有理数运算技巧之拆项法
有理数混合运算简便算法与技巧
有理数的计算方法与技巧有理数运算是代数入门的重点，又是难点，是中学数学中一切运算的基础，怎样突破这一难点，除了要正确理解概念和掌握运算法则外，还必须熟练有理数运算的一些技巧和方法，一定要正确运用有理数的运算法则和运算律，从而使复杂问题变得较简单。
一、四个原则：①整体性原则： 乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。
②简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。
③口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。
④分段同时性原则： 对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算。
二、运算技巧①归类组合：运用交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算，如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。
例：计算：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721) 解法一：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721) = (－0.5 + 2.75) + (341－721) = 2.25－441 =－2解法二：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721)=－0.5 + 341+ 2.75－721 = (3 + 2－7 ) + (－0.5 + 41+ 0.75 －21)=－2 评析：解法一是小数与小数相结合，解法二整数与整数结合，这样解决了既含分数又含小数的有理数加减运算问题．同学们遇到类似问题时，应学会灵活选择解题方法．②凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消。
将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率．例：计算：--+-+-11622344551311638. 分析：本题六个数中有两个是同分母的分数，有两个互为相反数，有两个相加和为整数，故可用“凑整”法。
拆项
⑸拆项、添项法这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。
要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)．⑹配方法对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。
属于拆项、补项法的一种特殊情况。
也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
例如：x²+3x-40=x²+3x+2.25-42.25=(x+1.5)²-(6.5)²=(x+8)(x-5)．⑺应用因式定理对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．例如：f(x)=x²+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x²+5x+6的一个因式。
(事实上，x²+5x+6=(x+2)(x+3)．)注意：1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数；2、对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数⑻换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。
注意:换元后勿忘还元.例如在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12时，可以令y=x²+x,则原式=(y+1)(y+2)-12=y²+3y+2-12=y²+3y-10=(y+5)(y-2)=(x²+x+5)(x²+x-2)=(x²+x+5)(x+2)(x-1)．也可以参看右图。
有理数计算的常用方法
有理数计算的常用方法关于有理数计算竞赛题，种类繁多，特点各异，解法多样，富有技巧．解题时，需要细心观察，深入探究，缜密分析，全面审视，除了发现题中的特征，还应挖掘题中隐含的规律，正确灵活地使用运算法则、性质和定律，实施“化繁为简，化难为易”的手段，达到准确，快捷解题之目的，根据笔者教学实践，总结出解有理数计算题的十一种常用方法，以供参考．一、凑整法例1计算：2002＋98＋997＋9996＋99995．分析题中几个数都与整十、整百、整千……很接近，因此可以凑成整十、整百、整千……来求解．解1 原式＝(2002－2－3－4－5)＋(98＋2)＋(997＋3)＋(9996＋4)＋(99995＋5)＝1988＋100＋1000＋10000＋100000＝113088．例2若S＝11＋292＋3993＋49994＋599995＋6999996＋79999997＋899999998，则和数S的末四位数字之和是____．分析将题中的每个数凑成“整十”、“整百”、“整千”……来计算，很容易解出，解原式＝(11＋9)＋(292＋8)＋(3993＋7)＋(49994＋6)＋(599995＋5)＋(6999996＋4)＋(79999997＋3)＋(899999998＋2)－9＋8＋7＋ (2)＝(20＋300＋4000＋50000＋600000＋7000000＋80000000＋900000000)－(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2)＝987654320－44＝987654276．∴S的末四位数字之和是4＋2＋7＋6＝19．二、分组结合法例3计算：1－3＋5－7＋9－11＋…＋2009－2011．分析题中从1到201 1，相邻两个数相加是－2，加号和减号交替出现，因此可以运用分组的方法，即依次两个数两个数为一组，每组的得数都是－2，从而很快计算出结果．解原式＝(1－3)＋(5－7)＋…＋( 2009－2011)＝（－2）×503＝－1006．例4计算：1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋9＋10－11－12＋…＋2005＋2006－2007－2008＋2009＋2010－2011．分析观察发现，依次四个数四个数为一组，每组中四个数的和为－4，由1至2008共有502组，式中还余3个数，于是得出解法．解1 原式＝(－4)×502＋2009＋2010－2011＝－2008＋2008＝0．本题若再仔细观察又可发现，2－3－4＋5＝0，6－7－8＋9＝0，…，即从2开始，每连续4项的和为0，式中的一列数，除去开头1以外，中间能分成502组，后面还余下两个数为2010，－2011，于是又得另一种解法．解2 原式＝1＋0×502＋2010－2011＝0．三、分解相约法例5 计算：(10.5×11.7×57×85)÷(1.7×1.9×3×5×7×9×11×13×15)．分析被整式与除式的小数位数相等，可化为整数相除，又被除式与除式部分因数能分解，可采用分解相约．解原式＝＝1 11．四、巧用运算律法例6 计算：23797 0.71 6.6 2.20.7 3.31173118⨯-⨯-÷+⨯+÷．分析本题为有理数的混合运算，其中有公因子，可把公因子先提出，然后进行计算．解原式五、妙用性质法例7计算：1÷(2÷3)÷(3÷4)÷…÷(2010÷2011)．分析本题属于一道连除的计算题，可以利用连除性质：a÷(b÷c)＝a÷b×c＝a×c ÷b．先将原式进行分解，再利用交换律使问题得到解决．解原式＝1÷2×3÷3×4÷…÷2010×2011＝(1×3×4×...×2011)÷(2×3×4× (2010)＝2011÷2＝1005.5．六、添项相加法例8 计算：512＋256＋128＋64＋32＋16＋8＋4＋2＋1．分析 经过观察，发现上式的特点是后一项是前一项的一半，因此，如果我们把后一项加上它本身，就可以得到前一项的值，于是添加一个辅助数l （末项），使问题得以顺利解决．解 原式＝512＋256＋128＋64＋32＋16＋8＋4＋(1＋1)－1＝512＋256＋…＋4＋(2＋2)－1＝…＝512＋(256＋256)－1＝512＋512－1＝1023．七、错位相减法例9 计算：2481621392781243+++++． 分析 观察算式发现，从第二项起，每一项是前一项的23，考虑用错位相减法解．八、活用公式法例10 计算：211133+++ (1013)+． 分析 上式从第二项起，后一项与前一项的比值都是13，因此它是道等比数列求和题．可用公式1(1)1n n a q S q-=-求解，其中S n 表示前n 项的和，n 表示项数，q 表示公比，a 1表示首项，解 原式例11 计算:19492－19502＋19512－19522＋… ＋20092－20102＋20112．分析 上式除末项外，前面的项顺次每两项构成平方差形式，可用平方差公式分解后再计算．解 原式九、拆项法例12 计算：359173365248163264+++++． 分析 和式中每个相加的分数分子都比分母大1，而分母依次是后一个分母是前一个分母的2倍，于是我们可以先拆项，再相加． 解 原式例13 计算：1111121231234++++++++++…1123100+++++．分析本题可用上法拆项．解 原式十、字母代换法例14计算：(1＋0.23＋0.34)×(0.23＋0.34＋0.56)－(1＋0.23＋0.34＋0.56)×(0.23＋0.34)．分析此题如果用常规方法进行计算，步骤多而且复杂，如果我们把算式中的一部分相同的式子用字母代替，可以化繁为简，化难为易，很快巧算出结果．解设0.23＋0.34＝a．则原式＝(1＋a)×(a＋0.56)－(1＋a＋0.56)×a＝a＋0.56＋a2＋0.56－a－a2－0.56a＝0.56．十一、数形结合法例15 计算：当n无限大时，1＋12＋1148++…12n+的值．分析建立如下模型，设大正方形的面积为l，当n无限大时，有1＋12＋1148++…12n+＝1．故原式＝2（图形请读者自作）．例16 求S100＝13＋23＋33＋…＋1003的值．分析使用计算器虽能求得结果，但是计算量将十分庞大，而利用数形结合法能使本题得以巧解．解先求出13＋23＋33的值，作出如图．易知13表示第一个┘上黑点的个数，23表示第二个┘上黑点的个数，33表示第三个┘上黑点的个数．图中每行每列黑点的个数均为l＋2＋3＝6，故S3＝13＋23＋33＝6×6＝36．用式子表示：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62．同理可得S100的图中各行各列的黑点个数为：。
初中数学,有理数运算的六技巧
专题 有理数运算中的6大技巧【专题综述】有理数运算是中学数学中一切运算的基础，同学们在理解有理数的概念、法则的基础上，能够利用法则、公式等正确地运算。
但有些有理数计算题，数字大、项数多，结构貌似复杂，致使同学们望题生畏，不知所措。
下面介绍几种有理数的计算方法，以帮助同学们轻松地进行计算，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。
【典型例题】一、连续自然数的和 112123123412481.2334445555494949++++++++++++++L L 例计算 【答案】588练习：观察下列砌钢管的横截面图：则第n 个图的钢管数是 （用含n 的式子表示） 【答案】23322n n +．二、凑整法例2.计算3998＋2997＋1996＋195【答案】9186练习：（1）﹣556+（﹣923）+1734+（﹣312） 【答案】﹣114练习：（2）（﹣200856）+（﹣200723）+401723+（﹣112） 【来源】【全国市级联考】山东省潍坊市高密市2017-2018学年七年级（上）期中数学试卷【答案】-13三、拆项相消法 1113.12231011+++⨯⨯⨯L 例计算： 【答案】1011=练习：计算：2222122334(1)n n +++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+＝__________（n 为正整数）． 【来源】2014－2015学年江苏省启东市长江中学八年级12月月考数学试卷【答案】21n n +四、分组法例4.计算123420012002s =-+-++-L【答案】1001=-练习：计算：101﹣102＋103﹣104＋…＋199﹣200=______．【来源】苏科版七年级数学上册第二章 2.5 有理数的加法与减法同步测试【答案】－50五、错位相减法例5.计算232018*********s =+++++L 【答案】20181(2)(1)22s =-减得：练习：在求1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S ＝1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38 ①，然后在①式的两边都乘以3，得：3S ＝3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38＋39 ②，②一①得：3S ―S ＝39－1，即2S ＝39－1，∴S ＝9312-. 得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m （m ≠0且m ≠1），能否求出1＋m ＋m 2＋m 3＋m 4＋…＋m 2016的值？如能求出，其正确答案是___________.【来源】2016年初中毕业升学考试（山东东营卷）数学（带解析）【答案】201711m m --.六、倒序相加法例6.计算135799+++++L【答案】2500s ∴=练习：符号“H ”表示一种运算，它对正整数的运算结果如下：H （1）=2，H （2）=3，H （3）=4，H （4）=5… 则H （7）+H （8）+H （9）+…+H （91）的结果为____．【来源】人教版七年级数学上册1.3有理数的加法【答案】4250【强化训练】1．计算1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+2005﹣2006的结果是（ ）A. 0B. 100C. ﹣1003D. 1003【来源】【北师大版】初一数学第一学期2.6有理数的加减混合运算 同步练习【答案】C2．六个整数的积36a b c d e f ⋅⋅⋅⋅⋅=， a b c d e f 、、、、、互不相等，则a b c d e f +++++= ( ) ．A. 0B. 4C. 6D. 8【来源】北师大版七年级数学上册2.11 有理数的混合运算 课堂练习【答案】A3．50个连续正奇数的和1+3+5+7+…+99与50个连续正偶数的和：2+4+6+8+…+100，它们的差是（ ）A. 0B. 50C. ﹣50D. 5050【来源】【北师大版】初一数学第一学期2.6有理数的加减混合运算 同步练习【答案】C4．对于正数x ，规定f （x ）=x x +1，例如f （2）=32212=+，f (31)=4131131=+，根据规定，计算f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2015）+f (21)+f (31)+f (41)+…+f (20151)= ． 【来源】2016届四川南充市中考二诊数学试卷（带解析）【答案】201412 5．已知f （x ）=1+x 1，其中f （a ）表示当x ＝a 时代数式的值，如f （1）=1+11，f （2）＝1＋21， f （a ）=1+a1，则f （1）·f （2）·f （3）…·f （100）= ． 【来源】2015－2016学年江苏省江阴市要塞片七年级上学期期中考试数学试卷（带解析）【答案】1016．已知0|1||2|=-+-a ab ，则： a ＝ ，b ＝ ．在此条件下，计算：+ab 1()()111++b a ()()221+++b a ++Λ()()201420141++b a ＝ ． 【来源】2014－2015学年浙江省新登镇中学共同体七年级10月月考数学试卷（带解析）【答案】1; 2；20152016． 7．请观察下列等式的规律：111(1)1323=-⨯，1111()35235=-⨯， 1111()57257=-⨯，1111()79279=-⨯， …则111113355799101+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯= ． 【来源】2015年初中毕业升学考试（湖南郴州卷）数学（带解析） 【答案】50101．8．为了求1+3+32+33+…+3100的值，可令M =1+3+32+33+…+3100，则3M =3+32+33+34+…+3101，因此，3M ﹣M =3101﹣1，所以M =101312-，即1+3+32+33+…+3100=101312-，仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是 ．【来源】2015年初中毕业升学考试（广东茂名卷）数学（带解析） 【答案】2016514-． 9．若1(21)(21)n n -+=21a n -+ 21b n +，对任意自然数n 都成立，则a = ，b = ； 计算：m =113⨯+135⨯+157⨯+ …+11921⨯= ． 【来源】2015年初中毕业升学考试（广东汕尾卷）数学（带解析）【答案】a =12，b =－12；m =102110．【问题一】：观察下列等式 111122=-⨯， 1112323=-⨯， 1113434=-⨯， 将以上三个等式两边分别相加得：1111111113111223342233444++=-+-+-=-=⨯⨯⨯． （1）猜想并写出： ()11n n =+_____________． （2）直接写出下列各式的计算结果：①111112233420162017++++=⨯⨯⨯⨯L ____________； ②()11111223341n n ++++=⨯⨯⨯+L ______________． （3）探究并计算：①111113355720152017++++⨯⨯⨯⨯L ． ②1111111132435465717191820-+-+++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L 【问题二】：为了求23201712222+++++L 的值，可令23201712222S =+++++L ，则23201822222S =++++L ，因此2018221S S -=-，所以． 23201720181222221+++++=-L .仿照上面推理计算：（1）求23201715555+++++L 的值；（2）求23499100333333-+-++-L 的值.【来源】浙江省慈溪市2017－2018学年七年级上学期期中考试数学试题 【答案】111n n -+；20162017；111n -+。
常见的拆项公式
常见的拆项公式咱今儿就来唠唠常见的拆项公式。
拆项公式这玩意儿，在数学里头那可是相当重要。
比如说，对于一个分数，如果它的分子是常数，分母是两个一次式的乘积，这时候就可以考虑拆项啦。
就像咱平时做数学题，碰到一个式子：$\frac{1}{x(x + 1)}$ ，这时候咱就可以把它拆成 $\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$ 。
为啥能这么拆呢？您别急，我给您细细道来。
咱假设 $\frac{1}{x(x + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$ ，然后通分得到：$1 = A(x + 1) + Bx$ 。
接着，咱令 $x = 0$ ，就能算出 $A =1$ ；再令 $x = -1$ ，就能得出 $B = -1$ 。
所以，就有了 $\frac{1}{x(x+ 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$ 。
再比如说，$\frac{1}{(x - 1)(x - 2)}$ ，这能拆成 $\frac{1}{x - 2} -\frac{1}{x - 1}$ 。
前几天我给我小侄子辅导作业，就碰到了这么一道题。
题目是这样的：计算 $\frac{1}{1\times2} + \frac{1}{2\times3} + \frac{1}{3\times4} + \cdots + \frac{1}{9\times10}$ 。
这小侄子啊，一开始瞪着题目直发愣，完全不知道从哪儿下手。
我就跟他说：“别着急，咱们来看看这每一项是不是都能拆一拆。
” 然后我就带着他，把每一项都按照咱刚说的拆项公式拆开。
像 $\frac{1}{1\times2}$ 就变成了 $1 - \frac{1}{2}$ ，$\frac{1}{2\times3}$ 变成了 $\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ，以此类推。
然后一相加，神奇的事情发生了，中间的那些项都相互抵消掉啦，最后就剩下 $1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$ 。
聚焦有理数运算的简便技巧
聚焦有理数运算的简便技巧（一）把有理数分解成有理分数有理数运算的一个常见技巧就是把分数分解成有理分数，以此建立起有理数之间的联系。
通常可以给定一个有理数，把它分解成几个最简分数之和。
例如，3/5可以分解成1/5与2/5，其它有理数也都可以如此分解。
这样分解后，有理数之间就可以建立起一种“抵消法”的关系，方便有理数运算。
（二）合并带分母的余式合并带分母的余式是有理数运算最常用的技巧之一。
我们知道，当分母相同时，有理数间可以把分子相加，例如：2/5-1/5=1/5，这样就可以更方便进行有理数运算。
当出现不同分母的情况时，可以把余式统一处理成带有相同分母的模式，再进行简化。
例如：3/4-1/5=15/20-4/20，可以把15/20及4/20合并为11/20，把重复度较高的运算简化掉，大大节省了计算量。
（三）利用常数来复杂有理数运算有理数运算也可以利用常数进行复杂的计算，有时可以让符号的变换更加简单。
比如，(a+b)/(a-b)可以改写为(a+b)/a-b/a，即：1/a+b/a-b/a，由此可以方便地进行有理数运算，使杂乱的运算步骤变得更加清楚。
（四）利用特殊比例计算有时候可以利用一些特殊的比例来进行有理数运算。
例如，a1/a2=b1/b2，那么a1/a2+c1/c2=b1/b2+c1/c2。
由此可以方便地转换出一些比较复杂的运算，从而方便有理数的运算。
（五）以底数为底的幂运算有理数的运算中也可以采用一些幂运算技巧，比如：a^b×a^c=a^(b+c)。
例如：2^3×2^2=2^5；上式中就是利用幂运算把有理数中的相乘转换成有理数中的相加，把运算变得更加容易。
有理数运算的十种技巧
２ （ １ 一 而 １） ＝ 而 ２ ０ ０
．
孚： ÷（ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ …＋ ５ ９ ） ： 了 １ ×
＝８ ８ ５ ．
说 明 ： 形 如 面的 分 数 。 可 以 拆 成 ÷ （
— －） Ｉ 的形 式 ． ， ｌ ＋ 口
二、 巧用饲序法
例 ２ 计算
解： 设 ＝
Ｉ 、
解 ： 设 ｓ ＝ １ ＋ （ ÷＋ 丁 ２ ） ＋ （ ÷＋ ２ ＋ ３ ） ＋
（１
，
即 ２ Ａ ＝２ Ｘ４ ０１ １ ．
了 了 了 了 ） 一 ＋【 丽
２
３
４、
，１
２
＋ ‘ 一 丽 丽 ） ’
４ ８ ４ ９、
辽一 一 一
有理数的运算是初 中代数运算 中 的基 础运算 ， 它有
一
‘ ． ．
Ａ ＝４ ０ １ １ ． ． ． ．原 式 ＝ ４ ０ １ １ ．
定规律 和技 巧． 只要 认 真 分析 和研 究题 目的 内在 特
三、 巧 用 拆 项 法
征， 并根据这些特 征灵活 巧妙 地运 用运算 法则 、 运算 定 律和有针对性地运用 一定 的方法和技巧 ， 不但可 以使运
解 ： 因 为 （ ÷ ＋ 西 １ 一 ÷ 一 ） ÷ ＝ （ ÷ ＋ 去 一 ÷
一
一
１、
） ，
嘉） 嘉 ９ ３ — １ ４ 一 ｌ 一 ３ ，
所以原式 ＝ 一 ÷一 ３ ：一 ３ ÷
八、 巧 用 添项 法
两式相加得 ２ Ｓ ＝ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４＋… ＋ ４ ９ ．
解 ： 原 式 ＝ ｝ ＋ （ ÷＋ 号 ） ＋ （ ｝＋ ÷ ＋ ÷ ） ＋ …
专题2.5 有理数混合运算的八种技巧(举一反三)-2024-2025学年七年级数学上册举一反三系列(
专题2.5 有理数混合运算的八种技巧【浙教版】【技巧1 巧用凑整法计算】 ..................................................................................................................................... 1 【技巧2 运用拆项法计算】 ..................................................................................................................................... 1 【技巧3 巧妙组合法计算】 ..................................................................................................................................... 2 【技巧4 相互转化法计算】 ..................................................................................................................................... 2 【技巧5 裂项相消法计算】 ..................................................................................................................................... 3 【技巧6 巧用分配律计算】 ..................................................................................................................................... 3 【技巧7 巧用倒数法计算】 ..................................................................................................................................... 4 【技巧8 变形相加法计算】 . (5)【技巧1 巧用凑整法计算】【例1】（重庆市2023-2024学年七年级上学期期末数学试题）计算： −87.21+531921−12.78+43221 ；【变式1-1】（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·七年级校联考期中）计算：316−135−425−(+116) 【变式1-2】（2023秋·七年级单元测试）计算： (−218)+(+5)+(−312)+(+1.125)+(+412)；【变式1-3】（2023秋·广西崇左·七年级校考阶段练习）计算： 0.125+314+(−318)+(−0.25)；【技巧2 运用拆项法计算】【例2】（2023秋·全国·七年级期末）阅读下面的计算过程，体会“拆项法” 计算：−556+(−923)+1734+(−312)解：原式=(−5−9+17−3)+ (−56−23+34−12) =0+ (−134) = −134 启发应用，用上面的方法完成下列计算：(−3310)+(−112)+235−(212)【变式2-1】（2023秋·山东德州·七年级校考阶段练习）计算：(−556)+(−923)+(1734)+(−312) 【变式2-2】（2023秋·山东济宁·七年级统考期中）计算：(−202156)+(−202023)+404223+(−112)【变式2-3】（2023秋·山东德州·七年级校考阶段练习）计算： (1)(+3579)+(−2349)；(2)(−201856)+(−201723)+(−112)+4036． 【技巧3 巧妙组合法计算】【例3】（2023秋·全国·七年级期末）计算1+2−3−4+5+6−7−8+⋯+2017+2018−2019−2020值为（ ） A ．0B ．﹣1C ．2020D ．-2020【变式3-1】（2023秋·河南洛阳·七年级统考期末）计算1+2−3−4+5+6−7−8+⋯ +2017+2018−2019−2020+2021的值为（ ） A ．1B ．0C ．2021D ．−2021【变式3-2】（2023·全国·七年级专题练习）1−3−5+7+9−11−13+15+⋯+2009−2011−2013+2015= ．【变式3-3】（2023·全国·七年级专题练习）计算：1−2−3+4+5−6−7+8+.…+2020+2021结果为 ．【技巧4 相互转化法计算】【例4】（2023春·上海·七年级上海市进才实验中学校考期中）(−0.375)×123÷135 【变式4-1】（2023·全国·七年级假期作业）计算： (1)(−3)÷(−134)×0.75÷(−37)×(−6)；(2)(−15)×(−0.1)÷125×(−10)；【变式4-2】（2023秋·贵州铜仁·七年级校考阶段练习）乘除计算：1.25÷(−0.5)÷(−212)×1【变式4-3】（2023秋·全国·七年级期末）计算： 8÷(−113)×(−12.5)×(−45)；【技巧5 裂项相消法计算】【例5】（2023秋·七年级课时练习）阅读下列材料： 计算：11×2+12×3+13×4+⋯+12021×2022 解：原式=1−12+12−13+13−14+⋯+12021−12022=1−12022=20212022这种求和方法称为“裂项相消法”，请你参照此法计算：222−1+232−1+242−1+⋯+21002−1= ． 【变式5-1】（2023秋·内蒙古鄂尔多斯·七年级校考期中）计算： (1)11×2+12×3+13×4+14×5=_______；(2)计算11×2+12×3+13×4+14×5+⋯+12020×2021【变式5-2】（2023秋·山东淄博·七年级统考期中）计算：11×2+12×3+13×4+⋯+159×60； (3)1−1×3+1−3×5+1−5×7+1−7×9+⋯+1−2021×2023．【变式5-3】（2023秋·广东佛山·七年级校考阶段练习）阅读第①小题计算方法，再类比计算第①小题． （1）①−556+(−923)+1712+(−312)解：原式=[(−5)+(−56)]+[(−9)+(−23)]+(17+12)+[(−3)+(−12)]=[(−5)+(−9)+17+(−3)]+[(−56)+(−23)+12+(−12)]=0+(−112)=−112．上面这种方法叫做拆项法．①计算：(−202256)+(−202223)+(−112)+4045．（2）①1−122=12×32，1−132=23×43，1−142=34×54，…，上面这种方法叫做裂项法．①计算：(1−122)×(1−132)×⋅⋅⋅×(1−120212)×(1−120222)． 【技巧6 巧用分配律计算】【例6】（2023秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）计算：−24−24×(13−56+34)． 【变式6-1】（2023春·浙江衢州·七年级校考阶段练习）计算题，要求写出具体计算过程：(1)713×(−9)+713×(−18)+713；(2)(−6)2×(12−23)−23；【变式6-2】（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·七年级统考期末）（1）−999899×198 【变式6-3】（2023春·上海宝山·七年级校考阶段练习）计算下列各题： (1)(−24)×(−56+38−112)；(2)( −535)×(−2)+(−5.6)×7−4×(−535)； 【技巧7 巧用倒数法计算】【例7】（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期中）阅读下面材料，然后回答问题． 计算(−130)÷(23−110+16−25) 解法一：原式=(−130)÷23−(−130)÷110+(−130)÷16−(−130)÷25=−120+13−15+112=16解法二：原式=(−130)÷[(23−16)+(110−25)]=(−130)÷(12−310) =−130×5 =−16解法三：原式的倒数为(23−110+16−25)÷(−130)=(23−110+16−25)×(−30)=23×(−30)−110×(−30)+16×(−30)−25×(−30) =−20+3−5+12=−10故原式=−110(1)上述得出的结果各不同，肯定有错误的解法，但是三种解法中有一种解法是正确的，请问：正确的解法是解法__________；(2)根据材料所给的正确方法，计算：(−142)÷(16−314+23−27)【变式7-1】（2023·江苏·七年级假期作业）计算：(−120)÷(−14−25+910−32) 【变式7-2】（2023秋·重庆垫江·七年级统考期末）计算：(−78)÷(134−78+712)．【变式7-3】（2023秋·河南南阳·七年级统考期中）数学老师布置了一道思考题“计算”： (−112)÷(13−56)小华的解法：(−112)÷(13−56)= −112÷13−(−112)÷56=−14+110=−320大白的解法：原式的倒数为(13−56)÷(−112)……………………第一步 =(13−56)×(−12)…………………第二步 =−4+10……………………………第三步 =6…………………………………第四步 所以(−112)÷(13−56)反以两位同学的解法，请你回答下列问题： (1)两位问学的解法中，_______同学的解答正确；(2)大白解法中，第二步到第三步的运算依据是____________________. (3)用一种你喜欢的方法计算： (−136)÷(12−13+34) 【技巧8 变形相加法计算】【例8】计算：1+2+22+⋯+22019+22020 【变式8-1】计算：1+2+3+4+⋯+55【变式8-2】计算：M =5+2×52+3×53+4×54+⋯+8×58． 令M =1+5+52+53+⋯…+551， 则5M =5+52+53+⋯…+552， 故5M −M =552−1， 故4M =552−1，故M=552−14，即1+5+52+53+⋯…+551=552−14．【变式8-3】计算：11+112+113+⋯+11n。
有理数的巧算
有理数及其运算*有理数的运算：先 再 ！！！！！！！！！！一.有理数加法：有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
异号两数相加，绝对值值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
一个数同0相加，仍得这个数。
有理数加法运算律：交换律： 结合律：二.有理数减法：有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．用字母表示为三、有理数的加减混合运算：加减为同级运算，有括号先算括号里的，没括号直接从左到右依次运算（1）4.1)1.10(6.3)9.1(+-++- （2）9)13()11()7(+-+++-（3）( 1.9)(10.1)--- （4）3.6( 1.4)--（5）－0.5－（－341）＋2.75－（＋721） （6）－［0.5－31－(61+2.5－0.3)］四、有理数乘法：有理数的乘法法则两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把绝对值 .任何数与0相乘，都得 . 在有理数中仍然有：乘积是1的两个数称为互为倒数.多个有理数相乘的法则：几个不为0的有理数相乘，积的符号由______的个数决定，当负因数的个数为 时，积为负，当负因数的个数为 时，积为正。
积的绝对值等于各个因数的 。
有理数的乘法运算律:乘法交换律：乘法结合律：乘法对加法的分配律：（1）)71()5()7()2(-⨯+⨯-⨯- （2）)1.05121103()1000(-+-⨯-（3）)74(6)74(41.2)74()59.3(-⨯+-⨯--⨯ （4）)11(141319-⨯五、有理数除法：有理数的除法法则：注：繁分式的化简有理数的乘除混合运算运算顺序：（1）735)4(3÷--⨯ （2） )511()3.0()3(12-÷-⨯-÷-（3）)3.0(45)75.0(-÷÷- （4）)5(7545+÷-六、有理数四则运算1、凑整法：例1：13312155132642586538++++++．2、应用添（去）括号：例1：12345678979899100+--++--+++-- ． 例2：1111111()()()22448819216384------- ．3、拆项法：例1：111112233420132014++++⨯⨯⨯⨯ 例2：552757275628⨯+⨯拓展提升1：10123410248162+++++ ．*4、应用公式：1、等差数列求和公式（高斯求和公式）例1：1234100+++++2、平方差公式 22()()a b a b a b -=+-例1：3001×2999 例2：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．。
专题1.5 有理数加减混合运算解题技巧和方法(知识梳理与考点分类讲解)-2024-2025学年七年级
专题1.5 有理数加减混合运算解题技巧和方法（知识梳理与考点分类讲解）纵观整个初中阶段，学生在重视数学思维的时候，对计算能力的培养往往不够，到了初三及中考时，往往在计算上正确率不高，或计算效率不高，这往往就是基础计算没有打牢，尤其是计算的方法和技巧不够，初一上学期，有多章计算题，对于很多在小学阶段计算薄弱的同学要特别注意，本篇主要介绍有理数加减混合运算中常见的技巧和方法，在计算过程中可以试着使用，会将一些稍复杂的计算简单化。
常见的有理数加减混合运算技巧与方法：【技巧1】相反数结合法互为相反数的两个数和为0，我们在计算时，可以将互为相反数的两个数先结合进行计算。
【技巧2】同号结合法在有理数的加减混合运算中，比小学多引入了负数的加减运算，有些同学在计算时会将减号与负号混淆，不知道如何计算，因此我们在计算时可以将同号相结合，最后再按照有理数的加减法则进行计算。
【技巧3】同分母结合法在计算时，我们可以将同分母的先进行计算，异分母需要通分，有时计算上会比较繁琐。
【技巧4】凑整法在进行计算时，我们经常会遇到小数、分数、百分数等相加减，我们除了要熟练掌握三者之间的关系外，在计算时，也可以利用凑整法将题目简便化。
【技巧5】拆分法有时遇到带分数时，我们可以将之拆分成整数与真分数的和进行计算，有些计算中也可以将某个数拆分成两个数之和（差）或乘积。
具体解题过程的的解题方法与技巧往往不是单一的方法与技巧，而是综合灵活运用方法与技巧进行解题，学生应当适当多练习巩固。
【技巧1】相反数结合法【例1】：计算：11 0.53 2.75542⎛⎫⎛⎫---+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】0【分析】先将带分数化为小数，然后去掉括号，利用加法结合律和交换律进行计算即可求出答案．解：原式0.5 3.25 2.75 5.5=-++-()()0.5 5.5 3.25 2.75=--++ 66=-+0=【点拨】本题考查有理数的加减运算，解题的关键是熟练运用有理数的加减运算法则，本题属于基础题型．【举一反三】【变式1】计算： ()31282869+-++；【分析】把互为相反数的两数相加；解：()31282869+-++， ()31282869=⎡⎤⎣-⎦+++，31069=++，100=；【点拨】本题考查了有理数的加减混合运算的简便运算，合理地运用有理数的加法运算律使计算简化是解题的关键．【变式2】计算：1241123523⎛⎫⎛⎫⎛⎫+---+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】15-【分析】利用有理数加法的交换律和结合律计算，即可求解． 解：1241123523⎛⎫⎛⎫⎛⎫+---+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1121422335⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+---- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()4015=+-+15=-．【点拨】本题主要考查了有理数简便算法，熟练掌握有理数加法的交换律和结合律是解题的关键．【技巧2】同号结合法【例2】用简便方法运算（1）1.4+（-0.2）+0.6+（-1.8）； （2）(1)()21112 2.75524⎛⎫----+-+ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用加法的运算律解通过同号结合得到互为相反数解答即可；（2）先化简绝对值、将分数化成小数，再利用有理数的加减运算法则和运算律利用同号结合法进行计算即可得；解：（1）1.4+（-0.2）+0.6+（-1.8） （2） ()21112 2.75524⎛⎫----+-+ ⎪⎝⎭=（1.4+0.6）+（-0.2-1.8） 0.4 1.5 2.25 2.75=---- =2+（-2） ()()0.4 1.5 2.25 2.75=-+-+ =0； 1.95=--【点拨】本题考查了化简绝对值、有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减运算法则和运算律并通过同号结合和相反数和为0是解题关键．【举一反三】【变式1】用简便方法运算．（1）()()()()0.5 3.2 2.8 6.5---++-+； （2） 13211()()()25323-++-++-．【答案】（1）1-； （2）25-【分析】按照有理数的加减法运算法则和运算律进行计算．解：（1）原式0.5 3.2 2.8 6.5=-++- （2）11213()()22335=-+-++()()0.5 6.5 3.2 2.8=--++ 3015=-+()76=-+ 25=-1=-．【点拨】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握有理数的加减法运算法则和运算律．【技巧3】同分母结合法【例3】计算：15533.2542244⎡⎤⎛⎫⎛⎫----+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．【答案】 2.25-【分析】先算括号里，再算括号外，转化为同分母相加减即可解答．解：15533.2542244⎡⎤⎛⎫⎛⎫----+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦15533.2542244⎡⎤⎛⎫=--++-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦15533.2542244⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦155193.252244⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦73.2522⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭3.25 5.5=- 2.25=-．【点拨】本题考查有理数加减混合运算．解题的关键是熟记有理数加减法则，混合运算顺序，运算定律，准确熟练地进行计算．【举一反三】【变式1】计算127533648787⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时运算律用得最合理的是（ ） A ．127533648787⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦B ．271536347887⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦C ．271536347887⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦D ．172536348877⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦【答案】D【分析】根据运算律在简便运算中运用方法，先计算同分母分数，再算加法即可得出结论． 解：计算127533648787⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时运算律用得最合理的是172536348877⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦；故选：D ．【点拨】此题考查了有理数的加法的简便运算，掌握有理数简便运算中运算律的运用方法是解题的关键．【变式2】嘉琪同学在计算21114233223-++时，运算过程正确且比较简便的是（ ）A ．2111(43)(2)3322+-+B ．2111(42)(3)3223-++C ．2111(43)(2)3322+--D ．2111(43)(2)3322---【答案】C【分析】原式利用加法交换律和结合律将分母相同的结合即可．解：嘉琪同学在计算21114233223-++时，运算过程正确且比较简便的是2111(43)(2)3322+--．故选：C ．【点拨】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握加法交换律与加法结合律是解本题的关键．【技巧4】凑整法【例4】用简便方法运算：3222654115353⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】8解析：可把相加得到整数的数相加． 解：3222654115353⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3222645115533⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()113=+-，8=．【点拨】本题考查了有理数的加减混合运算的简便运算，合理地运用有理数的加法运算律使计算简化是解题的关键．【举一反三】【变式1】()()()2.48 4.337.52 4.33-++-+-=______．【答案】-10【分析】用加法交换律和加法结合律进行计算即可． 解：原式=()()()[ 2.487.52][4.33 4.33]-+-++-=10-． 故答案为：10-．【点拨】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算顺序和运算法则，以及加法交换律和结合律在有理数范围同样适用是解题的关键．【变式2】计算：31120.2572 1.5 2.75424⎛⎫⎛⎫-++-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【答案】8-【分析】可利用加法交换律和结合律以及分数与小数的互化进行有理数的加减运算即可求解．解：原式 2.750.257.5 2.25 1.5 2.75=-+--++()()()2.75 2.750.25 2.257.5 1.5=-++-+-+026=--8=-．【点拨】本题考查有理数的加减混合运算，解答的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序，会利用加法运算律进行简便运算．【技巧5】拆分法【例5】阅读：对于5231591736342⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可以按如下方法计算：原式()()()5231591736342⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()5231591736342⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-+-++-⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1101144⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭．上面这种方法叫拆项法．仿照上面的方法，请你计算：75120222021140442486⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】1312-【分析】利用拆项法计算即可．解：75120222021140442486⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()75120222021140442486⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()75120222021140442486⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+-+-⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦261302412⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭．【点拨】本题主要考查有理数加减法的计算，熟练掌握有理数加减法的运算法则是解题的关键．【举一反三】【变式1】．计算：5212018201740351632⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】3-【分析】先将带分数拆分成两项，再利用有理数的加减运算法则和运算律进行计算即可得．解：原式5212018201740351632⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--++-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5212018201740351632=----+--()5214035201820171632⎛⎫=----++ ⎪⎝⎭5431666⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭12=--3=-．【点拨】本题考查了化简绝对值、有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减运算法则和运算律是解题关键．【变式2】计算：522120082009401816332⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】113-【分析】先分组，将222009401833⎛⎫-+ ⎪⎝⎭放在一起计算得到整数，再将结果相加即可；解：522120082009401816332⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭225120094018200813362⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5120092008162⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11162=- 131=-；【点拨】此题考查有理数的加减混合运算，掌握正确的计算顺序是解题的关键．。
初中七年级数学培优有理数的巧算含答案
第一讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上,能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题,从而提高运算能力,发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1计算：分析中学数学中,由于负数的引入，符号“+"与“—”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．例2计算下式的值:211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦,根据运算规则,添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．解原式=（211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445）+（445+555）×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789）=1 000 000．说明加括号的一般思想方法是“分组求和"，它是有理数巧算中的常用技巧．例3计算：S=1—2+3-4+…+（-1）n+1·n．分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“—1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“—1”，于是一改“去括号”的习惯,而取“添括号”之法．解S=（1-2)+（3-4)+…+（—1)n+1·n．下面需对n的奇偶性进行讨论:当n为偶数时,上式是n／2个（-1)的和，所以有当n为奇数时，上式是(n—1）／2个(-1）的和，再加上最后一项(—1）n+1·n=n，所以有例4在数1，2，3，…,1998前添符号“+"和“—”,并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性,只与奇数的个数有关，所以在1，2，3,…,1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“—”之后，所得的代数和总为奇数,故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n,n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-（n+1）-(n+2）+（n+3）=0．这启发我们将1,2，3,…，1998每连续四个数分为一组,再按上述规则添加符号，即(1—2—3+4）+(5—6-7+8）+…+(1993-1994—1995+1996）-1997+1998=1．所以,所求最小非负数是1．说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零"，这种方法可使计算大大简化．有这种竞赛讲义一整套小学初中的含答案最新的需要的可以联系我46～8453~607微信13699~77～10742．用字母表示数我们先来计算(100+2)×（100—2)的值：(100+2)×(100—2）=100×100-2×100+2×100—4=1002—22．这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100,用字母b代换2，上述运算过程变为（a+b）（a—b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a—b）=a2—b2，①这个公式叫平方差公式,以后应用这个公式计算时,不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例5计算3001×2999的值．解3001×2999=（3000+1)(3000-1)=30002—12=8 999 999．例6计算103×97×10 009的值．解原式=（100+3)（100-3）（10000+9)=(1002-9)（1002+9）=1004-92=99 999 919．例7计算：分析与解直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 346，那么12 345=n—1,12 347=n+1，于是分母变为n2—(n-1）（n+1）．应用平方差公式化简得n2—（n2—12)=n2—n2+1=1,即原式分母的值是1，所以原式=24 690．例8计算：（2+1)（22+1)（24+1）（28+1）(216+1）（232+1)．分析式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在（2+1）前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用（a+b）(a—b）=a2-b2了．解原式=(2—1）(2+1)(22+1)（24+1）（28+1)×(216+1)(232+1）=（22-1)（22+1）（24+1)（28+1)(216+1）×（232+1）=(24—1)（24+1)（28+1）(216+1）(232+1）=……=（232-1）(232+1)=264—1．例9计算：分析在前面的例题中，应用过公式(a+b）（a—b）=a2—b2．这个公式也可以反着使用，即a2-b2=（a+b)（a-b)．本题就是一个例子．通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题,从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．例10计算:我们用一个字母表示它以简化计算．3．观察算式找规律例11某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92,95，88．分析与解若直接把20个数加起来，显然运算量较大,粗略地估计一下,这些数均在90上下，所以可取90为基准数,大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为90×20+(—3）+1+4+（—2）+3+1+（-1）+(-3）+2+(-4)+0+2+（-2)+0+1+（-4）+（—1)+2+5+（—2）=1800-1=1799,平均分为90+（—1）÷20=89。
初一拆项法标准步骤
初一拆项法标准步骤
初一拆项法是一种用于简化或拆解复杂的数学问题的方法。
下面是初一拆项法的标准步骤：
步骤1：观察问题并了解所给条件。
首先，仔细观察问题，理解所给条件。
确保你已经完全理解了问题的要求和给出的材料。
步骤2：分析问题的结构。
分析问题的结构，看看是否可以通过将问题分解成更小的部分来简化它。
注意任何重复出现的模式或数学关系。
步骤3：拆开问题。
将给定的问题拆解成更小的部分，通常是通过拆分项或使用等式或不等式进行替换来完成的。
根据问题的结构，有时可能需要使用代数表达式或图形。
步骤4：求解每个小部分。
根据需要，求解每个小部分或问题。
这可能需要使用不同的数学技巧或方法。
步骤5：整合解决方案。
将每个小部分的解答整合到一起，以得到整个问题的解答。
确
保解答符合问题的要求，并进行必要的检查和验证。
步骤6：总结和检查解答。
总结整个解答过程，并进行最终的检查。
确认解答是否准确，并回顾解决问题的方法。
注意：初一拆项法可以用于各种数学问题，包括代数、几何和概率问题等。
熟练掌握此方法将帮助你更好地理解和解决复杂的数学问题。
有理数计算的常用方法
有理数计算的常用方法有理数运算是中学数学中一切运算的基础，它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算，不仅如此，解题时，需要细心观察，深入探究，缜密分析，全面审视，除了发现题中的特征，还应挖掘题中隐含的规律，正确灵活地使用运算法则、性质和定律，实施“化繁为简，化难为易”的手段，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。
为此老师给大家总结出解有理数计算题的十三种常用方法，以供参考．一、倒序相加法例1 计算1＋3＋5＋7＋……＋1997＋1999的值。
分析：观察发现：算式中从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可用如下解法。
解：用字母S 表示所求算式，即S ＝1＋3＋5＋……＋1997＋1999。
①再将S 各项倒过来写为S ＝1999＋1997＋1995＋……＋3＋1。
②将①，②两式左右分别相加，得10002000)20001000(2000200020002000)11999()31997()19973()19991(S 2⨯=++++=++++++++=个从而有.1000000210002000S =⨯= 说明：该题之所以想到倒序相加，是因为这一组数字前面的数字与后面对应位置的数字之和相等，倒过来相加正好凑成一组相同的数字。
另该式后一项减去前一项的差都相等，这样的一列数称为等差数列，第一项叫首项，通常用1a 表示；最后一项叫末项，通常用n a 表示，相等的差叫公差，通常用d 表示，项数用n 表示（1d a a n 1n +-=），则该题也可以用等差数列的求和（n S ）公式：2n)a a (S n 1n +=来计算。
二、凑整法例2 计算：2002＋98＋997＋9996＋99995．分析 题中几个数都与整十、整百、整千……很接近，因此可以凑成整十、整百、整千……来求解．解1 原式＝ (2002－2－3－4－5)＋(98＋2)＋(997＋3)＋(9996＋4)＋(99995＋5) ＝ 1988＋100＋1000＋10000＋100000＝113088．例3若S＝11＋292＋3993＋49994＋599995＋6999996＋79999997＋899999998，则和数S的末四位数字之和是____．分析将题中的每个数凑成“整十”、“整百”、“整千”……来计算，很容易解出，解原式＝(11＋9)＋(292＋8)＋(3993＋7)＋(49994＋6)＋(599995＋5)＋(6999996＋4)＋(79999997＋3)＋(899999998＋2)－9＋8＋7＋ (2)＝(20＋300＋4000＋50000＋600000＋7000000＋80000000＋900000000)－(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2)＝987654320－44＝987654276．∴S的末四位数字之和是4＋2＋7＋6＝19．三、分组结合法例4计算：1－3＋5－7＋9－11＋…＋2009－2011．分析题中从1到201 1，相邻两个数相加是－2，加号和减号交替出现，因此可以运用分组的方法，即依次两个数两个数为一组，每组的得数都是－2，从而很快计算出结果．解原式＝(1－3)＋(5－7)＋…＋( 2009－2011)＝（－2）×503＝－1006．例5计算：1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋9＋10－11－12＋…＋2005＋2006－2007－2008＋2009＋2010－2011．分析观察发现，依次四个数四个数为一组，每组中四个数的和为－4，由1至2008共有502组，式中还余3个数，于是得出解法．解1 原式＝(－4)×502＋2009＋2010－2011＝－2008＋2008＝0．本题若再仔细观察又可发现，2－3－4＋5＝0，6－7－8＋9＝0，…，即从2开始，每连续4项的和为0，式中的一列数，除去开头1以外，中间能分成502组，后面还余下两个数为2010，－2011，于是又得另一种解法．解2 原式＝1＋0×502＋2010－2011＝0．四、分解相约法例6 计算：(10.5×11.7×57×85)÷(1.7×1.9×3×5×7×9×11×13×15)．分析被整式与除式的小数位数相等，可化为整数相除，又被除式与除式部分因数能分解，可采用分解相约．解原式＝＝111． 五、巧用运算律法 例7 计算：237970.716.6 2.20.7 3.31173118⨯-⨯-÷+⨯+÷． 分析 本题为有理数的混合运算，其中有公因子，可把公因子先提出，然后进行计 算．解 原式六、妙用性质法例8 计算：1÷(2÷3)÷(3÷4)÷…÷(2010÷2011)．分析 本题属于一道连除的计算题，可以利用连除性质：a ÷(b ÷c)＝a ÷b ×c ＝a ×c ÷b ．先将原式进行分解，再利用交换律使问题得到解决．解 原式＝1÷2×3÷3×4÷…÷2010×2011＝ (1×3×4×...×2011)÷(2×3×4× (2010)＝2011÷2＝1005.5．七、添项相加法例9 计算：512＋256＋128＋64＋32＋16＋8＋4＋2＋1．分析 经过观察，发现上式的特点是后一项是前一项的一半，因此，如果我们把后一项加上它本身，就可以得到前一项的值，于是添加一个辅助数l （末项），使问题得以顺利解决．解 原式＝512＋256＋128＋64＋32＋16＋8＋4＋(2＋2)－1＝512＋256＋…＋4＋(2＋2)－1＝…＝512＋(256＋256)－1＝512＋512－1＝1023．八、错位相减法例10 计算1009932555551++++++ 的值。
有理数运算中的几个技巧
有理数运算中的几个技巧有理数的运算是初中数学中的基础运算，熟练地掌握有关的运算技巧，巧妙地运用有关数学方法，是提高运算速度和准确性的必要保证．下面介绍一些运算技巧．一、归类运算进行有理数的加减运算时，运用交换律、结合律归类加减，常常可以使运算简捷．如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等．例1 计算：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721)． 41+ 0.75 －21=－2． 评析：解法一是小数与小数相结合，解法二整数与整数结合，这样解决了既含分数又含小数的有理数加减运算问题．同学们遇到类似问题时，应学会灵活选择解题方法．二、凑整求和将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率．例2 计算：19＋299＋3999＋49999．解：19＋299＋3999＋49999=20－1＋300－1＋4000－1＋50000－1= (20＋300＋4000＋50000)－4= 54320－4= 54316．在有理数的运算中，为了计算的方便，常把非整数凑成整数，一般凑成整一、整十、整百、整千等数，这样便于迅速得到答案．三、变换顺序在有理数的运算中，适当改变运算顺序，有时可以减少运算量，在具体运算过程中，技巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运算律简化运算．例3 计算：[4125＋(－71)]＋[(－72)＋6127]． 解：[4125＋(－71)]＋[(－72)＋6127] = 4125＋(－71)＋(－72)＋6127 = [4125＋6127]＋[(－72)＋(－71)] = 11＋(－73) = 1074． 评析：在运算前，首先观察、分析参与运算的数的特征、排列顺序等，适当交换一下各数的位置，达到简化运算、快速解题的目的．四、逆用运算律在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征，对此加以灵活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快．例4 计算：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88．解：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88 =17.48×37＋(17.48×10)×1.9＋17.48×44=17.48×37＋17.48×19＋17.48×44= 17.48×(37＋19＋44)= 1748．评析：很明显，灵活变形，逆用分配律，减少了运算量，提高了解题效率．五、巧拆项把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷．例5 计算2005×20042003－1001×10021001． 解：2005×20042003－100210011001 = (2004＋1)×20042003－(1002－1)×10021001= (2003－1001)＋(20042003＋10021001) =100320042001． 评析：对于这些题目结构复杂，长度较大的数，用常规的方法不易解决．解这类问题要根据题目的结构特点，找出拆项规律，灵活巧妙地把问题解决．六、变量替换通过引入新变量转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用．例6 计算512769)323417(125.0323417-++⨯+×(0.125＋323417512769+-)． 解：设a =323417+，b = 0.125，c =512769-，则 512769)323417(125.0323417-++⨯+×(0.125＋323417512769+-) = c ab a +×(b ＋ac ) =c ab a +×ac ab + = 1． 评析：此题横看纵看都显得比较复杂，但若仔细观察，整个式子可分为三个部分：323417+，0.125，512769-，因此，采用变量替换就大大减少了计算量． 七、分组搭配观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算．例7 计算：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69．解：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69= (2－3－4＋5)＋(6－7－8＋9)＋…＋(66－67－68＋69)= 0＋0＋0＋…＋0= 0．评析：这种分组运算的过程，实质上是巧妙地添括号或去括号问题．八、倒序相加在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒序相加减的方法把问题简化．例8 计算21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋602＋…＋6058＋6059)．① 解：把①式括号内倒序后，得：21＋(32＋31)＋(43＋42＋41)＋(54＋53＋52＋51)＋…＋(6059＋6058＋…＋602＋601)， ② ①＋②得：1＋2＋3＋4＋…＋58＋59 = 1770， ∴21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋602＋…＋6058＋6059) =21(1770) = 885． 评析：显然，此类问题是不能“硬算”的，倒序相加可提高运算速度，降低复杂程度．九、添数配对例9 计算11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．解：添上9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，依次与各数配对相加，得：11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999． = 20＋200＋2×103＋2×104＋…＋2×109－(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1)= 2222222220－45= 2222222175．评析：添数配对实质上也是一种凑整运算．十、整体换元对于较复杂的算式直接运算很困难，若能抓住其特征，运用整体运算的思维，创造性地加以解决，就能收到事半功倍的效果．例10 计算1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561． 解；设1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561= x ，① 则①×(－21)，得－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561－5121=－21x ， ② ① －②，得1＋5121=23x ，解得x =256171，故 1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561=256171． 评析：整体换元可以避开局部细节的麻烦，它利用前后项之间的倍数关系，使用的是错位相加法．。
拆项法因式分解
拆项法因式分解拆项法是一种常用的因式分解方法，适用于多项式中存在公因式的情况。
拆项法的基本思想是将多项式中的每一项分解成公因式和剩余部分的乘积，然后将公因式提取出来，剩余部分合并为一个新的多项式。
以下是关于拆项法因式分解的详细介绍：一、拆项法的基本原理拆项法的基本原理是将多项式中的每一项分解成公因式和剩余部分的乘积，然后将公因式提取出来，剩余部分合并为一个新的多项式。
例如，对于多项式2x^2+4x，我们可以将其拆分为2x(x+2)，其中2x为公因式，x+2为剩余部分。
二、拆项法的步骤拆项法的步骤如下：1. 找出多项式中的公因式。
2. 将每一项分解成公因式和剩余部分的乘积。
3. 将公因式提取出来，剩余部分合并为一个新的多项式。
例如，对于多项式4x^3+8x^2，我们可以按照以下步骤进行因式分解：1. 找出多项式中的公因式，即4x^2。
2. 将每一项分解成公因式和剩余部分的乘积，即4x^3=4x^2*x，8x^2=4x^2*2。
3. 将公因式提取出来，剩余部分合并为一个新的多项式，即4x^3+8x^2=4x^2(x+2)。
三、拆项法的应用拆项法可以用于解决多项式的因式分解问题，特别是在多项式中存在公因式的情况下，拆项法是一种非常有效的因式分解方法。
例如，对于多项式6x^2+9x，我们可以按照以下步骤进行因式分解：1. 找出多项式中的公因式，即3x。
2. 将每一项分解成公因式和剩余部分的乘积，即6x^2=3x*2x，9x=3x*3。
3. 将公因式提取出来，剩余部分合并为一个新的多项式，即6x^2+9x=3x(2x+3)。
四、拆项法的注意事项在使用拆项法进行因式分解时，需要注意以下几点：1. 找出多项式中的公因式是拆项法的关键，需要仔细观察每一项的系数和次数，以确定公因式。
2. 拆项法只适用于多项式中存在公因式的情况，如果多项式中不存在公因式，则需要使用其他的因式分解方法。
3. 在提取公因式时，需要注意符号的变化，特别是当多项式中存在负数时，需要特别小心。
有理分式拆项公式
有理分式拆项公式
一个真分式，分子的次数 < 分母的次数
我们把一个真分式拆解为几个小分式，通常第一步会先把分母进行因式分解，然后按照那个因式分裂为小分式
对于小分式，分子的次数总会比分母的次数少1次方：deg(分子) = deg(分母) - 1
例如分母是二阶ax^2+bx+c，则分子为Ax+B
若分母是一阶ax+b，则分子为常数A
不过，对于高阶极点来说，小分式的个数 = 分母的因式个数
例如(x + 5)^3，因式为(x + 5)^3，(x + 5)^2，(x + 5)，共三个因式
(x2+4)4，因式为(x2+4)4，(x2+4)3，(x2+4)2，(x^2+4)，共四个因式
常用的方法无非都是那几种：
添项减项法：这个方法对1/[(x+a)(x+b)]型有效
待定系数法：即小分式通分后，把分子与原式的分子恒等，从而解出对应系数
留数法：即通过消去零因式来解出系数，分母要求为线性(ax+b)型因式，可以是高阶极点
这个方法其实跟z变换类似
添项减项法和待定系数法：
留数法：
留数法对于一次因式，一阶极点的因式时最好用的
例如：
而待定系数法，则需要对联立多元方程有很好的运算技巧通常对于二次或以上的因式最好用
例如：。
华氏拆项法公式
华氏拆项法公式华氏拆项法公式及其相关公式1. 华氏拆项法公式华氏拆项法（Fahrenheit’s trick）是一种用于求解复杂的代数表达式的方法。
该方法基于以下公式：公式1:a2−b2=(a+b)(a−b)通过将一个平方差表达式分解为两个一次项的乘积，可以简化表达式的计算。
2. 应用示例下面是几个应用华氏拆项法的示例，以帮助读者更好地理解该方法的使用。
示例1: 求解平方差表达式假设我们要求解以下表达式的值：x2−4根据公式1，我们可以将该表达式拆分为两个乘积项：x2−4=(x+2)(x−2)因此，原始的平方差表达式可以简化为两个一次项的乘积。
示例2: 求解多项式假设我们要求解以下多项式的值：x4−16根据公式1，我们可以将该多项式拆分为两个乘积项：x4−16=(x2+4)(x2−4)进一步应用华氏拆项法，我们可以将第一个乘积项继续拆分为两个乘积项：x4−16=(x2+4)(x+2)(x−2)通过多次应用华氏拆项法，我们可以将复杂的多项式拆解为多个一次项的乘积，从而更容易进行计算。
总结华氏拆项法是一种有效的方法，可用于简化复杂的代数表达式。
通过将平方差表达式拆分为两个乘积项，我们可以更容易地计算和处理这些表达式。
以上示例只是华氏拆项法的一小部分应用，读者可以进一步探索该方法的不同用途。
3. 其他相关公式除了华氏拆项法公式，还有一些与之相关的公式，下面列举几个常见的：公式2: 二次方差公式二次方差公式是对公式1的一种扩展，用于求解二次差平方的值：a4−b4=(a2+b2)(a2−b2)公式3: 立方差公式立方差公式是对公式1的另一种扩展，用于求解立方差平方的值：a6−b6=(a2+b2)(a4−a2b2+b4)公式4: 平方和公式平方和公式是与平方差公式相对应的一种公式，用于将两个平方项的和简化为一个完全平方：a2+b2=(a+b)2−2ab公式5: 立方和公式立方和公式是与立方差公式相对应的一种公式，用于将两个立方项的和简化为一个完全立方：a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)公式6: 差的立方公式差的立方公式是对立方和公式的一种变换，用于将两个立方项的差简化为一个完全立方：a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)4. 应用示例下面是一些应用上述公式的示例，以帮助读者更好地理解这些公式在实际问题中的应用情况。
拆项结合法
拆项结合法
1.拆项结合法是一种常用的数学解题方法，主要用于因式分解、化简求值等数学问题。
它的基本思想是将一个多项式拆分成若干个部分，然后将这些部分重新结合，以达到简化问题的目的。
2.在因式分解中，拆项结合法可以将一个复杂的多项式拆分成若干个简单项，然后通过分组、提取公因式等方法将其化简。
例如，对于一个四次多项式，可以将其拆分成若干个二次项和一次项的组合，然后利用平方差公式、提取公因式等方法将其化简。
3.在化简求值中，拆项结合法可以将一个复杂的式子拆分成若干个简单项，然后通过代入数值计算出结果。
例如，对于一个包含分式、根号、乘方等复杂运算的式子，可以将其拆分成若干个简单项，然后分别代入数值计算出每个简单项的结果，最后将这些结果结合在一起即可得到最终结果。
4.在使用拆项结合法时，需要注意拆分和结合的技巧和方法，以及考虑所有可能的拆分情况。
同时，也需要根据具体问题的特点选择合适的拆分方式和结合方法。