专题七解析几何专题复习

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高考数学二轮复习课件：专题七解析几何 7.3

全国求直线方程,
Ⅰ 证明角相等
抛物线、直线、斜率、垂抛物线直平分线
分类讨论思想,方程思想
全国
2018 Ⅱ
求直线方程, 求圆的方程
抛物线、直线、根与系数抛物线的关系、圆
方程思想
全国
Ⅲ
证明不等式成立,证明等式成立
椭圆、斜率、向量的模、向椭圆量相等
点差法,方程思想
-6-
1.椭圆、双曲线中a,b,c,e之间的关系
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举一反三，事半功倍。
2019/7/12
最新中小学教学课件
12
谢谢欣赏！
2019/7/12
最新中小学教学课件
13
方程思想
否有公共点判别
2016 全国
Ⅱ
求三角形面积,证明斜率的取值范围
椭圆、直线、
三角形面积、函数零点及
椭圆
存在性定理
方程思想,函数思想
全国证明平行,求
Ⅲ 轨迹方程
抛物线、直线、斜率、三抛物线角形面积
方程思想,解析法
-4-
年份卷别设问特点涉及知识点曲线模型解题思想方法
A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,弦的中点 M(x0,y0),则
��12 ��22
= =
2��1,两式相减得 2��2,
��12 − ��22=2p(x1-x2),
∴(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2),
四、听方法。

2023年高考数学二轮复习第二部分方法探究考点七解析几何

七解析几何『必记知识』1．直线方程的五种形式(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y 轴的直线)．(2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y 轴的直线)．(3)两点式：y−y1y2−y1＝x−x1x2−x1(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．(4)截距式：xa +yb＝1(a，b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)．2．直线的两种位置关系当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：(1)两直线平行l1∥l2⇔k1＝k2.(2)两直线垂直l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.3．三种距离公式(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离|AB|＝√(x2−x1)2+(y2−y1)2.(2)点到直线的距离d＝00√A2+B2(其中点P(x0，y0)，直线方程为Ax＋By＋C＝0)．(3)两平行线间的距离d＝21√A2+B2(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax ＋By＋C2＝0且C1≠C2)．4．圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．5．直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法．(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法．－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈Ry＝2px(p>0)y＝－2px(p>0)x＝2py(p>0)x＝－2py(p>0) x轴y轴(1)若双曲线的方程为x2a2−y2b2＝1(a>0，b>0)，则渐近线的方程为x2a2−y2b2＝0，即y＝±bax.(2)若渐近线的方程为y＝±ba x(a>0，b>0)，即xa±yb＝0，则双曲线的方程可设为x2a2−y2b2＝λ(λ≠0)．(3)若所求双曲线与双曲线x2a2−y2b2＝1(a>0，b>0)有公共渐近线，其方程可设为x2a2−y2b2＝λ(λ>0，焦点在x轴上；λ<0，焦点在y轴上)．10．抛物线焦点弦的相关结论设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为直线AB的倾斜角，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α.(3)1|FA|+1|FB|＝2p.(4)以弦AB为直径的圆与准线相切．【易错剖析】易错点1遗漏方程表示圆的充要条件【突破点】二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，在此条件下，再根据其他条件求解．易错点2解决截距问题忽略“0”的情形【突破点】解决直线在两坐标轴上的截距或截距具有某种倍数关系的问题时，需注意两点：(1)截距不是距离，直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.(2)明确直线方程的截距式不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线．因此解题时应该从截距是否为0进行分类讨论．易错点3 忽视斜率不存在的情况【突破点】 (1)在解决两直线平行的相关问题时，若利用l 1∥l 2⇔k 1＝k 2求解，忽略k 1，k 2不存在的情况，就会导致漏解．(2)对于解决两直线垂直的相关问题时，若利用l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1求解，要注意其前提条件是k 1与k 2必须同时存在．易错点4 忽略直线与圆锥曲线相交问题中的判别式【突破点】凡是涉及直线与圆锥曲线位置关系的问题，一定不能忘记对判别式的讨论．易错点5 忽视双曲线定义中的条件【突破点】双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a <|F 1F 2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．易错点6 忽视圆锥曲线定义中的焦点位置【突破点】椭圆的焦点位置由分母的大小确定，双曲线则是根据二次项系数的符号来确定的．解决此类问题时，一定要将方程化为曲线的标准形式．【易错快攻】易错快攻一遗漏直线的斜率不存在的情况[典例2] [2022·全国乙卷]已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A (0，－2)，B (32，－1)两点．(1)求E 的方程；(2)设过点P (1，－2)的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝TH⃗⃗⃗⃗⃗ .证明：直线HN 过定点．听课笔记：易错快攻二忽视双曲线定义中的限制条件[典例2] 点P 到曲线E 上所有点的距离的最小值称为点P 到曲线E 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到圆C 外的定点A 的距离相等的点P 的轨迹是( )A ．射线B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．双曲线听课笔记：七解析几何[典例1] 解析：(1)设椭圆E 的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )．将点A (0，－2)，B (32，－1)的坐标代入，得{4n =1，94m +n =1，解得{m =13，n =14. 所以椭圆E 的方程为x 23+y 24＝1.(2)证明：方法一设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由题意，知直线MN 与y 轴不垂直，设其方程为x －1＝t (y ＋2)．联立得方程组{x −1=t (y +2)，x 23+y 24=1. 消去x 并整理，得(4t 2＋3)y 2＋(16t 2＋8t )y ＋16t 2＋16t －8＝0，所以y 1＋y 2＝－16t 2+8t 4t 2+3，y 1y 2＝16t 2+16t−84t 2+3.设T (x 0，y 1)．由A ，B ，T 三点共线，得y 1+2x 0＝y 1+1x 0−32，得x 0＝32y 1＋3.设H (x ′，y ′)．由MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝TH⃗⃗⃗⃗⃗ ，得(32y 1＋3－x 1，0)＝(x ′－32y 1－3，y ′－y 1)，所以x ′＝3y 1＋6－x 1，y ′＝y 1，所以直线HN 的斜率k ＝y 2−y ′x2−x ′＝y 2−y 1x2+x 1−(3y 1+6)＝y 2−y 1t (y 1+y 2)−3y 1+4t−4，所以直线HN 的方程为y －y 2＝y 2−y 1t (y 1+y 2)−3y 1+4t−4·(x －x 2)．令x ＝0，得y ＝y 2−y 1t (y 1+y 2)−3y 1+4t−4·(－x 2)＋y 2＝(y 1−y 2)(ty 2+2t+1)t (y 1+y 2)−3y 1+4t−4＋y 2＝(2t−3)y 1y 2+(2t−5)(y 1+y 2)+6y 1t (y 1+y 2)−3y 1+4t−4＝(2t−3)·16t 2+16t−84t 2+3+(5−2t )·16t 2+8t4t 2+3+6y 1−t(16t 2+8t)4t 2+3−3y 1+4t−4＝－2.所以直线NH 过定点(0，－2)．方法二由A (0，－2)，B (32，－1)可得直线AB 的方程为y ＝23x －2. a ．若过点P (1，－2)的直线的斜率不存在，则其直线方程为x ＝1. 将直线方程x ＝1代入x 23+y 24＝1，可得N (1，2√63)，M (1，－2√63)．将y ＝－2√63代入y ＝23x －2，可得T (3－√6，－2√63)．由MT⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝TH ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得H (5－2√6，－2√63)．此时直线HN 的方程为y ＝(2＋2√63)(x －1)＋2√63，则直线HN 过定点(0，－2)．b ．若过点P (1，－2)的直线的斜率存在，设此直线方程为kx －y －(k ＋2)＝0，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立得方程组{kx −y −(k +2)=0，x 23+y 24=1. 消去y 并整理，得(3k 2＋4)x 2－6k (2＋k )x ＋3k (k ＋4)＝0. 所以{x 1+x 2=6k (2+k )3k 2+4，x 1x 2=3k (4+k )3k 2+4，则{y 1+y 2=−8(2+k )3k 2+4，y 1y 2=4(4+4k−2k 2)3k 2+4，且x 1y 2＋x 2y 1＝−24k3k 2+4.①联立得方程组{y =y 1，y =23x −2，可得T (3y 12＋3，y 1)．由MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝TH ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得H (3y 1＋6－x 1，y 1)．则直线HN 的方程为y －y 2＝y 1−y 23y1+6−x 1−x 2(x －x 2)．将点(0，－2)的坐标代入并整理，得2(x 1＋x 2)－6(y 1＋y 2)＋x 1y 2＋x 2y 1－3y 1y 2－12＝0.② 将①代入②，得24k ＋12k 2＋96＋48k －24k －48－48k ＋24k 2－36k 2－48＝0，显然成立．综上可得，直线HN 过定点(0，－2)．[典例2] 解析：设圆C 的半径为r ，依据题意可知，|PC |＝|P A |＋r ，即|PC |－|P A |＝r ，且r<|AC|，故所求点P的轨迹为以A，C为焦点的双曲线靠近A点的一支，故选C.答案：C。

【导与练】高考数学二轮复习高校信息化课堂专题七解析几何第3讲圆锥曲线中的定点、定值与最值问题文

第3讲圆锥曲线中的定点、定值与最值问题基础把关1.设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是( C )(A)(0,2) (B)[0,2](C)(2,+∞) (D)[2,+∞)解析:设圆的半径为r,因为F(0,2)是圆心,抛物线C的准线方程为y=-2.圆与准线相切时半径为4.若圆与准线相交则r>4.又因为点M(x0,y0)为抛物线x2=8y上一点,所以有=8y0.又点M(x0,y0)在圆x2+(y-2)2=r2上.所以+(y0-2)2=r2>16,所以8y0+(y0-2)2>16,即有+4y0-12>0,解得y0>2或y0<-6(舍),∴y0>2.故选C.2.椭圆+=1上有两个动点P、Q,E(3,0),EP⊥EQ,则·的最小值为( A )(A)6 (B)3-(C)9 (D)12-6解析:设P(x0,y0),则+=1,=(x0-3,y0),又=-,∴·=·(-)=-·==(x0-3)2+=(x0-3)2+9-=-6x0+18,=(x0-4)2+6,又x0∈[-6,6],∴当x0=4时,·取到最小值6.3.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为( C )(A)2 (B)3 (C)6 (D)8解析:设P(x,y),由+=1,得y2=3-x2.∵O(0,0),F(-1,0),∴·=(x,y)·(x+1,y)=x2+x+y2=x2+x+3=(x+2)2+2.∵x∈[-2,2],∴当x=2时,·有最大值6.4.(2014浙江杭州模拟)设双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交双曲线左支于A、B两点,则|BF2|+|AF2|的最小值为( B )(A)(B)11 (C)12 (D)16解析:由-=1知a2=4,b2=3,∴c2=7,c=,∴F1(-,0),F2(,0),又点A、B在双曲线左支上,∴|AF2|-|AF1|=4,|BF2|-|BF1|=4,∴|AF2|=4+|AF1|,|BF2|=4+|BF1|,∴|AF2|+|BF2|=8+|AF1|+|BF1|.要求|AF2|+|BF2|的最小值,只要求|AF1|+|BF1|的最小值即可,而|AF1|+|BF1|最小为2×=3.∴(|AF2|+|BF2|)min=8+3=11.故选B.5.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( A )(A)2 (B)3 (C)(D)解析:如图所示,动点P到l2:x=-1的距离可转化为点P到点F的距离.由图可知,距离和的最小值即F到直线l1的距离d==2.故选A.6.(2014河南郑州高三模拟)已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB中点到x轴的最短距离为( D )(A)(B)(C)1 (D)2解析:易知,AB的斜率存在,设AB方程为y=kx+b.由得x2-4kx-4b=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个根,∴x1+x2=4k,x1·x2=-4b,又|AB|=6,∴=6,化简得b=-k2,设AB中点为M(x0,y0),则y0===+b=2k2+-k2=k2+=(k2+1)+-1≥2×-1=2.当且仅当k2+1=,即k2=时,y0取到最小值2.故选D.7.(2014浙江调研)若点P在曲线C1:-=1上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是.解析:依题意得,点F1(-5,0),F2(5,0)分别为双曲线C1的左右焦点,因此有|PQ|-|PR|≤|(|PF2|+1)-(|PF1|-1)|≤||PF2|-|PF1||+2=2×4+2=10,故|PQ|-|PR|的最大值为10.答案:108.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,椭圆上存在一点P,使∠F1PF2=60°,则椭圆离心率的取值范围是.解析:法一设|PF1|=m,|PF2|=n.在△PF1F2中,由余弦定理可知,4c2=m2+n2-2mncos 60°,∵m+n=2a,∴m2+n2=(m+n)2-2mn=4a2-2mn,∴4c2=4a2-3mn,即3mn=4a2-4c2.又mn≤（）2=a2(当且仅当m=n时取等号),∴4a2-4c2≤3a2,∴≥,即e≥,又0<e<1,∴e的取值范围是[,1].法二如图所示,设O是椭圆的中心,A是椭圆短轴上的一个顶点,由于∠F1PF2=60°,则只需满足60°≤∠F1AF2即可,又△F1AF2是等腰三角形,且|AF1|=|AF2|,所以0°<∠F1F2A≤60°,所以≤cos∠F1F2A<1,又e=cos∠F1F2A,所以e的取值范围是[,1].答案:[,1]9.若椭圆+=1(a>b>0)上存在点P,使得·=0,则椭圆离心率的取值范围是.解析:因为·=0,所以∠F1PF2=90°.则以原点为圆心,c为半径的圆与椭圆有公共点,则c≥b,即a2-c2≤c2,得e2≥,即e≥,又在椭圆中0<e<1,故椭圆离心率的取值范围是[,1].答案:[,1]10.若抛物线y2=4x的焦点为F,过F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,动点P在曲线y2=-4x(y≥0)上,则△PAB的面积的最小值为.解析:由题意得F(1,0),直线AB的方程为y=x-1.由得x2-6x+1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,∴|AB|=x1+x2+p=8.设P（-,y0）(y0≥0),则点P到直线AB的距离d=,∴△PAB的面积S=|AB|·d==≥2,即△PAB的面积的最小值是2.答案:211.(2014北京海淀高三模拟)已知点F1、F2分别是椭圆x2+2y2=2的左、右焦点,点P是该椭圆上的一个动点,则|+|的最小值是.解析:设P(x,y),则x2+2y2=2,由椭圆方程+y2=1可知,a=,b=1,c=1,∴F1(-1,0),F2(1,0).∴=(-1-x,-y),=(1-x,-y),∴+=(-2x,-2y).∴|+|==2=2=2.∵y2≤1,∴|+|的最小值是2.答案:212.(2012高考福建卷)如图,椭圆E:+=1(a>b>0)的左焦点为F1,右焦点为F2,离心率e=.过F1的直线交椭圆于A、B两点,且△ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程;(2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.解:(1)因为|AB|+|AF2|+|BF2|=8,即|AF1|+|F1B|+|AF2|+|BF2|=8,又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a,所以4a=8,a=2.又因为e=,即=,所以c=1,所以b==.故椭圆E的方程是+=1.(2)法一由得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,y0),所以m≠0且Δ=0,即64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化简得4k2-m2+3=0.(*)此时x0=-=-,y0=kx0+m=,所以P（-,）.由得Q(4,4k+m).假设平面内存在定点M满足条件,由图形对称性知,点M必在x轴上.设M(x1,0),则·=0对满足(*)式的m,k恒成立.因为=（--x1,）,=(4-x1,4k+m),则由·=0,得-+-4x1+++3=0,整理得(4x1-4)+-4x1+3=0.(**)由于(**)式对满足(*)式的m,k恒成立,所以解得x1=1.故存在定点M(1,0),使得以PQ为直径的圆恒过点M.法二由得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,y0),所以m≠0且Δ=0,即64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化简得4k2-m2+3=0.(*)此时x0=-=-,y0=kx0+m=,所以P（-,）.由得Q(4,4k+m).假设平面内存在定点M满足条件,由图形对称性知,点M必在x轴上.取k=0,m=,此时P(0,),Q(4,),以PQ为直径的圆为(x-2)2+(y-)2=4,交x轴于点M1(1,0),M2(3,0);取k=-,m=2,此时P（1,）,Q(4,0),以PQ为直径的圆为（x-）2+（y-）2=,交x轴于点M3(1,0),M4(4,0).所以若符合条件的点M存在,则M的坐标必为(1,0).以下证明M(1,0)就是满足条件的点:因为M的坐标为(1,0),所以=（--1,）,=(3,4k+m),从而·=--3++3=0,故恒有⊥,即存在定点M(1,0),使得以PQ为直径的圆恒过点M.能力提升13.已知F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为( B )(A)18 (B)9 (C)21 (D)3解析:如图所示,该双曲线的右焦点为E,则E(4,0),由双曲线的定义及标准方程得|PF|-|PE|=4,则|PF|+|PA|=4+|PE|+|PA|,由图可得,当A,P,E三点共线时,(|PE|+|PA|)min=|AE|=5,从而|PF|+|PA|的最小值为9.故选B.14.设点P在双曲线-=1(a>0,b>0)的右支上,双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,若|PF1|=4|PF2|,则双曲线离心率的取值范围是.解析:由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=4|PF2|,所以4|PF2|-|PF2|=2a,所以|PF2|=a,|PF1|=a,所以整理得a≥c,所以≤,即e≤,又e>1,所以1<e≤.答案:（1,]15.(2014高考湖南卷)如图,O为坐标原点,双曲线C1:-=1(a1>0,b1>0)和椭圆C2:+=1(a2>b2>0)均过点P（,1）,且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求C1,C2的方程;(2)是否存在直线l,使得l与C1交于A,B两点,与C2只有一个公共点,且|+|=||?证明你的结论.解:(1)设C2的焦距为2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2.从而a1=1,c2=1.因为点P（,1）在双曲线x2-=1上,所以（）2-=1.故=3.由椭圆的定义知2a2=+=2.于是a2=,=-=2.故C1,C2的方程分别为x2-=1,+=1.(2)不存在符合题设条件的直线.①若直线l垂直于x轴,因为l与C2只有一个公共点,所以直线l的方程为x=或x=-.当x=时,易知A(,),B(,-),所以|+|=2,||=2.此时,|+|≠||.当x=-时,同理可知,|+|≠||.②若直线l不垂直于x轴,设l的方程为y=kx+m.由得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.当l与C1相交于A,B两点时,设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1,x2是上述方程的两个实根,从而x1+x2=,x1x2=.于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=.由得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.因为直线l与C2只有一个公共点,所以上述方程的判别式Δ=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.化简,得m2=2k2+3.因此·=x1x2+y1y2=+=≠0,于是++2·≠+-2·,即|+|2≠|-|2.故|+|≠||.综合①,②可知,不存在符合题设条件的直线.16.(2012高考福建卷)如图,等边三角形OAB的边长为8,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p>0)上.(1)求抛物线E的方程;(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y 轴上某定点.(1)解:由题意知|OB|=8,∠BOy=30°,设B(x,y),则x=|OB|sin 30°=4,y=|OB|cos 30°=12,∵B(4,12)在x2=2py上,∴(4)2=2×12p解得p=2,∴抛物线E的方程为x2=4y.(2)证明:由(1)知y=x2,y'=x,设P(x0,y0),则x0≠0,y0=.l的方程为:y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-,由得∴Q（,-1）.设M(0,y1),令·=0对满足y0=(x0≠0)的x0,y0恒成立, 由于=(x0,y0-y1),=（,-1-y1）,由·=0得-y0-y0y1+y1+=0,即(+y1-2)+(1-y1)y0=0对满足y0=(x0≠0)的y0恒成立, ∴,∴y1=1,∴以PQ为直径的圆经过y轴上的定点(0,1).。

高考数学二轮复习专题七解析几何

高考数学二轮复习专题七解析几何【重点知识回顾】解析几何是高中数学的重要内容之一，各地区在这一部分的出题情况较为相似，一般两道小题一道大题，分值约占15%，即22分左右.具体分配为：直线和圆以及圆锥曲线的基础知识两个容易或中档小题，机动灵活，考查双基；解答题难度设置在中等或以上，一般都有较高的区分度，主要考查解析几何的本质——“几何图形代数化与代数结果几何化”以及分析问题解决问题的能力.解析几何的主要内容是高二中的直线与方程，圆与方程，圆锥曲线与方程考查的重点：直线的倾斜角与斜率、点到直线的距离、两条直线平行与垂直关系的判定、直线和圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系；圆锥曲线的定义、标准方程、简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、曲线与方程、圆锥曲线的简单应用等，其中以直线与圆锥曲线的位置关系最为重要。

圆锥曲线方程这章扩展开的内容比较多，比较繁杂，对学生来说不一定要把所有的结论一一记住，关键是掌握圆锥曲线的概念实质以及直线和圆锥曲线的关系.因此，在复习过程中要注意下述几个问题：（1）在解答有关圆锥曲线问题时，首先要考虑圆锥曲线焦点的位置，对于抛物线还应同时注意开口方向，这是减少或避免错误的一个关键，同时勿忘用定义解题.（2）在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时，可以利用方程组消元后得到二次方程，用判别式进行判.但对直线与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运算并准确判断特殊情况，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线，通过图形求解.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.（3）求圆锥曲线方程通常使用待定系数法，若能据条件发现符合圆锥曲线定义时，则用定义求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题，也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程. 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置；定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m ＞0,n ＞0)；定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.（4）在解与焦点三角形（椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形）有关的命题时，一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义.（5）要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用.（6）求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一，它是各种知识的综合运用，具有较大的灵活性，求动点轨迹方程的实质是将“曲线”化成“方程”，将“形”化成“数”，使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质. 求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等.解题时，注意求轨迹的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围.【典型例题】1.直线的基本问题：直线的方程几种形式、直线的斜率、两条直线平行与垂直的条件、两直线交点、点到直线的距离。

解析几何知识点复习

1、直线的倾斜角是直线向上方向与x 轴正方向所成的角，当直线是x 轴或与x 轴平行时，直线的倾斜角是0°，直线倾斜角的范围是),0[π.当直线与x 轴不垂直时，倾斜角的正切值称为直线的斜率. ［举例］已知直线1l 的斜率是33，直线2l 过坐标原点且倾斜角是1l 倾斜角的两倍，求直线2l 的方程.2、若直线的倾斜角为α，直线的斜率为k ，则α与k 的关系是：tan ,[0,)(,)222k ππααππα⎧∈⎪⎪=⎨⎪⎪⎩ 不存在，＝； arctan ,0arctan ,0k k k k απ≥⎧⎨+<⎩＝. ［举例］已知直线l 的方程为)0(,0≠=++ab c by ax 且l 不经过第二象限，求直线l 的倾斜角的大小（用含,a b 的反三角形式表示）*截距式1=+ba ，在x 轴y 轴上的截距分别为b a ,与坐标轴不平行且不过坐标原点.这种形式虽不是最主要的，但特别注意的是当直线过坐标原点（不是坐标轴）时，直线在两坐标轴上的截距也相等，直线在两坐标轴上的截距相等，则此直线的斜率为－1，或此直线过原点.［举例］与圆1)2()1(22=-+-y x 相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有――（）A 、2条；B 、3条；C 、4条；D 、5条.4、求直线的方程时要特别注意直线的斜率是否存在的情况，不确定时要注意分类讨论，漏解肯定是斜率不存在的情况.要明确解析几何是“用代数方法解决几何问题”的道理，所以做解析几何问题不要“忘形”. ［举例］过点)3,2(P 与坐标原点距离为2的直线方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.5、两直线位置关系讨论的主要依据是两直线的斜率，要注意斜率不存在时的情况.掌握点到直线的距离公式、两平行直线之间的距离公式、两直线的夹角公式.由一般式方程判断两直线之间的关系：直线1l ：11111,(,0B A C y B x A =++不全为0）、2l ：0222=++C y B x A ，（22,B A 不全为0）.则21//l l 的充要条件是01221=-B A B A 且1221C A C A -与-21C B 12C B 至少有一个不为零；21l l ⊥的充要条件是02121=+B B A A ；1l 与2l 相交的充要条件是01221≠-B A B A .［举例1］直线21,l l 斜率相等是21//l l 的――――――――――――――――――（） A 、充分不必要条件；B 、必要不充分条件；C 、充要条件；D 、既不充分又不必要条件.［举例2］直线l 过点)3,2(P 与以)3,1(),2,3(--B A 为端点的线段AB 有公共点，则直线l 倾斜角的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.6、点A 、B 关于直线l 对称即l 是线段AB 的垂直平分线，垂直是斜率关系，平分说明AB 的中点在l 上.特别注意：当对称轴所在直线的斜率为1或－1时，对称点的坐标可用代入的方法求得.即点),(00y x 关于直线0=++c y x 的对称点是),(00c x c y ----；点),(00y x 关于直线0=+-c y x 的对称点是),(00c x c y +-.［举例1］将一张画有直角坐标系的图纸折叠使点)0,2(A 与点(0,6)B 重合，若点)0,3(C 与点D 重合，则点D 的坐标为＿＿＿＿＿；［举例2］抛物线C 1：x y 22=关于直线02=+-y x 对称的抛物线为C 2，则C 2的焦点坐标为＿＿＿＿＿＿.7、直线与圆的位置关系的判断主要是利用点（圆心）到直线的距离来判断.设圆C 的半径是r ，圆心到直线L 的距离是d ，当r d >时，直线L 与圆C 相离；当r d =时，直线L 与圆C 相切；当r d <时，直线L 与圆C 相交.求直线被圆所截的弦长可用圆半径、弦心距、弦长一半组成直角三角形来求解. ［举例1］已知点),(b a 是圆222r y x =+外的一点，则直线2r by ax =+与圆的位置关系是［举例2］若圆O ：222r y x =+上有且只有两点到直线01543:=-+y x l 的距离为2，则圆的半径r 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.8、确定圆的方程可以利用圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，即确定圆心坐标与半径；也可以利用圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x ，即确定系数D 、E 、F.要注意的是方程022=++++F Ey Dx y x 表示圆的充要条件是0422>-+F E D .确定一个圆的方程需要三个互相独立的条件（因为标准方程与一般方程中都三个待定的系数）.［举例1］二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是＿＿＿＿＿；［举例2］圆C 被y 轴截得的弦长是2，被x 轴分成的两段弧长之比为3:1，求圆心C 的轨迹方程.9、掌握圆的基本特征：圆上任意两点的垂直平分线是圆的直径所在的直线；直线平分圆的充要条件是此直线一定过该圆的圆心；与两定点连线所成角为直角的动点的轨迹是以定线段为直径的圆（或圆弧）等. ［举例1］直线l 过定点)0,4(M 与圆422=+y x 交于A 、B 两点，则弦AB 中点N 的轨迹方程为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；［举例2］直线l 过定点)0,4(M 与圆422=+y x 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，则△AOB 面积的最大值为＿＿＿＿＿＿＿；［举例3］已知A 是圆064222=-+-+y ax y x 上任意一点，点A 关于直线012=++y x 的对称点也在圆上，那么实数a 的值为＿＿＿＿＿.10、两圆之间的位置关系的判断主要是利用两圆的半径的差或和与两圆的圆心距之间的大小关系.设圆A 的半径为1r ，圆B 的半径为2r （不妨设21r r >），则有：（1）21||r r AB +>，两圆外离；（2）21||r r AB +=，则两圆外切；（3）2121||r r AB r r +<<-，则两圆相交；（4）21||r r AB -=，则两圆内切；（5）21||r r AB -<，则两圆内含.关注：两圆的位置关系也可以由两圆的公切线的条数上来分.［举例1］已知动圆C 与定圆M ：1)2(22=+-y x 相切，且与y 轴相切，求圆心C 的轨迹方程；［举例2］已知)3,0(M ，一动圆I 过点M 与圆N ：16)3(22=++y x 内切. （1）求动圆圆心I 的轨迹C 的方程；（2）经过点(2,0)Q 作直线l 交曲线C 于A 、B 两点，设+=，当四边形OAPB 的面积最大时，求直线l 的方程. 11、椭圆的定义中要注意隐含的条件：定值大于两定点之间的距离.掌握椭圆基本量之间的关系，分清长轴、短轴、焦距、半长轴、半短轴、半焦距.椭圆最基本的几何性质是定义的逆用：“椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴的长”.［举例1］已知复数z 满足4|2||2|=++-i z i z ，则z 对应点的轨迹是＿＿＿＿＿＿＿；［举例2］设P 是以21,F F 为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的一点，若点P 满足：121210,tan 2PF PF PF F ⋅=∠= ，则椭圆的焦距与长轴的比值为―――――――――（）A 、21；B 、32；C 、31；D 、35.12、椭圆中一些常见的结论要记住，这对解决选择填空等客观性问题时比较方便，如：椭圆的基本量c b a ,,蕴含在焦点、中心、短轴端点所构成的直角三角形中；椭圆的短轴的端点对两焦点的张角是椭圆上点与两焦点张角（与两焦点连线夹角）的最大值；短半轴、长半轴的几何意义是椭圆上点与中心距离的最小值与最大值；焦点到椭圆上点的距离的最大值与最小值分别是c a +与c a -；过椭圆焦点的弦长最大值是长轴长，最小值是垂直于长轴所在直线的弦（有时称为通径，其长为ab 22）.［举例1］一直线l 过椭圆12422=+y x 的左焦点，被椭圆截得的弦长为2，则直线l 的方程为＿＿＿＿＿；［举例2］椭圆13422=+y x 上有2012个不同的点122012,,,P P P ，椭圆的右焦点为F ，数列{||}(1,2,3,,201n FP n = 是公差为d 的等差数列，则d 的取值范围是＿＿＿＿＿.13、椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上任意一点P 与两焦点21,F F 构成的三角形可称为椭圆的焦点三角形.焦点三角形的周长为定值)22(c a +，利用解三角形的方法可以得出：当21PF F ∠＝θ时，此三角形的面积为2tan2b θ（引起注意的是此结论的推导过程要掌握）.［举例］已知点)0,2(),0,2(B A -，点C 在直线1=y 上满足BC AC ⊥，则以A 、B 为焦点过点C 的椭圆方程为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.14、双曲线的定义中的隐含条件是“两焦点之间的距离大于定值（实轴长）”，双曲线基本量之间的关系要与椭圆基本量的关系区分开来，从定义上来说椭圆与双曲线的定义是一字之差，方程是一符号之差，但两者之间的几何性质完全不同.［举例］一双曲线C 以椭圆12422=+x x 的焦点为顶点，长轴顶点为焦点，则此双曲线的方程为＿＿＿＿.15、渐近线是双曲线特有的几何性质，要特别注意双曲线的渐近线方程，理解“渐近”的意义.双曲线12222=-b y a x 的渐近线的方程为02222=-b y a x ，与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线可以设成λ=-2222by a x （其中0≠λ是待定的系数），双曲线的焦点到双曲线的渐近线的距离是虚半轴长b . ［举例1］一双曲线与1322=-y x 有共同渐近线且与椭圆1322=+y x 有共同焦点，则此双曲线的方程为＿＿＿＿＿＿＿＿；［举例2］若关于x 的方程)2(12+=-x k x 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是＿＿＿.16、记住双曲线中常见的结论：（1）过双曲线焦点的直线被双曲线同支截得的弦长的最小值是通径（垂直于实轴的弦长），被两支截得的弦长的最小值是实轴的长；（2）双曲线焦点到同侧一支上的点的距离最小值是a c -，到异侧一支上点的距离最小值是a c +；（3）双曲线12222=-b y a x 的焦点为21,F F ，P 是双曲线上的一点，若θ=∠21PF F ，则△21PF F 的面积为22b cot θ（仿椭圆焦点三角形面积推导）.［举例1］已知双曲线的方程为116922=-y x ，P 是双曲线上的一点，F 1、F 2分别是它的两个焦点，若7||1=PF ，则=||2PF ＿＿＿＿＿＿；［举例2］椭圆12622=+y x 和双曲线221x y a -=的公共焦点为21,F F ，P 是它们的一个公共点，则=∠21cos PF F ＿＿＿＿＿；［举例3］双曲线)1(122>=-n y nx 的两焦点为P F F ,,21是此双曲线上的一点，且满足||||21PF PF +＝22+n ，则△21F PF 的面积为＿＿＿＿＿＿＿＿.17、抛物线是高考命题中出现频率最高的圆锥曲线.仅从标准方程上，抛物线就有四种不同的形式，要注意开口方向与标准方程的关系.不要将抛物线的标准方程与二次函数的表达式相混淆. ［举例］抛物线24x y =的焦点坐标是＿＿＿＿＿；准线方程是＿＿＿＿＿.18、记住抛物线的常见性质：（1）抛物线上任意一点到焦点距离等于它到准线的距离；（2）过抛物线的焦点与顶点的直线是抛物线的对称轴；（3）顶点、焦点、准线之间的关系；（4）过焦点与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线)0(22>=p px y 的通径长为p 2；（5）通径是过抛物线焦点的弦中长度最小的一条.［举例1］已知抛物线的焦点为)1,1(F ，对称轴为x y =，且过M （3,2），则此抛物线的准线方程为＿＿；［举例2］直线l 过抛物线y x 42=的焦点与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 两点到x 轴的距离之和等于3，则这样的直线l 有―――――――――――――――――（）A 、1条；B 、2条；C 、3条；D 、不存在.19、过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的弦称为抛物线的焦点弦.以抛物线)0(22>=p px y 为例，焦点弦有下列常用性质：设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，),(),,(2211y x B y x A 是抛物线上的两点.（1）A 、B 、F 三点共线的充分必要条件是)4(221221p x x p y y =-=；（2）p x x AB ++=21||；（3）若AB 过焦点，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切；（4）AB 过焦点，则⋅为定值；（5）AB 过焦点，211=+［举例1］直线l 过抛物线的焦点与抛物线交于A 、B 两点，O 是抛物线的顶点，则△ABO 的形状是――――――――――――――――――――――――――――――――（）A 、直角三角形；B 、锐角三角形；C 、钝角三角形；D 、不确定与抛物线的开口大小有关.[举例2]求证：过抛物线)0(22>=p px y 焦点的所有弦长的最小值是p 2.20、“点差法”是解决直线与圆锥曲线位置关系中与弦的中点有关问题的常用方法.“点”是指弦端点、弦中点；“差”是指将弦端点坐标代入曲线方程作差.由点差法可以利用弦中点的坐标表示出弦所在直线的斜率.［举例］已知点M 是椭圆12222=+by a x 的一条不垂直于对称轴的弦AB 的中点，O 是坐标原点，设OM 、AB 的斜率分别为21,k k ，则21k k ⋅＝―――――――――――――（）A 、22b a ；B 、22a b ；C 、22a b -；D 、22ba -.21、当直线过x 轴上的定点)0,(a A 时，若直线不是x 轴，则此直线方程可以设成a my x +=.这样可以避免讨论直线斜率是否存在.［举例］设直线l 过椭圆1422=+y x 的右焦点，与椭圆相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，当△OAB 的面积最大时，求直线l 的方程.22、求动点的轨迹方程要能充分地将“动”与“定”有机的联系起来，以“定”制“动”.也可以先由动点定轨迹后方程.常见动点的轨迹要熟记.［举例1］设点P 为双曲线1422=-y x 上的动点，F 是它的左焦点，M 是线段PF 的中点，则点M 的轨迹方程是＿＿＿＿＿；［举例2］已知椭圆的焦点是21,F F ，P 是椭圆上的一个动点.如果延长P F 1到Q ，使得||||2PF PQ =，那么动点Q 的轨迹是―――――――――――――――――――（）A 、圆；B 、椭圆；C 、双曲线的一支；D 、抛物线.23、直线与圆锥曲线之间的位置关系的讨论主要是转化为方程根的个数的讨论，联立直线与圆锥曲线方程得方程组，消去其中一个量得到关于另一个变量的一元二次方程，利用根的判别式进行讨论，但要注意二方面：一是直线的斜率是否存在，二是所得方程是否为一元二次方程.直线与非封闭曲线（双曲线、抛物［举例］已知直线l 过点)1,1(M ，双曲线C ：1322=-y x .（1）若直线l 与双曲线有且仅有一个公共点，求直线l 的方程；（2）若直线与双曲线的右支有两个不同的交点，求直线l 斜率的取值范围；（3）是否存在直线l 使其与双曲线的有两个不同的交点A 、B ，且以AB 为直径的圆过坐标原点？若存在求出此直线的斜率，不存在说明理由.24、运用平面向量综合知识，探求动点轨迹方程，还可再进一步探求曲线的性质。

二轮专题复习第7讲解析几何(学生版)

2023年高考数学二轮复习专题解析几何1.直线的倾斜角与斜率的关系（1）倾斜角α的取值范围： .倾斜角为α(α≠90°)的直线的斜率k ＝，当倾斜角为=α90°的直线斜率．当∈α 时，k >0且k 随倾斜角α的增大而增大．当∈α 时时，k <0且k 随倾斜角α的增大而增大．（1）两点P 1(x 1，y 1)，P (x 2，y 2)间的距离：|P 1P 2|＝ . （2）点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝ . (3)两条平行线间的距离：两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝ . 二．圆的方程 1.圆的方程形式：（1）标准方程：，圆心坐标为，半径为 .（2）一般方程： ( )，圆心坐标为，半径r ＝ . 2.点与圆的位置关系（1）几何法：利用点到圆心的距离d 与半径r 的关系判断：d >r ⇔点在圆外，d ＝r ⇔点在圆上；d <r ⇔点在圆内．（2）代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r 2(或0)作比较，大于r2(或0)时，点在圆外；等于r2(或0)时，点在圆上；小于r2(或0)时，点在圆内．3.直线与圆的位置关系直线l ：Ax＋By ＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系如下表.位置关系几何法：根据d＝与r的大小关系代数法：联立消元得一元二次方程，根据判别式Δ的符号相交d<r Δ>0相切d＝r Δ＝0相离d>r Δ<0 4.圆与圆的位置关系表现形式位置关系几何表现：圆心距d与r1、r2的关系代数表现：两圆方程联立组成的方程组的解的情况相离d>无解外切d＝一组实数解相交<d<两组不同实数解内切d＝(r1≠r2)一组实数解内含≤d<(r1≠r2)无解三．椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质椭圆双曲线抛物线定义在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫．||P F1|＋|P F2|＝2a(2a>|F1F2|=2c)在平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离之差的绝对值为常数2a(0＜2a＜2c)，则点P的轨迹叫．||P F1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)在平面内定点F和定直线l，（点F直线l上），P到l距离为d，|PF|＝d标准方程焦点在x轴上焦点在x轴上焦点在x轴正半轴上图象几何性质范围|x|≤，|y|≤|x|≥，y∈R x≥，y∈R 顶点，对称性关于、和对称关于对称例1：(1)经过两点A (4，2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝(2)直线x sin α－y ＋1＝0的倾斜角的变化范围是 (3)经过点P (3,2)且在两坐标轴上的截距相等；(4)经过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍．【变式训练1】(1)若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，且α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是________．(2)直线l 过点M (－1,2)且与以点P (－2，－3)、Q (4,0)为端点的线段恒相交，则l 的斜率范围是（3）△ABC 的三个顶点为A (－3，0)，B (2，1)，C (－2，3)，求： ①BC 所在直线的方程；②BC 边上中线AD 所在直线的方程；③BC 边的垂直平分线DE 所在直线的方程．考向2：两条直线的位置关系及距离公式例2：（1）若直线l 1：mx －y －2＝0与直线l 2：(2－m )x －y ＋1＝0互相平行，则实数m 的值为（2）已知直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝ (3)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．(4)若两平行直线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________．【变式训练2】 (1)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的条件。

高考专题复习—解析几何的题型与方法(精髓版)

2015届高三数学题型与方法专题七：解析几何1【基础知识梳理】班级：姓名：［例1］已知直线1l 的斜率是33，直线2l 过坐标原点且倾斜角是1l 倾斜角的两倍，则直线2l 的方程为＿＿＿x y 3=.［例2］已知直线l 的方程为)0(,0≠=++ab c by ax 且l 不经过第二象限，则直线l 的倾斜角大小为（ B ）A 、arctana b ； B 、arctan(-a b )； C 、p +arctan a b ； D 、p -arctan a b. ［例3］与圆1)2()1(22=-+-y x 相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有――（ B ）A 、2条；B 、3条；C 、4条；D 、5条. ［例4］过点)3,2(P 与坐标原点距离为2的直线方程是＿＿＿026125=+-y x 与2=x.［例5］直线21,l l 斜率相等是21//l l 的――――――――――――――――――（ D ） A 、充分不必要条件；B 、必要不充分条件；C 、充要条件；D 、既不充分又不必要条件.［例6］直线l 过点)3,2(P 与以)3,1(),2,3(--B A 为端点的线段AB 有公共点，则直线l 倾斜角的取值范围是＿＿＿＿＿＿.]43,2[πarctg . ［例7］将一张画有直角坐标系的图纸折叠使点)0,2(A 与点(0,6)B 重合，若点)0,3(C 与点D 重合，则点D 的坐标为＿；)528,51(D . ［例8］抛物线C 1：x y 22=关于直线02=+-y x 对称的抛物线为C 2，则C 2的焦点坐标为＿＿＿＿.)25,2(-. ［例9］已知点),(b a 是圆222r yx =+外的一点，则直线2r by ax =+与圆的位置关系是（ C ）A 、相离；B 、相切；C 、相交且不过圆心；D 、相交且过圆心. ［例10］若圆O ：222r y x =+上有且只有两点到直线01543:=-+y x l 的距离为2，则圆的半径r 的取值范围是＿＿＿＿.51<<r.［例11］二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是＿＿＿＿＿；04,0,022>-+=≠=AF E D B C A .［例12］已知圆C 被y 轴截得的弦长是2，被x 轴分成的两段弧长之比为3:1，求圆心C 的轨迹方程.1222=-x y . ［例13］直线l 过定点)0,4(M 与圆422=+yx 交于A 、B 两点，则弦AB 中点N 的轨迹方程为＿＿＿＿＿；4)2(22=+-y x （)10<≤x .［例14］直线l 过定点)0,4(M 与圆422=+y x 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，则△AOB 面积的最大值为＿＿＿＿＿＿＿；2.［例15］已知A 是圆064222=-+-+y ax y x 上任意一点，点A 关于直线012=++y x 的对称点也在圆上，那么实数a 的值为＿＿＿3＿＿.［例16］已知动圆C 与定圆M ：1)2(22=+-y x 相切，且与y 轴相切，则圆心C 的轨迹方程是＿＿；)21(62-=x y 与232()2y x =-.［例17］已知)3,0(M ，一动圆I 过点M 与圆N ：16)3(22=++y x 内切.（1）求动圆圆心I 的轨迹C 的方程；（2）经过点(2,0)Q 作直线l 交曲线C 于A 、B 两点，设+=，当四边形OAPB 的面积最大时，求直线l 的方程.（1）1422=+y x . （2）由OB OA OP +=知，四边形OAPB 是平行四边形.要使得四边形OAPB 面积最大，则△OAB 的面积最大，注意变化中的定值条件.△OAB 的面积是△AOQ 的面积与△BOQ 的面积之差.设A ),(),,(2211y x B y x ，则12||||||AOB S y y ∆=-.可在联立方程组时，消去变量x ，保留y .设直线l 的方程为2x my =+，由22221(41)1612042y x m y my x my ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩.由△=22(16)412(41)0m m -⨯⨯+>，得2430m ->. 由韦达定理得：1212221612,4141m y y y y m m +=-=++知021>y y .则12||||||AOBS y y ∆=-=||21y y-==.令243(0)m t t -=>，那么：2S ==≤=，当16tt =时等号成立.此时274m =，即所求的直线方程为42x y =±+. ［例18］已知复数z 满足4|2||2|=++-i z i z ，则z 对应点的轨迹是＿＿＿＿＿＿＿；以i 2与i 2-对应点为端点的线段.［例19］设P 是以21,F F 为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的一点，若点P 满足：21,02121=∠=⋅F PF tg PF PF ，则椭圆的焦距与长轴的比值为―――――――――（ D ）A 、21； B 、32； C 、31； D 、35.［例20］一直线l 过椭圆12422=+y x 的左焦点，被椭圆截得的弦长为2，则直线l 的方程2-=x . ［例21］椭圆13422=+y x 上有2007个不同的点200721,,,P P P ，椭圆的右焦点为F ，数列)2007,,3,2,1|}({| =n FP n 是公差为d 的等差数列，则d 的取值范围是＿＿＿＿＿.]10031,0()0,10031[ -∈d . ［例22］已知点)0,2(),0,2(B A -，点C 在直线1=y 上满足BC AC ⊥，则以A 、B 为焦点过点C 的椭圆方程为＿＿＿.12622=+y x . ［例23］一双曲线C 以椭圆12422=+x x 的焦点为顶点，长轴顶点为焦点，则此双曲线的方程为＿＿＿.12222=-y x .［例24］一双曲线与1322=-y x 有共同渐近线且与椭圆1322=+y x 有共同焦点，则此双曲线的方程为＿＿＿＿＿＿＿＿；21322=-y x . ［例25］若关于x 的方程)2(12+=-x k x 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是＿＿＿.10<≤k .［例26］已知双曲线的方程为116922=-y x ，P 是双曲线上的一点，F 1、F 2分别是它的两个焦点，若7||1=PF ，则=||2PF ＿13；［例27］椭圆12622=+y x 和双曲线221x y a-=的公共焦点为21,F F ，P 是它们的一个公共点，则=∠21cos PF F ＿＿＿＿＿；31cos 21=∠PF F .［例28］双曲线)1(122>=-n y nx 的两焦点为P F F ,,21是此双曲线上的一点，且满足||||21PF PF +＝22+n ，则△21F PF 的面积为＿＿＿1＿＿＿＿＿.［例29］抛物线24x y =的焦点坐标是＿＿)161,0(＿＿＿；准线方程是＿＿161-=y ＿＿［例30］已知抛物线的焦点为)1,1(F ，对称轴为x y =，且过M （3,2），则此抛物线的准线方程为＿＿0105=±-+y x ＿；［例31］直线l 过抛物线y x 42=的焦点与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 两点到x 轴的距离之和等于3，则这样的直线l 有（ B ）A 、1条；B 、2条；C 、3条；D 、不存在.［例32］直线l 过抛物线的焦点与抛物线交于A 、B 两点，O 是抛物线的顶点，则△ABO 的形状是（ C ） A 、直角三角形；B 、锐角三角形；C 、钝角三角形；D 、不确定与抛物线的开口大小有关. [例33]求证：过抛物线)0(22>=p px y 焦点的所有弦长的最小值是p 2.分析：本例的证明方法很多.设其焦点弦为AB ，),(),,(2211y x B y x A ，则由抛物线的定义知12||2AB x x p p p p =++≥==.当且仅当21x x =时等号成立.此时直线AB 与对称轴垂直.［例34］已知点M 是椭圆12222=+by a x 的一条不垂直于对称轴的弦AB 的中点，O 是坐标原点，设OM 、AB 的斜率分别为21,k k ，则21k k ⋅＝―――――――――――――（ C ）A 、22b a ；B 、22a b ；C 、22a b -；D 、22ba -.［例35］设直线l 过椭圆1422=+y x 的右焦点，与椭圆相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，当△OAB 的面积最大时，求直线l 的方程.分析：由题可设直线l ：3+=my x 代入椭圆方程中得：0132)4(22=-++my y m ，设),(),,(2211y x B y x A ，可得△OAB 的面积S=||23|)||(|232121y y y y -=+，可得：619)1(132)4(13244)4(1223222222222++++=++=+++=m m m m m m m S ，则当312=+m 时，S 有最大值为1.此时直线l 方程为：32+±=y x .［例36］设点P 为双曲线1422=-y x 上的动点，F 是它的左焦点，M 是线段PF 的中点，则点M 的轨迹方程是＿＿＿＿＿；14)25(22=--y x ［例37］已知椭圆的焦点是21,F F ，P 是椭圆上的一个动点.如果延长P F 1到Q ，使得||||2PF PQ =，那么动点Q 的轨迹是（ A ）A 、圆；B 、椭圆；C 、双曲线的一支；D 、抛物线.［例38］已知直线l 过点)1,1(M ，双曲线C ：1322=-y x .（1）若直线l 与双曲线有且仅有一个公共点，求直线l 的方程；（2）若直线与双曲线的右支有两个不同的交点，求直线l 斜率的取值范围；（3）是否存在直线l 使其与双曲线的有两个不同的交点A 、B ，且以AB 为直径的圆过坐标原点？若存在求出此直线的斜率，不存在说明理由.分析：（1）当直线l 与x 轴垂直时，直线1=x 满足题义.当直线l 与x 轴不垂直时，设直线方程为)1(1-=-x k y ，联立得方程：0)42()1(2)3(222=+-----k k x k k x k ---（*）当032=-k时，方程（*）是一次方程，直线l 与双曲线有一个公共点，此时直线l 方程为)1(31-±=-x y .当032≠-k 时，由△02448=-=k ，得2=k ，所以满足题义的直线l 为：)1(31,012,1-±=-=--=x y y x x . （2）直线l 与双曲线的右支有两个不同的交点，则方程（*）有两不等的正根.由△k2448-=0>，知2<k 且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+-=⋅>--=+034203)1(22221221k k k x x k k k x x ，得23<<k 或3-<k . （3）若以AB 为直径的圆过坐标原点，则0=⋅，设),(),,(2211y x B y x A ，即02121=+y y x x .0)1())(1()1(221212=-++-++k x x k k x x k ， 0142=++k k ，32±-=k （满足)2<k［例39］倾角为3π的直线l 过抛物线x y 42=的焦点F 与抛物线交于A 、B 两点，点C 是抛物线准线上的动点.（1）△ABC 能否为正三角形？（2）若△ABC 是钝角三角形，求点C 纵坐标的取值范围.分析：（1）直线l 方程为)1(3-=x y ，由x y 42=可得)332,31(),32,3(-B A .若△ABC 为正三角形，则3π=∠CAB ，由3π=∠AFx ，那么CA 与x 轴平行，此时4||=AC ，又3162313||=++=AB .与|AC|=|AB|矛盾，所以△ABC 不可能是下正三角形.（2）设),1(m C -，则}332,34{},32,4{m m --=-=，2)332(-=⋅m 不可以为负，所以ACB ∠不为钝角.若CAB ∠为钝角，则0<⋅，}338,38{=，则0)32(338332<-+m ，得3310>m.若角ABC ∠为钝角，则0<⋅且C 、B 、A 不共线.可得332-<m 且36-≠m . 综上知，C 点纵坐标的取值范围是),3310()332,36()36,(+∞----∞ . 2015届高三数学题型与方法专题七：解析几何2【典型题型方法】班级：姓名：一、轨迹问题例1、如图，已知圆C ：2)1(-x ＋2y ＝2r （r ＞1），设M 为圆C 与x 轴左半轴的交点，过M 作圆C 的弦MN ，并使它的中点P 恰好落在y 轴上．（1）当r ＝2时，求满足条件的P 点的坐标；（2）当r ∈（1，＋∞）时，求N 的轨迹G 方程；（3）过点Q （0，2）的直线l 与（2）中轨迹G 相交于两个不同的点A ，B ，若CA --→CB --→⋅＞0，求直线l 的斜率的取值范围．解：（1）由已知得，当r ＝2时，可求得M 点的坐标为（－1，0）．设P （0，b ），则由MP CP k k ⋅＝－1，得：2b ＝1，所以b ＝±1，即点P 坐标为（0，±1）．（2）设N （x ，y ），由已知得，在圆方程中令y ＝0，得M 点的坐标为（1－r ，0）．由MP CP k k ⋅＝－1，得：r ＝2b ＋1．因为点P 为线段MN 的中点，所以x ＝r －1＝2b ，y ＝2b ，又x ＞1，所以点N 的轨迹方程为：2y ＝4x （x ＞0）．（3）设直线l 的方程为：y ＝kx ＋2，M （1x ，1y ），N （2x ，2y ），⎩⎨⎧=+=xy kx y 422，消去y ，得：22x k ＋x k )44(-＋4＝0． ∵直线l 与抛物线2y ＝4x （x ＞0）相交于两个不同的点A ，B ， ∴△＝－32k ＋16＞0，得：k ＜21．又因为CA --→CB --→⋅＞0，∴)1)(1(21--x x ＋21y y ＞0，⇒212)1(x x k +＋))(12(21x x k +-＋5＞0，2k ＋12k ＞0，∴k ＞0或k ＜－12．综上可得：0＜k ＜21或k ＜－12．例2、如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点和上顶点分别为1F 、2F 、B ，我们称12F BF ∆为椭圆C的特征三角形.如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比.（1）已知椭圆221:14x C y +=和222:1164x y C +=，判断2C 与1C 是否相似，如果相似则求出2C 与1C 的相似比，若不相似请说明理由；（2）已知直线:1l y x =+,与椭圆1C 相似且半短轴长为b 的椭圆b C 的方程，在椭圆b C 上是否存在两点M 、N 关于直线l 对称，若存在，则求出函数()f b MN =的解析式.（3）根据与椭圆1C 相似且半短轴长为b 的椭圆b C 的方程，提出你认为有价值的相似椭圆之间的三种性质（不需证明）；解：（1）椭圆2C 与1C 相似. 因为2C 的特征三角形是腰长为4，底边长为32的等腰三角形，而椭圆1C 的特征三角形是腰长为2，底边长为3的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为2:1（2）椭圆b C 的方程为：)0(142222>=+b by b x . 假定存在，则设M 、N 所在直线为y x t =-+，MN 中点为()00,x y .则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=142222b y bx tx y 0)(485222=-+-⇒b t xt x . 所以5,5420210t y t x x x ==+=.中点在直线1y x =+上，所以有35-=t .（3）椭圆b C 的方程为：)0(142222>=+b by b x . 两个相似椭圆之间的性质有：（1）两个相似椭圆的面积之比为相似比的平方；（2）分别以两个相似椭圆的顶点为顶点的四边形也相似，相似比即为椭圆的相似比；（3）两个相似椭圆被同一条直线所截得的线段中点重合；（4）过原点的直线截相似椭圆所得线段长度之比恰为椭圆的相似比.二、最值问题例3、已知椭圆,1ny m x 22=+常数m 、n +∈R 且m>n (1) 当m=25,n=21时,过椭圆左焦点F 的直线交椭圆于点P,与y 轴交于点Q, 若FP 2QF =,求直线PQ 的斜率；（2）过原点且斜率分别为k 和k -(1k ≥)的两条直线与椭圆,1ny m x 22=+的交点A 、B 、C 、D （按逆时针顺序排列，A 位于第一象限内），试用k 表示四边形ABCD 的面积S （3）求S 的最大值。

【课堂新坐标】2015届高考数学(文、理)新一轮专题复习：专题七平面解析几何

专题七平面解析几何1.设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.452.已知双曲线C 1：x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y3.直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于( ) A ．2 5 B ．2 3 C. 3 D ．14.如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )A ．3B ．2 C. 3 D. 25.已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A ．1B ．3C ．－4D ．－86.椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14B.55C.12D.5－2 7.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．8.过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是__________．9.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点P ⎝⎛⎭⎫5a 5，22a 在椭圆上． (Ⅰ)求椭圆的离心率；(Ⅱ)设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点，若点Q 在椭圆上且满足|AQ |＝|AO |，求直线OQ 的斜率的值．10.(2012·高考江苏卷)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120²(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．11.如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(Ⅰ)求椭圆C 的离心率；(Ⅱ)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．12.已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(Ⅰ)求椭圆C 2的方程；(Ⅱ)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．13.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x2－y2＝1.(1)设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若|MF|＝22，求点M的坐标；(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；(3)设斜率为k(|k|<2)的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：OP⊥OQ.14.如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程；(Ⅱ)过B1作直线交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求△PB2Q的面积．专题七平面解析几何1.C 由题意可知∠PF 2x ＝60°，|PF 2|＝（3a2－c ）cos60°＝3a －2c ，由|PF 2|＝|F 1F 2|，得3a －2c ＝2c ，∴e ＝34，故选C.2.D ⎩⎪⎨⎪⎧c a＝2a ·p 2a 2＋b 2＝2，可得p ＝8，故选D.3.B 圆心到直线的距离d ＝|0＋0－2|2＝1，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－1＝2 3.4.B 设椭圆、双曲线的长轴和实轴分别为2a 1，2a 2，则易得a 1＝2a 2，又∵焦距相等， ∴e 2∶e 1＝2.5.C P A 方程为：y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8，同理QA 为：y ＝－2x －2，解得x ＝1，∴y ＝－4.6.B 如图|AF 1|＝a －c ， |F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ， ∴4c 2＝a 2－c 2，∴e ＝c a ＝55.7.43根据题意，x 2＋y 2－8x ＋15＝0，将此化成标准形式为(x －4)2＋y 2＝1，得到该圆的圆心为M (4，0)，半径为1，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需要圆心M (4，0)到直线y ＝kx －2的距离d ≤1＋1＝2即可，所以有d ：|4k －2|k 2＋1≤2，化简得k (3k －4)≤0，解得0≤k ≤43，所以k 的最大值为43.8.(2，2) 设P (x 0，y 0)如图 |PO |＝2.∴⎩⎨⎧x 20＋y 20＝4x 0＋y 0－22＝0. 则x 20＋(x 0－22)2＝4， ∴x 20－22x 0＋2＝0.∴(x 0－2)2＝0，∴x 0＝2，y 0＝ 2.9.解：(Ⅰ)因为点P ⎝⎛⎭⎫55a ，22a 在椭圆上，故a 25a 2＋a 22b 2＝1，可得b 2a 2＝58. 于是e 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝38，所以椭圆的离心率e ＝64.(Ⅱ)设直线OQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx ，设点Q 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b2＝1. 消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.①由|AQ |＝|AO |，A (－a ，0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，而x 0≠0，故x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2²a 2b2＋4.由(Ⅰ)知a 2b 2＝85，故(1＋k 2)2＝325k 2＋4，即5k 4－22k 2－15＝0，可得k 2＝5. 所以直线OQ 的斜率k ＝±5.10.解：(1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0，故x ＝20k 1＋k2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根 ⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0 ⇔a ≤6.所以当a 不超过6(千米)时，可击中目标．11.解：(Ⅰ)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(Ⅱ)法一：因为a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，所以bc＝3，直线AB 的方程可为：y ＝－3(x －c )，将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B (85c ，－335c )，所以|AB |＝1＋3²⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1|²|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ²165c ²32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3. 法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a ，由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ，再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos60°可得，t ＝85a ，由S △AF 1B ＝12a ²85a ²32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.12.解：(Ⅰ)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a ＞2)．其离心率为32，故a 2－4a ＝32，则a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x24＝1.(Ⅱ)法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(Ⅰ)知，O 、A 、B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2，将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k 2，又由OB →＝2OA →得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k 2，解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(Ⅰ)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2，由OB →＝2OA →得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k 2，将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k 2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .13.解：(1)双曲线C ：x 212－y 2＝1，左焦点F ⎝⎛⎭⎫－62，0.设M (x ，y )，则|MF |2＝⎝⎛⎭⎫x ＋622＋y 2＝⎝⎛⎭⎫3x ＋222，由M 点是右支上一点，知x ≥22，所以|MF |＝3x ＋22＝22，得x ＝62.所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫62，±2.(2)由(1)知，左顶点A ⎝⎛⎭⎫－22，0，渐近线方程：y ＝±2x .过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为：y ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.解方程组⎩⎨⎧y ＝－2xy ＝2x ＋1，得⎩⎨⎧x ＝－24，y ＝12.所求平行四边形的面积为S ＝|OA ||y |＝24. (3)设直线PQ 的方程是y ＝kx ＋b ，因直线PQ 与已知圆相切，故|b |k 2＋1＝1，即b 2＝k 2＋1(*)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b2x 2－y 2＝1，得(2－k 2)x 2－2kbx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2kb2－k 2，x 1x 2＝－1－b 22－k 2.又y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )，所以OP →²OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2 ＝（1＋k 2）（－1－b 2）2－k 2＋2k 2b 22－k 2＋b 2 ＝－1＋b 2－k 22－k 2.由(*)知，OP →²OQ →＝0，所以OP ⊥OQ .14.解：(Ⅰ)如图，设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c ，0)．因△AB 1B 2是直角三角形且|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，从而|OA |＝|OB 2|，即b ＝c2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12²|B 1B 2|²|OA |＝|OB 2|²|OA |＝c2²b ＝b 2，由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1.(Ⅱ)由(Ⅰ)知B 1(－2，0)、B 2(2，0)．由题意，直线PQ 的倾斜角不为0，故可设直线PQ 的方程为：x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0. (*) 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此y 1＋y 2＝4mm 2＋5，y 1²y 2＝－16m 2＋5.又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)，所以B 2P →²B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16（m 2＋1）m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，知B 2P →²B 2Q →＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.当m ＝2时，方程(*)化为：9y 2－8y －16＝0，故y 1＝4＋4109，y 2＝4－4109， |y 1－y 2|＝8910，△PB 2Q 的面积S ＝12|B 1B 2|²|y 1－y 2|＝16910.当m ＝－2时，同理可得(或由对称性可得)△PB 2Q 的面积S ＝16910，综上所述，△PB 2Q 的面积为16910.。

2020高考理科数学冲刺专题七解析几何

专题七解析几何重难小题保分练1．(2019陕西宝鸡二模)设D 为椭圆x 2＋y 25＝1上任意一点,A(0,－2),B(0,2),延长AD至点P,使得|PD|＝|BD|,则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝20B ．x 2＋(y ＋2)2＝20C ．x 2＋(y －2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝51．B 解析：由椭圆方程x 2＋y 25＝1,得a 2＝5,b 2＝1,∴c ＝a 2－b 2＝2,则A (0,－2),B (0,2)为椭圆两焦点,∴|DA |＋|DB |＝2a ＝2 5.∵|PD |＝|BD |,∴|P A |＝|PD |＋|DA |＝|BD |＋|DA |＝2 5.∴点P 的轨迹是以A 为圆心,以25为半径的圆,其方程为x 2＋(y ＋2)2＝20.故选B.2．(2019江西九江一模)若直线l ：x －y －1＝0与抛物线y 2＝4x 相交于A,B 两点,则|AB|＝( )A ．4B ．6C ．7D ．82．D 解析：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，y 2＝4x ，得x 2－6x ＋1＝0,则x 1＋x 2＝6.又直线l ：x －y －1＝0经过y 2＝4x 的焦点(1,0),则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.故选D.3．(2019广东肇庆三模)已知双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1的右顶点为A,右焦点为F,O 是坐标原点,过A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的渐近线于M,N 两点．若四边形OMFN 是菱形,则C 的离心率为( )A ．2B . 2C. 3 D .123．A 解析：由四边形OMFN 是菱形,可得c ＝2a ,所以e ＝2.故选A.4.(2019陕西榆林三模)已知抛物线y 2＝2px(p ＞0)交双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)的渐近线于A,B 两点(异于坐标原点O)．若双曲线的离心率为5,△AOB 的面积为32,则抛物线的焦点为( )A ．(2,0)B ．(4,0)C ．(6,0)D ．(8,0)4．B 解析：由双曲线的离心率为5,可得ca ＝5,可得b ＝2a ,所以渐近线方程为2x ±y＝0.由抛物线y 2＝2px 与2x ±y ＝0可得x ＝p 2,y ＝±p .因为△AOB 的面积为32,所以12×p2×2p＝32,解得p ＝8,所以抛物线的焦点坐标为(4,0)．故选B.5．(2019广东广州仲元中学等七校联合体冲刺)已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC的斜边AC 的两端点为焦点的曲线,且都过B 点,它们的离心率分别为e 1,e 2,则1e 21＋1e 22＝( )A .32 B ．2 C .52D ．3 5．B 解析：设A (－c ,0),C (c ,0),B 为第一象限内的点,设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0),双曲线的方程为x 2m 2－y2n2＝1(m ,n ＞0),|AB |＝s ,|CB |＝t ,可得s ＋t ＝2a ,s －t ＝2m ,解得s ＝a＋m ,t ＝a －m .在直角三角形ABC 中,可得4c 2＝s 2＋t 2＝2a 2＋2m 2,则a 2c 2＋m 2c 2＝2,即1e 21＋1e 22＝2.故选B.6．(2019湖北黄冈模拟)抛物线y 2＝8x 的焦点为F,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是抛物线上的两个动点,若x 1＋x 2＋4＝233|AB|,则∠AFB 的最大值为( )A .π3B .3π4C .5π6D .2π36．D 解析：因为x 1＋x 2＋4＝233|AB |,|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋4,所以|AF |＋|BF |＝233|AB |.在△AFB 中,由余弦定理得cos ∠AFB ＝|AF |2＋|BF |2－|AB |22|AF |·|BF |＝（|AF |＋|BF |）2－2|AF |·|BF |－|AB |22|AF |·|BF |＝43|AB |2－|AB |22|AF |·|BF |－1＝13|AB |22|AF |·|BF |－1.又由|AF |＋|BF |＝233|AB |≥2|AF |·|BF |,得|AF |·|BF |≤13|AB |2.所以cos ∠AFB ≥|AF |·|BF |2|AF |·|BF |－1＝－12,∴∠AFB 的最大值为2π3.故选D.7．平面直角坐标系xOy 中,已知MN 是⊙C：(x －1)2＋(y －2)2＝2的一条弦,且CM⊥CN ,P 是MN 的中点．当弦MN 在圆C 上运动时,直线l ：x －3y －5＝0上存在两点A,B,使得∠APB≥π2恒成立,则线段AB 长度的最小值是________．7.210＋2 解析：因为P 为MN 的中点,所以CP ⊥MN .又因为CM ⊥CN ,所以三角形CMN 为等腰直角三角形,所以CP ＝1,即点P 在以C 为圆心,以1为半径的圆上,点P 所在圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝1.要使得∠APB ≥π2恒成立,则点P 所在的圆在以AB 为直径的圆的内部,而AB 在直线l ：x －3y －5＝0上,C 到直线l ：x －3y －5＝0的距离d ＝|1－3×2－5|12＋32＝10.所以以AB 为直径的圆的半径的最小值为r ＝10＋1,所以AB 的最小值为2r ＝210＋2.8．(2019山西运城一模)已知双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过点F 1且垂于x 轴的直线与该双曲线的左支交于A,B 两点,AF 2,BF 2分别交y 轴于P,Q 两点．若△PQF 2的周长为8,则ab 取得最大值时,该双曲线的离心率是________．8.233解析：由△PQF 2的周长为8,PQ 为三角形ABF 2的中位线,可得△ABF 2的周长为16, |AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝16.∵|AF 2|＋|BF 2|－|AB |＝4a ,|AB |＝2b 2a ,∴4b 2a＝16－4a ,∴b 2＝a (4－a )．令y ＝a 2b 2＝a 3(4－a ),则y ′＝4a 2(3－a ),当0＜a ＜3时,y ′＞0；当a ＞3时,y ′＜0,∴a＝3时,y ＝a 2b 2取得最大值,此时ab 取得最大值,且b ＝3,∴c ＝9＋3＝23,∴e ＝c a ＝233.9．(2019安徽合肥三模)已知直线l ：x －3y －a ＝0与圆C ：(x －3)2＋(y ＋3)2＝4交于点M,N,点P 在圆C 上,且∠MPN＝π3,则实数a 的值等于( )A ．2或10B .4或8C ．6±2 2D ．6±2 39．B 解析：由∠MPN ＝π3可得∠MCN ＝2∠MPN ＝2π3.在△MCN 中,CM ＝CN ＝2,∠CMN ＝∠CNM ＝π6,可得点C (3,－3)到直线MN ,即直线l ：x －3y －a ＝0的距离为2sinπ6＝1.所以|3－3×（－3）－a |1＋3＝1,解得a ＝4或8.故选B.10．(2019广西桂林、崇左一模)如图,F 是抛物线C ：y 2＝2px(p ＞0)的焦点,直线l 过点F 且与抛物线及其准线交于A,B,C 三点．若|BC|＝3|BF|,|AB|＝9,则抛物线C 的标准方程是( )A ．y 2＝2xB ．y 2＝4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝16x10．C 解析：设|BF |＝t (t ≠0),则|AF |＝9－t ,|BC |＝3t .设准线与x 轴的交点为P ,|FP |＝p ,A ,B 在准线上的射影分别为D ,E .由抛物线的定义可得|BE |＝|BF |＝t ,|AD |＝|AF |＝9－t .在△CPF 中,|BE ||PF | ＝|BC ||CF |,即t p ＝34；在△ACD 中,|BE ||AD |＝|BC ||AC |,即t 9－t ＝3t9＋3t,解得t ＝3,可得p ＝4,则抛物线的方程为y 2＝8x .故选C.11．( 2019四川凉山州二诊)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F,过点F 分别作两条直线l 1,l 2,直线l 1与抛物线C 交于A,B 两点,直线l 2与抛物线C 交于D,E 两点．若l 1与l 2的斜率的平方和为1,则|AB|＋|DE|的最小值为( )A ．16B ．20C ．24D ．3211．C 解析：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F (1,0),设直线l 1：y ＝k 1(x －1),直线l 2：y ＝k 2(x－1)．由题意可知,k 21＋k 22＝1.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x －1），y 2＝4x ，整理得k 21x 2－(2k 21＋4)x ＋k 21＝0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1＋x 2＝2k 21＋4k 21＝2＋4k 21.设D (x 3,y 3),E (x 4,y 4),同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 22.由抛物线的性质可得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k 21,|DE |＝x 3＋x 4＋p ＝4＋4k 22,所以|AB |＋|DE |＝8＋4k 21＋4k 22＝8＋4（k 21＋k 22）k 21k 22＝8＋4k 21k 22≥8＋4（k 21＋k 222）2＝24,当且仅当k 21＝k 22＝12时,上式“＝”成立．所以|AB |＋|DE |的最小值为24.故选C.12．(2019四川华文大教育联盟二模)如图,已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0),F 2(c,0),P 是椭圆C 上一点,O 为坐标原点．若∠F 1PF 2＝60°,且|PO|＝223a,则椭圆C 的离心率是( )A .22B .32C .63 D .2312．C 解析：由题意可得|PF 1|2＝c 2＋(223a )2－2c ×223a cos ∠POF 1①,|PF 2|2＝c 2＋(223a )2－2c ×223a cos ∠POF 2②,4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°③.①＋②代入③可得|PF 1|·|PF 2|＝169a 2－2c 2.由|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2,整理可得2c 2＋169a 2＋2(169a 2－2c 2)＝4a 2,可得c 2＝23a 2,解得c 2a 2＝23.又由e ＝c a ∈(0,1),可得e ＝63.故选C.13．(2019安徽马鞍山二模)已知M,N 为椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)上关于长轴对称的两点,A,B 分别为椭圆的左、右顶点,设k 1,k 2分别为直线MA,NB 的斜率,则|k 1＋4k 2|的最小值为( )A ．2bB .3baD. 4b a D .5b a13.C 解析：设M (x 0,y 0),y 0＞0,则N (x 0,－y 0),y 2＝b 2（a 2－x 20）a 2.由A (－a ,0),B (a ,0),则k 1＝y 0x 0＋a ,k 2＝－y 0x 0－a ＝y 0a －x 0,∴|k 1＋4k 2|＝|y 0x 0＋a ＋4y 0a －x 0|≥|2y 0x 0＋a ·4y 0－x 0＋a|＝|4y 20a 2－x 20|＝|4×b a |＝4b a ,∴|k 1＋4k 2|的最小值为4ba .故选C.14．(2019陕西宝鸡三模)双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,渐近线分别为l 1,l 2,过点F 1且与l 1垂直的直线分别交l 1,l 2于P,Q 两点．若满足OF 1→＋OQ →＝2OP →,则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x14．C 解析：∵双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,∴F 1(－c ,0),F 2(c ,0),双曲线的两条渐近线方程为y ＝－b a x ,y ＝b ax .∵OF 1→＋OQ →＝2OP →,∴点P 是线段F 1Q 的中点,且PF 1⊥OP ,∴∠POF 1＝∠POQ ＝∠QOF 2＝x3.∴k OQ ＝ 3.∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .故选C.15．(2019安徽黄山二模)已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1,以原点O 为圆心,椭圆C 的短轴长为直径作圆O,以左顶点A 为圆心,椭圆C 的长轴长为直径作圆A,则圆O 与圆A 的公共弦长为________．15.152 解析：椭圆C ：x 24＋y 2＝1,以原点O 为圆心,椭圆C 的短轴长为直径作圆O ,则圆心O (0,0),半径为1,圆O 的方程为x 2＋y 2＝1；以左顶点A 为圆心,椭圆C 的长轴长为直径作圆A ,圆心A (－2,0),半径为2,圆A 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝4,所以两个圆的公共弦所在的直线方程为x ＝－14 ,公共弦长为21－（14）2＝152.16．(2019安徽巢湖一模)如图,P 为椭圆x 24＋y 23＝1上一个动点,过点P 作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线,切点分别为A,B,则当四边形PACB 面积最大时,PA →·PB →的值为________．B 能力提升练16.569 解析：连接PC ,设∠APC ＝θ,由切线性质可得|P A |＝|PB |,四边形P ACB 的面积S＝12|P A |×1×2＝|P A |,当四边形P ACB 面积最大时,|P A |最大,|P A |＝|PC |2－1,结合椭圆性质可得当点P 在椭圆左顶点时,|PC |最大,此时|P A |＝|PC |2－1＝22,则sin θ＝13,P A →·PB →的值为|P A |2cos 2θ＝8×(1－19×2)＝569.压轴大题突破练(1)1．(2019山东济宁二模)已知拋物线y 2＝8x 的焦点为F,过点F 的直线与该抛物线交于A,B 两点,且16≤|AB|≤24,O 为坐标原点．记直线OA,OB 的斜率分别为k 1,k 2,则1k 1＋1k 2的取值范围是( )A ．[－2,－2]∪[2,2]B ．[－2,－1]∪[1,2]C ．[－2,－1]∪[1,2]D ．[－2,2]1．B 解析：由题意可知拋物线y 2＝8x 的焦点F 的坐标为(2,0)．过点F 的直线与该抛物线交于A ,B 两点,则可设直线AB 的方程为x ＝my ＋2,A (y 218,y 1),B (y 228,y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝8x ，得y 2－8my －16＝0,则y 1＋y 2＝8m ,y 1y 2＝－16,所以1k 1＋1k 2＝y 18＋y 28＝m ,|AB |＝（1＋m 2）（y 1－y 2）2＝（1＋m 2）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]＝8(1＋m 2)．又因为16≤|AB |≤24,即16≤8(1＋m 2)≤24,解得－2≤m ≤－1或1≤m ≤2,所以1k 1＋1k 2的取值范围是[－2,－1]∪[1,2]．故选B.2．(2019河北唐山三模)设双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a>0,b>0)的两条渐近线的夹角为α,且cos α＝13,则双曲线C 的离心率为( )A .52 B .62 C .72D ．2 2．B 解析：∵a >b >0,∴渐近线y ＝bax 的斜率小于1,又两条渐近线的夹角为α,cos α＝13,则cos 2α2＝23,sin 2α2＝13,tan 2α2＝12,即c 2－a 2a 2＝12,∴e 2＝32,∴e ＝62.故选B.3．(2019广东湛江二模)设椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的右焦点为F,经过原点O 的直线与椭圆C 相交于点A,B.若|AF|＝2,|BF|＝4,椭圆C 的离心率为73,则△AFB 的面积是( )A . 5B ．2 5C ．2 3D . 33．C 解析：设椭圆的左焦点为F ′,由椭圆的对称性可知|AF ′|＝|BF |＝4,∴|AF ′|＋|AF |＝2＋4＝6＝2a ,∴a ＝3.又e ＝73,∴c ＝7.由余弦定理可得cos ∠F AF ′＝16＋4－282×4×2＝－12,故sin ∠F AF ′＝32. ∴S △AFB ＝S △AFF ′＝12|AF ′||AF |sin ∠F AF ′＝12×4×2×32＝2 3.故选C.4．(2019四川成都双流中学一模)已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点,F 为其焦点,C 为圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝1的圆心,则|MF|＋|MC|的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．54．B 解析：设抛物线x 2＝4y 的准线方程为l ：y ＝－1,C 为圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝1的圆心,所以C 的坐标为(－1,2)．过M 作l 的垂线,垂足为E .根据抛物线的定义可知|MF |＝|ME |,所以|MF |＋|MC |的最小值就转化为|ME |＋|MC |的最小值．由平面几何的知识可知,当C ,M ,E 在一条直线上时,CE ⊥l ,|ME |＋|MC |有最小值,最小值为CE ＝2－(－1)＝3.故选B.5．(2019河南郑州三模)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y 29＝1有公共焦点,C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A,B 两点,若C 1恰好将线段AB 三等分,则( )A ．a 2＝878 B ．a 2＝12C ．b 2＝98D ．b 2＝15.C 解析：双曲线C 2：x 2－y 29＝1的焦点坐标为(±10 ,0),∴a 2－b 2＝10.取C 2的一条渐近线y ＝3x ,设与椭圆相交于点M ,N .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，解得x 2M ＝a 2b 29a 2＋b 2,y 2M ＝9a 2b 29a 2＋b 2,∴|MN |2＝4(x 2M ＋y 2M )＝40a 2b 29a 2＋b 2.∵C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ,B 两点,且C 1恰好将线段AB 三等分,∴40a 2b 29a 2＋b 2＝19×(2a )2,与a 2－b 2＝10联立,解得a 2＝898 ,b 2＝98.故选C.6．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为53且经过点Q(2,253),其中F 1,F 2为椭圆的左、右焦点．(1)求椭圆的方程；(2)从椭圆的第一象限部分上一点P 向圆x 2＋y 2＝1引切线PA,PB,切点分别为A,B,△PF 1F 2的面积等于15,求直线AB 的方程．6．解：(1)由题意可得c a ＝53,4a 2＋209b2＝1,a 2＝b 2＋c 2.联立解得a ＝3,b ＝2,c ＝ 5.∴椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)由题意可知椭圆的焦点分别为F 1(－5,0),F 2(5,0)． ∵三角形PF 1F 2的面积等于15,点P 在第一象限, ∴12×25×y P ＝15,解得y P ＝ 3. ∴x 2P 9＋34＝1,解得x P ＝32.∴P (32,3) . 以OP 为直径的圆的方程为x (x －32)＋y (y －3)＝0,与x 2＋y 2＝1相减可得3x ＋23y －2＝0. ∴直线AB 的方程为3x ＋23y －2＝0.7．(2019辽宁省实验中学等五校高三期末)已知抛物线C 的方程y 2＝2px(p>0),焦点为F,已知点P 在C 上,且点P 到点F 的距离比它到y 轴的距离大1.(1)试求出抛物线C 的方程．(2)若抛物线C 上存在两动点M,N(M,N 在x 轴两侧),满足OM⊥ON(O 为坐标原点),过点F作直线交C 于A,B 两点．若AB∥MN ,线段MN 上是否存在定点E,使得|EM|·|EN||AB|＝4恒成立？若存在,请求出点E 的坐标；若不存在,请说明理由．7．解：(1)因为点P 到点F 的距离比它到y 轴的距离大1,由题意和抛物线定义得p2＝1,即p ＝2,所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)存在定点E (4,0)满足题意．①当直线MN 的斜率不存在时,设N (n 24,n ),n >0,由题意可得,n24＝n ⇒n ＝4或n ＝0(舍去),则N (4,4),M (4,－4)．由直线AB 过点F 且平行于MN ,可得|AB |＝4.设E (4,m ),则由|EM |·|EN ||AB |＝4,可得（m ＋4）（4－m ）4＝4,解得m ＝0,所以E (4,0),满足题意．②当直线MN 的斜率存在时,由题意可知k MN ≠0.设M (y 214,y 1),N (y 224,y 2)(y 2>0>y 1)．由OM ⊥ON ,得y 1y 2＝－16.直线MN 的斜率k ＝4y 1＋y 2,所以直线MN 的方程为y －y 1＝4y 1＋y 2(x －y 214),整理可得y ＝4y 1＋y 2(x －4)．由题意,得直线AB 的方程为y ＝k (x －1),与C 的方程联立得ky 2－4y －4k ＝0.设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),则y A ＋y B ＝4k,y A y B ＝－4.所以|AB |＝1＋1k 2·|y A －y B |＝4(1＋1k2)．若点E 存在,设点E 坐标为(x 0,y 0),则|EM |·|EN |＝1＋1k 2(y 0－y 1)1＋1k 2(y 2－y 0)＝(1＋1k2)·[－y 1y 2－y 20＋(y 1＋y 2)y 0]＝(1＋1k 2)(16－y 20＋4y 0k)．当|EM |·|EN ||AB |＝4时,16－y 20＋4y 0k＝16,解得y 0＝0或y 0＝4k(舍去),则点E 为(4,0)．经检验,此点在线段MN 上且满足题意．综上所述,定点E 为(4,0)．8．(2019辽宁丹东二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P是椭圆C 上的一点,若PF 1⊥PF 2,|F 1F 2|＝2,△F 1PF 2的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 2的直线l 与C 交于A,B 两点,设O 为坐标原点,若OE →＝OA →＋OB →,求四边形AOBE 面积的最大值．8．解：(1)由题设|PF 1|2＋|PF 2|2＝4,12|PF 1||PF 2|＝1,∴a ＝|PF 1|＋|PF 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|2＝ 2.又c ＝1,∴b ＝a 2－c 2＝1.∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题设知AB 不平行于x 轴,故设直线AB ：x ＝my ＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 22＋y 2＝1，得(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0,则Δ＝8(m 2＋1)＞0,解得y 1,2＝－m ±2（m 2＋1）m 2＋2.∵OE →＝OA →＋OB →,∴四边形AOBE 为平行四边形．平行四边形AOBE 的面积S ＝2S △AOB ＝|y 1－y 2|＝22（m 2＋1）m 2＋2＝22m 2＋1＋1m 2＋1.∵m 2＋1＋1m 2＋1≥2,当且仅当m ＝0时取等号, ∴四边形AOBE 面积的最大值为 2.9．(2019重庆沙坪坝区高三模拟)如图,C,D 是离心率为12的椭圆的左、右顶点,F 1,F 2是该椭圆的左、右焦点,A,B 是直线x ＝－4上两个动点,连接AD 和BD,它们分别与椭圆交于E,F两点,且线段EF 恰好过椭圆的左焦点F 1.当EF⊥CD 时,点E 恰为线段AD 的中点．(1)求椭圆的方程．(2)求证：以AB 为直径的圆始终与直线EF 相切．9．(1)解：∵当EF ⊥CD 时,点E 恰为线段AD 的中点,∴a ＋c ＝4－c .又e ＝c a ＝12,联立解得c ＝1,a ＝2,b ＝3,∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：设EF 的方程为x ＝my －1,E (x 1,y 1),F (x 2,y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x ＝my －1，化为(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0,∴Δ＝36m 2＋36(3m 2＋4)＞0,∴y 1＋y 2＝6m3m 2＋4,y 1y 2＝－93m 2＋4.又设A (－4,y A ),由A ,E ,D 三点共线得y A ＝－6y 1x 1－2＝－6y 1my 1－3,同理可得y B ＝－6y 2my 2－3.∴y A ＋y B ＝－6y 1my 1－3＋－6y 2my 2－3＝－62my 1y 2－3（y 1＋y 2）m 2y 1y 2－3m （y 1＋y 2）＋9＝－6×2m ·－93m 2＋4－3·6m 3m 2＋4m 2·－93m 2＋4－3m ·6m3m 2＋4＋9＝6m .∴|y A －y B |＝|－6y 1my 1－3－－6y 2my 2－3|＝18·|y 1－y 2|m 2y 1y 2－3m （y 1＋y 2）＋9＝18·（6m 3m 2＋4）2－4·－93m 2＋4m 2·－93m 2＋4－3m ·6m3m 2＋4＋9＝6m 2＋1.设线段AB 的中点为M ,则M 的坐标为(－4,y A ＋y B2),即(－4,3m ),∴点M 到直线EF 的距离d ＝|－4－3m 2＋1|1＋m 2＝3m 2＋1＝12|y A －y B|＝12|AB |.故以AB 为直径的圆始终与直线EF 相切．10．(2019江苏苏州三模)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点D(1,32),右焦点为F(1,0),右顶点为A.过点F 的直线交椭圆于B,C 两点,直线BA 和CA 分别交直线l ：x ＝m(m ＞2)于P,Q 两点．(1)求椭圆的方程；(2)若FP⊥FQ ,求m 的值．10．解：(1)由题意得1a 2＋94b 2＝1,a 2－b 2＝1,解得a 2＝4,b 2＝3,所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设B (x 0,y 0),则直线BC 的方程为y ＝y 0x 0－1(x －1),与椭圆E ：x 24＋y23＝1联立,得方程组⎩⎨⎧y ＝y 0x 0－1（x －1），x 24＋y23＝1，解得x ＝x 0,y ＝y 0或x ＝8－5x 05－2x 0,y ＝－3y 05－2x 0,所以C (8－5x 05－2x 0,－3y 05－2x 0),k AB k AC＝y 0x 0－2·－3y 05－2x 08－5x 05－2x 0－2＝y 0x 0－2·3y 0x 0＋2＝3y 20x 20－4＝9（1－x 24）x 20－4＝－94.显然k AB ＝k AP ,k AC ＝k AQ ,所以k AP k AQ ＝－94.设Q (m ,y 1),则k FQ ＝y 1m －1＝y 1m －2·m －2m －1＝m －2m －1k AQ,同理k FP ＝m －2m －1k AP,所以k FP ·k FQ ＝(m －2m －1)2k AP k AQ ＝－94(m －2m －1)2＝－1.又m ＞2,所以m －2m －1＝23,所以m ＝4.压轴大题突破练(2)1．(2019山东临沂、枣庄二模)已知双曲线E ：x 2a 2－y2b2＝1(a>0,b>0)的右顶点为A,抛物线C ：y 2＝12ax 的焦点为 F ．若在E 的渐近线上存在点P 使得PA⊥FP ,则E 的离心率的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(1,233]C ．(2,＋∞)D ．[233,＋∞) 1．B 解析：双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的右顶点A (a ,0),抛物线C ：y 2＝12ax 的焦点为F (3a ,0),双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ,可设P (m ,b a m ),则AP →＝(m －a ,b am ),FP →＝(m －3a ,b a m )．由P A ⊥FP ,可得AP →·FP →＝0,即(m －a )(m －3a )＋b 2a 2m 2＝0,整理得(1＋b 2a2)m 2－4ma ＋3a 2＝0.由题意可得Δ＝16a 2－4(1＋b 2a 2)·3a 2≥0,即a 2≥3b 2＝3(c 2－a 2),则3c 2≤4a 2,所以e ＝ca≤233.由e >1,可得1<e ≤233.故选B.2．(2019福建厦门一中二模)已知抛物线x 2＝4y,斜率为－12的直线交抛物线于A,B 两点．若以线段AB 为直径的圆与抛物线的准线切于点P,则点P 到直线AB 的距离为( )A .52B . 5C ．2 2D ．2 5 2．B 解析：设直线AB 的方程为y ＝－12x ＋b ,代入抛物线方程x 2＝4y ,得x 2＋2x －4b＝0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1＋x 2＝－2,x 1x 2＝－4b ,y 1＋y 2＝－12x 1＋b －12x 2＋b ＝1＋2b ,所以|AB |＝1＋14·4＋16b ＝5＋20b .因为以线段AB 为直径的圆与抛物线的准线切于点P ,所以y 1＋y 22＋1＝5＋20b 2,即1＋2b 2＋1＝5＋20b 2,则 b 2－2b ＋1＝0,解得b ＝1,所以直线AB的方程为y ＝－12x ＋1,P (－1,－1),所以点P 到直线AB ：x ＋2y －2＝0的距离为|－1－2－2|5＝5.故选B. 3．(2019山东青岛二中高三模块考试)已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F,O 为坐标原点．设M 为抛物线上的动点,则|MO||MF|的最大值为( )A . 3B ．1C .33 D .2333．D 解析：设抛物线上点M (m ,n )(m >0),则n 2＝2pm ,可得|MO |＝m 2＋n 2＝m 2＋2pm .由抛物线的定义得|MF |＝m ＋p 2,所以|MO ||MF |＝m 2＋2pm m ＋p 2＝m 2＋2pm m 2＋pm ＋p24＝1＋pm －p 24m 2＋pm ＋p 24. 令pm －p 24＝t ,t >－p 24,则m ＝t p ＋p 4,所以|MO ||MF |＝1＋t t 2p 2＋3t 2＋9p 216＝1＋1t p 2＋32＋9p 216t≤1＋13＝233,当且仅当t p 2＝9p 216t ,即t ＝3p 24时,等号成立．故选D.4．(2019福建福州二模)已知O 为坐标原点,过双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a>0,b>0)的左焦点F 作一条直线,与圆x 2＋y 2＝a 2相切于点T,与双曲线右支交于点P,M 为线段FP 的中点．若该双曲线的离心率为3,则|MF|－|OM||TF|＝( )A .24 B .22C . 2D ．2 4．B 解析：如图所示,设F ′是双曲线的右焦点,连接PF ′.点M ,O 分别为线段PF ,FF ′的中点,由三角形的中位线定理可得|OM |＝12|PF ′|＝12(|PF |－2a )＝12|PF |－a ＝|MF |－a .连接OT ,由PT 是圆的切线,得OT ⊥FT .在Rt △FOT 中,|OF |＝c ,|OT |＝a ,所以|FT |＝|OF |2－|OT |2＝b ,可得|MF |－|OM ||TF |＝a b .双曲线的离心率为3,可得c ＝3a ,即b ＝c 2－a 2＝2a ,可得ab＝22.故选B.5．(2019安徽黄山三模)已知P 是圆C ：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1上一动点,过点P 作抛物线 x 2＝8y 的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB 斜率的最大值为( )A .14B .34C .38D .125．B 解析：根据题意,P A ,PB 的斜率都存在,分别设为k 1,k 2,其切点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)．设P (m ,n ),过点P 的抛物线的切线方程为y ＝k (x －m )＋n ,联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －m ）＋n ，x 2＝8y ，整理可得x 2－8kx ＋8km －8n ＝0,则Δ＝64k 2－32km ＋32n ＝0,即2k 2－km ＋n ＝0,且k 1＋k 2＝m 2,k 1k 2＝n 2.又由x 2＝8y ,得y ＝18x 2,则y ′＝14x ,所以x 1＝4k 1,x 2＝4k 2.又由x 2＝8y ,则y 1＝2k 21,y 2＝2k 22,则k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2k 22－2k 214k 2－4k 1＝k 2＋k 12＝m 4.因为P 是圆C ：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1上一动点,所以1≤m ≤3,则k AB ＝m 4≤34,即直线AB 的斜率最大值为34.故选B.6．(2019广东珠海二模)椭圆T 的中心在原点,左焦点F 1(－1,0),长轴长为2 2. (1)求椭圆T 的标准方程；(2)过左焦点F 1的直线交曲线T 于A,B 两点,过右焦点F 2的直线交曲线T 于C,D 两点,凸四边形ABCD 为菱形,求直线AB 的方程．6．解：(1)设椭圆T 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0),焦距为2c .由题意可知c ＝1,2a ＝22,故b ＝a 2－c 2＝1,所以椭圆T 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由椭圆的对称性可知菱形ABCD 的中心为原点O ,则OA ⊥OB . 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1x 2＋y 1y 2＝0.当直线AB 的斜率不存在时,直线AB 的方程为x ＝－1,代入椭圆方程可得x 1＝x 2＝－1,y 1＝22,y 2＝－22,显然x 1x 2＋y 1y 2≠0,不符合题意．所以直线AB 的斜率存在．设AB 的斜率为k ,则直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1), 代入椭圆方程得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0,所以x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2,x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2,则y 1y 2＝k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝k 2(x 1x 2＋x 1＋x 2＋1)＝－k 21＋2k 2,所以2k 2－21＋2k 2＋－k 21＋2k 2＝0,解得k ＝±2.所以直线AB 的方程是y ＝2(x ＋1)或y ＝－ 2 (x ＋1)．7．(2019青海西宁四中、五中、十四中三校联考)椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0),F 2(1,0),椭圆过点(1,32)．(1)求椭圆C 的方程．(2)若A,B 为椭圆的左、右顶点,P(x 0,y 0)(y 0≠0)为椭圆上一动点,设直线AP,BP 分别交直线l ：x ＝6于点M,N,判断以线段MN 为直径的圆是否经过定点．若过定点,求出该定点坐标；若不过定点,说明理由．7．解：(1)由已知c ＝1,∴a 2＝b 2＋1.①∵椭圆过点(1,32),∴1a 2＋94b2＝1.②联立①②得a 2＝4,b 2＝3,∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设P (x 0,y 0),已知A (－2,0),B (2,0)．∵y 0≠0,∴x 0≠±2,∴AP ,BP 的斜率都存在,∴k AP ＝y 0x 0＋2,k BP ＝y 0x 0－2,∴k AP ·k BP ＝y 20x 20－4.③∵x 204＋y 203＝1,∴y 20＝3(1－x 204)．④ 将④代入③得k AP ·k BP ＝3（1－x 204）x 20－4＝－34. 设AP 的方程为y ＝k (x ＋2),∴BP 的方程为y ＝－34k(x －2),∴M (6,8k ),N (6,－3k)．由对称性可知,若存在定点,则该定点必在x 轴上．设该定点为T (t ,0),则TM →⊥TN →,∴TM →·TN →＝(6－t ,8k )·(6－t ,－3k)＝(6－t )2＋(－24)＝0,∴(6－t )2＝24,∴t ＝6±26,∴存在定点(6＋26,0)或(6－26,0),以线段MN 为直径的圆恒过该定点．(2019广西柳州高三一模)如图,已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点A 为椭圆C 上任意一点,A 关于原点O 的对称点为B,有|AF 1|＋|BF 1|＝4,且∠F 1AF 2的最大值为π3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若A′是A 关于x 轴的对称点,设点N(4,0),连接NA 与椭圆C 相交于点E,直线A′E 与x 轴相交于点M,试求|NF 1|·|MF 2|的值．8.解：(1)由椭圆的对称性可知|BF 1|＝|AF 2|, ∴|AF 1|＋|BF 1|＝|AF 1|＋|AF 2|＝4, 故2a ＝4,即a ＝2.又当A 为椭圆的短轴顶点时,∠F 1AF 2取得最大值,∴b ＝3c , 又b 2＋c 2＝a 2＝4,∴a ＝2,b ＝3,c ＝1.∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AN 的方程为y ＝k (x －4),代入椭圆方程x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0.设A (x 1,y 1),E (x 2,y 2),则x 1＋x 2＝32k 23＋4k 2,x 1x 2＝64k 2－123＋4k 2.∵A ′(x 1,－y 1),∴直线A ′E 的方程为y ＋y 1y 2＋y 1＝x －x 1x 2－x 1.令y ＝0,可得x ＝y 1（x 2－x 1）y 2＋y 1＋x 1＝x 1y 2＋x 2y 1y 1＋y 2＝x 1k （x 2－4）＋x 2k （x 1－4）k （x 1－4）＋k （x 2－4）＝2kx 1x 2－4k （x 1＋x 2）k （x 1＋x 2）－8k＝2·64k 2－123＋4k 2－4·32k 23＋4k 232k 23＋4k 2－8＝1.∴M (1,0),∴|MF 2|＝0,∴|MF 1|·|MF 2|＝0.9．(2019河南郑州高三二模)椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,A 为椭圆上一动点(异于左、右顶点),若△AF 1F 2的周长为4＋23,且面积的最大值为 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设A,B 是椭圆C 上两动点,线段AB 的中点为P,OA,OB 的斜率分别为k 1,k 2(O 为坐标原点),且k 1k 2＝－14,求|OP|的取值范围．9．解：(1)由椭圆的定义可得2(a ＋c )＝4＋23,所以a ＋c ＝2＋ 3.①当A 在上(或下)顶点时,△AF 1F 2的面积取得最大值,即最大值为bc ＝ 3.② 由①②及a 2＝c 2＋b 2联立求得a ＝2,b ＝1,c ＝3,可得椭圆方程为x 24＋y 2＝1,(2)当直线AB 的斜率k 不存在时,直线OA 的方程为y ＝12x 或y ＝－12x ,此时不妨取A (2,22),B (2,－22),P (2,0),则|OP |＝ 2.当直线AB 与x 轴不垂直时,设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ,联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0, Δ＝64k 2m 2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)＝16(4k 2－m 2＋1)．设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2,x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.∵k 1k 2＝－14,∴4y 1y 2＋x 1x 2＝0,∴4(kx 1＋m )(kx 2＋m )＋x 1x 2＝(1＋4k 2)x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝4m 2－4－32k 2m 21＋4k2＋4m 2＝0.整理得2m 2＝4k 2＋1,∴m 2≥12,Δ＝16m 2＞0.设P (x 0,y 0),x 0＝x 1＋x 22＝－2k m ,y 0＝kx 0＋m ＝12m ,∴|OP |2＝x 20＋y 20＝4k 2m 2＋14m 2＝2－34m 2∈[12,2)．∴|OP |的取值范围为[22,2)．综上,|OP |的取值范围为[22,2]．(2019河北衡水桃城区高三一模)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F,△ABC 的三个顶点都在抛物线上,且FB →＋FC →＝FA →.(1)求证：B,C 两点的纵坐标之积为定值．(2)设λ＝AB →·AC →,求λ的取值范围．10．(1)证明：设A (y 204,y 0),B (y 214,y 1),C (y 224,y 2),F (1,0),∴F A →＝(y 204－1,y 0),FB →＝(y 214－1,y 1),FC →＝(y 224－1,y 2)．∵FB →＋FC →＝F A →,∴y 214－1＋y 224－1＝y 204－1,y 1＋y 2＝y 0,∴y 21＋y 22＝y 20＋4,(y 1＋y 2)2＝y 20, ∴y 20＋4＋2y 1y 2＝y 20,∴y 1y 2＝－2,即B ,C 两点的纵坐标之积为定值．(2)解：由FB →＋FC →＝F A →得四边形ABFC 为平行四边形,故λ＝AB →·AC →＝CF →·BF →＝(1－y 214)(1－y 224)＋(－y 1)(－y 2)＝1－(y 214＋y 224)＋y 21y 2216＋y 1y 2＝1－y 20＋44＋416－2＝－14y 20－74≤－74,故λ的取值范围是(－∞,－74]．[70分] 解答题标准练(一)1.(2019·广州模拟)已知{a n }是等差数列,且lg a 1＝0,lg a 4＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1,a k ,a 6是等比数列{b n }的前3项,求k 的值及数列{a n ＋b n }的前n 项和. 解 (1)数列{a n }是等差数列,设公差为d , 且lg a 1＝0,lg a 4＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 1＋3d ＝10，解得d ＝3,所以a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.(2)若a 1,a k ,a 6是等比数列{b n }的前3项, 则a 2k ＝a 1·a 6, 根据等差数列的通项公式得到a k ＝3k －2,代入上式解得k ＝2；a 1,a 2,a 6是等比数列{b n }的前3项,a 1＝1,a 2＝4, 所以等比数列{b n }的公比为q ＝4. 由等比数列的通项公式得到b n ＝4n －1. 则a n ＋b n ＝3n －2＋4n －1,故S n ＝(1＋1)＋(4＋41)＋…＋(3n －2＋4n －1) ＝n (3n －1)2＋4n －14－1＝32n 2－12n ＋13(4n －1). 2.(2019·马鞍山质检)如图,半圆柱O ′O 中,平面ABB ′A ′过上、下底面的圆心O ′,O ,点C ,D分别在半圆弧AB ,A ′B ′上,且»¼.AC B'D =(1)求证：CD∥平面ABB′A′；(2)若2AC＝AB＝AA′,求二面角C－AD－B的余弦值.»AB的中点M,(1)证明如图,取∵OO′⊥平面ABC,∴OA,OM,OO′两两垂直,以O为坐标原点,OA,OM,OO′所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系O－xyz,连接OC,设OA＝1,AA′＝t,∠AOC＝θ(0<θ<π),则A(1,0,0),B(－1,0,0),C(cos θ,sin θ,0),D(－cos θ,sin θ,t),于是CD→＝(－2cos θ,0,t),而平面ABB′A′的一个法向量为OM→＝(0,1,0),由于CD →·OM →＝0,CD ⊄平面ABB ′A ′, 所以CD ∥平面ABB ′A ′.(2)解设OA ＝1,∵2AC ＝AB ＝AA ′,则C ⎝⎛⎭⎫12，32，0,D ⎝⎛⎭⎫－12，32，2,CD →＝(－1,0,2),AC →＝⎝⎛⎭⎫－12，32，0,BD →＝⎝⎛⎭⎫12，32，2,设平面CAD 的法向量n 1＝(x 1,y 1,z 1),则⎩⎨⎧CD →·n 1＝－x 1＋2z 1＝0，AC →·n 1＝－12x 1＋32y 1＝0，不妨设x 1＝23,得n 1＝(23,2,3), 设平面BAD 的法向量n 2＝(x 2,y 2,z 2), 则⎩⎨⎧BD →·n 2＝12x 2＋32y 2＋2z 2＝0，BA→·n 2＝2x 2＝0，不妨设y 2＝4,得n 2＝(0,4,－3), 所以cos 〈n 1,n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝519·19＝519, 又由图可知,二面角C －AD －B 为锐角, 故二面角C －AD －B 的余弦值为519.3.(2019·武邑调研)已知定点N (5,0),动点P 是圆M ：(x ＋5)2＋y 2＝36上的任意一点,线段NP 的垂直平分线与半径MP 相交于点Q .(1)求|QM |＋|QN |的值,并求动点Q 的轨迹C 的方程；(2)若圆x 2＋y 2＝4的切线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,求△AOB 面积的最大值. 解 (1)由已知条件得|QN |＝|QP |,又|QM |＋|QP |＝6,∴|QM |＋|QN |＝6>25,为定值.根据椭圆定义得,动点Q 的轨迹是以点M ,N 为焦点的椭圆. 且2a ＝6,即a ＝3,c ＝5,则b ＝2,∴动点Q 的轨迹C 的方程为x 29＋y 24＝1.(2)由题可知直线l 不可能与x 轴平行, 则可设切线方程为x ＝ty ＋m , 由直线与圆相切,得|m |1＋t 2＝2,∴m 2＝4(1＋t 2).由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，x 29＋y 24＝1，消去x 得(4t 2＋9)y 2＋8tmy ＋4m 2－36＝0, Δ＝(8tm )2－4(4t 2＋9)(4m 2－36) ＝144(4t 2－m 2＋9)＝144×5>0, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∴y 1＋y 2＝－8tm4t 2＋9,y 1y 2＝4m 2－364t 2＋9.∴|AB |＝1＋t 2|y 1－y 2| ＝1＋t 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝1＋t 2·1254t 2＋9＝12541＋t 2＋51＋t 2≤12545＝3, 当且仅当41＋t 2＝51＋t 2,即t 2＝14时等号成立.此时|m |＝5,|AB |max ＝3,又∵S △AOB ＝12×2×|AB |＝|AB |≤3,∴当|m |＝5,|t |＝12时,△AOB 的面积最大,最大值为3.4.(2019·山东师范大学附属中学模拟)某读书协会共有1 200人,现收集了该协会20名成员每周的课外阅读时间(分钟),其中某一周的数据记录如下：75,60,35,100,90,50,85,170,65,70,125,75,70,85,155,110,75,130,80,100.对这20个数据按组距30进行分组,并统计整理,绘制了如下尚不完整的统计图表：阅读时间分组统计表(设阅读时间为x 分钟).(1)写出m ,n 的值,请估计该读书协会中人均每周的课外阅读时长,以及该读书协会中一周阅读时长不少于90分钟的人数；(2)该读书协会拟发展新成员5人,记新成员中每周阅读时长在[60,90)之间的人数为X ,以上述统计数据为参考,求X 的分布列和期望；(3)以这20人为样本完成下面的2×2列联表,并回答能否有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”？附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋c )(b ＋d )(a ＋b )(c ＋d ).解 (1)m ＝4,n ＝2,该读书协会中人均每周的课外阅读时长为45×220＋75×1020＋105×420＋135×220＋165×220＝93(分钟),由样本估计总体,一周阅读时长不少于90分钟的人数为 1 200×4＋2＋220＝480.(2)X ～B ⎝⎛⎭⎫5，12, 由题意知,X 的可能取值为0,1,2,3,4,5.且P (X ＝0)＝C 05⎝⎛⎭⎫125＝132,P (X ＝1)＝C 15⎝⎛⎭⎫125＝532, P (X ＝2)＝C 25⎝⎛⎭⎫125＝1032＝516, P (X ＝3)＝C 35⎝⎛⎭⎫125＝1032＝516, P (X ＝4)＝C 45⎝⎛⎭⎫125＝532,P (X ＝5)＝C 55⎝⎛⎭⎫125＝132, 所以X 的分布列如下：E (X )＝5×12＝2.5.(3)2×2列联表如下：k ＝20(3×8－1×8)24×16×11×9≈0.808<2.706,所以没有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”.5.设函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)(a ∈R ). (1)当a ＝1时,求f (x )的单调区间；(2)若f (x )≥0对任意x ∈[1,＋∞)恒成立,求实数a 的取值范围； (3)当θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时,试比较12ln(tan θ)与tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4的大小,并说明理由. 解 (1)当a ＝1时,f (x )＝(x ＋1)ln x －(x －1),f ′(x )＝ln x ＋1x,设g (x )＝ln x ＋1x (x >0),则g ′(x )＝x －1x 2,当x ∈(0,1)时,g ′(x )<0,g (x )单调递减, 当x ∈(1,＋∞)时,g ′(x )>0,g (x )单调递增, g (x )min ＝g (1)＝1>0,∴f ′(x )>0.故f (x )在区间(0,＋∞)上单调递增, 无单调递减区间.(2)f ′(x )＝ln x ＋1x ＋1－a ＝g (x )＋1－a ,由(1)可知g (x )在区间[1,＋∞)上单调递增, 则g (x )≥g (1)＝1,即f ′(x )在区间[1,＋∞)上单调递增,且f ′(1)＝2－a , ①当a ≤2时,f ′(x )≥0, f (x )在区间[1,＋∞)上单调递增, ∴f (x )≥f (1)＝0满足条件；②当a >2时,设h (x )＝ln x ＋1x ＋1－a (x ≥1),则h ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2≥0(x ≥1),∴h (x )在区间[1,＋∞)上单调递增, 且h (1)＝2－a <0,h (e a )＝1＋e －a >0, ∴∃x 0∈[1,e a ],使得h (x 0)＝0, ∴当x ∈[1,x 0)时,h (x )<0,f (x )单调递减, 即当x ∈[1,x 0)时,f (x )≤f (1)＝0,不满足题意. 综上所述,实数a 的取值范围为(－∞,2]. (3)由(2)可知,取a ＝2,当x >1时,f (x )＝(x ＋1)ln x －2(x －1)>0,即12ln x >x －1x ＋1, 当0<x <1时,1x >1,∴12ln 1x >1x －11x ＋1⇔ln x 2<x －1x ＋1, 又∵tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan θ－1tan θ＋1,∴当0<θ<π4时,0<tan θ<1,12ln(tan θ)<tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4；当θ＝π4时,tan θ＝1,12ln(tan θ)＝tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4；当π4<θ<π2时,tan θ>1, 12ln(tan θ)>tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4. 综上,当θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时,12ln(tan θ)<tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4；当θ＝π4时,12ln(tan θ)＝tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4；当θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时,12ln(tan θ)>tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4. 6.在极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ,点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4,以极点为坐标原点,极轴为x 轴正半轴,建立平面直角坐标系. (1)求曲线C 的直角坐标方程和点P 的直角坐标；(2)过点P 的直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,若|P A |＝2|PB |,求|AB |的值. 解 (1)由ρ＝6sin θ,得ρ2＝6ρsin θ, 又x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ, ∴x 2＋y 2＝6y ,即曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －3)2＝9, 点P 的直角坐标为(1,1).(2)设过点P 的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝1＋t sin θ(t 为参数), 将其代入x 2＋y 2＝6y ,得t 2＋2(cos θ－2sin θ)t －4＝0, 设A ,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2, ∴t 1t 2＝－4,∵|P A |＝2|PB |,∴t 1＝－2t 2,∴t 1＝22,t 2＝－2或t 1＝－22,t 2＝2, ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝3 2.7.已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|. (1)解不等式：f (x )≤x ＋3；(2)若不等式|m |·f (x )≥|m ＋2|－|3m －2|对任意m ∈R 恒成立,求x 的取值范围.解 (1)①由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x －3≤x ＋3，得2≤x ≤6；②由⎩⎪⎨⎪⎧1<x <2，x －1＋2－x ≤x ＋3，得1<x <2；③由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，3－2x ≤x ＋3，得0≤x ≤1.由①②③可得x ∈[0,6]. (2)①当m ＝0时,0≥0,∴x ∈R ； ②当m ≠0时,即f (x )≥⎪⎪⎪⎪2m ＋1－⎪⎪⎪⎪2m －3对∀m ∈R ,m ≠0恒成立, ⎪⎪⎪⎪2m ＋1－⎪⎪⎪⎪2m －3≤⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2m ＋1－⎝⎛⎭⎫2m －3＝4, ∴f (x )＝|x －1|＋|x －2|≥4, 当x ≥2时,2x －3≥4,解得x ≥72；当1<x <2时,x －1＋2－x ≥4,解得x ∈∅；当x ≤1时,3－2x ≥4,解得x ≤－12,综上,x 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪⎣⎡⎭⎫72，＋∞.数学的核心素养引领复习一、数学抽象、直观想象素养1 数学抽象例1 (2019·全国Ⅱ)设函数f (x )的定义域为R ,满足f (x ＋1)＝2f (x ),且当x ∈(0,1]时,f (x )＝x (x －1).若对任意x ∈(－∞,m ],都有f (x )≥－89,则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，94 B.⎝⎛⎦⎤－∞，73 C.⎝⎛⎦⎤－∞，52 D.⎝⎛⎦⎤－∞，83 答案 B解析当－1<x ≤0时,0<x ＋1≤1,则f (x )＝12 f (x ＋1)＝12(x ＋1)x ；当1<x ≤2时,0<x －1≤1,则f (x )＝2f (x －1)＝2(x －1)(x －2)；当2<x ≤3时,0<x －2≤1,则f (x )＝2f (x －1)＝22f (x －2)＝22(x －2)(x －3),…,由此可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧…，12(x ＋1)x ，－1<x ≤0，x (x －1)，0<x ≤1，2(x －1)(x －2)，1<x ≤2，22(x －2)(x －3)，2<x ≤3，由此作出函数f (x )的图象,如图所示.由图可知当2<x ≤3时,令22(x －2)·(x －3)＝－89,整理,得(3x －7)(3x －8)＝0,解得x ＝73或x ＝83,将这两个值标注在图中.要使对任意x ∈(－∞,m ]都有f (x )≥－89,必有m ≤73,即实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，73,故选B.。

全国通用近年高考数学总复习专题七解析几何7.3解析几何(压轴题)精选刷题练理(2021年整理)

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7.3 解析几何（压轴题）命题角度1曲线与轨迹问题高考真题体验·对方向1。

(2017全国Ⅱ·20)设O为坐标原点，动点M在椭圆C:+y2=1上，过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足。

(1）求点P的轨迹方程；(2）设点Q在直线x=—3上，且=1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。

(1）解设P（x,y），M（x0，y0),则N（x0,0），=(x-x0,y），=（0，y0）.由得x0=x,y0=y。

因为M（x0，y0）在C上，所以=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)证明由题意知F（-1,0）。

设Q(—3，t），P（m,n）,则=（-3，t）,=(-1-m，-n），=3+3m—tn，=（m,n),=（-3—m，t—n）。

由=1得-3m-m2+tn—n2=1.又由（1)知m2+n2=2,故3+3m—tn=0.所以=0，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。

2.(2016全国Ⅲ·20）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C 于A,B两点，交C的准线于P，Q两点.(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明:AR∥FQ;（2）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程。

解析几何分类复习总结

第7讲：解析几何类型一：直线例1. 设点A(－3，5)和B(2，15)，在直线l ：3x －4y ＋4＝0上找一点p ，使PB PA +为最小，并求出这个最小值．解：设点A 关于直线l 的对称点A'的坐标为(a ，b)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++⋅--⋅-=⨯+-0425423314335b a a b 解之得a ＝3，b ＝－3，∴A´＝(3，－3)．∴(|PA|＋|PB|)min ＝|A´B|＝513 ∵k A´B ＝32315-+＝－18 ∴A´B 的方程为y ＋3＝－18(x －3) 解方程组⎩⎨⎧--=+=+-)3(1830443x y y x 得P(38，3)变式训练1：直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若A 、B 坐标分别为A(－4，2)、B(3，1)，求点C 的坐标并判断△ABC 的形状．解：因为直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线，所以CA 、CB 所在直线关于y ＝2x 对称，而A(－4, 2)关于直线y ＝2x 对称点A 1必在CB 边所在直线上设A 1(x 1，y 1)则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⋅=+-=⋅---2422212)4(21111x y x y 得⎩⎨⎧-==2411y x 即A 1(4, －2)由A 1(4, －2)，B(3, 1)求得CB 边所在直线的方程为：3x ＋y －10＝0 又由⎩⎨⎧=-+=01032y x xy解得C(2, 4) 又可求得：k BC ＝－3，k AC ＝31∴k BC ·k AC ＝－1，即△ABC 是直角三角形类型二：圆例2. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上． (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．【解答】 (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1.则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3. 所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2＝9.消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0.从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.② 由①，②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.变式训练2. 过⊙：x 2＋y 2＝2外一点P(4，2)向圆引切线． ⑴ 求过点P 的圆的切线方程．⑵ 若切点为P 1、P 2求过切点P 1、P 2的直线方程．解：(1)设过点P(4，2)的切线方程为y －2＝k(x －4) 即kx －y+2－4k ＝0 ① 则d ＝2142k k +-∴2142k k +-＝2 解得k ＝1或k ＝71∴切线方程为：x －y －2＝0或x －7y ＋10＝0(2) 设切点Ｐ1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，两切线的方程可写成l 1: x 1x ＋y 1y ＝2，l 2：x 2x ＋y 2y ＝２因为点(4，2)在l 1和l 2上．则有4 x 1＋2y 1＝2 4x 2＋2y 2＝2这表明两点都在直线4x ＋2y ＝2上，故直线2 x ＋y －1＝0即为所求类型三：线性规划例3. 已知x 、y 满足约束条件 ⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≤--010401172357y x y x y x 分别求： ⑴ z ＝2x ＋y ⑵ z ＝4x －3y⑶ z ＝x 2+y 2的最大值、最小值？解：其中A(4，1)，B(－1，－6)，C(－3，2)(1) 作与直线2x ＋y ＝0平行的直线l 1：2x ＋y ＝t ，则当l 1经过点A 时，t 取最大，l 1经过点B 时，t 取最小．∴z max ＝9 z min ＝－13(2) 作与直线4x －3y ＝0平行的直线l 2：4x －3y ＝t ，则当l 2过点C 时，t 最小，l 2过点B 时，t 最大．∴z max ＝14 z min ＝－18(3) 由z ＝x 2＋y 2，则z 表示点(x ，y)到(0，0)的距离，结合不等式组表示的区域．知点B 到原点的距离最大，当(x ，y)为原点时距离为0．∴z max ＝37 z min ＝0 变式训练3：给出平面区域如下图所示，目标函数t ＝ax －y ，(1) 若在区域上有无穷多个点(x ，y)可使目标函数t 取得最小值，求此时a 的值． (2) 若当且仅当x ＝32，y ＝54时，目标函数t 取得最小值，求实数a 的取值范围？解：(1)由t ＝ax －y 得y ＝ax －t 要使t 取得最小时的(x ，y)有无穷多个，则y ＝ax －t 与AC 重合．∴a ＝k AC ＝132054--＝－512 (2)由K AC < a< K BC 得－512< a<－103类型四：求轨迹例4：已知圆C 1：(x+3)2+y 2=1和圆C 2：（x-3）2+y 2=9,动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程. 解如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和点B ，根据两圆外切的充要条件，x54得 |MC 1|-|AC 1|=|MA|， |MC 2|-|BC 2|=|MB|.因为|MA|=|MB|，所以|MC 2|-|MC 1|=|BC 2|-|AC 1|=3-1=2. 这表明动点M 到两定点C 2，C 1的距离之差是常数2. 根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的左支（点M 到C 2的距离大，到C 1的距离小），这里a=1,c=3,则b 2=8,设点M 的坐标为（x,y ）,其轨迹方程为x 2-82y =1 (x≤-1).变式训练4：如图所示，已知P （4，0）是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. 解设AB 的中点为R ，坐标为（x 1，y 1），Q 点坐标为（x ，y ），则在Rt △ABP 中， |AR|=|PR|，又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理有Rt △OAR 中，|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-（2121y x +）.又|AR|=|PR|=2121)4(y x +-，所以有（x 1-4）2+21y =36-（2121y x +）.即2121y x +-4x 1-10=0. 因为R 为PQ 的中点，所以x 1=24+x ，y 1=2+y . 代入方程2121y x +-4x 1-10=0，得 422422-⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x ·24+x -10=0. 整理得x 2+y 2=56. 这就是Q 点的轨迹方程.类型五：圆锥曲线例5：（分类讨论）平面内与两定点A 1(－a,0)、A 2(a,0)(a >0)连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上A 1、A 2两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线．求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值的关系；例6：（椭圆）在平面直角坐标系xOy 中，点P到两点(0，，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ．（Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）设直线1y kx =+与C 交于A ，B两点．k 为何值时OA ⊥OB？此时AB 的值是多少？解：（Ⅰ）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C是以(0(0，为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴1b ==，故曲线C 的方程为2214y x +=．（Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足22141.y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=，故1212222344k x x x x k k +=-=-++，． OA OB ⊥，即12120x x y y +=．而2121212()1y y k x x k x x =+++，于是222121222223324114444k k k x x y y k k k k -++=---+=++++．所以12k =±时，12120x x y y +=，故O A O ⊥ ．当12k =±时，12417x x +=，121217x x =-．AB ==而22212112()()4x x x x x x -=+-23224434134171717⨯⨯=+⨯=，所以17AB = 例7. （双曲线）设双曲线C ：1222=-y x 的左、右顶点分别为A 1、A 2，垂直于x 轴的直线m 与双曲线C 交于不同的两点P 、Q 。

专题-解析几何知识点汇总(全)

直线的方程1、直线的方程：类型直线方程方向向量d法向量n斜率k截距x轴/y轴/两点式x x1y y1x2x1y2y1(x2x1,y2y1)(y2y1,x1x2)y2y1x2x1点方向式点法向式点斜式截距式斜截式x xy yu va(x x) b(y y) 0(u,v)(v, u)vuab//(b, a)(1,k)( m,n)(1,k)(B, A)(a,b)(k, 1)(n,m)(k, 1)(A,B)//y yk(x x)x y1m ny kx bAx By C 0knm//m/nbCBkAB一般式C A注意：（1）点法向式方程和一般式方程可以表示所有的直线；（2）两点式方程和点方向式方程不能表示垂直于x轴或垂直于y轴的直线；（3）点斜式方程和斜截式方程不能表示垂直于x轴的直线；（4）截距式方程不能表示经过原点的直线．2、直线的倾斜角和斜率：（1）直线的倾斜角为平面直角坐标系中直线与x轴正半轴的夹角．取值范围： [0, )；（2）直线的斜率：tan , [0,) (, )22k不存在，2；k 0 0k 2 0 0k tan 在[0, )和 k 不存在 = 2(2, )上单调递增．2k 0 2 y 2 y 1（3）若直线过点(x x ,x 1 x 21,y 1)，(x 2,y 2)，则该直线的斜率k 2 x 1，k R ．不存在，x 1 x 23、两条直线的位置关系：已知l 1:a 1x b 1y c 1 0，l 2:a 2x b 2y c 2 0，则（1）系数法：①l 1 l 2 a 1a 2 b 1b 2 0；特别地，若l 1的斜率为k 1，l 2的斜率为k 2，l 1 l 2 k 1 k 2 1；②l 1与l 2相交 a 1b 2 a 2b 1；③l 1与l 2重合 a 1:b 1:c 1 a 2:b 2:c 2；④l 与l a 1:b 1 a 2:b 212平行 a ．1:c 1 a 2:c 2或b 1:c 1 b 2:c 2（2）向量法：已知l 的法向量为 n11 (a 1,b 1)，l 2的法向量为n 2 (a 2,b 2)，则①l l12 n 1 n 20 a 1a 2 b 1b 2 0；特别地，若l 1的斜率为k 1，l 2的斜率为k 2，则l 1 l 2 k 1 k 2 1；②l l1与2相交 n 1与n 2不平行 a 1b 2 a 2b 1；③l 1与l 2平行或重合 n 1与n 2平行 a 1b 2 a 2b 1．（3）行列式法：已知Da 1b 1a ，Db 1xc 12b 2c 2b ，D y a 1c 12a 2c ，则21l 1与l2相交 D 0；②l1与l2重合 D D x D y 0；则③1与2平行 l l D 0．D x、D y 不全为零4、两条相交直线l 1:a 1x b 1y c 1 0和l 2:a 2x b 2y c 2 0的夹角：（1）若l 1、l 2的法向量分别为n 1 (a 1,b 2)、n 2 (a 2,b 2)，且l 1、l 2的方向向量分别为d 1、d 2，则n n 2cos 1n 1 n 2a 1a 2b 1b 2a 12 b 12 a 22 b 22d 1 d 2 或cos， [0,]；2d 1 d 2（2）若l 1、l 2的斜率分别为k 1、k 2，且l 1到l 2的角为 1，l 2到l 1的角为 2，则tank k 1k k 2k 1 k 2, [0,)；tan 1 2，tan 2 1．1 k 1k 21 k 1k 21 k 1k 225、点到直线的距离公式：（1）点P (x 0,y 0)到直线l :Ax By C 0的距离为dAx 0 By 0 CA B22；（2）直线l 1:Ax By C 1 0与直线l 2:Ax By C 2 0的距离为dC 1 C 2A B22．6、直线l :Ax By C 0同侧/异侧：（1）Ax 0 By 0 C 0(A 0) P (x 0,y 0)在直线l :Ax By C 0(A 0)的右侧；Ax 0 By 0 C 0(A 0) P (x 0,y 0)在直线l :Ax By C 0(A 0)的左侧．（2）点M (x 1,y 1)、N (x 2,y 2)在直线l 同侧 (Ax 1 By 1 C )(Ax 2 By 2 C ) 0；点M (x 1,y 1)、N (x 2,y 2)在直线l 异侧 (Ax 1 By 1 C )(Ax 2 By 2 C ) 0．7、点关于直线的对称问题：点直线P (x 0,y 0)x 轴P (x 0, y 0)y 轴P ( x 0,y 0)y xP (y 0,x 0)y xP ( y 0, x 0)x mP (2m x 0,y 0)y n P (x 0,2n y 0)对称点补充：①点P(x0,y)关于直线y x b的对称的点为P (yb,xb)；②点P(x0,y)关于直线y x b的对称的点为P (b y,b x)；A(n y) B(m x)③点P(x0,y)关于直线Ax By C 0的对称点P (m,n)满足 m x．n yA B C 022或者P (m,n)，其中 8、三线共点问题：三条互不平行的直线l1:a1x b1y c10，直线l2:a2x b2y c20，直线l3:a3x b3y c30共m x0 2AD Ax By C,D 022．A Bn y0 2BDa1点的充要条件是a2b1b2b3c1c20．c3a39、直线系方程：具有某一个共同性质的一簇直线称为直线系．（1）平行直线系：①斜率为k0（常数）的直线系：，例：y 2x b；y kx b（b为参数）②平行于直线A0x By 0的直线系：Ax By C 0(C为参数)．（2）过已知点的直线系：①以斜率k作为参数的直线系：y y0 k(x x)，直线过定点(x,y)；②以斜率k作为参数的直线系：y kx b0，直线过定点(0,b)．③过两条直线l1:A1x B1y C10，l2:A2x B2y C20的交点的直线系：A 1x B1y C1(A2x B2y C2) 0( 为参数)．注意：对于①②，过定点且平行于y轴或与y轴重合的直线不在直线系内；对于③，其中直线l2不在直线系内．10、定直线上动点与两定点距离和差问题：（1）定直线上动点与两定点距离和：问题已知定直线l上动点P，两个定点A、B，求PA PB的取值范围．取值范围A、B在l的解答步骤同侧 A B,AB, ①作点A关于l的对称点A ；②联结A B，交l于M；③点M为最小值状态点．①联结AB交l于M；②点M为最小值状态点．异侧（2）定直线上动点与两定点距离差：已知定直线l上动点P，两个定点A、B，点A、B到l的距离分别为d1、d2，问题直线AB与直线l的夹角为，求PA PB的取值范围．A、B在l的d1与d2的大小关系d1d2取值范围解答步骤①联结AB并延长交l于M；②点M为最大值状态点．/①联结BA并延长交l于M；②点M为最小值状态点．①作点A关于l的对称点A ；②联结A B并延长交l于M；③点M为最大值状态点．/①作点A关于l的对称点A ；②联结BA 并延长交l于M；2AB cos ,ABAB,ABAB,AB cos同侧d1 d2d 1 d2d 1 d2A B cos ,A BA B,A BA B,AB cos异侧d1d2d1d2点M为最小值状态点．曲线的方程（一）曲线的方程概论1、轴对称的两个曲线：曲线对称轴曲线F(x,y) 0x轴F(x, y) 0y轴y x y x x m y n F( x,y) 0F(y,x) 0F( y, x) 0F(2m x,y) 0F(x,2n y) 0补充：①曲线F (x ,y ) 0关于y x b 对称的曲线方程为F (y b ,x b ) 0；②曲线F (x ,y ) 0关于y x b 对称的曲线方程为F (b y ,b x ) 0．2、中心对称的两个曲线：曲线对称中心曲线F (x ,y ) 03、轴对称的曲线：曲线对称轴条件(m ,n )F (2m x ,2n y ) 0F (x ,y ) 0y x F (y ,x ) F (x ,y )补充：y x F ( y , x ) F (x ,y )x mF (2m x ,y ) F (x ,y )y nF (x ,2n y ) F (x ,y )a b对称。

专题七：解析几何专题(点差法)及综合应用(学生版)

专题七：解析几何专题——点差法一、点差法定义应用问题在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为()()1122,,x y x y 、，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率..1 求弦中点的轨迹方程例1、已知椭圆2212x y +=，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.例2 直线():50l ax y a --+=（a 是参数）与抛物线()2:1f y x =+的相交弦是AB ，则弦AB 的中点轨迹方程是 .2 求曲线方程例4 已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的一条准线方程是1x =，有一条倾斜角为4π的直线交椭圆于A B 、两点，若AB 的中点为11,24C ⎛⎫-⎪⎝⎭，求椭圆方程.3 求直线的斜率例5 已知椭圆221259x y +=上不同的三点()()11229,,4,,,5A x y B C x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭与焦点()4,0F 的距离成等差数列.（1）求证：128x x +=；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k .4 确定参数的范围例6 若抛物线2:C y x =上存在不同的两点关于直线():3l y m x =-对称，求实数m 的取值范围.5 证明定值问题例7 已知AB 是椭圆()222210x y a b a b+=>>不垂直于x 轴的任意一条弦，P 是AB 的中点，O 为椭圆的中心.求.6处理存在性问题例8 已知双曲线22112x y -=，过()1,1B 能否作直线l ，使l 与双曲线交于P ，Q 两点，且B 是线段PQ 的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由..二、用点差法解圆锥曲线的中点弦问题与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。

专题七解析几何第一讲直线与圆—2023届高考数学二轮复习重点练(含解析)

专题七解析几何第一讲直线与圆1.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为( )A.5B.5C.5D.52.下列说法中不正确的是( )A.平面上任一条直线都可以用一个关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=(,A B 不同时为0)表示B.当0C =时,方程0Ax By C ++=(,A B 不同时为0)表示的直线过原点C.当0,0,0A B C =≠≠时,方程0Ax By C ++=表示的直线与 x 轴平行D.任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化3.已知设点M 是圆224690C x y x y +--+=上的动点，则点M 到直线240x y ++=距离的最小值为( )2 2- 2+ 2 4.已知直线1l ，2l 分别过点(1,3)P -，(2,1)Q -，若它们分别绕点P ，Q 旋转，但始终保持平行，则1l ，2l 之间的距离d 的取值范围为( )A.(0,5]B.(0,5)C.(0,)+∞D.5.直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是( )A.[2,6]B.[4,8]C.D.6.已知直线:10l x ay +-=是圆22:6210C x y x y +--+=的对称轴,过点()1,A a -作圆C 的一条切线,切点为B ,则AB =( ) A.1B.2C.4D.87.已知点(2,0),(1,1)A B --，射线AP 与x 轴的正方向所成的角为π4，点Q 满足||1QB =，则||PQ 的最小值为( )1 B.1 C.1 18.（多选）已知直线12:210,:20l ax y a l x ay a --+=+--=,圆22:4240E x y x y +-+-=,则以下命题正确的是( )A.直线12,l l 均与圆E 不一定相交B.直线1l 被圆E 截得的弦长的最小值C.直线2l 被圆E 截得的弦长的最大值6D.若直线1l 与圆E 交于2,,A C l 与圆E 交于,B D ,则四边形ABCD 面积最大值为14 9. （多选）已知圆221:()1C x a y ++=，圆2222:()(2)2C x a y a a -+-=，下列说法正确的是( )A.若12C OC △（O 为坐标原点）的面积为2，则圆2C 的面积为2πB.若a ，则圆1C 与圆2C 外离C.若a ，则y x =1C 与圆2C 的一条公切线D.若a 1C 与圆2C 上两点间距离的最大值为610. （多选）已知直线11:0l ax y -+=，2:10l x ay ++=，a ∈R ，则下列结论中正确的是( )A.不论a 为何值，1l ，2l 都互相垂直B.当a 变化时，1l ，2l 分别经过定点(0,1)A 和(1,0)B -C.不论a 为何值，1l ，2l 都关于直线0x y +=对称D.若1l ，2l 相交于点M ，则MO11.过两直线10x +=0y +的交点，并且与原点的最短距离为12的直线的方程为________________.12.圆221:2120C x y x ++-=与圆222:440C x y x y ++-=的交点为A ，B ，则弦AB 的长为_____.13.已知圆22:2410C x y x y ++-+=，若存在圆C 的弦AB ，使得AB =，且其中点M 在直线20x y k ++=上，则实数k 的取值范围是___________.14.已知曲线2:2x C y =，D 为直线12y =-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B.（1）证明：直线AB 过定点；（2）若以20,5E ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程.15.已知半圆224(0)x y y +=≥，动圆与此半圆相切（内切或外切，如图），且与x 轴相切.（1）求动圆圆心的轨迹方程，并画出其轨迹.（2）是否存在斜率为13的直线l ，它与（1）中所得的轨迹由左至右顺次交于A ，B ，C ，D 四点，且满足||2||AD BC =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.答案以及解析1.答案：B解析：设圆心为()00,P x y ，半径为r ，圆与x 轴，y 轴都相切，00x y r ∴==，又圆经过点(2,1)，00x y r ∴==且()()2220021x y r -+-=，222(2)(1)r r r ∴-+-=，解得1r =或5r =.①1r =时，圆心(1,1)P ，则圆心到直线230x y --=的距离d ==②5r =时，圆心(5,5)P ，则圆心到直线230x y --=的距离d ==故选B. 2.答案：D解析：对于选项A,在平面直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角α,当90α≠︒时,直线的斜率k 存在,其方程可写成y kx b =+,它可变形为0kx y b -+=,与0Ax By C ++=比较,可得,1,A k B C b ==-=；当90α=︒时,直线的斜率不存在,其方程可写成1x x =,与0Ax B C ++=比较,可得11,0,A B C x ===-,显然,A B 不同时为0,所以此说法是正确的.对于选项B,当0C =时,方程0Ax By C ++=(,A B 不同时为0),即0Ax By +=,显然有000A B ⨯+⨯=,即直线过原点()0,0,故此说法正确.对于选项C,因为当0A =,0,0B C ≠≠时,方程0Ax By C ++=可化为Cy B=-,它表示的直线与x 轴平行,故此说法正确.D 说法显然错误. 3.答案：B解析：由题意可知圆心(2,3)C ，半径2r =，则点M 到直线240x y ++=距离的最小值min22d =-=-，故选B. 4.答案：A解析：易知两直线之间的最大距离为P ，Q 两点间的距离，由两点间的距离公式得||5PQ .故1l ，2l 之间的距离d 的取值范围为(0,5].5.答案：A解析：由圆22(2)2x y -+=可得圆心坐标为()2,0，半径r ABP △的面积记为S ，点P 到直线AB 的距离记为d ，则有1||2S AB d =⋅.易知||AB =max d ==，min d =26S ≤≤，故选A.6.答案：C解析：已知直线:10l x ay +-=是圆22:6210C x y x y +--+=的对称轴,圆心()3,1C ,半径3r =,所以直线l 过圆心()3,1C ,故310a +-=,故2a =-.所以点()1,2A --,||5AC =,||4AB ==.故选C.7.答案：A解析：因为||1QB =，所以点Q 在以点B 为圆心，1为半径的圆上，显然当射线AP 在x 轴的下方时||PQ 取得最小值，此时直线:20AP x y ++=，点B 到AP 的距离d ==所以||PQ 1，故选A. 8.答案：BCD解析：由题意,直线1:210l ax y a --+=,即(2)10a x y --+=.令20x -=,得2,1x y ==,即直线1l 过定点()2,1;直线2:20l x ay a +--=,即2(1)0x a y -+-=,令10y -=,得2,1x y ==,即直线2l 过定点()2,1,所以直线12,l l 过同一个定点()2,1,记为点M .圆22:4240E x y x y +-+-=可化为22(2)(1)9x y -++=,而点()2,1M 在圆E 内部,所以直线12,l l 均与圆E 相交,所以A 选项错误;对于直线1l ,当0a =时,直线1l 被圆E 截得的弦长最小,且最小值为所以B 选项正确;对于直线2l ,当0a =时,直线2l 被圆E 截得的弦长最大,且最大值恰好为圆E 的直径6,所以C 选项正确;又当0a ≠时,直线1l 的斜率为a ,直线2l 的斜率为1a-,即直线12l l ⊥.设圆心E 到直线12,l l 的距离分别为12,d d ,则12d d ==又22212||4d d EM +==,即22||||99444AC BD -+-=,所以22||||56AC BD +=,所以2211||||||||14222ABCDAC BD S AC BD +=⋅≤⨯=四边形,当且仅当||||AC BD ==,等号成立,故四边形ABCD 面积最大值为14,所以D 选项正确,故选BCD. 9.答案：BC解析：本题考查圆与圆的位置关系.依题意1(,0)C a -，2(,2)C a a ，圆1C 半径11r =，圆2C 半径2|r a =.对于选项A ，1221|||2|22C OC S a a a =-⋅==△，则a =2|2r a ==，则圆2C 的面积为22π4πr =，选项A 错误；对于选项B，12|C C a，121|r r a +=+，若圆1C 与圆2C 外离，则1212C C r r >+，即|1|a a >，得2a >或2a <，选项B 正确；对于选项C ，当a =时，1C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2C ⎝，121r r ==，1212|2C C a r r ===+，所以圆1C 与圆2C 外切，且121C C k =，所以两圆的公切线中有两条的斜率为1，设切线方程为0x y b -+=1=，解得2b =-或2b =，则一条切线方程为0x y -=，即y x =，选项C 正确；对于选项D，当a =1(C，2C ，11r =，22r =，12|4C C a ==，圆1C 与圆2C 上两点间距离的最大值为1247r r ++=，选项D 错误.故选BC.10.答案：ABD解析：因为110a a ⨯-⨯=，所以无论a 为何值，1l ，2l 都互相垂直，故A 正确；1l ，2l 分别经过定点(0,1)A 和(1,0)B -，故B 正确；1:10l ax y -+=关于直线0x y +=对称的直线方程为10ay x -++=，不是2:10l x ay ++=，故C 错误；由10,10,ax y x ay -+=⎧⎨++=⎩解得221,11,1a x a a y a --⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩即2211,11a a M a a ---+⎛⎫ ⎪++⎝⎭，所以MO =≤MO的最大值是D 正确.故选ABD.11.答案：12x =或10x +=解析：联立10,0,x y ⎧+=⎪+解得1,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即两直线的交点为12⎛ ⎝⎭.当直线的斜率不存在时，12x =，到原点的距离等于12，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为12y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即220kx y k -+=.因为直线与原点的最短距离为12，所以12=，解得k =，所以所求直线的方程为10x +=，所以所求直线的方程为12x =或10x +=. 12.答案：解析：圆221:2120C x y x ++-=与圆222:440C x y x y ++-=联立可得：公共弦的方程为260x y -+=，222:440C x y x y ++-=变形为()()222:228C x y ++=-，故222:440C x y x y ++-=的圆心为()22,2C -，半径为，而()22,2C -满足260x y -+=，故弦AB 的长为圆2C 的直径，故弦AB的长为.故答案为：. 13.答案：k 解析：圆C 的方程可化为22(1)(2)4x y ++-=，圆心(1,2)C -，半径2r =，由于弦AB满足||AB =M，则||1CM ，因此M 点在以(1,2)C -为圆心，1为半径的圆上，又点M 在直线20x y k ++=上，故直线20x y k ++=与圆22(1)(2)1x y ++-=1≤，解得k ≤14.答案：（1）见解析（2）当0t =时，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；当1t =±时，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ 解析：（1）证明：依题意，可设:AB y kx b =+，1,2D t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()11,A x y ，()()2212,B x y x x ≠.联立2,2,x y y kx b ⎧=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得2220x kx b --=. 2480k b ∆=+>，122x x k +=，122x x b =-.又直线DA 与抛物线相切，则2111122x x x t+=-，所以211210x tx --=，同理222210x tx --=. 所以1222k x x t =+=，1221b x x -=⋅=-，所以k t =，12b =，则直线1:2AB y tx =+，必过定点10,2⎛⎫⎪⎝⎭. （2）解法一：由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+.由21,22y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得2210x tx --=. 于是122x x t +=，()21212121y y t x x t +=++=+.设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +-=，解得0t =或1t =±.当0t =时，||2EM =，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；当1t =±时，||2EM =，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 解法二：设M 为线段AB 的中点，由（1）可知212,M t t ⎛+⎫ ⎪⎝⎭.所以()2,2EM t t =-，()2,FM t t =，又EM FM ⊥，则()2220t t t t ⋅+-⋅=，解得0t =或1t =或1t =-.当0t =时，||2EM =，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；当1t =±时，||2EM =，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 15.答案：（1）见解析（2）不存在满足题意的直线l .理由见解析解析：（1）设动圆圆心(,)M x y ，作MN x ⊥轴于点N . ①若动圆与半圆外切，则||2||MO MN =+，2y +，两边平方得22244x y y y +=++，化简得211(0)4y x y =->. ②若动圆与半圆内切，则||2||MO MN =-，2y =-，两边平方得22244x y y y +=-+，化简得211(0)4y x y =-+>.综上，当动圆与半圆外切时，动圆圆心的轨迹方程为211(0)4y x y =->；当动圆与半圆内切时，动圆圆心的轨迹方程为211(0)4y x y =-+>. 动圆圆心的轨迹如图所示.（2）假设满足题意的直线l 存在，可设l 的方程为13y x b =+.依题意，可得直线l 与曲线211(0)4y x y =->交于A ，D 两点，与曲线211(0)4y x y =-+>交于B ，C 两点.由21,3114y x b y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩与21,311,4y x b y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y 整理可得23412120x x b ---=①与23412120x x b ++-=②. 设(),A A A x y ，(),B B B x y ，(),C C C x y ，(),D D D x y ，则43A D x x +=，12123A D b x x --=，43B C x x +=-，12123B C b x x -=.又||A D AD x =-，||B C BC x -，且||2||AD BC =，2A D B C x x x x ∴-=-，即()()22444A D A D B C B C x x x x x x x x ⎡⎤+-=+-⎣⎦，整理得2244(1212)44(1212)43333b b ⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫+=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解得23b =.将23b =代入方程①，得2A x =-，103D x =. 函数211(0)4y x y =->的定义域为(,2)(2,)-∞-+∞，∴假设不成立，即不存在满足题意的直线l .。

高考数学二轮复习专题7 解析几何

2012届高考数学二轮复习专题七解析几何【重点知识回顾】解析几何是高中数学的重要内容之一，各地区在这一部分的出题情况较为相似，一般两道小题一道大题，分值约占15%，即22分左右.具体分配为：直线和圆以及圆锥曲线的基础知识两个容易或中档小题，机动灵活，考查双基；解答题难度设置在中等或以上，一般都有较高的区分度，主要考查解析几何的本质——“几何图形代数化与代数结果几何化”以及分析问题解决问题的能力.解析几何的主要内容是高二中的直线与方程，圆与方程，圆锥曲线与方程考查的重点：直线的倾斜角与斜率、点到直线的距离、两条直线平行与垂直关系的判定、直线和圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系；圆锥曲线的定义、标准方程、简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、曲线与方程、圆锥曲线的简单应用等，其中以直线与圆锥曲线的位置关系最为重要。

圆锥曲线方程这章扩展开的内容比较多，比较繁杂，对学生来说不一定要把所有的结论一一记住，关键是掌握圆锥曲线的概念实质以及直线和圆锥曲线的关系.因此，在复习过程中要注意下述几个问题：（1）在解答有关圆锥曲线问题时，首先要考虑圆锥曲线焦点的位置，对于抛物线还应同时注意开口方向，这是减少或避免错误的一个关键，同时勿忘用定义解题.（2）在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时，可以利用方程组消元后得到二次方程，用判别式进行判.但对直线与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运算并准确判断特殊情况，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线，通过图形求解.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.（3）求圆锥曲线方程通常使用待定系数法，若能据条件发现符合圆锥曲线定义时，则用定义求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题，也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程. 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置；定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)；定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.（4）在解与焦点三角形（椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形）有关的命题时，一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义.（5）要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用.（6）求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一，它是各种知识的综合运用，具有较大的灵活性，求动点轨迹方程的实质是将“曲线”化成“方程”，将“形”化成“数”，使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质. 求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等.解题时，注意求轨迹的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围.【典型例题】1.直线的基本问题：直线的方程几种形式、直线的斜率、两条直线平行与垂直的条件、两直线交点、点到直线的距离。

专题七 解析几何专题复习

高考数学二轮复习课件：专题七 解析几何 7.3

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