2020年天津市红桥区高考数学二模试卷(含答案解析)

2020年天津市红桥区高考数学二模试卷
一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）
1.已知集合，0，1，，则
A. 0，
B.
C.
D. 0，1，
2.设数列是等比数列，其前n项和为，且，则公比q的值为
A. B. C. 1或 D. 1或
3.已知，，，则
A. B. C. D.
4.设p：，q：，则p是q的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5.若直线被圆所截得的弦长为，则实数a的值为
A. 或
B. 1或3
C. 或6
D. 0或4
6.已知正方体的体积是8，则这个正方体的外接球的体积是
A. B. C. D.
7.将函数的图象向右平移个单位长度，所得函数的图象关于y轴对称，
则a的最小值是
A. B. C. D.
8.已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且
双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为
A. B. C. D.
9.已知函数若函数有3个零点，则实数m的取值范围
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
10.若i为虚单位，则复数______．
11.
合唱社粤曲社书法社
高一4530a
高二151020
学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果合唱社被抽出12人，则这三个社团人数共有______ ．
12.已知二项式的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是__________．
13.已知实数a，b满足条件：，且1是与的等比中项，又是与的等差中项，则
______．
14.曲线在点处的切线方程为______．
15.已知、是单位向量，若向量满足，则的最大值是______．
三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）
16.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，．
Ⅰ求c的值；
Ⅱ求的值．
17.设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，且各次射击互相独立．
Ⅰ若甲、乙两人各射击1次，求至少有一人命中目标的概率；
Ⅱ若甲连续射击3次，设命中目标次数为，求命中目标次数的分布列及数学期望．
18.四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD是矩形，且，，
E是线段BC上的动点，F是线段PE的中点．
Ⅰ求证：平面ADF；
Ⅱ若直线DE与平面ADF所成角为，
求线段CE的长；
求二面角的余弦值．
19.如图，椭圆C：经过点，离心率，直线l的方程为．
求椭圆C的方程；
是经过右焦点F的任一弦不经过点，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM 的斜率分别为，，问：是否存在常数，使得？若存在，求的值；
若不存在，说明理由．
20.设，函数．
Ⅰ讨论函数的单调区间和极值；
Ⅱ已知为自然对数的底数和是函数的两个不同的零点，求a的值并证明：．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：A
解析：解：，0，1，，
0，．
故选：A．
可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．
本题考查了描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
2.答案：C
解析：解：当时，，成立；
当时，得到，，又，
所以，
化简得：，即，
由即，解得．
综上，公比q的值为1或．
故选C．
分两种情况：当时，得到此等比数列为常数列，各项都等于第一项，已知的等式显然成立；当不等于1时，利用等比数列的前n项和的公式及等比数列的通项公式公式化简已知的等式，得到关于q的方程，根据q不等于解出q的值，综上，得到所有满足题意的等比q的值．
此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道综合题．
3.答案：A
解析：解：，，，
．
故选：A．
可以得出，从而得出a，b，c的大小关系．
本题考查了对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
4.答案：A
解析：解：由，得，则，；
反之，由，得，则，当时，不成立．
，反之不成立．
即p是q的充分而不必要条件．
故选：A．
由，得，得，反之不成立，再由充分必要条件的判定得结论．
本题考查指数式与对数式的运算性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．
5.答案：D
解析：【分析】
本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程，属基础题．
由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，由求解．
【解答】
解：圆，
圆心为：，半径为：2，
圆心到直线的距离为：，
，
解得，或，
故选：D．
6.答案：B
解析：解：正方体的体积是8，
所以正方体的棱长为：2．
这个正方体的外接球的半径为：．
这个正方体的外接球的体积是：．
故选：B．
利用正方体的体积，求出棱长，然后求解外接球的半径，然后求外接球的体积即可．
本题考查正方体的外接球的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．
7.答案：C
解析：解：将函数的图象向右平移个单位长度，
可得的图象，
根据所得函数的图象关于y轴对称，可得，，即，．
则a的最小值为，
故选：C．
根据函数的图象变换规律，可得的图象关于y轴对称，可得，，从而求得a的最小值．
本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．8.答案：D
解析：解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，
即点在抛物线的准线上，又由抛物线的准线方程为，则，
则抛物线的焦点为；
则双曲线的左顶点为，即；
点在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为，
由双曲线的性质，可得；
则，则焦距为
故选：D．
根据题意，点在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得c的值，进而可得答案．
本题考查双曲线与抛物线的性质，注意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为”这一条件的运用，另外注意题目中要求的焦距即2c，容易只计算到c，就得到结论．9.答案：C
解析：解：画出函数的图象，如下图
函数有3个零点即与有3个交点即可
根据图象可知
故选：C．
先画出函数的图象，然后根据函数有3个零点即与有3个交点即可，结合图象可求出m的取值范围．
本题主要考查了函数零点的判定定理，以及分段函数图象的画法，同时考查了转化的思想，属于基础题．
10.答案：
解析：解：．
故答案为：．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
11.答案：150
解析：【分析】
本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了每个个体被抽到的概率都相等，属于基础题．
根据每个个体被抽到的概率都相等可得，
【解答】
解：根据分层抽样的定义和方法可得，
解得，
故这三个社团人数共有人，
故答案为150．
12.答案：10
解析：解：由题意可得，，展开式的通项公式为．令，，故展开式中含x项的系数是，
故答案为10．
先求得，以及二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于1，求得r的值，即可求得含x 的项的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．13.答案：
解析：解：是与的等比中项，，又，
，
又是与的等差中项，，
，，
，
故答案为：．
利用等比中项的定义得到，再利用等差中项的定义得到，代入所求式子即可求出结果．
本题主要考查了等比中项和等差中项的定义，是基础题．
14.答案：
解析：解：求导函数，可得，
当时，，
曲线在点处的切线方程为，即．
故答案为：．
先求导函数，求出切线的斜率，再求切线的方程．
本题考查导数的几何意义，考查点斜式求直线的方程，属于基础题．
15.答案：
解析：解：、是单位向量，若向量满足
，
设，，，
则，
，
，
故点的轨迹是在以为圆心，半径等于1的圆上，
的最大值为，
故答案为：．
通过建立直角坐标系，进行求解即可．
本题考查向量的模，向量的数量积，利用坐标系是解决本题的关键，属于中档题．
16.答案：解：Ⅰ由余弦定理可知，，
，解得．
Ⅱ，且，，
，，
．
解析：Ⅰ由余弦定理可知，，代入已知数据即可得解；
Ⅱ由同角三角函数的平方关系可知，，再结合二倍角公式可得，，，最后利用正弦的两角和公式将展开后，代入数据即可得
解．
本题考查余弦定理和三角恒等变换公式的应用，熟练掌握两角和差公式、二倍角公式等相关公式是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．
17.答案：解：Ⅰ设“至少有一人命中目标”为事件A，则．
或设“两人都没命中目标”为事件B，，“至少有一人命中目标”为事件A，则．
Ⅱ的所有可能取值为0，1，2，3，则，
，，
，．
的分布列为
0123
P
数学期望
解析：Ⅰ从正面考虑，分三种情况：甲乙均命中、甲中乙未中、甲未中乙中，再求出三种情况的概率和即可；或从反面考虑，先求出甲乙均未中的概率，在利用对立事件的概率求解即可；
Ⅱ的所有可能取值为0，1，2，3，则，然后根据二项分布求概率的方式逐一求出每
个的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望，也可以根据二项分布的性质求数学期望．
本题考查相互独立事件的概率、对立事件的概率、二项分布、离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．
18.答案：解：Ⅰ证明：依题意，以点A为原点建立
空间直角坐标系如图，
可得0，，0，，3，，3，，
y，，，0，．
向量，向量，
，
，，
即，，，
所以平面ADF．
Ⅱ解：设为平面ADF的法向量，
则，
不妨令，可得为平面ADF的一个法向量，
向量
直线DE与平面ADF所成角为，于是有，
所以，得，舍
1，，3，，线段CE的长为2．
设b，为平面PED的法向量，
，
则，
不妨令，可得为平面ADF的一个法向量，
又为平面ADE的一个法向量，
二面角的余弦值为：．
解析：Ⅰ以点A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面ADF．
Ⅱ求出平面ADF的法向量和平面ADF的一个法向量，利用向量法能求出线段CE的长．求出平面PED的法向量，和平面ADF的一个法向量，平面ADE的一个法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．
本题考查线面垂直的证明，考查线段长和二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．
19.答案：解：椭圆C：经过点
，可得
由离心率得，即，则，代入
解得，，
故椭圆的方程为
方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为
代入椭圆方程并整理得
设，，
，
在方程中，令得，M的坐标为，
从而，，
注意到A，F，B共线，则有，即有
所以
代入得
又，所以
故存在常数符合题意
方法二：设，则直线FB的方程为
令，求得
从而直线PM的斜率为，
联立，得，
则直线PA的斜率，直线PB的斜率为
所以，
故存在常数符合题意
解析：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了分析转化的能力与探究的能力，考查了方程的思想，数形结合的思想，本题综合性较强，运算量大，极易出错，解答时要严谨运算，严密推理，方能解答．
由题意将点P代入椭圆的方程，得到，再由离心率为，将a，
b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭圆的标准方程；
方法一：可先设出直线AB的方程为，代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次
方程，设，，利用根与系数的关系求得，，再
求点M的坐标，分别表示出，，比较即可求得参数的值；
方法二：设，以之表示出直线FB的方程为，由此方程求得M的
坐标，再与椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出，，比较即可求得参数的值
20.答案：解：Ⅰ函数的定义域为．
求导数，得．
若，则，是上的增函数，无极值；
若，令，得．
当时，，是增函数；
当时，，是减函数．
当时，有极大值，极大值为．
综上所述，当时，的递增区间为，无极值；当时，的递增区间为，递减区间为，极大值为
Ⅱ是函数的零点，
，即，解得．
，，．
由Ⅰ知，函数在上单调递减，
函数在区间上有唯一零点，
因此．
解析：先求函数的导函数，并确定函数的定义域，再解不等式，，即可分别求得函数的单调增区间和单调减区间，进而利用极值定义求得函数的极值，由于导函数中含有参数a，故为解不等式的需要，需讨论a的正负；
将代入函数，即可得a的值，再利用中的单调性和函数的零点存在性定理，证明函数的另一个零点是在区间上，即可证明结论
本题主要考查了导数在函数单调性和函数极值中的应用，连续函数的零点存在性定理及其应用，分类讨论的思想方法，属中档题。