一般的整数规划模型的建立与求解
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特别说明：对比整数规划问题，非整数规划问题的可行 解通常构成平面上的一个多边形，可行解有无穷多个。
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
解下列整数规划模型：
max Z 6 x1 4 x2 s.t. 2 x1 4 x2 13 2 x1 x2 7 x1 , x2 0 x1 , x2为整数
注意，这里线性松弛模型的可行解的区域 （多边形）包含了整数规划的可行解的集合（多 边形内的整数点），因而线性松弛模型的解要优 于整数规划的解。
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
整数规划模型：
max Z 6 x1 4 x2 s.t. 2 x1 4 x2 13 2 x1 x2 7 x1 , x2 0 x1 , x2为整数
松弛模型：
max Z 6 x1 4 x2 s.t. 2 x1 4 x2 13 2 x1 x2 7 x1 , x2 0
解为（2.5,2）
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
（二）模型解法之二：穷举法 先忽略整数的限制，求解其松弛模型。自然要 求松弛模型的可行解是一个有界区域；否则没办法 进行穷举求解。 如同求解一般线性规划，先画出由诸不等式约 束确定的多边形。但是这里的可行解由在该多边区 域内的有限多个整数点构成。
数学建模理论与实践
—— 基于整数规划的数学建模
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基于整数规划的数学建模
一、一般的整数规划模型的建立与求解 二、0-1规划模型的建立与求解
三、指派模型的建立与求解
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
问题的提出：
一般的整数规划是指线性规划中的一类特殊的问题，其特 点是决策变量只取整数。
建立整数规划模型如同建立一般线性规划模型一样，要确 定决策变量、目标函数和约束条件。所不同的是，这里的可 行解中各变量只取整数。如果只有两个决策变量，可行解只 可能是平面上坐标是整数的点。因而在各决策变量有界的条 件下，可行解只可能是有限多个。这个特点使我们有可能用 一些特殊方法求解整数规划模型。
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
（一）模型解法之一：使用线性松弛模型 （二）模型解法之二：穷举法
（三）模型解法之三：割平面法
（四）模型解法之四：分支定界法
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
（一）模型解法之一：使用线性松弛模型 线性松弛模型的定义： 去掉整数规划中的整数要求后得到的非整数 规划问题称为原整数规划的线性松弛模型。
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
2 x1 x2 7
ห้องสมุดไป่ตู้
2 x1 4 x2 13
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
整数规划的可行解应该含在松弛模型的可行解内部， 并仅仅由在该多边区域内的有限多个整数点构成。 图中显示，共有12个可行解，依次代入目标函数，得到 一系列函数值：
整数点 目标函数值 整数点 (0,0) 0 (1,2) (0,1) 4 (2,0) (0,2) 8 (2,1) (0,3) 12 (2,2) (1,0) 6 (3,0) (1,1) 10 (3,1)
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二、0-1规划模型的建立与求解
1. 0-1规划含义 0-1规划是整数规划中的特殊情况，此时决策变量只取0或1 值。只取0或1值的变量称为0-1变量，决策变量为0-1变量的线 性规划称为0-1规划。 2. 0-1规划模型典型解法：隐枚举法 由于0-1规划是特殊的整数规划，显然可以使用整数规划的 一切方法（如上述的线性松弛模型、穷举法、割平面法、分支 定界法等方法）求解0-1规划。 对一个有n个决策变量的0-1规划模型，其所要考虑的情况 最多有2^n种。如果变量不多，可以用穷举法来求解。 隐枚举法的本质是穷举法，但是应用隐枚举法可以更快地 得到最优解。
目标函数值
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A、B两种机器分别购买3台和1台，产值最多增加22万元。
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
（三）模型解法之三：割平面法 割平面法的思想及过程：在整数规划对应的 线性松弛模型中逐次增加一个新约束（即割平 面），割去原可行域中一部分不含整数解的区域， 逐次切割直至最终得到松弛问题可行域的一个最 优解顶点为整数解为止。 特别说明：由线性规划的特点，最优解一定 能在可行解区域的某个顶点达到。 新增约束必须满足的条件： (1) 不能割去满足条件的整数点； (2) 必须将前一次模型的最优解割去。 11
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
三种方法（穷举法、割平面法、分支定界法）小结与 对照如下： 3、分支定界法的一般原理及基本步骤： 分支定界法思想就是不断降低上界，提高下界，最后 使得上下界相等，即求得最优解。 基本步骤： ⑴ 寻找替代问题并求解（放宽或取消原问题某些约束， 并求解，一般取消整数约束）； ⑵ 分支与定界； ⑶ 剪支。
详细参见文件：分支定界法原理简介.pdf
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
三种方法（穷举法、割平面法、分支定界法）小结与 对照如下： 1、穷举法解整数规划问题的原理及算法：求出所有的 可行解，代入目标函数比较求得最优解。 2、割平面法的思想及过程：在整数规划的线性松弛模 型中逐次增加一个新约束（即割平面），割去原可行域 中一部分不含整数点的区域。逐次切割直至最终所得线 性松弛模型可行域的一个最优解顶点为整数解为止。 新增约束必须满足的条件： (1) 不能割去满足条件的整数点； (2) 必须将前一次松弛模型的最优解（非整数解）割去。
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松弛模型：
max Z 6 x1 4 x2 s.t. 2 x1 4 x2 13 2 x1 x2 7 x1 , x2 0
一、一般的整数规划模型的建立与求解
（四）模型解法之四：分支定界法 分支定界法是一种广义搜索算法，人工使 用非常繁琐，但由于计算机的运算速度快的特 点，这种算法十分适合计算机进行。分支定界 法是计算机最擅长的广义搜索穷举算法。
一、一般的整数规划模型的建立与求解
整数规划模型： max Z 6 x1 4 x2
s.t. 2 x1 4 x2 13 2 x1 x2 7 x1 , x2 0 x1 , x2为整数
max Z 6 x1 4 x2 s.t. 2 x1 4 x2 13 2 x1 x2 7 x1 x2 4 x1 , x2 0
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
解下列整数规划模型：
max Z 6 x1 4 x2 s.t. 2 x1 4 x2 13 2 x1 x2 7 x1 , x2 0 x1 , x2为整数
注意，这里线性松弛模型的可行解的区域 （多边形）包含了整数规划的可行解的集合（多 边形内的整数点），因而线性松弛模型的解要优 于整数规划的解。
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
整数规划模型：
max Z 6 x1 4 x2 s.t. 2 x1 4 x2 13 2 x1 x2 7 x1 , x2 0 x1 , x2为整数
松弛模型：
max Z 6 x1 4 x2 s.t. 2 x1 4 x2 13 2 x1 x2 7 x1 , x2 0
解为（2.5,2）
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
（二）模型解法之二：穷举法 先忽略整数的限制，求解其松弛模型。自然要 求松弛模型的可行解是一个有界区域；否则没办法 进行穷举求解。 如同求解一般线性规划，先画出由诸不等式约 束确定的多边形。但是这里的可行解由在该多边区 域内的有限多个整数点构成。
数学建模理论与实践
—— 基于整数规划的数学建模
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基于整数规划的数学建模
一、一般的整数规划模型的建立与求解 二、0-1规划模型的建立与求解
三、指派模型的建立与求解
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
问题的提出：
一般的整数规划是指线性规划中的一类特殊的问题，其特 点是决策变量只取整数。
建立整数规划模型如同建立一般线性规划模型一样，要确 定决策变量、目标函数和约束条件。所不同的是，这里的可 行解中各变量只取整数。如果只有两个决策变量，可行解只 可能是平面上坐标是整数的点。因而在各决策变量有界的条 件下，可行解只可能是有限多个。这个特点使我们有可能用 一些特殊方法求解整数规划模型。
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
（一）模型解法之一：使用线性松弛模型 （二）模型解法之二：穷举法
（三）模型解法之三：割平面法
（四）模型解法之四：分支定界法
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
（一）模型解法之一：使用线性松弛模型 线性松弛模型的定义： 去掉整数规划中的整数要求后得到的非整数 规划问题称为原整数规划的线性松弛模型。
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
2 x1 x2 7
ห้องสมุดไป่ตู้
2 x1 4 x2 13
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
整数规划的可行解应该含在松弛模型的可行解内部， 并仅仅由在该多边区域内的有限多个整数点构成。 图中显示，共有12个可行解，依次代入目标函数，得到 一系列函数值：
整数点 目标函数值 整数点 (0,0) 0 (1,2) (0,1) 4 (2,0) (0,2) 8 (2,1) (0,3) 12 (2,2) (1,0) 6 (3,0) (1,1) 10 (3,1)
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二、0-1规划模型的建立与求解
1. 0-1规划含义 0-1规划是整数规划中的特殊情况，此时决策变量只取0或1 值。只取0或1值的变量称为0-1变量，决策变量为0-1变量的线 性规划称为0-1规划。 2. 0-1规划模型典型解法：隐枚举法 由于0-1规划是特殊的整数规划，显然可以使用整数规划的 一切方法（如上述的线性松弛模型、穷举法、割平面法、分支 定界法等方法）求解0-1规划。 对一个有n个决策变量的0-1规划模型，其所要考虑的情况 最多有2^n种。如果变量不多，可以用穷举法来求解。 隐枚举法的本质是穷举法，但是应用隐枚举法可以更快地 得到最优解。
目标函数值
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A、B两种机器分别购买3台和1台，产值最多增加22万元。
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
（三）模型解法之三：割平面法 割平面法的思想及过程：在整数规划对应的 线性松弛模型中逐次增加一个新约束（即割平 面），割去原可行域中一部分不含整数解的区域， 逐次切割直至最终得到松弛问题可行域的一个最 优解顶点为整数解为止。 特别说明：由线性规划的特点，最优解一定 能在可行解区域的某个顶点达到。 新增约束必须满足的条件： (1) 不能割去满足条件的整数点； (2) 必须将前一次模型的最优解割去。 11
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
三种方法（穷举法、割平面法、分支定界法）小结与 对照如下： 3、分支定界法的一般原理及基本步骤： 分支定界法思想就是不断降低上界，提高下界，最后 使得上下界相等，即求得最优解。 基本步骤： ⑴ 寻找替代问题并求解（放宽或取消原问题某些约束， 并求解，一般取消整数约束）； ⑵ 分支与定界； ⑶ 剪支。
详细参见文件：分支定界法原理简介.pdf
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
三种方法（穷举法、割平面法、分支定界法）小结与 对照如下： 1、穷举法解整数规划问题的原理及算法：求出所有的 可行解，代入目标函数比较求得最优解。 2、割平面法的思想及过程：在整数规划的线性松弛模 型中逐次增加一个新约束（即割平面），割去原可行域 中一部分不含整数点的区域。逐次切割直至最终所得线 性松弛模型可行域的一个最优解顶点为整数解为止。 新增约束必须满足的条件： (1) 不能割去满足条件的整数点； (2) 必须将前一次松弛模型的最优解（非整数解）割去。
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松弛模型：
max Z 6 x1 4 x2 s.t. 2 x1 4 x2 13 2 x1 x2 7 x1 , x2 0
一、一般的整数规划模型的建立与求解
（四）模型解法之四：分支定界法 分支定界法是一种广义搜索算法，人工使 用非常繁琐，但由于计算机的运算速度快的特 点，这种算法十分适合计算机进行。分支定界 法是计算机最擅长的广义搜索穷举算法。
一、一般的整数规划模型的建立与求解
整数规划模型： max Z 6 x1 4 x2
s.t. 2 x1 4 x2 13 2 x1 x2 7 x1 , x2 0 x1 , x2为整数
max Z 6 x1 4 x2 s.t. 2 x1 4 x2 13 2 x1 x2 7 x1 x2 4 x1 , x2 0