2018考研数学一真题及答案

2018考研数学一真题及答案

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．

１．若函数1cos 0(),0x

x f x b x ⎧->⎪

=⎪≤⎩

在0x =处连续，则 （A ）12ab =

（B ）1

2

ab =-（C ）0ab =（D ）2ab = 【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x x

x f x ax ax a +++→→→-===

，0lim ()(0)x f x b f -

→==，要使函数在0x =处连续，必须满足11

22

b ab a =⇒=．所以应该选（A ） 2．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则

（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 【详解】设2

()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2

()f x 是单调增加函数．也

就得到()()22

(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-，所以应该选（C ）

3．函数2

2

(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n =的方向导数为

（A ）12 （B ）6 (C ）4 （D ）2 【详解】

22,,2f f f

xy x z x y z

∂∂∂===∂∂∂，所以函数在点(1,2,0)处的梯度为()4,1,0gradf =，所以2

2

(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n =的方向导数为

()01

4,1,0(1,2,2)23f gradf n n

∂=⋅=⋅=∂应该选（D ）

４．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：米/秒），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =（单位：米/秒），三块阴影部分的面积分别为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻为0t ，则（ ） （A ）010t = （B ）01520t <<

（C ）025t = （D ）025t >

【详解】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线运动的速度函数时，2

1

()()T T S t v t dt =

⎰

表

示时刻[]12,T T 内所走的路程．本题中的阴影面积123,,S S S -分别表示在时间段

[][][]0,10,10,25,25,30内甲、乙两人所走路程之差，显然应该在25t =时乙追上甲，应该

选（C ）．

5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则

（A ）T

E αα-不可逆 （B ）T

E αα+不可逆 （C ）2T

E αα+不可逆 （D ）2T

E αα-不可逆 【详解】矩阵T

αα

的特征值为1和1n -个0

，从而

,,2,2T T T T E E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1；2,1,1,

,1；

1,1,1,,1-；3,1,1,

,1．显然只有T E αα-存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）

． 6．已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100020002C ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，则

（A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,B C 不相似

【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况．

对于矩阵A ，0002001001E A ⎛⎫

⎪

-=- ⎪ ⎪⎝⎭

，秩等于1 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两

个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．

对于矩阵B ，010*******E B -⎛⎫ ⎪

-= ⎪ ⎪⎝⎭

，秩等于2 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一

个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．

7．设,A B 是两个随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(/)(/)P A B P A B >的充

分必要条件是

（A ）(/)(/)P B A P B A > （B ）(/)(/)P B A P B A < （C ）(/)(/)P B A P B A > （D ）(/)(/)P B A P B A <

【详解】由乘法公式：()()(/),()()((/)P AB P B P A B P AB P B P A B ==可得下面结论：

()()()()

(/)(/)()()()()1()()

P AB P AB P A P AB P A B P A B P AB P A P B P B P B P B ->⇔

>=⇔>- 类似，由()()(/),()()(/)P AB P A P B A P AB P A P B A ==可得

()()()()

(/)(/)()()()()1()()

P AB P AB P B P AB P B A P B A P AB P A P B P A P A P A ->⇔

>=⇔>- 所以可知选择（A ）． 8．设12,,

,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本，若1

1n

i i X X n ==∑，则

下列结论中不正确的是（ ）

（A ）

2

1()n

i i X

μ=-∑服从2χ分布 （B ）()2

1

2n X X -服从2χ分布 （C ）

21

()n

i

i X

X =-∑服从2χ分布 （D ）2()n X μ-服从2χ分布

解：（1）显然22

()~(0,1)()~(1),1,2,

i i X N X i n μμχ-⇒-=且相互独立，所以

21

()n

i

i X

μ=-∑服从2()n χ分布，也就是（A ）结论是正确的；

（2）

2

22

22

1

(1)()(1)~(1)n

i

i n S X

X n S n χσ

=--=-=

-∑，所以（C ）结论也是正确的；

（3）注意2

21

~(,)()~(0,1)()~(1)X N X N n X n

μμμχ⇒-⇒-，所以（D ）结论也

是正确的；

（4）对于选项（B ）

：22111

()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒

⇒-，

所以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．已知函数2

1()1f x x

=

+，则(3)

(0)f = ．