2018高考理科数学压轴题详解
2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析
2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析已知函数2()x f x e ax =-.（1） 若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥. （2） 若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a . 题目分析：本题主要通过函数的性质证明不等式以及判断函数零点的问题考察学生对于函数单调性以及零点存在定理性的应用，综合考察学生化归与分类讨论的数学思想，题目设置相对较易，利于选拔不同能力层次的学生。
第1小问，通过对函数以及其导函数的单调性以及值域判断即可求解。
官方标准答案中通过()()x g x e f x -=的变形化成2()x ax bx c e C -+++的形式，这种形式的函数求导之后仍为2()x ax bx c e -++这种形式的函数，指数函数的系数为代数函数，非常容易求解零点，并且这种变形并不影响函数零点的变化。
这种变形思想值得引起注意，对以后导数命题有着很大的指引作用。
但是，这种变形对大多数高考考生而言很难想到。
因此，以下求解针对函数()f x 本身以及其导函数的单调性和零点问题进行讨论，始终贯穿最基本的导函数正负号与原函数单调性的关系以及零点存在性定理这些高中阶段的知识点，力求完整的解答该类题目。
题目解答：（1）若1a =，2()x f x e x =-，()2x f x e x '=-，()2x f x e ''=-.当[0,ln 2)x ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增； 所以()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->，从而()f x 在[0,)+∞单调递增；所以()(0)1f x f ≥=，得证. （2）当0a ≤时，()0f x >恒成立，无零点，不合题意.当0a >时，()2x f x e ax '=-，()2x f x e a ''=-.当[0,ln 2)x a ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增；所以()(ln 2)2(1ln 2)f x f a a a ''≥=-.当02ea <≤时，()0f x '≥，从而()f x 在[0,)+∞单调递增，()(0)1f x f ≥=，在(0,)+∞无零点，不合题意.当2ea >时，易证2ln 2a a >. (0)10f '=>，(ln 2)0f a '<，由（1）可知，22(2)=(2)10a f a e a '->>.由零点存在性定理可知必然存在一点1(0,ln 2)x a ∈使得1()0f x '=，2(ln 22)x a a ∈，使得2()0f x '=；所以当1(0,)x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，12(,)x x x ∈，()0f x '<，()f x 单调递减，2(,)x x ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增，即当2x x =时()f x 取得极小值2222()x f x e ax =-由2()0f x '=得222x e a x = 从而222222()(2)2x x e f x e ax x =-=-当22x =时，即24e a =时，极小值2()0f x =恰好成立，此时在()f x 在(0,)+∞只有一个零点2x =，满足题意.当224e e a <<时，即212x <<时（易证2xe x在(1,)+∞单调递增），极小值2()0f x >，此时在(0,)+∞无零点，不合题意.x当24e a >时，即22x >时，(0)10f =>，2()0f x <， 32(3)(3)0a f a e a a =-> （易证313x e x >恒成立），由零点存在性定理可知()f x 在区间2(0,)x 和2(,3)x a 各有一根，不合题意.综上所述，24e a =.。
2018年重庆市高考压轴卷理科数学试题及答案 精品
2018年重庆市高考压轴卷数学（理）试题注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
本试卷分第I 卷和第II 卷两部分．考试时间120分钟，满分150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 棱柱体体积公式P (A +B )=P (A )+P (B ) V Sh =如果事件A 、B 相互独立，那么 其中S 表示棱锥底面积，h 表示棱锥的高P (A ·B )=P (A )·P (B ) 棱台的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ， 13V Sh =那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 棱台的体积公式kn k k nn P P C k P --=)1()( 121()3V Sh S S =+ 球的表面积公式 其中12,S S 分别表示棱台的上、下底面积，24R S π= h 表示梭台的高球的体积公式 334R V π=球 其中R 表示球的半径第I 卷一、 选择题：本大题共10小题, 每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合{||2}A x R x =∈≤},{4}B x Z =∈≤,则A B ⋂=(A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2}(2)已知复数z =，z 是z 的共轭复数，则z z ∙= A.14 B.12C.1D.2 (3) 若a 是12b +与12b -的等比中项，则22aba b+的最大值为（ ）Ａ．15Ｂ．4Ｃ．5Ｄ．2（4）已知命题1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数，2p ：函数22x x y -=+在R 为减函数，则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()12p p ⌝∨和4q ：()12p p ∧⌝中， 真命题是（A ）1q ，3q （B ）2q ，3q （C ）1q ，4q （D ）2q ，4q（5A.都在函数1y x =+的图象上B.都在函数2y x =的图象上C.都在函数2x y =的图象上D.都在函数12x y -=的图象上（6）设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥则{|(2)0}x f x ->=(A) {|24}x x x <->或 (B) {|04}x x x <>或 (C) {|06}x x x <>或 (D) {|22}x x x <->或（7）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(A) 2a π (B)273a π (C)2113a π (D) 25a π （8）如题（8）图，在四边形ABCD 中，4AB BD DC ++=，4AB BD BD DC +=，0AB BD BD DC ==，DCAB题（8）图则()AB DC AC +的值为（ ）Ａ．2Ｂ．Ｃ．4 Ｄ．（9）设正数a b ，满足22lim()4x x ax b →+-=，则111lim 2n n n n n a ab a b+--→∞+=+（ ） Ａ．0 Ｂ．14Ｃ．12Ｄ．1(10)函数11y x=-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8第II 卷二、 填空题: 本大题共5小题, 每小题5分, 共25分．(11) 若函数()f x =R ，则α的取值范围为______（12）若变量,x y 满足约束条件329,69,x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则2z x y =+的最小值为 。
2018年高考理科数学全国卷三导数压轴题解析
2018年高考理科数学全国卷三导数压轴题解析已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++-（1） 若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >；（2） 若0x =是()f x 的极大值点，求a .考点分析综合历年试题来看，全国卷理科数学题目中，全国卷三的题目相对容易。
但在2018年全国卷三的考察中，很多考生反应其中的导数压轴题并不是非常容易上手。
第1小问，主要通过函数的单调性证明不等式，第2小问以函数极值点的判断为切入点，综合考察复杂含参变量函数的单调性以及零点问题，对思维能力（化归思想与分类讨论）的要求较高。
具体而言，第1问，给定参数a 的值，证明函数值与0这一特殊值的大小关系，结合函数以及其导函数的单调性，比较容易证明，这也是大多数考生拿到题目的第一思维方式，比较常规。
如果能结合给定函数中20x +>这一隐藏特点，把ln(1)x +前面的系数化为1，判断ln(1)x +与2/(2)x x +之间的大小关系，仅通过一次求导即可把超越函数化为求解零点比较容易的代数函数，解法更加容易，思维比较巧妙。
总体来讲，题目设置比较灵活，不同能力层次的学生皆可上手。
理解什么是函数的极值点是解决第2问的关键。
极值点与导数为0点之间有什么关系：对于任意函数，在极值点，导函数一定等于0么（存在不存在）？导函数等于0的点一定是函数的极值点么？因此，任何不结合函数的单调性而去空谈函数极值点的行为都是莽撞与武断的。
在本题目中，0x =是()f x 的极大值点的充要条件是存在10δ<和20δ>使得对于任意1(,0)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递增)，对于任意2(0,)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递减)，因此解答本题的关键是讨论函数()f x 在0x =附近的单调性或者判断()f x 与(0)f 的大小关系。
2018高考理科数学选填压轴题专练32题(含详细答案)
.选择题（共26小题）x-y-2^01 .设实数x , y 满足 \ i+2y-5>0,则 z 二 :丄+二的取值范围是（）y x 17 2 2.已知三棱锥P -ABC 中，PA 丄平面ABC ,且■ Y 3A . [4, TB . [^ ,—]C . [4,,AC=2AB , PA=1, BC=3, 则该三棱锥的外接球的体积等于（ 1371^ 兀B. ““C.D .626 2)A . 3.三棱锥P -ABC 中，PA 丄平面ABC 且PA=2, △ ABC 是边长为.「；的等边三角形, 则该三棱锥外接球的表面积为（B . 4 nC . 8 nD . 20 n6.抛物线y 2=4x 的焦点为F , M 为抛物线上的动点，又已知点N （- 1,0）,则 -卩IF 丨 的取值范围是（ ）A . [1, 2 ::]B . [.；] C .[二 2] D . [1,::]7 .《张丘建算经》卷上第22题为 今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日 织九匹三丈.”其意思为：现有一善于织布的女子，从第 2天开始，每天比前一天多 织相同量的布，第1天织了 5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该 女子一月中的第n 天所织布的尺数为a n ,贝U a 14+a 15+a 16+a 17的值为（）A . 55B . 52C . 39D . 268.已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足：当x >0时，f （x ） =x 3+x 2，若不等式f （-4t ）> f （2m+mt 2）对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是（）A . H ■冋B .（畑 Q ）、一 订 4.已知函数f （x+1 ）是偶函数，且 （x+3） f （x+4）V 0 的解集为（ x > 1 时，f' (x )V 0 恒成立，又 f (4) =0,则 .「：■ - ， ■- D . - '"'. . ■ ■ I '- 19.将函数f （妁二si 口（2时晋~）的图象向左平移G 〔0V © ）个单位得到y=g （x ）A . (-X,- 2)U( 4, +x)B .,-6) U (4,装 )(-6,- 3)U( 0, 4) C .+x) D . (- 6,- 3)U( 0, +x的图象，若对满足 | f (X 1)— g (X 2)| =2 的 X 1、X 2, | x 1 - X 2|min27T,则©的值是（）10 .7T12在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆C : 2- =1 (a > b > 0)的下顶点,N 在椭圆上，若四边形 OPMN 为平行四边形,M , 〒，TA . (0,]，则椭圆C 的离心率的取值范围为（B . (0,!_3a 为直线ON 的倾斜角，若a€)]D .]11•如图为中国传统智力玩具鲁班锁，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这 种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，外观看是严丝合缝的十字 立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全相同的正四棱柱分成三组，经 90榫卯起来•现有一鲁班锁的正四棱柱的底面正方形边长为1,欲将其放入球形容器内（容器壁的厚度忽略不计），若球形容器表面积的最小值为30n 则正四棱柱体的 高为（）A .「B . -C . | F 寸D . 512•若函数f （x ） =2sin （一 “一）（- 2v x V 10）的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线I 与函数的图象交于B 、 、订A . - 32B . - 16C . 1613.已知抛物线方程为y 2=4x ，直线I 的方程为x - y+2=0,在抛物线上有一动点 P 到y 轴的距离为d 1，P 到I 的距离为d 2,则d 1+d 2的最小值为（ ）A .2 B .竽- 1C . 2V^D . 2近+2装14.已知抛物线方程为y 2=8x ，直线I 的方程为x - y+2=0,在抛物线上有一动点 P到y 轴距离为d 1，P 到I 的距离为d 2,则d 什d 2的最小值为（ ） A . 2 :■- 2 B . 2 X. 2底-2 D . 2 :'+215. 如图，扇形 AOB 中，OA=1，/ AOB=90 , M 是OB 中点，P 是弧AB 上的动 点，N 是线段OA 上的动点，贝' id 的最小值为（）A . 0B . 1C .色D . 1 -医2 216. 若函数 f (x ) =Iog 0.2 (5+4x -x 2)在区间(a - 1, a+1)上递减，且 b=lg0.2, c=20.2, 则( )A . c v b v a B. b v c v a C . a v b v c D . b v a v c17. 双曲线兰;-耳=1 (a >0, b >0)的左右焦点分别为F 1, F 2渐近线分别为l 1, I 2,a 2b 2 位于第一象限的点P 在I 1上，若12丄PF 1, 12// PF 2,则双曲线的离心率是( )A .口B . *；C . 2D .二18. 已知定义在R 上的可导函数y=f (x )的导函数为f'( x ),满足f'( x ) v f (x ), 且y=f (x+1)为偶函数，f (2) =1，则不等式f (x ) v e x 的解集为( )A . (-X, e 4)B . (e 4, +^)C . (-^, 0)D . (0, +^)19. 已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ( x ),满足f ( x )v x ，且f (2) =1，则不等式f (x )<二x 2- 1的解集为( ) A . (- 2, +x)B . (0, +x)C . (1, +x)D . (2, +x)C 两点，贝9( 1+ ■'') ?(D . 32% 卄20. 对任意实数a , b ,定义运算 爼”：5严，设f (x ) = (x 2- 1)®(4+x ),若函数y=f (x ) - k 有三个不同零点，则实数k 的取值范围是()A . (- 1, 2]B . [0, 1]C . [ - 1, 3)D . [ - 1,1)21. 定义在R 上的函数f (x )满足：f (x ) +f (x )> 1, f (0) =4,则不等式e x f (x )> e x +3 (其中e 为自然对数的底数)的解集为()A . (0, +x)B . (-x, 0)U( 3, +x)C . (-x, 0)U( 0, +x)D . (3, +x)线22.定义在区间［a , b ］上的连续函数 y=f (x ),如果？& ［a , b ］，使得f (b )- f (a ) =f ( $ (b - a ),则称E为区间［a , b ］上的中值点”.下列函数：①f (x ) =3x+2； ②f (x ) =x 2;③f (x ) =ln (x+1);④fG)二0丄户中，在区间［0, 1］上中值点” 多于1个的函数是( ) A .①④ B .①③ C .②④ D .②③订23.已知函数f (x ) (x € R )满足f (1) =1,且f (x )的导数f ' (x )>寺，则不等L 2 1 式f ( x 2)v 专+土的解集为( )A . (-x1) B . (1, +x) C . (-x,1] U [1, +x)D . (- 1, 1)24.已知函数 f (x ) =2sin (©) +1 ( w >0, |<—),其图象与直线 y= - 1 相邻两个交点的距离为 n 若f (x )> 1对？ x €(-—，丄)恒成立，贝U ©的取值丄£」范围是()TTl HTTC .n r L 12 '门B .2]43 ]A . -n n J[6， 3]D . 25.在R 上定义运算®: x?y=x (1 - y )若对任意x >2,不等式(x - a ) ?x < a+2 都成立，则实数a 的取值范围是()A . [ - 1, 7]B . (-x, 3]C . (-x, 7]D . (-x,- 1] U [7, +x26.设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意的x € R ,都有f (x+4) =f (x ),且 当 x € ［ - 2, 0］时，迪二2-垮)(x+2) =0 (0V a v 1)恰有三个不同的实数根，则 a 的取值范围是( ),若在区间(-2, 6］内关于x 的方程f (x ) - log aC .近)D.A . ： \ —27.已知函数f (x ) =xe x - ae 2x (a € R )恰有两个极值点x 〔, X 2 (X 1<X 2),则实数a 的取值范围为28.函数y=f (x )图象上不同两点 A (x 1, y 1), B (X 2, y 2)处的切线的斜率分别I k 止—R |是k A , k B ,规定肛A , B )= 订叫曲线y=f (x )在点A 与点B 之间的 弯曲度”,(1) (2) (3) 给出以下命题： 函数y=x 3 - x 2+1图象上两点A 、B 的横坐标分别为1, 2,则©( A , B )> :;; 存在这样的函数，图象上任意两点之间的弯曲度”为常数；设点A 、B 是抛物线，y=x 2+1上不同的两点，贝U ©(A , B )< 2;设曲线 y=e x 上不同两点 A (X 1, y 1) , B (x 2, y 2),且 x 1 - x 2=1，若 t? ( A , B )1)；(4)V 1恒成立，则实数t 的取值范围是(-x,以上正确命题的序号为(写出所有正确的)29 .已知数列｛a n ｝是各项均不为零的等差数列,S n 为其前n 项和，且 对任意n € N *恒成立，则实数入的最大值2^-130. 已知点A (0, 1),直线I: y=kx - m 与圆O: x2+y2=1 交于B , C 两点，△ ABC和厶OBC的面积分别为S i, S2,若/ BAC=60 ,且S i=2S2,则实数k的值为__________ .31. 定义在区间［a, b］上的连续函数y=f (x),如果？& ［a, b］，使得f (b)- f(a) =f'(E) (b- a),则称E为区间［a, b］上的中值点”下列函数：①f (x) =3x+2;②f (x) =x2- x+1;③f (x) =ln (x+1);④f (x ) = (x -丄)3,2线在区间［0,1］上中值点”多于一个的函数序号为_______ .(写出所有满足条件的函数的序号)32. 已知函数f (x) =x3- 3x, x € ［- 2, 2］和函数g (x) =ax- 1, x € ［- 2, 2］,若对于？ X1€ ［- 2, 2］，总？ X0€ ［- 2, 2］，使得g (x。
2018浙江省高考压轴卷数学含答案解析
2018浙江省高考压轴卷数 学本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。
2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式：球的表面积公式 锥体的体积公式24S R =π13V Sh =球的体积公式 其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高 343V R =π台体的体积公式其中R 表示球的半径 1()3a ab b V h S S S S =+⋅柱体的体积公式其中S a ，S b 分别表示台体的上、下底面积V =Sh h 表示台体的高其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高1.若集合P={y|y ≥0}，P ∩Q=Q ，则集合Q 不可能是（ ） A ．{y|y=x 2，x ∈R}B ．{y|y=2x ，x ∈R}C ．{y|y=lgx ，x ＞0}D ．∅2.抛物线y=﹣2x 2的准线方程是（ ）A ．B ．C ．D ．3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．4.若存在实数x ，y 使不等式组与不等式x ﹣2y+m ≤0都成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ≥0B ．m ≤3C ．m ≥lD ．m ≥3 5.不等式2x 2﹣x ﹣1＞0的解集是（ ）A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-1x 21|xB ．{x|x ＞1}C ．{x|x ＜1或x ＞2}D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<1x 21x |x 或6.在等比数列{a n }中，a 1=2，前n 项和为S n ，若数列{a n +1}也是等比数列，则S n 等于（ ） A ．2n+1﹣2B ．3nC ．2nD ．3n﹣17.定义在R 上的奇函数f （x ）满足在（﹣∞，0）上为增函数且f （﹣1）=0，则不等式x •f （x ）＞0的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B ．（﹣1，0）∪（0，1）C ．（﹣1，0）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）8.随机变量X 的分布列如下表，且E （X ）=2，则D （2X ﹣3）=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59.已知平面α∩平面β=直线l ，点A ，C ∈α，点B ，D ∈β，且A ，B ，C ，D ∉l ，点M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点．（ ）A ．当|CD|=2|AB|时，M ，N 不可能重合B ．M ，N 可能重合，但此时直线AC 与l 不可能相交 C ．当直线AB ，CD 相交，且AC ∥l 时，BD 可与l 相交 D ．当直线AB ，CD 异面时，MN 可能与l 平行10.设k ∈R ，对任意的向量，和实数x ∈，如果满足，则有成立，那么实数λ的最小值为（ ）A ．1B ．kC ．D ．非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
2018届福建省高三高考压轴卷理科数学试题及答案
2018年福建省高考压轴卷理科数学参照公式：样本数据x1，x2，，xn的标准差锥体体积公式s=1(x1x)2(x2x)2⋯(x n x)2V=1Shn3此中x为样本均匀数此中S为底面面积，h为高柱体体积公式球的表面积、体积公式V=Sh S4R2，V4R33此中S为底面面积，h为高此中R为球的半径一、选择题（本大题共18小题，每题5分，共50分）1、已知全集U R, 会合A 1,2,3,4,5 ,B {x R|x 2}，以下图中暗影部分所表示的会合为A.{1}B.C.{1,2}D.2、以下命题正确的选项是{0,1}{0,1,2}AA．存在x0∈R，使得e x00的否认是：不存在x0∈R，使得e x00；B．存在x0∈R，使得x0210的否认是：随意∈，均有x0210RC．若x=3，则x2-2x-3=0的否命题是：若x≠3，则x2-2x-3≠0. D．若pq为假命题，则命题p与q必一真一假3、已知平面,和直线m，给出条件：①m//；②m；③m；④；⑤//．为使m，应选择下边四个选项中的（）A．③⑤B．①⑤C．①④D．②⑤4、直线y=5与y1在区间0,4上截曲线ymsin xn(m,n0)所得的弦长相2等且不为零，则以下描绘正确的选项是（）（A）m3,n=5（B）m3,n22（C）m3,n=5（D）m3,n225、如图5，在△ABC中，AB=3，AC=5，若O为△ABC的外心，则AOBC的值是(（）A．43B．8C．62D．66、履行下边的框图，若输入的N是6，则输出p的值是（）K=K+1是开始输入NK=1,P=1P=P*KK<N?否结束输出PA．180B．720C．1840D．51807、如图，设圆弧x2y21(x0,y0)与两坐标轴正半轴围成的扇形地区为M，过圆弧上一点A做该圆的切线与两坐标轴正半轴围成的yB三角形地区为N.现随机在地区N内投一点B，若设点落在1地区M内的概率为P，则P的最大值为（）ＡA．1B．C．1O 1482D．48、为检查某校学生喜爱数学课的人数比率，采纳以下检查方法：（1）在该校中随机抽取180名学生，并编号为1,2,3，,180；2）在箱内搁置两个白球和三个红球，让抽取的180名学生疏别从箱中随机摸出一球，记着其颜色并放回；3）请以下两类学生举手：（ⅰ）摸到白球且号数为偶数的学生；（ⅱ）摸到红球且不喜爱数学课的学生.假如总合有26名学生举手，那么用概率与统计的知识预计，该校学生中喜爱数学课的人数比率大概是A.88%B.90%C.92%D.94%x2y29、已知F2、F1是双曲线a2-b2=1(a>0，b>0)的左右焦点F2对于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为A．3B．3C．2D．218、已知f(x)与g(x)都是定义在R上的函数，g(x)0,f/(x)g(x)f(x)g/(x)，且f (x)a x g(x)(a0，且4，在有穷数列f(n)(n1,2,10)中，随意取前k项相加，3g(n)则前k项和大于15的概率是（）16A .3B.4C.2 D.1 555二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分）18、设常数a R.若x25a的二项睁开式中x7项的系数为-18,则a_______.x18、已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如右图所示，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为5，则该几何体的体积是．18、小明在做一道数学题目时发现：若复数z1cos1isin1,z2cos2isin2,，z 3cos3isin3(此中1,2,3R),则z1z2cos(12)isin(1+2)，z 2z3cos(23)isin(2+3)，依据上边的结论，能够提出猜想:z·z·z=．2318、若函数flnex，则2014ke=_______________ xxk1201518、意大利有名数学家斐波那契在研究兔子生殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，18，此中从第三个数起，每一个数都等于他前而两个数的和．该数列是一个特别漂亮、和睦的数列，有好多巧妙的属性．比方：跟着数列项数的增添，前一项与后一项之比越迫近黄金切割．人们称该数列{an}为“斐波那契数列”．若把该数列{an}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序构成新数列{bn}，在数列{bn}中第2018项的值是___3_____三、解答题：共6小题80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18、(此题满分18分)以下图是展望到的某地5月1日至18日的空气质量指数趋向图，空气质量指数小于180表示空气质量优秀，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月18日中的某一天抵达该市，并逗留2天（Ⅰ）求这人抵达当天空气质量优秀的概率；（Ⅱ）设Ｘ是这人逗留时期空气质量优秀的天数，求Ｘ的散布列与数学希望（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）18、(本小题满分18分)已知函数f(x)2Acos2(x)A（xR,A0,||）,yf(x)的部分图像如图所62示,P、Q分别为该图像的最高点和最低点,点P的坐标为(1,A)．（Ⅰ）求f(x)的最小正周期及的值；（Ⅱ）若点R的坐标为(1,0),PRQ2,求A的值和PRQ的面积．318、(本小题满分18分)如图，在圆O:x2y24上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．设M为线段PD的中点．P （Ⅰ）当点P在圆O上运动时，求点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）若圆O在点P处的切线与x轴交于点N，试判断直线MN与轨迹E的地点关系．MN O D x19、（此题满分18分）以下图，在边长为12的正方形ADD1A1中，点B,C在线段AD上，且AB3，BC4，作BB1AA1，分别交A1D1，AD1于点B1，P，作CC1AA1，分别交A1D1，AD1于点C1，Q，将该正方形沿BB1，折叠，使得DD1与AA1重合，构成以下图的三棱柱ABCA1B1C1．CC1(1)求证：AB平面BCC1B1；A A1B P B AA 11C QC1BP B1D D1C QC1(2)若点E为四边形BCQP内一动点,且二面角E-AP-Q的余弦值为33小值.,求|BE|的最20、(本小题满分18分)设f(x)exa(x1)(e是自然对数的底数，e)，且f(0)．（Ⅰ）务实数a的值，并求函数f(x)的单一区间；（Ⅱ）设g(x)f(x)f(x)，对随意x1,x2R(x1x2)，恒有g(x2)g(x1)m成立．求x2x1实数m的取值范围；（Ⅲ）若正实数1,2知足121，x1,x2R(x1x2)，试证明：f(1 x12x2)1f(x1)2f(x2)；并进一步判断：当正实数1,2,,n知足12n1(nN,n2)，且x1,x2,,x n是互不相等的实数时，不等式f(1 x12x2nxn)1f(x1)2f(x2)nf(xn)能否仍旧成立．21．此题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分18分．假如多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用 2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换在直角坐标平面内，将每个点绕原点按逆时针方向旋转45的变换R所对应的矩阵为M,将每个点横、纵坐标分别变成本来的2倍的变换T所对应的矩阵为N．（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵M1；（Ⅱ）求曲线xy1先在变换R作用下，而后在变换T作用下获得的曲线方程．（2）（本小题满分7分)选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴成立极坐标系．已x1tcos 知曲线C的极坐标方程为4cos，直线l的参数方程为y 6 （t为参数）．3 tsin6（Ⅰ）分别求出曲线（Ⅱ）若点P在曲线数．C和直线C上，且l的直角坐标方程；P到直线l的距离为1，求知足这样条件的点P的个（3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲已知a b0，且ma1．b)b(a（Ⅰ）试利用基本不等式求m的最小值t；（Ⅱ）若实数x,y,z知足x24y2z2t，求证：x 2y z 3．2018福建省高考压轴卷理科数学参照答案一、选择题（本大题共18小题，每题5分，共50分）1、【答案】B分析：由图能够获得暗影部分表示的会合为CA(A B)，AB={2，3，4，5}，则CA(A B)={1}选A2、【答案】C分析：命题的否认和否命题的差别:对命题的否认不过否认命题的结论，而否命题，既否认假定，又否认结论。
2018天津市高考压轴卷理科数学含答案
2018天津卷高考压轴卷数学（理工类）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟。
考试结束后，上交答题卡。
参考公式：（1） （2） (3)34,3V R π=球,V S h =柱底1.3V S h =锥底 (4)若事件相互独立，则与同时发生的概率.,A B A B ()()()P A B P A P B ⋅=⋅第I 卷（选择题， 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合，则（ ）{}21|log ,2,|,12xA y y x xB y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>==<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭A B = A ． B ． C ． D ．()1,+∞10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）函数的图像大致为（ ）2ln xy x x=+A ．B ．C. D ．（3）设是等比数列，则下列结论中正确的是}{n a A. 若，则 B. 若，则4,151==a a 23-=a 031>+a a 042>+a aC. 若，则D. 若，则12a a >23a a >012>>a a 2312a a a >+（4）已知函数（其中）的一个对称中心的坐标为，一条对称轴方程为()()cos f x x ωϕ=+0ω≠π(0)12，．有以下3个结论：π3x =① 函数的周期可以为；()f xπ3② 函数可以为偶函数，也可以为奇函数；()f x ③ 若，则可取的最小正数为10．2π3ϕ=ω其中正确结论的个数为A. 0B. 1C. 2D. 3（5）如图，正方形的边长为2，为的中点，，且与相交于点，则ABCD E BC 2DF FC =u u u r u u u rAE BF G 的值为（ ）AG BF ⋅uu u r u u u rA ．B ．C ．D ．4747-3535-（6）设，若关于，的不等式组表示的可行域与圆存在公共点，0a >x y 20,20,20,ax y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩22(2)9x y -+=则的最大值的取值范围为（ ）2z x y =+A ．B ．C ．D ．[]8,10(6,)+∞(6,8][8,)+∞（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．163π112π173π356π（8）若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线2244100x y x y ++--=:0l ax by +=22的斜率的取值范围是（ ）l A ． B ．23,23⎡-+⎣23,32⎡⎤--⎣⎦C ．D ．23,23⎡--+⎣23,23⎡---⎣第Ⅱ卷（非选择题， 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B 对应的复数分别是，则.（10）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 ．（11）的展开式中，的系数是 .（用数字作答）()61)1(x x -+3x （12）已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则____；双曲线的渐近线方程是____．（13）已知函数，在上是单调递增函数,则的最小值是（ 322()()3f x ax bx cx d a b =+++<R 3223a b c b a ++-）(A) (B) (C) (D) 3456（14）已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于()y f x =R 0x ≥()5sin(),01421(1,14x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩的方程有且仅有6个不同的实数根，则实数的取值范围是x ()()25[](56)60()f x a f x a a R -++=∈a ．三、解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）（15）（本小题满分13分）如图，在中，，为边上的点，为上的点，且，，ABC ∆3B π∠=D BCE AD 8AE =10AC =．4CED π∠=（1）求的长； （2）若，求的值．CE 5CD =cos DAB ∠（16）（本小题满分13分）如图，在直三棱柱ABC—分别是的中点．1111=24,5,A B C BC AB CC AC M N ===中，，，111,A B B C (1)求证：平面；//MN 11ACC A (2)求平面MNC 与平面所成的锐二面角的余弦值．11A B B（17）（本小题满分14分）为了调查观众对电视剧《风筝》的喜爱程度，某电视台举办了一次现场调查活动.在参加此活动的甲、乙两地观众中，各随机抽取了8名观众对该电视剧评分做调查（满分100分），被抽取的观众的评分结果如图所示.（Ⅰ）计算：①甲地被抽取的观众评分的中位数；②乙地被抽取的观众评分的极差；（Ⅱ）用频率估计概率，若从乙地的所有观众中再随机抽取4人进行评分调查，记抽取的4人评分不低于90分的人数为，求的分布列与期望；X X （Ⅲ）从甲、乙两地分别抽取的8名观众中各抽取一人，在已知两人中至少一人评分不低于90分的条件下，求乙地被抽取的观众评分低于90分的概率.（18）（本小题满分13分）已知函数在上不具有单调性.x a x x x f ln )6()(+-=),2(+∞∈x （1）求实数的取值范围；a （2）若是的导函数，设，试证明：对任意两个不相等正数，不等)(x f ')(x f 226)()(x x f x g -+'=21x x 、式恒成立.||2738|)()(|2121x x x g x g ->-（19）（本小题满分14分） 已知圆和椭圆，是椭圆的左焦点．（Ⅰ）求椭圆的离心率和点的坐标；（Ⅱ）点在椭圆上，过作轴的垂线，交圆于点（不重合），是过点的圆的切线．圆的圆心为点，半径长为．试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论．（20）（本小题满分13分）对于项数为（）的有穷正整数数列,记（），即为m 1m >{}n a 12max{,,,}k k b a a a = 1,2,,k m = k b 中的最大值，称数列为数列的“创新数列”.比如的“创新数列”为.12,,k a a a {}n b {}n a 1,3,2,5,51,3,3,5,5（Ⅰ）若数列的“创新数列”为1,2,3,4,4，写出所有可能的数列；{}n a {}n b {}n a （Ⅱ）设数列为数列的“创新数列”，满足（），求证：（{}n b {}n a 12018k m k a b -++=1,2,,k m = k k a b =）；1,2,,k m = （Ⅲ）设数列为数列的“创新数列”，数列中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出{}n b {}n a {}n b 所有的数列.{}n a 数学（理工类）试卷答案及评分参考一、选择题：1.【答案】A 【解析】,所以，选A.2.【答案】C 【解析】令,因为,故排除选项A 、B,因为,故排除选项D;故选C3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】A【解析】以D为原点，DC，DA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则D(0，0)，A(0，2)，C(2，0)， B(2，2)∵E为BC的中点，∴，∴直线AE的方程为，直线BF的方程为,联立，得∴，∴故选A6.【答案】D7.【答案】A8.【答案】B二、填空题：9.【答案】10.【答案】7【解析】模拟程序的运行，可得S=1，i=1满足条件i≤2，执行循环体，S=3，i=2满足条件i≤2，执行循环体，S=3+4=7，i=3不满足条件i≤2，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．11.【答案】512.【答案】，13.【答案】A14.【答案】5(0,1){}4三、解答题：15．（本小题满分13分）【答案】（1）因为344AEC πππ∠=-=，在AEC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AE CE AE CE AEC =+-⋅∠，所以21606482CE CE =++，所以282960CE CE +-=，所以2CE =．（2）在CDE ∆中，由正弦定理得sin sin CE CD CDE CED =∠∠，所以25sin 42CDE ∠=，所以4sin 5CDE ∠=．因为点D 在边BC 上，所以3CDE B π∠>∠=，而435<，所以CDE ∠只能为钝角，所以3cos 5CDE ∠=-，所以cos cos(cos cos sin sin 333DAB CDE CDE CDE πππ∠=∠-=∠+∠3143433525-=-⨯+=16．（本小题满分13分）【答案】(1)证明：如图，连接,∵该三棱柱是直三棱柱，,则四边形为矩形，由矩形性质得过的中点M,在△中，由中位线性质得，又，,；(2) 解：，,如图，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系，,,,设平面的法向量为，则，令则，，（10分）又易知平面的一个法向量为，，即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.17．（本小题满分13分）【答案】（Ⅰ）由茎叶图可知，甲地被抽取的观众评分的中位数是83，乙地被抽取的观众评分的极差是977621-=（Ⅱ）记“从乙地抽取1人进行评分调查，其评分不低于90分”为事件M ，则21()84P M ==随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，，且1(4,)4X B 所以4411()()(1)44kkkP x k C -==-，0,1,2,3,4k =所以X 的分布列为∴1()414E x =⨯=（Ⅲ）由茎叶图可得，甲地被抽取的8名观众中有2名观众评分不低于90分，乙地被抽取的8名观众中有2名观众评分不低于90分，设事件A 为“从甲、乙两地分别抽取的8名观众中各抽取一人，两人中至少一人评分不低于90分”，事件B 为“从甲、乙两地分别抽取的8名观众中各抽取一人，乙地观众评分低于90分”，所以667()18816P A ⨯=-=⨯ 263()8816P AB ⨯==⨯根据条件概率公式，得3316(|)7716P B A ===.所以在已知两人中至少一人评分不低于90分的条件下，乙地被抽取的观众评分低于90分的概率为37.18．（本小题满分13分）【答案】（1）xa x x x a x x f +-=+-='6262)(2在上不具有单调性，在上有正也有负也有，即二次函数)(x f ),2(+∞∈x ∴),2(+∞∈x )(x f '0在上有零点a x x y +-=622),2(+∞∈x 是对称轴是，开口向上的抛物线，的实数的取值范围a x x y +-=622 23=x 026222<+⋅-⋅=∴a y a )4,(-∞（2）由（1），222)(x x a x x g -+=方法1：，)0(2262)()(22>-+=+-'=x xx a x x x f x g ，33323244244242)(,4xx x x x x x a x g a +-=+->+-='∴< 设44332)32(4128)(,442)(x x x x x h x x x h -=-='+-=在是减函数，在增函数，当时，取最小值)(x h )23,0(),23(+∞23=x )(x h 2738从而，函数是增函数，∴0)2738)((,2738)(>'-∴>'x x g x g x x g y 2738)(-=是两个不相等正数，不妨设，则21x x 、21x x <11222738)(2738)(x x g x x g ->-∴2738)()(,0),(2738)()(1212121212>--∴>-->-x x x g x g x x x x x g x g ，即2738|)()(|1212>--∴x x x g x g ||2738|)()(|1212x x x g x g ->-方法2：是曲线上任意两相异点，))(,())(,(2211x g x N x g x M 、)(x g y =4,2|,)(22||)()(|2121212221211212<>+-++=--a x x x x x x a x x x x x x x g x g 2132121321212221214)(42)(42)(22x x x x x x a x x x x a x x x x -+>-+>-++∴设，令，0,121>=t x x t )23(4)(,442)(23-='-+==t t t u t t t u k MN 由，得，由得，0)(>'t u 32>t 0)(<'t u 320<<t 在上是减函数，在上是增函数，)(t u ∴)32,0(),32(+∞在处取极小值，)(t u ∴32=t 2738)(,2738≥∴t u 所以，即∴2738|)()(|1212>--x x x g x g ||2738|)()(|1212x x x g x g ->-19．（本小题满分14分）【答案】（Ⅰ）由题意，椭圆的标准方程为． 所以 ，，从而． 因此 ，． 故椭圆的离心率 ． 椭圆的左焦点的坐标为．（Ⅱ）直线与圆相切．证明如下： 设，其中，则， 依题意可设，则． 直线的方程为 ， 整理为 ． 所以圆的圆心到直线的距离．因为 ． 所以，即 ，所以 直线与圆相切．20．（本小题满分14分）【答案】解：（Ⅰ）所有可能的数列为；；；{}n a 1,2,3,4,11,2,3,4,21,2,3,4,31,2,3,4,4（Ⅱ）由题意知数列中.{}n b 1k k b b +≥又，所以12018k m k a b -++=12018k m k a b +-+=111(2018)(2018)0k k m k m k m k m k a a b b b b +--+-+--=---=-≥所以，即（）1k k a a +≥k k a b =1,2,,k m =（Ⅲ）当时，由得，又2m =1212b b b b +=12(1)(1)1b b --=12,b b N *∈所以，不满足题意；122b b ==当时，由题意知数列中，又3m ={}n b 1n n b b +>123123b b b b b b ++=当时此时，而，所以等式成立；11b ≠33b >12333,b b b b ++<12336b b b b >11b =当时此时，而，所以等式成立；22b ≠33b >12333,b b b b ++<12333b b b b ≥22b =当，得，此时数列为.11b =22b =33b ={}n a 1,2,3当时，，而，所以不存在满足题意的数列.综上4m ≥12m m b b b mb +++< 12(1)!m m m b b b m b mb ≥-> {}n a 数列依次为.{}n a 1,2,3。
2018年浙江省高考压轴卷理科数学试题及答案 精品
2018年浙江省高考压轴卷数学理本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页.满分150分，考试时间120分钟.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上.参考公式：如果事件,A B 互斥，那么 棱柱的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件,A B 相互独立，那么 其中S表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13V Sh =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高()(1),(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-= 棱台的体积公式球的表面积公式)(312211S S S S h V ++=24S R π= 其中S 1、S 2分别表示棱台的上、下底面积，球的体积公式 h 表示棱台的高334R V π=其中R 表示球的半径第I 卷(选择题 共50分)一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的） 1.22,(,1)(),[1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩,则[(2)]f f -=( )A. 16B. 4C. 14D. 1162.""α≠︒30是1"sin "2α≠的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.数列{}n a 中,13a =,{}n b 是等差数列且*1()n n n b a a n N +=-∈,若3102,12b b =-=,则8a =A. 0B. 3C. 8D. 11 ( )4.已知cos()sin 6παα-+=,则7sin()6πα+的值是( )A. 5-B. 5C. 45-D. 455.已知三个平面,,αβγ,若,βγα⊥与γ相交但不垂直,,a b 分别为,αβ内的直线,则( )A. ,a a αγ∃⊂⊥B. ,//a a αγ∃⊂C. ,b b βγ∀⊂⊥D. ,//b b βγ∀⊂6.为求使不等式222212310000n ++++≤…成立的最大正整数n ,设计了如图的算法,则在输出框中应填写的语句为 ( )A. 输出i +1B. 输出iC. 输出i -1D. 输出i -27.某射击小组有甲、乙两名射手,甲的命中率为23,乙的命中率为12,在设计比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测,在一次检测中,若两人命中次数相等且都不少于一发,则称该射击小组为“先进和谐组”.则该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率为 ( ) A. 16B. 13C. 12D.712 8.若满足条件2020210x y x y kx y k -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--+≥⎩的点(,)P x y 构成三角形区域,则实数k的取值范围是( )A. (,1)-∞-B. (1,)+∞C. (0,1)D. (,1)(1,)-∞-⋃+∞9.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0)(,0)F c F c -、.若双曲线上存在点P (异于实轴的端点),使得1221sin sin c PF F a PF F ∠=∠,则该双曲线离心率的取值范围是( )A.B. (1,1C.D. (1,1 10.已知f(x)是定义在R 上的奇函数,满足33()()22f x f x -+=+,当3(0,)2x ∈时,f(x)=2ln(1)x x -+,则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数是( )A. 3B. 5C. 7D. 9非选择题部分（共100分）二、填空题（本大题共7小题, 每小题4分,共28分） 11.复数1212ii -+的模为____________ 12.右图是各条棱长均为2的正四面体的三视图,则侧视图中 三角形的面积为____________ 13.二项式10的展开式中,常数项为____________14.编号为1,2,3,4的四个球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,每个盒子放一个球.若记ξ为球的编号数与盒子编号数相同的盒子数,则E ξ=__________15.抛物线24y x =与直线l 相交于A 、B 两点,点P (4,2),若OA BP =(O 为坐标原点),则直线l 的方程为_____________________ 16.已知653()222f x x x x x =+++,则1)f =_________________ 17.不等式222(5)4a x y x xy +≤+对于任意非零实数x,y 均成立,则实数a 的最大值为______三、解答题（本大题共5小题,满分72分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤） 18.（本题满分14分）在锐角△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c .已知+=.b Cc B a Acos cos2cos（Ⅰ）求角A的大小. （Ⅱ）求sin sinB C+的取值范围.19.（本题满分14分）已知数列{},{}n n a b 满足：11222,,.11n n n n n a a a b a a ++===+- （Ⅰ）求n b . （Ⅱ）求使1|1|n a n-<成立的正整数n 的集合.20.（本题满分14分）如图,四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,PB 与底面所成的角为4π,底面ABCD 为直角梯形, 2ABC BAD π∠=∠=,AD =2PA =2BC =2.（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面PCD ；（Ⅱ）在线段PD 上是否存在点E ,使CE 与平面PBC 所成的角为6π?若存在,确定点E 的位置；若不存在,说明理由.21.（本题满分15分）设椭圆C ：2213x y +=,点A 、B 是椭圆C 上的两点.（Ⅰ）若||AB =求AOB ∆面积的最大值S ；（Ⅱ）设||AB L =,求当AOB ∆的面积取到第（Ⅰ）问中的最大值S 时弦长L 的取值范围.22.（本题满分15分）已知函数2(),()ln f x x ax g x x =-=.（Ⅰ）若()()f x g x ≥对于定义域内的x 恒成立,求实数a 的取值范围； （Ⅱ）设()()()h x f x g x =+有两个极值点12,x x ,且11(0,)2x ∈,求证： 123()()ln 24h x h x ->-. （Ⅲ）设1()()()2ax r x f x g +=+对于任意的(1,2)a ∈,总存在01[,1]2x ∈,使不等式20()(1)r x k a >-成立,求实数k 的取值范围.2018年浙江省高考压轴卷数学理参考答案 一、选择题1.A2.B3.B4.C5.B6.D7.B8.A9.D 10.D 二、填空题11.212. 13. 638- 14. 115. 9x+8y-26=0 16. 1 17. 45- 三、解答题18. （Ⅰ） （Ⅱ）cos cos 2cos sin cos sin cos 2sin cos sin()sin 2sin cos 1sin 0cos 23b C c B a AB C C B A A B C A A A A A A π+=∴+=+==≠∴=∴=(,63(,2y ∴∈19. （Ⅰ）111111122212(2)22111124,4(2)1n n n n nn n n n n a a a b b a a a a b b a +++-++++====----++==∴=-- （Ⅱ）111311,|1||1|612|4(2)1|61,4216,23521,4216,2342{|4,}n n n n n n n n n a a b n b nnn n n n n n n n n n n n N ----=-<->--->->>+≥+>>-≥≥∈由得即当为奇数时即得当为偶数时即得所以正整数的集合为20.,,AC AC CD PA ABCD PA CDCD PAC CD PCD PAC PCD⊥⊥∴⊥∴⊥⊂∴⊥（Ⅰ）连接则又平面平面平面平面平面0,0.(1,0,1)y x z n =-=∴=则2230,(1,12,||1(12)CE PBC CE PBC n n Dλλλ︒∴--++与平面所成角为与平面的法向量成位置为点21.2223321(13)(3)324(113d kk k k k ==++++=++当且仅当222222131131L d k k k m m ==+++-=+当且仅当236]k ∈22.22ln ()(),(0)ln ln 1(),'()(0,1),'()0,(1,),'()0()(1)1,(,1]xf xg x a x x xx x x x x x x x x x x x x a ϕϕϕϕϕϕ≥∴≤->+-=-=∈<∈+∞>∴≥=∴∈-∞（Ⅰ）设当时当时22212122212111222222222111222122222221()ln '()(0)11,(0,)(1,).21(1,2)22()()(ln )(ln )1(1ln )(1ln )lnln 2(1)4()i i x ax h x x ax x h x x xx x x x ax x i h x h x x ax x x ax x x x x x x x x x x x x x x μ-+=-+∴=>∴=∈∴∈+∞=+=∴-=-+--+=--+---+=-+=-->=（Ⅱ）且设222223121(21)ln 2(1),'()04233()(1)ln 2,()()ln 244x x x x x x x x h x h x μμμ---≥=≥∴>=-->-即220max 2222()212112'()2,112222211()[,).()(1)1ln ,22111ln (1),()1ln (1)(1,2)22(1) 1.()0(1,2),'()(211a ax x a a a a r x x a ax ax a a ar x r x r a a aa k a a a k a a aa a a ka aφφφφ---=+-==-≤-=++++∞∴==-+++∴-+>-=-+--∈=>∈=-++（Ⅲ）所以在上为增函数设由在恒成立2)1,0,'()()(1,2),()(1)0;1212,0,'()(1)()(1,2),()(1)0;1221113,0'()(1),11,()(1,min{2,1})1222()(1)0k ak a a a a a ka k a a a a a a k ka k a a a a k k ka φφφφφφφφφφφφ-==∴∈<=+<=-+∈<=+>=-+-≥-+<=若则，在递减此时不符合时，在递减此时不符合时,若则在区间上递减,此时不;11[,)14412k k k k>⎧⎪⇒≥+∞⎨-⎪⎩符合综合得即实数的取值范围为。
2018年高考数学试卷压轴题分析
2018年高考数学试卷压轴题分析
理数
理8.本题主要考查平面向量基本定理及坐标表示、平面向量的数量积以及直线与方程。
理14.本题主要考查函数与方程。
理20. 本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法。
考查函数与方程思想、化归思想。
考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力。
文数
文8.本题主要考查平面向量的线性运算。
文14.本题主要考查函数与方程。
文数20.本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法。
考查函数思想和分类讨论思想、考查综合分析问题和解决问题的能力。
2018年高考理科数学浙江卷导数压轴题解析
2018年高考理科数学浙江卷导数压轴题解析【题目分析】此题综合考察了函数的单调性、极值和零点的分析。
解决第（I ）问中12()()f x f x +取值范围问题的关键在于成立1x 与2x 之间的关系将双变量转化为单变量，寻觅该单变量的取值范围，构造函数并依照函数的单调性和概念域讨论其值域，难度不大。
第（II ）问重点考察函数零点的寻觅，“零点存在性定理”与“函数单调性”的结合是解决“唯一零点”这种问题的常规套路——“零点存在性定理”解决有无的问题，“函数单调性”解决可能有几个的问题。
题目中需要构造()ln h x x kx a =--如此一个含有双参变量的函数，参数a 可不能阻碍“函数单调性”，也确实是意味着函数()h x 的单调性比较益处置，难点在于“零点存在性定理”的运用，()h x 是不是存在大于0或小于0的点是由参数k 和a 一起操纵的，关于如此一个既含有根号又含有对数的函数而言，处置起来比较棘手。
固然考虑()h x 在0x +=及x =+∞处的极限很容易患出()h x 存在零点的结论，可是需要强调的是求极限严格来讲不属于高中时期内的知识点（尽管高中教材中有涉及），高考时得不得分存在专门大争议，因此高考数学官方标准答案中都会带入“特殊值”，通过不等式的放缩来证明函数值是不是存在大于(小于)0的点，此题中官方标准答案中给出(||)a k m e -+=和22(||1)1n a k =++如此两个极为复杂的“特殊值”，让人望而生叹直呼好难想到。
本解答进程另辟蹊径，给出了两个超级简单的范围来讲明()h x 的正负号问题——将()h x 分为kx 与ln x a --两部份，现在参数k 和a 分开(k 和a 二者之间没有关系，彼此独立)，一一讨论范围以后再归并，从而确信()h x 的正负号。
【题目解答】（I ）21111(()2416f x x '-=-=-+，0x >；令12()()f x f x m ''==12(0)x x ≠>，是关于t的一元二次方程212t t m-+-=的两个不相等的正数根，从而1211612256mx xm⎧⎪<<⎪⎪⇒⎪>⎩121212()()ln lnf x f x x x x x+==；令()lng t t=-，那么14()4g tt t'=-=，()g t在(016)，上单调递减，在(16,)+∞上单调递增，因此当12256x x>时，12()(256)88ln2g x x g>=-，即12()()88ln2f x f x+>-，得证.（II）直线y kx b=+与曲线()f x有唯一公共点等价于函数()lnh x x kx a=--有唯一零点；(a)零点的存在性证明：当21(0,)xk∈时0kx>，当(0,)ax e-∈时ln0x a-->，因此当21(0,min(,))ax ek-∈时，(ln0h x kx x a-->；当21(+)xk∈∞，时0kx<，当(+)ax e-∈∞，时ln0x a--<，因此当21(max(,),)ax ek-∈+∞时，(ln0h x kx x a--<；依照零点存在性定理可知函数()h x在区间2211(min(,),max(,))a ae ek k--至少存在一个零点，从而()h x在(0,)+∞至少存在一个零点.(b)零点的唯一性证明：2111()416h x k kx'-=--+-；若116k≥，则()0h x'≤恒成立，()h x单调递减，现在()h x在(0,)+∞最多只有一个零点；若116k<<，()=0h x'有两个不相等正根3x和4x（设34x x<）且易知1142<<<<，从而()h x在3(0,)x上单调递减，34(,)x x上单调递增，4(,)x+∞上单调递减。
2018全国卷Ⅰ高考压轴卷(理科数学)试卷答案及评分参考
2018全国卷Ⅰ高考压轴卷理科数学本试卷共23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则等于A． B． C． D．2.设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3.为得到的图象,只需把函数的图象上所有的点 ( )A、向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)B、向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)C、向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)D、向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)4.展开式中任取一项，则所取项是有理项的概率为（）A．B．C．D．5.已知函数，若（、、互不相等），且的取值范围为，则实数m的值为（）．A．0 B．－1 C．1 D．26.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．7.设函数，若存在区间，使在上的值域为，则的取值范围是（）A． B．C. D．8.执行如图所示的程序，若输入的，则输出的所有的值的和为A．243 B．363 C．729 D．10929.已知抛物线，圆.过点的直线交圆于两点，交抛物线于两点，且满足的直线恰有三条，则的取值范围为（）A． B． C． D．10.函数的图象可能是（）A． B．C． D．11.若且函数在处有极值，则的最大值等于A．121 B．144 C．72 D．8012.已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A. B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若直线与圆相交于两点，若的平分线过线段的中点，则实数14.边长为8的等边△ABC所在平面内一点O，满足，若M为△ABC边上的点，点P满足，则|MP|的最大值为 .15.设，若关于，的不等式组表示的可行域与圆存在公共点，则的最大值的取值范围为.16．为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表：理科文科总计男13 10 23女7 20 27总计20 30 50已知P（K2≥3.841）≈0.05，P（K2≥5.024）≈0.025．根据表中数据，得到K2=≈4.844，则认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为．三、解答题：共70分。
2018全国II卷高考压轴卷理科数学(含解析)
2018全国卷II 高考压轴卷 理科数学 本试卷共23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知U={y|y=log 2x ，x ＞1}，P={y|y=，x ＞2}，则∁U P=（ ）A ．[21，+∞）B ．（0，21） C ．（0，+∞） D ．（﹣∞，0）∪（21，+∞） 2. “0a >”是“函数3()(0,)f x x ax =++∞在区间上是增函数”的A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 已知函数2010sin (01)()log (1)x x f x x x π≤≤⎧=⎨>⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围是( )A ．(1,2010)B ．(1,2011)C ．(2,2011)D ．[2,2011] 4. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若=，则=（ ）A ．B ．C ．4D ．55. 在△ABC 中，AN =41NC ，P 是直线BN 上的一点，若AP =m AB +52AC ，则实数m 的值为（ ） A ．﹣4 B ．﹣1 C ．1D ．4 6. 在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA=AB ，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A ．B ．C ．D ．7. 秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为3，每次输入a 的值均为4，输出s 的值为484，则输入n 的值为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．38. 已知圆C ：x 2+y 2=4，点P 为直线x+2y ﹣9=0上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则直线AB 经过定点（ ）A ．B ．C ．（2，0）D ．（9，0）9. 椭圆x 2+=1（0＜b ＜1）的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若△FAB 的外接圆圆心P （m ，n ）在直线y=﹣x 的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）A ．（，1）B ．（，1）C ．（0，）D ．（0，）10. 在区间[﹣1，1]上任取两数s 和t ，则关于x 的方程x 2+2sx+t=0的两根都是正数的概率为( )A ．B ．C ．D ．11. 已知12ea dx x=⎰，则()()4x y x a ++展开式中3x 的系数为（ ） A ．24 B ． 32 C. 44 D ．5612. 已知正数x 、y 、z 满足xyz z S z y x 21,1222+==++则的最小值为（ ） A ．3 B 3(31)+C ．4D ．2(21)+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018北京市高考压轴卷 理科数学 含答案解析
2018北京卷高考压轴卷数学（理）本试卷共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题纸交回。
第一部分（选择题， 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合A={x|0＜x≤3，x ∈N}，B={x|y=9x 2-}，则集合A∩（∁R B ）=（ ） A ．{1，2}B ．{1，2，3}C ．{0，1，2}D ．（0，1）（2）以下说法正确的有（ ） （1）y=x+x1（x ∈R ）最小值为2； （2）a 2+b 2≥2ab 对a ，b ∈R 恒成立； （3）a ＞b ＞0且c ＞d ＞0，则必有ac ＞bd ；（4）命题“∃x ∈R ，使得x 2+x+1≥0”的否定是“∀x ∈R ，使得x 2+x+1≥0”； （5）实数x ＞y 是x1＜y 1成立的充要条件； （6）设p ，q 为简单命题，若“p ∨q”为假命题，则“￢p ∨￢q”也为假命题． A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个（3）若双曲线C: 22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆2240x y x +-=所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为A ．32233（4）已知12a xdx =⎰，函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数4f x a π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心是A ．,112π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．,212π⎛⎫⎪⎝⎭C ．7,112π⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,24π⎛⎫⎪⎝⎭（5）如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD=3π，AB=2，AD=1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足λ==DCNCBC BM ，其中λ∈[0，1]，则⋅的取值范围是（ ）A ．[0，3]B ．[1，4]C ．[2，5]D ．[1，7]（6）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）（A ）38 （B ）316 （C ）8 （D ）332（7）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3（8）已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 （A ）47[,2]16- （B ）4739[,]1616-（C ）[23,2]- （D ）39[23,]16-第二部分（非选择题， 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）已知a 是实数，i 是虚数单位，若21(1)z a a i =-++是纯虚数，则a = ．（10）某篮球学校的甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图如下．则罚球命中率较高的是．（11）抛物线的准线与轴交于点P ，直线l 经过点P ，且与抛物线有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________．（12）若两曲线21y x =-与ln 1y a x =-存在公切线，则正实数a 的取值范围是 ． （13）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若250S >，260S <，则数列25121225,,,S S S a a a …的最大项是第项.（14）已知函数()f x 满足对任意的x R ∈都有11()()222f x f x ++-=成立，则127()()()888f f f +++= 。
2018年高考数学全国卷压轴题解析
2018年高考数学全国甲卷（Ⅱ卷）压轴题解析例1（文科第12题，理科第11题）已知)(x f 是定义域为),(+∞-∞的奇函数，满足)1()1(x f x f +=-，若2)1(=f ，=++++)50()3()2()1(f f f f （）A ．50-B ．0C ．2D ．50【分析】本题是高考中比较典型的题型，涉及抽象函数的奇偶性、对称性和周期性问题.注意到题设条件)(x f 是奇函数且(1)(1)f x f x -=+可知，函数)(x f 的图象关于原点和直线1x =对称，从而)(x f 的周期为4.再利用周期性求解即可.【解析】解法1：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，故()()f x f x -=-且(0)0f =.又(1)(1)f x f x -=+，所以()(2)f x f x -=+.从而(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=.于是函数)(x f 的周期为4，且(4)(2)(0)0f f f =-==，(3)(1)(1)2f f f =-=-=-，(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=.所以(1)(2)(3)(50)(1)(2)202f f f f f f ++++=+=+= ，故选C ．解法2：因为)(x f 是奇函数且(1)(1)f x f x -=+，所以函数)(x f 的图象关于原点和直线1x =对称，且函数)(x f 的周期为4.不妨设()sin2f x A x π=，由(1)2f =得2A =，()2sin 2f x x π=.于是3(1)(2)(3)(4)2sin2sin 2sin 2sin 2022f f f f ππππ+++=+++=.所以(1)(2)(3)(50)(1)(2)202f f f f f f ++++=+=+= ，故选C ．【评注】若对于小题中含周期性的问题通常可以考虑构造sin()y A x B ωϕ=++或cos()y A x B ωϕ=++.函数图象的对称性问题是近十年高考数学全国卷每年必考的问题，因此要熟悉函数图象的对称性的有关性质，详见本书第7章例2.例2（理科第12题）已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by a x C )0(>>b a 的左、右焦点，A 是椭圆左顶点，点P 在过点A 且斜率为63的直线上，21F PF ∆为等腰三角形， 12021=∠P F F ，则C 的离心率为（）A ．32B ．21C ．31D ．41【分析】求椭圆C 的离心率的关键是建立,,a b c 间的等量关系，本题题设条件很多，路径宽广.【解析】因为21F PF ∆为等腰三角形，︒=∠12021P F F ，所以c F F PF 2212==.设(,)P x y ，则2cos602x c c c =+= ，2sin 60y c == ，所以(2)P c ，又(,0)A a -，6323=+=a c c k AP ，所以c a 4=，41=e ，故选D ．【评注】本题可推广到一般：已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为k 的直线上,12PF F ∆满足212PF F F =且12F F P α∠=,则C 的离心率2sin (2cos 1)k e k αα=+-.例3（文科第16题）已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与底面所成的角为 30，若SAB ∆的面积为8，则该圆锥的体积为_____．【分析】根据题目的已知条件求出圆锥的母线长l ，圆锥的高h 和底面半径r ，再代入圆锥的体积公式即可.【解析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，高为h .因为母线SB SA ,互相垂直，所以SAB ∆的面积为：8212=l ，所以4=l .又因为SA 与圆锥底面所成角为 30，所以232==h r ，所以该圆锥的体积为2183V r h ππ==.【评注】求圆锥的体积即求圆锥的底面半径和高，要注意圆锥的轴截面中母线长，高和底面半径构成直角三角形.例4（理科第16题）已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为87，SA 与圆锥底面所成角为 45，若SAB ∆的面积为155，则该圆锥的侧面积为_____．【分析】根据题目的已知条件求出圆锥的母线长l ，底面半径r ，再代入圆锥的侧面积公式即可.【解析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r .因为母线SA ，SB 所成角的余弦值7cos 8ASB ∠=，所以sin 8ASB ∠=.因为SAB ∆的面积为21sin 2l ASB ∠=280l =.因为SA 与圆锥底面所成角为 30，所以22r l =.圆锥的侧面积为22S rl l π===.【评注】例3和例4为姊妹题，可推广到一般：已知圆锥顶点为P ，母线,PA PB 所成角的角为(0)θθπ<<，PA 与圆锥底面所成角为02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.若PAB ∆的面积为S ，则该圆锥的侧面积为2cos =sin S S πϕθ侧，体积为3V π=.例5（文科第21题）已知函数)1(31)(23++-=x x a x x f .（Ⅰ）若3=a ，求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）证明：)(x f 只有一个零点.【分析】第（Ⅰ）问利用()f x '正负，写出)(x f 的单调区间.第（Ⅱ）问是函数零点个数问题，一般利用函数的单调性和零点存在定理来判断.【解析】（Ⅰ）当3a =时，321()3(1)3f x x x x =-++，36)(2--='x x x f .令()0f x '=，解得3x =-或3x =+.当(,3(3)x ∈-∞-++∞ 时，()0f x '>；当(3x ∈-+时，()0f x '<.故()f x 单调递增区间为)323,(--∞，),323(+∞+；)(x f 的单调递减区间为)323,323(+-．（Ⅱ）证法1：由于210x x ++>，所以()0f x =等价于330x a -=++.设32()31x g x a x x =-++，则2222(23)()0x x x g x ++'=≥++，仅当0x =时()0g x '=，所以()g x 在(,)-∞+∞单调递增.故()g x 至多有一个零点，从而()f x 至多有一个零点.又22111(31)626()0f a a a a -=-+-=---<,1(31)0f a +=>.故()f x 有一个零点.综上，()f x 只有一个零点.证法2：由于210x x ++>，所以()f x 只有一个零点等价于32()3(1)x g x a x x =-++只有一个零点.因为2222(23)()03(1)x x x g x x x ++'=≥++，仅当0x =时()0g x '=，所以()g x 在(,)-∞+∞单调递增.故()g x 至多有一个零点.又1(31)03g a a a --<---<，1(91)09g a a a +>+->.故()g x 只有一个零点.从而()f x 只有一个零点.【评注】解决函数零点个数问题一般要用函数零点存在定理，而应用函数零点存在定理的关键就是准确迅速找到函数零点所在的区间，这也是高考的重点和难点．观察函数)1(31)(23++-=x x a x x f 的结构特征，注意到321(1)(1)x x x x -=-++，可得2(1)(31)1()33x x x a f x ++--=+，1(31)03f a +=>.要使()0f x <，只需2(1)(31)1x x x a ++--<-，注意到221331(x x x ++=++≥，所以只需431x a --<-，即13x a <-，为了便于计算取31x a =-，得22111(31)626()0366f a a a a -=-+-=---<，这就是第（Ⅱ）问证法1寻找函数零点所在的区间的思考过程.注意到当1x >时，22013x x x <++<，22113x x x >++，()9x g x a >-，要使()0g x >，只需9x a >，取91x a =+即可；当1x <-时，2201x x x <++<，2211x x x >++，()3x g x a <-，要使()0g x <，只需3x a <，取31x a =--即可，这就是第（Ⅱ）问证法2寻找函数零点所在的区间的思考过程.例6（理科第21题）已知函数2()x f x e ax =-.（Ⅰ）若1=a ，证明：当0≥x 时，1)(≥x f ；（Ⅱ）若)(x f 在),0(+∞只有一个零点，求a .【分析】第（Ⅰ）问适当变形构造函数，利用函数最值证明，或直接二次求导，利用函数最值证明.第（Ⅱ）问是函数零点个数问题，可利用函数的单调性和零点存在定理来判断进而求出a 的值.【解析】（Ⅰ）证法1：当1a =时，()1f x ≥等价于2(+1)10x x e --≤.设2()(+1)1x g x x e -=-，则22()(21)(1)x x g x x x e x e --'=--+=--.当1x ≠时，()0g x '<.所以()g x 在(0,)+∞单调递减.而(0)0g =，故当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥.证法2：当1a =时，()1f x ≥等价于21+1xe x ≥.设2()+1xe g x x =，则222(1)()(1)x x e g x x -'=+.当1x ≠时，()0g x '>.所以()g x 在(0,)+∞单调递增.而(0)1g =，故当0x ≥时，()1g x ≥，即()1f x ≥.证法3：当1a =时，2()x f x e x =-，则()2x f x e x '=-，()2xf x e ''=-.当(0,ln 2)x ∈时，()0f x ''<，()f x '在(0,ln 2)单调递减，当(ln 2,)x ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '在(ln 2,)+∞单调递增.所以当(0,)x ∈+∞时，ln 2()(ln 2)2ln 222ln 20f x f e ''≥=-=->，()f x 在(0,)+∞单调递增.所以当(0,)x ∈+∞时，()(0)1f x f ≥=.即当0≥x 时，1)(≥x f .（Ⅱ）解法1：设函数2()1x h x ax e -=-，()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点.（1）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；（2）当0a >时，()(2)x h x ax x e -'=-.当(0,2)x ∈时，()0h x '<；当(2,+)x ∈∞时，()0h x '>.所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,+)∞单调递增.故24(2)1a h e =-是()h x 在[0,)+∞的最小值.①若(2)0h >，即24e a <，()h x 在(0,)+∞没有零点；②若(2)0h =，即24e a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；③若(2)0h <，即24e a >，由于(0)1h =，所以()h x 在(0,2)有一个零点.由（Ⅰ）知，当0x >时，2x e x >，所以33342241616161(4)11110()(2)a a a a a h a e e a a=-=->-=->故()h x 在(2,4)a 有一个零点.因此()h x 在(0,)+∞有两个零点.综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，24e a =.解法2：设函数2()xe h x a x =-，()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点.（1）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；（2）当0a >时，3(2)()xx e h x x -'=.当(0,2)x ∈时，()0h x '<；当(2,+)x ∈∞时，()0h x '>.所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,+)∞单调递增.故2(2)4e h a =-是()h x 在(0,)+∞的最小值.①若(2)0h >，即24e a <，()h x 在(0,)+∞没有零点；②若(2)0h =，即24e a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；③若(2)0h <，即24e a >，在(0,2)内存在1x =1()0h x >，在(2,)+∞内存在22x ae =，使得2()0h x >.所以()h x 在(0,2)内和(2,)+∞内各有一个零点.因此()h x 在(0,)+∞有两个零点.综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，24e a =.解法3：（1）当0a ≤时，()0f x >，()f x 没有零点；（2）当0a >时，设函数()2ln ln h x x x a =--，则2()x h x -'=，且()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点.当(0,2)x ∈时，()0h x '<；当(2,+)x ∈∞时，()0h x '>.所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,+)∞单调递增.故2(2)ln 4e h a=是()h x 在(0,)+∞的最小值.①若(2)0h >，即204e a <<，()h x 在(0,)+∞没有零点；②若(2)0h =，即24e a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；③若(2)0h <，即24e a >，在(0,2)内存在1x =1()0h x >，在(2,)+∞内存在22x ae =，使得2()0h x >.所以()h x 在(0,2)内和(2,)+∞内各有一个零点.因此()h x 在(0,)+∞有两个零点.综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，24e a =.【评注】第（Ⅱ）问解法2中1()0h x >的计算过程是2(1)01h a a =-=->，2()0h x >的计算过程是2743322224422()()10()ae a a a e e e e a h ae a a a a ae a e e a a=->-=⋅->⋅-=；解法3中1()0h x >的计算过程是2ln ln 0h a ==，2()0h x >的计算过程是222()2ln ln 743ln 4(1)3(ln )0h ae ae ae a a a a a a =-->--=-+->.30分钟限时训练练习1已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A ．1BCD ．2【解析】设两个圆的圆心分别为1O ，2O ，球心为O ，两圆的公共弦为AB ，其中点为E ，则四边形12O OO E 为矩形，于是对角线12O O OE =.而OE =，所以12O O =，故选C ．练习2平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行．类似地，空间中一个四棱柱为平行六面体的一个充要条件是_________.【解析】两组相对侧面分别平行.（本题为开放题，答案不唯一）练习3设函数sin ()2cos x f x x=+.（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围.【解析】（Ⅰ）22(2cos )cos sin (sin )2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +--+'==++.当2222k x k ππππ-<<+（k ∈Z ）时，1cos x >-，即()0f x '>；当242233k x k ππππ+<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x <-，即()0f x '<.因此)(x f 在每一个区间222,233k k ππππ⎛⎫-+ ⎝⎭（k ∈Z ）内是增函数，)(x f 在每一个区间242,2k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（k ∈Z ）内是减函数.（Ⅱ）令()()g x ax f x =-，则222cos 123()(2cos )2cos (2cos )x g x a a x x x +'=-=-++++.故当13a ≥时，()0g x '≥.又(0)0g =，所以当0x ≥时，()(0)0g x g ≥=，即()f x ax ≤.当10a <<时，令()sin 3h x x ax =-，则()cos 3h x x a '=-.故存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得当0[0,)x x ∈时，()0h x '>，因此()h x 在0[0,)x 上单调递增.故当0(0,)x x ∈时，()(0)0h x h >=，即sin 3x ax >，于是当0(0,)x x ∈时，sin sin ()2cos 3x x f x ax x =>>+.当0a ≤时，有10222f a ππ⎛⎫=>≥⋅ ⎪⎝⎭.综上所述，a 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（本章作者：张国治、聂文喜、杨续亮、侯有岐、汪仁林）2018年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）压轴题解析例1（文科第12题）设函数20,()1 0,x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，则满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范围是（）A ．(]1-∞，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【分析】本题考查分段函数及不等式的解法，既可以利用零点分段法进行分类讨论，也可以利用函数的图象采用数形结合加以解决，还可以利用函数单调性求解．【解析】因为当0x ≤时，()f x 单调递减且()1f x ≥；当0x >时，()1f x =，所以(1)(2)f x f x +<等价于210x x <+≤或201x x <<+，解得1x ≤-或10x -<<，所以0x <，故选D ．【评注】本题深刻考查函数单调性的概念，函数的单调性具有“双向性”：既能通过自变量的大小推出函数值的大小，也能通过函数值的大小推出自变量的大小.李邦河院士指出：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧的，技巧不足道也！”在复习备考过程中要注意深刻理解核心概念，准确把握概念的内涵和外延.另外，本题与2017年高考数学全国丙卷（Ⅲ卷）文科第16题理科第15题类似，详见本书第5章例3.例2（理科第12题）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A ．4B ．3C ．4D ．2【分析】本题关键是构造出合理的图形，认清截面图形的特点．对于截面面积最值的处理，既可以建立严格的函数关系，从函数的最值角度入手定量分析解决，也可以从最值取得的条件（即特殊位置）入手定性分析解决．【解析】解法1：正方体每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即正方体中同一个顶点出发的三条棱所在直线与平面α所成的角都相等.如图，易知平面'ACD 满足题意，再将其平移至平面EFGHIJ ．设EF GH IJ x ===，根据对称性与相似可得，FG HI JE x ===-，故六边形EFGHIJ 的周长为定值．所以当x x =-，即2x =时，截面EFGHIJ 是正六边形，2max 6424S ⎫=⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭．故选A ．解法2：如图，建立空间直角坐标系D xyz -．因为正方体的12条棱可以分为三组，分别与单位向量(1,0,0)=a ，(0,1,0)=b ，(0,0,1)=c 互相平行．设截面EFGHIJ 的法向量为(,,)x y z =n ，当每条棱所在直线与平面α所成的角都相等时，满足⋅⋅⋅==a n b n c n |a ||n ||b ||n ||c ||n |，222222222x y z x y z x y z ==++++++令1x y ==，则截面EFGHIJ 的法向量(1,1,1)=n ．设截面EFGHIJ 与三个坐标轴的交点分别为,,R S T ，令DR DS DT t ===，易知RS ST TR ==，即RST ∆是等边三角形，同时REJ ∆也是等边三角形．于是2()2(1)RJ DR DA t =-=-，23(1)2REJ S t ∆=-．同理23(1)2SFG S t ∆=-，23(1)2THI S t ∆=-，又232RST S ∆=，所以截面EFGHIJ 面积22233333(1)(263)222RST REJ S S S t t t t ∆∆=-=--=-+-．于是当32t =时，max 324S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭．故选A ．【评注】解答本题的一个关键是平面α处于什么位置时，正方体每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，其实人教A 版必修2课本多次出现这个几何模型，如第57页例2的图，2016年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）文科第11题理科第11题也是源于此图；再如第79页第2题的图，2016年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）文科第18题也是源于此图.所以，在复习备考过程中，要注意回归课本.解答本题的另一个关键是平面α处于什么位置时，α截此正方体所得截面的面积最大，如果注意到正方体的对称性，不难猜想：当平面α过正方体的中心，且与各棱交点为相应棱的中点时，截面的面积最大，此时截面是正六边形，不难得到正确答案．例3（文科第16题）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则ABC △的面积为__．【分析】注意到题设条件2228b c a +-=符合余弦定理中222cos 2b c a A bc +-=的结构特征，从而容易想到求ABC △的面积应选择公式1sin 2ABC S bc A =△，进而想到要利用正弦定理将题设条件sin sin 4sin sin b C c B a B C +=化边为角.【解析】因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，由正弦定理得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，因为sin sin 0B C ≠，所以1sin A =.因为2228b c a +-=，由余弦定理得2224cos 02b c a A bc bc +-==>，所以cos2A =，bc =11123sin 2223ABC S bc A ==⨯=△．【评注】在解三角形有关问题时，如果涉及到边角关系，那么可以利用正弦定理或余弦定理进行边角互化．到底是化边为角还是化角为边，要根据题设具体问题具体分析.例4（理科第16题）已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是________．【分析】对于函数最值问题的处理，我们通常优先考虑利用导数或均值不等式．【解析】解法1：()2cos 2cos 2f x x x'=+22cos 2(2cos 1)x x =+-2(cos 1)(2cos 1)x x =+-.令()0f x '>，得1cos 2x >，即()f x 在2,2k k ππ⎛⎫π-π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上单调递增；令()0f x '<，得1cos 2x <，即()f x 在52,233k k ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上单调递减.则min ()232f x f k ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．解法2：因为()2sin 2sin cos 2sin (1cos )f x x x x x x =+=+，所以2223()4sin (1cos )4(1cos )(1cos )f x x x x x =+=-+4(33cos )(1cos )(1cos )(1cos )3x x x x =-+++44(33cos )(1cos )(1cos )(1cos )34x x x x -++++++⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦44327324⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭．当且仅当33cos 1cos x x -=+，即1cos 2x =时，取等于号．根据()()f x f x -=-可知，()f x 是奇函数，于是(),22f x ⎡∈-⎢⎣⎦，min ()f x =，此时sin x =，1cos x =．解法3：()2sin 2sin cos f x x x x=+222sin 2sin cos cos 1)x x x x x =+++-2223233332sin cos sin 2sin x x x x x x =+++++-22sin ))3322x x x =+++-2≥-当且仅当sin 0,3sin 0,2x x x +=⎨+=⎪⎩即23x k ππ=-，k ∈Z 时，()f x 取得最小值33-.【评注】若注意到()f x 是周期函数，周期为2π，且()f x 是奇函数，当[0,]x π∈时，()0f x ≥，则只需要求函数()f x 在区间[,0]π-上的最小值，容易利用导数求得min ()f x f π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．本题与2017年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）理科第16题类似，都是利用导数或均值不等式求函数最值问题，详见本书第4章例4.解法3利用多项式的配方法和实数的性质以及不等式的性质来分析式子的结构，堪称妙法.类似的题目可参考本书主编发表在《中学数学》（高中版）2015年第7期上的文章《巧用配方法妙解调考题》.例5（文科第21题）已知函数()ln 1x f x ae x =--．（Ⅰ）设2x =是)(x f 的极值点，求a ，并讨论)(x f 的单调区间；（Ⅱ）证明：当1a e≥时，()0f x ≥．【分析】（Ⅰ）先求出()f x '，由(2)0f '=求a ，再由()f x '的正负，写出)(x f 的单调区间.（Ⅱ）常规思路是转化为证明()f x 的最小值min ()0f x ≥．【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，1()x f x ae x'=-.由题设知，(2)0f '=，所以212a e =.从而21()ln 12x f x e x -=--，211()2x f x e x -'=-.当02x <<时，0)(<'x f ；当2x >时，0)(>'x f .所以)(x f 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增．（Ⅱ）证法1：当1a e ≥时，()ln 1xe f x x e≥--.设()ln 1x e g x x e =--，则1()x e g x e x'=-.当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>.从而1x =是()g x 的最小值点．故当0x >时，()(1)0g x g ≥=.故()(1)0f x f ≥=.因此，当1a e ≥时，()0f x ≥.证法2：当1a e ≥时，1()ln 1x f x e x -≥--，故只需证明当1a e =时，()0f x ≥，即要证1ln 1x e x -≥+.设1()x g x e x -=-，则1()1x g x e -'=-.当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增．因为(1)0g =，所以1x e x -≥，当且仅当1x =时取等号．不等式两边取对数的1ln x x -≥，当且仅当1x =时取等号．从而ln 1x x ≥+，当且仅当1x =时取等号．所以1ln 1x e x -≥+．所以当1a e ≥时，()0f x ≥．证法3：当1a e ≥时，()0f x ≥等价于ln 1x ae x x x +³.设函数()x ae g x x =（1a ≥），则2(1)()xa x e g x x -'=.所以当(0,1)x Î时，()0g x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>.故()g x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，从而()g x 在(0,)+∞的最小值为(1)1g ae =³.设函数ln 1()x h x x+=，则2ln ()x h x x '=-.所以当(0,1)x Î时，()0h x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<.故()h x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，从而()h x 在(0,)+∞的最大值为(1)1h =综上，当1a e ≥，0x >时，()()g x h x ³，即()0f x ≥．证法4：当1a e ≥时，()0f x ≥等价于ln 1x x a +³.设函数ln 1()xx g x e +=，则1ln 1()x x x g x e --'=.设函数1()ln 1h x x x =--，则211()h x x x'=--.所以当(0,)x Î+¥时，()0h x '<,()h x 在(0,)+∞单调递减.因为(1)0h =，所以当(0,1)x Î时，()0h x >，从而()0g x '>，()g x 在(0,1)单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，从而()0g x '<，()g x 在(1,)+∞单调递减.从而()g x 在(0,)+∞的最大值为1(1)g e=.又因为1a e≥，所以()a g x ³，即()0f x ≥．【评注】本题与2013年高考数学全国甲卷（Ⅱ卷）理科第21题如出一辙，第（Ⅰ）问解法和第（Ⅱ）问的证法1和证法2也与该题完全类似，详见本书第13章例6.第（Ⅱ）问的证法3与2014年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）理科第21题第（Ⅱ）问的证法1类似，详见本书第12章例6.第（Ⅱ）问的证法4与2013年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）理科第21题第（Ⅱ）问的解法2类似，详见本书第14章例6.例6（理科第21题）已知函数1()ln f x x a x x=-+．（Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）若)(x f 存在两个极值点1x ，2x ，证明：1212()()2f x f x a x x -<--．【分析】第（Ⅰ）问先求出导函数()f x '的零点，进而对参数a 进行分类讨论，得到()f x 的单调性；第（Ⅱ）问要注意()f x 有两个极值点1x ，2x 的隐含条件2a >且121x x =，将不等式1212()()2f x f x a x x -<--等价转化为当12x x <时，22212ln 0x x x -+<或11112ln 0x x x -+>，而这就是要研究函数1()2ln g x x x x=-+的单调性，此时利用第（Ⅰ）问的结果即可.【解析】（Ⅰ）)(x f 的定义域为(0,)+∞，22211()1a x ax f x x x x -+'=--+=-.（1）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时，()0f x '=，所以)(x f 在(0,)+∞单调递减．（2）若2a >，令()0f x '=得，2a x =或2a x =．当(0,)()22a a x +∈+∞ 时，0)(<'x f ；当()22a a x +∈时，0)(>'x f .所以)(x f分别在(0,)2a -，()2a ++∞单调递减，在44()22a a +单调递增．（Ⅱ）证法1：由（Ⅰ）知，)(x f 存在两个极值点当且仅当2a >．由于)(x f 的两个极值点1x ，2x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >．由于12121212121212()()ln ln ln ln 112f x f x x x x x a a x x x x x x x x ---=--+=-+---2222ln 21x ax x -=-+-，所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<.设函数1()2ln g x x x x =-+，由（Ⅰ）知，()g x 在(0,)+∞上单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <．所以22212ln 0x x x -+<，即1212()()2f x f x a x x -<--．证法2：由（Ⅰ）知，)(x f 存在两个极值点当且仅当2a >．由于)(x f 的两个极值点1x ，2x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则101x <<．由于12121212121212()()ln ln ln ln 112f x f x x x x x a a x x x x x x x x ---=--+=-+---1112ln 21x ax x =-+-，所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于11112ln 0x x x -+>.设函数1()2ln g x x x x=-+，由（Ⅰ）知，()g x 在(0,)+∞上单调递减，又(1)0g =，从而当(0,1)x ∈时，()0g x >．所以11112ln 0x x x -+>，即1212()()2f x f x a x x -<--．【评注】对于含有两个变量的不等式，一般转化为只含有一个变量的不等式，并构造函数结合单调性进行证明，本题与2011年高考数学湖南卷文科第22题如出一辙，通过分析和解析，我们容易发现，本题实际上就是要证明11ln (2x x x >-（01x <<）或11ln ()2x x x<-（1x >），这两个不等式是等价的，也是在对数放缩过程中常用的.30分钟限时训练练习1设[]x 表示不超过x 的最大整数（如[2]2=，514⎡⎤=⎢⎥⎣⎦），对于给定的n *∈N ，定义(1)([]1)(1)([]1)x n n n n x C x x x x --+=--+ ，[1.)x ∈+∞，则当3,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，函数8x C 的值域是（）A ．16,283⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．16,563⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．[)284,28,563⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．16284,,2833⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦【解析】由题设知[)883,,2,256,2,3.(1)x x x C x x x ⎧⎡⎫∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎪∈⎪-⎩因为函数8x C 在区间3,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭和[)2,3上分别单调递减，且38163C =，2828C =，所以当3,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，函数8x C 的值域是16284,,2833⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦，故选D ．练习2对有(4)n n ≥个元素的总体{1,2,3,,}n 进行抽样，先将总体分成两个子总体{1,2,,}m 和{1,2,,}m m n ++ （m 是给定的正整数，且22m n ≤≤-），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则所有ij P （1i j n ≤<≤）的和等于_________.【解析】当1i j m ≤<≤时，21ij m P C =，这样的ij P 共有2m C 个，故所有ij P （1i j m ≤<≤）的和为2211m m C C ⋅=；当1m i j n +≤<≤时，21ij n mP C -=，这样的ij P 共有2n m C -个，故所有ij P（1m i j n +≤<≤）的和为211n m n m C --⋅=；当1,1i m m j n ≤≤+≤≤时，4()ij P m n m =-，这样的ij P 共有()m n m -个，故所有ij P （1i j m ≤<≤）的和为4()4()m n m m n m ⋅-=-；综上所述，所有ij P （1i j n ≤<≤）的和等于6.练习3已知函数22()ln (1)1x f x x x =+-+.（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若不等式11n e n α+⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭对任意的n *∈N 都成立（其中e 是自然对数的底数），求α的最大值.【解析】（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为(1,)-+∞，22222ln(1)22(1)ln(1)2()1(1)(1)x x x x x x x f x x x x ++++--'=-=+++.设2()2(1)ln(1)2g x x x x x =++--，则()2ln(1)2g x x x '=+-.令()2ln(1)2h x x x =+-，则22()211x h x x x'=-=-++.当10x -<<时，()0h x '>，()h x 在(1,0)-上为增函数；当0x >时，()0h x '<，()h x 在(0,)+∞上为减函数.所以()h x 在0x =处取得极大值，而(0)0h =，所以()0g x '<（0x ≠），函数()g x 在(1,)-+∞上为减函数.于是，当10x -<<时，()(0)0g x g >=；当0x >时，()(0)0g x g <=.所以，当10x -<<时，()0f x '>，)(x f 在(1,0)-上为增函数；当0x >时，()0f x '<，)(x f 在(0,)+∞上为减函数.故函数)(x f 的单调递增区间为(1,0)-，单调递减区间为(0,)+∞.（Ⅱ）不等式11n e n α+⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭等价于不等式1()ln 11n n α⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭.由111+>知，11ln 1n n α≤-⎛⎫+ ⎪⎝⎭.设11()ln(1)G x x x =-+，(0,1]x ∈，则2211(1)ln (1)()x x x G x ++-'=-+=++++.由（Ⅰ）知，22ln (1)01x x x+-≤+，即22(1)ln (1)0x x x ++-≤.所以()0G x '<，(0,1]x ∈.于是()G x 在(0,1]上为减函数.故函数()G x 在(0,1]上的最小值为1(1)1ln 2G =-.综上所述，α的最大值为11ln 2-.（本章作者：杨瑞强）2018年高考数学全国丙卷（Ⅲ卷）压轴题解析例1（文科第12题，理科第10题）设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（）A．B．C．D．【分析】本题考查三棱锥的外接球问题，求三棱锥D ABC -体积的最大值，底面积已知，关键是求三棱锥D ABC -的高的最大值.【解析】如图，设球心为O ，ABC ∆的外接圆的圆心为1O ，则当球心O 在线段1DO 上时，三棱锥ABC D -的体积最大．因为ABC ∆的面积3960sin 212=⋅⋅=∆ AB S ABC ，所以6=AB .所以ABC ∆的外接圆的半径为1232sin 60AB O A == ．所以球心O 到平面ABC 的距离2222114(23)2OO OA O A =-=-=．所以三棱锥D ABC -的高的最大值11426DO DO OO =+=+=．所以三棱锥D ABC -体积的最大值16333D ABC V -=⨯⨯=.故选B ．【评注】三棱锥的外接球问题是高考命题的热点，例如2017年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）文科第16题，详见本书第4章例3，三棱锥的体积最值问题是高考命题的热点，例如2017年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）理科第16题，详见本书第4章例4，本题可以看成是由以上两题改编而成.例2（理科第12题）设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（）A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+【分析】比较大小的常用方法是作差法和作商法，注意到a ，b 是两个底数不同，真数相同的对数，可考虑利用对数函数的单调性和对数换底公式.【解析】解法1：因为0.20.20.2log 1log 0.3log 0.2<<，22log 0.3log 0.5<，所以01a <<，1b <-，从而0a b +<，0ab <.又因为0.30.30.311log 0.2log 2log 0.4a b ab a b +=+=+=，0.30.30.3log 1log 0.4log 0.3<<，所以01a b ab+<<，从而0ab a b <+<，故选B ．解法2：因为0.22ln 0.3ln 0.3ln 0.3ln 0.4log 0.3log 0.30ln 0.2ln 2ln 0.2ln 2a b ⋅+=+=+=<⋅，0.22ln 0.3ln 0.3ln 0.3ln 0.3log 0.3log 0.30ln 0.2ln 2ln 0.2ln 2ab ⋅=⋅=⋅=<⋅，ln 0.3ln 0.4ln 0.3ln 0.3ln 0.3(ln 0.4ln 0.3)0ln 0.2ln 2ln 0.2ln 2ln 0.2ln 2a b ab ⋅⋅-+-=-=>⋅⋅⋅，所以0ab a b <+<，故选B ．【评注】虽然是选择题压轴题，但考查却都是通性通法，导向鲜明.例3（文科第16题）已知())1f x x =+，4)(=a f ，则=-)(a f _____．【分析】已知()f a 求()f a -，容易想到利用函数的奇偶性或直接利用函数的解析式.【解析】解法1：因为())1f a a =+，())1f a a -=+，所以()())1ln()12f a f a a a +-=+++=，因为4)(=a f ，所以()2f a -=-．解法2：设())g x x =，则1)()(+=x g x f .因为()()))0g x g x x x +-=+=，所以21)(1)()()(=+-++=-+a g a g a f a f ，又因为4)(=a f ，所以2)(-=-a f ．【评注】一个奇函数与一个常数的和在高考数学全国卷中曾多次考查，例如2012年高考数学全国卷文科第16题，详见本书第15章例3.例4（理科第16题）已知点)1,1(-M 和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于B A ,两点，若 90=∠AMB ，=k _____．【分析】解答本题的关键是将条件90=∠AMB 合理转化，转化的途径很多，如0=⋅，1MA MB k k ⋅=-，222MA MB AB +=，点M 在以线段AB 为直径的圆上等.【解析】解法1：设直线AB 的方程为)1(-=x k y ，代入x y 42=，得0)42(2222=++-k x k x k .设),(),,(2211y x B y x A ，则222142k k x x +=+，121=x x .因为90=∠AMB ，所以)1)(1()1)(1(2121--+++=⋅y y x x MB MA )1)(1()1)(1(2121----+++=k kx k kx x x 2221212(1)(1)()22k x x k k x x k k =+-+-++++0=.将222142kk x x +=+，121=x x 代入上式整理得，0442=+-k k ，所以2=k ．解法2：设直线AB 的方程为1+=ty x ，代入x y 42=，得0442=--ty y .设),(),,(2211y x B y x A ，则t y y 421=+，124y y =-.因为90=∠AMB ，所以)1)(1()1)(1(2121--+++=⋅y y x x MB MA 1212(2)(2)(1)(1)ty ty y y =+++--21212(1)+(21)()50t y y t y y =+-++=．将t y y 421=+，124y y =-，代入上式整理得，01442=+-t t ，所以21=t ,2=k ．解法3：设直线AB 的方程为1+=ty x ，代入x y 42=，得0442=--ty y .设),(),,(2211y x B y x A ，则t y y 421=+.设线段AB 的中点为N ，则12(,2)2x x N t +,因为以线段AB 为直径的圆与准线l 相切， 90=∠AMB ，所以M 为切点，所以21t =,21=t ,2=k ．【评注】比较解法1和解法2，对于抛物线2:2C y px =而言，一般设直线方程为x ty a =+，计算量要小一点.抛物线的焦点弦有很多常用性质，如能灵活运用，可以有效减少计算量.本题与2013年高考数学大纲全国卷理科第11题如出一辙，试题如下：已知抛物线2:8C y x =与点(2,2)M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于B A ,两点，若0=⋅MB MA ，则=k （）A．1D．2将这两道题推广到一般，即可得到抛物线焦点弦的一个性质：已知点0(,)2p M y -和抛物线22(0)C y px p =>：，过C 的焦点作斜率为k 的直线与C 交于B A ,两点，若 90=∠AMB ，0p k y =．例5（文科第21题）已知函数x ex ax x f 1)(2-+=.（Ⅰ）求)(x f y =在(0,1)-处的切线方程；（Ⅱ）证明：当1≥a 时，0)(≥+e x f ．【分析】第（Ⅰ）问由导数的几何意义，容易求出.第（Ⅱ）问注意到当1≥a 时，2211ax x x x +-≥+-，转化证明210x x x e e +-+≥.【解析】（Ⅰ）2(21)2()ex ax a x f x -+-+'=，(0)2f '=．因此曲线()y f x =在点(0,1)-处的切线方程是210x y --=．（Ⅱ）证法1：当1a ≥时，21()e (1e )e x x f x x x +-+≥+-+．令21()1e x g x x x +=+-+，则1()21e x g x x +'=++．当1x <-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >-时，()0g x '>，()g x 单调递增．所以()g x (1)=0g ≥-．因此()e 0f x +≥．证法2：当1a ≥时，≥+e x f )(e ex x x +-+12．令,1)(2e e x x x g x +-+=则x ex x x g )2)(1()(-+-='．当1x <-时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减；当21<<-x 时，0)(>'x g ，)(x g 单调递增；当2>x 时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减.所以当2x <时，()(1)0g x g ≥-=，又当2x ≥时，0)(>x g ，所以()0g x ≥，即当1≥a 时，0)(≥+e x f ．【评注】比较第（Ⅱ）问两种证法，都注意到了当1≥a 时，2211ax x x x +-≥+-，转化证明210x x x e e +-+≥，证法1还注意到了0x e >，进一步转化证明211e 0x x x ++-+≥，更胜一筹.例6（理科第21题）已知函数x x ax x x f 2)1ln()2()(2-+++=．（Ⅰ）若0=a ，证明：当01<<-x 时，0)(<x f ；当0>x 时，0)(>x f ；（Ⅱ）若0=x 是()f x 的极大值，求a .【分析】第（Ⅰ）问注意到(0)0f =．利用导数研究函数()f x 的单调性即可证明．第（Ⅱ）问要充分利用(0)0f =和0=x 是()f x 的极大值这两个条件，注意到()f x 解析式的结构特征，可考虑构造函数22()ln(1)2x h x x x ax =+-++，也可考虑多次求导，使得求导后的有关函数解析式中不再出现ln(1)x +，从而便于求出极值，进而求出a 的值.【解析】（Ⅰ）证法1：当0=a 时，x x x x f 2)1ln()2()(-++=，()ln(1)1x f x x x'=+-+.设()()ln(1)1x g x f x x x '==+-+，则2)1()(x x x g +='.当01<<-x 时，0)(<'x g ，当0>x 时，0)(>'x g .故当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，当且仅当0=x 时，0)(=x g ，从而0)(≥'x f ，当且仅当0=x 时，0)(='x f .所以)(x f 在),1(+∞-上单调递增.又0)0(=f ，故当01<<-x 时，0)(<x f ；当0>x 时，0)(>x f .证法2：当0=a 时，2()(2)ln(1)2(2)ln(1)2x f x x x x x x x ⎡⎤=++-=++-⎢⎥+⎣⎦.设2()ln(1)2x g x x x=+-+，则222()0(1)(2)x g x x x '=≥++，仅当0x =时等号成立.所以()g x 在),1(+∞-上单调递增.又(0)0g =，故当01<<-x 时，()0g x <；当0>x 时，()0g x >.因为20x +>，所以当01<<-x 时，0)(<x f ；当0>x 时，0)(>x f .（Ⅱ）解法1：（1）若0≥a ，由（Ⅰ）知，当0>x 时，)0(02)1ln()2()(f x x x x f =>-++≥，这与0=x 是()x f 的极大值点矛盾.（2）若0<a ，设函数2222)1ln(2)()(ax x x x ax x x f x h ++-+=++=.由于当min{x <时，022>++ax x ，故)(x h 与)(x f 的符号相同.又0)0()0(==f h ，故0=x 是)(x f 的极大值点，当且仅当0=x 是)(x h 的极大值点.2222222212(2)2(12)(461)()1(2)(1)(2)x ax x ax x a x ax a h x x x ax x x ax ++-++++'=-=++++++.如果016>+a ，则当a x 160+-<<，且min{x <时，0)(>'x h ，故0=x 不是)(x h 的极大值点.如果016<+a ，则016422=+++a ax x a 存在根01<x ，故当)0,(1x x ∈，且min{x <时，0)(<'x h ，故0=x 不是)(x h 的极大值点.如果016=+a ，则223)126)(1()24()(--+-='x x x x x x h .则当01<<-x 时，0)(>'x h ，当10<<x 时，0)(<'x h ，所以0=x 是)(x h 的极大值点，从而0=x 是)(x f 的极大值点.综上，61-=a .解法2：因为2'()(21)ln(1)1ax x f x ax x x -=++++，且'(0)0f =.令2()(21)ln(1)1ax x g x ax x x -=++++，则2(341)'()2ln(1)(1)ax a x g x a x x ++=+++，且'(0)0g =.令2(341)()2ln(1)(1)ax a x h x a x x ++=+++，则232661'()(1)ax ax x a h x x +-++=+.令'(0)0h =，则16a =-.下面证明，当16a =-时，0x =是()f x 的极大值点.当16a =-时，31(6)3'()(1)x x h x x -+=+.当(1,0)x ∈-时，'()0h x >，()h x 在(1,0)-上单调递增；当(0,)x ∈+∞时，'()0h x <，()h x 在(0,)+∞上单调递减.所以当(1,)x ∈-+∞时，'()()(0)0g x h x h =≤=，()g x 在(1,)-+∞上单调递减.所以当(1,0)x ∈-时，'()g()g(0)0f x x =>=，()f x 在(1,0)-上单调递增；当(0,)x ∈+∞时，'()g()g(0)0f x x =<=，()f x 在(0,)+∞上单调递减.所以0x =是()f x 的极大值点.综上，16a =-.【评注】本题第（Ⅰ）问实际上就是要证明2ln(1)2x x x +<+（10x -<<）或2ln(1)x x +>+（0x >），这两个不等式是等价的，也是在对数放缩过程中常用的.第（Ⅱ）问解法1的关键一步是通过构造函数)(x h ，将函数)(x f 的极大值点转化为)(x h 的极大值点，由于函数()f x 的定义域为()1,-+∞，当0a <时，适当放缩获得0的一个邻域.因为222+1+x ax ax +>，故可以令21+0ax >可得x <，所以当min{x <时，22+0x ax +>，使得故)(x h 与)(x f 的符号相同.又0)0()0(==f h ，故0=x 是)(x f 的极大值点，当且仅当0=x 是)(x h 的极大值点.解法2的关键一步是通过多次求导，先利用必要条件求出参数a 的值，再证明所求a 的值满足充分性.构造函数和多次求导是破解高考导数压轴题的有效策略，详见本书第2章例7和例10.30分钟限时训练练习1如图，一环形花坛分成A，B，C，D 四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A ．96B ．84C ．60D ．48【解析】按所种花的品种分类：种4种花有4424A =种种法，种3种花有34248A =种种法，种2种花有2412A =种种法，所以，故选不同的种法总数为84，故选B ．练习2设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若410S ≥，515S ≤，则4a 的最大值为_________.【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则414610S a d =+≥，5151015S a d =+≤，4145133425a a d S S =+=-+≤.练习3已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点.（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围.【解析】（Ⅰ）因为()2101a f x x x '=+-+，所以(3)61004a f '=+-=，16a =，所以2()16ln(1)10f x x x x =++-，2(1)(3)()1x x f x x --'=+.当11x -<<时，()0f x '>；当13x <<时，()0f x '<；当3x >时，()0f x '>.所以)(x f 的单调递增区间为(1,1)-，(3,)+∞；)(x f 的单调递减区间为(1,3).（Ⅱ）由（Ⅰ）知，)(x f 在(1,1)-内单调递增，在(1,3)内单调递减，在(3,)+∞内单调递增，且当1x =或3x =时，()0f x '=.所以)(x f 的极大值为(1)16ln 29f =-，极小值为(3)32ln 221f =-.因为3(1)(3)1216ln 216(ln 2)04f f -=-=->，2(16)16101616ln 29(1)f f >-⨯>-=，2(1)321121(3)f e f --<-+=-<，所以在)(x f 的三个单调区间(1,1)-，(1,3)，(3,)+∞，直线y b =与函数()y f x =的图象各有1个交点，当且仅当(3)(1)f b f <<.因此，b 的取值范围为(32ln 221,16ln 29)--.（本章作者：陈清华、聂文喜）。
2018年高考数学压轴题
1
2018 年高考全国 III 卷压轴题（文科）
2018 年高考全国 III 卷压轴题（文科）
√ 1. 设 A, B, C, D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， △ABC 为等边三角形且其面积为 9 3 ，则三棱
锥 D − ABC 体积的最大值为（ ）
√ A. 12 3
√ B. 18 3
√ C. 24 3
则 △ABC 的面积为
．
3. 设抛物线 C : y2 = 2x ，点 A(2, 0) ， B(−2, 0) ，过点 A 的直线 l 与 C 交于 M, N 两点． （1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程； （2）证明： ∠ABM = ∠ABN ．
4. 已知函数 f (x) = aex − ln x − 1 ．
是
C
的左顶点，点
P
在过
A
且斜率为
3 6
的直线上， △P F1F2
为等腰三角形， ∠F1F2P = 120◦ ，则
C
的离心率为（
）
A. 2
B. 1
C. 1
D. 1
3
2
3
4
2.
已知圆锥的顶点为
S ，母线
SA, SB
所成角的余弦值为
7 ，SA
与圆锥底面所成角为
45◦ ．若
△SAB
√
8
的面积为 5 15 ，则该圆锥的侧面积为
为
C
上一点，且
−−→ FP
+
−→ FA
+
−−→ FB
=
−→0
，证明：2|FP来自|=|F
A|
+
|F
B|
2018版高考数学二轮复习特色专题训练专题03直击函数压轴题中零点问题理
专题03直击函数压轴题中零点问题、解答题21•已知函数 f x = Inx a x - i a 0 . （1）讨论f x 的单调性；3（2） 若f （x ）在区间（0,1 ）内有唯一的零点x 0，证明：e 2 ＜x 0 ＜e ，. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1 ）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可； （2 ）依题可知f 1=0，若f （x ）在区间（0,1 ）内有唯一的零点x 0,由（1）可知a a 2，且 x ° =为 0,-，于是：lnx 0 a x 0 -1 i =0 ①，2ax 02-2ax 0 1=0 ②2由①②得lnx 0 -生=0,设g （x ）= Inx -口 , （x € （0,1）），求出函数的导数，根据函数的单调性证明 2x ° 2x即可.试题解析:① 当0 5兰2时，y = f[x ）^ （A g ）上单调递増② 当GA2时』设2a^-2ax+\=Q 的两个根为耳花（0＜码C* ＜花“且a — ^a 1 —2a a + —2a 西= > ^3 =lalay = /（x ）在（Q 西）丄冷+«＞）单调递増,在（坷也）单调递减.（2）依题可知f 1 =0，若f X 在区间0,1内有唯一的零点x 0，由（1）可知a 2,⑴ r （x ）=—2ax+lx冃-'1 ;且X。
= Xi 0, .2十□ 2于疋：lnx0 a x0 -1 0 ①22ax o - 2ax o 1=0 ②x —1 X —1由①②得inx0- 0,设g x =1 nx , [0,1 ,2 x° 2 x2x ,，因此g x在i。
,1上单调递减，则g x二2x I 2丿3f 3、勺」p ~2' e —4 j A e —3 _又g e 2 = --------- >0, g (e )=-------------------- <0l丿2 23根据零点存在定理，故e 2：：： x0：：： e」.点睛：本题考查了函数的单调性，零点问题，考查导数的应用以及不等式的证明，零点存在性定理，考查分类讨论思想，转化思想，构造函数的解题方法22.设函数f(x) = x + bx—1(b€ R).(1)当b= 1时证明：函数f (x)在区间(2)若当x€ [1,2]，不等式f(x)<1有解.求实数b的取值范围.【答案】(1)见解析；(2) -：：,1【解析】试题分析：(1 )先根据对称轴与定义区间位置关系确定函数f(x)在区间-,1单调性，再根据区12丿间端点函数值异号，结合零点存在定理确定零点个数(2)先分离变量化为对应函数最值问题：b：：：^-X ,x再根据函数单调性确定函数最小值，即得实数b的取值范围.试题解析：（1）由得・丁£］二份+扌一1=-*0, /ti ）=i ;+i-i=i>0j *Jti ）<Oj 所以函数心）在区间（右D 內存在零点.又由二次函数的團象，可知少）二r+x —i 在（右D 上单调遥魯 从而函数心）在区间（占D 内存在唯一零点.⑵ 由题意可知x 2+ bx — 1<1在区间［1,2］上有解，所以 b 厶-？ x 在区间［1,2］上有解.XX令g （x ） = — x ，可得g （x ）在区间［1,2］上递减，X所以b <g （X ）max = g （1） = 2— 1= 1 ,从而实数b 的取值范围为（一8, 1）.方法2.由题意可知分+址一25在区间［1,2］±有解.令g （X ）=J^ + bx-2?则等价于gh ）在区间丄2］上的最小值小于0. 当-茹2即底-4时，訴）在丄刃上递獄=2b+2<Q,即 0<-「所以 冥一4』当1< —*2即— 46—2时，咖在山-刽上递氟 在| 二訓）丽=g （-》=（护一耳_2= _”2<0恒成立.所汉_4<风_ 2; 当-冷即於一2时“曲）在12］上递増，二宮⑴=心一 1<0即Ml,所以一20<1・综上可得 &W — 4 或一4<ft<—2 或一 2^b<l ｝所b<l ? 从而实数A 的取值范围为（一8, 1）,点睛：利用零点存在性定理不仅要求函数的图象在区间 ［a , b ］上是连续不断的曲线，且 f （a ） • f （b ）<0,还必须结合函数的图象与性质 （如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点增应『二-± ■2b-2f_ 23•已知函数 f x 二 ax mx m 「1 a = 0 • (1 )若f -1 =0，判断函数f x 的零点个数；(2)若对任意实数 m ，函数f x 恒有两个相异的零点，求实数 a 的取值范围;(3)已知 X iX • RR 且 ％ ：：： X 2， f X i= f X 2 ，求证：方程 在区间X i ,X 2上有实数根•【答案】⑴见解析；⑵0 :: a < 1;⑶见解析.⑴：f -1 =0, a-m m-1 =0, a =12f x 二 x mx m T2 2:二m -4 m-1 二 m-2 ,当m=2时，厶=0，函数f x 有一个零点; 当m=2时，二0，函数f x 有两个零点⑵已知则A = m 1 —4a\ m — l}>Q 对于冊e R t 旦成立,即訝『一4o 初+4” 恒成立$所以川=16/-1&1<0, 从而解得O< a<l.⑶设 g X = f X || f X 1 f X 2，1 - _ 1 _ 则 g X1 ;= f x l --||fX ! • f X 2 || f X ! - f X 2f x=2L f x if x2【解析】试题分析：(1)利用判别式定二次函数的零点个数：(2)零点个数问题转化为图象交点个数问题,即试题解析：1 - _ 1 _ g X2 = f X- -- f X1 f X- = - ||f X- -f x1:f X1 = f X1 - ¥ g X1 g X^ - - 4 || f X1 - f X-..O'-g X =0在区间X1, X-上有实数根，1 _ 即方程f X f X1f X2计在区间X1'X2上有实数根•点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.24•已知函数f x]=a Inx-bx图象上一点P 2, f 2处的切线方程为y - -3x • 2ln2 - 2 .(1)求a, b的值；⑵若方程f xi亠m=0在1,e内有两个不等实根，求m的取值范围(其中_ee =2.71828| ||为自然对数的底).1 【答案】(1)a=2, b=1.(2) 「：：m 22.e【解析】试题分析：本题考查函数与方程，函数与导数的综合应用. (1)根据导数的几何意义，得出两个方程，然后求解. 先利用导数研究函数h(x)=f (x)+ m=2lnx - x2+ m的单调性，根据单调性与极值点确定关系然后求解.试题解析:(1)',' f I A ) = -olnx — Eu 1 jt\ f r (x} = — -2bx 9xf (2) = aln2r4b =~6 + 2In2+ 2ci =2解得J i - D = 1(2)由(1 )得 f (x )=2l nx - x 2, 令 h ( x )=f ( x )+ m =2lnx - x +m ,222(1—x )则 h x = — - 2x =xx令 h '( x )=0，得 x =1(x =- 1 舍去)•故当x € 1,1时，h '( x ) > 0, h (x )单调递增；H e当 x € (1 , e ］时，h '( x ) v 0, h (x )单调递减. •••方程h (x )=0在 丄，e 内有两个不等实根，IL e『1 ) 1 h _ = —2 —右+m 兰0 2丿 ej1••• { h 1 = -1 m 0 ，解得 1 ：： me h e = 2「e m 空0(11•实数m 的取值范围为11,-2 2 .\ e」点睛：根据函数零点求参数取值或范围的方法 (1 )利用零点存在的判定定理构建不等式求解；(2 )分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参 数的交点个数；(3 )利用方程根的分布求解，转化为不等式问题.由题意得｛(4 )转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解5•已知函数f x二e x-ax-1，其中e为自然对数的底数， a R(I )若a = e，函数g x = 2 - e x①求函数h x = f x -g x的单调区间f f x x 兰m②若函数F x；={ 的值域为R,求实数m的取值范围g(x ),x>m(II )若存在实数X i,X2 w 0,2】，使得f (X i )= f (刈)，且X i -X2 31，求证：e—1兰a兰e2—e【答案】(1)①详见解析②实数m的取值范围是0,丄 ;(2) e-仁a^e2-e；IL e-2【解析】试題分析：⑴①求出函数的导数，解关干导函数的不等式，求出函数的单调区间即可, ②求岀函数的导数」通过讨论桝的范围得到函数的值域，从而确定加的具体范围即可,(R求出函数/■(刘的导数，得到a>0 在(加］道减在)递増，设O< Jq <X| <2 ,则有0<^<^<^<2,根1®函数的单调性得到关于滞的不等式组，解出即可.试题解析：(1 )当a=e时，f x 二e X-ex-1.①h x = f x -g x =e X-2x-1,h'x =e X-2.由h' x 0得x ln2，由h' x 0 得x ： ln2 .所以函数h x的单调增区间为In2, •::，单调减区间为-二，1 n2 .②f ' x = e x _ e当x <1时，f' x ：：：0,所以f x在区间」：，1上单调递减；当x 1时，f' x 0，所以f x在区间1,匸：上单调递增.g x = 2 -e x在m, 上单调递减，值域为-::,2 - e m ,因为F x的值域为R，所以e m-em-仁2 _e）m ,即e m-2m <0.（*）由①可知当m<Q时》h（m）-e n-2m-l>h（O）=Q f故0不成立-因为*（用）在（0>2）上单调递冰在（加2：1）上单调递聲且应（0）= 0旳（1）="3<0 所以当0兰用51时，A（m）<0恒成立，因此0<m<l.2°当初Al时，/（刘在（Y M）上单调递减,在（I曲上单调递増，所叹函数f（x） = ^-^c-l在｛toe）上的值域为|>（1丄如），即[7他）・^（x） = （2-e）jc在（观+x）上单调递减，值域为（Y\（2-总）酬）. 因为F（刃的值域为左，所以一丄（2-町乩即兰丄.总一2综合T,2°可知，实数用的取值范围是k-!-・_ 左一2.（2）f' x 二e x-a •若a岂0时，f' x • 0 ,此时f x在R上单调递增•由f（X i ）= f（X2 ）可得人=X2，与X i —X2色1相矛盾，同样不能有x1,x2 !jna, •：：.不妨设0三为：：：x2込2，则有0込捲：:：Ina ：：：x2込2.因为f x在X i,lna上单调递减，在Ina,X2上单调递增，且f为=f X2 ，所以当x^i^x三x2时，f x - f捲=f x2.由0兰为v x2兰2，且捲一x2岸1，可得1e Ix1, x2 ]故f 1 岂f % A f X2 .又f x在」：,ln a 1单调递减，且0 一X, ：：：Ina，所以f %乞f 0，所以f 1岂f 0，同理f 1乞f 2 •e - a -1 — 0, 2即｛2解得e -1乞a乞e2「e「1 ,e -a -仁e -2a -2,所以e —1乞a乞e2-e.点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.x6 .已知函数f x X _ ax 1.e(1 )当a =1时，求y = f x在x 1-1,1吐的值域；(2)试求f x的零点个数，并证明你的结论.【答案】(1) l2-e,11 (2)当a乞0时，f x只有一个零点；当a 0时，f x有两个零点.【解析】试题分析:⑴当4=1时，»)二电-Q+1,则门©二今一1二£(町，而丈(力=需小e e e在卜1」]上恒成立，所以g(x)=/(x)®[-l1l]±递减，由f⑼",可得当xe(-lO)时，,才㈤递增*当就时/(刈递;咸,所以=/(<>)= ^ ttK/f-lJ./fl)的大小可得f(x)^f(-l) = 2-^进而可得结果；1 1(2)原方程等价于e x…一…a=0实根的个数，原命题也等价于h x i = e x…一…a在x「「「0)-(0,=x x上的零点个数，讨论a = 0, a ：：：0, a 0，三种情况，分别利用导数研究函数的单调性，结合函数图象与零点存在定理可得结果•x 1 — x试题解析：(1)当a=1 时，fx x _ax 1，则f x x 1二gx ,e e而g x = J2：：：0在1-1,11上恒成立，所以g x二「x在〔-1,11上递减，ef X max 二f -1 =2e—1 0, f X min 二f 1」X0，所以「x在〔-1,11上存在唯一的X。
2018届山东省高考压轴卷理科数学试题及答案精品推荐
2018届山东省高考压轴卷理科数学试题及答案精品推荐2018山东省高考压轴卷理科数学一、选择题：本大题共18小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={0，1，2}，B={x|x=2a ，a ∈A}，则A ∩B 中元素的个数为（）A.0B.1C.2D.3 2. 复数21i z ()i=-，则复数1z +在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件4. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，a 3=5，S k+2﹣S k =36，则k 的值为（）5．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）6.一个算法的程序框图如图所示，如果输入的x的值为2018，则输出的i的结果为（）7.函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递增区间是（）A.[6K-1，6K+2](K∈Z)B. [6k-4,6k-1] (K∈Z)C.[3k-1,3k+2] (K∈Z)D.[3k-4,3k-1] (K∈Z)8. ．在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好落在正方形与曲线围成的区域内（阴影部分）的概率为（）．B．D．9．已知抛物线22(0)y px p=>的焦点F与双曲22145x y-=的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且AK=，则A点的横坐标为(A)18.已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+6）+f（x）=2f（3），y=f （x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，则f（2018）=（）A.18B.-5C.5D.0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．18.（3x+）6的展开式中常数项为（用数字作答）．18. 若等边△ABC的边长为1，平面内一点M满足，则= ．18. 设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为18，则+的最小值为（）．18.设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，则实数a 的取值范围是________ ．18. 已知集合A={f（x）|f2（x）﹣f2（y）=f（x+y）?f（x﹣y），x、y∈R}，有下列命题：①若f（x）=，则f（x）∈A；②若f（x）=kx，则f（x）∈A；③若f （x ）∈A ，则y=f （x ）可为奇函数；④若f （x ）∈A ，则对任意不等实数x 1，x 2，总有成立．其中所有正确命题的序号是______ ．（填上所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．18．在△ABC 中，已知A=4π，cos B =． (I)求cosC 的值；(Ⅱ)若D 为AB 的中点，求CD 的长．18.如图，已知PA ⊥平面ABC ，等腰直角三角形ABC 中，AB=BC=2，AB ⊥BC ，AD ⊥PB 于D ，AE ⊥PC 于E ．（Ⅰ）求证：PC ⊥DE ；（Ⅱ）若直线AB 与平面ADE 所成角的正弦值为，求PA 的值．18. 在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为x 、y ，设O 为坐标原点，点P 的坐标为(2,)x x y --，记2OP ξ=．（I ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．19. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n a S 在直线312y x =-上. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ??的前n 项和n T ，并求使-184055327n n n T +≤?成立的正整数n的最大值.20. 给定椭圆C：，称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是．||+||=4，求椭圆C及其“伴（1）若椭圆C上一动点M随圆”的方程；（2）在（1）的条件下，过点P（0，t）（t＜0）作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为2，求P点的坐标；（3）已知m+n=﹣（0，π）），是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点（m，m2），（n，n2）的直线的最短距离．若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．21.已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+2lnx（a＞0）．（Ⅰ）若a≠，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当＜a＜1时，判断函数f（x）在区间[1，2]上有无零点？写出推理过程．2018山东省高考压轴卷理科数学参考答案1.【答案】C【解析】：由A={0，1，2}，B={x|x=2a ，a ∈A}={0，2，4}，所以A ∩B={0，1，2}∩{0，2，4}={0，2}．所以A ∩B 中元素的个数为2．故选C ． 2. 【答案】D【解析】因为22211()1(1)22i i z i i i i -====----，所以1112z i +=-，所以复数1z +在复平面上对应的点位于第四象限.3. 【答案】A.【解析】当//αβ时，由l ⊥平面α得，l β⊥，又直线m ∥平面β，所以l m ⊥。
2018年湖南省高考压轴卷理科数学试题及答案 精品
2018年湖南省高考压轴卷数学理本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页。
时量120分钟，满分150分。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B铅笔涂黑。
考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。
答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.时，A B =（ ）A．∅2. （ ）A.2B.4C.3D.-23.已知函数，则( )A ．32B ．16 C.D ．4.已知等比数列{}n a中，各项都是正数，且,品…中&高*考*网】A5.已知两个非零向量a 与b ，定义，其中θ为a 与b 的夹角．若()3,4-a =， ()0,2b =，则A ．8-B ．6-C ．8D ．6 6.在空间给出下面四个命题（其中m 、n 为不同的两条直线，a 、b 为不同的两个平面）①m ^a ，n //a Þm n ^②m //n ，n //a Þm //a③m //n ，n b ^，m //a Þa b ^④m n A =，m //a ，m //b ，n //a ，n//bÞa//b其中正确的命题个数有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7.入的条件是（）A．1005i≤ D．1006i>i>C．1006i≤B．10058. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A．．C．（1）π D．（2）π二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上。
2018全国Ⅲ卷高考压轴卷理科数学含答案解析
2018全国Ⅲ卷高考压轴卷理科数学本试卷共23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}()(){}0,150=A x B x x x A B =≥=+-<⋂，则 A ．[－1，4)B ．[0，5)C ．[1，4]D ．[－4，－1) ⋃ [4，5)2. 在ABC △中，60A =︒，4AC =，23BC =ABC △的面积为（ ） A． B ．4 C ．23 D ．223. 边长为8的等边△ABC 所在平面内一点O ，满足23OA OB OC --=0，若M 为△ABC 边上的点，点P 满足||19OP =|MP|的最大值为A.B. 63C. 219D. 3194. 设实数x y ，满足20401x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩，，，≥≤≥则2x y -的最小值为A. －5B.－4C.－3D.－15.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．8163π+ B ．1683π+C ．126π+D ．443π+6. 执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．7 7. 若直线()1:110l ax a y -++=与直线2:210l x ay --=垂直，则实数a = A ．3B ．0C ．3-D ．03-或8. 若双曲线C: 22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆2240x y x +-=所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为A ．32239. 已知12a xdx =⎰，函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数4f x a π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心是A ．,112π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．,212π⎛⎫⎪⎝⎭C ．7,112π⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,24π⎛⎫⎪⎝⎭10. 甲、乙、丙、丁四位同学参加朗读比赛，其中只有一位获奖，有同学走访这四位同学，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”。
2018高考理科数学选填压轴题专练32题(含详细标准答案)
一．选择题（共２6小题)1.设实数x，y 满足,则z=+的取值范围是（）A．[４,］ﻩB.[，］C．[4，] D.[，］２．已知三棱锥Ｐ﹣AＢC中，PＡ⊥平面ABC,且，AＣ=２ＡB,PA=1,ＢＣ=3，则该三棱锥的外接球的体积等于( )Ａ.ﻩB.ﻩC.ﻩＤ.3.三棱锥Ｐ﹣ABC中，PＡ⊥平面ABＣ且PA＝2,△ABC 是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.B．4πC．8πﻩＤ.20π4.已知函数f(x+1）是偶函数，且ｘ＞１时，ｆ′（x)＜0恒成立，又ｆ(４)=０，则(x+3）f（x+4）<0的解集为( )A．(﹣∞，﹣２)∪(4,+∞) B.(﹣6，﹣３）∪(0，４) C.(﹣∞,﹣６）∪(4,+∞)ﻩD.（﹣6，﹣3)∪（0,+∞)5．当ａ＞0时,函数f（x）＝(ｘ2﹣2ax)e x的图象大致是（)A.ﻩB ．CﻩD ．6．抛物线ｙ2=4ｘ的焦点为F,M为抛物线上的动点,又已知点Ｎ（﹣1,0）,则的取值范围是( ）A.[１,2］B．[，]ﻩC．[，2]D.[1,]7．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织,日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子,从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布,第1天织了5尺布,现在一月(按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n天所织布的尺数为a n,则a１4＋a15+a１6+a17的值为（）A.5５ﻩB．５2 C．39ﻩD．２6８．已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当ｘ≥0时，f（x）=ｘ3＋x2，若不等式ｆ（﹣4ｔ）>f(2m+ｍt2）对任意实数t恒成立,则实数m的取值范围是( ）A ．ﻩ B.C.ﻩD.9．将函数的图象向左平移个单位得到y=g（x）的图象,若对满足|f（x1）﹣g(x2)|＝2的x1、ｘ2，｜x１﹣ｘ2|min =，则φ的值是()A ．ﻩ B.ﻩＣ．ﻩD.10.在平面直角坐标系ｘOy中,点P为椭圆C ：＋＝1（a＞b>0）的下顶点，M，N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形,α为直线ON的倾斜角，若α∈(，］，则椭圆Ｃ的离心率的取值范围为( ）A．（0，]ﻩB.(0，] C.［,]ﻩD.[，]11．如图为中国传统智力玩具鲁班锁,起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构）啮合，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称,六根完全相同的正四棱柱分成三组,经９0°榫卯起来．现有一鲁班锁的正四棱柱的底面正方形边长为１，欲将其放入球形容器内(容器壁的厚度忽略不计），若球形容器表面积的最小值为30π,则正四棱柱体的高为（）Ａ.ﻩＢ．Ｃ. D.51２.若函数ｆ(ｘ）＝2sin （）（﹣2<ｘ<10）的图象与x轴交于点A，过点A 的直线l与函数的图象交于Ｂ、C 两点，则（+）•=( )A．﹣32ﻩB.﹣1６C．1６ D.3213.已知抛物线方程为ｙ2=4x,直线l的方程为x﹣ｙ+2=0，在抛物线上有一动点Ｐ到y轴的距离为ｄ1,P到l的距离为d2，则d1+ｄ2的最小值为( )Ａ.Ｂ.﹣１Ｃ．２D．2＋２1４.已知抛物线方程为ｙ２=8ｘ,直线l的方程为ｘ﹣y+2=0,在抛物线上有一动点P到y轴距离为d1，P到l的距离为ｄ2，则d1+ｄ2的最小值为（)A ．２﹣2 B．2ﻩC.２﹣2 D．2+2１5.如图，扇形ＡOB中,OA=１,∠ＡOＢ=90°，M是OB中点,P是弧ＡB上的动点,Ｎ是线段OA 上的动点，则的最小值为（)A．0ﻩB．1 Ｃ.Ｄ.１﹣16.若函数ｆ（x)=ｌoｇ0.２（5+4ｘ﹣x2）在区间（a﹣１，ａ+1)上递减,且b=lｇ0.２,c=20.2,则（)A．c<ｂ<aﻩＢ．ｂ<c＜a C.a＜b＜cﻩD．b<a＜ｃ1７.双曲线﹣=1(ａ＞０，ｂ＞0)的左右焦点分别为Ｆ1，F２渐近线分别为l1,l2，位于第一象限的点P在l1上,若l2⊥ＰF1，l２∥PF2，则双曲线的离心率是（)Ａ.ﻩB ． C.２ D.18．已知定义在R上的可导函数y=ｆ(x)的导函数为f′(x）,满足f′(x）＜f（x），且ｙ=ｆ（x+1）为偶函数，f(2)=1，则不等式f(x）<e x的解集为( ）A．（﹣∞，e４)ﻩB.（e４,＋∞) C.（﹣∞，0)ﻩD.(０,+∞）１9．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′(x），满足ｆ′（x）＜x，且f （2）=1,则不等式ｆ(ｘ）＜x２﹣1的解集为( ）A.(﹣２，+∞) B．（0，＋∞） C．（1,+∞) D．(２,＋∞)２０.对任意实数a,b,定义运算“⊕”:,设ｆ(ｘ）=(x2﹣1)⊕(4＋x)，若函数y=ｆ(x）﹣k有三个不同零点，则实数k的取值范围是（)。
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2018高考理科数学压轴题详解
数学哥
21（12分）已知函数1()ln f x x a x x
=
-+ （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明1212()()2f x f x a x x -<--。
解答（1）：2'211()ln ()x ax f x x a x f x x x
-+-=-+⇒=(0)x > 令2()1h x x ax =-+-
①当0a ≤时，对称轴2
a x =位于给定区间(0,)+∞左侧
图形直观显示：在区间(0,)+∞内，'()0()0()h x f x f x <⇒<⇒单调递减 ②当0a >时，对称轴2
a x =位于给定区间(0,)+∞内 情况1：若24002a a ∆=-≤⇒<≤
图形直观显示：()h x 图像的最高点不可能突破x 轴到达x 轴上方，所以： '()0()0()h x f x f x ≤⇒≤⇒单调递减
情况2：若2402a a ∆=->⇒>
令2
12()10,h x x ax x x =-+-=⇒=
图形直观显示：在区间1(0,)x ，2(,)x +∞内，
'()0()0()h x f x f x <⇒<⇒单调递减； 在区间12[,]x x 内，'()0()0()h x f x f x ≥⇒≥⇒单调递增。
（2）解法1：利用函数图像进行分析：
图形直观表明：1212
()()AB f x f x k x x -=-，且至少存在一个实数ξ，12(,)x x ξ∈使得'1212
()()()f x f x f x x ξ-=- 由于2'
''21()()|()x ax f f x f x x ξ⎧⎫-+-∈=⎨⎬⎩⎭，所以，只要证明'max ()2f x a <-，则'()2f a ξ<-必然成立，即1212
()()2f x f x a x x -<--，于是命题得证。
问题转化为证明'max ()2f x a <-
证明：由（1）可知2''
max 2244()()12a a f x f a a -===-
22
441(2)3()a a a a -
--=-+ 由（1）可知2222444423()33()022a a a a a a a a a a >⇒+=++>⇒-+<-⇒-+<，即： ''12max 12
()()()(2)0()(2)02f x f x f x a f a a x x ξ---<⇒--<⇒<-- （2）解法2：由（1）可知，若()f x 存在两个极值点1x 和2x ，不妨设12x x <
通用方法：1x 和2x 是2'
21()x ax f x x -+-=的零点，所以： 21110x ax -+-=；22210x ax -+-=，从而可以找到1x 和2x 之间的关系 特殊方法：敏锐地观察到2()1h x x ax =-+-是二次函数，所以，可以直接利用韦达定理找到1x 和2x 之间的关系，即：
1221212
1101ln ln x x x ax x x x x ⎧=⎪-+-=⇒=⇒⎨⎪=-⎩① 提示：12x x a +=（带有参数使用起来不方便）
112212121212121211(
ln )(ln )()()(ln ln )2x a x x a x f x f x x x a x x x x x x x x -+--+--==-+---② 通用方法：令1212
(ln ln )()2a x x H x x x -=-+-，只要证明()2H x a <-，则命题得证 特殊方法：敏锐地观察到目标式1212
()()2f x f x a x x -<--和②式的结构特点，不难发现：只要证明1212
ln ln 1x x x x -<-，则命题得证 12121212
ln ln 1ln ln x x x x x x x x -<⇔->--③ 将①代入③式得222222
112ln 2ln 0x x x x x x ->-⇒-+<
22()1a h x x ax >⇒=-+-的对称轴2112
a x x =>⇒> 构造函数1()2ln h t t t t
=-+，(1,)t ∈+∞ 2
'
2221(1)()10()t h t h t t t t -=--=-≤⇒在(1,)+∞上单调递减 2212
11()lim ()02ln 02ln 0t h t h t t t x x t x +→<=⇒-+<⇒-+< 12122221212
ln ln ()()12ln 012x x f x f x x x a x x x x x ---+<⇒<⇒<---。