四川省绵阳中学2018-2019学年高一下学期第三次月考数学试题 含解析
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故选：B
【点睛】本题主要考查平面向量的加法法则和减法法则的几何应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
11.在 中， ， ，则 周长的最大值为（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
先由 得到A= ,再利用基本不等式求b+c的最大值，即得三角形周长的最大值.
14.如图，已知 为 的一条弦，且 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】
过点O作OA⊥PQ,垂足为A.则PA=AQ，再利用平面向量的数量积和三角函数求解.
【详解】 ,
过点O作OA⊥PQ,垂足为A.则PA=AQ.
因为 ，所以 ,
所以 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查平面向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
选项C, ，符合不能确定，所以该选项错误；
选项D, ，所以 ，所以该选项正确.
故选：D
【点睛】本题主要考查实数大小的比较，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2.若 是互相垂直的单位向量且 ，则 （ ）
A. 3B. -3C. 1D. -1
【答案】B
【解析】
【分析】
由向量垂直的数量积表示化简求解.
18.某单位建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为30 ，房屋正面每平方米造价为1500元，房屋侧面每平方米造价为900元，屋顶造价为5800元，墙高为3米，且不计算背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？
【答案】房屋正面长为6 ，侧面宽为5 时，总造价最低为59800元.
【解析】
【详解】由题得
故选：B
【点睛】本题主要考查向量垂直的数量积表示，考查数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
3.已知数列 为等比数列，且 ， ，则 （ ）
A. 5B. C. 4D. -4
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等比中项的性质求解.
【详解】由题得 .
因为等比数列的奇数项同号，所以 .
15.已知矩形的周长为16，矩形绕它的一条边旋转 形成一个圆柱的侧面积的最大值为__________．
【答案】
【解析】
分析】
利用矩形的周长公式、基本不等式的性质、圆柱的侧面积计算公式即可得出．
【详解】如图所示，
设矩形的长与宽分别为 ， ．
则 ，即 ．
，当且仅当 时取等号．
解得 ．
旋转形成的圆柱的侧面积 ．
绵阳中学高2018级高一下期第三学月考试数学试题
一、选择题：本大题共12小题，每题4分，共48分．
1.若 且 ，则下wenku.baidu.com不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用作差法对每一个选项逐一判断分析.
【详解】选项A, 所以a≥b,所以该选项错误；
选项B, ，符合不能确定，所以该选项错误；
A. 直角三角形B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形D. 等边三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
由 得OA和BC垂直，由 得到OA是∠BAC的角平分线，综合即可判断△ABC的形状.
【详解】 ,
所以 .
AO在∠BAC的角平分线上，
所以AO既在BC边的高上，也是∠BAC的平分线，
所以△ABC是等腰三角形.
19.设数列 的前 项和为 且 .
（1）求 的通项公式；
（2）令 ，若 的前 项和为 ，且 恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用项和公式求 的通项公式；（2）先化简得 ,再利用裂项相消求解.
【详解】（1）令 ，则 ，
当 时， ，①
，②
① ②得： ，
∴ ，即 ，
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．
13.若数列 的前 项和为 ，则通项公式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用 求解，但要注意验证n=1时 是否成立.
【详解】当n=1时， ；
又
，
【点睛】本题考查利用数列前n项和求数列通项公式，属于基础题目，解题中需要注意利用公式 求解出的通项公式需要验证n=1时，是否满足题目条件.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用空间直线和平面的位置关系对每一个命题逐一判断得解.
【详解】①若 ，则 平行于经过 的任何平面,是错误的，因为a,b有可能在一个平面内；
②若直线 平面 ，则 与 内任一直线平行，是错误的，因为 与 内任一直线平行或异面；
③若 ， ，则 ，是错误的，因为a和b可能平行，相交或异面；
17.在三棱柱 中， 、 、 、 分别 、 、 、 的中点，求证：
（1） 、 、 、 四点共面；
（2）平面 ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
试题分析：（1）要证明四点共面，只需证 ，根据中位线，有 ，所以四点共面；（2）利用中位线，易证 ，所以平面 平面 ．
试题解析：
（1）∵ 分别为 中点，∴ ，
的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．
【详解】满足约束条件 的平面区域如下图所示：
作直线
把直线向上平移可得过点 时 最小
当 ， 时， 取最大值7，
故答案为7．
【点睛】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最
优解点的坐标是解答本题的关键．
6.圆台上底半径为2，下底半径为6，母线长为5，则圆台的体积为（ ）
【分析】
(1)利用正弦定理和余弦定理化简即得解；（2）先求出A最大时， ，再求出b,c和sinA，再求 的面积．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2） 时， ，
∵ 且 ，
∴ ，
∴当角 最大时， ，
此时 ，
，
∴ .
【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
【点睛】本题考查的知识点是旋转体及其体积的计算，圆台的几何特征，其中画出轴截面，将空间问题转化为平面问题是解答的关键．
7.已知 是正项等比数列且 ， 与 的等差中项为18，则 （ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】
由题得到关于 的方程组，解方程组即得 的值，再求 得解.
【详解】由题得 .
A. 25B. 40C. 50D. 45
【答案】D
【解析】
【分析】
利用已知条件，结合余弦定理，转化求解数列的和，然后求解 的最大值．
【详解】等差数列 的公差为 ， 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为 ，
可得： ，
得 ，所以 （舍 或 ，
．
所以n=9或n=10时，
故 的最大值为 ．
故选： ．
【点睛】本题主要考查等差数列的性质和等差数列的前n项和及其最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
故选：C
【点睛】本题主要考查等比数列的性质和等比中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4.下列4个命题中，两直线 ，平面 ：①若 ，则 平行于经过 的任何平面；②若直线 平面 ，则 与 内任一直线平行；③若 ， ，则 ；④ ， ， ，则 ．正确命题个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【详解】由题得几何体原图是如图所示的直三棱柱ABC-EFG，
D,H分别是AB,EF中点，O点时球心，
所以OH= , ,
所以 ,
所以几何体外接球的体积为 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查三视图还原几何体，考查几何体外接球的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
三、解答题：本大题共4个小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
∵三棱柱 中， ，
∴ ，
∴ 四点共面．…………………………5分
（1）∵ 分别为 中点，
∴ ，
∴ ，
又∵ 分别为三棱柱侧面平行四边形 对边 中点，
∴四边形 为平行四边形， ，
∴平面 中有两条直线 分别与平面 中的两条直线 ， 平行，
∴平面 ．………………………………12分
考点：证明四点共面及面面平行．
【分析】
令房屋地面的正面长为 ，侧面宽为 ，总造价为 元，求出z的表达式，再利用基本不等式求最低造价.
【详解】令房屋地面的正面长为 ，侧面宽为 ，总造价为 元，
则 ，
，
∵ ，
∴ ，
当且仅当 即 时取等号，
答：房屋正面长 6 ，侧面宽为5 时，总造价最低为59800元.
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
作出圆台的轴截面，由圆台的上、下底面半径分别为2，6，构造直角三角形，结合母线长
为5，由勾股定理求出圆台的高．再求圆台的体积.
【详解】作出圆台的轴截面如图所示：
上底面半径 ，下底面半径 ，过 做 垂直 ，
则
由
故
即圆台的高为3,
所以圆台的体积为
故选： ．
∴数列 为 ，公比为4的等比数列，
∴
（2） ，
∴
，
∵ 且 恒成立，
∴
【点睛】本题主要考查项和公式求通项，考查裂项相消求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20. 中， 分别是角 所对的边且 .
（1）求 的值；
（2）若 ，当角 最大时，求 的面积．
【答案】（1）4；（2） .
【解析】
所以 .
故选：C
【点睛】本题主要考查等比数列的性质和等差中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8.已知 ， 与 夹角为 ，则 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出 ，再代向量的夹角公式求解即可.
【详解】由题得 ，
所以 与 的夹角为 ，
所以两向量的夹角为 .
【详解】由题得
所以
所以 ,
因为
所以 .
由余弦定理得 ,
所以 ，
当且仅当b=c=2时取等.
所以 .
故选：C
【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
12.己知等差数列 的公差为-1，前 项和为 ，若 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为 ，则 的最大值为（ ）
④ ， ， ，则 ．是正确的；
故选：B
【点睛】本题主要考查空间直线和平面的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
5.已知变量 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
先画出满足约束条件 的平面区域，然后求出目标函数 取最大值时对应
故选：C
【点睛】本题主要考查向量的夹角的求法，考查平面向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
9.关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由已知 ，不等式 为 ，所以 或 ，故选C．
10.点 为 所在平面内一点， 则 的形状为（ ）
旋转形成的圆柱的侧面积的最大值为 ．
故答案为： ．
点睛】本题考查了基本不等式求最值、圆柱的侧面积计算公式，属于基础题．
16.有三条棱互相平行的五面体，其三视图如图所示，则该五面体外接球的体积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先作出三视图对应的原几何体，再求几何体外接球的半径，再求几何体外接球的体积.
【点睛】本题主要考查平面向量的加法法则和减法法则的几何应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
11.在 中， ， ，则 周长的最大值为（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
先由 得到A= ,再利用基本不等式求b+c的最大值，即得三角形周长的最大值.
14.如图，已知 为 的一条弦，且 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】
过点O作OA⊥PQ,垂足为A.则PA=AQ，再利用平面向量的数量积和三角函数求解.
【详解】 ,
过点O作OA⊥PQ,垂足为A.则PA=AQ.
因为 ，所以 ,
所以 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查平面向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
选项C, ，符合不能确定，所以该选项错误；
选项D, ，所以 ，所以该选项正确.
故选：D
【点睛】本题主要考查实数大小的比较，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2.若 是互相垂直的单位向量且 ，则 （ ）
A. 3B. -3C. 1D. -1
【答案】B
【解析】
【分析】
由向量垂直的数量积表示化简求解.
18.某单位建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为30 ，房屋正面每平方米造价为1500元，房屋侧面每平方米造价为900元，屋顶造价为5800元，墙高为3米，且不计算背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？
【答案】房屋正面长为6 ，侧面宽为5 时，总造价最低为59800元.
【解析】
【详解】由题得
故选：B
【点睛】本题主要考查向量垂直的数量积表示，考查数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
3.已知数列 为等比数列，且 ， ，则 （ ）
A. 5B. C. 4D. -4
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等比中项的性质求解.
【详解】由题得 .
因为等比数列的奇数项同号，所以 .
15.已知矩形的周长为16，矩形绕它的一条边旋转 形成一个圆柱的侧面积的最大值为__________．
【答案】
【解析】
分析】
利用矩形的周长公式、基本不等式的性质、圆柱的侧面积计算公式即可得出．
【详解】如图所示，
设矩形的长与宽分别为 ， ．
则 ，即 ．
，当且仅当 时取等号．
解得 ．
旋转形成的圆柱的侧面积 ．
绵阳中学高2018级高一下期第三学月考试数学试题
一、选择题：本大题共12小题，每题4分，共48分．
1.若 且 ，则下wenku.baidu.com不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用作差法对每一个选项逐一判断分析.
【详解】选项A, 所以a≥b,所以该选项错误；
选项B, ，符合不能确定，所以该选项错误；
A. 直角三角形B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形D. 等边三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
由 得OA和BC垂直，由 得到OA是∠BAC的角平分线，综合即可判断△ABC的形状.
【详解】 ,
所以 .
AO在∠BAC的角平分线上，
所以AO既在BC边的高上，也是∠BAC的平分线，
所以△ABC是等腰三角形.
19.设数列 的前 项和为 且 .
（1）求 的通项公式；
（2）令 ，若 的前 项和为 ，且 恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用项和公式求 的通项公式；（2）先化简得 ,再利用裂项相消求解.
【详解】（1）令 ，则 ，
当 时， ，①
，②
① ②得： ，
∴ ，即 ，
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．
13.若数列 的前 项和为 ，则通项公式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用 求解，但要注意验证n=1时 是否成立.
【详解】当n=1时， ；
又
，
【点睛】本题考查利用数列前n项和求数列通项公式，属于基础题目，解题中需要注意利用公式 求解出的通项公式需要验证n=1时，是否满足题目条件.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用空间直线和平面的位置关系对每一个命题逐一判断得解.
【详解】①若 ，则 平行于经过 的任何平面,是错误的，因为a,b有可能在一个平面内；
②若直线 平面 ，则 与 内任一直线平行，是错误的，因为 与 内任一直线平行或异面；
③若 ， ，则 ，是错误的，因为a和b可能平行，相交或异面；
17.在三棱柱 中， 、 、 、 分别 、 、 、 的中点，求证：
（1） 、 、 、 四点共面；
（2）平面 ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
试题分析：（1）要证明四点共面，只需证 ，根据中位线，有 ，所以四点共面；（2）利用中位线，易证 ，所以平面 平面 ．
试题解析：
（1）∵ 分别为 中点，∴ ，
的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．
【详解】满足约束条件 的平面区域如下图所示：
作直线
把直线向上平移可得过点 时 最小
当 ， 时， 取最大值7，
故答案为7．
【点睛】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最
优解点的坐标是解答本题的关键．
6.圆台上底半径为2，下底半径为6，母线长为5，则圆台的体积为（ ）
【分析】
(1)利用正弦定理和余弦定理化简即得解；（2）先求出A最大时， ，再求出b,c和sinA，再求 的面积．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2） 时， ，
∵ 且 ，
∴ ，
∴当角 最大时， ，
此时 ，
，
∴ .
【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
【点睛】本题考查的知识点是旋转体及其体积的计算，圆台的几何特征，其中画出轴截面，将空间问题转化为平面问题是解答的关键．
7.已知 是正项等比数列且 ， 与 的等差中项为18，则 （ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】
由题得到关于 的方程组，解方程组即得 的值，再求 得解.
【详解】由题得 .
A. 25B. 40C. 50D. 45
【答案】D
【解析】
【分析】
利用已知条件，结合余弦定理，转化求解数列的和，然后求解 的最大值．
【详解】等差数列 的公差为 ， 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为 ，
可得： ，
得 ，所以 （舍 或 ，
．
所以n=9或n=10时，
故 的最大值为 ．
故选： ．
【点睛】本题主要考查等差数列的性质和等差数列的前n项和及其最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
故选：C
【点睛】本题主要考查等比数列的性质和等比中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4.下列4个命题中，两直线 ，平面 ：①若 ，则 平行于经过 的任何平面；②若直线 平面 ，则 与 内任一直线平行；③若 ， ，则 ；④ ， ， ，则 ．正确命题个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【详解】由题得几何体原图是如图所示的直三棱柱ABC-EFG，
D,H分别是AB,EF中点，O点时球心，
所以OH= , ,
所以 ,
所以几何体外接球的体积为 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查三视图还原几何体，考查几何体外接球的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
三、解答题：本大题共4个小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
∵三棱柱 中， ，
∴ ，
∴ 四点共面．…………………………5分
（1）∵ 分别为 中点，
∴ ，
∴ ，
又∵ 分别为三棱柱侧面平行四边形 对边 中点，
∴四边形 为平行四边形， ，
∴平面 中有两条直线 分别与平面 中的两条直线 ， 平行，
∴平面 ．………………………………12分
考点：证明四点共面及面面平行．
【分析】
令房屋地面的正面长为 ，侧面宽为 ，总造价为 元，求出z的表达式，再利用基本不等式求最低造价.
【详解】令房屋地面的正面长为 ，侧面宽为 ，总造价为 元，
则 ，
，
∵ ，
∴ ，
当且仅当 即 时取等号，
答：房屋正面长 6 ，侧面宽为5 时，总造价最低为59800元.
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
作出圆台的轴截面，由圆台的上、下底面半径分别为2，6，构造直角三角形，结合母线长
为5，由勾股定理求出圆台的高．再求圆台的体积.
【详解】作出圆台的轴截面如图所示：
上底面半径 ，下底面半径 ，过 做 垂直 ，
则
由
故
即圆台的高为3,
所以圆台的体积为
故选： ．
∴数列 为 ，公比为4的等比数列，
∴
（2） ，
∴
，
∵ 且 恒成立，
∴
【点睛】本题主要考查项和公式求通项，考查裂项相消求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20. 中， 分别是角 所对的边且 .
（1）求 的值；
（2）若 ，当角 最大时，求 的面积．
【答案】（1）4；（2） .
【解析】
所以 .
故选：C
【点睛】本题主要考查等比数列的性质和等差中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8.已知 ， 与 夹角为 ，则 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出 ，再代向量的夹角公式求解即可.
【详解】由题得 ，
所以 与 的夹角为 ，
所以两向量的夹角为 .
【详解】由题得
所以
所以 ,
因为
所以 .
由余弦定理得 ,
所以 ，
当且仅当b=c=2时取等.
所以 .
故选：C
【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
12.己知等差数列 的公差为-1，前 项和为 ，若 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为 ，则 的最大值为（ ）
④ ， ， ，则 ．是正确的；
故选：B
【点睛】本题主要考查空间直线和平面的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
5.已知变量 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
先画出满足约束条件 的平面区域，然后求出目标函数 取最大值时对应
故选：C
【点睛】本题主要考查向量的夹角的求法，考查平面向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
9.关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由已知 ，不等式 为 ，所以 或 ，故选C．
10.点 为 所在平面内一点， 则 的形状为（ ）
旋转形成的圆柱的侧面积的最大值为 ．
故答案为： ．
点睛】本题考查了基本不等式求最值、圆柱的侧面积计算公式，属于基础题．
16.有三条棱互相平行的五面体，其三视图如图所示，则该五面体外接球的体积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先作出三视图对应的原几何体，再求几何体外接球的半径，再求几何体外接球的体积.