唯一分解整环
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所以，确定一个环中的不可约元与素元并非一件容 易的事。
不可约元与素元的关系有如下定理：
Th：设ห้องสมุดไป่ตู้是有单位元的整环，则R 中的素元必是不可 约元 （其逆不真）.
（事实上, 设素元 p=ab， ①若 p|a，则 p～a，从而b可逆； ②若 p|b，则 p～b，从而a可逆； 即 a，b 中总有一个可逆元，p 不可约）
§4.3 唯一分解整环
(4.3 Uniquely Factorial Domain Ring)
在整环中，每一个大于1的正数可以分解成 有限个素数之和；在数域F上的一元多项式环F[x] 中，每个次数大于1的多项式 f(x) 可以分解为不 可约多项式的积。
本节讨论整环中的因式分解问题，首先我们 把初等代数中因子和倍式的概念推广到一般的整 环上。
1°R中的任何真因子链｛ai｝(ai+1是ai的真因子)只有 有限项;
2°R中每一个不可约元都是素元.
⑶ R满足如下两条件:
1°同⑵中的条件1°;
2°R中任两元素均有最大公因子.
End
4.3.2 唯一分解整环(Uniquely Factorial Domain)
Def: 设环R是一个有单位元的整环，若满足以下两 个条件
(1) R中每个非零的非可逆元a可分解为有限个不可约 元之积 (有限分解性）
a=p1p2…pm (2) 上述分解式是唯一的(唯一性) ，既若有
a=p1p2…pm＝q1q2…qn 则m=n,且经适当排列有pi ~ qi, i=1,2,…,n 称环R是唯一分解整环.
例：① 整数环(Z,＋,·)是唯一分解整环，每个非零元 都可以分解为素数的乘积．
②数域P上的一元多项式环P[x]也是唯一分解整环, P[x]中每个非零元多项式都可以分解为不可约多项 式之积，且分解满足有限性和唯一性．
唯一分解整环有下列性质：
Th1:设R是唯一分解整环，则R中每一个不可约元都是 素元，即若p不可约，则p |(ab) p|a 或 p|b.
由定义可得以下基本事实： 1°0是任何元素的倍元； 2°单位元1是任何元素的因子； 3°可逆元u是任何元素的因子：a =u (u-1 a)
4°传递性： a|b，b|c a|c 5°a～b相伴，则a，b相差一可逆元因子；
6°相伴关系是等价关系 7°可逆元无真因子，且所有可逆元都与1相伴。
Def：设R 是一个整环，a，b∈R，p≠0 (1) 若p无真因子，则称p是不可约元（即p≠0不是可逆 元， p的仅有的真因子是可逆元）; (2) 当p|ab 时必有p | a 或p | b，则称p为素元. 例: ① 在整数环中，全体素数既是不可约元，也是 素元. ② 在高斯整数环Z(i) 中，素数不一定是不可约元， 例如: 2是素数，但 2=(1+i)(1-i). 其中1+i 与1-i均不可逆，故 2在Z(i)中不是不可约元， 显然也不是素元。
4.3.1 基本概念(Basic Concept)
Def：设R是有单位元的整环，a,b∈R, b≠0 (1)若存在c∈R，使a=bc，则称b是a的因子，a 是b的倍元，并称b可整除a，记作b|a.
否则记为b a . (2)若a|b且b|a，则称a与b是相伴元，记作a～b. (3)若 b|a 但a b，则称b是a的真因子，即b 是a的因子，但不是相伴元.
p1p2…pm q1q2…qn = p·r1r2…rs 由唯一分解整环的条件⑵可知，p与p1p2…pmq1q2…qn中 的某一个是相伴元，从而p|a或 p|b. 显然当c为可逆元时，也有p|a 或 p|b，即p为素元．
Th2: 设R是有单位元的整环，则以下命题等价：
⑴ R是唯一分解整环;
⑵ R满足如下条件:
证明：设p不可约， p|(ab) .显然，若a,b中有一个是0或 可逆元，则必有p|a 或 p|b．
下设a,b均不是0，也不是可逆元．因为p|(ab)，故存在 c∈R, 使ab=pc,此时c≠0.若c不是可逆元，设a,b,c的不可约 元分解式为：
a=p1p2…pm, b= q1q2…qn , c=r1r2…rs 则由ab=pc得
不可约元与素元的关系有如下定理：
Th：设ห้องสมุดไป่ตู้是有单位元的整环，则R 中的素元必是不可 约元 （其逆不真）.
（事实上, 设素元 p=ab， ①若 p|a，则 p～a，从而b可逆； ②若 p|b，则 p～b，从而a可逆； 即 a，b 中总有一个可逆元，p 不可约）
§4.3 唯一分解整环
(4.3 Uniquely Factorial Domain Ring)
在整环中，每一个大于1的正数可以分解成 有限个素数之和；在数域F上的一元多项式环F[x] 中，每个次数大于1的多项式 f(x) 可以分解为不 可约多项式的积。
本节讨论整环中的因式分解问题，首先我们 把初等代数中因子和倍式的概念推广到一般的整 环上。
1°R中的任何真因子链｛ai｝(ai+1是ai的真因子)只有 有限项;
2°R中每一个不可约元都是素元.
⑶ R满足如下两条件:
1°同⑵中的条件1°;
2°R中任两元素均有最大公因子.
End
4.3.2 唯一分解整环(Uniquely Factorial Domain)
Def: 设环R是一个有单位元的整环，若满足以下两 个条件
(1) R中每个非零的非可逆元a可分解为有限个不可约 元之积 (有限分解性）
a=p1p2…pm (2) 上述分解式是唯一的(唯一性) ，既若有
a=p1p2…pm＝q1q2…qn 则m=n,且经适当排列有pi ~ qi, i=1,2,…,n 称环R是唯一分解整环.
例：① 整数环(Z,＋,·)是唯一分解整环，每个非零元 都可以分解为素数的乘积．
②数域P上的一元多项式环P[x]也是唯一分解整环, P[x]中每个非零元多项式都可以分解为不可约多项 式之积，且分解满足有限性和唯一性．
唯一分解整环有下列性质：
Th1:设R是唯一分解整环，则R中每一个不可约元都是 素元，即若p不可约，则p |(ab) p|a 或 p|b.
由定义可得以下基本事实： 1°0是任何元素的倍元； 2°单位元1是任何元素的因子； 3°可逆元u是任何元素的因子：a =u (u-1 a)
4°传递性： a|b，b|c a|c 5°a～b相伴，则a，b相差一可逆元因子；
6°相伴关系是等价关系 7°可逆元无真因子，且所有可逆元都与1相伴。
Def：设R 是一个整环，a，b∈R，p≠0 (1) 若p无真因子，则称p是不可约元（即p≠0不是可逆 元， p的仅有的真因子是可逆元）; (2) 当p|ab 时必有p | a 或p | b，则称p为素元. 例: ① 在整数环中，全体素数既是不可约元，也是 素元. ② 在高斯整数环Z(i) 中，素数不一定是不可约元， 例如: 2是素数，但 2=(1+i)(1-i). 其中1+i 与1-i均不可逆，故 2在Z(i)中不是不可约元， 显然也不是素元。
4.3.1 基本概念(Basic Concept)
Def：设R是有单位元的整环，a,b∈R, b≠0 (1)若存在c∈R，使a=bc，则称b是a的因子，a 是b的倍元，并称b可整除a，记作b|a.
否则记为b a . (2)若a|b且b|a，则称a与b是相伴元，记作a～b. (3)若 b|a 但a b，则称b是a的真因子，即b 是a的因子，但不是相伴元.
p1p2…pm q1q2…qn = p·r1r2…rs 由唯一分解整环的条件⑵可知，p与p1p2…pmq1q2…qn中 的某一个是相伴元，从而p|a或 p|b. 显然当c为可逆元时，也有p|a 或 p|b，即p为素元．
Th2: 设R是有单位元的整环，则以下命题等价：
⑴ R是唯一分解整环;
⑵ R满足如下条件:
证明：设p不可约， p|(ab) .显然，若a,b中有一个是0或 可逆元，则必有p|a 或 p|b．
下设a,b均不是0，也不是可逆元．因为p|(ab)，故存在 c∈R, 使ab=pc,此时c≠0.若c不是可逆元，设a,b,c的不可约 元分解式为：
a=p1p2…pm, b= q1q2…qn , c=r1r2…rs 则由ab=pc得