十三、logistic回归模型

e
x x
(2)
1 e
即单因素曲线LOGISTIC 回归模型公式。
单因素LOGISTIC模型参数的解释
ln [p/(1-p)] = + x
：与变量 x 无关的因素的影响 ：自变量 x 的回归系数，大小由因素 x 决定。 = 0 表明 P与 x 无关， 发病不由因素 x 决定； > 0 表明 P与 x 有关， 变量 x 是疾病发生的危险因素； < 0 表明 P与 x 有关， 变量 x 是疾病发生的保护因素。
二分类logistic回归模型
非条件logistic回归
模型简介
内 容 提 要
简单分析实例 哑变量设置 自变量的筛选方法与逐步回归 模型拟合效果与拟合优度检验 模型的诊断与修正 条件logistic回归
模型简介
对分类变量的分析，当考察的影响因素较少，且也为分类 变量时，常用列联表（Contingency Table）进行整理，
则受试者A因改变吸烟行为，其在12年间发生CHD 风险将上升为原来的3.16倍。可用相对危险度RR公 式进行计算，即： RR ＝PA2 / PA1 = 0.1526 / 0.048 = 3.16
应用多变量logistic回归注意事项
（1）因变量必须是二分变量，或任何取值为0或 1的属性数据。
（2）logistic回归分析对自变量的正态性、方差 齐性不作要求，对自变量类型也不作要求。 但应注意自变量与logit y之间应符合线性关系。 如自变量为连续变量，且与logit y之间不存在 线性关系，应作适当变量转换，否则参数估计 会发生偏倚，结论不可靠。
表1.
CHD危险因素定群研究(12年追踪观察结果）
变量 参数i
i估计值
-13.2573
0.1216 0.0070 0.0068 0.0257 -0.0010 0.4223 0.7206
i标准误
标化i
截距
年龄(岁) 胆固醇(mg/dl) BP(mmHg) 相对体重(W/H) 血红蛋白(mg%) 吸烟(0,1,2,3) ECG(0,1)
4) 用于预测发病率: 可根据该公式预测某人在不同因素暴露条 件下CHD的发病率。如某受试者A暴露于因 素xi的情况为： X＝(45, 210, 130, 100, 120, 0, 0) 利用该模型计算该受试者A在暴露上述各种研 究因素的条件下，12年间CHD的发病率为： PA1 = 1/{1+exp[-(-13.2573 + 0.1216 x 45 + 0.0070 x 210 + +0.7206 x 0)]} = 1/[1+exp(-2.9813)] = 0.048
问题的提出（续）
• 但在医学研究中常碰到因变量的取值仅有 两个, 如是否发病、死亡或痊愈等； • 分析“母亲怀孕期间体重增加”对“新生 儿出生低体重”的影响
二、概念的引入
• 如按线性回归思想建立模型： P=α +β X • P的意义是发生出生低体重的概率
• 在线性回归模型中,X的取值是任意的,P值 可能大于1或小于0,无法从医学意义进行解 释, 显然不适宜用线性回归建立预测模型。
根据OR定义，得： OR=[ P1 / (1-P1 )] / [P0 / (1-P0)] 两边取自然对数，得： ln OR=ln[ P1 / (1-P1 )] - ln[P0 / (1-P0)] 用Logit P的值带入，得： ln OR=Logit P1-Logit P0=(1+1x1)-(0+0x0)
• 对于队列研究，假设研究一个二值暴露变量X与某一疾 病之间的关联: • 设暴露组(E+)发病的概率为P1,则其发病与不发病的概率 比为: Odds= P1 /(1- P1) (3) • 设非暴露组(E-)发病的概率为P0,则其发病与不发病的概 率比为: Odds= P0 /(1- P0) (4)
• 为避免P值大于1或小于0, 我们对P进行logit（即 logistic）变换, 把logit（P）作为因变量，即 ： Logit（P）=ln [p/(1-p)] = + x • logit（P）可以从–∞到+ ∞之间取任何值 • 如：计算logit（0.1），logit（0.95） logit（0.1）=ln（0.1/0.9）=-2.20 logit（0.95）=ln（0.95/0.05）=2.94
P e 1 e P 1 e

x
i
i

x
i
i
1
(
x)
i i 1 2 2
P e 1 e P 1 e

x x
1

x
i
(9)i i源自 x x1 1 2
2

x
i
(
x x
1 1 2
1
2

x)
• 1．如果以logitP为因变量，暴露因素X为自变量，建立直线回归 方程： Logit P = + x 由 Logit P = ln [p/(1-p)] 可导出: ln [p/(1-p)] = + x (1) 即单因素线性LOGISTIC 回归模型公式； “p=在暴露变量E下有病D的概率 ” 解(1)式中以p为反应变量的方程，得：
并用2检验或分层2检验进行分析，但存在以下局限性：
无法描述其作用大小和方向，更不能考察各因素间是否 有交互作用； 当控制的分层因素较多时，将导致检验结果不可靠； 2检验无法对连续性自变量进行分析（致命缺陷）。
模型简介
logistic回归模型适合于应变量为二项分类的资料， 在医学研究领域中的应用广泛。如流行病病因学研
如果自变量为定性指标： （1）如果自变量为二分类变量，常用0， 1或1，2表示。如x为性别指标，0代表 女性，1代表男性(如何解释结果？）。 （2）如果自变量为多分类指标，需要 用亚（哑）变量（dummy）表示，又称 指示变量（indicator variables）
（3）如果自变量为等级资料，可以用两种 方法处理： 一是将等级数量化后直接进入分析，如果y 的改变在每个等级上是近似相等的，则该 法效果很好； 二是视为定性指标，用亚变量表示，一般 用于y在每个等级上的变化不相等时。
如果自变量为定量指标： （1）同时自变量与logit y之间为线性关系， 则可以直接以原变量的形式进入分析； （2）如果自变量与logit y之间为非线性关系， 则需做适当转换，如x2，log（x），ex等。
也就是说，如果自变量是定量指标的话，在进行回归 分析之前一定要首先判断此变量是否与结局变量logit y 之间呈线性关系；定性或等级指标则不用考虑这个问 题。
(5) (6)
队列研究中假定暴露人群和非暴露人群影响疾病发生的 其他因素均相同，则可认为： 1 = 0 ; 在非暴露人群中不暴露研究因素，可知：x0 = 0, 带入，得： lnOR = (1 + 1x1) - (0 + 0x0 ) = 1x1 则: OR=Exp[(1 + 1x1) - (0 + 0x0 )]=Exp(1x1) (7) 即: OR=e1
i < 0: 表明 P 与 xi 有关， 变量 xi 是疾病发生 的保护因素。
模型简介－适用条件
反应变量为二分类变量或某事件的发生率； 自变量与logit（P）之间为线性关系；
残差合计为0，且服从二项分布；
各观测间相互独立。 logistic回归模型应该使用最大似然法来解决方程的 估计和检验问题，不应当使用以前的最小二乘法进行参数 估计。
举例
• 1. 定群研究资料分析…弗明汉心脏研究 • 742名居住在弗明汉年龄为40-49岁的男 性，在各自暴露不同水平的影响因素(详见 下表中的7种因素)，经12年追踪观察CHD 发病情况。根据此742名受试者每人暴露各 项因素的水平和CHD发病与否的资料，采 用多因素LOGISTIC回归模型进行分析，结 果见表1。
该多因素LOGISTIC回归分析模型的用途: (1) 确定研究因素的性质: 根据 值的正和负，确定所分析因素是危险因素还是保护因 素。表中7种因素中，除血红蛋白为保护因素外，其他均为危险因 素。 (2) 计算描述因素与疾病间联系强度指标OR值的大小: (A) 由于胆固醇的值为0.0070，根据估计OR值的公式计算 CHD与胆固醇的联系强度为： OR = e3 ＝e0.0070 = 1.007
表明胆固醇上升1mg/dl时，CHD发病是原胆固醇水平的1.007倍。
(B) 当ECG的 值为0.7206时，根据估计OR值的公
式计算CHD与ECG异常的联系强度为： OR = e7 = e7 X 1 / e7 X 0 = e7 X (1-0) = e0.7206 = 2.056
表明ECG异常者CHD发病是正常者的2.056倍。 (3) 比较各变量对方程贡献的大小: 根据标化的值大小，确定各因素对CHD发病影响的 大小。在此项研究中，危险因素中吸烟对方程贡献最大 ，其他依次为相对体重、年龄、 胆固醇、ECG和BP。
0
1 2 3 4 5 6 7
0.0437 0.0025 0.0060 0.0091 0.0098 0.1031 0.4009
0.3370 0.3034 0.1320 0.3458 -0.0012 0.4952 0.1750
根据表1结果，可建立的CHD影响因素的Logistic回归模型， 公式如下: p=1/{1+exp[-(-13.2573 + 0.1216x1 + 0.0070x2 + + 0.7206 x1)]}
样本量
• 用logistic回归模型，样本含量要求较大。 小样本不适宜。样本含量至少是变量数的 10倍以上，否则方程不稳定，系数估计或 标准误估计常出现异常，结果无法解释。