数理逻辑复习题

一、选择题

1、永真式的否定是（2）

(1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能

2、设P ：2×2=5，Q ：雪是黑的，R ：2×4=8，S ：太

阳从东方升起，则下列真命题为(1)

(1)R Q P ∧→ (2)S P R ∧→ (3)R Q S ∧→ (4) )()(S Q R P ∧∨∧。 3、设P ：我听课，Q ：我看小说，则命题R “我不能一边听课，一边看小说”的符号化为⑵

⑴ P Q → ⑵Q P ⌝→(3) Q P →⌝ ⑷ P Q ⌝→⌝()P Q ⌝∧

提示：()R P Q P Q ⇔⌝∧⇔→⌝ 4、下列表达式错误的有⑷

⑴()P P Q P ∨∧⇔ ⑵()P P Q P ∧∨⇔

⑶()P P Q P Q ∨⌝∧⇔∨ ⑷()P P Q P Q ∧⌝∨⇔∨ 5、下列表达式正确的有⑷

⑴ P P Q ⇒∧ ⑵ P Q P ⇒∨ ⑶ ()Q P Q ⌝⇒⌝→⑷Q Q P ⌝⇒→⌝)( 6、下列联接词运算不可交换的是(3)

⑴∧ ⑵∨ (3)→ ⑷ ↔ 6、设D ：全总个体域，F （x ）：x 是花，M(x) ：x 是人，H(x,y)：x 喜欢y ，则命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为⑷

⑴(()(()(,))x M x y F y H x y ∀∧∃→ ⑵(()(()(,))x M x y F y H x y ∀∧∀→

(3) (()(()(,))x M x y F y H x y ∃∧∃→ ⑷(()(()(,))x M x y F y H x y ∃∧∀→

7、设L(x)：x 是演员，J(x)：x 是老师，A(x , y)：x 钦佩y ，命题“所有演员都钦佩某些老 师”的逻辑符号化为⑵

⑴)),()((y x A x L x →∀ ⑵))),()(()((y x A y J y x L x ∧∃→∀ (3) )),()()((y x A y J x L y x ∧∧∃∀ ⑷)),()()((y x A y J x L y x →∧∃∀

8、谓词公式)())()((x Q y yR x P x →∃∨∀中的 x 是⑶

⑴自由变元 ⑵约束变元 ⑶既是自由变元又是约束变元 ⑷既不是自由变元又不是约束变元

9、下列表达式错误的有⑴

⑴(()())()()x A x B x xA x xB x ∀∨⇒∀∨∀ ⑵(()())()()x A x B x xA x xB x ∃∧⇒∃∧∃ (3) (()())()()x A x B x xA x xB x ∀∧⇔∀∧∀ ⑷(()())()()x A x B x xA x xB x ∃∨⇔∃∨∃ 10、下列推导错在⑶

①)(y x y x >∃∀ P

②)(y z y >∃ US ① ③)(z C z >

ES ②

④)(x x x >∀ UG ③ ⑴② ⑵③ ⑶④ ⑷无 11、下列推理步骤错在⑶

①(,)x yF x y ∀∃ P

②),(y z yF ∃ US ① ③),(c z F ES ② ④),(c x xF ∀

UG ③

⑤),(y x xF y ∀∃ EG ④

⑴①→② ⑵②→③ ⑶③→④ ⑷④→⑤

12、设个体域为{a,b}，则(),x yR x y ∀∃去掉量词后，可表示为⑷

⑴()()()(),,,,R a a R a b R b a R b b ∧∧∧ ⑵()()()(),,,,R a a R a b R b a R b b ∨∨∨ (3) ()()()()()()b b R a b R b a R a a R ,,,,∨∧∨ ⑷()()()()()()b b R a b R b a R a a R ,,,,∨∧∨ 提示：原式()()()()()()()()

,,,,,,yR a y yR b y R a a R a b R b a R b b ⇔∃∧∃⇔∨∧∨

二、填充题

1、一个命题含有n 个原子命题，则对其所有可能赋值有2n 种。

2、n 个命题变元可产生2n

个互不等价的极小项，其中，任意两个不同极小项的合取式为矛盾式（永假式），而全体极小项的析取式为重言式（永真式），n 个命题变元可构造包括F 的不同的主析取范式类别为22n

。

3、n 个命题变元可产生2n

个互不等价的极大项，其中，任意两个不同极大项的析取式为重言式（永真式），而全体极小项的合取式为矛盾式（永假式），n 个命题变元可构造包括T 的不同的主合取范式类别为22n 。

5、公式))(()(S Q P Q P ⌝∧⌝∨∧∨⌝的对偶公式为()(())P Q P Q S ⌝∧∨∧⌝∨⌝。

6、设P ：它占据空间，Q ：它有质量，R ：它不断运动，S ：它叫做物质。命题“占据空间的，有质量的而且不断运动的叫做物质”的逻辑符号可化为R Q P S ∧∧↔ 。

7、P ：你努力，Q ：你失败。“除非你努力，否则你将失败”的翻译为Q P →⌝； “虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为Q P ∧。

8、令)(x A ：x 会叫，)(x B ：x 是狗，)(x C ：x 会咬人，则命题“会叫的狗未必会咬人” 的符号化为))()()((x C x B x A x ⌝∧∧∃。

9、设P(x)：x 是大象，Q(x)：x 是老鼠，R(x,y)：x 比y 重，则命题“大象比老鼠重”的符号化为)),()()((y x R y Q x P y x →∧∀∀。

10、令A （x ）:x 是自然数，B （x,y ）：x 小于y ，则命题“存在最小的自然数” 的符号化为),()(()((x y B y A y x A x ⌝→∀⋂∃。

三、计算题

1、用真值表方法判断下列公式的类型，并求（3）的主析取范式与主合取范式

（1）（P →Q ）↔（⌝P ∨Q ）； （2）⌝（P →Q ）∧Q ； （3）（P →Q ）∧⌝R ；

解 （1）、（2）和（3）的真值表如表1、表2和表3所示：