数理逻辑复习题

一、选择题1、永真式的否定是（2）(1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能2、设P ：2×2=5，Q ：雪是黑的，R ：2×4=8，S ：太阳从东方升起，则下列真命题为(1)(1)R Q P ∧→ (2)S P R ∧→ (3)R Q S ∧→ (4) )()(S Q R P ∧∨∧。

3、设P ：我听课，Q ：我看小说，则命题R “我不能一边听课，一边看小说”的符号化为⑵⑴ P Q → ⑵Q P ⌝→(3) Q P →⌝ ⑷ P Q ⌝→⌝()P Q ⌝∧提示：()R P Q P Q ⇔⌝∧⇔→⌝ 4、下列表达式错误的有⑷⑴()P P Q P ∨∧⇔ ⑵()P P Q P ∧∨⇔⑶()P P Q P Q ∨⌝∧⇔∨ ⑷()P P Q P Q ∧⌝∨⇔∨ 5、下列表达式正确的有⑷⑴ P P Q ⇒∧ ⑵ P Q P ⇒∨ ⑶ ()Q P Q ⌝⇒⌝→⑷Q Q P ⌝⇒→⌝)( 6、下列联接词运算不可交换的是(3)⑴∧ ⑵∨ (3)→ ⑷ ↔ 6、设D ：全总个体域，F （x ）：x 是花，M(x) ：x 是人，H(x,y)：x 喜欢y ，则命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为⑷⑴(()(()(,))x M x y F y H x y ∀∧∃→ ⑵(()(()(,))x M x y F y H x y ∀∧∀→(3) (()(()(,))x M x y F y H x y ∃∧∃→ ⑷(()(()(,))x M x y F y H x y ∃∧∀→7、设L(x)：x 是演员，J(x)：x 是老师，A(x , y)：x 钦佩y ，命题“所有演员都钦佩某些老 师”的逻辑符号化为⑵⑴)),()((y x A x L x →∀ ⑵))),()(()((y x A y J y x L x ∧∃→∀ (3) )),()()((y x A y J x L y x ∧∧∃∀ ⑷)),()()((y x A y J x L y x →∧∃∀8、谓词公式)())()((x Q y yR x P x →∃∨∀中的 x 是⑶⑴自由变元 ⑵约束变元 ⑶既是自由变元又是约束变元 ⑷既不是自由变元又不是约束变元9、下列表达式错误的有⑴⑴(()())()()x A x B x xA x xB x ∀∨⇒∀∨∀ ⑵(()())()()x A x B x xA x xB x ∃∧⇒∃∧∃ (3) (()())()()x A x B x xA x xB x ∀∧⇔∀∧∀ ⑷(()())()()x A x B x xA x xB x ∃∨⇔∃∨∃ 10、下列推导错在⑶①)(y x y x >∃∀ P②)(y z y >∃ US ① ③)(z C z >ES ②④)(x x x >∀ UG ③ ⑴② ⑵③ ⑶④ ⑷无 11、下列推理步骤错在⑶①(,)x yF x y ∀∃ P②),(y z yF ∃ US ① ③),(c z F ES ② ④),(c x xF ∀UG ③⑤),(y x xF y ∀∃ EG ④⑴①→② ⑵②→③ ⑶③→④ ⑷④→⑤12、设个体域为{a,b}，则(),x yR x y ∀∃去掉量词后，可表示为⑷⑴()()()(),,,,R a a R a b R b a R b b ∧∧∧ ⑵()()()(),,,,R a a R a b R b a R b b ∨∨∨ (3) ()()()()()()b b R a b R b a R a a R ,,,,∨∧∨ ⑷()()()()()()b b R a b R b a R a a R ,,,,∨∧∨ 提示：原式()()()()()()()(),,,,,,yR a y yR b y R a a R a b R b a R b b ⇔∃∧∃⇔∨∧∨二、填充题1、一个命题含有n 个原子命题，则对其所有可能赋值有2n 种。

2、n 个命题变元可产生2n个互不等价的极小项，其中，任意两个不同极小项的合取式为矛盾式（永假式），而全体极小项的析取式为重言式（永真式），n 个命题变元可构造包括F 的不同的主析取范式类别为22n。

3、n 个命题变元可产生2n个互不等价的极大项，其中，任意两个不同极大项的析取式为重言式（永真式），而全体极小项的合取式为矛盾式（永假式），n 个命题变元可构造包括T 的不同的主合取范式类别为22n 。

5、公式))(()(S Q P Q P ⌝∧⌝∨∧∨⌝的对偶公式为()(())P Q P Q S ⌝∧∨∧⌝∨⌝。

6、设P ：它占据空间，Q ：它有质量，R ：它不断运动，S ：它叫做物质。

命题“占据空间的，有质量的而且不断运动的叫做物质”的逻辑符号可化为R Q P S ∧∧↔ 。

7、P ：你努力，Q ：你失败。

“除非你努力，否则你将失败”的翻译为Q P →⌝； “虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为Q P ∧。

8、令)(x A ：x 会叫，)(x B ：x 是狗，)(x C ：x 会咬人，则命题“会叫的狗未必会咬人” 的符号化为))()()((x C x B x A x ⌝∧∧∃。

9、设P(x)：x 是大象，Q(x)：x 是老鼠，R(x,y)：x 比y 重，则命题“大象比老鼠重”的符号化为)),()()((y x R y Q x P y x →∧∀∀。

10、令A （x ）:x 是自然数，B （x,y ）：x 小于y ，则命题“存在最小的自然数” 的符号化为),()(()((x y B y A y x A x ⌝→∀⋂∃。

三、计算题1、用真值表方法判断下列公式的类型，并求（3）的主析取范式与主合取范式（1）（P →Q ）↔（⌝P ∨Q ）； （2）⌝（P →Q ）∧Q ； （3）（P →Q ）∧⌝R ；解 （1）、（2）和（3）的真值表如表1、表2和表3所示：（3）的主析取范式为：(0,2,6)∑；其主合取范式为(1,3,4,5,7)π。

2、给定解释I ：D={2，3}，L （x,y ）为L( 2 , 2 ) = L ( 3 , 3 ) = 1 , L ( 2 , 3 ) = L (3 , 2 )=0 ,求谓词合式公式),(y x xL y ∀∃的真值。

解：(,)((2,)(3,))((2,2)(3,2))((2,3)(3,3))y xL x y y L y L y L L L L ∃∀⇔∃∧⇔∧∨∧(10)(01)000⇔∧∨∧=∨=。

3、个体域为{1，2}，求∀x ∃y （x+y=4）的真值。

解：∀x ∃y （x+y=4）⇔∀x （（x+1=4）∨（x+2=4））⇔（（1+1=4）∨（1+2=4））∧（（2+1=4）∨（2+2=4）） ⇔（0∨0）∧（0∨1）⇔0∧1⇔0。

四、证明题1、证明下列逻辑恒等式：（1）Ｐ↔Ｑ⇔ (Ｐ→Ｑ)∧(Ｑ→Ｐ) 证明、用真值表法证明由定义可知，这两个公式是等价的。

（2）P →(Q →P)⇔⌝P →(P →⌝Q)证明、P →(Q →P)⇔⌝P ∨(⌝Q ∨P) ⇔P ∨(⌝P ∨⌝Q)⇔P ∨(⌝P ∨⌝Q) ⇔P ∨(P →⌝Q) ⇔⌝P →(P →⌝Q)（3） ))(()()(Q R P Q R Q P →∨⇔→∧→证明 ： 左))(())()((Q R P Q R Q P ∨⌝∧⌝⇔∨⌝∧∨⌝⇔⇔→∨⇔∨∨⌝⇔)())((Q R P Q R P 右（4）求证：∃x(A(x)→B(x))⇔ ∀xA(x)→∃xB(x)证明 ：∃x(A(x)→B(x))⇔∃x(⌝A(x)∨B(x))⇔∃x ⌝A(x)∨∃xB(x)⇔⌝∀xA(x)∨∃xB(x)⇔∀xA(x)→∃xB(x) （5）求证：∀x(P(x)→Q(x))∧∀xP(x)⇔∀x(P(x)∧Q(x))证明：左⇔∀x((P(x)→Q(x)∧P(x))⇔∀x((⌝P(x)∨Q(x))∧P(x))⇔∀x(P(x)∧Q(x)) ⇔右 （6）求证：∀x ∀y (P (x )→Q (y ))⇔ ∃xP (x )→∀yQ (y ) 证明：∀x ∀y (P (x )→Q (y ))⇔∀x ∀y (⌝P (x )∨Q (y ))⇔∀x (⌝P (x )∨∀yQ (y ))⇔∀x ⌝P (x )∨∀yQ (y )⇔⌝∃xP (x )∨∀yQ (y )⇔∃xP (x )→∀yQ (y )（7）求证：()()()()()()x F x G x xG x xF x ∀⌝∧⇔⌝∀→∃ 证明：左()()()()()()()()()x F x G x x F x G x xF x x G x ⇔∀⌝∨⌝⇔⌝∃∨⌝⇔⌝∃∨∃⌝ ()()()xF x xG x ⇔⌝∃∨⌝∀()()()xG x xF x ⇔⌝∀→∃⇔右2、用推理规则证明下列各结论是各前提的有效结论： （1）P →Q ，⌝Q ∨R ，⌝R ，⌝S ∨P=>⌝S 证明：(1) ⌝R P(2) ⌝Q ∨R P(3) ⌝Q T （1），（2）(析取三段论) (4) P →Q P(5) ⌝P T （3），（4）(拒取式) (6) ⌝S ∨P P(7) ⌝S T （5），（6）(析取三段论)（2）A →(B →C)，C →(⌝D ∨E)，⌝F →(D ∧⌝E),A=>B →F 证明： (1) A P (2) A →(B →C) P(3) B →C T （1），（2）(假言推理)(4) B P （附加前提） (5) C T （3），（4）(假言推理) (6) C →(⌝D ∨E) 前提(7) ⌝D ∨E T （5），（6）(假言推理) (8) ⌝F →(D ∧⌝E) 前提(9) F T （7），（8）(拒取式) (10) B →F CP（3）(P →Q)∧(R →S)，(Q →W)∧(S →X)，⌝(W ∧X)，P →R => ⌝P 证明：（1） P P （假设前提）（2） P →R P（3） R T （1），（2）(假言推理) （4） (P →Q)∧(R →S) P（5） P →Q T （4）(化简律) （6） R →S T （4）(化简律)（7） Q T （1），（5）(假言推理) （8） S T （3），（6）(假言推理) （9） (Q →W)∧(S →X) P（10） Q →W T （9）(化简律) （11） S →X T （9）(化简律)（12） W T （7），（10）(假言推理) （13） X T （8），（11）(假言推理) （14） W ∧X T （12），（13）(合取引入) （15） ⌝(W ∧X) P（16） ⌝(W ∧X)∧(W ∧X) T （14），（15）(合取引入) 由（16）得出矛盾式，故⌝P 为原前提的有效结论 （4）∀x(P(x)→Q(y)∧R(x))，∃xP(x)⇒Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x)) 证明(1)∃xP(x) P(2)P(a) T(1)，ES (3)∀x(P(x)→Q(y)∧R(x)) P(4)P(a)→Q(y)∧R(a) T(3)，US(5)Q(y)∧R(a) T(2)(4) (假言推理) (6)Q(y) T(5) (化简律) (7)R(a) T(5) (化简律) (8)P(a)∧R(a) T(2)(7) (合取引入) (9)∃x(P(x)∧R(x)) T(8)，EG(10)Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x)) T(6)(9) (合取引入) （5）)()()()())()()((x Q x x P x x Q x P x ∃→∃⇒→∀ 证明：①∃xP(x) P （ 附加前提）②P(e)T ①ES ③))()()((x Q x P x →∀ P ④)()(e Q e P → T ③US⑤Q(e) T ②④(假言推理) ⑥)()(x Q x ∃T ⑤EG ⑦)()()()(x Q x x P x ∃→∃CP（6）()(()()()),(),()xP x x P x Q x R x xP x xQ x ∃→∀∨→∃∃⇒(()())x y P x R y ∃∃∧ 证明：⑴()(()()())xP x x P x Q x R x ∃→∀∨→P ⑵()xP x ∃P⑶(()()())x P x Q x R x ∀∨→ T ⑴⑵(假言推理) ⑷)(e P T ⑵ES ⑸()xQ x ∃ P ⑹)(d QT ⑸ES ⑺()()()P d Q d R d ∨→ T ⑶US ⑻)()(d P d Q ∨ T ⑹（附加律） ⑼)(d RT ⑺⑻(假言推理)⑽)()(d R e P ∧ T ⑷⑼(合取引入) ⑾))()()((y R e P y ∧∃ T ⑽EG ⑿))()()()((y R x P y x ∧∃∃T ⑾EG（7）()()())()()()(x xQ x P x x Q x P x ∃∨∀⇒∨∀证明：（1）())()()()(x Q x x p x ∃∨∀⌝ P （假设前提） （2）())()(x Q x x P x ⌝∀∧⌝∃ T （1） （3）())(x P x ⌝∃ T （2）(化简律) （4）)(e P ⌝ T （3）ES （5）()()()()x P x Q x ∀∨ P （6）()())()(x Q x P x →⌝∀ T （5） （7）)()(e Q e P →⌝ T （6）US（8）()e Q T (4). (7) (假言推理)(9) ()()x Q x ⌝∀ T (2) (化简律) (10)()e Q ⌝ T(9)US(11)()()e Q e Q ∧⌝ T (8) (10) (合取引入) 由（11）得出矛盾式，故()()()x P x xQ x ∀∨∃为原前提的有效结论五、将下列命题形式化，并证明结论的有效性：1、为庆祝九七香港回归祖国，四支足球队进行比赛，已知情况如下，问结论是否有效? 前提: (1) 若A 队得第一，则B 队或C 队获亚军;(2) 若C 队获亚军，则A 队不能获冠军; (3) 若D 队获亚军，则B 队不能获亚军; (4) A 队获第一;结论: (5) D 队不是亚军。