初中数学竞赛题汇编(代数部分1)

初中数学竞赛题汇编

（代数部分1）

江苏省泗阳县李口中学沈正中精编、解答

例1若m2＝m＋1，n2＝n＋1，且m≠n，求m5＋n5的值。

解：由已知条件可知，m、n是方程x2－x－1＝0两个不相等的根。∴m＋n＝1，mn＝－1

∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝3或m2＋n2＝m＋n＋2＝3

又∵m3＋n3＝(m＋n) (m2－mn＋n2)＝4

∴m5＋n5＝(m3＋n3) (m2＋n2)－(mn)2(m＋n)＝11

例2已知

解：设，则

u＋v＋w＝1……①……②

由②得即 uv＋vw＋wu＝0

将①两边平方得

u2＋v2＋w2＋2(uv＋vw＋wu)＝1 所以u2＋v2＋w2＝1

即

例3已知x4+x3+x2+x+1＝0，那么1+x+x2+x3+x4+……x2014＝。解：1+x+x2+x3+x4+…x2014＝(1+x+x2+x3+x4)+(x5+x6+x7+x8+x9)+…+(x2010+x2011+x2012+x2013+x2014)＝(1+x+x2+x3+x4)+x5(1+x+x2+x3+x4)+…

+ x2010(1+x+x2+x3+x4)＝0

例4：证明循环小数为有理数。

证明：设＝x…①

将①两边同乘以100，得

…②

②－①，得99x＝261.54－2.61 即x＝。

例5：证明是无理数。

证明（反证法）：假设不是无理数，则必为有理数，设

＝（p、q是互质的自然数），两边平方有p2＝2q2…①，

所以p一定是偶数，设p＝2m（m为自然数），代入①整理得q＝2m2，所以q也是偶数。p、q均为偶数与p、q是互质矛盾，所以不是有理数，即为有理数。

例6：；；。

解：

例7：化简（1）；（2）

（3）；（4）；

（5）；

（6）。

解：（1）方法1

方法2 设，两边平方得：

由此得

解之得或

所以。

（2）

（3）

（4）设，两边平方得：由此得解之得

所以＝＋1＋

（5）设则所以（6）利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解答。

设两边立方得：

即x3－6x－40＝0

将方程左边分解因式得(x－4)(x2＋4x＋10)＝0

因(x2＋4x＋10)＝(x＋2)2＋6＞0 所以(x－4)＝0 ，即x＝4

所以＝4

例8：

解：用构造方程的方法来解。设原式为利用根号的层数是无限的特点，有，两边平方得即

继续两边平方得x4－4x2＋4＝2＋x，即x4－4x2－x＋2＝0，

左边分解因式得(x＋1)(x－2)(x2＋x－1)＝0 求得x1＝－1，x2＝2，x3＝。因0＜x＜2，所以x＝－1、x＝2、x＝应舍去，所以x＝即＝。

例9：设的整数部分为x，小数部分为y，试求

的值。

解：

而所以x＝2，y＝

因此

＝。

例10：已知x＋y＋z＝3a (a≠0，且x、y、z不全相等)，求

的值。

解：设x－a＝u，y－a＝v，z－a＝w，则

＝且有已知有u＋v＋w＝0，将u＋v＋w＝0两边平方得u2＋v2＋w2＋2(uv＋vw＋wu)＝0 由于x、y、z不全相等，所以u、v、w不全为零，所以u2＋v2＋w2≠0，故

＝＝

例11：已知x＝求的值。

解：

所以x－4＝－(x－4)2＝3，x2－8x＋13＝0 ，

所以，原式分子x4－6x3－2x2＋18x＋23

＝(x4－8x3＋13x2)＋(2x3－16x2＋26x)＋(x2－8x＋13)＋10

＝x2(x2－8x＋13)＋2x(x2－8x＋13)＋(x2－8x＋13)＋10＝10，原式分母x2－8x＋15＝(x2－8x＋13)＋2＝2，

所以＝＝5 。

例12：已知＝＝

求的值

解：方法1 当a＋b＋c≠0时，据等比定理有

＝＝

＝＝1

由此得a＋b－c＝c，b＋c－a＝a，c＋a－b＝b

所以＝＝8。

当a＋b＋c＝0时，＝＝－1。

方法2 设＝＝＝k，则

a＋b＝(k＋1)c…①，b＋c＝(k＋1)a…②，c＋a＝(k＋1)b…③，

①＋②＋③得2(a＋b＋c)＝(k＋1) (a＋b＋c)，

即(a＋b＋c) (k－1)＝0，

故k＝1或a＋b＋c＝0，以下同上。

例13：计算…+

解：…+

＝+ + …+

＝( )+( )+( )+…

+ ( )

＝+ + +…+

＝＝。

例14：分解因式（1）x3－9x＋8；（2）(x2＋x＋1)(x2＋x＋2)－12；。

（3）(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)；（4）x2+3xy+2y2+4x+5y+3。

解：（1）方法1：x3－9x＋8=x3－9x－1＋9=(x3－1)－9x＋9

=(x－1)(x2＋x＋1)－9(x－1)=(x－1)(x2＋x－8)方法2：x3－9x＋8=x3－x－8x＋8=(x3－x)+(－8x＋8)

=x(x＋1)(x－1)－8(x－1)=(x－1)(x2＋x－8)

方法3：x3－9x＋8=9x3－8x3－9x＋8=(9x3－9x)+(－8x3＋8) =9x(x＋1)(x－1)－8(x－1)(x2＋x＋1)

=(x－1)(x2＋x－8)

方法4：x3－9x＋8=x3－x2＋x2－9x＋8

=(x3－x2)＋(x2－9x＋8)=x2(x－1)＋(x－8)(x－1)

=(x－1)(x2＋x－8)

（2）设x2+x=y，则(x2+x+1)(x2+x+2)-12=(y+1)(y+2)-12

=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)

=(x-1)(x+2)(x2+x+5)