x)Y(y),\ \\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=X(x)Y''(y)$$将上式代入原方程得到：$$a_{11}X''(x)Y(y)+a_{12}X'(x)Y'(y)+a_{22}X(x)Y''(y)=0$$将$X''(x)/X(x)$和$Y''(y)/Y(y)$分别移到等号左边，可得：$$\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda,\ \ \frac{Y''(y)}{Y(y)}=\lambda $$其中$\lambda$为常数。
二阶偏微分方程解法
二阶偏微分方程解法
二阶偏微分方程解法是一种用来解决二阶常微分方程问题的数学方法，在许多实际应用中都有着重要的作用，如物理和生物学的许多理论研究、实际的技术工程问题等。
通常来说，二阶偏微分方程的解将分解
为解析解与数值解两大类：
1. 解析解：
解析解就是指通过一系列的数学变换，完全解决出二阶偏微分方程的
办法，以数学符号形式表示出来。
经典的解析解包括牛顿→亨利→费
马解法和古典积分法，例如波动方程的积分等，而函数可积分则将其
称为古典分析解。
2. 数值解：
对于不能解析的二阶偏微分方程问题，或者解析解存在极大的复杂程
度时，就不得不采用数值解来近似求解了。
数值解采用称为差分或积
分方案的方法，通过用数值来近似解决分析解而无需完全解决出来，
有效地减轻了解析解方式的复杂性。
典型的数值解法有：格式化方式、有限差分法、有限元法、预估重面法等。
目前，二阶偏微分方程解法在实际工程中被广泛应用，比如在机械电
子、流体力学和火灾等工程问题的模拟计算中都用到了二阶偏微分方程的解法，其中包括数值解法及解析解法。
在工程计算中，如果最终想要的精度要求比较高，一般来讲可能只能采用数值解法了，因为相对解析解来说，数值解要比较精确，且不受拓扑学影响，更利于模拟复杂的物理场。
而且，大部分数值解法由于采用逐步迭代算法，能够有效地减少计算量，提高计算效率。
二阶偏微分方程
二阶偏微分方程是数学中的一个重要分支，它涉及到许多实际问题，例如热传导、电磁场等。
在这篇文章中，我们将深入探讨的概念、解法以及其在实际问题中的应用。
一、的概念是形如$$ \frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2} = f(x,y) $$的方程，其中$$u=u(x,y)$$是未知函数，$$f(x,y)$$是已知函数。
通常，我们把这个方程称为泊松方程，其基本形式是：$$ \nabla^2 u = f(x,y) $$ 其中，$$\nabla^2$$是拉普拉斯算子，可以表示为：$$\nabla^2 =\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}$$二、的解法要解决泊松方程，我们需要找到一个满足方程的函数$$u(x,y)$$。
在某些简单的情况下，我们可以直接通过代入法得到解析解。
但是，在大多数情况下，我们需要采用更加复杂的数值方法来求解。
一种常用的数值方法是有限元法。
该方法将求解区域划分成多个小区域，并在每个小区域内构建一个插值函数。
然后，通过将这些插值函数相加，我们可以得到一个近似解。
但是，对于某些情况，有限元法可能并不适用，这时我们需要使用其他的数值方法，例如有限差分法和谱方法等。
三、的应用泊松方程在电磁学、热传导学、流体力学等领域都有着广泛的应用。
例如，它可以用于描述高维空间中的电势分布；在热传导学中，它可以用于描述热流的分布情况。
此外，泊松方程还可以用于解决流体的速度分布问题以及许多其他领域的问题。
四、结论综上所述，是一种重要的数学工具，它可以用于解决许多实际问题。
虽然的求解过程可能会比较复杂，但是通过采用合适的数值方法，我们仍然能够得到较为准确的近似解。
因此，对于某些领域的研究和实际问题的解决，深入理解的概念和解法至关重要。
二阶线性偏微分方程的分类
注：上式中用小写字母
代表常系数，以便与
大写字母代表某函数区别开来, 例如
．为了化简，
我们不妨令
从而有
(10.4.2)
其中
由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）可以进 一步化简
(10.4.3)
式中
均为常系数．若令
则有 其中
(10.4.4) (10.4.5)
2.抛物型
对于含常系数的抛物型偏微分标准方程（含常系数）
即可使得
．同时，根据(10.2.4)式，就可以断定
．所以，方程(10.2.6) 即为
(10.2.4)
或者进一步作变换 于是有 所以
又可以进一步将方程(10.2.11)化为
这种类型的方程称为双曲型方程．我们前面建立的波动方 程就属于此类型．
2．当判别式
时：这时方程
(10.2.10)一定有重根
因而只能求得一个解，例如，
，特征线为
一条实特征线．作变换
就可以使
由(10.2.4)式可以得出，一定有
，故可推出
．这样就可以任意选取另一个变换，
只要它和
彼此独立，即雅可俾式
即可．这样，方程(10.2.6)就化为
此类方程称为抛物型方程．热传导（扩散）方程就属于 这种类型．
3. 当判别式 面的讨论，只不过得到的
时：这时，可以重复上
的通解为
其中
是两个独立的任意函数．因为方程为
二阶的，所以是两个任意的函数．若给函数
指定为
特殊的
，则得到的解
称为方程的特解．
n阶常微分方程的通解含有n个任意常数，而n阶偏微分方 程的通解含有n个任意函数．
10.2 数学物理方程的分类
在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的 偏微分方程：波动方程；热传导方程；稳定场方程．这三类方 程描写了不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解 也表现出各自不同的特点．
二阶偏微分方程讲义
偏微分方程(Partial Differential Equations)5. 二階偏微分方程式例： 222u u a t x∂∂=∂∂ (熱傳導方程式) 22222u u a t x∂∂=∂∂ (波動方程式) 22220u ux y∂∂+=∂∂ (拉普拉斯方程式)設雙變數二階P.D.E.為：222222u u u u ua b c d e fu g x x y y x y∂∂∂∂∂+++++=∂∂∂∂∂∂ (1)其中係數均為x 、y 的光滑函數且a 、b 、c 不同時為零。
假設：()(),,x y x y ξξηη=⎧⎨=⎩ (2)且 ()(),0,J x y ξη∂=≠∂(3)則可解得(),x x ξη=以及(),x x ξη=，並可得：u u u x x x ξηξη∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂ (4.a)u u u y y yξηξη∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂ (4.b)22222222222222u u u u u u x x x x x x xξξηηξηξξηηξη∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ (4.c)22222222u u u u u u x y x y x y x y x y x y x yξξξηηξηηξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭(4.d)22222222222222u u u u u u y y y y y y y ξξηηξηξξηηξη⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ (4.e)將第(4)式代入第(1)式後可得： 2221111111222u u u u ua b c d e f u g ξξηηξη∂∂∂∂∂+++++=∂∂∂∂∂∂ (5)其中：2212a a b c x x y y ξξξξ⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭(6.a)1b ab c x x x y y x y y ξηξηξηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=+++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭(6.b)2212c a b c x x y y ηηηη⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭(6.c)2221222d a b c d e x x y y x y ξξξξξ∂∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂∂(6.d)2221222e a b c d e x x y y x yηηηηη∂∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂∂(6.e) 1f f = (6.f) 1g g =(6.g)若取：2220a b c x x y y ξξξξ⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫++= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭(7.a)2220a b c x x y y ηηηη⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫++= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭(7.b)則可將第(7.a)式改寫為： 220x x a b c y y ξξξξ⎛⎫∂∂∂∂++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭(8)令：dy x dx yξξ∂∂=-∂∂ (9)則可解得：dy b dx a ±= (10)以上，第(9)式或第(10)式稱為特徵方程，相對應的積分曲線稱為特徵線。
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株洲师范高等专科学校2010届毕业论文材料系、部：物理与电子工程系学生姓名：刘进萍指导教师：周昕职称:讲师专业：物理教育班级：07 物理教育2010年5月目录1、毕业论文课题任务书 (2)2、毕业论文开题报告 (4)3、指导教师评阅表 (8)4、评阅教师评阅表 (9)5、答辩及最终成绩评定表 (10)6、毕业论文 (11)2010届毕业论文课题任务书系：物理与电子工程系专业：物理教育株洲师范高等专科学校毕业论文开题报告系部_______物理与电子工程系____ 专业物理教育题目二阶偏微分方程的常规解与特殊解学生姓名__刘进萍学号04107103_指导教师周昕___职称__ 讲师_____2010年5月20日说明：开题报告作为毕业论文（设计）答辩委员会对学生答辩资格审查的依据材料之一，此报告应在导师指导下，由学生填写，将作为毕业论文（设计）成绩考查的重要依据，经导师签署意见及系审查后生效。
株洲师专2010届毕业论文指导教师评阅表系：物理与电子工程系株洲师专2010届毕业论文评阅教师评阅表系：物理与电子工程系株洲师专2010届毕业论文答辩及最终成绩评定表系（公章）：物理与电子工程系株洲师范高等专科学校2007届毕业论文弦振动二阶偏微分方程的常规解与特殊解系、部：物理与电子工程系学生姓名：刘进萍指导教师：周昕职称讲师专业：物理教育班级：物理教育班完成时间：2010年5月弦振动二阶偏微分方程的常规解与特殊解物理与电子工程系物理教育专业2007级刘进萍指导老师周昕摘要：对于弦振动的二阶偏微分方程，一般采用分离变法来解。
如果我们考虑其物理意义，波在离振源X0处的振动就是振源在时间上推迟了t=X0/v, 从而将振源的振动方程引入推迟因子后代入偏微分方程中，一定会满足方程，则该振动方程就是此偏微分方程的解。
该种方法物理意义明确，求解过程相对简化。
关键词：二阶偏微分方程；推迟因子；弦振动；波的传播Abstract: For the partial differential equation of two ranks, we often use separation reform to solution. If we consider its physical significance, from the source X0 wave is the source of vibration in time delayed t = X0 / v, which will be the source of vibration equation introduced delay partial differential equations, the factor of offspring will meet equation, the vibration equation is the partial differential equations of the solution. This method has clear physical meaning and the solving process is relatively simple.Keywords:partial differential equation of two ranks; suspend gene; libration of string; transmit ion of wave前言在解弦振动的二阶偏微分方程时, 在数学上，一般采用分离变法来解，这是一种纯数学的方法。
如果我们考虑其物理意义，波在离振源X0处的振动就是振源在时间上推迟了t=X0/v,即引入推迟因子t,从而将振源的振动方程引入推迟因子后代入偏微分方程中，一定会满足方程，则该振动方程就是此偏微分方程的解。
电磁波也是一种波，其振动应该也满足该理论。
从而讨论了电磁波的振动的推迟与能量的推迟。
1 弦的振动设:有一根均匀柔软的细弦,平衡时沿直线拉紧,而且除受不随时间而变的张力作用及弦本身的重力外,不受外力影响.如图1所示，设弦上具有横坐标x 的点在时间t 时的位置为M,位移MN 记作u,显然u 为x 、t 的函数，记为u(x,t).在弦上任取一弦段'MM ,其长为ds ,ρ为弦向线度,弦段'MM 两端的所受的张力记作T,T '.由于假定弦柔软,所以任一点处的弦力方向为沿弦该点的切线方向.现在考虑'MM 在t 时刻的受力情况.[1]图 1在x 轴方向, 'MM 受力的总和为''cos cos TT αα-+,由于弦只作横向振动,所以''cos cos 0T T αα-=,由α很小,由麦克劳林函数24211cos 1 (1) (12141)(2)!nn αααα=-+++-∙+= (1)同理'cos 1α≈ (2)得T=T '在u 方向弦段'MM 受力的总和''sin sin T T egds αα--- (3)∵'0αα≈=,(,)sin tan u x t xαα∂≈=∂ (4)(,)''sin tan u x dx t xαα∂+==∂(5)ds (6)小弦段在时刻t 沿u 方向运动的加速度近似为2(,)u x t x∂∂,小弦段的质量为ds ρ.∴2(,)''sin sin 2u x t T T egds eds xαα∂-+-=∙∂ (7) 变化可得22(,)(,)22Tu x t u x t gx tρ∂∂∙≈+∂∂ (8)∵ g 相对于22u t∂∂很小, ∴g 忽略,得22222u u t x α∂∂=∂∂2Tαρ=(9)加上初始条件222,0,2200,00(),(),000u u x L t t x U U t x L x u U x x x Lt t t αψ∂∂=∂∂====∂==ψ≤≤==∂⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩＜＜＞0 ︱，︱＞︱︱（10）这样就建立了上述偏微分方程，加上初始条件与边界条件，就只需对上述方程求解，下面通过两种方法求解。
一种是在数学物理方程中，采用纯数学的方法来解，即分离变量法;另一种是应用其特殊的物理意义提出推迟因子来求解，先介绍第一种方法.2 常规解利用分离变量法求解: [2]令(,)()()x t x t U X T = (11)则2''()()2x t u X T t ∂=∂ 2''()()2x t u X T x∂=∂ (12) 代入(10)中''2''()()()()x t x t X T a X T =∙ 变形得''''()()2()()X T x t X a T x t λ==- (13) 得''20(14)()()''0(15)()()T a T t t X X x x λλ+=+=⎧⎪⎨⎪⎩1. 对(11)式求解,加入边界条件''()()(0)()00x x i X X X X λ⎧+=⎪⎨==⎪⎩ (16) ⑴λ＜0时,()x X A B e =∙+∙代入边界条件得0,0A B A B A B e +==-⎧⎪⎨∙+∙=⎪⎩(17) ∴得 A=B=0, 不符,舍去. ⑵λ＞0时,令λ=2β, 得()cos sin x X A x B x ββ=+ (18)代入电解条件得 A=Osin 0B l β= (19)n lπβ=(n=1.2.3.........)∴()sin x n X Bn x lπ= (n=1.2.3......) (20)2. ()()22''2()()2(0)()0()021,(0)22t t t x t x n T a T l u U x l t πϕϕ==⎧+=⎪⎪⎨∂⎪==≤≤⎪∂⎩︱同理可求得其通解为''()cossinn a n a T t C n t D n tn llππ=∙+∙(n=1.2.3.....)(23)cos sin sin(,)()()n a n a n x U T X Cn t Dn t n x t n t x l l l πππ=∙=∙+∙∙⎛⎫ ⎪⎝⎭(24)将所有函数Un(x,t)叠加起来 (∵解满足叠加原理)cos sin sin (,)1n a n a n a U Cn t Dn t n x t n l l l πππ∞∑=∙+∙∙=⎛⎫ ⎪⎝⎭(25)(,)0()1sin n x t t x n n U Cn x lπϕ∞===∙=∑︱ (26)sin 0()1u n a n Dn x t x n t l lππϕ∞∂∑=∙===∂︱ (27)由傅立叶级数2sin (28)0()2sin (29)0()n l Cn xdx x l l n l Dn xdx x n lπϕπϕπα=∙⎰=∙⎰⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(,)22sin cos sin sin sin 00()()1x t n n a n n a n l l xdx t xdx t x x x n l l l n l l lU πππππϕϕπα∞∑∙∙+∙∙⎰⎰=⎛⎫= ⎪⎝⎭(30)这是一种纯数学的方法。
该方法在数学计算上是相当的繁琐，对数学知识要求高，没有反映出物理本质。
如果我们考虑其物理意义，波在离振源X0处的振动就是振源在时间上推迟了t=X 0/v,即引入推迟因子t,从而将振源的振动方程引入推迟因子后代入偏微分方程中，一定会满足方程，则该振动方程就是此偏微分方程的解，从而引入特殊解法。
3 特殊解法(推迟因子)由于平面简谐波为平面波特解，在离震源x 处的点，其振动就是相对于震源推迟了X/V 。
现在对22222u u a t x∂∂=∂∂ 提出尝试解cos ()x u A t vω=-可转化为cos ()xu A t vω=- （31）如果我们考虑其物理意义，波在离振源X0处的振动就是振源在时间上推迟了t=X0/v,即引入推迟因子t,从而将振源的振动方程引入推迟因子后代入偏微分方程中，一定会满足方程，则该振动方程就是此偏微分方程的解。
令w/v=kU cos()A t kx ω=-()i t kx Aeω-=i tikxAeeω-=∙ (32)222i tikxu A eetωω-∂=∙∂ (33)222i t ikxu Ak e e xω-∂=∙∂(34)由22Ta vρ==(35)则v =(β为线密度,T 为张力)[3]代入上式中得222222i t ikx i t ikx i t ikx A e e Ak e e v Av e evωωωωω---∙=∙∙=∙∙∙ (36) 等式显然成立由此可知尝试解为此微分方程的解 而为什么会是它的解？提出推迟因子ikxe-2(,)ixi tvx t U A eeωω-=∙ w/v=k (37)令()cos i tt T AeA t ωω== (38)为振源的振动方程令()i tx X eω= 为推迟因子从而可知该种方法与推迟因子的引入是完全正确的,下面对比前一种方法来进行讨论.4、两种解的讨论4.1 波的传播即本质为振动的传播，能量的传播，在离震源x 处的点，其振动就是相对于震源推迟了kx ，令x=0，即为震源的振动方程。