波动第03讲 第三节 简谐波的合成
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高二物理竞赛课件：简谐运动的合成
*四、两个同方向不同频率简谐运动的合成 拍
x1 t
x2 t
x t
拍 合振动振幅 随时间周期性加强与减弱的现象
两个频率较大且相差极小的同方向谐振动合成形成拍
例1 两个同方向简谐振动，周期相同，振幅为 A1=0.05m, A2=0.07m，组成一个振幅为A=0.1044m的简 谐振动，求两个分振动的相位差。
要决定于 = 2- 1
= 0
y A2 x A1
=
y A2 x A1
为 的整数倍，合振动轨迹为直线
= /2
= 3/2
x2 A12
y2 A22
1
为 2的奇数倍，合振动轨迹为正椭圆
= P·/4 .Q = 3/4 = -/4 = -3/4
为其他值，合振动轨迹为斜椭圆
方向： 2 1 0就是顺时针，反之逆时针。
解： A2 ?
A2 A12 A2 2 A1 A cos( 1)
0.1m
A2
2
因为 A2 A12 A22
O
所以
2
1
2
A
2 1
1
1
A1
x
x x1 x2
A
A2
2
O
x 1
A1
x2 x1
பைடு நூலகம்
x
利用解析法也可以计算振幅和初相。
x x1 x2 A1 cost 1 A2 cost 2
A1 cost cos1 sint sin1 A2 cost cos2 sint sin2
A1 cos1 A2 cos2 cost A1 sin1 A2 sin2 sint
x=A1cos( t+ 1) y=A2cos( t+ 2)
12-3振动与波动合成
A 2
×
o
x
2 20 3
2
四、简谐振动的能量
1.动能 2.势能
v A sin( t 0 )
1 Ek mv 2 2 1 2 2 kA sin ( t 0 ) 2
x A cos(t 0 )
1 2 E p kx 2
1 2 kA cos 2 ( t 0 ) 2
合振动:
x x1 x2 A cos(t )
1.应用解析法
x x1 x2
2.应用旋转矢量法
y
A2
2
A
A2 sin 2
A1
1
A2 cos 2
A1 sin 1
o
A1 cos1
x
x A cos( t )
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2.动力学（揭示本质）
水平方向受力
F kx
牛顿第二定律
d x k x0 2 dt m
2
动力学特征
d2 x F kx ma m 2 dt
d2 x 2 x0 2 dt
k m
x(t ) Acos(ωt 0 )
简谐振动（判据）： 受力角度 —— 动力学特征
2
在阻尼较小的情况下，微分方程的解为：
2 x(t ) A0 e t cos( 0 2 t 0 ) A cos( p t )
阻尼振动
等幅振动
x
A h ( ) 4
2 0 2 2 p 2 2 p
① ②
o
xot t来自 arctan 2 p
F －kx
加速度角度——运动学特征
×
o
x
2 20 3
2
四、简谐振动的能量
1.动能 2.势能
v A sin( t 0 )
1 Ek mv 2 2 1 2 2 kA sin ( t 0 ) 2
x A cos(t 0 )
1 2 E p kx 2
1 2 kA cos 2 ( t 0 ) 2
合振动:
x x1 x2 A cos(t )
1.应用解析法
x x1 x2
2.应用旋转矢量法
y
A2
2
A
A2 sin 2
A1
1
A2 cos 2
A1 sin 1
o
A1 cos1
x
x A cos( t )
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2.动力学（揭示本质）
水平方向受力
F kx
牛顿第二定律
d x k x0 2 dt m
2
动力学特征
d2 x F kx ma m 2 dt
d2 x 2 x0 2 dt
k m
x(t ) Acos(ωt 0 )
简谐振动（判据）： 受力角度 —— 动力学特征
2
在阻尼较小的情况下，微分方程的解为：
2 x(t ) A0 e t cos( 0 2 t 0 ) A cos( p t )
阻尼振动
等幅振动
x
A h ( ) 4
2 0 2 2 p 2 2 p
① ②
o
xot t来自 arctan 2 p
F －kx
加速度角度——运动学特征
《简谐运动的合成》课件
演化、分支和应用
复杂演化
分支学科
摆锤波、庞加莱山丘和分形结构。
天文学、量子力学、金融市场的 年度周期、周期性疾病等。
应用
音乐制作、机械振动隔振等。
《简谐运的合成》PPT 课件
让我们一起探索简谐运动的奥秘，以及如何合成它们，理解它们的物理和声 学意义。
简谐运动
定义
在保证周期性的前提下，物体在固定外力作用下沿一个固定轨道做的运动称为简谐运动。
特点
周期性、振幅、相位、频率、能量守恒。
物理意义
简谐运动是许多自然现象的基础，例如弹簧振子、波的传播、电路中的交流电等。
4 频率
单位时间内重复运动的次数，即振动的快慢。
简谐振动的模拟
Project 1
通过模拟普通化学键中的键弹 性常数，让分子的振动成为一 个弹性团体的整体振动。
Project 2
开发一个可以模拟波的传播和 反射等现象的平台。
Project 3
设计一个工具用于分析在大量 复杂结构和流体下的流动或运 动。
总结
原理 应用 重要性
简谐运动的周期性、振幅、相位、频率、能量守 恒 声音、机械振动、电路等多个领域。
简谐振动学是理解自然现象及应用科学的基础。
力学和声学之美
1 位移
最基本的力学量，表述物体在空间三维坐标 系所占据的位置。
2 振幅
描述物体围绕平衡位置做小幅度振动的最大 位移量。
3 波长
因为波是重复的，所以它有特定的波长。
简谐振动的合成
概述
两个或多个简谐运动的合成。
合成振幅的求法
矢量法或三角函数法。
合成频率的求法
各组分振动的频率之和。
双摆实验
演示简谐振动的合成原理。
第三节振动合成物理专题波动方程和波的能量
13
比较波动过程、振动过程能量变化规律的异同
波动过程
振动过程
波动过程，某质元具有的
能量w是时间t的周期函数
振动过程，质元总能量不变
WmA22sin2[(tu x)0]
W 1 kA2 2
传播能量
不传播能量
W k 和 W 同p 相变化
W k 最大时、 W p为0 W p 最大时、 W k 为0
三、 波的能量密度和平均能量密度
2
u2
sin 2
(t
x) u
10
Ep
1 Y (Sx) A2 2
2
u2
sin 2
(t
x) u
由波函数和波速 u 2 Y 可得
Ep
1 Y (Sx) A2 2
2
u2
sin 2
(t
x) u
1 A22 (Sx) sin2 (t x )
Ek
1 2
A2 2 (Sx) sin 2 (t
x) u
2
u
棒元的总机械能
ut
G
G— 固体的切变弹性模量
— 固体密度
d. 液体和气体只能传播纵波，其波速由下式给出：
ul
B
B— 流体的容变弹性模量
— 流体的密度
e. 稀薄大气中的纵波波速为
RT p
ul
M
说明
— 气体摩尔热容比
M— 气体摩尔质量 R — 气体摩尔常数
(1) 波的周期和频率与媒质的性质无关；一般情况下，与
1. 波的能量密度
E
Ek
Ep
A2 2 (SΔx) sin
2
(t
x) u
介质中单位体积的波动能量，称为波的能量密度。
比较波动过程、振动过程能量变化规律的异同
波动过程
振动过程
波动过程，某质元具有的
能量w是时间t的周期函数
振动过程，质元总能量不变
WmA22sin2[(tu x)0]
W 1 kA2 2
传播能量
不传播能量
W k 和 W 同p 相变化
W k 最大时、 W p为0 W p 最大时、 W k 为0
三、 波的能量密度和平均能量密度
2
u2
sin 2
(t
x) u
10
Ep
1 Y (Sx) A2 2
2
u2
sin 2
(t
x) u
由波函数和波速 u 2 Y 可得
Ep
1 Y (Sx) A2 2
2
u2
sin 2
(t
x) u
1 A22 (Sx) sin2 (t x )
Ek
1 2
A2 2 (Sx) sin 2 (t
x) u
2
u
棒元的总机械能
ut
G
G— 固体的切变弹性模量
— 固体密度
d. 液体和气体只能传播纵波，其波速由下式给出：
ul
B
B— 流体的容变弹性模量
— 流体的密度
e. 稀薄大气中的纵波波速为
RT p
ul
M
说明
— 气体摩尔热容比
M— 气体摩尔质量 R — 气体摩尔常数
(1) 波的周期和频率与媒质的性质无关；一般情况下，与
1. 波的能量密度
E
Ek
Ep
A2 2 (SΔx) sin
2
(t
x) u
介质中单位体积的波动能量，称为波的能量密度。
物理PPT课件：简谐波动的合成
A12 A22 2 A12 0
返回
二、驻波
两个完全相同的简谐波，沿同一直线相反方向传播，合 成结果------驻波。
120s
写出两列波的表达式：
Y1 Acos(t x u) Y2 Acos(t x u)
合成结果：
Y Y1 Y2 Acos(t x u) Acos(t x u)
简谐波动的合成
本节内容
一、两列同方向同频率波的合成 二、两列反向传播的完全相同波的合成
什么是波的干涉现象？
频率相同，振动方向相同，初相位相同或相位 差固定的波源发出的波叠加时，叠加区内出现某些 地方振动加强，另一些地方振动减弱或完全抵消，这 种现象称为波的干涉现象。
一、波的干涉
同方向同频率初相位差固定的两列简谐波的合成 ------波的干涉。
（答案：x=4cos7t）
(2)开始时，物体在平衡位置，给以向上
21cm/s的初速度，同时开始计时。 （答案：x=3cos(7t+π/2)）
(3)把物体从平衡位置拉下4cm后，又给 以向上21cm/s的初速度，同时开始 计时。（答案:x=5cos(7t+ 370 ) ）
作业四
在半径为R的半球形碗中有一小球质量为m，若将小 球移开一个很小的位移，放开令其运动，求证小球 做简谐振动，并求其振动周期
根据图中所示位移时间曲线，分别 写出这两个振动的表达式。
（答案：
a x Acos 5 t
） 6 3
b x Acost
2
x A/2 o
x A
o
t 1
(a)
1
t
(b)
作业三
一弹簧悬挂10g砝码伸长8cm,现将这根弹簧下悬挂25g
的物体， 使它做自由振动，按下列情况分别求其振动 方程。 (1)开始时使物体从平衡位置向下移动4cm后松手。
返回
二、驻波
两个完全相同的简谐波，沿同一直线相反方向传播，合 成结果------驻波。
120s
写出两列波的表达式：
Y1 Acos(t x u) Y2 Acos(t x u)
合成结果：
Y Y1 Y2 Acos(t x u) Acos(t x u)
简谐波动的合成
本节内容
一、两列同方向同频率波的合成 二、两列反向传播的完全相同波的合成
什么是波的干涉现象？
频率相同，振动方向相同，初相位相同或相位 差固定的波源发出的波叠加时，叠加区内出现某些 地方振动加强，另一些地方振动减弱或完全抵消，这 种现象称为波的干涉现象。
一、波的干涉
同方向同频率初相位差固定的两列简谐波的合成 ------波的干涉。
（答案：x=4cos7t）
(2)开始时，物体在平衡位置，给以向上
21cm/s的初速度，同时开始计时。 （答案：x=3cos(7t+π/2)）
(3)把物体从平衡位置拉下4cm后，又给 以向上21cm/s的初速度，同时开始 计时。（答案:x=5cos(7t+ 370 ) ）
作业四
在半径为R的半球形碗中有一小球质量为m，若将小 球移开一个很小的位移，放开令其运动，求证小球 做简谐振动，并求其振动周期
根据图中所示位移时间曲线，分别 写出这两个振动的表达式。
（答案：
a x Acos 5 t
） 6 3
b x Acost
2
x A/2 o
x A
o
t 1
(a)
1
t
(b)
作业三
一弹簧悬挂10g砝码伸长8cm,现将这根弹簧下悬挂25g
的物体， 使它做自由振动，按下列情况分别求其振动 方程。 (1)开始时使物体从平衡位置向下移动4cm后松手。
简谐振动的合成PPT(课件)-高中物理竞赛
2）反相位 2 0 1 0(2 k 1 )π(k0， 1, )
xx
o A1
20
o
A
A2
Tt
AA1A2
两个同方向同频率的合振动振幅与分振动的相位关系
（1）相位差 20102kπ (k0， 1， )
两个简谐振动的相位相同，合振动的振幅
AA1A2 相互加强
若 A1 A2 则 A2A1
（2）相位差 20 10 (2k1)π(k0， 1， )
不仅与两分振幅有关，而且还与相02位差10
讨论两种特殊相位情况 A A 1 2A 2 22A 1A 2co2s0 (1)0
1）同相位 2 0 1 02 kπ(k0， 1 ， 2 , ) xx
0
o
A1
o
A2
A
AA1A2
T
t
讨论两种特殊相位情况 A A 1 2A 2 22A 1A 2co2s0 (1)0
由余弦定理
A
A2
A2si n20
A 2010 0
x x x x 2
A1cos10
A1si n10
1
1A2 cos20
A A 1 2 A 2 2 2 A 1 A 2co2 s 0 1 ()0
tan0A A 1 1c so i n1 1 s0 0 A A 2 2scio n2 2 s0 0
两个简谐振动的相位相反，合振动的振幅
AA1A2 相互削弱
若 A1 A2 则 AO
（3）一般情况
A 1A 2A A 1A 2
合振动的振幅在 A1 A2 和 A1 A2 之间
例 两个同方向的简谐振动曲线如图所示，求合振动 方程。
x
攀登雪山时，尽量避免大声讲话，以免引起共振造成雪崩。
xx
o A1
20
o
A
A2
Tt
AA1A2
两个同方向同频率的合振动振幅与分振动的相位关系
（1）相位差 20102kπ (k0， 1， )
两个简谐振动的相位相同，合振动的振幅
AA1A2 相互加强
若 A1 A2 则 A2A1
（2）相位差 20 10 (2k1)π(k0， 1， )
不仅与两分振幅有关，而且还与相02位差10
讨论两种特殊相位情况 A A 1 2A 2 22A 1A 2co2s0 (1)0
1）同相位 2 0 1 02 kπ(k0， 1 ， 2 , ) xx
0
o
A1
o
A2
A
AA1A2
T
t
讨论两种特殊相位情况 A A 1 2A 2 22A 1A 2co2s0 (1)0
由余弦定理
A
A2
A2si n20
A 2010 0
x x x x 2
A1cos10
A1si n10
1
1A2 cos20
A A 1 2 A 2 2 2 A 1 A 2co2 s 0 1 ()0
tan0A A 1 1c so i n1 1 s0 0 A A 2 2scio n2 2 s0 0
两个简谐振动的相位相反，合振动的振幅
AA1A2 相互削弱
若 A1 A2 则 AO
（3）一般情况
A 1A 2A A 1A 2
合振动的振幅在 A1 A2 和 A1 A2 之间
例 两个同方向的简谐振动曲线如图所示，求合振动 方程。
x
攀登雪山时，尽量避免大声讲话，以免引起共振造成雪崩。
波动(谐波波函数) ppt课件
2
一、波的产生 1. 机械波产生的条件
振源 弹性介质 2. 电磁波
只需振源 可在真空中传播
3. 物质波 物质的固有性质
ppt课件
A
振源A振动通过 弹性力传播开去
真空
机械波的传播 3
二、 波面 波射线 1. 横波 纵波 横波：各振动方向与波传播方向垂直 纵波：各振动方向与波传播方向一致
横波
u
纵波 x
第2章 波 动
§1 平面简谐波的描述
§2 波的能量
§3 惠更斯原理
§4 波的叠加
§5 驻波
§6 群速度
§7 多普勒效应
ppt课件
1
§1 平面简谐波的描述 一、波的产生 二、波面 波射线 三、平面 S.H.W.的传播 四、平面 S.H.W.的表达式 五、平面 S.H.W.的复数表示法 六、波动方程
ppt课件
向x轴正向传播
Acos t
2π
x
向x轴负向传播
2.角波数（简称波数)
波数：单位长度内含的波长数目（波长倒数）
角波数：2长度内含的波长数目（简称波数）
k 2π
ppt课件
24
平面谐波一般表达： Acos t kx
负（正）号代表向 x 正（负）向传播的谐波
Acos t kx 取实部 Aei(tkx) Re Aeitkx
Aei tkx Aeikxei t
经典波：波函数表示实在物理量 只有取 实部才有意义 但可以使计算方便
量子：波函数本身一般就是复数
ppt课件
28
六、波动方程
1 4 7 10 13
振动 0 状态 > 0
简谐振动、振动合成ppt课件
x0
A0
-A 0
A
0
0 -A 0
A 0
;
9
5、振幅与初相的确定
初始条件：x t0 x0 , V t0 V0
x A cos(t ) v A sin( t )
x0 A cos ① v0 A sin ②
①2+(②/)2
有
x
2 0
(v0
/ )2
A2
A
x02
v0
2
②/①有
tg v0 / A v0
A M
A v t M 0
2. M 点的运动速度
ox P x
v A
在 x 轴上投影速度
v A sin( t )
;
31
3. M 点的加速度
a A2
在x轴上投影加速度
a A2 cos(t )
y
aM
A M A2 t 0
ox P x
结论：
M点运动在x轴投影，为谐振动的运动方程。
M点速度在x轴投影，为谐振动的速度。
x
14
建立坐标系，o点选在弹簧平衡位置处。
F弹 x
3.振动位移
ox
振动位移：从 o 点指向物体所在位置的矢量。
回复力： 一维振动
F弹 k x F弹 kx ma
a d 2x F弹 k x
dt 2 m;
m
15
d2x k x 0 dt 2 m
F弹 x
令
2 k
m
ox
有
d 2x 2x 0 简谐振动微分方程
2
1 mA 2 2 sin 2 (t )
2
;
25
Ek
1 m 2 A 2 sin
简谐运动的合成.ppt
2
1
(2k 1)π
2
1
小结
（1）相位差 2 1 2k π
A A A
1
2
(k 0，1，) 加强
（2）相位差
2
1
(2k 1) π
(k 0，1，)
A A A
1
2
减弱
（3）一般情况
A A A A A
1
2
1
2
二 两个相互垂直的同频率的简谐
振幅
A
2 A1 cos2 π 2
1
2
t
Amax 2A1 Amin 0
x (2A1 cos2 π
2
2
1 t)cos2 π
2
2
1t
2π2 1 T π
2
2 1
T 1
2 1
拍频（振幅变化的频率）
方法二：旋转矢量合成法
(2 1)t (2 1)
2A1 A2
cos(2
1 )
x x1 x2
A
x tan
A1
sin
1
A2
sin2
A1 cos1 A2 cos2
A2
2
1
A1
O x2 x1 x
两个同方向同频率简谐运动合成后仍
为同频率的简谐运动
（1）相位差
2
1
2k π
(k
o
A1
A2
A3
A4
A5
A
x
A Ai NA0
x A cos[t (N 1)]
第四节 简谐波动的合成
120s
写出两列波的表达式：
Y1 Acos(t x u) Y2 Acos(t x u)
合成结果：
Y Y1 Y2 Acos(t x u) Acos(t x u)
2Acost cos x u (2Acos x u) cost A' cost
驻波的特点
每个质点都在做简谐振动，但振幅不同，有些点的振 幅为0---波节，有些点的振幅最大---波腹，而波形 不走动。
引起的振动的相位差
P x 3
Q
2
x
R
x
Yp
A1
cos (t
x
x ) u
YQ
A1
cos (t
x u
)
x 2 x 3
u
（2）R点的合振幅
P x Q
x
R
x
A1 A2
A A12 A22 2A1A2 cos
A12 A22 2 A12 0
返回
二、驻波
两个完全相同的简谐波，沿同一直线相反方向传播，合 成结果------驻波。
2
作业一
S1、S2是由同一振子所带动的波源，但S1的位相超
前S2 π/2，那么点P为干涉为极大的条件是二者的
波程差为多少？
答案：(r k 1 )
4
s1 r1
p
r2
s2
作业二
弦线上的驻波相邻波节的距离为65cm，弦的振动频率为 2.3ⅹ102Hz,求波的传播速率u和波长λ.
(答案： 1.3m,u 2.99m / s)
平面简谐波的波动方程 Y Acos(t x u)
波长λ 波速 u波频υ u
波强度 I A2
波的干涉现象
干涉极大的条件 干涉极小的条件
写出两列波的表达式：
Y1 Acos(t x u) Y2 Acos(t x u)
合成结果：
Y Y1 Y2 Acos(t x u) Acos(t x u)
2Acost cos x u (2Acos x u) cost A' cost
驻波的特点
每个质点都在做简谐振动，但振幅不同，有些点的振 幅为0---波节，有些点的振幅最大---波腹，而波形 不走动。
引起的振动的相位差
P x 3
Q
2
x
R
x
Yp
A1
cos (t
x
x ) u
YQ
A1
cos (t
x u
)
x 2 x 3
u
（2）R点的合振幅
P x Q
x
R
x
A1 A2
A A12 A22 2A1A2 cos
A12 A22 2 A12 0
返回
二、驻波
两个完全相同的简谐波，沿同一直线相反方向传播，合 成结果------驻波。
2
作业一
S1、S2是由同一振子所带动的波源，但S1的位相超
前S2 π/2，那么点P为干涉为极大的条件是二者的
波程差为多少？
答案：(r k 1 )
4
s1 r1
p
r2
s2
作业二
弦线上的驻波相邻波节的距离为65cm，弦的振动频率为 2.3ⅹ102Hz,求波的传播速率u和波长λ.
(答案： 1.3m,u 2.99m / s)
平面简谐波的波动方程 Y Acos(t x u)
波长λ 波速 u波频υ u
波强度 I A2
波的干涉现象
干涉极大的条件 干涉极小的条件
振动与波动第3讲机械波的一般概念波动的描述平面简谐波的表达式
x y ( x , t ) 10 cos ( t ) (SI) 203
(4) 求C点离O点的距离。 由波动方程直接得
x c y ( x , t ) 10 cos ( t ) c 20 3
对比，得
70 x 23 .33 ( m ) c 3
例2：如图所示，有一平面简谐波：
t x y A cos 2 ( ) A T
向右传播，在距坐标原点O为l=5λ的B点被垂直界面反 射，设反射处有半波损失，反射波的振幅近似等于入射 波振幅。试求：
（1）反射波的表达式； （2）驻波的表达式；
（3）在原点O到反射 点B之间各个波节和 波腹的坐标。
A cos[ 2 ( t x / ) ]
A cos[ 2 ( t / T x / ) ]
2、
波函数的物理意义
x tx y A cos[ ( t ) ] A cos[ 2 π ( ) ] u T
1 ）当 x 固定时， 波函数表示该点的简谐 运动方程，并给出该点与点 O 振动的相位差.
、 u之区别 . 注意：
4、沿X轴负方向传播的平面简谐波
u , O u x y ( x 0 ,) t A c o s ( t ) 那么坐标为 x 处的质点比原点处的质点相位 超前 x/u ,x 处质点的振动方程：
已知:
X
x t x y A cos t A cos 2 u T
u
C X (m)
O B y ( x , 1 / 3 ) A cos( / 3 ) c c 5
由图知
( x , 1 / 3 ) A sin( / 3 ) 0 ,
(4) 求C点离O点的距离。 由波动方程直接得
x c y ( x , t ) 10 cos ( t ) c 20 3
对比，得
70 x 23 .33 ( m ) c 3
例2：如图所示，有一平面简谐波：
t x y A cos 2 ( ) A T
向右传播，在距坐标原点O为l=5λ的B点被垂直界面反 射，设反射处有半波损失，反射波的振幅近似等于入射 波振幅。试求：
（1）反射波的表达式； （2）驻波的表达式；
（3）在原点O到反射 点B之间各个波节和 波腹的坐标。
A cos[ 2 ( t x / ) ]
A cos[ 2 ( t / T x / ) ]
2、
波函数的物理意义
x tx y A cos[ ( t ) ] A cos[ 2 π ( ) ] u T
1 ）当 x 固定时， 波函数表示该点的简谐 运动方程，并给出该点与点 O 振动的相位差.
、 u之区别 . 注意：
4、沿X轴负方向传播的平面简谐波
u , O u x y ( x 0 ,) t A c o s ( t ) 那么坐标为 x 处的质点比原点处的质点相位 超前 x/u ,x 处质点的振动方程：
已知:
X
x t x y A cos t A cos 2 u T
u
C X (m)
O B y ( x , 1 / 3 ) A cos( / 3 ) c c 5
由图知
( x , 1 / 3 ) A sin( / 3 ) 0 ,
简谐波的波动方程三
简谐波的波动方程在许多领域都 有广泛应用，如声学、光学、电 磁学等。未来需要进一步探索其 在其他领域中的应用，并开发新 的技术和方法来更好地描述和预 测波动的行为。
THANKS
感谢观看
理解和应用。
解波动方程
03
解波动方程可以得到简谐波在空间中的传播规律，需要掌握求
解方法。
推导中的数学工具
三角函数
在推导过程中，需要使用三角函数来表示简谐波的振动形式和波 动方程。
导数和微积分
在求解波动方程时，需要使用导数和微积分的相关知识。
线性代数
在求解波动方程时，可能需要使用线性代数的方法来求解方程组。
波动周期性
总结词
简谐波的波动周期性是指波在传播过程中，振动状态重复出现的时间间隔具有周期性。
详细描述
简谐波的周期性表现为在一定的时间内，波前的振动状态会重复出现。这个时间间隔称 为波的周期，用T表示。对于简谐波，其振动方程是正弦或余弦函数，因此其周期性表
现为函数值的周期性变化。
波动能量传递
总结词
03
简谐波的波动方程三的特性
波动方向性
总结词
简谐波的波动方向性是指波在传播过程中，振动方向与传播 方向一致。
详细描述
简谐波在传播过程中，波前的每一个点都在做圆周运动，因 此波的传播方向与圆周运动的切线方向一致。这种方向性是 简谐波特有的性质，对于其他类型的波，如横波，其振动方 向与传播方向垂直。
空间维度的影响
在多维空间中，波动方程的解将具有更复杂的空间结构和传播特性。例如，波的衍射、干 涉和散射等现象将变得更加复杂和有趣。
数值模拟与解析解
为了研究多维波动方程的解，需要发展高效的数值模拟方法，并寻求解析解。这将有助于 深入了解多维波动的特性和应用。
平面简谐波波动方程课件
非线性项的影响
非线性波动方程中，非线性项对 波形的变化和传播速度有重要影响。Fra bibliotek孤波的形成
在非线性波动中，孤波是一种特殊 的波形，其波形不会弥散或消失， 而是以固定的速度和形状传播。
稳定性分析
非线性波动方程的解的稳定性可以 通过线性稳定性分析来研究。
色散波动方程
色散现象
色散现象是指波在传播过程中， 不同频率的波速度不同，导致波
行波法
方法概述
介绍行波法的原理和适用 范围。
行波法的步骤
详细阐述行波法的实施步 骤，包括利用行波法求解 波函数和能流密度等物理 量。
行波法的优缺点
分析行波法的优点和缺点 ，如直观性强但计算量较 大。
04
平面简谐波波动方程的应用
在声波传播中的应用
声波的传播特性
平面简谐波波动方程可以描述声 波在空气或其他介质中的传播特 性，包括声波的传播速度、振幅 、频率等参数。
波动方程的形式
介绍平面简谐波波动方程 的一般形式，以及方程的 变量和参数。
求解方法的选取
根据波动方程的特点，选 取适合的求解方法。
分离变量法
方法概述
介绍分离变量法的原理和适用范围。
分离变量法的步骤
详细阐述分离变量法的实施步骤，包括对时间的积分和对空间的积 分。
分离变量法的优缺点
分析分离变量法的优点和缺点，如计算量较大但精度较高。
根据简化的波动方程，可以得 出平面简谐波的波动方程。
平面简谐波的波动方程描述了 波在平面上的传播规律，其中 包含了波的振幅、频率、相位 等参数。
通过求解平面简谐波的波动方 程，可以得到任意时刻波在平 面上的分布情况。
03
平面简谐波波动方程的求解
非线性波动方程中，非线性项对 波形的变化和传播速度有重要影响。Fra bibliotek孤波的形成
在非线性波动中，孤波是一种特殊 的波形，其波形不会弥散或消失， 而是以固定的速度和形状传播。
稳定性分析
非线性波动方程的解的稳定性可以 通过线性稳定性分析来研究。
色散波动方程
色散现象
色散现象是指波在传播过程中， 不同频率的波速度不同，导致波
行波法
方法概述
介绍行波法的原理和适用 范围。
行波法的步骤
详细阐述行波法的实施步 骤，包括利用行波法求解 波函数和能流密度等物理 量。
行波法的优缺点
分析行波法的优点和缺点 ，如直观性强但计算量较 大。
04
平面简谐波波动方程的应用
在声波传播中的应用
声波的传播特性
平面简谐波波动方程可以描述声 波在空气或其他介质中的传播特 性，包括声波的传播速度、振幅 、频率等参数。
波动方程的形式
介绍平面简谐波波动方程 的一般形式，以及方程的 变量和参数。
求解方法的选取
根据波动方程的特点，选 取适合的求解方法。
分离变量法
方法概述
介绍分离变量法的原理和适用范围。
分离变量法的步骤
详细阐述分离变量法的实施步骤，包括对时间的积分和对空间的积 分。
分离变量法的优缺点
分析分离变量法的优点和缺点，如计算量较大但精度较高。
根据简化的波动方程，可以得 出平面简谐波的波动方程。
平面简谐波的波动方程描述了 波在平面上的传播规律，其中 包含了波的振幅、频率、相位 等参数。
通过求解平面简谐波的波动方 程，可以得到任意时刻波在平 面上的分布情况。
03
平面简谐波波动方程的求解
波动第03讲第三节简谐波的合成
驻波、波节、波腹
反射波的半波损失
演示：驻波的产生和驻波的形成 振幅、频率、传播速度都相同的两列相干波，在
同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊 的干涉现象.
驻波的形成
演示：振动的简正模式
两端固定的弦线形成驻波时，波长 n 和弦线长 l
应满足 l n n
率
2
， n
n
u 2l
n 1,2,
这种情况没有干涉
两列波发生稳定干涉的条件
振动方向有相同成分
相干条件: 1 2, 1 2 con
1
2
( u2
r2
u1
r1 )
1
2
1 2, 1 2 const 和振动方向有相同成 相干条件
分
1
2
(1
2 )t
(2
u2
r2
1
u1
r1 )
1
2
A A12 A22 2 A1A2 cos
霖雨潇潇水泽盈盈雨打水面激起无数可爱透明的小水泡第三节简谐波的叠加简谐波的干涉资料问题如图第三项是干涉项第三节简谐波的叠加简谐波的干涉资料如果振动方向垂直这种情况没有干涉和振动方向有相同成振动方向有相同成分相干条件第三节简谐波的叠加简谐波的干涉资料相位差与合成波振幅的关系干涉加强相干条件
第十章 波动
1
2
( u2
r2
u1
r1 )
1
2
A A12 A22 2 A1A2 cos
问题：如果空间有众多的波
存在会有什么景象？
李白《听蜀僧浚弹琴》 蜀僧抱绿绮，西下峨眉峰。 为我一挥手，如听万壑松。 客心洗流水，馀响入霜钟。 不觉碧山暮，秋云暗几重。
简谐波的干涉 资料
波的合成公式
波的合成公式波的合成公式是物理学中用来描述两个或多个波同时存在时，它们叠加形成的新波的数学表达式。
在波动光学、声学以及其他许多领域中，波的合成是一个重要的概念。
波的合成公式取决于波的性质和合成方式。
下面将介绍几种常见的波的合成公式。
1. 相干波的合成：在相干波的合成中，当两个波的相位差恒定时，它们将产生干涉现象。
这种情况下，合成波的振幅是两个波的振幅的矢量和。
假设有两个波源的振幅分别为 A1 和 A2，它们之间的相位差为Δφ，那么合成波的振幅可以表示为：A = √(A1² + A2² + 2A1A2cosΔφ)2. 不相干波的合成：在不相干波的合成中，各个波之间的相位差是随机的，无法产生干涉现象。
在这种情况下，合成波的振幅是每个波的振幅的平方和的平方根。
假设有两个波源的振幅分别为 A1 和 A2，那么合成波的振幅可以表示为：A = √(A1² + A2²)3. 单色光的合成：在单色光的合成中，可以利用标称波长及相位差来描述两个或多个单色光的合成波。
假设有两个单色光的波长分别为λ1 和λ2，它们之间的相位差为Δφ，那么合成波的波长可以按照光的干涉公式表示为：λ = (λ1λ2)/(λ1 - λ2) * sin(Δφ/2)4. 双音定位的合成：在双音定位中，可以利用两个音源之间的时间差来描述合成声音的方向。
假设两个音源分别位于距离听者 L1 和 L2 处，合成声音的速度为 v，那么合成声音的时间差可以表示为：Δt = (L1 - L2)/v上述是几种常见的波的合成公式，它们基于不同的物理原理和条件而产生。
在应用中，我们可以根据具体情况选择合适的合成公式来描述波的行为和特性。
总结起来，波的合成公式为物理学家研究波的相互作用和性质提供了重要的数学工具。
通过运用合适的公式，我们可以准确地描述和预测波的行为，从而推动物理学和其他相关领域的发展。
波动第3讲
Ⅲ x
Q Ⅲ区处处干涉加强 两波在S 2 右侧的任一点Q的相位差： r2 r1 20.5 Q 2 1 2 2 20 2 2 两波在S 2 和S 1 之间的任一点R的相位差：
P
2 R [ ( 20.5 x ) x ] 2
y入射波 ( x, t ) A cos( t 2
x)
则反射波的波动方程为
2 y反 ( x, t ) A cos t
y M
3 x 2 4
2 y反 ( x, t ) A cos t
两列波叠加后的强度 I A A1 A2 2 A1 A2 cos
2
2 2
I I1 I 2 2 I1 I 22 cos 2 I1 cos
叠加后空间各点的强度重新分布。 若I1=I2,则叠加后波的强度
2
称为干涉项
I 2 I1 1 cos 4 I1 cos 2 当 2k 时,在这些位置波强最大, I=4I1 。
为该波t 时刻的波形图. 欲沿ox 轴形成驻波,且 使原点O处出现波节, 画出另一简谐波 t 时刻的 波形图. 解: 另一简谐波与该波 u 的振幅相同,波长相同, • 传播方向相反. 0 O点两波相位差为.
x
u
例 :已知一驻波在t时刻各点振动到最大位移处,
其波形图如(a)所示,有一平面简谐行波,沿x正方 向传播,图(b)所示为该波t 时刻的波形图. (1) 试 分别在两图上注明a,b,c,d 四点此时的运动速度 (设横波). (2) 求两种情况下a–b.
相邻两个波腹或相邻的两个波节之间的距离都是/2。
(b) 考察驻波中各点的相位
波的合成原理及应用
波的合成原理及应用1. 引言波的合成是指两个或多个波相互作用形成一个新的波的过程。
在物理学中，波的合成原理和应用广泛，涉及到光学、声学以及电磁学等领域。
了解波的合成原理和应用可以帮助我们更好地理解和应用这一重要的物理现象。
2. 波的合成原理波的合成原理可以通过以下几种方式实现：2.1. 直接叠加法直接叠加法是最简单的波的合成方法之一。
当两个波在同一时刻、相近的位置上相遇时，它们的振动会叠加在一起形成一个新的波。
2.2. 干涉法干涉法是波的合成中常用的方法之一。
当两个或多个波同时通过一定的路径到达同一位置时，它们会相互干涉产生干涉图样。
干涉法可以分为衬比干涉和光栅干涉等。
2.3. 叠加法叠加法是将多个波叠加在一起，根据它们的振幅、频率、相位等性质来生成合成波。
3. 波的合成应用波的合成在多个领域中有着重要的应用。
以下列举了一些常见的应用：3.1. 音频信号处理在音频信号处理中，波的合成被广泛应用于声音的合成和音乐合成。
通过合成不同频率、振幅和相位的波，可以生成各种不同的音色和声音效果。
3.2. 光学干涉仪光学干涉仪是利用光的干涉原理来测量和分析光的性质。
通过合理设计光学元件，可以使两束或多束光波相互干涉，从而产生干涉图样，通过观察和分析干涉图样可以得到有关光的信息。
3.3. 电磁波合成天线在无线通信中，电磁波合成天线被用于将多个天线的信号合成成一个单一的信号。
通过合成不同方向的波，可以实现波束成型和多天线通信。
3.4. 模拟合成孔径雷达模拟合成孔径雷达（SAR）是一种利用合成孔径成像技术来获取地面目标信息的雷达系统。
通过合成多个雷达波的回波信号，可以获得高分辨率的地面目标图像。
3.5. 声波成像在医学影像学中，声波成像被广泛应用于超声波检查。
通过合成不同方向和频率的声波，可以形成目标的图像，从而进行疾病的诊断和治疗。
4. 结论波的合成是一种重要的物理现象，广泛应用于光学、声学以及电磁学等领域。
通过了解波的合成的原理和应用，我们可以更好地理解和应用这一物理现象，推动科学技术的发展。
振动与波动 简谐波
x/m
o
0.05
k 0.72N m 解 （1） m 0.02kg
1
6.0s 1
v A x x0 0.05m v0 tan 0 x0 0 或 π
2 0 2 0 2
o
A
x
0 x A cos(t ) (0.05m) cos[(6.0s1 )t ]
•研究机械振动的规律是学习和研究其它形式 的振动以及波动、无线电技术、波动光学的基 础。
振动的形式: 受迫振动 振动 自由振动 共振 阻尼自由振动
无阻尼自由振动
无阻尼自由非谐振动 无阻尼自由谐振动 (简谐振动）
第一节 简谐振动 一、简谐振动的描述
二、简谐振动的判据
三、简谐振动的特征物理量 四、简谐振动的旋转矢量表示 五、简谐振动的能量 六、阻尼振动与阻尼受迫振动（自学）
由旋转矢量图可知
A （2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的 2 速度；
解
x A cos(t ) A cos(t )
A
x 1 cos( t ) A 2 π 5π t 或 3 3 π 由旋转矢量图可知 t 3
A
o
v A sin t
A 2
x
一、简谐振动的描述
弹簧振子的振动
l0
k
x0 F 0
m
A
o
x
A
以弹簧谐振子为例
k
m
0
设弹簧原长为坐标原点
由牛顿第二定律 F kx ma 整理得
d x k x0 2 dt m
2
kx
x x
d2 x kx m 2 dt
k 令 m
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x y ( x, t ) A cos t x u 2 u
dEk dE p 1 2 A2 dV sin 2 [ (t x / u ) ] 2 1 w 2 A2 I wu, I wu 2 2 2 , T u
波 的 叠 加 习 题
波 的 叠 加 习 题
波 的 叠 加 习 题
波 的 叠 加 习 题
/ 2 两波源相距为d，分析两波在各处
的干涉结果。
相干条件: 1 2 , 1 2 con
1 2 (
u2
r2
u1
r1 ) 1 2
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos
简谐波的干涉
第三节 简谐波的叠加 驻波：传播方向相反的 两列波的叠加
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos
驻波、波节、波腹 反射波的半波损失
如果有半波损失：
相位差是Pi
则反射和入射波的
பைடு நூலகம்
[ (t x0 / u ) 1 ] [ (t x0 / u ) 0 ] 2 x0 / u 1 0
演示：驻波的产生和驻波的形成 振幅、频率、传播速度都相同的两列相干波，在
y1 ( x, t ) A cos[ (t x / u)]
资料
振动方向有相同成分
相干条件: 1 2 , 1 2 con
y2 ( x, t ) A cos[ (t x / u)]
1 2 (
u2
r2
u1
r1 ) 1 2
两列波叠加
解 ：弦两端为固定点，是波节.
ln
千斤
nu 频率 2l
u
2
n 1,2,
波速 u
T
l
码子
1 T 基频 n 1 1 262 Hz 2l n T 谐频 n 1 n 2l
波的衍射： 绕过障碍物传播，绕射
简谐波
资料
y( x, t ) A cos[ (t x / u ) ]
同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊
的干涉现象.
驻波的形成
演示：振动的简正模式
两端固定的弦线形成驻波时，波长 n 和弦线长 l
n 1,2, 应满足 l n 由此频 2 率 决定的各种振动方式称为弦线振动的简正模式.
n
u n n ， 2l
两端固定的弦 振动的简正模式
cos(2 x / ) 1 x k / 2
相邻节点或者相邻波腹的间距都是波长的一半
简谐波的干涉
波的反射和半波损失：当一
列波传播到两种介质的交界面时会发 生反射和透射。 当波从波疏煤质向波密煤质传播 时，反射波与入射波相比在反射点有 相位Pi的改变。如果反射波的振幅与 入射波相同，那么在反射点形成一个 节点。换句话说，如果反射点是一个 波节，那么反射波就会有半波损失。
r1 ) 1 2
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos
简谐波的干涉
第三节 简谐波的叠加 相位差与合成波振幅的关系
2k , A A1 A2
资料
干涉
加强 相消
振动方向有相同成分
(2k 1) , A A1 A2
(2k 1) , 2
水波衍射 隔墙有耳：声波 衍射 光波衍射
波的衍射： 绕过障碍物传播，绕射 惠更斯原理： 波面上的每一点都是产
简谐波
t
资料
y( x, t ) A cos[ (t x / u ) ]
生次级波的波源，而次级波波面的包络 x y ( x , t ) A cos t 是下一个波面。
一端固定一端自由 的弦振动的简正模式
ln
n
2
n 1,2,
l
1 n l (n ) n 1,2, 2 2
1
2
l
1
4
2 2 l 2
33 l 2
32 l 4 53 l 4
讨论 如图二胡弦长 l 0.3 m ，张力 T 9.4N . 密度 3.8 104 kg m . 求弦所发的声音的基频和谐频.
干涉
2 2
相干条件: 1 2 , 1 2 con
1 2 (
A A A
2 2 1
没有干涉
u2
r2
u1
r1 ) 1 2
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos
以上各式中k是整数 k 0, 1, 2, 3,
奥地利物理学家，数学家和天文学家多普勒，克里斯 琴· 约翰(Doppler, Christian Johann)1803年11月29日出 生于奥地利的萨尔茨堡 (Salzburg)。1842年，他因文章 "On the Colored Light of Double Stars" “多普勒效 应”(Doppler Effect)，而闻名于世。1853年3月17日， 多普勒与世长辞。
如果振动在同一个方向
y y1 (r1 , t ) y2 (r2 , t )
2 y 2 y12 y2 2 y1 y2
第三项是干涉项
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos
1 2 (1 2 )t (
2
u2
r2
1
u1
r1 ) 1 2
后
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos
y ( x, t ) y1 ( x, t ) y2 ( x, t ) 2 A cos( x / u )cos(t ) 2 A cos(2 x / )cos(t )
两列波叠加
不再是行波，
而是停在某个地方，驻波
y1 ( x, t ) A cos[ (t x / u)] y2 ( x, t ) A cos[ (t x / u)]
1 2 (
驻波节点：驻波中位移始终为零的地方
cos(2 x / ) 0 x (2k 1) / 4
u2
r2
u1
r1 ) 1 2
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos
驻波、波节、波腹
驻波波腹：驻波中最大位移是2A的地
方
第十章 波动
第一节 平面简谐波 第二节 简谐波的能量和能流 第三节 简谐波的合成
下面是 第三节 简谐波的合成
浮光跃金，静影沉璧
回顾：平面简谐波 平面波：波线和波面
简谐波
( x, t )
资料
y( x, t ) A cos[ (t x / u ) ]
x y A cos t t 2 u
相干条件: 1 2 , 1 2 con
1 2 (
u2
r2
u1
r1 ) 1 2
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos
简谐波的干涉
第三节 简谐波的叠加 例题
[2]如图，相干波源s1和s2，s1超前s2
资料
振动方向有相同成分
问题：如果空间有众多的波
存在会有什么景象？
李白《听蜀僧浚弹琴》 蜀僧抱绿绮，西下峨眉峰。 为我一挥手，如听万壑松。 客心洗流水，馀响入霜钟。 不觉碧山暮，秋云暗几重。
简谐波的干涉
资料
振动方向有相同成分
相干条件: 1 2 , 1 2 con
1 2 (
u2
r2
x ( x, t ) A cos t u 2 x y ( x, t ) A cos t x u 2 u
dEk dE p 1 2 A2 dV sin 2 [ (t x / u ) ] 2 1 w 2 A2 I wu, I wu 2 2 2 , T u
克里斯蒂安· 惠更斯(Christiaan Huyg(h)ens， 1629年04月14日-1695年07月08日)荷兰物理学家、天文学家、数 学家，1629年4月4日生于海牙，1695年7月8日卒于海牙。他建立 向心力定律，提出动量守恒原理，并改进了计时器。
演示：惠更斯原理
频率相同、 振动方向平行、
u1
r1 ) 1 2
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos
驻波、波节、波腹 反射波的半波损失
简谐波的干涉
第三节 简谐波的叠加 例题
[1]如图，相干波源s1和s2，s1超前s2
资料
振动方向有相同成分
/ 4 两波在P点干涉加强、相消和不干
涉时，波长满足的条件是什么？
u
2
x y ( x, t ) A cos t x u 2 u
dEk dE p 1 2 A2 dV sin 2 [ (t x / u ) ] 2 1 w 2 A2 I wu, I wu 2 2 2 , T u
资料
振动方向有相同成分
相干条件: 1 2 , 1 2 con
1 2 (
设入射波：
y0 ( x, t ) A cos[ (t x / u) 0 ]
u2
r2
u1
r1 ) 1 2
反射波的一般形式：
y1 ( x, t ) A cos[ (t x / u) 1 ]
1 2 , 1 2 const