山东省平邑一中2020届高三下学期第五次调研考试数学试题
平邑一中某高三数学下学期第五次调研考试试题及解析
山东省平邑县第一中学2020届高三数学下学期第五次调研考试试题一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={0,1,2,3}，2(|230),B x x x =--<则A ∪B=A.(-1,3)B. (-1,3]C. (0,3)D.(0,3]2.已知i 为虚数单位，复数z 满足z ·i=1+2i,则z 的共轭复数为A.2-iB.1- 2iC.2 +iD.i-23.已知两个力12(1,2),(2,3)F F ==-作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力3,F 3F =A.(1,-5)B.(-1,5)C.(5,-1)D.(-5,1)4.若sin 5cos(2)θπθ=-，则tan2θ=5.3A -5.3B5.2C -5.2D 5.函数f(x)= x+cos x 的大致图象是6.已知x>0,y>0,且191,x y+=则xy 的最小值为 A.100B.81C.36D.97.已知抛物线22y x =的焦点为F ，准线为1，P 是1上一点，直线PF 与抛物线交于M,N 两点,若3,MF PF =u u u r u u u r则|MN|=16.3A8.3B C.283.3D 8.已知a 123,,{2,4,6}.a a ∈，记123(,,)a a a N 为123,,a a a 中不同数字的个数,如:N(2,2,2)=1，N(2,4,2)=2，N (2,4,6)=3, 则所有的123(,,)a a a 的排列所得的123(,,)N a a a 的平均值为19.9A B.329.9C D.4二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9."一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体。
2020年2020届山东省高三高考模拟考试数学试卷及解析
2020年2020届山东省高三高考模拟考试数学试卷★祝考试顺利★ (解析版)一、单项选择题：1.已知集合{1,2}A =-,{|1}B x ax ==,若B A ⊆,则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为（ ）A. 11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭B. 11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C. 10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭D. 11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】分B 为空集和B 不为空集两种情况讨论,分别求出a 的范围,即可得出结果. 【详解】因为集合{1,2}A =-,{|1}B x ax ==,B A ⊆, 若B 为空集,则方程1ax =无解,解得0a =； 若B 不为空集,则0a ≠；由1ax =解得1x a=,所以11a =-或12a =,解得1a =-或12a =,综上,由实数a 的所有可能的取值组成的集合为11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.故选D2.若1iz i =-+（其中i 是虚数单位）,则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D分析：变形1iz i =-+,利用复数代数形式的乘除运算化简,求出z 的坐标即可得结论. 详解：由i 1i z =-+, 得()()21i i 1i 1i i iz -+--+===+-,1z i =- ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为()1,1-,位于第四象限,故选D.3.函数()()22ln x xf x x -=+的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数,图象关于y 轴对称,排除D ；根据()0,1x ∈时,()0f x <,排除,A C ,从而得到正确选项. 【详解】()f x 定义域为{}0x x ≠,且()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数,关于y 轴对称,排除D ；当()0,1x ∈时,220x x -+>,ln 0x <,可知()0f x <,排除,A C . 本题正确选项：B4.《九章算术⋅衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱560,乙持钱350,丙持钱180,甲、乙、丙三个人一起出关,关税共计100钱,要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是（ ） A. 甲付的税钱最多 B. 乙、丙两人付的税钱超过甲 C. 乙应出的税钱约为32 D. 丙付的税钱最少【答案】B 【解析】通过阅读可以知道,A D 说法的正确性,通过计算可以知道,B C 说法的正确性.【详解】甲付的税钱最多、丙付的税钱最少,可知,A D 正确:乙、丙两人付的税钱占总税钱的3511002<不超过甲。
2020年山东新高考质量测评联盟高考数学模拟试卷(5月份) (解析版)
2020年山东新高考质量测评联盟高考数学模拟试卷（5月份）一、单项选择题（共8小题）.1．设集合A＝{x|y=√1−x}，B＝{x|（x+1）（x﹣3）＜0}，则（∁R A）∩B＝（）A．[1，3）B．（1，3）C．（﹣1，0]∪[1，3）D．（﹣1，0]∪（1，3）2．若复数z满足z（﹣1+2i）＝|1﹣i|2（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．−45B．45i C．45D．−45i3．已知直线l：y−√22=k（x+√22），则“k＝1”是“直线l与圆x2+y2＝1相切”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．如图所示．在梯形ABCD中，∠A=π2，AB∥CD，AB＝2，CD＝1．AD＝2，E，F分别为边CD，BC的中点，则AE→⋅AF→=（）A．54B．114C．3D．45．函数f（x）=(e x−1)ln|x|e x+1的部分图象大致为（）A．B．C．D．6．设函数f(x)={(x+1)4，x＞1√x3+1，x≤1，则当0＜x＜1时，f（f（x））表达式的展开式中二项式系数最大值为（）A．32B．.4C．.24D．.67．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、“特斯拉全自动驾驶芯片”、寒武纪云端AI 芯片、“思元270”、赛灵思“Versal 自适应计算加速平台”．现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有1名学生选择“芯片领域”的概率为（ ） A ．8991B ．291C ．98125D ．19278．已知直线y =√3x 与双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）相交于不同的两点A 和B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足AF ⊥BF ，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√3B ．2C ．√3+1D ．√3+12二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分・9．2019年以来，世界经济和贸易增长放缓，中美经贸摩擦影响持续显现，我国对外贸易仍然表现出很强的韧性．今年以来，商务部会同各省市全面贯彻落实稳外贸决策部署，出台了一系列政策举措，全力营造法治化、国际化、便利化的营商环境，不断提高贸易便利化水平，外贸稳规模、提质量、转动力取得阶段性成效，进出口保持稳中提质的发展势头，如图是某省近五年进出口情况统计图，下列描述正确的是（ ）A ．这五年，2015年出口额最少B ．这五年，出口总额比进口总额多C ．这五年，出口增速前四年逐年下降D ．这五年，2019年进口增速最快10．将函数y ＝2cos x +l 图象上的各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向左平移π12个単位，得到f （x ）的图象，下列说法正确的是（ ） A ．点（π6，0）是函数f （x ）图象的对称中心B ．函数f （x ）在（0，5π12）上单调递减 C ．函数f （x ）的图象与函数g （x ）＝2sin （2x +2π3）+1的图象相同 D ．若x 1，x 2是函数f （x ）的零点，则x 1﹣x 2是π的整数倍11．已知棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，过对角线BD 1作平面α交棱AA 1于点E ，交棱CC 1于点F ，以下结论正确的是（ ） A ．四边形BFD 1E 不一定是平行四边形B ．平面α分正方体所得两部分的体积相等C ．平面α与平面DBB 1不可能垂直D ．四边形BFD 1E 面积的最大值为√212．对于函数f(x)={cosπx ，x ∈[−12，32]12f(x −2)，x ∈(32，+∞)，下列结论正确的是（ ） A ．任取x 1，x 2∈[−12，+∞)，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤2恒成立 B ．对于一切x ∈[−12，+∞)，都有f （x ）＝2k f （x +2k ）（k ∈N *）C ．函数y ＝f （x ）﹣ln （x −12）有3个零点D ．对任意x ＞0，不等式f （x ）≤k x 恒成立，则实数k 的取值范围是[12，+∞）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f （x ）＝a sin x +2（a ∈R ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝﹣x +2，则a ＝ ． 14．已知a ＞1，b ＞0，且1a−1+1b=1，则a +b 的最小值是 ．15．已知抛物线y 2＝4x 焦点为F ，过点F 斜率为√3的直线l 交该抛物线于点A ，B （点A 在第一象限），与该抛物线的准线交于点C ，则|CB||AB|= ．16．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2√3，其内有2个不同的小球，球O 1与三棱锥A ﹣CB 1D 1的四个面都相切，球O 2与三棱锥A ﹣CB 1D 1的三个面和球O 1都相切，则球O 1的体积等于 ，球O 2的表面积等于 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n }是等比数列，且a 1＝1，其中a 1，a 2+1，a 3+1成等差数列． （1）数列{a n }的通项公式；（2）记b n ={a n ，n 为奇数log 2a n ，n 为偶数，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．18．在①a =√3csinA −acosc ，②（2a ﹣b ）sin A +（2b ﹣a ）sin B ＝2c sin C 这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知△ABC 的角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，c =√3而且 _______． （1）求∠C ；（2）求△ABC 周长的最大值．19．已知四棱锥P ﹣ABCD ，底面ABCD 为矩形，AD ＝2，AB ＝2√2，PA =√3，E 为CD 中点，PA ⊥BD ．（1）求证：平面四PAE ⊥平面PBD ；（2）若PE ＝3，求二面角D ﹣PC ﹣A 的余弦值．20．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率为√63，且经过点A （√32，√32）．（1）求椭圆C 的方程；（2）若不过坐标原点的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，且满足OM →+ON →=λOA →，求△MON 面积最大时直线l 的方程．21．2018年3月份，上海出台了《关于建立完善本市生活垃圾全程分类体系的实施方案》，4月份又出台了《上海市生活垃圾全程分类体系建设行动计划（2018﹣2020年）》，提出到2020年底，基本实现单位生活垃圾强制分类全覆盖，居民区普遍推行生活垃圾分类制度．为加强社区居民的垃圾分类意识，推动社区垃圾分类正确投放，某社区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，为此需要征集一部分垃圾分类志愿者・（1）为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关，现随机选取了一部分社区居民进行调查，其中被调查的男性居民和女性居民人数相同，男性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占男性居民的35，女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女性居民的15，若研究得到在犯错误概率不超过0.010的前提下，认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关，则被调查的女性辱民至少多少人？附：k2=n(ad−bc)2(a+b)l(+d)(a+c)(b+d)，其n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 6.6357.87910.828（2）某垃圾站的日垃圾分拣量y（千克）与垃圾分类志愿者人数x（人）满足回归直线方程y=b x+a，数据统计如下：志愿者人数x（人）23456日垃圾分拣量y（千克）25304045t已知y=15∑5i=1y i=40，∑5i=1x i2=90，∑5i=1x i y i=885．请利用所给数据求t和回归直线方程y=b x+a；附：b=∑n i=1(x i−x)(y i−y)∑n i=1(x i−x)2，a=y−b x．（3）用（2）中所求的以性回归方程得到与x i对应的日垃圾分拣量的估计值yi．当分拣数据y i与估计值yi 满足|yi−y i|≤2时，则将分拣数据（x i，y i）称为一个“正常数据”．现从5个分拣数据中任取3个，记X表示取得“正常数据”的个数，求X的分布列和数学期望．22．已知函数f（x）＝e x﹣ax﹣ln2（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＝2时，求函数g（x）＝f（x）﹣cos x+ln2在（−π2，+∞）上的零点个数．参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A ＝{x |y =√1−x }，B ＝{x |（x +1）（x ﹣3）＜0}，则（∁R A ）∩B ＝（ ） A ．[1，3）B ．（1，3）C ．（﹣1，0]∪[1，3）D ．（﹣1，0]∪（1，3）【分析】化简集合A 、B ，根据补集与交集的定义写出（∁R A ）∩B ． 解：集合A ＝{x |y =√1−x }＝{x |1﹣x ≥0}＝{x |x ≤1}＝（+∞，1]； 集合B ＝{x |（x +1）（x ﹣3）＜0}＝{x |﹣1＜x ＜3}＝（﹣1，3）， 则∁R A ＝（1，+∞）； 所以（∁R A ）∩B ＝（1，3）． 故选：B ．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2．若复数z 满足z （﹣1+2i ）＝|1﹣i |2（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．−45B ．45iC ．45D ．−45i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 解：由z （﹣1+2i ）＝|1﹣i |2=(√2)2=2， 得z =2−1+2i =2(−1−2i)(−1+2i)(−1−2i)=−25−45i ， ∴复数z 的虚部为−45． 故选：A ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．已知直线l ：y −√22=k （x +√22），则“k ＝1”是“直线l 与圆x 2+y 2＝1相切”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】直线l 与圆x 2+y 2＝1相切，可得：|√22k+√22|√k 2=1，解得k ．即可判断出结论．解：直线l 与圆x 2+y 2＝1相切，可得：|√22k+√22|√k 2+1=1，解得k ＝1．∴“k ＝1”是“直线l 与圆x 2+y 2＝1相切”的充要条件． 故选：C ．【点评】本题考查了直线与圆相切的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．如图所示．在梯形ABCD 中，∠A =π2，AB ∥CD ，AB ＝2，CD ＝1．AD ＝2，E ，F 分别为边CD ，BC 的中点，则AE →⋅AF →=（ ）A ．54B ．114C ．3D ．4【分析】先根据向量的三角形法则把所求向量都用AD →，DC →表示出来，再代入数量积即可求解．解：因为在梯形ABCD 中，∠A =π2，AB ∥CD ，AB ＝2，CD ＝1．AD ＝2，E ，F 分别为边CD ，BC 的中点， 则AE →⋅AF →=（AD →+DE →）•12（AB →+AC →）=12（AD →+12DC →）•（AD →+DC →+AB →） =12（AD →+12DC →）•（AD →+3DC →）=12（AD →2+72AD →⋅DC →+32DC →2）=12（22+0+32×12） =114． 故选：B ．【点评】本题主要考查平面向量的数量积以及三角形法则和平面向量基本定理，属于中档题目．5．函数f （x ）=(e x −1)ln|x|e x +1的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】利用函数的奇偶性可排除AC ，利用f(12)＜0，可排除D ，进而得出正确选项．解：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f(−x)=(e −x −1)ln|−x|e −x +1=(1−e x )ln|x|1+e x=−f(x)，则函数f （x ）为奇函数，可排除AC ； 又f(12)=(√e−1)ln 12√e+10，可排除D ． 故选：B ．【点评】本题考查利用函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题． 6．设函数f(x)={(x +1)4，x ＞1√x 3+1，x ≤1，则当0＜x ＜1时，f （f （x ））表达式的展开式中二项式系数最大值为（ ） A ．32B ．.4C ．.24D ．.6【分析】先由题设条件求出当0＜x ＜1时，f （f （x ））表达式，再利用二项式定理求出结果．解：由题设条件知：当0＜x ＜1时，f （x ）=√x 3+1＞1，∴当0＜x ＜1时，f （f （x ））＝（√x 3+2）4．由二项式定理可知：展开式中二项式系数最大值为C 42=6．故选：D ．【点评】本题主要考查分段函数及二项式定理的内容，属于基础题．7．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、“特斯拉全自动驾驶芯片”、寒武纪云端AI 芯片、“思元270”、赛灵思“Versal 自适应计算加速平台”．现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有1名学生选择“芯片领域”的概率为（ ） A ．8991B ．291C ．98125D ．1927【分析】基本事件总数n ＝15×15×15＝3375，至少有1名学生选择“芯片领域”的对立事件是没有学生选择“芯片领域”，由此能求出至少有1名学生选择“芯片领域”的概率．解：第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”， 其中有5项成果均属于芯片领域，现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，基本事件总数n ＝15×15×15＝3375，至少有1名学生选择“芯片领域”的对立事件是没有学生选择“芯片领域”，则至少有1名学生选择“芯片领域”的概率P ＝1−1033375=1927．故选：D ．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．已知直线y =√3x 与双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）相交于不同的两点A 和B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足AF ⊥BF ，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√3B ．2C ．√3+1D ．√3+12【分析】由题意设A ，B 的坐标，代入直线和双曲线的方程可得A ，B 的坐标，再由AF ⊥BF ，可得数量积FA →⋅FB →=0，可得a ，c 的关系，进而求出离心率． 解：由题意设A （x 0，y 0），B （﹣x 0，﹣y 0），F （﹣c ，0），则x 02a 2−y 02b 2=1，①因为AF ⊥BF ，所以FA →⋅FB →=0，即（x 0+c ，y 0）•（﹣x 0+c ，﹣y 0）＝0，可得c 2﹣x 02＝y 02，② 因为AB 在直线y =√3x 上，所以y 0x 0=√3，③由①②③可得e 4﹣8e 2+4＝0，解得e 2＝4+2√3，所以e =√3+1， 故选：C ．【点评】本题考查双曲线的性质，及直线的垂直用数量积为0表示，属于中档题．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分・9．2019年以来，世界经济和贸易增长放缓，中美经贸摩擦影响持续显现，我国对外贸易仍然表现出很强的韧性．今年以来，商务部会同各省市全面贯彻落实稳外贸决策部署，出台了一系列政策举措，全力营造法治化、国际化、便利化的营商环境，不断提高贸易便利化水平，外贸稳规模、提质量、转动力取得阶段性成效，进出口保持稳中提质的发展势头，如图是某省近五年进出口情况统计图，下列描述正确的是（）A．这五年，2015年出口额最少B．这五年，出口总额比进口总额多C．这五年，出口增速前四年逐年下降D．这五年，2019年进口增速最快【分析】根据条形统计图，结合选项判断即可．解：对于A，2015出口额最少，故A对；对于B，这五年，出口总额比进口总额多，故B对；对于C，2015﹣2016出口速率在增加，故C错；对于D，根据实线斜率可知，2019年进口速度最快，故D对．故选：ABD．【点评】本题考查条形统计图的应用，考查了数据分析能力这一核心素养，基础题． 10．将函数y ＝2cos x +l 图象上的各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向左平移π12个単位，得到f （x ）的图象，下列说法正确的是（ ） A ．点（π6，0）是函数f （x ）图象的对称中心B ．函数f （x ）在（0，5π12）上单调递减 C ．函数f （x ）的图象与函数g （x ）＝2sin （2x +2π3）+1的图象相同 D ．若x 1，x 2是函数f （x ）的零点，则x 1﹣x 2是π的整数倍【分析】由题意利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．解：将函数y ＝2cos x +l 图象上的各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得y ＝2cos2x +1的图象； 再向左平移π12个単位，得到f （x ）＝2cos （2x +π6）+1 的图象，令x =π6，求得f （x ）＝1，故排除A ． 在（0，5π12）上，2x +π6∈（π6，π），故f （x ）＝2cos （2x +π6）+1 单调递减．故B 正确． ∵f （x ）＝2cos （2x +π6）+1＝2cos （﹣2x −π6）+1＝2sin[π2−（﹣2x −π6）]+1＝2sin （2x +2π3）+1＝g （x ）， 显然，g （x ）的周期为2π2=π，故C 正确．若x 1，x 2是函数f （x ）的零点，则x 1﹣x 2是π2 的整数倍，故D 不正确，故选：BC ．【点评】本题主要考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于基础题．11．已知棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，过对角线BD 1作平面α交棱AA 1于点E ，交棱CC 1于点F ，以下结论正确的是（ ） A ．四边形BFD 1E 不一定是平行四边形B ．平面α分正方体所得两部分的体积相等C ．平面α与平面DBB 1不可能垂直D ．四边形BFD 1E 面积的最大值为√2【分析】直接利用几何体的体积分割法的应用，线面垂直的判定和性质的应用求出结果． 解：已知棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，过对角线BD 1作平面α交棱AA 1于点E ，交棱CC 1于点F ，对于选项A ：当E 为棱AA 1的中点E ，F 为棱CC 1的中点时，四边形BFD 1E 一定是平行四边形，故错误．对于选项B ：平面α分正方体所得两部分正好把几何体一分为二，根据对称性的应用，无论点F 和E 在哪个位置，都平分几何体的体积，故正确．对于选项C ：当E 为棱AA 1的中点E ，F 为棱CC 1的中点时，EF ⊥BD ，EF ⊥BB 1，所以：面α⊥平面DBB 1，故错误．对于选项D ：当点F 与A 重合时，点E 与C 1重合时，四边形BFD 1E 面积的最大，且最大值为值为√2×1=√2，故正确． 故选：BD ．【点评】本题考查的知识要点：几何体的体积分割法的应用，线面垂直的判定和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型． 12．对于函数f(x)={cosπx ，x ∈[−12，32]12f(x −2)，x ∈(32，+∞)，下列结论正确的是（ ） A ．任取x 1，x 2∈[−12，+∞)，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤2恒成立B ．对于一切x ∈[−12，+∞)，都有f （x ）＝2k f （x +2k ）（k ∈N *）C ．函数y ＝f （x ）﹣ln （x −12）有3个零点D ．对任意x ＞0，不等式f （x ）≤k x 恒成立，则实数k 的取值范围是[12，+∞）【分析】先在坐标系中画出y ＝f （x ）的图象，再画出y ＝ln （x −12）与y =k x图象，由数形结合选出正确选项．解：函数f （x ）的图象如上图所示，由图象可知f （x ）的最大值为1，最小值为﹣1，∴A 选项正确；又由图可知f （x +2k ）＝（12）k f （x ）（k ∈N *）即f （x ）＝2k f （x +2k ），∴B 选项正确；由图象知y＝f（x）与y＝ln（x−12）有3个交点，∴C选项正确；又由图象知对任意x＞0，不等式f（x）≤kx恒成立须k2n≥（12）n在n∈N*时恒成立，即k≥1，故D选项错误．故选：ABC．【点评】本题主要考查分段函数的周期性及数形结合法在处理函数问题中的应用，属于中档题．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f（x）＝a sin x+2（a∈R）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣x+2，则a＝﹣1．【分析】对原函数求导，然后令x＝0处的导数为﹣1，即可求出a的值．解：由题意f′（x）＝a cos x，因为f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣x+2，∴f′（0）＝a＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，抓住切点处的导数等于切线斜率列方程是本题的关键．属于基础题．14．已知a＞1，b＞0，且1a−1+1b=1，则a+b的最小值是5．【分析】根据条件由a+b＝[（a﹣1）+b]（1a−1+1b）+1，利用基本不等式求出a+b的最小值即可．解：∵a ＞1，∴a ﹣1＞0． ∵1a−1+1b=1，∴a +b ＝[（a ﹣1）+b ]+1＝[（a ﹣1）+b ]（1a−1+1b ）+1＝3+b a−1+a−1b ≥3+2√b a−1⋅a−1b =5，当且仅当b a−1=a−1b，即a ＝3，b ＝2时取等号，∴a +b 的最小值为5． 故答案为：5．【点评】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属基础题．15．已知抛物线y 2＝4x 焦点为F ，过点F 斜率为√3的直线l 交该抛物线于点A ，B （点A 在第一象限），与该抛物线的准线交于点C ，则|CB||AB|=12．【分析】由题意画出图形，写出直线方程，与抛物线方程联立，求得A 、B 的坐标，进一步求出|BC |，|AB |的值即可． 解：如图，由条件可得F （1，0），则直线l 的方程为：y =√3x −√3， 联立{y =√3x −√3y 2=4x ，解得{x =3y =2√3或{x =13y =−2√33，即A （3，2√3），B （13，−2√33）， 且有C （﹣1，﹣2√3）， 所以|BC |=83，|AB |=163， 则|CB||AB|=83163=12，故答案为：12．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．16．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2√3，其内有2个不同的小球，球O 1与三棱锥A ﹣CB 1D 1的四个面都相切，球O 2与三棱锥A ﹣CB 1D 1的三个面和球O 1都相切，则球O 1的体积等于43π ，球O 2的表面积等于 π ．【分析】根据条件得到三棱锥A ﹣CB 1D 1为正三棱锥，且棱长均等于2√6，作出三棱锥，设出两球的半径，利用平面几何知识可得两圆的半径，进而可得到答案． 解：根据条件可得AC ＝AB 1＝AD 1＝B 1D 1＝CD 1＝CB 1＝2√3×√2=2√6，如图，取三棱锥A ﹣CB 1D 1，设球O 1半径为r 1，球O 2的半径为r 2，E 为CD 1中点，球O 1与平面ACD 1、B 1CD 1切于F 、G ，球O 2与平面ACD 1切于H ， 作截面AB 1E ，设正四面体A ﹣CB 1D 1的棱长为a ， 由平面几何知识可得1√36a =√63a−r 1√32a ，解得r 1=√612a =√612×2√6=1，同时√63a−2r 1−r 2√63a−r 1=r 2r 1，解得r 2=√624a =√624×2√6=12，则球O 1的体积等于43πr 13=43π，球O 2的表面积等于4πr 22＝4π×14=π．故答案为：43π；π．【点评】本题考查了四棱锥、球的表面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n }是等比数列，且a 1＝1，其中a 1，a 2+1，a 3+1成等差数列． （1）数列{a n }的通项公式；（2）记b n ={a n ，n 为奇数log 2a n ，n 为偶数，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．【分析】（1）设数列{a n }是公比为q 的等比数列，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到所求通项公式；（2）求得b n ，运用数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．解：（1）设数列{a n }是公比为q 的等比数列， 且a 1＝1，其中a 1，a 2+1，a 3+1成等差数列， 可得2（a 2+1）＝a 1+a 3+1，即2（1+q ）＝2+q 2， 解得q ＝2（0舍去）， 则a n ＝a 1q n ﹣1＝2n ﹣1； （2）b n ={a n ，n 为奇数log 2a n ，n 为偶数={2n−1，n 为奇数n −1，n 为偶数，前2n 项和T 2n ＝（1+4+16+…+22n ﹣2）+（1+3+5+…+2n ﹣1）=1−4n 1−4+12n （1+2n ﹣1）=4n 3−13+n 2． 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18．在①a =√3csinA −acosc ，②（2a ﹣b ）sin A +（2b ﹣a ）sin B ＝2c sin C 这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知△ABC 的角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，c =√3而且 _______． （1）求∠C ；（2）求△ABC 周长的最大值．【分析】（1）选①，先利用正弦定理化简可得sinA =√3sinCsinA −sinAcosC ，进而得到√3sinC −cosC =1，结合C 的范围即可求得C =π3；选②，先利用正弦定理可得（2a ﹣b ）a +（2b ﹣a ）b ＝2c 2，再利用余弦定理可得cosC =12，结合C 的范围即可求得C =π3；（2）由余弦定理可得a 2+b 2﹣ab ＝3，再利用基本不等式可得a +b ≤2√3，进而求得△ABC 周长的最大值．解：（1）选①，∵a =√3csinA −acosc ， ∴sinA =√3sinCsinA −sinAcosC ， ∵sin A ≠0，∴√3sinC −cosC =1，即sin(C −π6)=12， 又0＜C ＜π，∴−π6＜C −π6＜5π6，故C −π6=π6，即C =π3；选②，∵（2a ﹣b ）sin A +（2b ﹣a ）sin B ＝2c sin C ， ∴（2a ﹣b ）a +（2b ﹣a ）b ＝2c 2，即a 2+b 2﹣c 2＝ab ，∴cosC =a 2+b 2−c 22ab =12，∵0＜C ＜π， ∴C =π3；（2）由（1）可知，C =π3，在△ABC 中，由余弦定理得a 2+b 2﹣2ab cos C ＝3，即a 2+b 2﹣ab ＝3， ∴(a +b)2−3=3ab ≤3(a+b)24，∴a +b ≤2√3，当且仅当那个a ＝b 时取等号， ∴a +b +c ≤3√3，即△ABC 周长的最大值为3√3．【点评】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的运用，同时还涉及了基本不等式的运用，考查化简计算能力，属于中档题．19．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为矩形，AD＝2，AB＝2√2，PA=√3，E为CD 中点，PA⊥BD．（1）求证：平面四PAE⊥平面PBD；（2）若PE＝3，求二面角D﹣PC﹣A的余弦值．【分析】（1）先根据题设条件可得∠ABD＝∠DAE，进一步可证得BD⊥AE，而BD⊥PA，由此即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面PCD及平面PAC的法向量，利用向量公式即可得解．解：（1）证明：在Rt△ABD中，22√2=√22，在Rt△DAE中，tan∠DAE=√22，∴tan∠ABD＝tan∠DAE，∴∠ABD＝∠DAE，又∵∠BAE+∠DAE＝90°，∴∠BAE+∠ABD＝90°，∴BD⊥AE，又∵BD⊥PA，PA∩AE＝A，∴BD⊥平面PAE，又BD在平面PBD内，∴平面PBD⊥平面PAE；（2）在Rt△ADE中，AE=√6，又PA=√3，PE=3，由勾股定理可得PA⊥AE，又∵PA⊥BD，且BD与AE相交，∴PA⊥平面ABCD，分别以AD，AB，AP所在直线x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(2，0，0)，P(0，0，√3)，C(2，2√2，0)，A(0，0，0)，∴DP→=(−2，0，√3)，PC→=(2，2√2，−√3)，AC→=(2，2√2，0)，设平面PDC的一个法向量为m→=(x，y，z)，则{m→⋅DP→=−2x+√3z=0m→⋅PC→=2x+2√2y−√3z=0，则可取m→=(√3，0，2)，同理可得平面PAC的一个法向量为n→=(√2，−1，0)，∴cos＜m→，n→＞=√6√7⋅√3=√147，由题意可知，二面角D﹣PC﹣A为锐二面角，∴二面角D﹣PC﹣A的余弦值为√14 7．【点评】本题考查面面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角问题，考查运算求解能力及推理论证能力，属于中档题．20．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√63，且经过点A（√32，√32）．（1）求椭圆C的方程；（2）若不过坐标原点的直线l与椭圆C相交于M、N两点，且满足OM→+ON→=λOA→，求△MON面积最大时直线l的方程．【分析】（1）由题意列关于a，b，c的方程组，求解a，b的值，则椭圆方程可求；（2）由题意可知，直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y＝kx+m（m≠0），M （x1，y1），N（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及向量等式可得k值，写出三角形面积公式，得到关于m的函数式，整理后利用基本不等式求最值，然后求得MN的方程．解：（1）由题意得，{ c a =√6334a 2+34b 2=1a 2=b 2+c 2，解得{a 2=3b 2=1． ∴椭圆C 的方程为x 23+y 2=1；（2）由题意可知，直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y ＝kx +m （m ≠0）， M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立{x 23+y 2=1y =kx +m，得（3k 2+1）x 2+6kmx +3m 2﹣3＝0．△＝36k 2m 2﹣4（3k 2+1）（3m 2﹣3）＝12（3k 2+1﹣m 2）＞0，① x 1+x 2=−6km 3k 2+1，x 1x 2=3m 2−33k 2+1． ∴y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2m 3k 2+1．∵OM →+ON →=λOA →，∴{x 1+x 2=−6km 3k 2+1=√32λy 1+y 2=2m3k 2+1λ，得k =−13．代入①得，−2√33＜m ＜2√33，且m ≠0．∴S △OMN =12|m|⋅|x 1−x 2|=12|m|⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=12|m|•√12(3k 2+1−m 2)3k +1=3|m|√4−3m 24=√3⋅√3m 2(4−3m 2)4≤√34⋅3m 2+4−3m 22=√32．当且仅当3m 2＝4﹣3m 2，即m =±√63时，上式等号成立，符合题意． ∴直线MN 的方程为y =−13x ±√63．【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．21．2018年3月份，上海出台了《关于建立完善本市生活垃圾全程分类体系的实施方案》，4月份又出台了《上海市生活垃圾全程分类体系建设行动计划（2018﹣2020年）》，提出到2020年底，基本实现单位生活垃圾强制分类全覆盖，居民区普遍推行生活垃圾分类制度．为加强社区居民的垃圾分类意识，推动社区垃圾分类正确投放，某社区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，为此需要征集一部分垃圾分类志愿者・（1）为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关，现随机选取了一部分社区居民进行调查，其中被调查的男性居民和女性居民人数相同，男性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占男性居民的35，女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女性居民的15，若研究得到在犯错误概率不超过0.010的前提下，认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关，则被调查的女性辱民至少多少人？附：k2=n(ad−bc)2(a+b)l(+d)(a+c)(b+d)，其n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 6.6357.87910.828（2）某垃圾站的日垃圾分拣量y（千克）与垃圾分类志愿者人数x（人）满足回归直线方程y=b x+a，数据统计如下：志愿者人数x（人）23456日垃圾分拣量y（千克）25304045t已知y=15∑5i=1y i=40，∑5i=1x i2=90，∑5i=1x i y i=885．请利用所给数据求t和回归直线方程y=b x+a；附：b=∑n i=1(x i−x)(y i−y)∑n i=1(x i−x)2，a=y−b x．（3）用（2）中所求的以性回归方程得到与x i对应的日垃圾分拣量的估计值yi．当分拣数据y i与估计值yi 满足|yi−y i|≤2时，则将分拣数据（x i，y i）称为一个“正常数据”．现从5个分拣数据中任取3个，记X表示取得“正常数据”的个数，求X的分布列和数学期望．【分析】（1）设被调查的女性居民人数为5x，然后补充完整2×2列联表，再根据K2的公式计算出观测值，并与附表中的临界值进行对比列出关于x的不等式，解之即可得解；（2）结合表格中的数据、参考数据和参考公式计算出t、a、b即可得解；（3）把x1＝2，x2＝3，x3＝4，x4＝5，x5＝6分别代入（2）中得到的回归直线方程求出对应的yi ̂，再求出|y i −y i |，并与2比较大小后判断出是否属于“正常数据”，然后确定X 的可能取值为1，2，3，结合超几何分布计算概率的方式逐一求出每个X 的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．解：（1）设被调查的女性居民人数为5x ，则2×2列联表如下所示，不喜欢人数喜欢人数 合计 男 3x 2x 5x 女 x 4x 5x 合计4x6x10x∴K 2=10x⋅(3x⋅4x−2x⋅x)25x⋅5x⋅4x⋅6x=5x 3，∵犯错误的概率不超过0.010，∴5x 3≥6.635，解得5x ≥19.905，故被调查的女性居民至少有20人． （2）由表可知，x =2+3+4+5+65=4，y =15(25+30+40+45+t)=40，∴t ＝60．∴b =∑ 5i=1x i y i −nxy ∑ 5i=1x i2−nx2=885−5×4×4090−5×16=8.5，a =y −b x =40﹣8.5×4＝6， ∴回归直线方程为y =8.5x +6．（3）将x 1＝2，x 2＝3，x 3＝4，x 4＝5，x 5＝6分别代入回归直线方程得， y 1̂=23，y 2̂=31.5，y 3̂=40，y 4̂=48.5，y 5̂=57， ∴|y 1̂−y 1|=|23−25|=2≤2，属于“正常数据”， |y 2̂−y 2|=|31.5−30|=1.5≤2，属于“正常数据”， |y 3̂−y 3|=|40−40|=0≤2，属于“正常数据”， |y 4̂−y 4|=|48.5−45|=3.5＞2，不属于“正常数据”， |y 5̂−y 5|=|57−60|=3＞2，不属于“正常数据”， ∴随机变量X 的可能取值为1，2，3，P （X ＝1）=C 31C 22C 53=310，P （X ＝2）=C 32C 21C 53=35，P （X ＝3）=C 33C 53=110， ∴X 的分布列为X 123 P31035110数学期望E（X）=1×310+2×35+3×110=95．【点评】本题考查独立性检验、线性回归方程、超几何分布、离散型随机变量的分布列和数学期望等知识点，有一定的综合性，但难度不算大，考查学生灵活运用知识的能力和运算能力，属于中档题．22．已知函数f（x）＝e x﹣ax﹣ln2（a∈一、选择题）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＝2时，求函数g（x）＝f（x）﹣cos x+ln2在（−π2，+∞）上的零点个数．【分析】（1）先求出导函数f'（x），再对a分情况讨论，利用导函数的正负即可得到函数f（x）的单调性；（2）由已知得g（x）＝e x﹣2x﹣cos x，x∈（−π2，+∞），对x的范围分情况讨论，分别讨论函数g（x）的零点个数，从而得到g（x）在（−π2，+∞）上的零点个数为2个．解：（1）由已知得函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝e x﹣a，①当a≤0时，因为f'（x）＞0，所以f（x）在R上单调递增，②当a＞0时，令f'（x）＞0，得x＞lna；令f'（x）＜0，得x＜lna，所以f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，综上所述，当a≤0时，f（x）在R上单调递增；当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增；（2）由已知得g（x）＝e x﹣2x﹣cos x，x∈（−π2，+∞），则g'（x）＝e x+sin x﹣2，①当x∈(−π2，0)时，因为g'（x）＝（e x﹣1）+（sin x﹣1）＜0，所以g（x）在（−π2，0）上单调递减，所以g（x）＞g（0）＝0，所以g（x）在（−π2，0）上无零点，②当x∈[0，π2]时，因为g'（x）单调递增，且g'（0）＝﹣1，g'（π2）＝eπ2−1＞0，所以存在x0∈(0，π2)，使得g'（x0）＝0，当x∈（0，x0）时，g'（x）＜0；当x∈(x0，π2)时，g'（x）＞0，所以g （x ）在[0，x 0]上单调递减，且g （0）＝0，所以g （x 0）＜0， 又因为g （π2）=e π2−π＞0，所以g （x 0）⋅g(π2)＜0，所以g （x ）在（x 0，π2）上存在一个零点，所以g （x ）在[0，π2]上有两个零点，③当x ∈（π2，+∞）时，g '（x ）＝e x +sin x ﹣2＞eπ2−3＞0，所以g （x ）在（π2，+∞）上单调递增，因为g （π2）＞0，所以g （x ）在（π2，+∞）上无零点，综上所述，g （x ）在（−π2，+∞）上的零点个数为2个．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的零点，是中档题．。
2020-2020学年市一中高三第五次模拟考试数学(文)试题—附答案
2020-2020学年市一中高三第五次模拟考试数学（文）试题—附答案20XX-2020学年市一中高三第五次模拟考试数学试题（文科）（满分：150分时间：120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知为虚数单位，复数，，则（）. A.B. C. D. 2.已知，，则（）. A.B. C. D. 3.若非零向量，满足，且，则与的夹角为（）. A. B. C.D. 4.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）.A. B. C. D. 5.已知等差数列的前项和为，且满足，则数列的公差为（）.A.1 B.2 C.4 D.6 6.直线与圆相交于，两点，若，则的取值范围是（）. A. B. C. D. 7.已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）. A. B. C. D. 8.函数的大致图象是（）. A. B. C. D. 9.设，满足约束条则目标函数的最大值为（）. A. B.3 C.4 D. 10.我国古代数学名著《九章算术》中的更相减损法的思路与下面的程序框图相似．执行该程序框图，若输入的，分别为14，18，则输出的等于（）.A.2B.4C.6D.811.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天走的路程为（）. A.24里 B.12里 C.6里.D.3里 12.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：①当时，；②函数有2 个零点；③的解集为；④，都有. 其中真命题的序号是（）. A.①③B.②③C.②④D.③④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.在区间上随机取一个数，则的值介于0与之间的概率为_____．14.已知数列满足，，，那么成立的的最大值为______15.已知函数，若在区间上单调递增，则的最小值是______．16.设，分别是双曲线的左、右焦点，是的右支上的点，射线平分，过原点作的平行线交于点，若，则的离心率为_______.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答请写出必要的文字说明和演算步骤.）17.已知向量，，，设．（1）求函数的解析式及单调增区间；（2）在中，，，分别为角，，的对边，且，，，求的面积．18.从某企业生产的某种产品中抽取100，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间，，内的频率之比为.（1）求这些产品质量指标值落在区间内的频率；（2）用分层抽样的方法在区间内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2产品，求这2产品都在区间内的概率．19.如图，在四棱锥中，底面为边长为的正方形，.（1）求证：；（2）若，分别为，的中点，平面，求三棱锥的体积．20.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，左焦点为，点在椭圆上，直线与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于点，.（1）求椭圆的方程；（2）以为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．21.已知函数.（1）当时，求证：若，则；（2）当时，试讨论函数的零点个数. 选做题：请在以下两题中任选一题作答，若两题都做，则按第22题给分. 22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为（为参数），曲线的极坐标方程为，若曲线与相交于、两点．（1）求的值；（2）求点到、两点的距离之积．23.（1）已知实数，满足，，证明：.（2）已知，求证：. 数学试题（文科）参考答案与解析 1.D 2.B 3.D 4.B 5.B 6.A 7.D 8.D 9.B 10.A 11.C记每天走的路程里数为，易知是公比的等比数列, ，，∴，∴. 12..D由题意可知时，，，可见命题①是错误的；时，，此时有1个零点，当，，此时有1个零点，又为上的奇函数，必有，即总共有3个零点，即命题②不成立；当时，，可求得解集为，当时，，可求得解集为，所以命题③成立；当时，，令，通过函数的单调性可求得此时的值域为，则当时的值域为，所以有. 13. 14.5 15.1 16. 设交轴于点，，则，由，得，即，则，所以，又是的角平分线，则有，代入整理得，所以离心率为. 17.解：（1），由，可得，所以函数的单调递增区间为，.（2）∵，∴，∵，∴，∴，∴. 由，得，∴，∴. 18.解：（1）设这些产品质量指标值落在区间内的频率为，则这些产品质量指标值落在区间，内的频率分别为和．依题意得，解得.所以这些产品质量指标值落在区间内的频率为0.05.（2）由（1）得这些产品质量指标值落在区间，，内的频率依次为0.3，0.2，0.1. 用分层抽样的方法在区间内抽取一个容量为6的样本，则在区间内应抽取，记为，，. 在区间内应抽取，记为，. 在区间内应抽取，记为. 设“从样本中任意抽取2产品，这2产品都在区间内”为事，则所有的基本事有：，，，，，，，，，，，，，，，共15种。
2020届山东新高考质量测评联盟5月联考试题数学试题及答案解析
13.函数 f(x)=asinx+2（a∈R）在点（0，f（0））处的切线方程为 y=-x+2,则 a=
.
11
14. 已知 a>1,b>0,且 + =1 ,则 a+b 的最小值是 .
1
2
15. 已知抛物线 y =4x 焦点为 F，过点 F 斜率为 3的直线 l 交该抛物线于点 A,B（点 A 在第
||
2
1
k
*
B.对于一切 x∈ − , +∞ ,都有 f（x）=2 f(x+2k)（k∈N ）
2
1
C.函数 y=f(x)-ln(x- )有 3 个零点
2
1
D.对任意 x>0,不等式 f(x)≤ 恒成立，则实数 A 的取值范围是［ , +∞）
2
三、 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分，共 20 分.
.（本题第一空 2 分， 第二空 3 分）
四、 解答题:本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 17. （10 分）已知数列{an}是等比数列，且 a1=1，其中 a1,a2,a3+1 成等差数列. (1) 数列{an}的通项公式；
多项符合题目要求.全部选对得 5 分,部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分・
9. 2019 年以来，世界经济和贸易增长放缓,中 美经贸摩擦影响持续显现，我国对外贸易仍然表现 出很强的韧性。今年以来，商务部会同各省市全面 贯彻落实稳外贸决策部署，出台了一系列政策举 措，全力营造法治化、国际化、便利化的营商环境， 不断提高贸易便利化水平，外贸稳规模、提质量、 转动力取得阶段性成效，进出口保持稳中提质的发 展势头，右图是某省近五年进出口情况统计图，下 列描述正确的是
山东省2020学年高一数学5月模拟选课调考试题(含解析)
山东省2020学年高一数学5月模拟选课调考试题（含解析）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：人教A 版必修4，必修5第一章.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的四个选项中，第1~10题只有一项符合题目要求；第11~13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分有选错的不得分. 1.sin1830︒=A.2B. 2-C. 12-D.12【答案】D 【解析】 【分析】本题首先可以将1830°转化为536030鞍?，然后可以根据公式()sin 2πsin a a +=对()sin 536030鞍?进行化简，即可得出结果。
【详解】()1sin1830sin 536030sin 302鞍鞍=?==，故选D 。
【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查三角函数的诱导公式的使用，考查的公式为()sin 2πsin a a +=，考查计算能力，是简单题。
2.下列函数中，周期为π，且在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数的是A. sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B. cos 2y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. cos 2y x =D. sin 2y x =-【答案】C【解析】 【分析】本题首先可以根据题意中函数的周期为π以及四个选项中的函数的周期即可排除A B 、，然后通过函数在[]2,pp 上是否是增函数即可排除D 项，最后得出结果。
【详解】因为函数的周期为π，所以排除A B 、， 因为函数cos 2y x =在[]()π2π,πk k k Z +?上单调递减，所以函数cos 2y x =在[]2,pp 上是单调函数，故C 符合，因为函数sin 2y x =-在[]()ππ44π,πk k k Z -++?上单调递减，所以函数sin 2y x =-在[]2,p p 上不是单调函数，故D 不符，综上所述，故选C 。
2020届高三数学第五次模拟考试试题理(含解析)
2020届高三数学第五次模拟考试试题理（含解析）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效．3．回答第3Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则=（）A. B. C. D.【答案】D【分析】先求出集合A，B，再求集合B的补集，然后求【详解】，所以.故选：D【点睛】此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题.2.若复数与其共轭复数满足，则（）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】【分析】设，则,求得，再求模，得到答案.【详解】设，则，故，，，.故选：A.【点睛】本题考查了共轭复数的概念，两复数相等的条件，复数的模，还考查了学生的计算能力，属于容易题.3.若夹角为的向量与满足，则（）A. 1B. 2C.D. 4【解析】【分析】根据向量数量积的应用，把两边平方，转化成模平方和数量积，利用已知即可得到结论.【详解】解：∵，∴，即，则，或（舍），故选：B.【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量与模的转化，考查了计算能力，属于基础题.4.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.【详解】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；故选A.点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.5.已知直线和平面，则下列四个命题中正确的是( )A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】B【解析】对于A，若，，则m有可能平行，故A错误；对于B，若，，显然是正确的；对于C，若，，则n有可能在内，故C错误；对于D，若，，则平面有可能相交，故D错误.故正确答案为B.6.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解决此问题的一个程序框图，其中a为松长､b为竹长，则菱形框与矩形框处应依次填（）A. a<b?;a=aB. a<b?;a=a+2aC. a≥b?;a=aD. a≥b?;a=a+2a【答案】C【解析】【分析】由程序框图模拟程序的运行，结合题意即可得解.【详解】竹逾松长，意为竹子比松高，即a<b，但这是一个含当型循环结构的程序框图，当不满足条件时，退出循环，故菱形框中条件应为a≥b？，松日自半，则表示松每日增加一半，即矩形框应填a=a.故选：C【点睛】本题考查数学文化和补全程序框图相结合综合问题，重点考查理解题意，并能正确模拟程序运行，属于基础题型.7.已知函数在一个周期内的图象如图所示，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】由图象可知，，所以，由，得，解得，因为，所以，所以.故选C.8.已知函数，，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据指数函数、对数函数的性质得到，，，即可得解；【详解】解：因为，定义域为，故函数是奇函数，又在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以在定义域上单调递增，由，，所以即故选：A【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题.9.阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设球的半径为R，根据组合体的关系，圆柱的表面积为，解得球的半径，再代入球的体积公式求解.【详解】设球的半径为R，根据题意圆柱的表面积为，解得，所以该球的体积为 .故选：C【点睛】本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题.10.，是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于，两点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】【分析】本题可先通过构造几何图形，先设为，再利用双曲线的定义，列出与的关系式，与的关系式，利用几何关系，在中，利用余弦定理即可求得答案．【详解】如图所示：设，由于为等边三角形，所以，所以，即，又，所以，在中，，，，，所以根据余弦定理有：，整理得：，即，所以离心率．故选：A．【点睛】本题考查了双曲线的定义，余弦定理解三角形，寻找双曲线中的关系是解决求离心率问题的关键，属于中档题.11.若的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（）A 85 B. 84 C. 57 D. 56【答案】A【解析】【分析】先求，再确定展开式中的有理项，最后求系数之和.【详解】解：的展开式中二项式系数和为256故，要求展开式中的有理项，则则二项式展开式中有理项系数之和为：故选：A【点睛】考查二项式二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题.12.若函数有且只有4个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由是偶函数，则只需在上有且只有两个零点即可.【详解】解：显然是偶函数所以只需时，有且只有2个零点即可令，则令，递减，且递增，且时，有且只有2个零点，只需故选：B【点睛】考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围，基础题.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题13.已知实数满足，则的最大值为_______.【答案】22【解析】分析】，作出可行域，利用直线的截距与b的关系即可解决.【详解】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，由可得，观察可知，当直线过点时，取得最大值，由，解得，即，所以.故答案为：22.【点睛】本题考查线性规划中线性目标函数的最值问题，要做好此类题，前提是正确画出可行域，本题是一道基础题.14.已知甲、乙、丙三位同学在某次考试中总成绩列前三名，有，，三位学生对其排名猜测如下：：甲第一名，乙第二名；：丙第一名；甲第二名；：乙第一名，甲第三名.成绩公布后得知，，，三人都恰好猜对了一半，则第一名是__________．【答案】丙【解析】【分析】根据假设分析，现假设A中的说法中“甲是第一名是错误的，乙是第二名是正确的”，进而确定B的说法，即可得到答案.【详解】由题意，假设A说法中“甲第一名”正确，则B的说法中“丙第一名”和C说法中“乙第一名”是错误，这与B中“甲第二名”和C中“甲第三名”是矛盾的，所以是错误的；所以A中，“甲是第一名是错误的，乙是第二名是正确的”；又由B中，假设“丙是第一名是错误的，甲是第二名是正确的”，这与A中，“甲是第一名是错误的，乙是第二名”是矛盾的，所以B中，假设“丙是第一名是正确的，甲是第二名是错误的”，故第一名为丙.【点睛】本题主要考查了推理与证明的应用，其中解答中通过假设分析，找到预测说法中的矛盾是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.15.等差数列的前n项和为，，则_____.【答案】【解析】【分析】计算得到，再利用裂项相消法计算得到答案.【详解】，，故，故，.故答案为：.【点睛】本题考查了等差数列的前n项和，裂项相消法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.16.如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器（图）.当这个正六棱柱容器的底面边长为时，其容积最大.【答案】【解析】【详解】如图，设底面六边形的边长为x，高为d，则d=（1-x）；又底面六边形的面积为：S=6••x2•sin60°=x2；所以，这个正六棱柱容器的容积为：V=Sd=x2•（1-x）=(x2-x3)，则对V求导，则V′=（2x-3x2），令V′=0，得x=0或x=，当0＜x＜时，V′＞0，V是增函数；当x＞时，V′＜0，V是减函数；∴x=时，V有最大值．故答案为．三、解答题：解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤．17.在中，角，，所对的边分别是，，，已知，.（1）若，求的值；（2）的面积为，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由，可得，由正弦定理可得，求得，利用诱导公式及两角和的正弦公式可得结果；（2）由，可得，再利用余弦定理，配方后化简可得.【详解】（1）由，则，且，由正弦定理，因为，所以，所以，（2），∴，，∴，，∴.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径．18.美团外卖和百度外卖两家公司其“骑手”的日工资方案如下：美团外卖规定底薪70元，每单抽成1元；百度外卖规定底薪100元，每日前45单无抽成，超出45单的部分每单抽成6元，假设同一公司的“骑手”一日送餐单数相同，现从两家公司个随机抽取一名“骑手”并记录其100天的送餐单数，得到如下条形图：（Ⅰ）求百度外卖公司的“骑手”一日工资（单位：元）与送餐单数的函数关系；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：①记百度外卖的“骑手”日工资为（单位：元），求的分布列和数学期望；②小明拟到这两家公司中的一家应聘“骑手”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.【答案】（I）；（II）详见解析.【解析】试题分析：试题解析：解：（I）（II）1000.2（元）‚美团外卖“骑手”日平均送餐单数为：所以美团外卖“骑手”日平均工资为：（元）由知，百度外卖“骑手”日平均工资为112元. 故推荐小明去美团外卖应聘.19.如图，在四棱锥中，平面，，底面是梯形，，，，为棱上一点.(1)若点为的中点，证明：平面.(2) ，试确定的值使得二面角的大小为.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，连接，，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；（2）先由题意得到，，两两垂直，以为原点，，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，根据，求出，分别求出平面与平面的一个法向量，根据向量夹角公式，以及二面角的大小，即可求出结果.【详解】(1)如图，取的中点，连接，.∵点为的中点，∴，.又，，∴，，∴四边形是平行四边形.∴.又平面，平面，∴平面.(2)由平面，，可得，，两两垂直，以为原点，，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，.设，则，.∵，∴∴.又易证平面，∴是平面的一个法向量.设平面的法向量为，则即，解得令，则.∵二面角的大小为，∴|，解得：.∵点在棱上，∴，∴【点睛】本题主要考查证明线面平行，以及由二面角的大小求其它量，熟记线面平行的判定定理，以及空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型.20.在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，圆的方程为，动圆与圆内切且与圆外切.(1)求动圆圆心的轨迹的方程；(2)已知与为平面内的两个定点，过点的直线与轨迹交于,两点，求四边形面积的最大值.【答案】(1) (2)6【解析】试题分析：（1）由椭圆定义得到动圆圆心的轨迹的方程；（2）设的方程为，联立可得，通过根与系数的关系表示弦长进而得到四边形面积的表达式，利用换元法及均值不等式求最值即可.试题解析：(1)设动圆的半径为，由题意知从而有，故轨迹为以为焦点，长轴长为4的椭圆，并去除点，从而轨迹的方程为.（2）设的方程为，联立，消去得，设点，有则，点到直线的距离为，点到直线的距离为，从而四边形的面积令，有，函数在上单调递增，有，故，即四边形面积的最大值为.21.已知函数，在其定义域内有两个不同的极值点.（1）求的取值范围；（2）记两个极值点为，且，证明：.【答案】(1) (2)证明见解析【解析】【分析】(1)由导数与极值的关系知题目可转化为方程在有两个不同根，转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点，从而讨论求解；(2) 问题等价于，令，则，所以，设，，根据函数的单调性即可证明结论.【详解】解：（1）由题意知，函数的定义域为，方程在有两个不同根；即方程在有两个不同根；转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点，如图．可见，若令过原点且切于函数图象的直线斜率为，只须．令切点，故，又故，解得，，故，故的取值范围为(2)由(1)可知分别是方程的两个根，即，，作差得，即对于，取对数得，即又因为，所以，得令，则，，即设，，，所以函数在上单调递增，所以，即不等式成立，故所证不等式成立．【点睛】本题重点考查了导数在研究函数极值问题中的应用以及导数与函数的单调性，问题(2)中运用了分析法的思想，属于难题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．选修4-4：坐标系与参数方程22.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数）．（1）求直线和曲线的普通方程；（2）直线与轴交于点，与曲线交于，两点，求．【答案】（1），；（2）【解析】试题分析：（1）根据极直互化的公式得到直线方程，根据参普互化的公式得到曲线C的普通方程；（2）联立直线的参数方程和曲线得到关于t的二次，.解析：（Ⅰ），化为，即的普通方程为，消去，得的普通方程为.（Ⅱ）在中令得，∵，∴倾斜角，∴的参数方程可设为即，代入得，，∴方程有两解，，，∴，同号，.[选修4-5：不等式选讲]23.函数，其最小值为.（1）求的值；（2）正实数满足，求证：.【答案】（1）3；（2）【解析】【详解】【分析】试题分析：（1）由题意，利用绝对值三角不等式求得的最小值，即可求解的值；（2）根据柯西不等式，即可作出证明.试题解析：（1），当且仅当取等，所以的最小值（2）根据柯西不等式，.当且仅当时，等号成立2020届高三数学第五次模拟考试试题理（含解析）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效．3．回答第3Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合A，B，再求集合B的补集，然后求【详解】，所以.故选：D【点睛】此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题.2.若复数与其共轭复数满足，则（）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】【分析】设，则,求得，再求模，得到答案.【详解】设，则，故，，，.故选：A.【点睛】本题考查了共轭复数的概念，两复数相等的条件，复数的模，还考查了学生的计算能力，属于容易题.3.若夹角为的向量与满足，则（）A. 1B. 2C.D. 4【答案】B【解析】【分析】根据向量数量积的应用，把两边平方，转化成模平方和数量积，利用已知即可得到结论.【详解】解：∵，∴，即，则，或（舍），故选：B.【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量与模的转化，考查了计算能力，属于基础题.4.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.【详解】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；故选A.点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.5.已知直线和平面，则下列四个命题中正确的是( )A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【解析】对于A，若，，则m有可能平行，故A错误；对于B，若，，显然是正确的；对于C，若，，则n有可能在内，故C错误；对于D，若，，则平面有可能相交，故D错误.故正确答案为B.6.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解决此问题的一个程序框图，其中a为松长､b为竹长，则菱形框与矩形框处应依次填（）A. a<b?;a=aB. a<b?;a=a+2aC. a≥b?;a=aD. a≥b?;a=a+2a【答案】C【解析】【分析】由程序框图模拟程序的运行，结合题意即可得解.【详解】竹逾松长，意为竹子比松高，即a<b，但这是一个含当型循环结构的程序框图，当不满足条件时，退出循环，故菱形框中条件应为松日自半，则表示松每日增加一半，即矩形框应填a=a.故选：C【点睛】本题考查数学文化和补全程序框图相结合综合问题，重点考查理解题意，并能正确模拟程序运行，属于基础题型.7.已知函数在一个周期内的图象如图所示，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】由图象可知，，所以，由，得，解得，因为，所以，所以.故选C.8.已知函数，，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据指数函数、对数函数的性质得到，，，即可得解；【详解】解：因为，定义域为，故函数是奇函数，又在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以在定义域上单调递增，由，，所以即故选：A【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题.9.阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设球的半径为R，根据组合体的关系，圆柱的表面积为，解得球的半径，再代入球的体积公式求解.【详解】设球的半径为R，根据题意圆柱的表面积为，解得，所以该球的体积为 .故选：C【点睛】本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题.10.，是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于，两点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】【分析】本题可先通过构造几何图形，先设为，再利用双曲线的定义，列出与的关系式，与的关系式，利用几何关系，在中，利用余弦定理即可求得答案．【详解】如图所示：设，由于为等边三角形，所以，所以，即，又，所以，在中，，，，，所以根据余弦定理有：，整理得：，即，所以离心率．故选：A．【点睛】本题考查了双曲线的定义，余弦定理解三角形，寻找双曲线中的关系是解决求离心率问题的关键，属于中档题.11.若的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（）A 85 B. 84 C. 57 D. 56【答案】A【解析】【分析】先求，再确定展开式中的有理项，最后求系数之和.【详解】解：的展开式中二项式系数和为256故，要求展开式中的有理项，则则二项式展开式中有理项系数之和为：故选：A【点睛】考查二项式二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题.12.若函数有且只有4个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由是偶函数，则只需在上有且只有两个零点即可.【详解】解：显然是偶函数所以只需时，有且只有2个零点即可令，则令，递减，且递增，且时，有且只有2个零点，只需故选：B【点睛】考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围，基础题.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题13.已知实数满足，则的最大值为_______.【答案】22【解析】分析】，作出可行域，利用直线的截距与b的关系即可解决.【详解】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，由可得，观察可知，当直线过点时，取得最大值，由，解得，即，所以.故答案为：22.【点睛】本题考查线性规划中线性目标函数的最值问题，要做好此类题，前提是正确画出可行域，本题是一道基础题.14.已知甲、乙、丙三位同学在某次考试中总成绩列前三名，有，，三位学生对其排名猜测如下：：甲第一名，乙第二名；：丙第一名；甲第二名；：乙第一名，甲第三名.成绩公布后得知，，，三人都恰好猜对了一半，则第一名是__________．【答案】丙【解析】【分析】根据假设分析，现假设A中的说法中“甲是第一名是错误的，乙是第二名是正确的”，进而确定B的说法，即可得到答案.【详解】由题意，假设A说法中“甲第一名”正确，则B的说法中“丙第一名”和C说法中“乙第一名”是错误，这与B中“甲第二名”和C中“甲第三名”是矛盾的，所以是错误的；所以A中，“甲是第一名是错误的，乙是第二名是正确的”；又由B中，假设“丙是第一名是错误的，甲是第二名是正确的”，这与A中，“甲是第一名是错误的，乙是第二名”是矛盾的，所以B中，假设“丙是第一名是正确的，甲是第二名是错误的”，故第一名为丙.【点睛】本题主要考查了推理与证明的应用，其中解答中通过假设分析，找到预测说法中的矛盾是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.15.等差数列的前n项和为，，则_____.【答案】【解析】。
2020年山东省新高考数学第五次模拟检测试卷 含解析
2020年新高考数学第五次模拟试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x2﹣3x≤0}，则A∪B＝（）A．[﹣2，3]B．[﹣2，0]C．[0，3]D．[﹣3，3]2．若复数z＝，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．z的虚部为﹣i B．|z|＝2C．z2为纯虚数D．z的共轭复数为﹣1﹣i3．命题∀x∈R，x2+x≥1的否定是（）A．∃x∈R，x2+x≤1B．∀x∈R，x2+x≤1C．∃x∈R，x2+x＜1D．∀x∈R，x2+x＜14．点P是△ABC内一点，且＝+，则△ABP的面积与△ABC的面积之比是（）A．1：3B．2：3C．1：4D．2：15．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，直线x＝a与双曲线的一条渐近线的交点为B．若∠BFA＝30°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．36．已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AB＝SA＝SB＝SC＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．7．已知数列{a n}前n项和为S n，满S n＝an2+bn（a，b为常数），且a9＝，设函数f（x）＝2+sin2x﹣2sin2，则数列{y n}的前17项和为（）A．B．9πC．11D．178．已知函数f（x）＝，函数g（x）＝mx，若函数y＝f（x）﹣2g（x）恰有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，1）C．（﹣）D．（﹣∞，）二、多项选择题（共4小题）9．函数f（x）＝2sin（x+）的图象可由函数g（x）＝sin2x﹣cos2x的图象如何变化得到（）A．先将g（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位B．先将g（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位C．先将g（x）的图象上所有点向左平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D．先将g（x）的图象上所有点向左平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变10．调查机构对全国互联网彳行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和“90后”从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中一定正确的是（）A．互联网行业从业人员中“90后“占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的“90后”人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的“90后“人数比80前少D．互联网行业中从事运营岗位的“90后”人数比80后多11．已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，的图象如图所示，令g （x）＝f（x）+f'（x），则下列关于函数的说法中正确的是（）A．若函数h（x）＝g（x）+2的两个不同零点分别为x1，x2，则|x1﹣x2|的最小值为B．函数g（x）的最大值为2C．函数g（x）的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线y＝﹣3x+1平行D．函数g（x）图象的对称轴方程为12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F是线段BC1上的动点，则下列说法错误的是（）A．当点F移动至BC1中点时，直线A1F与平面BDC1所成角最大且为60°B．无论点F在BC1上怎么移动，都有A1F⊥B1DC．当点F移动至BC1中点时，A1F与B1D相交于一点E，且＝2D．在BC1上存在点F，使异面直线A1F与CD所成角是30°三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0与直线l：x+ay+1＝0相交所得弦AB的长为4，则a ＝．14．已知a＞0，b＞0，ab＝8，则当a的值为时，log2a•log2（2b）取得最大值．15．若定义域为R的函数f（x）满足f'（x）＞f（x），则不等式ef（lnx）﹣xf（1）＜0的解集为（结果用区间表示）．16．如图，△ABC是边长为1的正三角形，以A为圆心，AC为半径，沿逆时针方向画圆弧，交BA延长线于A1，记弧CA1的长为l1；以B为圆心，BA1为半径，沿逆时针方向画圆弧，交CB延长线于A2，记弧A1A2的长为l2；以C为圆心，CA2为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AC延长线于A3，记弧A2A3的长为l3，则l1+l2+l3＝．如此继续以A为圆心，AA3为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AA1延长线于A4，记弧A3A4的长为l4，…，当弧长l n＝8π时，n＝．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图，在△ABC中，M是AC的中点，．（1）若，求AB的长；（2）若的面积．18．在公差为d的等差数列{a n}中，a1d＝6，a1∈N，d∈N，且a1＞d．（1）求{a n}的通项公式；（2）若a1，a4，a13成等比数列，求数列的前n项和S n．19．山东省2020年高考将实施新的高考改革方案．考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分．其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分．根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91﹣100、81﹣90、71﹣80，61﹣70、51﹣60、41﹣50、31﹣40、21﹣30八个分数区间，得到考生的等级成绩．举例说明．某同学化学学科原始分为65分，该学科C+等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属C+等级．而C+等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分为：设该同学化学科的转换等级分为x，，求得x≈66.73．四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67．（1）某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布ξ～N（60，122）．（i）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为B+，其所在原始分分布区间为82～93，求小明转换后的物理成绩；（ii）求物理原始分在区间（72，84）的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记X表示这4人中等级成绩在区间[61，80]的人数，求X的分布列和数学期望．（附：若随机变量ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.682，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.954，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0.997）20．如图，在三棱锥V﹣ABC中，VC＜AB，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，平面ACV⊥平面ABC，∠ACV＝45°，D为线段AB．上一点，且满足AD＝CV．（1）若E为AC的中点，求证：BE⊥CV；（2）当DV的长度最小时，求二面角A﹣BC﹣V的余弦值．21．在直角坐标系xOy中，设椭圆的左焦点为F1，短轴的两个端点分别为A，B，且∠AF1B＝60°，点在C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y＝kx+m（k＞0）与椭圆C和圆O分别相切于P，Q两点，当△OPQ面积取得最大值时，求直线l的方程．22．已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝mx2．（1）若函数f（x）与g（x）的图象上存在关于原点对称的点，求实数m的取值范围（2）设F（x）＝f（x）﹣g（x），已知F（x）在（0，+∞）上存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1x2＞1．参考答案一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x2﹣3x≤0}，则A∪B＝（）A．[﹣2，3]B．[﹣2，0]C．[0，3]D．[﹣3，3]【分析】先求集合B，再求并集．解：∵B＝{x|x2﹣3x≤0}，∴B＝{x|0≤x≤3}，∴A∪B＝[﹣2，3]，故选：A．2．若复数z＝，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．z的虚部为﹣i B．|z|＝2C．z2为纯虚数D．z的共轭复数为﹣1﹣i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．解：∵z＝＝，∴z的虚部为﹣1，|z|＝，z2＝（1﹣i）2＝﹣2i为纯虚数，z的共轭复数为1+i．∴正确的选项为C．故选：C．3．命题∀x∈R，x2+x≥1的否定是（）A．∃x∈R，x2+x≤1B．∀x∈R，x2+x≤1C．∃x∈R，x2+x＜1D．∀x∈R，x2+x＜1【分析】根据全称命题的否定为特称命题，即可得到答案解：全称命题的否定为特称命题，命题∀x∈R，x2+x≥1的否定是∃x∈R，x2+x＜1，故选：C．4．点P是△ABC内一点，且＝+，则△ABP的面积与△ABC的面积之比是（）A．1：3B．2：3C．1：4D．2：1【分析】如图所示，由＝+，可得＝．即可得出△ABP的面积与△ABC的面积之比．解：如图所示，∵＝+，＝．∴△ABP的面积与△ABC的面积之比＝＝．故选：C．5．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，直线x＝a与双曲线的一条渐近线的交点为B．若∠BFA＝30°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．3【分析】求出B的坐标，利用已知条件列出a、c关系，然后求解离心率即可．解：由题意可得A（a，0），双曲线的渐近线方程为：ay±bx＝0，不妨设B点为直线x ＝a与y＝的交点，则B点的坐标（a，b），因为AB⊥FB，∠BFA＝30°，所以tan∠BFA＝＝＝，解得e＝2．故选：C．6．已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AB＝SA＝SB＝SC＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【分析】首先确定外接球的球心，进一步确定球的半径，最后求出球的表面积．解：如图所示：三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AB＝SA＝SB＝SC＝2，则：SD＝，设外接球的半径为R，则：在△BOD中，利用勾股定理：，解得：R＝所以：S＝4π•R2＝4．故选：D．7．已知数列{a n}前n项和为S n，满S n＝an2+bn（a，b为常数），且a9＝，设函数f（x）＝2+sin2x﹣2sin2，则数列{y n}的前17项和为（）A．B．9πC．11D．17【分析】化简函数的解析式，利用数列的和求出通项公式，判断数列是等差数列，然后求解数列的和即可．解：f（x）＝sin2x+cos x+1，由，得a n＝2na﹣a+b，{a n}为等差数列，a1+a17＝2a9＝π，y1+y17＝f（a1）+f（a17）＝sin2a1+cos a1+1+sin2a17+cos a17+1＝sin2a1+cos a1+1+sin（2π﹣2a1）+cos（π﹣a1）+1＝2，数列{y n}的前17项和为2×8+1＝17．故选：D．8．已知函数f（x）＝，函数g（x）＝mx，若函数y＝f（x）﹣2g（x）恰有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，1）C．（﹣）D．（﹣∞，）【分析】根据所给函数f（x），画出函数图象，根据g（x）＝mx及y＝f（x）﹣2g（x）恰有三个零点，即可根据图象判断m的取值范围．解：由题意，画出函数f（x）＝的图象如下图所示：f（x）﹣2g（x）恰有三个零点即f（x）＝2g（x）有三个不同交点，即f（x）＝2mx有三个不同交点由图象可知，当直线斜率在k OA，k OB之间时，有三个交点即k OA＜2m＜k OB所以﹣可得故选：A．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．函数f（x）＝2sin（x+）的图象可由函数g（x）＝sin2x﹣cos2x的图象如何变化得到（）A．先将g（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位B．先将g（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位C．先将g（x）的图象上所有点向左平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D．先将g（x）的图象上所有点向左平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解：把函数g（x）＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣）的图象上所有点向左平移个单位，可得y＝2sin（2x+）的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得函数f（x）＝2sin （x+）的图象．或者先将g（x）＝2sin（2x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得y＝2sin（x﹣）的图象，再向左平移个单位，可得可得函数f（x）＝2sin（x+）的图象．故选：AD．10．调查机构对全国互联网彳行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和“90后”从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中一定正确的是（）A．互联网行业从业人员中“90后“占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的“90后”人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的“90后“人数比80前少D．互联网行业中从事运营岗位的“90后”人数比80后多【分析】根据扇形统计图，逐一判断选项，得出答案．解：设整个行业人数为1，A，因为互联网行业从业人员中“90后“占56%，故正确；B，互联网行业中从事技术岗位的“90后”人数为1×0.56×0.396≈0.22＝22%，故正确；C，互联网行业中从事运营岗位的“90后“人数为1×0.56×0.17≈0.1＞0.03，故错误；D，互联网行业中从事运营岗位的“90后”人数0.1＜0.41，故错误，故选：AB．11．已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，的图象如图所示，令g （x）＝f（x）+f'（x），则下列关于函数的说法中正确的是（）A．若函数h（x）＝g（x）+2的两个不同零点分别为x1，x2，则|x1﹣x2|的最小值为B．函数g（x）的最大值为2C．函数g（x）的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线y＝﹣3x+1平行D．函数g（x）图象的对称轴方程为【分析】由图象结合最值可求A，结合周期可求ω，然后代入f（）＝2，及|φ|＜，可求φ，从而可求f（x），进而可求g（x），结合正弦函数，余弦函数的性质分别进行判断解：由图象可知，A＝2，＝，∴T＝2π，ω＝1，∴f（x）＝2cos（x+φ），∵f（）＝2cos（+φ）＝2，且|φ|＜，∴φ＝﹣，f（x）＝2cos（x﹣），∵g（x）＝f（x）+f'（x）＝2cos（x﹣）﹣2sin（x﹣）＝2cos（x+），A：由h（x）＝g（x）+2＝0可得cos（x+）＝﹣，则|x1﹣x2|的最小值为＝，故A正确；B：结合余弦函数的性质可知，f（x）的最大值2，故B错误；C：根据导数的几何意义可知，过点P的切线斜率k＝f′（x）＝﹣2sin（x+），不存在斜率为﹣3的切线方程，故C错误；D：令x+＝kπ可得，x＝k，k∈z，故D错误．故选：A．12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F是线段BC1上的动点，则下列说法错误的是（）A．当点F移动至BC1中点时，直线A1F与平面BDC1所成角最大且为60°B．无论点F在BC1上怎么移动，都有A1F⊥B1DC．当点F移动至BC1中点时，A1F与B1D相交于一点E，且＝2D．在BC1上存在点F，使异面直线A1F与CD所成角是30°【分析】根据题意，分别对选项中的命题进行分析、判断正误即可．解：对于A，当点F移动到BC1的中点时，直线A1F与平面BDC1所成角由小到大再到小，如图1所示；且F为B1C的中点时最大角的余弦值为＝＝＜，最大角大于60°，所以A错误；对于选项B，在正方形中，DB1⊥面A1BC1，又A1F⊂面A1BC1，所以A1F⊥B1D，B正确；对于选项C，F为BC1的中点时，也是B1C的中点，它们共面于平面A1B1CD，且必相交，设为E，连A1D和B1C，如图2，根据△A1DE∽△FB1E，可得＝＝2，所以C正确；对于D，当点F从B运动到C1时，异面直线A1F与CD所成角由大到小再到大，且F为B1C的中点时最小角的正切值为＝＞，最小角大于30°，所以D错误．故选：AD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0与直线l：x+ay+1＝0相交所得弦AB的长为4，则a＝﹣1．【分析】根据题意，由圆的方程分析圆心与半径，分析可得直线l经过圆心，将圆心坐标代入直线方程可得1+2a+1＝0，解可得a的值，即可得答案．解：根据题意，圆C的方程可化为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，圆心C（1，2），半径r ＝2；又由弦AB的长为4，则直线l经过圆心，则有1+2a+1＝0，解可得a＝﹣1；故答案为：﹣1．14．已知a＞0，b＞0，ab＝8，则当a的值为4时，log2a•log2（2b）取得最大值．【分析】由条件可得a＞1，再利用基本不等式，求得当a＝4时，log2a•log2（2b）取得最大值，从而得出结论．解：由题意可得当log2a•log2（2b）最大时，log2a和log2（2b）都是正数，故有a＞1．再利用基本不等式可得log2a•log2（2b）≤＝＝＝4，当且仅当a＝2b＝4时，取等号，即当a＝4时，log2a•log2（2b）取得最大值，故答案为：4．15．若定义域为R的函数f（x）满足f'（x）＞f（x），则不等式ef（lnx）﹣xf（1）＜0的解集为（0，e）（结果用区间表示）．【分析】由题目要求解的不等式是ef（lnx）﹣xf（1）＜0，由此想到构造函数g（x）＝，求导后结合f'（x）＞f（x），可知函数g（x）是实数集上的增函数，然后利用函数的单调性可求得不等式的解集．解：令g（x）＝，则g′（x）＝，因为f'（x）＞f（x），所以g′（x）＞0，所以，函数g（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，由ef（lnx）＜xf（1），得：＜，即g（lnx）＜g（1），因为函数g（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，所以lnx＜1．所以不等式的解集是（0，e）．故答案为（0，e）．16．如图，△ABC是边长为1的正三角形，以A为圆心，AC为半径，沿逆时针方向画圆弧，交BA延长线于A1，记弧CA1的长为l1；以B为圆心，BA1为半径，沿逆时针方向画圆弧，交CB延长线于A2，记弧A1A2的长为l2；以C为圆心，CA2为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AC延长线于A3，记弧A2A3的长为l3，则l1+l2+l3＝4π．如此继续以A为圆心，AA3为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AA1延长线于A4，记弧A3A4的长为l4，…，当弧长l n＝8π时，n＝12．【分析】根据弧长公式，分别求出l1、l2、l3，因此发现规律，进行归纳总结．解：由题意l1＝，l2＝，l3＝，所以l1+l2+l3＝4π；l8＝8π，即，解得n＝12；故答案为：4π；12．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图，在△ABC中，M是AC的中点，．（1）若，求AB的长；（2）若的面积．【分析】（1）根据正弦定理进行求解即可．（2）根据余弦定理结合三角形的面积公式进行计算即可．解：（1），…………………………在△ABC中，由正弦定理得，∴．…………………………（2）在△BCM中，由余弦定理得＝，∴12＝4+BC2﹣2BC，解得BC＝4（负值舍去），…………………………∴，…………………………18．在公差为d的等差数列{a n}中，a1d＝6，a1∈N，d∈N，且a1＞d．（1）求{a n}的通项公式；（2）若a1，a4，a13成等比数列，求数列的前n项和S n．【分析】（1）由题意可得a1＝3，d＝2或a1＝6，d＝1，再由等差数列的通项公式可得所求；（2）运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程即可得到所求a n，求得＝＝（﹣），再由数列的裂项相消求和可得所求和．解：（1）公差为d的等差数列{a n}中，a1d＝6，a1∈N，d∈N，且a1＞d，可得a1＝3，d＝2或a1＝6，d＝1，则a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1；或a n＝6+n﹣1＝n+5，n∈N*；（2）a1，a4，a13成等比数列，可得a1a13＝a42，即a1（a1+12d）＝（a1+3d）2，化为d＝0或2a1＝3d，由（1）可得a1＝3，d＝2，则a n＝2n+1，＝＝（﹣），可得前n项和S n＝（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）＝．19．山东省2020年高考将实施新的高考改革方案．考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分．其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分．根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91﹣100、81﹣90、71﹣80，61﹣70、51﹣60、41﹣50、31﹣40、21﹣30八个分数区间，得到考生的等级成绩．举例说明．某同学化学学科原始分为65分，该学科C+等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属C+等级．而C+等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分为：设该同学化学科的转换等级分为x，，求得x≈66.73．四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67．（1）某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布ξ～N（60，122）．（i）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为B+，其所在原始分分布区间为82～93，求小明转换后的物理成绩；（ii）求物理原始分在区间（72，84）的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记X表示这4人中等级成绩在区间[61，80]的人数，求X的分布列和数学期望．（附：若随机变量ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.682，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.954，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0.997）【分析】（1）根据原始分数分布区间及转换分区间，结合所给示例，即可求得小明转换后的物理成绩；根据正态分布满足N（60，122），结合正态分布的对称性即可求得（72，84）内的概率，根据总人数即可求得在该区间的人数．（2）根据各等级人数所占比例可知在区间[61，80]内的概率为，由二项分布即可求得X的分布列及各情况下的概率，结合数学期望的公式即可求解【解答】解（1）（i）设小明转换后的物理等级分为x，，求得x≈82.64．小明转换后的物理成绩为8；（ii）因为物理考试原始分基本服从正态分布N（60，122），所以P（72＜ξ＜84）＝P（60＜ξ＜84）﹣P（60＜ξ＜72）＝P（36＜ξ＜84）＝P（48＜ξ＜72）＝（0.954﹣0.682）＝0.136．所以物理原始分在区间（72，84）的人数为2000×0.136＝272（人）；（2）由题意得，随机抽取1人，其等级成绩在区间[61，80]内的概率为，随机抽取4人，则X～B（4，）．P（X＝0）＝（）4＝，P（X＝1）＝C（）3＝，P（X＝2）＝C（）2（）2＝，P（X＝3）＝C（）3（）1＝，P（X＝4）＝（）4＝．X的分布列为X01234P数学期望E（X）＝4×＝．20．如图，在三棱锥V﹣ABC中，VC＜AB，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，平面ACV⊥平面ABC，∠ACV＝45°，D为线段AB．上一点，且满足AD＝CV．（1）若E为AC的中点，求证：BE⊥CV；（2）当DV的长度最小时，求二面角A﹣BC﹣V的余弦值．【分析】（1）利用面面垂直的性质能证明BV⊥CV．（2）过V作VO⊥AC于O，推导出VO⊥面ABC，VO＝VC sin45°＝VC，过O作OH⊥BC于H，连结VH，则∠VHO是二面角A﹣BC﹣V的平面角，由此能求出当DV 的长度最小时，二面角A﹣BC﹣V的余弦值．解：（1）证明：∵AB＝BC，E为AC的中点，∴BE⊥AC，∵侧面ACV⊥底面ABC，侧面ACV∩底面ABC＝AC，∴BE⊥面ACV，∵VC⊂面ACV，∴BE⊥CV．（2）解：过V作VO⊥AC于O，∵侧面ACV⊥底面ABC，∠ACV＝45°，∴VO⊥面ABC，VO＝VC sin45°＝VC，过O作OH⊥BC于H，连结VH，则∠VHO是二面角A﹣BC﹣V的平面角，∵∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠ACB＝45°，∴OH＝OC sin45°•sin45°＝，∴当DV的长度最小时，二面角A﹣BC﹣V的余弦值：cos∠VHO＝＝＝．21．在直角坐标系xOy中，设椭圆的左焦点为F1，短轴的两个端点分别为A，B，且∠AF1B＝60°，点在C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y＝kx+m（k＞0）与椭圆C和圆O分别相切于P，Q两点，当△OPQ 面积取得最大值时，求直线l的方程．【分析】（Ⅰ）由∠AF1B＝60°，可得a＝2b，由点在C上，可得+＝1，解得b2＝1，a2＝4，即可求出椭圆方程，（Ⅱ）联立，根据判别式求出4k2+1＝m2，即可求出点P的坐标，可得|OP|，再求出|OQ|，表示出三角形的面积，根据基本不等式即可求出．解：（Ⅰ）由∠AF1B＝60°，可得a＝2b，由点在C上，可得+＝1，∴b2＝1，a2＝4，∴椭圆C的方程为+y2＝1，（Ⅱ）联立，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，∵直线l与椭圆相切，∴△＝16（4k2+1﹣m2）＝0，即4k2+1＝m2，设P（x1，y1），可得x1＝＝﹣，则y1＝＝，∴|OP|2＝+＝＝＝4﹣又直线l与圆O相切，可得|OQ|＝，则|OQ|2＝＝＝4﹣∴|PQ|＝＝＝，∴S△OPQ＝|PQ|•|OQ|＝•＝•＝•≤，当且仅当k＝1时取等号，此时m2＝1+4＝5，则m＝±，故直线l的方程为y＝x+或y＝x﹣．22．已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝mx2．（1）若函数f（x）与g（x）的图象上存在关于原点对称的点，求实数m的取值范围（2）设F（x）＝f（x）﹣g（x），已知F（x）在（0，+∞）上存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1x2＞1．【分析】（1）函数f（x）与g（x）的图象上存在关于原点对称的点等价于﹣g（﹣x）＝﹣的图象与f（x）＝xlnx的图象有交点，等价于在（0，+∞）上有解，设φ（x）＝﹣（x＞0），利用导数得到φ（x）min﹣，所以，从而求得m的取值范围；（2）先求出导函数F'（x）＝lnx﹣mx+1，由题意可得，进而得到＝，设t＝，t∈（0，1），则lnx1+lnx2+2＝，要证x1x2＞1，只需证：lnx1+lnx2+2＞2，即证：，设h（t）＝，t∈（0，1），利用导数得到h（t）＜h（1）＝0，即．解：（1）函数f（x）与g（x）的图象上存在关于原点对称的点，即﹣g（﹣x）＝﹣的图象与f（x）＝xlnx的图象有交点，即﹣＝xlnx在（0，+∞）上有解，即在（0，+∞）上有解，设φ（x）＝﹣（x＞0），则φ'（x）＝，∴当x∈（0，e）时，φ（x）为减函数，当x∈（e，+∞）时，φ（x）为增函数，∴φ（x）min＝φ（e）＝﹣，∴，∴m；（2）证明：由已知可得F（x）＝f（x）﹣g（x）＝xlnx﹣，则F'（x）＝lnx﹣mx+1，∵F（x）在（0，+∞）上存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，∴，解得：m＝，且m＝，∴＝，即lnx1+lnx2+2＝＝，设t＝，t∈（0，1），则lnx1+lnx2+2＝，要证x1x2＞1，即证ln（x1x2）＞ln1，即证lnx1+lnx2＞0，只需证：lnx1+lnx2+2＞2，即＞2，即证：，设h（t）＝，t∈（0，1），则h'（t）＝＞0，∴h（t）在（0，1）上单调递增，∴h（t）＜h（1）＝0，即得证，∴x1x2＞1．。
(全国I卷)2020届高三数学五省优创名校联考试题 理
2020～2020年度高三全国Ⅰ卷五省优创名校联考数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝R，集合M＝{x|3x2－13x－10＜0}和N＝{x|x＝2k，k∈Z}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A．1个B．2个C．3个D．无穷个2．34i34i 12i12i +--= -+A．－4B．4C．－4iD．4i3．如图1为某省2020年1～4月快递业务量统计图，图2是该省2020年1～4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是A．2020年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B．2020年1～4月的业务量同比增长率均超过50％，在3月最高C．从两图来看，2020年1～4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D．从1～4月来看，该省在2020年快递业务收入同比增长率逐月增长4．设x，y满足约束条件60330x yxx y-+⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≤≥，则11x yzx++=+的取值范围是A．（－∞，－8]∪[1，＋∞）B．（－∞，－10]∪[－1，＋∞）C．[－8，1]D．[－10，－1]5．某几何体的三视图如图所示，其中，正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A．4643π-B．64－4πC．64－6πD．64－8π6．有一程序框图如图所示，要求运行后输出的值为大于1000的最小数值，则在空白的判断框内可以填入的是A．i＜6 B．i＜7 C．i＜8 D．i＜97．在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：22221x ya b+=（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交PQ 于点M，若M是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为A．2 2B．1 2C．1 3D．1 48．已知f（x）为定义在R上的奇函数，g（x）＝f（x）－x，且当x∈（－∞，0]时，g（x）单调递增，则不等式f（2x－1）－f（x＋2）≥x－3的解集为A．（3，＋∞）B．[3，＋∞）C．（－∞，3]D．（－∞，3）9．函数f（x）＝ln|x|＋x2－x的图象大致为A．B．C．D．10．用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为A ．532 B ．516C ．1132D ．111611．已知函数f （x ）＝3sin （ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π），()03f π-=，对任意x ∈R 恒有()|()|3f x f π≤，且在区间（15π，5π）上有且只有一个x 1使f （x 1）＝3，则ω的最大值为A ．574 B ．1114C ．1054D ．117412．设函数f （x ）在定义域（0，＋∞）上是单调函数，且(0,)x ∀∈+∞，f[f （x ）－e x＋x]＝e ．若不等式f （x ）＋f′（x ）≥ax 对x ∈（0，＋∞）恒成立，则a 的取值范围是 A ．（－∞，e －2] B ．（－∞，e －1] C ．（－∞，2e －3] D ．（－∞，2e －1]第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题．将答案填在答题卡中的横线上． 13．已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则|2|________|3|+=-a b a b ．14．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的高为6，AB ＝4，点D 为棱BB 1的中点，则四棱锥C —A 1ABD的表面积是________．15．在（x2－2x－3）4的展开式中，含x6的项的系数是________．16．已知双曲线C：22221 x yab-=（a＞0，b＞0），圆M：222()4bx a y-+=．若双曲线C的一条渐近线与圆M相切，则当22224149aaa b-+取得最大值时，C的实轴长为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题．17．设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝3，且S n＝na n＋1－n2－n．（1）求{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足22121(1)nnnbn a++=-，求{b n}的前n项和T n．18．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知22()23sina cb ab C+=+．（1）求B的大小；（2）若b＝8，a＞c，且△ABC的面积为33，求a．19．如图所示，在四棱锥S—ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，其中AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝AS＝2，AB＝1，CD＝3，且CE CSλ=u u u r u u u r．（1）若23λ=，证明：BE⊥CD；（2）若13λ=，求直线BE与平面SBD所成角的正弦值．20．在直角坐标系xOy中，动圆P与圆Q：（x－2）2＋y2＝1外切，且圆P与直线x＝－1相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）设过定点S（－2，0）的动直线l与曲线C交于A，B两点，试问：在曲线C上是否存在点M（与A，B两点相异），当直线MA，MB的斜率存在时，直线MA，MB的斜率之和为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）＝e x＋ax2，g（x）＝x＋blnx．若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线相交于点（0，1）．（1）求a，b的值；（2）求函数g（x）的最小值；（3）证明：当x＞0时，f（x）＋xg（x）≥（e－1）x＋1．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]已知直线l的参数方程为,2x my⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝48，其左焦点F在直线l上．（1）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|＋|FB|的值；（2）求椭圆C的内接矩形面积的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲]已知函数f（x）＝|x＋2|－|ax－2|．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥2x＋1的解集；（2）若不等式f（x）＞x－2对x∈（0，2）恒成立，求a的取值范围．2020～2020年度高三全国Ⅰ卷五省优创名校联考数学参考答案（理科）1．C 2．D 3．D 4．A 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．B 11．C 12．D 13．114．36 15．121617．解：（1）由条件知S n ＝na n ＋1－n 2－n ，① 当n ＝1时，a 2－a 1＝2；当n≥2时，S n －1＝（n －1）a n －（n －1）2－（n －1），② ①－②得a n ＝na n ＋1－（n －1）a n －2n ， 整理得a n ＋1－a n ＝2．综上可知，数列{a n }是首项为3、公差为2的等差数列，从而得a n ＝2n ＋1． （2）由（1）得222221111[](22)4(1)n n b n n n n +==-++， 所以22222221111111111[(1)()()][1]4223(1)4(1)44(1)n T n n n n =-+-++-=-=-+++L ．18．解：（1）由22()sin a c b C +=+得2222sin a c ac b C ++=+，所以2222sin a c b ac C +-+=，即2(cos 1)sin ac B C +=，所以有sin (cos 1)sin C B B C +=，因为C ∈（0，π），所以sinC ＞0，所以cos 1B B +=，cos 2sin()16B B B π-=-=，所以1sin()62B π-=．又0＜B ＜π，所以666B ππ5π-<-<，所以66B ππ-=，即3B π=．（2）因为11sin 222ac B ac =⋅=ac ＝12． 又b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝（a ＋c ）2－3ac ＝（a ＋c ）2－36＝64， 所以a ＋c ＝10，把c ＝10－a 代入到ac ＝12（a ＞c ）中，得5a =． 19．（1）证明：因为23λ=，所以23CE CS =，在线段CD 上取一点F 使23CF CD =，连接EF ，BF ，则EF ∥SD 且DF ＝1． 因为AB ＝1，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°， 所以四边形ABFD 为矩形，所以CD ⊥BF ． 又SA ⊥平面ABCD ，∠ADC ＝90°， 所以SA ⊥CD ，AD ⊥CD ．因为AD∩SA＝A ，所以CD ⊥平面SAD ． 所以CD ⊥SD ，从而CD ⊥EF ．因为BF∩EF＝F ，所以CD ⊥平面BEF ． 又BE ⊂平面BEF ，所以CD ⊥BE ．（2）解：以A 为原点，AD u u u r的正方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系A —xyz ，则A （0，0，0），B （0，1，0），D （2，0，0），S （0，0，2），C （2，3，0），所以142(,1,)333BE BC CE BC CS =+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，(0,1,2)SB =-u u r ，(2,0,2)SD =-u u u r ．设n ＝（x ，y ，z ）为平面SBD 的法向量，则0SB SD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u rn n ， 所以20y z x z -=⎧⎨-=⎩，令z ＝1，得n ＝（1，2，1）．设直线BE 与平面SBD 所成的角为θ，则||2174sin |cos ,|||||BE BE BE θ⋅===u u u ru u u r u u u r n n n ．20．解：（1）设P （x ，y ），圆P 的半径为r ，因为动圆P 与圆Q ：（x －2）2＋y 2＝1外切，1r =+，①又动圆P 与直线x ＝－1相切，所以r ＝x ＋1，②由①②消去r 得y 2＝8x ，所以曲线C 的轨迹方程为y 2＝8x ．（2）假设存在曲线C 上的点M 满足题设条件，不妨设M （x 0，y 0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则2008y x =，2118y x =，2228y x =， 1010108MA y y k x x y y -==-+，2020208MB y y k x x y y -==-+， 所以120210*********(2)88()MA MB y y y k k y y y y y y y y y y +++=+=+++++，③ 显然动直线l 的斜率存在且非零，设l ：x ＝ty －2，联立方程组282y x x ty ⎧=⎨=-⎩，消去x 得y 2－8ty ＋16＝0，由Δ＞0得t ＞1或t ＜－1，所以y 1＋y 2＝8t ，y 1y 2＝16，且y 1≠y 2， 代入③式得02008(82)816MA MB t y k k y ty ++=++，令02008(82)816t y m y ty +=++（m 为常数）， 整理得2000(864)(1616)0my t my y m -+-+=，④因为④式对任意t ∈（－∞，－1）∪（1，＋∞）恒成立，所以0200864016160my my y m -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 所以024m y =⎧⎨=⎩或024m y =-⎧⎨=-⎩，即M （2，4）或M （2，－4）， 即存在曲线C 上的点M （2，4）或M （2，－4）满足题意．21．（1）解：因为f′（x ）＝e x＋2ax ，所以f′（1）＝e ＋2a ，切点为（1，e ＋a ），所以切线方程为y ＝（e ＋2a ）（x －1）＋（e ＋a ），因为该切线过点（0，1），所以a＝－1．又()1bg xx'=+，g′（1）＝1＋b，切点为（1，1），所以切线方程为y＝（1＋b）（x－1）＋1，同理可得b＝－1．（2）解：由（1）知，g（x）＝x－lnx，11 ()1xg xx x-'=-=，所以当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＞1时，g′（x）＞0，所以当x＝1时，g（x）取极小值，同时也是最小值，即g（x）min＝g（1）＝1．（3）证明：由（1）知，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝（e－2）x ＋1．下面证明：当x＞0时，f（x）≥（e－2）x＋1．设h（x）＝f（x）－（e－2）x－1，则h′（x）＝e x－2x－（e－2），再设k（x）＝h′（x），则k′（x）＝e x－2，所以h′（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，＋∞）上单调递增．又因为h′（0）＝3－e，h′（1）＝0，0＜＜ln2＜1，所以h′（ln2）＜0，所以存在x0∈（0，1），使得h′（x0）＝0，所以，当x∈（0，x0）∪（1，＋∞）时，h′（x）＞0；当x∈（x0，1）时，h′（x）＜0．故h（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增．又因为h（0）＝h（1）＝0，所以h（x）＝f（x）－（e－2）x－1≥0，当且仅当x＝1时取等号，所以e x－（e－2）x－1≥x2．由于x＞0，所以e(e2)1x xxx---≥．又由（2）知，x－lnx≥1，当且仅当x＝1时取等号，所以，e(e2)11lnx xx xx---+≥≥，所以e x－（e－2）x－1≥x（1＋lnx），即e x－x2＋x（x－lnx）≥（e－1）x＋1，即f（x）＋xg（x）≥（e－1）x＋1．22．解：（1）将cos,sinxyρθρθ=⎧⎨=⎩代入ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝48，得x2＋3y2＝48，即221 4816x y+=，因为c 2＝48－16＝32，所以F的坐标为（-，0）， 又因为F 在直线l上，所以m =-把直线l的参数方程22x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入x 2＋3y 2＝48，化简得t 2－4t －8＝0，所以t 1＋t 2＝4，t 1t 2＝－8，所以12||||||FA FB t t +=-=== （2）由椭圆C 的方程2214816x y +=，可设椭圆C 上在第一象限内的任意一点M 的坐标为（θ，4sinθ）（02θπ<<），所以内接矩形的面积8sin 2S θθθ=⋅=， 当4θπ=时，面积S取得最大值 23．解：（1）当a ＝2时，4,2()|2||22|3,214,1x x f x x x x x x x --⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-+⎩≤≥，当x≤－2时，由x －4≥2x＋1，解得x≤－5；当－2＜x ＜1时，由3x≥2x＋1，解得x ∈∅；当x≥1时，由－x ＋4≥2x＋1，解得x ＝1．综上可得，原不等式的解集为{x|x≤－5或x ＝1}．（2）因为x ∈（0，2），所以f （x ）＞x －2等价于|ax －2|＜4， 即等价于26a x x-<<， 所以由题设得26a x x-<<在x ∈（0，2）上恒成立， 又由x ∈（0，2），可知21x -<-，63x >， 所以－1≤a≤3，即a 的取值范围为[－1，3]．。
山东省平邑县第一中学2020届高三下学期第五次调研考试化学试题答案
平邑一中东城第五次调研化学1B2A3C4B5D6C7C8A9C10D11C12AD13C14AC15BD16.（12分）(1).升温（1分）(2).159.2（1分）(3).abc （2分）(4).体系总压不变时，加入水蒸气，相当于反应体系减压，平衡正向移动，乙苯转化率增大（2分）(5).80（2分）(6).45（2分）(7).2.5（2分）17.（9分）(1).4d 5s 1（1分）(2).6（1分）(3).C （1分）(4).sp 2和sp 3（2分）(8).体心立方密堆积（2分）(9).103A 2M 310ρN 2⨯⨯（2分）18（13分）.(1).三颈烧瓶（1分）(2).Na 2SO 3溶液（1分）(3).2Cu 2++2-3SO +2Cl -+H 2O=2CuCl↓+2H ++2-4SO （2分）(4).与H +作用，调整pH（2分）(5).3.5（1分）(6).洗去晶体表面的杂质离子，同时防止CuCl 被氧化（2分）(7).6CuCl+8HNO 3=3Cu(NO 3)2+3CuCl 2+2NO↑+4H 2O （2分）(8).温度降到常温，上下调节量气管至左、右液面相平，该数时视线与凹液面最低处相切（1分）(9).C→B→A（1分）19.（12分）(1).二水合磷酸二氢锰（1分）(2).Mn 2+外围电子为3d 5的半充满稳定状态，而Fe 2+外围电子为3d 6，可失去一个电子变为3d 5的半充满稳定状态（2分）(3).、SO 2+MnO 2=2-4SO +Mn2+(2分）(4).Al(OH)3（1分）(5).在上层清液中继续滴加Na 2CO 3溶液，若无沉淀生成则说明沉锰已经完成（2分）(6).MnCO 3+2H 3PO 4+H 2O=Mn(H 2PO 4)2·2H 2O+CO 2↑（2分）(7).pH=1.7下萃取60min （1分）(8).-+2-244H PO H +HPO （1分）20.（14分）(1).苯甲醛（1分）(2).还原反应（1分）(3).H 2N（1分）(4).C 15H 21NO 3（2分）(5).羟基（1分）(6).2（1分）(7).+→+（2分）(8).（2分）(9).2Cu/O Δ−−−−−→32CH NH −−−→4NaBH −−−→（3分）。
2019-2020学年山东省临沂市平邑县第一中学高三数学文联考试题含解析
2019-2020学年山东省临沂市平邑县第一中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如果复数z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，那么实数a的值为（）A．﹣2或 1 B．﹣2 C．1 D．2参考答案：【考点】复数的基本概念．【分析】由复数z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：由复数z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，得，解得a=﹣2．∴实数a的值为：﹣2．故选：B．2. 如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图象是（）参考答案：B由三视图可知，该容器为圆锥形的漏斗。
随时间的增加，容器中水面的高度增加得越来越慢，故选择B。
3. 已知为异面直线，平面，平面.直线满足，则（）A．，且B．，且C．与相交，且交线垂直于D．与相交，且交线平行于参考答案：D略4. 一质点运动时速度与时间的关系为，质点作直线运动，则此物体在时间内的位移为 ( )A. B. C.D.参考答案：A略5. 已知数列的值为（）A．—3 B．3 C．2D．—2参考答案：B故所求值为36. 函数的图像关于点中心对称，则的最小值A. B. C. D.参考答案：【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案解析】A ∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点(，0)中心对称．∴2? +φ=kπ+∴φ=kπ- (k∈Z)由此易得|φ|m i n= ．故选A【思路点拨】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点(，0)中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．7. 南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减小，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有周长为且的，则其面积为（）A．B．C．D．参考答案：A8. 已知函数若曲线上存在不同的两点A、B使得曲线在A、B处的切线垂直，则a的取值范围是（）A. (1,+∞)B. (－3,1)C.D.参考答案：C【分析】求出函数的导数，求出在上的值域，将问题转化为，解出该不等式可得出结果.【详解】，，易知，函数在上单调递减，当时，则，所以，，函数在上的值域，由于曲线上存在不同的两点、使得曲线在、处的切线垂直，所以，，整理得，解得，因此，实数的取值范围是，故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两直线垂直关系的转化，解题的关键就是转化为导数值域问题进行求解，考查化归与转化思想，属于难题.9. 已知双曲线的左、右焦点分别是Fl，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P,Q两点，若｜PF1｜＝｜F1F2｜，且3｜PF2｜=2 ｜QF2｜，则该双曲线的离心率为A、B、C、2 D、参考答案：A【知识点】双曲线的简单性质．H6解析：如图，l为该双曲线的右准线，设P到右准线的距离为d；过P作PP1⊥l，QQ1⊥l，分别交l于P1，Q1；∵，3|PF2|=2|QF2|；∴，；过P作PM⊥QQ1，垂直为M，交x轴于N，则：；∴解得d=；∵根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|PF2|=2c﹣2a；∴根据双曲线的第二定义，；整理成：；∴解得（舍去）；即该双曲线的离心率为．故选A．【思路点拨】先作出图形，并作出双曲线的右准线l，设P到l的距离为d，根据双曲线的第二定义即可求出Q到l的距离为．过Q作l的垂线QQ1，而过P作QQ1的垂线PM，交x轴于N，在△PMQ中有，这样即可求得d=，根据已知条件及双曲线的定义可以求出|PF2|=2c﹣2a，所以根据双曲线的第二定义即可得到，进一步可整理成，这样解关于的方程即可．10. 已知复数1-i=(i为虚数单位)，则z等于A．一1+3i B．一1+2i C．1—3i D．1—2i参考答案：A【知识点】复数的基本概念与运算L4由题意得z== =-1+3i【思路点拨】化简求出结果。
平邑一模数学试卷高三
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 若函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在$x=1$处取得最小值，则下列说法正确的是（）A. $a > 0, b = 0, c \geq 0$B. $a > 0, b \neq 0, c \geq 0$C. $a < 0, b \neq 0, c \geq 0$D. $a < 0, b = 0, c \geq 0$2. 已知等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，若$a_1 + a_2 + a_3 = 6$，$a_4 + a_5 + a_6 = 18$，则数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$为（）A. $3n^2 + 3n$B. $3n^2 - 3n$C. $3n^2 + 9n$D. $3n^2 - 9n$3. 在平面直角坐标系中，点$A(2, 3)$关于直线$x + y = 5$的对称点为$B$，则$|AB|$的值为（）A. $\sqrt{10}$B. $2\sqrt{10}$C. $\sqrt{20}$D. $2\sqrt{20}$4. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$，则$f(x)$的图像在区间（）A. $(-1, 0)$上单调递增B. $(0, 1)$上单调递减C. $(1, 2)$上单调递增D. $(2, 3)$上单调递减5. 在三角形ABC中，$A=60^\circ$，$AB=AC=2$，则$BC$的长度为（）A. $\sqrt{3}$B. $2\sqrt{3}$C. $3$D. $4$6. 若向量$\vec{a} = (2, 3)$，$\vec{b} = (-1, 2)$，则$\vec{a} \cdot\vec{b}$的值为（）A. 7B. -1C. 1D. -77. 已知等比数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公比为$q$，若$a_1 + a_2 + a_3 = 6$，$a_4 + a_5 + a_6 = 18$，则$q$的值为（）A. $\frac{2}{3}$B. $\frac{3}{2}$C. $\frac{1}{2}$D. $2$8. 在平面直角坐标系中，抛物线$y = x^2 - 4x + 3$的焦点坐标为（）A. $(2, 0)$B. $(-2, 0)$C. $(1, 0)$D. $(-1, 0)$9. 已知函数$f(x) = \ln x + x$，则$f(x)$的图像在区间（）A. $(0, 1)$上单调递增B. $(1, e)$上单调递减C. $(e, +\infty)$上单调递增D. $(0, e)$上单调递增10. 在三角形ABC中，$A=45^\circ$，$AB=AC=1$，则$\cos B$的值为（）A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$B. $\frac{\sqrt{2}}{4}$C. $\frac{1}{2}$D. $\frac{\sqrt{2}}{4}$二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11. 若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n = 3n^2 - 2n$，则$a_1$的值为______。
平邑高考数学试卷真题
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列函数中，在其定义域内单调递增的是（）A. y = x^2B. y = 2^xC. y = log2xD. y = x^3 - 3x2. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(1) = 2，f(2) = 5，则f(3)的值为（）A. 8B. 10C. 12D. 143. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，则数列{an}的前10项和S10为（）A. 90B. 95C. 100D. 1054. 下列各式中，正确的是（）A. sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβB. cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβC. tan(α + β) = tanα + tanβD. cot(α + β) = cotα - cotβ5. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为（）A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/56. 已知圆C的方程为x^2 + y^2 - 2x - 4y + 4 = 0，则圆C的半径为（）A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 3，d = 2，则S10为（）A. 100B. 110C. 120D. 1308. 下列函数中，在定义域内无零点的是（）A. y = x^2 - 4B. y = x^3 - 3x + 2C. y = x^2 + x + 1D. y = x^4 - 19. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，则f(-1)的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 210. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，则数列{an}的前n项和Sn的极限为（）A. 3/2B. 3C. 9/2D. 9二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1 = 2，d = 3，则S10 = ________。
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B.这五年，出口总额比进口总额多
C.这五年，出口增速前四年逐年下降
D.这五年，2017年进口增速最快
10.关于函数 下列结论正确的是
A.图像关于y轴对称B.图像关于原点对称
C.在(-∞,0)上单调递增D. f(x)恒大于0
11.设函数 ，已知f(x)在[0,π]有且仅有3个零点，下列结论正确的是
因此，椭圆 的标准方程为 ．………………………………5分
（2）设 的内切圆半径为 ， ，
又 ， ，
要使 的内切圆面积最大，只需 的值最大．………………………………6分
设 ， ，直线 ，
联立 消去 得： ，
易得 ，且 ， ，………………………………7分
所以
，………………………………8分
设 ，则 ，………………………………9分
16.在△ABC中，设角A,B,C对应的边分别为a,b,c,记△ABC的面积为S，且 则 的最大值为____
四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (10分)在① 成等差数列.② 成等差数列中任选一个，补充在下列的问题中，并解答..
在公比为2的等比数列 中，
解得 或 .………………………………4分
当 时， ，此时直线 恰为切线，故舍去，………5分
所以 .………………………………6分
（2）当 时， ，
设 ，则 ，………………………………7分
故函数 可化为 .
由 ,可得
的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
所以 的最小值为 ，。………………………………8分
(1)证明:BE⊥平面ADC;
(2)若 ,二面角C-BE-D的平面角的正切值为 求直线BD与平面ADC所成角的正弦值.
20.（12分）
在传染病学中，通常把从致病刺激物侵人机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：
山东省平邑一中2020届高三下学期第五次调研考试
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={0,1,2,3}， 则A∪B=
A.(-1,3)B. (-1,3]
C. (0,3)D. (0,3]
2.已知i为虚数单位，复数z满足z·i=1+2i,则z的共轭复数为
A.100B.81C.36D.9
7.已知抛物线 的焦点为F，准线为1，P是1上一点，直线PF与抛物线交于M,N两点,若 则|MN|=
C.2
8.已知a1 ，记 为 中不同数字的个数,如:N(2,2,2)=1，N(2,4,2)=2，N (2,4,6)=3,则所有的 的排列所得的 的平均值为
B.3 D.4
(1)求这1000名患者的潜伏期的样本平均数x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ;
(2)该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表.
请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关;
二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9."一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体。自2013年以来，“一带一路”建设成果显著右图是2013-2017年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述正确的是（）。
（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立。为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？
附：
21.(12分)已知椭圆C : 的左、右焦点分别为 离心率为 过 作直线l与椭圆C交于A，B两点， 的周长为8.
A.在(0,π)上存在 满足 B. f(x)在(0,π)有且仅有1个最小值点
C. f(x)在 单调递增D.ω的取值范围是
12.已知正方体 ，过对角线BD1作平面α交棱AA1于点E,交棱 于点F,下列正确的是( ).
A.平面α分正方体所得两部分的体积相等; B.四边形 一定是平行四边形;
C.平面α与平面DBB1不可能垂直; D.四边形 的面积有最大值.
一、单选题1.B 2.C 3.A 4.C 5.A 6.C 7.B 8.A
二、多选题9.ABD 10.ACD 11.AB 12.ABD
三、填空题13. 14. 135
15(8，＋∞) 16.
15.『解析』由f(x＋2)＝f(2－x)，得f(x)＝f(4－x)，即函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称．又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(4－x)＝f(x)＝f(－x)，即f(4＋x)＝f(x)，则f(x)是以4为周期的周期函数．画出函数f(x)与函数y＝loga(x＋2)在(－2，6)上的图象如图所示．要使函数f(x)与y＝loga(x＋2)的图象有4个不同的交点，则有 解得a>8，即实数a的取值范围是(8，＋∞)．
(1)求数列 的通项公式;
(2)若 求数列 的前n项和
18.(12分)
在平面四边形ABCD中，已知 AD =3,∠ADB=2∠AB
.
(1)求BD;(2)求△BCD周长的最大值.
19.(12分)
如图①:在平行四边形ABCD中，BD⊥CD,BE⊥AD ,将△ABD沿对角线BD折起，使AB⊥BC ,连结AC, EC ,得到如图②所示三棱锥A- BCD .
整理得 ，解得 或 .
当 时可得 ，与 矛盾，故舍去
………………………………6分
（2）在 中，设 ，则
，
周长最大值为15. ………………………………12分
19.
20.
21.解：（1） 离心率为 ， ，………………………………1分
的周长为8， ，得 ，………………………………3分
， ，………………………………4分
(1 )求椭圆C的标准方程;
(2)问: 的内切圆面积是否有最大值?若有,试求出最大值;若没有,说明理由.
22.(12分)已知函数 .
(1 )若b=0，曲线f(x)在点(1, f(1))处的切线与直线y= 2x平行,求a的值;
(2)若b=2，且函数f(x)的值域为 求a的最小值.
——★ 参 考 答 案 ★——
设 ， ，所以 在 上单调递增，……………10分
所以当 ，即 时， 的最大值为3，………………………………11分
此时 ，所以 的内切圆面积最大为 ．………………………………12分
22.解：（1）当 时， ，
，………………………………1分
由 ，………………………………2分
得 ，
即 ，……………………………3分
A.2-iB.1- 2iC.2 +iD.i-2
3.已知两个力 作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力
A.(1,-5)B.(-tan2θ=
5.函数f(x)= x+cos x的大致图象是
6.已知x>0,y>0,且 则xy的最小值为
『答案』(8，＋∞)
四、解答题
17.解：（1）选①：因为 ， ， 成等差数列，所以 ，
所以 ，解得 ，所以 ．………………………………5分
选②：因为 成等差数列，所以
所以 ，解得 ，所以 ．………………………………5分
（2）因为 ，所以 ，
所以 ，
所以
． ．……………10分
18.由条件即求 的长，在 中，设 ， ,则 ，
此时 ，函数的 的值域为
问题转化为当 时， 有解，………………………………9分
即 ，得
设 ，则 ，
故 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
所以 的最小值为 ，………………………………11分
故 的最小值为………………………………………12分
三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知双曲线C过点 且渐近线为 ，则双曲线C的标准方程为____
14.若 展开式的二项式系数之和是64,则n=___ ;展开式中的常数项的值是______
15. (2019·广东惠州调研改编)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2，0]时，f(x)＝ －1，若在(－2，6)内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>0且a≠1)有且只有4个不同的根，则实数a的取值范围是________．