中考数学压轴题汇编

中考压轴题精选及解析

1、（2006 广东省实验区）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是等腰梯形，

BC OA ∥，7460OA AB COA ===，，∠，点P 为x 轴上的一个动点，点P 不与点O 、

点A 重合．连结CP ，过点P 作PD 交AB 于点D ． （1）求点B 的坐标；

（2）当点P 运动什么位置时，OCP △为等腰三角形，求这时点P 的坐标； （3）当点P 运动什么位置时，使得CPD OAB =∠∠，且5

8

BD AB =，求这时点P 的坐标．

1、解：（1）过B 点作BE OA ⊥，垂足是点E ， 四边形OABC 是等腰梯形，

60OC AB BAO COA ∴===，∠∠， 在Rt BAE △中，

sin 60cos604BE AE AB AB AB

===，，，

1

44222

BE AE =⨯

==⨯=． 725OE OA AE =-=-=

，B ∴点的坐标(5，， （2）60COA =∠ ，OCP △为等腰三角形， OCP ∴△为等边三角形．

4OC OP PC ∴===， P 点是在x 轴上，

P ∴点的坐标(40)，或(40)-，。 （3）58BD AB =，且3

42

AD BD AB AB AD +==∴=，，．

60CPD OAB COA ===∠∠∠

，

x

12018060120OCP CPO CPO APD +=+=-=，∠∠∠∠， OCP DPA =∠∠． OCP APD ∴△∽△ OP OC AD AP ∴

=

，设7OP x AP x ==-，，即4

372

x x =-． 2

127601

6x x x x -+===，， 这时P 点的坐标(10)(60)，，，．

2、（2006江苏省宿迁市）设边长为2a 的正方形的中心A 在直线l 上，它的一组对边垂

直于直线l ，半径为r 的⊙O 的圆心O 在直线l 上运动．．

，点A 、O 间距离为d ． （1）如图①，当r ＜a 时，根据d 与a 、r 之间关系，将⊙O 与正方形的公共点个数填

所以，当r ＜a 时，⊙O 与正方形的公共点的个数可能有

个；

（2）如图②，当r ＝a 时，根据d 与a 、r 之间关系，将⊙O 与正方形的公共点个数填入下

所以，当r ＝a 时，⊙O 与正方形的公共点个数可能有

个；

（3）如图③，当⊙O 与正方形有5个公共点时，试说明r ＝5

4

a ；

（4）就r ＞a 的情形，请你仿照“当……时，⊙O 与正方形的公共点个数可能有

个”的形式，至少给出一个关于“⊙O 与正方形的公共点个数”的正确结论．

l

（题图①）

l

（题图②）

（题图③）

解： （1）

所以，当r ＜a 时，⊙O 与正方形的公共点的个数可能有0、1、2个； （2）

所以，当r ＝a 时，⊙O 与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4个； （3）如图所示，连结OC ．

则OE ＝OC ＝r ，OF ＝EF －OE ＝2a －r ．

在Rt △OCF 中，由勾股定理得：

OF 2＋FC 2＝OC 2

即（2a －r ）2＋a 2＝r 2

4a 2－4ar ＋r 2＋a 2＝r 2

5a 2＝4ar

5a ＝4r ∴r ＝

5

4

a ．

3、（2006 长沙市）如图1，已知直线12y x =-

与抛物线21

64

y x =-+交于A B ，两点．

（1）求A

B ，两点的坐标； （2）求线段AB 的垂直平分线的解析式；

（3）如图2，取与线段AB 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A

B ，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 将与A

B ，构成无数个三角形，l

l l

图②

这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

3、解：依题意得2164

12

y x y x

⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解之得12

126432x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ (63)(42)A B ∴--，，， ········································································· 3分 （2）作AB 的垂直平分线交x 轴，y 轴于C D ，两点，交AB 于M （如图1） 由（1

）可知：OA OB ==

AB ∴=

122

OM AB OB ∴=

-= 过B 作BE x ⊥轴，E 为垂足

由BEO OCM △∽△，得：5

4

OC OM OC OB OE =∴=，，

同理：5

55002

42OD C D ⎛⎫⎛⎫=∴- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，

，，， 设CD 的解析式为(0)y kx b k =+≠

5204

5522

k k b b b ⎧==+⎧⎪⎪⎪∴∴⎨⎨=-⎪⎪-=⎩⎪⎩

AB ∴的垂直平分线的解析式为：5

22

y x =-

．

图2 图1

图1

第3题