电磁介质练习题

极化电荷关于Z轴对称。 对 +d 的圆环：
(2R sin θ )(Rdθ ) dEz cosθ 2 4 0 R
Ez dEz P 3 0
P E 3 0
例2.2.2 半径 R 的介质球被均匀极化，极化强度为 P。试求介质球表面的分布和极化电荷在球心处的场。
q2
1 2
RB
1 2 q2 q RA RB 2C 4 0 RB RA
球形电容器两球面的半径分别为 R1、R2 ，带 电量分别为 +Q 和 Q .求：电容器能量。
解： 极间场强
能量密度
E
Q 4 0 r 2
1
Q
o
Q
1 Q2 2 we 0 E 2 32 2 0 r 4
铁环的平均直径为15cm，截面积为7cm2,在环上 均匀地密绕线圈500匝.当线圈中电流为0.6A,铁的相对磁导率为800 时,铁芯中的磁通量是多少?
补充题1.1
解
：
选择安培环路
c
H d l I
c
H 2 r H d NI
0 r NI B H d 0 r NI S BS d
V
R4
球形电容器两球面的半径分别为 R1、R2 ，带 电量分别为 +Q 和 Q， 极间充有电介质 ，求：电容器能量。
解： 极间场强
能量密度
1 Q E 4 r 2
Q
Q
1 2 Q2 we E 32 2 r 4 2
体元

2
o
R1
Q dr Q2 2 dWe wedV 4r dr 2 4 8r 2 32 r
W

0
R
1 1 2 2 0 E 4r dr 0 E 2 4r 2 dr 2 2 R
qr 4 R 3 0 E q 4 0 r 2
W球面 W球体
例： 计算球形电容器的能量 已知RA、RB、q 解：场强分布 E 取体积元
V
R4
S D dS q0
D E5 5
Q D5 4r 2
Q 4 0r 2
0
（2） 两极间电势差
U13 E dl E2dr E3dr
R

R2
1
R3 R1
Q
R2 R1
R3
2
Q 1 1 Q 1 1 41 R1 R2 4 2 R2 R3
解： D dS 4 r 2 D q S D q E D 2 0 r 4r r<R1： E1 0 q0 R1< r <R2： E2 40 r r 2 r >R2： E q0 3 40 r 2
r
r
R2
R1
r
方向：
er
介质内(R1<r<R2)：
解：在环内任取一点，过该点作一和环同心、半径为r 的圆形回路。
由对称性可知，回路上各点的磁感应强度的大小相 等，方向都沿切线。
H d l NI
NI H nI 2r
H 2r NI
B H 0 r H
例 半径为R1的无限长圆柱体（导体≈ 0 ）中通有均匀电流I，外 面有半径为R2的无限长同轴圆柱面，两者之间充满着磁导率为 的 均匀磁介质，在圆柱面上通有相反方向的电流I。试求空间各点的 磁场。 磁场、磁介质均是轴对称分布。
dV 4r 2dr
R2
Q
We V dWe
R2 R1
Q 2dr 2 8r
Q
R1
Q2 1 1 8 R1 R2
o
r
R2
dr
例 半径为R1的导体球带正电q0，被一外半径为R2， 内半径为R1 的均匀电介质同心球壳包围，相对介电常 数为r。求：空间各处的场强，介质内的极化强度和 介质表面的极化电荷面密度。
dW
因为
4 0 r
dq
4 3 q r 3
所以
代入
dW
q
dq 4r 3dr
4 2 R 4 3Q 2 W dW r dr 0 3 0 20 0 R
积分便得
4 0 r 4 2 4 r dr 3 0
dq
例8-8 均匀密绕的细螺绕环内充满均匀顺磁质，已知螺绕环中的传 导电流 I ，单位长度内匝数n，磁介质的相对磁导率为 r 。求环 内的磁场强度和磁感应强度。
q
2 0 R2
q
R1
q q 1 2 0 4 r dr 2 2 R2 4 0 r 8

2
r
E1
R2
E2
课 堂 讨 论
比较均匀带电球面和均匀带电球体所储存的能量。
q
0 E q 4 r 2 0
R
rR rR
q
R
rR rR
41r
dr R 2
Q
2
R3 R2
4 2r
dr
r 2 r1
Q
R1
I
R2
Q[ 2 R3 ( R2 R1 ) 1 R1 ( R3 R2 )] 41 2 R1 R2 R3
(3) 电容C
II III IV
R3
41 2 R1 R2 R3 Q C 2 R3 ( R2 R1 ) 1 R1 ( R3 R2 ) U13
( 1)q 0 P D 0 E 0 ( r 1)E r er 2 4r r 极化面电荷： P n ˆ
介质内表面(r =R1)处：
1 P r R
2 P rR
1
( r 1)q0 2 4r R1
q
q
R1
1 W W2 W1 0 E12 dV 2 2
R1
r
E1
R2
q2 1 1 q 1 0 4 r 2 dr 2 8 0 r R1 2 r 4 0 r
E2
q
1 ( 2) W2 0 E12dV 2 1 2 W W2 W1 0 E2 dV 2
dq 2R 2 sin d P2R 2 sin cos d
在球心处的场
dq P dE cos sin cos 2 d 2 4 0 R 2 0
P P 2 E dE 0 sin cos d 2 0 3 0
（1）两极板拉开前后的电容为： 解： 0S 0S C2 C1 2d d
电容器储存的电能为：
1 Q 2 Q 2d W1 2 C 2 0 S
外力所作的功为：
1 Q 2 Q 2 2d W2 2 C 2 0 S
Q 2d A W2 W1 2 0 S
（2）两极板间的相互吸引力：
代入数据
NI H d
4.4810 wb
4
例 一均匀电介质球（半径R）发生均匀极化，电极化强为 P
（1） 解：
， 求（1）极化电荷在中心产生的电场。（2）若该电介质球是放在 均匀的外电场 E0中，求电介质球内的场强。
P cos θ
dq dEz dE cosθ cosθ 2 4 0 R
体元
R1
dV 4r 2dr
Q2
R2
Q
o
Q2 dr dWe wedV 2 4 4 r 2 dr 32 0 r 8 0 r 2
Q
R1
We dWe
V
R2
R1
Q2 1 1 8 0 R1 R2
Q2 dr 8 0 r 2
r
ｅ的平行板
E E0 E 0 0
E0

P
0
E0 e E
E0 E 1 e
+ + + + + + +
+
+ +

两板间电势差
U Ed
d 0 (1 e )
充满电介质时的电容为
q S 0 (1 e ) S (1 e )C0 C U U d r 0 (1 e ) 0 则 r 1 e
A Q2 F d 2 0 S
例 真空中半径为r的导体球，外套同心导体球壳，半径R1、R2，内 球带电q，求下列两种情况下静电能的损失。（1）球与壳用导线相 连（2）壳接地. 1 1 2 2 (1) W1 0 E1 dV 0 E2 dV 解： q 2 2
1 2 W2 0 E2 dV 2
n
解：1) 球面上任一点 P n P cos 得 右半球面上
0
dS P

x
d P
左半球面上
0

x


2
处， 0； 0及 处， 最大。
2) 在球面上取环带 d dS =2πrdl = 2πRsinθRdθ
电介质内部场强减弱为外场的1/r 这一结论 并不普遍成立，但是场强减弱却是比较普遍的。
例1. 长直螺线管内充满均匀磁介质r 单位长度上的匝数为n，通有电 流I 。求管内的磁感应强度和磁 介质表面的面束缚电流密度。
解： 因管外磁场为零，取图示的回路 根据： L H dl I i
R2
dr
补充题
求它的静电能。
电荷Q均匀分布在半径为R的球体内。
解
：
设球体的电荷是从无穷远处（电势为零处）一点一点移来， 一层一层地从里到外逐渐分布而成， 当移来的电荷为q时，半径为r，（电荷密度不变）这时，球面上的电势是
V
q 4 0 r
再从无穷远处移来dq，放到半径为r的球面上，外力反抗q的电场力所要作的功为 Vdq，于是静电能的增量为 q
II区：作高斯球面
S D dS q0
Q D2 4r 2
Q
D2 4r Q
2
R1
I
4 0 r1r 2 Q III区：同理 E3 4 0 r 2r 2
IV区： V区：
E2
0 r1
D2

Q
r 2 r1
R2
II III IV
R3
E4 0
(导体内)
B
I
a
d
. . .
b
× × ×
ab H n ab I 则：H nI B o r H nI
又：M m H M m H ( r 1)nI
L
B
Fra Baidu bibliotekM ×
cn ˆ
ˆ i M n i ( r 1)nI
顺磁质 r 1，i || I 抗磁质 r 1, i I
10
球形电容器由半径为 R1 带电为 Q 的导 体球和与它同心的导体球壳构成，其间充有 r1、r2 两种介质. 求：(1)场强分布；(2) 两极间电势差；(3) 电容 C 。 解： (1) I区：E1=0 (导体内)
R2
r
r
R1
r
介质外表面(r =R2)处：
2
( r 1)q0 2 4r R2
1 4R 2 4R2 0
2 1 2
总极化电荷：
平行板空气（0）电容器，面积为S，间距为d， 用电源充 电使两极板带有电荷Q。断开电源后再把两极板的距离拉开到2d 求：（1）外力所作的功，（2）两极板间的相互吸引力。

E 沿x轴负方向,即
P E 3 0
由 又
E E0 E P e 0 E
得
3 E E0 r 2
P E E0 3 0
++ E’ + + E + E0 ++
靠近球的外部，上下合场强减弱；左右合场强增强。
例题2:试求板间充满介质的极化率为Χ 电容器介质中的场强E和电容C。 解：电介质内电场
解：（1）过圆柱体外圆柱面内一点作半径为r1 （R1<r1<R2)的圆为积分回路：l I H d I I H B H 2r1 2r1
q
RA
q
q 4 0 r
2
RB
r
dV 4r 2dr
1 1 q 2 dW wdV 0 E dV 0 ( )2 4r 2 dr 2 4 0 r 2 2
q2 1 1 能量 W dW ( ) dr 2 8 0 r 8 0 RA RB V RA