唯一分解整环
近世代数课件-42唯一分解环
05
唯一分解环的应用实例
在数学中的应用
唯一分解环是数学中一个重要的概念，它在代数数论、代数几何等领域有着广泛的应用。例如，在代 数数论中，唯一分解环可以用来研究整数的分解质因数问题，以及求解一些代数方程的根的问题。
唯一分解环还可以用来研究一些代数学的基本问题，如群的构造和性质、环的理想理论等。这些问题 的研究对于深入理解代数学的基本概念和原理具有重要意义。
码学等领域的研究中。
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证明方法二
采用数学归纳法，假设存在一个非零元素可以表示为有限个 不可约元素的乘积，那么可以构造一个新元素，该元素可以 表示为无限个不可约元素的乘积，与假设矛盾。
定理的应用
01
在整数的唯一分解定理中，每个非零整数都可以唯 一地表示为有限个素数的乘积。
02
在多项式的唯一分解定理中，每个非零多项式都可 以唯一地表示为有限个不可约多项式的乘积。
近世代数课件-42唯一分 解环
• 引言 • 唯一分解环的定义和性质 • 唯一分解环的定理和证明 • 唯一分解环的推论和证明 • 唯一分解环的应用实例 • 总结与展望
01
引言
什么是唯一分解环
01
唯一分解环是一种特殊的环，其每个理想都可以唯一地表示为 一个有限生成的理想和若干不可约理想的乘积。
02
在工程领域中，唯一分解环也有着广 泛的应用。例如，在通信和信号处理 中，唯一分解环可以用来研究信号的 频谱分析和调制解调等问题。
在计算机科学中，唯一分解环也可以 用来研究一些算法和数据结构的设计 和分析问题。这些问题的研究对于深 入理解工程技术和应用具有重要意义。
06
总结与展望
总结唯一分解环的重要性和应用
唯一分解整环
又 a 不是 b 的因子，故 a, b 的最大公约元不能是 a ．另一方面，
( ) a = 3 2 + − 5 ，
而 3 和 2 + − 5 都是既约元，从而 a, b 的最大公约元如果存在的话，只能是 3 或 2 + − 5 ．亦
见 3 或 2 + − 5 都不是 a, b 的最大公约元，即对于 R 中这两个元 a, b 来说， (a,b)不存在．
下证
3 /| 2 + − 5 ， 3 /| 2 − − 5 ．
若
2 + − 5 = 3(x + y − 5) ，
则 3x = 2, 3y = 1 应有整数解 x, y, 这是不可能的．同样可得 3 /| 2 − − 5 ．
有了因子的概念，我们可以定义公因子、最大公因子的概念．
定义 8 设 R 为整环，对 a, b ∈ R ，存在 d ∈ R 满足
１８３
（1） d | a, d | b ；
（2）对任意 c ∈ S ，若 c | a, c | b 则， c | d ．
则 d 是 a, b 的一个最大公约元，记为 d = (a, b) ． 由定义可知若 d 是 a, b 的一个最大公约元，对任意 ε ∈U , 则 dε 也是 a, b 的最大公约元．
p = ab ，
那么 a 或 b 至少有一个为单位，则 p 为 R 的一个既约元．
显然，在整数环中，既约元即为素元，所以我们在数论中并未区分两个概念的区别．在一 般整环中，既约元与素元未必是两个等价的概念．二者的关系通过以下定理与例子便可知晓．
定理 3 在整环 R 中，每个素元都是既约元． 证明 设 p 是 R 的素元，且
a的相伴元, 记为 a ～ b ．
高等代数第四章整环里的因子分解
第四章整环里的因子分解§1、素元、唯一分解一、整除、单位、相伴元定义在整环I中，若a=bc，则称a能被b整除，也说b整除a，记为b|a。
b不能整除a记作b|a。
定义整环I的一个元ε叫做I的一个单位，假如ε是一个有逆元的元。
元b叫做元a的相伴元（a与b相伴），假若b是a 和一个单位ε的乘积：b=εa。
单位元必是单位，反之不然。
例1在整数环Z中，单位即是1和-1，b是a的相伴元⇔b=±a。
在数域F的多项式环F[x]中，单位即是零次多项式c∈F*，g（x）是f（x）的相伴元⇔g（x）=cf（x）。
定理1 两个单位ε1和ε2的乘积ε1ε2也是单位。
单位ε的逆元ε-1也是一个单位。
推论整环I中全体单位的集U关于乘法作成群。
二、素元定义单位以及元a的相伴元叫做a平凡因子。
其余的a的因子，假如还有的话，叫做a的真因子。
定义整环I的一个元p叫做一个素元（注：应是不可约元），假如p0≠，p不是单位，并且p只有平凡因子。
例2 在例1的Z中，素元就是素数。
在F[x]中，素元就是不可约多项式。
定理2 单位ε同素元p的乘积εp也是一个素元。
定理3整环I的一个非零元a有真因子⇔a=bc，b和c都不是单位。
推论假定a≠0，并且a有真因子b:a=bc。
那么c也是a的真因子。
三、唯一分解定义一个整环I的一个元a说是在I 里有唯一分解，假如以下条件能被满足：（i）a=p1p2…p r（p i是I的素元）（ii）若同时a=q1q2…q s（q i是I的素元）那么r=s并且我们可以把q i的次序掉换一下，使得q i=εi p i (εi是 I的单位)零元和单位都不能唯一分解。
例3 在整环I={}Z+,3中：a∈-bab（1）ε是单位1=⇔。
⇔ε=1ε2±（2）若4α2=，则α是素元。
（3）4∈I有两种不同的分解（不相伴分解）：()()3+-=-⋅=113224-§2、唯一分解环一、唯一分解环定义一个整环I叫做一个唯一分解环，假如I的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解。
近世代数第四章整环里的因式分解
第四章整环里的因式分解§1. 素元、唯一分解本讲中, 总假定为整环, 为的商域.1. 整除定义1 设D为整环, Db,, 如果存在Da∈c∈, 使得则称整除, 记作; 并称是的一个因子, 是的倍元.•整环中的整除概念是整数环中整除概念的推广, 因此有许多与整数的整除相类似的性质.•整除有下列常用的性质:(1) 如果, , 则;(2) 如果, , , 则.2.相伴定义2整环D的一个元叫做D的一个单位，假如是一个有逆元的元。
元叫做元的相伴元，假如是和一个单位的乘积：定理１两个单位的乘积也是一个单位.单位的逆元也是一个单位.例１因为整数环的单位仅有１与-１，故任一非零元有２个相伴元：与a-.例２有四个单位，１，-１，i,-i,所以任一非零元，有四个相伴元：定义3 单位以及元的相伴元叫做的平凡因子.若还有别的因子，则称为的真因子.３. 素元定义4 设D为整环，Dp∈，且既非零也非单位，如果只有平凡因子，则称为一个素元.定理２单位ε与素元的乘积也是一个素元.定理３整环中一个非零元有真因子的充分且必要条件是：，这里，都不是单位.推论设，并且有真因子：.则也是的真因子.定义5 我们称一个整环D的元在D中有唯一分解，如果以下条件被满足：(i) (为D的素元)(ii) 若同时有（为的素元）则有，并且可以调换的次序，使得（为的单位）整环的零元和单位不能有唯一的分解.所以唯一分解问题研究的对象只能是非零也非单位的元.例３给整环.那么有：(1)的单位只有.(2)适合条件的元一定是素元.首先，；又由(1),也不是单位.设为的因子：那么但不管，是何整数，或４若，则是单位.若，则而为单位.因而是的相伴元.从而只有平凡因子，故是素元.(3)没有唯一分解：我们有(A) ,,故由(2),2,都是的素元.由(1),都不是２的相伴元，因而给出了４的两种不同分解从而４没有唯一分解. 这说明并不是任意整环中的非零和非单位的元都有唯一分解.$2. 唯一分解环定理１一个唯一分解环有以下性质：若一个素元能够整除，则有整除或.定理２做定整环有如下性质：(i)的每一个非零非单位的元都有一个分解.（为的素元）(ii)的一个素元若能够整除，则有整除或，则一定是一个唯一分解环.定义6 元叫做的公因子，如果.定理３一个唯一分解环的两个元和在里一定有最大公因子.和的两个最大公因子和只能差一个单位因子：（是单位).推论一个唯一分解环的个元在里一定有最大公因子.的两个最大公因子只能差一个单位因子.定义一个唯一分解环的元称为互素的，如果它们的最大公因子是单位.$3. 主理想环引理１设是一个主理想环.若在序列里的每一个元是前一个元的真因子，那么这个序列一定是一个有限序列.引理２设是一个主理想环，那么的任一素元生成一个最大理想.定理一个主理想环是一个唯一分解环.证：我们证明是一个唯一分解环.设且不是零也不是单位.若不能写成有限个元的乘积，则不是一个素元，所以由$４.１的推论，都是的真因子.的这两个真因子中至少有一个不能写成素元的乘积，否则就是素元的乘积而与假设矛盾.于是有这样的结论；若没有分解，则一定有一个真因子也没有分解.这样，在没有分解的假设之下，就得到一个无穷序列在此序列中每一个元都是前一个元的真因子.依照引理１，这是不可能的，所以一定有分解.即满足$４.２定理２中的条件(i).又设的素元能整除的元乘积，那么这就是说在剩余类环里，所代表的类与o所代表的类相同：由引理２，是最大理想，因而由$３.９的定理，是一个域.因为域没有零因子，所有由上面等式有或即有或亦即或从而或，故也满足$４.２定理２的条件(iii).因而是一个唯一分解环.$4. 欧氏环定义一个整环叫做一个欧氏环，如果(i)有一个从的非零元所作成的集合－｛０｝到全体非负整数作成的集合的映射存在；(ii)任意给定的一个非零元，的任何元都可以写成的形式，这里有或例整数环是一个欧氏环.因为：定理１是一个适合条件(i)的映射并且任意给定整数，则任何整数都可写成这里或上面定义中的映射称为欧氏映射.定理１每一个欧几里德环都是主理想整环, 因而也是唯一分解环.证明设为欧几里德环的任一理想, 为欧氏映射.(1) 如果, 则.(2) 如果, 令则非空, 且. 设, 使得为中的最小数, 下证.任给, 因为, 所以存在, 使得. 于是, .如果, 则, 与的选取矛盾. 所以, , 则, 于是. 由的任意性可知.又, 所以, 从而.这就证明了, 的任一理想都是主理想, 故为主理想整环.定理２整数环是主理想，因而是唯一分解环.定理３一个域上的一元多项式是一个欧氏环.因而是一个唯一分解环.$５. 多项式环的因子分解本章讨论唯一分解环上的一元多项式环.我们称的素元即素多项式为不可约多项式，日有真因子的多项式叫做可约多项式.定义的一个元叫做一个本原多项式，如果的系数的最大公因子是单位.我们有如下结论：(A)的单位是的仅有的单位.(B)一个本原多项式不会等于零.(C)若本原多项式可约，那么且有（表示的次数）引理1 设，那么是本原多项式的充分且必要条件是和都是本原多项式.设是的商域，那么多项式环是唯一分解环.引理2 的每一个非零多项式都可以写成的形式，这里是的本原多项式.如果也有的性质，那么，（为的单位）引理3 的一个本原多项式在里可约的充分必要条件是在里可约.引理4 的次数大于零的本原多项式在里有唯一分解.有了以上的结论，我们就有定理如果是唯一分解环，，则也是唯一分解环.$６. 因子分解与多项式的根定义整环的元叫做的多项式的一个根，如果有定理１是的一个根的充分且必要条件是整除定理２的个不同的元都是的根的充分且必要条件是整除推论若的次数为，则在中至多有个根.定义的元叫做的一个重根，如果能被整除，这里是大于1的整数.定义由多项式唯一决定的多项式叫做的导数.导数适合如下计算规则：,定理３的一个根是一个重根的充分且必要条件是整除推论设是唯一分解环.的元是的一个重根的充分且必要条件是：能整除和的最大公因子.。
从域到唯一分解环及其应用
证 任 一 ｛ 明对意 ０ ） ＇
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设 是唯一分解环， 而 ’ 是Ｒ的单位构成的乘法群．用
） 记 上的 所有 ｎ 阶矩阵构成的模，
用Ｓ ） 记Ｒ上的所有ｎ阶对称矩阵构成的模．设 Ｆ是 的分式域，即包含所有形如 Ｄ （ ， ∈ ” 口 ｂ Ｒ且
１
ｂ ０ 的元素的 ≠ ） 集合．对任意的Ａ∈
． ．
） 易知存在０ ∈ ， ≠ 及 ∈ ） 使得Ａ： ．对 ） ， 二 上
２ ０ 年 ３月 ０８
Ｍａ ． ２ ０ ｒ ０８
文章 编号 ：１０ — ８ ２ ０ ）０ — ０ ５ ０ ０ ７ ９３ １（ ０ ８ ２ ０ ０ — ３
从 域 到 唯一 分解 环及其 应用
唐 孝敏 ，生 玉秋
（ 龙江 大学 数学 系 ， 黑龙 江 哈 尔滨 １０８ ） 黑 ５０ ０
１ 预备知识
在近世代数 的学习中，整环是一个重要的数学结构 ，是指有单位元 的无零因子交换环 ．一个整环 叫做一个唯一分解环 ，假如 的每个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解．其中最直观的例子就是 整数环 ，其上整数 的唯一分解定理就是众所周知的算术基本定理．事实上 ，唯一分解环是一类重要 的整
转置矩阵． 证明 充分性直接验证可得 ，证明必要性．
由引理可知ｆ是 ） 上保持伴随函数的线性变换， 其中Ｆ是Ｒ的商域．由文献【的定理 ３ ２ 】 ． １知， ７ ｏ 存在 矩阵Ｐ Ｍ （） ７ ）ｃ Ｐ ，Ａ ） 其中Ｃ Ｒ满足ｃ ＝Ｉ， Ｅ ｏ ＝ 或 可逆 ｅ ￣ （ ＝Ｐ Ｖ Ｅ Ｆ Ａ Ａ ， Ｅ。 ＰＰ ａ ａ Ｆ且
整环里的因子分解讲解
不可约元。 由此可知，环 Z[ 5i]中的元素 3 及 2 5i 都是不可约元。
由于 3 2 5i 2 5i ，但 3 不能整除 2 5i 与 2 5i
定理 4.1.1 设环 K 的全体单位组成的集合为 G ，则 G 对 K 的乘 法构成一个交换群。
证明 对任意 a,b G ，有 a,b K ，存在 a1,b1 K ，因
aa1 1， bb1 1 ，
从而有
(ab)(b1a1) a(bb1)a1 1。
所以 ab 为单位，故 ab G 。 因 K 满足结合律，所以在 G 中亦满足结合律。 由于 K 的单位元 1 是可逆的，所以1G 。 G 中的每一个元都有逆元，且逆元在 G 中。 故 G 对于 K 的乘法构成交换群。
约元。
定理 4.1.3 整环中一个不等于零的元 a 有真因子的充分 必要条件是：a=bc (b 和 c 都不是单位)。
证明 若 a 有真因子 b ,那么 a=bc 这里的 b 由真因子的定义不是单位。c 也不是单位，不然 的话 b ac1 ，b 是 a 的相伴元，与 b 是 a 的真因子的假定 不合。 反过来，假定 a=bc b 和 c 都不是单位。这时 b 不会是 a 的相伴元，不然的话
不可约元。 证明 设 是 K 中的任意一个单位，则 a 是 a 的任意
一个相伴元。 下证 a 是 K 中的不可约元。
由于 0 ， a 0 ， K 无零因子，所以a 0 ；又由于 a 是不可约元，所以 a 不是单位，否则，存在 K ，使得
( a) 1，从而有 a( ) 1 ，于是 a 为单位，这与 a 是不可
bzoj 唯一分解定理
bzoj 唯一分解定理
唯一分解定理是数论中的一项基本定理，它指出每个大于1的正整数都可以唯一地表示为若干个素数的乘积。
这个定理在数论的研究中起着重要的作用，它揭示了正整数的内在结构和分解方式。
正整数的唯一分解定理可以简单地表述为：任何一个大于1的正整数都可以唯一地表示为若干个素数的乘积。
具体地说，如果一个正整数n可以表示为p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak的形式，其中p1、p2、...、pk是素数，a1、a2、...、ak是非负整数，且对于任意的i≠j，pi≠pj，那么这个表示就是唯一的。
唯一分解定理的证明过程较为复杂，需要运用到数论中的一些基本概念和定理。
但是，我们可以通过一个简单的例子来直观地理解唯一分解定理。
假设我们要将一个正整数n进行分解，首先我们可以从最小的素数
2开始尝试，如果n能被2整除，那么我们就将n除以2，并将2记录下来；如果n不能被2整除，我们就继续尝试下一个素数3，以此类推。
这样，我们就可以将n分解为一系列素数的乘积。
例如，假设n=48，我们可以将其分解为2^4 * 3^1。
这个表示是唯一的，因为我们无法找到其他的素数使得它们的乘积等于48。
唯一分解定理的重要性在于它使得我们能够更好地理解和研究正整数的性质。
它为数论中的其他定理提供了基础，同时也为实际问题
的求解提供了思路。
总的来说，唯一分解定理是数论中的一项重要定理，它揭示了正整数的分解方式，并为数论的研究提供了基础。
这个定理的证明较为复杂，但我们可以通过举例来直观地理解它的意义和应用。
唯一分解定理的发现和应用对于数论和其他相关领域的研究都有着重要的意义。
第五章 惟一分解整环
定义
对于 K 中的单位 ε， aε 叫做 a 的相伴元，也称为做 a 的
平凡因子，其余的 a 的因子，叫做真因子.
K 中元素的相伴关系是一个等价关系。即 a, b 在 K 中相伴
⇔ a, b 互相整除。
例 4 因为整数环 Z 的单位仅有 1 与 -1, 故任一非零元 a 有 2 个相伴元: a 与
例 1 整数环是一个欧氏环。 其欧氏映射为: ϕ x） | x |, x ∈ Z . （ = 例 2 一个域 F 上的一元多项式环 F[x]是一个欧氏 环。
（ = 其欧氏映射为： ϕ f ( x)） ∂ ( f ( x)), f ( x) ∈ F [ x] .
二
主要结论
定理 任何欧氏环 K 一定是一个主理想环，因而一定是一个
惟一分解环。
逆命题不成立：主理想整环未必是欧氏环。
欧氏环 ⊂ 主理想整环 ⊂ 惟一分解环 ⊂ 有单位元素的环 。
作业
P240-241，习题 5.4
1，2，3
§5.5* 惟一分解整环的多Байду номын сангаас式扩张
一 基本内容
定义 个推广。 惟一分解环 K 上的多项式环 K[x]就是 K 的一个扩张。 如果环 R 是环 S 的一个子环，则称 S 是环 R 的一
−a .
例 5 Z [i ] 有 4 个单位, 1, -1,
,
.
任一非零元 a + bi (a, b ∈ Z ) 有 4 个相伴元: ± (a + bi ), ± (b − ai ) . 例 6 设 a, b ∈ K . 证明: a ∼ b 当且仅当 ( a ) = (b) . 例7 求 Gauss 整环的所有单位以及整数 5 在 Z[i]中的所有真因子。
主理想整环上的纯子模与有限生成模
主理想整环上的纯子模与有限生成模摘要：本文主要讨论主理想整环上纯子模与有限生成模的性质。
首先介绍主理想整环及其性质，接着给出纯子模与有限生成模的定义和性质，讨论它们之间的关系以及对每种模的分类和描述。
最后给出一些相关的例子和定理的证明。
关键词：主理想整环；纯子模；有限生成模；分类；定理正文：1. 引言主理想整环是一类非常特殊的环，在学习和研究线性代数和抽象代数中起到了很重要的作用。
纯子模和有限生成模是主理想整环上最具代表性的两种模，它们在很多领域应用广泛。
本文将介绍主理想整环、纯子模和有限生成模的定义和性质，以及它们之间的关系。
此外，本文还将对每种模的分类和描述进行讨论，并给出一些相关的例子和定理的证明。
2. 主理想整环和其性质主理想整环是指每个理想都是主理想的整环。
一个整环被称为主理想整环，当且仅当它满足以下条件：（1）它是一个整环。
（2）所有它的理想都是主理想。
（3）它有一个非零元素作为唯一基本域。
主理想整环具有如下性质：（1）每个主理想整环都是唯一分解整环。
（2）每个主理想整环都是域当且仅当它是PID（主理想整环）。
（3）每个有限生成交换整环都是主理想整环。
3. 纯子模和有限生成模3.1 纯子模设M是主理想整环R的一个左模，如果对任意的0 ≠ a∈R和任意非0元素m∈M，存在一个整数n=n(a,m) (n可能是负数)，使得am^n \in M，则称M是R的纯子模。
3.2 有限生成模设M是主理想整环R的一个左模，如果存在一个元素集{m1,m2, ..., mn} \subset M，使得M=\sum Rm_i，则称M是R的有限生成模。
4. 纯子模和有限生成模的分类和描述下面对纯子模和有限生成模根据条件进行分类和描述。
4.1 纯子模的分类和描述对于纯子模M，以下是几个可能的情况：（1）如果M ={0}，则M是零模。
（2）如果M ≠ {0}，但存在一个元素 a∈R，使得am \notin M，对于任意m\in M，则称M是零子模。
高等代数第四章整环里的因子分解
第四章整环里的因子分解§1、素元、唯一分解一、整除、单位、相伴元定义在整环I中，若a=bc，则称a能被b整除，也说b整除a，记为b|a。
b不能整除a记作b|a。
定义整环I的一个元ε叫做I的一个单位，假如ε是一个有逆元的元。
元b叫做元a的相伴元（a与b相伴），假若b是a 和一个单位ε的乘积：b=εa。
单位元必是单位，反之不然。
例1在整数环Z中，单位即是1和-1，b是a的相伴元⇔b=±a。
在数域F的多项式环F[x]中，单位即是零次多项式c∈F*，g（x）是f（x）的相伴元⇔g（x）=cf（x）。
定理1 两个单位ε1和ε2的乘积ε1ε2也是单位。
单位ε的逆元ε-1也是一个单位。
推论整环I中全体单位的集U关于乘法作成群。
二、素元定义单位以及元a的相伴元叫做a平凡因子。
其余的a的因子，假如还有的话，叫做a的真因子。
定义整环I的一个元p叫做一个素元（注：应是不可约元），假如p0≠，p不是单位，并且p只有平凡因子。
例2 在例1的Z中，素元就是素数。
在F[x]中，素元就是不可约多项式。
定理2 单位ε同素元p的乘积εp也是一个素元。
定理3整环I的一个非零元a有真因子⇔a=bc，b和c都不是单位。
推论假定a≠0，并且a有真因子b:a=bc。
那么c也是a的真因子。
三、唯一分解定义一个整环I的一个元a说是在I 里有唯一分解，假如以下条件能被满足：（i）a=p1p2…p r（p i是I的素元）（ii）若同时a=q1q2…q s（q i是I的素元）那么r=s并且我们可以把q i的次序掉换一下，使得q i=εi p i (εi是 I的单位)零元和单位都不能唯一分解。
例3 在整环I={}Z+,3中：a∈-bab（1）ε是单位1=⇔。
⇔ε=1ε2±（2）若4α2=，则α是素元。
（3）4∈I有两种不同的分解（不相伴分解）：()()3+-=-⋅=113224-§2、唯一分解环一、唯一分解环定义一个整环I叫做一个唯一分解环，假如I的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解。
近世代数课件--4.1.素元、唯一分解环
3
2
4， 1
3
2
1 1 由（2）知道，2， 3， 3 都是 I 的素元。这就是 说，（A）表示4在 I 里的两种分解。但由（1）， 1 3 和 1 3 都不是2的相伴元，因而按照定义， 以上两种分解不同。这样，4在 I 里有两种不同的分 解。
作业： P130: 3(唯一分解性不讨论) 补充练习：a 和 b 是一对相伴元 a 和 b 相互整除.
§1. 素元、唯一分解
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
整除及其性质 单位与相伴元 真因子 素元 唯一分解
1.1整除及其性质
要在一个整环里讨论因子分解，我们首 先需要把整数环的整除以及素数两个概念 推广到一般整环里去。
定义1 我们说，整环 I 的一个元 a 可以被 I 的元b 整除，假如在 I 里找得出元c来，使得
而显然是单位。
（2）适合条件
2
2
4
的 I 的元 一定是素元。
4, 0 ；并且（1）， 也不是单位。 首先，既然 假定 是 的因子：
a b 3,
那么
4
2
2
但不管 a ，b是什么整数，
2
2
a 3b 2
2 2
，因此
a bc
假如 a 能被b整除，我们说b是 a 的因子，并且用符号
b|a
来表示。b不能整除 a ，我们用符号
ba |
来表示。
整除的定义,和整数及多项式的整除定义完全 一样. 因此,一些最基本的性质可以平移过来. (1) a | a (2) c | b , b | a
c|a
(传递性)
近世代数10套试题
《近世代数》试卷1（时间120分钟）二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）1. （）循环群的子群是循环子群。
2. （）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。
3. （）存在一个4阶的非交换群。
4. （）素数阶的有限群G的任一子群都是G的不变子群。
5. （）无零因子环的特征不可能是2001。
6. （）无零因子环的同态象无零因子。
7. （）模97的剩余类环Z97是域。
8. （）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。
9. （）域是唯一分解整环。
10. （）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。
一、填空题（共20分，第1、4、6小题各4分，其余每空2分）1. 设A、B是集合，| A |＝3，| B |＝2，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。
2. 设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为，子群H=< a3>的在G中的指数是。
3. 设G＝< a>是10阶循环群，则G的非平凡子群的个数是。
4. 在模12的剩余环R=｛[0], [1], ……, [11]｝中，［5］＋［10］＝，［5］·［10］＝，方程x2＝[1]的所有根为。
5. 环Z6的全部零因子是。
6. 整环Z[√-3 ]不是唯一分解整环，因为它的元素α＝在Z[√-3 ]中有两种本。
（共3０分）1.设S3是3次对称群，a=（123）∈S3．（１）写出H＝< a>的所有元素．（２）计算H的所有左陪集和所有右陪集．（３）判断H是否是S3的不变子群，并说明理由．2. 求模18的剩余类加群(Z18,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。
3. 在整数环Z中，求由200４，125生成的理想A=（2004，125）。
四、证明题（共30分）1.设G是一个阶为偶数的有限群，证明（１）G中阶大于2的元素的个数一定为偶数；（２）G中阶等于2的元素的个数一定为奇数。
唯一分解整环的例子
唯一分解整环的例子唯一分解整环是一个重要的代数概念，在数学中有广泛应用。
所谓唯一分解，是指整环中的每个元素都可以唯一分解为一些素元素的乘积。
本文将以整数环为例，说明唯一分解整环的概念及其应用。
一、整数环整数环是一个整环，它的元素是整数，其中加法和乘法分别为整数的加法和乘法。
整数环常用符号“$\mathbb{Z}$”表示。
二、唯一分解整环在整数环中，唯一分解整环的定义是：任意正整数都可以唯一地表示为素数的积。
换句话说，任意正整数$n\neq 1$都可以表示为$$n = p_1p_2...p_k$$其中$k\geq 1$，$p_1,p_2,...,p_k$是不同的素数，并且不考虑它们的顺序，即这个分解是唯一的。
例如，$60 = 2\times 2 \times 3 \times 5$就是唯一分解整环的一个例子。
三、证明过程证明唯一分解整环的正确性需要用到欧几里得算法，这里略去。
四、应用唯一分解整环的概念可应用于解决一些数学问题，如最大公约数和最小公倍数的计算。
以最大公约数的计算为例，我们可以利用唯一分解整环来求两个数$a$、$b$的最大公约数。
假设$a$、$b$的唯一分解式分别为$$a=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k}$$$$b=p_1^{b_1}p_2^{b_2}...p_k^{b_k}$$则最大公约数$gcd(a,b)$的唯一分解式为$$gcd(a,b)=p_1^{min(a_1,b_1)}p_2^{min(a_2,b_2)}...p_k^{min(a_k,b_k)}$$这个式子的证明可以用到欧几里得算法，也就是辗转相除法。
五、结论本文讨论了唯一分解整环的概念及其应用。
唯一分解整环的证明依赖于欧几里得算法。
唯一分解整环可用于计算最大公约数和最小公倍数等数学问题。
唯一分解环
若 a，b 中有零元或单位，则显然 p 至少整除 a，b 中的一个。因
此，下设 a 与 b 既不是零元也不是单位。
由于 K 无零因子，这时 c≠0。同时 c 也不是单位，否则，由上节 定理 2 知 pc 是不可约元且表成两个非单位的乘积，即 pc 有真因子，
因子，但这是不可能的。故 s 1，且 p1 q1 结论成立。 假定 K 中能写成 r 1个素元的乘积的元素都有唯一分解，再证
a p1 p2 pr q1q2 qs ， （1） 也有唯一分解。由 p1 q1q2 qs ，则 p1 必能整除 q 1 , q2 ,, qs 中的某一个。不妨设 p1 q1 ，则 p1 与 q1 相伴。设 p1 q1 ， 是单位，代入（1）式，两端消去 q1 后，所得元素为 b ，即
证明 为了证明 4 不是 D 的唯一分解元，先证明两个事实。
（1） D 的一个元 是单位当且仅当 2 1 。
设 a b 3i 是 D 的一个单位，那么
1， 2 2 1，
反之，假定 2 a2 3b2 1，则有 b 0 ，a 1，即 1，故 为
单位。
（2）适合条件 2 4 的元 一定是不可约元。 当 2 4 时， 0 ，且由（1）知 也不是单位。设 为 的任一 因子，则有 a b 3i ，a,b Z ， ， D ，那么 2 2 2 4 ， 这只有 2 1, 2或4 。但不论 a, b 是什么整数，都有 2 a2 3b2 2 ， 因此只有 2 1或 4。 若 2 1，则 为单位； 若 2 4 ， 2 1 ，则 为单位，因而 1 ，即 为 的相伴
（1） d a (i 1, 2,L , n) ； i
（2）若 d K 满足 d a (i 1, 2,L , n) ，则 d d ； i
Z[√-m]为唯一因子分解整环的刻画
![Z[√-m]为唯一因子分解整环的刻画](https://img.taocdn.com/s3/m/ba92d1d45022aaea998f0f2f.png)
是 Ｄ — Ｚ 二 ］中的不可 约元 ． ［ 二 ＿ 同理 可证
二 而 二 ＿
证
是 Ｄ — ｚ 二 ］中的不 可 约元． ［ 二 ＿
引理 ４ 若 ｍ ≥ ２， ，Ｚ ｍ 是 整环 Ｄ — Ｚ［ ＝ ］中的不可 约元 ． 则 ／ 。 － ＝ ＿
若 ＋ ， ｍ。 ／ Ｚ 是 二 的一个 因子 ， 二 ＿ 则 ￣一 ｍ 一 （ ／ ｚ＋ ｙ￣一 ｍ）叫 ＋ ￣一 ｍ）一 （ 一 ｒ ｚ ＋ （ ｚ＋ ． ／ （ ／ 删 ｎ ） ｘ ｙ ｙ ｗ）
由此可见 ， Ｐ在 Ｄ — ｚ ￣ ［／ 一ｍ］ 中无真因子 ， 于是 Ｐ是 Ｄ — Ｚ ￣ ［／ 一ｍ］中的不可约元．
引理 ３ 当 为 大 于 １的奇 数 时 ， ｍ 一 ２ ＋ １， 么 ， ，－ ｍ 都 是整 环 Ｄ — Ｚ 、一 ｍ］中的不 令 ｎ 那 ｚ ／ ± ［／ ／
可约 元．
第 ２ ７卷 第 ６期
２１ ０ １年 １ ２月
大 学 数 学
ＣＯ ＬＬＥＧ Ｅ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ ＴＩ Ｍ ＣＳ
Ｖｏ１ ２ Ｎ ． ． ７， ＿ ６ ｏ
Ｄ ｅ ． ０１ ｃ ２ １
ｚ［
］为 唯 一 因子 分 解 整 环 的刻 画
向大 晶 ， 刘 先 平 覃 海艳 。 ，
综 上 所 述 ， 理 １得 证 ． 定
定理 ２的证 明 设 工 Ｄ — ｚ 是 Ｅ
显 然 由 卢∈ Ｉ， （） Ｊ， 知 只需 证 明 事实 上 ， 任取 ａ∈ Ｉ， 那么
］的一个 理 想 ， ≠ ０， 取 工的非零 元 卢， 卢的模 的平 方为 选 使
（）即可．
ｚ或与 Ｐ相伴 ， ． 为单 位． 或 ２ Ｃ
￣一 ｍ ． ／ 比较两边 系数得 － 一 Ｐ， 删
零元素分解的唯一性
零元素分解的唯一性
零元素分解的唯一性指的是当一个元素可以被表达为两个或多个非零因子的乘积时，这些因子的选择是唯一的。
换句话说，如果一个元素可以被分解成多种方式，那么这些分解方式中的每一种都是相同的。
具体来说，设R是一个环，a∈R是一个非零元素。
如果a可以被表示为a = bc，其中b和c都是R中的非零元素，那么这个分解是唯一的，即使把b和c的顺序颠倒也是如此。
唯一性的证明一般基于R中的一些性质，如整环的唯一分解性、主理想整环的分解性等。
唯一分解环是一个能够满足因式唯一性的整环，这意味着每个非零元素都可以被唯一地写成素因子的乘积。
需要注意的是，对于某些环来说，零元素可能没有唯一的因子分解，或者根本无法进行因子分解。
在这种情况下，零元素分解的唯一性不成立。
破除缠论束缚（三）：唯一分解定理
破除缠论束缚（三）：唯一分解定理
缠论中，走势分解有两种方法，同级别分解以及非同级别分解，而这两种分解方法都可行的原因就是，这两种分解方式都能够对走势做出唯一分解。
以最常见的线段为例，在1分钟图中，大盘被唯一的分解成了连续线段的连接，而线段的划分具有唯一性，因此，线段划分走势就是在线段层面对走势的唯一分解，在缠论递归体系中，1分钟中枢由线段构成，因此，对走势进行1分钟同级别分解，分解出来的走势也具有唯一性，以此类推，才有了缠师所说的任何走势，都可以唯一表达为a1A1+a5A5+a30A30...的形式。
换句话说，正因为走势分解的唯一性存在，走势才具备了分析的可能。
而在分析的过程中，由于多义性的存在，使得走势组合方式呈现出了多样性，这种组合的多样性并不违背走势的唯一分解，因为任何一种组合方式都是在同一原则下进行的。
波浪理论之所以千人千浪，其本质原因就是因为波浪理论并没有一套原则，将走势进行唯一分解。
走势到底有多少种唯一分解方式我不知道，但可以明确的说，只要你的方法能够将走势进行唯一分解，那么这种方法就具备研究的意义。
在缠论体系中，由于走势必完美的存在以及中枢的递归关系，使得走势有了完全分类的可能以及分类的零界点，也就是说，在缠论视角下，一套分析方法是否能够得到市场的检验，首要条件就是能够对走势进行唯一分解，然后在走势必完美的第一原理下能够对走势进行完全分类，并给出分类的临界点，这样，就算并不是使用递归函数，却依旧是不违背缠论的一套有效的分析方法。
整数唯一分解定理
整数唯一分解定理整数唯一分解定理，也被称为质因数分解定理或素因数分解定理，是数论中的一个重要定理。
它告诉我们，每个大于1的整数都可以写成一系列素数的乘积，并且这个乘积的形式是唯一的。
这个定理在数论中有着广泛的应用，不仅对于数学的发展有重要意义，也在实际问题中有着实际的应用。
我们需要明确什么是素数。
素数是指大于1且只能被1和它自身整除的正整数。
比如2、3、5、7等都是素数，而4、6、8等都不是素数。
素数是整数中最基本的构成单元，任何一个整数都可以由素数的乘积构成。
根据整数唯一分解定理，我们可以将一个大于1的整数分解成一系列素数的乘积。
具体的分解方法是，从最小的素数2开始，不断地除以素数，直到无法再被整除为止。
例如，对于数字24，我们可以将其分解为2×2×2×3，即24=2^3×3。
同样地，对于数字60，我们可以将其分解为2×2×3×5，即60=2^2×3×5。
这种分解的过程是唯一的，也就是说，无论从哪个素数开始分解，最后得到的乘积都是相同的。
整数唯一分解定理的证明是比较复杂的，涉及到数论中的一些基本概念和定理。
在这里，我们不详细讨论其证明过程，而是来看一些应用。
整数唯一分解定理可以用来判断一个数是否为素数。
如果一个数不能被任何比它小的素数整除，那么它就是素数。
例如，对于数字23，我们无法找到任何比它小的素数能够整除它，所以23是素数。
同样地，对于数字37，我们也无法找到任何比它小的素数能够整除它，所以37也是素数。
整数唯一分解定理可以用来求一个数的所有因数。
因为一个数可以唯一地分解成素数的乘积，所以它的因数就是这些素数的各种乘积组合。
例如，对于数字24，它的所有因数包括1、2、3、4、6、8、12和24。
这些因数都是24的素因子的各种乘积组合。
整数唯一分解定理还有很多其他的应用，比如在求最大公约数和最小公倍数时，可以利用整数的分解形式。
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1°R中的任何真因子链｛ai｝(ai+1是ai的真因子)只有 有限项;
2°R中每一个不可约元都是素元.
⑶ R满足如下两条件:
1°同⑵中的条件1°;
2°R中任两元素均有最大公因子.
End
§4.3 唯一分解整环
(4.3 Uniquely Factorial Domain Ring)
在整环中，每一个大于1的正数可以分解成 有限个素数之和；在数域F上的一元多项式环F[x] 中，每个次数大于1的多项式 f(x) 可以分解为不 可约多项式的积。
本节讨论整环中的因式分解问题，首先我们 把初等代数中因子和倍式的概念推广到一般的整 环上。
例：① 整数环(Z,＋,·)是唯一分解整环，每个非零元 都可以分解为素数的乘积．
②数域P上的一元多项式环P[x]也是唯一分解整环, P[x]中每个非零元多项式都可以分解为不可约多项 式之积，且分解满足有限性和唯一性．
唯一分解整环有下列性质：
Th1:设R是唯一分解整环，则R中每一个不可约元都是 素元，即若p不可约，则p |(ab) p|a 或 p|b.
证明：设p不可约， p|(ab) .显然，若a,b中有一个是0或 可逆元，则必有p|a 或 p|b．
下设a,b均不是0，也不是可逆元．因为p|(ab)，故存在 c∈R, 使ab=pc,此时c≠0.若c不是可逆元，设a,b,c的不可约 元分解式为：
a=p1p2…pm, b= q1q2…qn , c=r1r2…rs 则由ab=pc得
4.3.2 唯一分解整环(Uniquely Factorial Domain)
Def: 设环R是一个有单位元的整环，若满足以下两 个条件
(1) R中每个非零的非可逆元a可分解为有限个不可约 元之积 (有限分解性）
a=p1p2…pm (2) 上述分解式是唯一的(唯一性) ，既若有
a=p1p2…pm＝q1q2…qn m=n,且经适当排列有pi ~ qi, i=1,2,…,n 称环R是唯一分解整环.
4.3.1 基本概念(Basic Concept)
Def：设R是有单位元的整环，a,b∈R, b≠0 (1)若存在c∈R，使a=bc，则称b是a的因子，a 是b的倍元，并称b可整除a，记作b|a.
否则记为b a . (2)若a|b且b|a，则称a与b是相伴元，记作a～b. (3)若 b|a 但a b，则称b是a的真因子，即b 是a的因子，但不是相伴元.
p1p2…pm q1q2…qn = p·r1r2…rs 由唯一分解整环的条件⑵可知，p与p1p2…pmq1q2…qn中 的某一个是相伴元，从而p|a或 p|b. 显然当c为可逆元时，也有p|a 或 p|b，即p为素元．
Th2: 设R是有单位元的整环，则以下命题等价：
⑴ R是唯一分解整环;
⑵ R满足如下条件:
由定义可得以下基本事实： 1°0是任何元素的倍元； 2°单位元1是任何元素的因子； 3°可逆元u是任何元素的因子：a =u (u-1 a)
4°传递性： a|b，b|c a|c 5°a～b相伴，则a，b相差一可逆元因子；
6°相伴关系是等价关系 7°可逆元无真因子，且所有可逆元都与1相伴。
Def：设R 是一个整环，a，b∈R，p≠0 (1) 若p无真因子，则称p是不可约元（即p≠0不是可逆 元， p的仅有的真因子是可逆元）; (2) 当p|ab 时必有p | a 或p | b，则称p为素元. 例: ① 在整数环中，全体素数既是不可约元，也是 素元. ② 在高斯整数环Z(i) 中，素数不一定是不可约元， 例如: 2是素数，但 2=(1+i)(1-i). 其中1+i 与1-i均不可逆，故 2在Z(i)中不是不可约元， 显然也不是素元。
所以，确定一个环中的不可约元与素元并非一件容 易的事。
不可约元与素元的关系有如下定理：
Th：设R是有单位元的整环，则R 中的素元必是不可 约元 （其逆不真）.
（事实上, 设素元 p=ab， ①若 p|a，则 p～a，从而b可逆； ②若 p|b，则 p～b，从而a可逆； 即 a，b 中总有一个可逆元，p 不可约）