经济统计学第8章相关与回归分析

1
3
15
2
3
17
3
5
25
4
6
28
5
6
30
6
7
36
7
8
37
8
9
42
9
9
40
10
10
45
销售额 50
相关图
40
30
20
10
客流量
2 4 6 8 10 12
计算相关系数r=0.9918
利用最小二乘法求解参数a，b
a Y bX 4.081
b n xY xY n x2 ( x)2
现代回归的涵义：
研究一个应变量（因变量，被解释变量） 对一个或多个其它变量（自变量，解释 变量）的依存关系，其目的在于根据已 知的解释变量之值来估计和预测因变量 的总体均值。即已知父亲身高的条件下， 儿子们平均身高是怎样变动的。
家庭收入x和家庭消费支出y的关系
X 300 400 500 600 700 Y
第八章 相关与回归分析
一、相关关系
社会经济现象普遍存在两种变量关系： （一） 函数关系
Y＝f(x)→称为函数关系。它反映着现象 之间存在着严格的依存关系，也就是具 有确定性的对应关系，这种关系可用一 个数学表达式反映出来。
（二） 相关关系
相关关系是客观存在的非确定性的数量 对应关系。
分布，（即给定X条件下的平均数为0， 且对于每一个给定Xi，i的条件方差是某 个等于2的正常数）且相互之间独立。
条件3就是要求给定X条件下，变量Y同分 布，且不相互依赖。
支出 回归 直线
300 400 500 600 收入
某地区10个商业企业的客流量和销售额之间的资料 统计如下：
企业序号 客流量（万人）销售额（百万元）
简单线性相关分析的特点
通过对r的计算方法的讨论，可看出二个明显特点： 1. 相关关系中，两个变量不必定出哪个是自变 量，哪个是因变量，因此，相关的两个变量 都是随机变量； 2. 相关关系中只能计算出一个相关系数r。
四、一元直线回归分析
（一）、回归分析的涵义和特点
英国人口学家Galton首先提出了回归的 概念，即一定身高的父母所生的子女的 平均身高，有着朝整个总体平均身高移 动（或回归）的倾向，即回归到中等水 平。
Q a

2 (Y

a

bX)(1)

0
Q b

2 (Y

a

bX)(X)

0
a Y bX
b

n xY xY n x2 ( x)2
基本假设
1）变量X，Y之间存在“真实的” 线性关系。 2）变量X为非随机变量。 3）随机项i(i=1，2….n)，服从N（0，2）
销售额 50
相关图
40
30
20
10
客流量
2 4 6 8 10 12
三、直线相关关系的测定
（一）、相关系数
基本公式：
(一)积差法：
r

2 xy
x ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y

2 xy

1 n
(x

x)(
y

y)
x
1 n

(
x

x
)2
y
1 n
(
y

y)2
r (x x)( y y) ( x x)2 ( y y)2
支出
A 256 296 346 396 416
400 B 260 300 350 400 420 350
300 C 260 300 350 400 420 260
D 264 304 354 404 424
均 260 300 350 400 420 值
300 400 500 600 700 收入
相关与回归分析
Y＝f(x)＋ε; ε被称为随机（因素）扰 动项，或残差。
它反映着现象之间的数量上不严格的依存关系，也就 是说两者之间不具有确定性的对应关系，这种关系有二个 明显特点：
1.相关关系是现象之间确实存在数量上的依存关系，即 某一社会经济现象变化要引起另一社会经济现象的变化； 2.现象之间的这种依存关系是不严格的，即无法用数学 公式表示。
相关分析是回归分析的基础和前提。 回归分析是相关分析的深入和继续。
1.相关分析中两个变量是对等关系,回归 分析中两个变量必须根据研究目的,确定 自变量和因变量;
2.相关分析只能反映变量间的相关密切 程度,回归分析可以计算出X、Y的具体相 关数值。
（二）、参数的最小二乘估计
高斯证明了在某些假定的条件下，利用 样本的变量数据,用最小二乘法(要求实 际值与趋势值的离差的平方为最小)得到 的总体回归参数的估计量是最优的。
4.1 5 4 4
相关与回归分析
编号 施肥量(公斤) 亩产量(公斤)
x
y
1
20
300
2
30
300
3
40
420
4
60
510
5
60
650
二、相关关系的种类
（一）按相关变量的多少划分 单相关、复相关 （二）按数学方程性质（形态）划分 直线相关：两个变量之间的变动关系在散点图
上呈直线趋势，可以用直线模型来表示。 y＝a0＋a1X1＋…＋apXp＋ε 曲线相关：两个变量之间的变动关系在散点图
（二）相关系数简捷计算方法
r
n xy ( x)( y)
n x2 ( x)2 n y2 ( y)2
（二）相关系数的使用：
1、取值范围：|r|≤1， r < 0，负相关；r > 0，正相关。 2、密切程度判断： |r|＝0，不相关（或非直线相关）； |r|＝1完全相关。 |r| < 0.3，弱相关； 0.3 ≤|r| < 0.5，低相关； 0.5≤|r|<0.8，显著相关； 0.8 ≤|r|<1， 高度相关 。
上呈曲线趋势，可以用曲线模型来表示。
（三）按变动方向划分 1、正相关：两种变量的相对应数值同时扩大
或缩小，其变动方向一致。 2、负相关：两种变量相对应的数值，此增彼
减，变动方向相反。 （四）按相关的程度划分 完全相关 不完全相关 无相关
相关关系的判定
一、相关表 二、相关图 三、相关系数
总体一元线 性模型
Y X
样本一元线 性模型
Y a bX e
最小二乘法
用最小二乘法得到的a、b称为、的最 小二乘估计，他们所确定的直线 称为Y对X的线性回归方程。
Yˆi a bXi
求a、b的方法（原理）：
(Y Yˆ )2 Qmin (Y a bX)2 Qmin