重庆大学凝固原理必考：单相合金的凝固溶质再分配(图)
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第十三节单相合金的凝固
质量传输（扩散、对流）
重要影响：
晶体生长形态 偏析、裂纹、缩孔等缺陷
材料 性能
5-1-1 溶质平衡分配系数（K0）
其定义是在给定的温度下，平衡固相溶质浓度CS与液
相溶质浓度CL之比。
k0
CS CL
常数
ms mL 偏析系数：|1-K0|
5-1-2 平衡凝固时的溶质再分配
平衡凝固——原子在液、 固两相内可进行完全扩散
第五章 单相合金的凝固
5-1 溶质再分配 5-2 成分过冷 5-3 固液界面结晶形态
实际液态成形过程 合金 单相合金？
二元合金
单相合金的凝固是最典型、普遍的凝固方式。
尽管许多单 相合金在凝固 后期也可能发 生多相凝固，
但凝固初期 的单相凝固 方式是决定 最终凝固组 织的关键。
共晶：LE→α＋β
偏晶;L1→α＋L2
正常偏析方程
5-1-4-2 固相中无扩散，液相中溶质只有扩散(液相中只有扩散)
I 最初过渡区
Initial transient
II 稳态凝固区
Steady–State
III 最后过渡区
Terminal Transient
CE
x1
x2
C0/k0
Cam C0
kC0
1）
2）
xi
DL k 0V
最初过渡区的特征距离
C0
V
k 0 （1 k 0）e DL
CS* C0
k0
V
k 0 （1 k 0）e DL
（10） （11）
令kE
C
* S
C0
kE 稳态时溶质有效分配系 数
4.1 溶质再分配
第四章
单相及多相合金的结晶
0
1、单相合金与多相合金的概念 （1）单相合金： 结晶过程只析出一个固相的合金， 如固溶体、金属间化合物 （2）多相合金： 结晶过程同时析出两个以上新相的合金， 如具有共晶、包晶转变的合金
1
2、溶质再分配 原始成分为C0的合金加热熔化后，冷却到温度T0，开始凝固 开始凝固时刻液相成分为C0 在相界面开始析出固相成分为C0K0
远离界面处液相成分
稳定状态，液相与固相各点的成分保持不变.
18
（3）最后过渡区 直到剩下液体不多时，凝固接近完毕，液体体积很少，界面上溶质 原子向液体扩散受到限制，
于是界面上液相溶质浓度又再上升（比开始凝固时浓度要高得多）
，固相浓度随之急剧上升，直至凝固结束。 因此往往在最后凝固的区域，K0<1的溶质由于急剧升高而造成严重 成分偏析。
C0 K 0 (1 K0 )e
R N DL
界层宽度δN，
固相成分C∗S。
（1）凝固速度R越大，固相成分C∗S越低，并远离C0。
（2）界层宽度δN越小，固相成分C∗S越低。 （3）搅拌越强，对流越强，固相稳定成分越低。对流及搅拌越 弱，固相成分C∗S越等于C0。
29
S
凝固过程中
，固相成分C∗s
表达式
CS K 0C0 (1 f S ) ( K0 1)
凝固过程中 ，液相成分C∗L 表达式
C C0 f L
L
( K0 1)
随着固相分数的增加，凝固过程中固相与液相的成分不断增加， 以上方程称为正常偏析方程，夏尔公式 最终达到平衡的固相线温度时，仍有液相剩余
R N DL
C C0
S
C0 K 0 (1 K 0 )e
单相及多相合金的结晶
0
1、单相合金与多相合金的概念 （1）单相合金： 结晶过程只析出一个固相的合金， 如固溶体、金属间化合物 （2）多相合金： 结晶过程同时析出两个以上新相的合金， 如具有共晶、包晶转变的合金
1
2、溶质再分配 原始成分为C0的合金加热熔化后，冷却到温度T0，开始凝固 开始凝固时刻液相成分为C0 在相界面开始析出固相成分为C0K0
远离界面处液相成分
稳定状态，液相与固相各点的成分保持不变.
18
（3）最后过渡区 直到剩下液体不多时，凝固接近完毕，液体体积很少，界面上溶质 原子向液体扩散受到限制，
于是界面上液相溶质浓度又再上升（比开始凝固时浓度要高得多）
，固相浓度随之急剧上升，直至凝固结束。 因此往往在最后凝固的区域，K0<1的溶质由于急剧升高而造成严重 成分偏析。
C0 K 0 (1 K0 )e
R N DL
界层宽度δN，
固相成分C∗S。
（1）凝固速度R越大，固相成分C∗S越低，并远离C0。
（2）界层宽度δN越小，固相成分C∗S越低。 （3）搅拌越强，对流越强，固相稳定成分越低。对流及搅拌越 弱，固相成分C∗S越等于C0。
29
S
凝固过程中
，固相成分C∗s
表达式
CS K 0C0 (1 f S ) ( K0 1)
凝固过程中 ，液相成分C∗L 表达式
C C0 f L
L
( K0 1)
随着固相分数的增加，凝固过程中固相与液相的成分不断增加， 以上方程称为正常偏析方程，夏尔公式 最终达到平衡的固相线温度时，仍有液相剩余
R N DL
C C0
S
C0 K 0 (1 K 0 )e
重庆大学金属凝固原理 课件 第1章 概述
铸件和“无限长”的柱状晶
·计算机数值模拟技术得到迅猛发展，可预计铸件
的质量（组织、缺陷和性能），工艺设计更加科 学化，降低了制造成本。
四、需探讨解决的问题
·金属遗传问题的机理 ·固-液界面结晶形貌因第三组元加入后改变的机理 ·宏观偏析的形成机理（特别是大型钢锭的“V”型
和逆“V”型偏析
·高速及超高速冷却（快速凝固）的基础理论研究
·枝晶熔断、游离和增殖的形核理论应用到工业中
的机械振动、电磁搅拌等措施来细化组织。
·半固态铸造工艺
· 超高速（106~109℃/s)凝固，获得成分均匀、超
细的粒状晶甚至非晶、纳米晶
· 建立了枝晶间距—热参数—机械性能的数学模型
通过控制热参数来提高材料性能
·定向凝固技术发展，可制得无偏析和缺陷的单晶
课程名称
《材料成形原理》
先了解材料成形和加工的主要方法
一、 材料成形与制造业
液态成形 连接成形 塑性成形 (含注塑成 形) 粉末成形 切削成形
表面加工
原材料
(锭料、轧材) 液态成形 连接成形 塑性成形 (含注塑成 形) 粉末成形 切削成形
毛坯
切削加工
零件
装配
机器Βιβλιοθήκη 热处理切削加工二、材料加工的主要方法
还很欠缺
§1-3 本篇课程内容及要求 一、课程内容 共分8章 第一章 概述 第二章 液态金属的结构与性质 第三章 形核 第四章 纯金属晶体生长界面动力学过程 第五章 单相合金的凝固 第六章 共晶合金的凝固 第七章 金属凝固的宏观组织与凝固方式 第八章 液态成形件的主要缺陷及质量控制 重点为第五章和第七章
液态金属
凝固
（金属的一次结晶）
固态金属的
状态转变，是液态成形最基本的过 程，金属凝固是液态成形的理论基 础。
·计算机数值模拟技术得到迅猛发展，可预计铸件
的质量（组织、缺陷和性能），工艺设计更加科 学化，降低了制造成本。
四、需探讨解决的问题
·金属遗传问题的机理 ·固-液界面结晶形貌因第三组元加入后改变的机理 ·宏观偏析的形成机理（特别是大型钢锭的“V”型
和逆“V”型偏析
·高速及超高速冷却（快速凝固）的基础理论研究
·枝晶熔断、游离和增殖的形核理论应用到工业中
的机械振动、电磁搅拌等措施来细化组织。
·半固态铸造工艺
· 超高速（106~109℃/s)凝固，获得成分均匀、超
细的粒状晶甚至非晶、纳米晶
· 建立了枝晶间距—热参数—机械性能的数学模型
通过控制热参数来提高材料性能
·定向凝固技术发展，可制得无偏析和缺陷的单晶
课程名称
《材料成形原理》
先了解材料成形和加工的主要方法
一、 材料成形与制造业
液态成形 连接成形 塑性成形 (含注塑成 形) 粉末成形 切削成形
表面加工
原材料
(锭料、轧材) 液态成形 连接成形 塑性成形 (含注塑成 形) 粉末成形 切削成形
毛坯
切削加工
零件
装配
机器Βιβλιοθήκη 热处理切削加工二、材料加工的主要方法
还很欠缺
§1-3 本篇课程内容及要求 一、课程内容 共分8章 第一章 概述 第二章 液态金属的结构与性质 第三章 形核 第四章 纯金属晶体生长界面动力学过程 第五章 单相合金的凝固 第六章 共晶合金的凝固 第七章 金属凝固的宏观组织与凝固方式 第八章 液态成形件的主要缺陷及质量控制 重点为第五章和第七章
液态金属
凝固
（金属的一次结晶）
固态金属的
状态转变，是液态成形最基本的过 程，金属凝固是液态成形的理论基 础。
重庆大学材料成型原理复习资料
（一）凝固理论部分一、填空题和名词解释（30分）1.液态金属的结构可概括为近程有序，远程无序。
实际金属液中存在能量、浓度、构（相）三种起伏。
2.纯金属的液态结构是由原子集团、游离原子、空穴或裂纹组成的。
3.溶质元素对液态金属表面张力的影响分为两大类，提高表面张力的溶质元素叫非表面活性元素，使表面张力降低的溶质元素叫表面活性元素。
4.流变铸造是金属（合金）在凝固温度区间给以强烈搅拌，破碎枝晶，使其形态发生变化，由枝晶经梅花状最终变为团粒状。
5.金属及合金的结晶包括形核和长大两个过程，完成这两个过程需要热力学过冷度和动力学过冷度两种过冷度。
6.依靠液态金属（合金）内部自身的结构自发地形核，称为均质形核。
依靠外来夹杂所提供的异质界面非自发地形核，称为异质形核，或非均质形核。
7.界面前沿液体中的温度条件有正温度梯度和负温度梯度两种，对纯金属而言，晶体的宏观生长方式有平面生长和树枝状生长，而无胞状生长。
8.固-液界面的微观结构（几个原子层范围内）分为粗糙界面和光滑（平整）界面两类。
纯金属晶体的微观生长方式有晶体的连续（垂直）生长、二维生长和从缺陷处生长。
9.铸件凝固时间“折算厚度法则”公式为t=R2/K2，其中K为凝固系数，R为折算厚度（铸件模数）。
由于折算厚度法则考虑到了铸件形状这个因素，所以它更接近实际。
10.液态金属凝固过程中的液体流动主要包括自然对流和强迫对流。
自然对流是由浮力流和凝固收缩引起的流动。
液体在枝晶间的流动驱动力来自三个方面，即凝固时的收缩、液体成分变化引起的密度改变和液体和固体冷却时各自收缩。
11.成分过冷：由固-液界面前方溶质的再分配引起的过冷，称为成分过冷。
热过冷：金属凝固时所需要的过冷度，若完全由热扩散控制，这样的过冷称为热过冷。
12.成分过冷的判据式是：G L/R<m L C0(1-k)/D L k，当G L/R≥m L C0(1-k)/D L k时，合金界面前沿无成分过冷，此时界面以平面方式生长；当G L/R<m L C0(1-k)/D L k时合金界面前沿有成分过冷，此时界面以胞状方式或树枝状方式生长。
6.3凝固过程溶质再分配全解
第一节 凝固过程溶质再分配 第二节 合金凝固界面前沿的成分过冷
第三节 “成分过冷”对合金单相固溶体
结晶形态的影响
第四节 共晶合金的凝固
1
第一节 单相合金的凝固 ----溶质再分配
教学内容：
平衡凝固时的溶质再分配；近平衡凝固时的溶质再 分配；非平衡凝固时的溶质再分配
教学要求 ： 1. 了解平衡凝固时的溶质再分配规律 2. 理解近平衡凝固时的溶质再分配规律
8
• 随着固相分数（fS）增加，凝固界 面上固、液相中的溶质含量均增 加，因此已经凝固固相的平均成 分比平衡的要低。 • 当温度达到平衡的固相线时，势
必仍保留一定的液相（杠杆原
理），甚至达到共晶温度TE时仍有 液相存在。这些保留下来的液相 在共晶温度下将在凝固末端形成 部分共晶组织。
9
三、液相只有有限扩散时的溶质再分配
四、液相中部分混合（有对流作用）
6
一、平衡凝固条件下的溶质再分配
开始（ T=T ）时： CS = K C = C 0 0 L L 0 0C0 : C 的平衡成分，即固、液相中成分均能及时充分 扩散均匀 。 凝固终了时，固相成分均匀地为 C = C S C S fS C f LC S 1 (1 0 K 0 ) f S C sC0 ( f S f L ) C1 SL L CL
K C
平衡凝固是指液、固相溶质成分完全达到平衡状态图对应温度 凝固过程 固、液相质量分数 ( T = T* )中，固 fs 、fL -与固液相成分匀时的溶质再分配
该情况下溶质在固相中没有扩散，而在液相中充分混合均匀。 起始凝固时与平衡凝固时相同： 接着凝固时由于固相中无扩散，
60% 30% 20%
56%
21
第三节 “成分过冷”对合金单相固溶体
结晶形态的影响
第四节 共晶合金的凝固
1
第一节 单相合金的凝固 ----溶质再分配
教学内容：
平衡凝固时的溶质再分配；近平衡凝固时的溶质再 分配；非平衡凝固时的溶质再分配
教学要求 ： 1. 了解平衡凝固时的溶质再分配规律 2. 理解近平衡凝固时的溶质再分配规律
8
• 随着固相分数（fS）增加，凝固界 面上固、液相中的溶质含量均增 加，因此已经凝固固相的平均成 分比平衡的要低。 • 当温度达到平衡的固相线时，势
必仍保留一定的液相（杠杆原
理），甚至达到共晶温度TE时仍有 液相存在。这些保留下来的液相 在共晶温度下将在凝固末端形成 部分共晶组织。
9
三、液相只有有限扩散时的溶质再分配
四、液相中部分混合（有对流作用）
6
一、平衡凝固条件下的溶质再分配
开始（ T=T ）时： CS = K C = C 0 0 L L 0 0C0 : C 的平衡成分，即固、液相中成分均能及时充分 扩散均匀 。 凝固终了时，固相成分均匀地为 C = C S C S fS C f LC S 1 (1 0 K 0 ) f S C sC0 ( f S f L ) C1 SL L CL
K C
平衡凝固是指液、固相溶质成分完全达到平衡状态图对应温度 凝固过程 固、液相质量分数 ( T = T* )中，固 fs 、fL -与固液相成分匀时的溶质再分配
该情况下溶质在固相中没有扩散，而在液相中充分混合均匀。 起始凝固时与平衡凝固时相同： 接着凝固时由于固相中无扩散，
60% 30% 20%
56%
21
凝固原理
44便处于过饱和状态溶液过冷温度越低过饱和度越大过冷度也越大但是对不同成分的溶液同样温度下过冷度不一样溶液的浓度和过冷度之间存在一定关系由此引出组成过冷的概念45无温度梯度正温度梯度负温度梯度界面界面界面蓝线为体系实际温度分布曲线46无温度梯度正温度梯度界面界面蓝线为体系实际温度分布曲线47浓度过冷和温度过冷加在一起为真正对结晶起作用的过冷即组分过冷界面熔点曲线浓度曲线界面熔点曲线不同温度梯度48在无温度梯度的情况下由于界面处溶质浓度高熔点低过冷度小结晶时一旦结晶开始晶体稍有突出突出的部分即暴露在过冷度越来越大的环境生长越来越快迅速伸出枝晶此即固溶体结晶时宏观液固界面难保持平面也是胞晶和枝晶比同分结晶容易发展的原当实际温度梯度超过熔点曲线的斜率时即不存在过冷区50当实际温度梯度一定时组成过冷将随熔点曲线的斜率变化而变化即有下图实际温度梯度熔点曲线1熔点曲线2界面b处偏析严重熔点降低多b处增长缓慢52由上述分析可以解释
11
3.3.1 溶质再分配
• 离开界面处的成份将有很大变化，但界面处的平衡条件 要求T*、 C*L、C*S三个之一被确定时，另外两个参数 依据相图也被确定了。平衡分配值（分配系数）K＝ C*S/C*L。
12
3.3.1 溶质再分配
• 概念之二：杠杆定律
液态合金原始成份为C0，在长度为L的坩锅中从一端凝 固，固体开始生成温度为TL，其成份为CS＝KC0，固相中 溶质含量低于C0，继续冷却，液相、固相的溶质逐渐富 集，温度为T*时，液固界面处的固液相溶质相平衡。假 定液相、固相完全扩散，CS＝CS*，CL=CL*。 对于T*时，固液相的质量分数为fs、fL，则有： 凝固fs所析出的溶质等于固液 f s (C0 − CS ) = (1 − f s )(C1 − C0 ) 交界面液相中溶质的增加。 即： CSfs＋CLfL＝C0，为杠杆定 fs=(Tl-T)/(Tl-Ts) 13 律， fS＋fL＝1
11
3.3.1 溶质再分配
• 离开界面处的成份将有很大变化，但界面处的平衡条件 要求T*、 C*L、C*S三个之一被确定时，另外两个参数 依据相图也被确定了。平衡分配值（分配系数）K＝ C*S/C*L。
12
3.3.1 溶质再分配
• 概念之二：杠杆定律
液态合金原始成份为C0，在长度为L的坩锅中从一端凝 固，固体开始生成温度为TL，其成份为CS＝KC0，固相中 溶质含量低于C0，继续冷却，液相、固相的溶质逐渐富 集，温度为T*时，液固界面处的固液相溶质相平衡。假 定液相、固相完全扩散，CS＝CS*，CL=CL*。 对于T*时，固液相的质量分数为fs、fL，则有： 凝固fs所析出的溶质等于固液 f s (C0 − CS ) = (1 − f s )(C1 − C0 ) 交界面液相中溶质的增加。 即： CSfs＋CLfL＝C0，为杠杆定 fs=(Tl-T)/(Tl-Ts) 13 律， fS＋fL＝1
第4章单相及多相合金的凝固
R x DL
上式中CL(x)为边界层内任意一点x的液相成分。
如果液相容量不是很大，则在扩散层外的液体 成分逐渐提高，以平均值 C 表示。则上式写成：
C L ( x) C L 1 e 1 * R CL CL DL 1 e
R x DL
两种极端情况： ①δ →∞时，即液相内无对流而只有扩散的情 C C , C * C / k , 上式变成前面讨论的液相内 况， L 0 0 无对流而只有扩散的解：
L L * L * S x 0
R x DL R DL L 0
C C0
* L
1 e
DL
联列解得：
CL
dCL ( x) dx
R
x 0
* C L C0
1 e
R DL
C0 k0 (1 k0 )e
R DL
* CS
k0C0 k0 (1 k0 )e
平衡溶质分配系数k0的定义：当凝固进行到某
* 一温度 T *时，平衡固相溶质成分 C S与液相溶质
成分 C L* 之比，即
* CS k0 * CL
（4-1）
对于不同的相图（或相图的不同部分），k0值
可以小于1，如图（a）所示； k0也可以大于1，
如图（b）所示。
不同类型的平衡相图 m （a） L 0, k 0 1 （b） m
1.固相无扩散、液相均匀混合时的溶质再分配 固相：溶质原子来不及扩散 液相：可完全混合，均匀成分（足够的搅拌与 对流）
随着固相分数（fS）增加，凝 固界面上固、液相中的溶质含量 均增加，因此固相的平均成分比 平衡的要低。 当温度达到平衡的固相线时， 势必仍保留一定的液相（杠杆原 理），甚至达到共晶温度TE时仍 有液相存在。这些保留下来的液 相在共晶温度下将在凝固末端形 成部分共晶组织。
单相合金凝固过程的溶质分布规律
•单相合金凝固过程的溶质分布规律•1)平衡凝固•把液相线简化为直线→K值为常数。
•设原始成分为C0的二元合金。
•将其熔化浇入长度为l的容器中，并从一端开始进行凝固。
•凝固开始温度为T L，结晶出的固相成分为K0C0。
•此时从固相中排出来的多余溶质通过界面很快地扩散到液相体中去，见图2-17(a)。
•由于K值为常数，随着凝固过程的进行，液相和固相中溶质都在逐渐提高。
图2-17 平衡凝固条件下溶物再分布示意图（a ）凝固开始（b ）在温度时凝固（c ）凝固结束（d ）相图•2）非平衡凝固•指固相内溶质无扩散，液相内通过扩散、对流等方式传质的凝固过程。
•（1）固相无扩散、液相内有对流•--液相均匀混合、扩散可不考虑•设合金的原始成分为C0，熔化后将其注入长度为ｌ的容器中，并令其从一端开始凝固。
•当合金温度降到T L时，液相内开始形成少量固体，其成分为K0C0，多余的溶质排入界面前液相内。
•由于液相完全对流，排入的溶质会引起液相内溶质的平均浓度有所提高，使随后结晶的固相溶质浓度高于已凝固固相。
•由于固相中无扩散，随着凝固界面的不断推进，液相平均溶质浓度不断提高，导致固相的溶质浓度也不断提高。
•当温度为时，•界面上会有成分为的固相，•从成分为的液相中凝固出来，如图。
•凝固结束后，晶体内沿长大方向上溶质分布的情况如图2-17（c ）所示。
*T *S C *L C界面前液相通过对流溶质完全混合情况下的溶质分布•某时刻，界面上的固、液两相成分各为和•，相应的质量分数为和；•当界面处固相增量为时，•有的溶质排除而使剩余液相的浓度增高，根据溶质质量守衡原则，有：*S C*LC *S f *L f S df S S L df C C )(**−)1(S S df f −−*LdC ***)1()(LS S S S L dC df f df C C −−=−•经过简化积分得：•此式被称之为“非平衡凝固的杠杆定律”，又叫Scheil 方程。
【凝固科学基础】4.4 液-固界面前沿的溶质再分配
开始（ T=TL）时： CS = K0C0 CL= C0
第四章 凝固的结晶学基础
8
平衡凝固条件下的溶质再分配
扩散条件——固相中，溶质充分扩散；液相中，溶质充分扩散（或强 烈搅拌、对流），固、液相中成分均能及时充分扩散均匀。
凝固过程(T = T* )中，固-液界面上成分为：
C
∗ S
=
Cs
C
∗ L
=
CL
= 1 .5 % （wt%）
2）得到单相组织的办法： 均匀化退火、平衡凝固
第四章 凝固的结晶学基础
21
第四节 固-液界面前沿的溶质再分配
一、溶质再分配 二、平衡凝固 三、非平衡凝固（1）——液相充分混合均匀 四、非平衡凝固（2）——液相有限扩散 五、实际产生的现象和应用
第四章 凝固的结晶学基础
22
A. 溶质富集现象
z 固相成分不均匀； z L/S界面溶质富集液相形
成边界层； z 边界层内扩散传输，远处
成分无明显变化；
第四章 凝固的结晶学基础
24
B. 溶质富集的极限
Cs随CL增大，当 Cs=Co、CL=Co/k溶质富 集达到极限，进入稳定 生长阶段。
第四章 凝固的结晶学基础
25
C. 凝固前沿液相溶质分布
z 当fs→1，即凝固临近结束时， 该式不适用。
Cs = kC0 (1− fs )k−1
CL
=
C0
f k −1 L
第四章 凝固的结晶学基础
19
例：Al—1%Cu，固相中溶质无扩散，液相混合均
匀，k=常数，CE=33%Cu，Csm=5.65%Cu, 问：1.凝固后的共晶合金占%?
2.如何得到单相组织？
CL
第四章 凝固的结晶学基础
8
平衡凝固条件下的溶质再分配
扩散条件——固相中，溶质充分扩散；液相中，溶质充分扩散（或强 烈搅拌、对流），固、液相中成分均能及时充分扩散均匀。
凝固过程(T = T* )中，固-液界面上成分为：
C
∗ S
=
Cs
C
∗ L
=
CL
= 1 .5 % （wt%）
2）得到单相组织的办法： 均匀化退火、平衡凝固
第四章 凝固的结晶学基础
21
第四节 固-液界面前沿的溶质再分配
一、溶质再分配 二、平衡凝固 三、非平衡凝固（1）——液相充分混合均匀 四、非平衡凝固（2）——液相有限扩散 五、实际产生的现象和应用
第四章 凝固的结晶学基础
22
A. 溶质富集现象
z 固相成分不均匀； z L/S界面溶质富集液相形
成边界层； z 边界层内扩散传输，远处
成分无明显变化；
第四章 凝固的结晶学基础
24
B. 溶质富集的极限
Cs随CL增大，当 Cs=Co、CL=Co/k溶质富 集达到极限，进入稳定 生长阶段。
第四章 凝固的结晶学基础
25
C. 凝固前沿液相溶质分布
z 当fs→1，即凝固临近结束时， 该式不适用。
Cs = kC0 (1− fs )k−1
CL
=
C0
f k −1 L
第四章 凝固的结晶学基础
19
例：Al—1%Cu，固相中溶质无扩散，液相混合均
匀，k=常数，CE=33%Cu，Csm=5.65%Cu, 问：1.凝固后的共晶合金占%?
2.如何得到单相组织？
CL
6.3 凝固过程溶质再分配
K C
平衡凝固是指液、固相溶质成分完全达到平衡状态图对应温度 凝固过程 固、液相质量分数 ( T = T* )中，固 fs 、fL -与固液相成分间关系式： 液界面上成分为：
7
二、液相充分混合均匀时的溶质再分配
该情况下溶质在固相中没有扩散，而在液相中充分混合均匀。 起始凝固时与平衡凝固时相同： 接着凝固时由于固相中无扩散，
KE K0 K 0 (1 K ：发生在
R N DL
＜＜1 时（见式4-6），即慢生长速度和最大
的搅动对流，δN 很小时，这相当于前面讨论的液相完全混合的情况。
KE =1：发生在
R N DL
＞＞1 时，即快生长速度凝固、或没有任何对流，
δN 很大的情况，这相当于液相只有扩散时的情况。
四、液相中部分混合（有对流作用）
6
一、平衡凝固条件下的溶质再分配
开始（ T=T ）时： CS = K C = C 0 0 L L 0 0C0 : C 的平衡成分，即固、液相中成分均能及时充分 扩散均匀 。 凝固终了时，固相成分均匀地为 C = C S C S fS C f LC S 1 (1 0 K 0 ) f S C sC0 ( f S f L ) C1 SL L CL
3
溶质分配系数 k
K=Cs/CL
4
当相图上的液相线和固相线皆为直线时，试 证明K0为一常数。
液相线及固相线为直线，假设其斜 率分别为mL及mS，虽然CS、CL随温度 变化有不同值，但
K0 Cs (Tm T ) / ms ms 常数 CL (Tm T ) / mL mL
T K0＜1
第三节 “成分过冷”对合金单相固溶体
结晶形态的影响
平衡凝固是指液、固相溶质成分完全达到平衡状态图对应温度 凝固过程 固、液相质量分数 ( T = T* )中，固 fs 、fL -与固液相成分间关系式： 液界面上成分为：
7
二、液相充分混合均匀时的溶质再分配
该情况下溶质在固相中没有扩散，而在液相中充分混合均匀。 起始凝固时与平衡凝固时相同： 接着凝固时由于固相中无扩散，
KE K0 K 0 (1 K ：发生在
R N DL
＜＜1 时（见式4-6），即慢生长速度和最大
的搅动对流，δN 很小时，这相当于前面讨论的液相完全混合的情况。
KE =1：发生在
R N DL
＞＞1 时，即快生长速度凝固、或没有任何对流，
δN 很大的情况，这相当于液相只有扩散时的情况。
四、液相中部分混合（有对流作用）
6
一、平衡凝固条件下的溶质再分配
开始（ T=T ）时： CS = K C = C 0 0 L L 0 0C0 : C 的平衡成分，即固、液相中成分均能及时充分 扩散均匀 。 凝固终了时，固相成分均匀地为 C = C S C S fS C f LC S 1 (1 0 K 0 ) f S C sC0 ( f S f L ) C1 SL L CL
3
溶质分配系数 k
K=Cs/CL
4
当相图上的液相线和固相线皆为直线时，试 证明K0为一常数。
液相线及固相线为直线，假设其斜 率分别为mL及mS，虽然CS、CL随温度 变化有不同值，但
K0 Cs (Tm T ) / ms ms 常数 CL (Tm T ) / mL mL
T K0＜1
第三节 “成分过冷”对合金单相固溶体
结晶形态的影响
第4章单向合金凝固_300508609
富集区中最大含量随凝固速度变化的增 大而增大；同样，贫乏区中溶质的最低 含量随凝固速度变化的增大而变得更低。
23
3. 固相无扩散、液相只有扩散
24
4
成分
3. 固相无扩散、液相只有扩散
固相
C0 k0C0
CS 距离
对于这种形式的凝固 过程，希望扩大稳态 区而缩小最初及最终 过渡区，而获得更大 范围的成分均一的铸 件。因而，研究最初 及最终过渡区的溶质 浓度分布及过渡区长 度具有重要意义。
7
成分
1. 固相无扩散、液相完全混合
固相
液相
dCL
CL C0
CS k0C0
LdfS
析出少量固体时排出的溶 质与液相中溶质的增量相 等。
(CL CS )LdfS LfLdCL L(1 fS )dCL
dCS CS
(1
k0
)
df (1
S
f
S
)
距离
8
1. 固相无扩散、液相完全混合
CS
k0C0
dCS CS
根据凝固厚度与凝固时间的关系式：
1
1
1
s Ct 2 ,
L
Ct
2 f
s / L fS t /tf 2
则凝固速度可表示为：
1
v
ds dt
L 1 2 tt f
2
L 1 2 tf fS
12
2
2. 固相有扩散、液相完全混合
dCS CS
(1
k0
)
1
(1
df S 2k0
)
f
S
,
DSt f L2
(1 k0 )
fS 0
df S (1 fS )
23
3. 固相无扩散、液相只有扩散
24
4
成分
3. 固相无扩散、液相只有扩散
固相
C0 k0C0
CS 距离
对于这种形式的凝固 过程，希望扩大稳态 区而缩小最初及最终 过渡区，而获得更大 范围的成分均一的铸 件。因而，研究最初 及最终过渡区的溶质 浓度分布及过渡区长 度具有重要意义。
7
成分
1. 固相无扩散、液相完全混合
固相
液相
dCL
CL C0
CS k0C0
LdfS
析出少量固体时排出的溶 质与液相中溶质的增量相 等。
(CL CS )LdfS LfLdCL L(1 fS )dCL
dCS CS
(1
k0
)
df (1
S
f
S
)
距离
8
1. 固相无扩散、液相完全混合
CS
k0C0
dCS CS
根据凝固厚度与凝固时间的关系式：
1
1
1
s Ct 2 ,
L
Ct
2 f
s / L fS t /tf 2
则凝固速度可表示为：
1
v
ds dt
L 1 2 tt f
2
L 1 2 tf fS
12
2
2. 固相有扩散、液相完全混合
dCS CS
(1
k0
)
1
(1
df S 2k0
)
f
S
,
DSt f L2
(1 k0 )
fS 0
df S (1 fS )
金属凝固原理-第四章
dCL/dt=DL[d(dCL/dx)]/dx=DLd2CL/dx2
“稳定态定向凝固”溶质分配特征方程式 条件： 1）扩散源稳定（相变时溶质的析出速度与扩
散速度处于动平衡）； 2）扩散源的运动速度R与溶质的析出Байду номын сангаас度也
为动态平衡。 DLd2CL/dx2＋R（dCL/dx）=0
4.1.2 凝固传质过程的有关物理量
2）k0>1：溶质元素从L越过S/L界面扩散S，使得 CS>CL；
3. 液相线斜率mL mL＝dT/dC=(TL-Tm)/CL TL=Tm+ mL CL
4. 液相温度梯度GL GL=dT/dx GL<0，负温度梯度；Ti>TL GL>0，正温度梯度；Ti<TL
4.1.3 稳定态（溶质传输）过程的一般 性质
1. 稳定态定向凝固特征微分方程的通解
对于动态的稳定态扩散（L/S界面处无溶 质元素聚积，结晶速度=溶质自界面远 方扩散走的速度，动态平衡），溶质分配
特征方程式的通解为：
C(x)L=A exp(-Rx/DL)+B
CL:溶质在液相中的浓度；DL: 扩散系数； R=dx/dt: 固液界面生长速度
2. 固液界面处（x=0）的溶质平衡
金属凝固原理-第四章
第四章 单相及多相合金的结晶
凝固过程中的质量传输 单相合金的凝固 成分过冷的产生 界面前方过冷状态对凝固过程的影响 多相合金的凝固
§4-1 凝固过程中的质量传输
4.1.1 溶质分配方程
传热、传质、流动—影响凝固过程；扩散过程—便于理解溶质再分配
1. 扩散第一定律
溶质在扩散场中某处的扩散通量J {J:单位时间t内 通过单位面积A的溶质质量m，即J=dm/(Adt)}与溶 质在该处的浓度梯度（dCL/dx）成正比，
“稳定态定向凝固”溶质分配特征方程式 条件： 1）扩散源稳定（相变时溶质的析出速度与扩
散速度处于动平衡）； 2）扩散源的运动速度R与溶质的析出Байду номын сангаас度也
为动态平衡。 DLd2CL/dx2＋R（dCL/dx）=0
4.1.2 凝固传质过程的有关物理量
2）k0>1：溶质元素从L越过S/L界面扩散S，使得 CS>CL；
3. 液相线斜率mL mL＝dT/dC=(TL-Tm)/CL TL=Tm+ mL CL
4. 液相温度梯度GL GL=dT/dx GL<0，负温度梯度；Ti>TL GL>0，正温度梯度；Ti<TL
4.1.3 稳定态（溶质传输）过程的一般 性质
1. 稳定态定向凝固特征微分方程的通解
对于动态的稳定态扩散（L/S界面处无溶 质元素聚积，结晶速度=溶质自界面远 方扩散走的速度，动态平衡），溶质分配
特征方程式的通解为：
C(x)L=A exp(-Rx/DL)+B
CL:溶质在液相中的浓度；DL: 扩散系数； R=dx/dt: 固液界面生长速度
2. 固液界面处（x=0）的溶质平衡
金属凝固原理-第四章
第四章 单相及多相合金的结晶
凝固过程中的质量传输 单相合金的凝固 成分过冷的产生 界面前方过冷状态对凝固过程的影响 多相合金的凝固
§4-1 凝固过程中的质量传输
4.1.1 溶质分配方程
传热、传质、流动—影响凝固过程；扩散过程—便于理解溶质再分配
1. 扩散第一定律
溶质在扩散场中某处的扩散通量J {J:单位时间t内 通过单位面积A的溶质质量m，即J=dm/(Adt)}与溶 质在该处的浓度梯度（dCL/dx）成正比，
单相合金的凝固
（5.8）
上式表明，当合金成分C0、k及DL一定时，Cs*仅取决于R 和δ，当R和δ也一定时， Cs*值恒定，但小于C0；加速对 流，促进液相成分均匀，使δ减小， CL*降低，故Cs*也降 低，但只要R保持恒定， Cs*也保持恒定；加大 R，可增 大Cs*值，R愈大， Cs*愈接近C0；减小R，可降低Cs*值。
• 在这一情况下的溶质再分布，会导致铸锭成分分布不均匀， 在凝固后期，液相成分远高于C0，甚至可达到共晶成分CE， 使单相合金铸锭中出现共晶组织。
8
液相部分混合均匀的溶质再分布
• 液相中仅有扩散：开始凝固的固相成分也为 kC0 。 k ＜ 1 时， 固相在固液界面上排出多余的溶质。由于液相只能通过溶 质扩散而部分混合均匀，因此在界面前沿出现一富溶质层。 • 随着凝固的继续进行，富溶质层中溶质含量逐渐增加。当 温度下降至固相线温度Ts时，固相成分就是合金的原始成 分 C0，而固液界面处的液相成分为 C0/k。此时，凝固将在 Ts温度下进行，且固相中排出的溶质量等于扩散至液相中 的溶质量，凝固过程处于稳定态。
溶质再分布
• 凝固过程中出现溶质再分布，是合金的凝固不同于纯金属 的一个重要特征，也是合金凝固过程中一种较普遍的传质 现象。 • 铸锭成分的均匀性、晶粒组织及热裂等的形成，都与溶质 再分布有关。衡量溶质再分布状况的主要参数是平衡分布 系数 K 。它表示同一温度下固相成分 Cs 与相平衡的液相成 分CL之比值，即：
29
成分过冷的判据
• 因此，不出现成分过冷的条件是：
RmLC0 (1 k ) Gl DL k
Gl mLC0 (1 k ) R DL k
(5. 20)
它仅适用于液相线为直线(ML不变)、液相中仅有扩 散而溶质部分混合均匀、忽略固相中扩散、凝固过 程处于稳定态的情况，并要求凝固速度R保持恒定、 DL为定数。
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T T1 '时： ⑤ 凝固终了 CS C SM
2. 固相无扩散，液相中只有扩散时的溶质再分配 （1）凝固过程 CS C0 ， CL C0 ② 凝固过程任一温度T T ' 时：
2. 固相无扩散，液相中只有扩散时的溶质再分配 （1）凝固过程 C 0 ③ 凝固到平衡固相线T T1 时：C S C0，C L
② 凝固过程中任一温度（ T T ）时，固 -液界面上成 ' C0 CL C0 分为： K 0C0 CS
设固、液相质量分数分别为fS、fL，则fS+fL=1，根据质量 守恒有
： f S C s f L C L C0
Cs ，
K 0C0 1 1 K 0 f S
CS
C0 ，则 f L 0 ，还有液体须继续凝固 由于 CS CS
C0
CL
C0
K0
C L ；有 CS f S
C0
K0
f L C0 ,
近（准）平衡凝固时的溶质再分配
C ④ 接近凝固终了 时：C0 CS CSM 0 K0 C 状态图中的Cs为近平衡凝固时 C C 0
近（准）平衡凝固时的溶质再分配
② 凝固过程任一温度T T '时： CS C0 ， CL C L C0 C S ,C L 设固相内平均成分为 C S ，液相为 C L ，有 CS CL 则：CS fS C L f L C0
CS
近（准）平衡凝固时的溶质再分配 ③ 凝固到平衡固相线 T T1 时：
单相合金的凝固溶质再分配
平衡凝固时的溶质再分配
平衡凝固指凝固速度极度缓慢，使液相和固相中的溶质 得以充分扩散均匀化。假设合金是从左向右进行单向凝固， 固-液界面前沿存在正温度梯度，以K0<1合金为例。 * CL C0 ① 开始凝固 时， CS K 0C0 C0 ，
TM T0
平衡凝固时的溶质再分配
平衡凝固时的溶质再分配
③ 接近凝固终了
C CS C0，C L 时， 0
K0
C0
TM
T0
平衡凝固时的溶质再分配
C S C0 （单向凝固锭中无偏析） ④ 凝固终了 T T1 时：
TM
T0
近（准）平衡凝固时的溶质再分配
1. 固相无扩散，液相均匀混合时的溶质再分配 K 0 1为例 假设合金单向凝固，界面前沿存在正温度梯度， （1）凝固过程 CS K 0 C0 C0 ， CL C0 ① 凝固开始 时：
L LM
的固相线。
TM
K0
T0
பைடு நூலகம்L
近（准）平衡凝固时的溶质再分配
⑤ 凝固终了T T1 ' 时： CS C SM ，铸锭中成分不均匀， 存在微观偏析.
TM
T0
2. 固相无扩散，液相中只有扩散时的溶质再分配
在这种情况下，界面上排出的溶质原子只能通过扩散缓慢地向液体内 部运动，得不到充分的均匀化，于是界面前沿出现一个溶质富集区。 假设合金单向凝固，界面前存在正温度梯度，以K0<1为例。 （1）凝固过程 CS K 0 C0 ， C L ① 凝固开始 时： C0
K0
C 在T1温度下,如果凝固速度R不变,则 C S CL 0 不变， C0 ， K0 此时为稳定生长。
2. 固相无扩散，液相中只有扩散时的溶质再分配 （1）凝固过程 ④ 接近凝固终了
时： CS C SM ， CL C LM
2. 固相无扩散，液相中只有扩散时的溶质再分配 （1）凝固过程
2. 固相无扩散，液相中只有扩散时的溶质再分配 （1）凝固过程 CS C0 ， CL C0 ② 凝固过程任一温度T T ' 时：
2. 固相无扩散，液相中只有扩散时的溶质再分配 （1）凝固过程 C 0 ③ 凝固到平衡固相线T T1 时：C S C0，C L
② 凝固过程中任一温度（ T T ）时，固 -液界面上成 ' C0 CL C0 分为： K 0C0 CS
设固、液相质量分数分别为fS、fL，则fS+fL=1，根据质量 守恒有
： f S C s f L C L C0
Cs ，
K 0C0 1 1 K 0 f S
CS
C0 ，则 f L 0 ，还有液体须继续凝固 由于 CS CS
C0
CL
C0
K0
C L ；有 CS f S
C0
K0
f L C0 ,
近（准）平衡凝固时的溶质再分配
C ④ 接近凝固终了 时：C0 CS CSM 0 K0 C 状态图中的Cs为近平衡凝固时 C C 0
近（准）平衡凝固时的溶质再分配
② 凝固过程任一温度T T '时： CS C0 ， CL C L C0 C S ,C L 设固相内平均成分为 C S ，液相为 C L ，有 CS CL 则：CS fS C L f L C0
CS
近（准）平衡凝固时的溶质再分配 ③ 凝固到平衡固相线 T T1 时：
单相合金的凝固溶质再分配
平衡凝固时的溶质再分配
平衡凝固指凝固速度极度缓慢，使液相和固相中的溶质 得以充分扩散均匀化。假设合金是从左向右进行单向凝固， 固-液界面前沿存在正温度梯度，以K0<1合金为例。 * CL C0 ① 开始凝固 时， CS K 0C0 C0 ，
TM T0
平衡凝固时的溶质再分配
平衡凝固时的溶质再分配
③ 接近凝固终了
C CS C0，C L 时， 0
K0
C0
TM
T0
平衡凝固时的溶质再分配
C S C0 （单向凝固锭中无偏析） ④ 凝固终了 T T1 时：
TM
T0
近（准）平衡凝固时的溶质再分配
1. 固相无扩散，液相均匀混合时的溶质再分配 K 0 1为例 假设合金单向凝固，界面前沿存在正温度梯度， （1）凝固过程 CS K 0 C0 C0 ， CL C0 ① 凝固开始 时：
L LM
的固相线。
TM
K0
T0
பைடு நூலகம்L
近（准）平衡凝固时的溶质再分配
⑤ 凝固终了T T1 ' 时： CS C SM ，铸锭中成分不均匀， 存在微观偏析.
TM
T0
2. 固相无扩散，液相中只有扩散时的溶质再分配
在这种情况下，界面上排出的溶质原子只能通过扩散缓慢地向液体内 部运动，得不到充分的均匀化，于是界面前沿出现一个溶质富集区。 假设合金单向凝固，界面前存在正温度梯度，以K0<1为例。 （1）凝固过程 CS K 0 C0 ， C L ① 凝固开始 时： C0
K0
C 在T1温度下,如果凝固速度R不变,则 C S CL 0 不变， C0 ， K0 此时为稳定生长。
2. 固相无扩散，液相中只有扩散时的溶质再分配 （1）凝固过程 ④ 接近凝固终了
时： CS C SM ， CL C LM
2. 固相无扩散，液相中只有扩散时的溶质再分配 （1）凝固过程