一般的整数规划模型的建立与求解
整数规划解法与实际案例分析
整数规划解法与实际案例分析整数规划是运筹学中的一个重要分支，它在实际问题中有着广泛的应用。
整数规划问题是指决策变量被限制为整数的线性规划问题，通常用于需要做出离散决策的情况。
在本文中，我们将介绍整数规划的基本概念和解法，并结合一个实际案例进行分析，以帮助读者更好地理解整数规划的应用。
### 整数规划的基本概念整数规划是一种特殊的线性规划问题，其决策变量被限制为整数。
一般来说，整数规划可以分为纯整数规划和混合整数规划两种情况。
纯整数规划要求所有的决策变量都是整数，而混合整数规划则允许部分决策变量为整数，部分为连续变量。
整数规划可以用数学模型来描述，通常形式如下：$$\begin{aligned}\text{Maximize} \quad & c^Tx \\\text{Subject to} \quad & Ax \leq b \\& x \in \mathbb{Z}^n\end{aligned}$$其中，$c$、$x$、$b$ 分别为目标函数系数向量、决策变量向量和约束条件右端常数向量，$A$ 为约束条件系数矩阵，$x \in\mathbb{Z}^n$ 表示 $x$ 是一个整数向量。
### 整数规划的解法整数规划问题的求解相对复杂，因为整数约束使得问题的解空间不再是连续的，而是离散的。
针对整数规划问题，通常有以下几种解法：1. **穷举法**：穷举法是最直接的方法，即枚举所有可能的整数解，然后逐一计算目标函数值，找出最优解。
然而，穷举法在问题规模较大时会变得非常低效。
2. **分支定界法**：分支定界法是一种常用的整数规划求解方法。
它通过不断将整数规划问题分解为子问题，并对子问题进行求解，直到找到最优解为止。
3. **割平面法**：割平面法是一种基于线性规划的整数规划求解方法。
它通过不断添加线性不等式约束（割平面）来逼近整数解，直到找到最优解为止。
4. **分支定价法**：分支定价法是一种高级的整数规划求解方法，通常用于解决混合整数规划问题。
整数线性规划
分枝定界法的理论基础：
1 2 k , i j (1) max cx max (max cx, max cx, , max cx)
x x1 x 2 x k
(2) 若 i j ，则 max cx max cx
xi xi x
分 枝
给定整数规划问题IP max z C T X
若x 的某个分量 xi 不是整数，
0
0
则将 IP分解为两个子问题
max z C X AX b X 0 X为整数向量 xi [ xi0 ]
T max z C X AX b X 0 X为整数向量 xi [ xi0 ] 1
记 z0 z
x1 4, x1 5
将问题B0分解为两个子问题B1和B2(分枝), 分别解B1,B2得 B1: x1=4, x2=2.10, z1=349 B2: x1=5, x2=1.57, z2=341
max z 40 x1 90 x2 max z 40 x1 90 x2 9 x1 7 x2 56 7 x 20 x 70 1 2 x1 4 B1 x1 , x2 0 9 x1 7 x2 56 7 x 20 x 70 1 2 x1 5 B2 x1 , x2 0
4、几点说明 (1)、如果要求目标的最大值
max z cij xij
令
bij M cij
i
j
其中
M max{ cij }
效率矩阵可变为B，将分配问题转换为一个极 小化问题
min z
'
b x
ij i j
ij
(2)、如果分配问题中，人员数 m 不等于工作数 n 时，可以类似于不平衡运输问题建立模型的 方法，增加虚拟人员或虚拟工作。
整数规划
比如下面的例子：
例1.某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱 的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如 下表：
货物 体积（每 箱M3) 5 甲 4 乙 托运限制 24 重量(每箱 50kg) 2 5 13 利润(每 箱百元) 20 10
问两种货物各托运多少箱,可使利润最大?
为了满足整数解得要求，初看，似乎只要把已得到的分 数或小数， “舍入化整”就可以了。但是，这常常是不行的， 因为化整后，不一定是可行解，或者虽是可行解，但不一定 是最优解。
整数规划
§1 整数规划及其解法 §2 0-1型整数规划 §3 指派问题
整数规划
1、理解整数规划、0-1规划和指派问题的数学 模型 2、理解整数规划模型的类型 3、理解整数规划的求解方法:分支定界法和割 平面法、0-1规划的隐枚举法和指派问题的 匈牙利法的思想和步骤
求解方法
1、分支定界法 2、割平面法
a x
i 1 ij
n
j
bi yi M (i 1,, m)
y1 + y2 + „ + ym = m –1， yi = 0 或 1 (i=1，„，m)
3、关于固定费用问题
• 在讨论线性规划时，有些问题是要求使 成本最少的方案，那时总设固定成本为 常数，并在线性规划的模型中不必明显 列出。但有些固定成本的问题不能用一 般线性规划来描述，但可改为混合整数 规划来解决。
aj
值最大？
解：设 x j 为决策变量，且 x j 满足如下限制
xj {
1，携带第j件物品 0，不携带第j件物品
，j 1,2, n
则问题的数学模型为
x c j x j max
j 1
n
运筹学中的整数规划问题分析
运筹学中的整数规划问题分析运筹学是运用数学和定量分析方法，通过对系统的建模和优化，来解决实际问题的学科。
其中整数规划是运筹学中的一个重要分支，它在许多实际情况中得到广泛应用。
本文将对整数规划问题进行分析，并探讨其解决方法与应用领域。
一、整数规划问题定义及特点整数规划是一类线性规划问题的扩展，其目标函数和约束条件中的变量取值限定为整数。
通常，整数规划问题可以形式化表示为：Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙs.t.a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ∈ Z其中，Z为目标函数值，x₁, x₂, ..., xₙ为待求解的整数变量，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，aᵢₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右端常数。
整数规划问题的特点在于整数约束条件的引入，使其解空间变得有限，增加了问题的复杂性。
与线性规划问题相比，整数规划问题更接近实际情况，能够更准确地描述和解决很多实际问题。
二、整数规划问题的解决方法解决整数规划问题的方法主要有以下几种：穷举法、剪枝法、分支定界法、动态规划法等。
具体使用哪种方法需要根据问题的规模和特点来确定。
1. 穷举法是最简单直观的方法，通过枚举搜索整数解空间中的每一个可能解来寻找最优解。
然而，由于整数解空间往往非常大，这种方法在实际问题中往往是不可行的。
2. 剪枝法是一种通过对解空间进行剪枝操作，减少搜索空间的方法。
通过合理选择剪枝条件，可以避免对明显无解的解空间进行搜索，从而提高求解效率。
3. 分支定界法是一种将整数规划问题不断分解为子问题，并对子问题进行界定的方法。
通过不断缩小问题规模，并计算上下界确定最优解的位置，可以有效地求解整数规划问题。
整数规划求解题技巧
整数规划求解题技巧整数规划（Integer Programming，IP）是线性规划（Linear Programming，LP）的扩展，它要求所有变量的取值必须是整数。
整数规划常用于求解实际问题中的最优决策，具有广泛的应用领域，如运输、生产、资源分配等。
下面我将介绍一些整数规划求解题的技巧。
1. 转化为纯整数规划：将实际问题转化为纯整数规划问题可以简化模型。
纯整数规划要求所有变量的取值都必须是整数，没有连续变量的限制。
通过建立合适的约束条件和目标函数，可以将问题转化为纯整数规划问题进行求解。
2. 松弛约束：对于某些约束条件，如果将其从等式形式变为不等式形式且松弛一些限制，可以增加问题的可行解空间。
这样可以使得模型具有更多的可行解，从而提高求解效率。
3. 分枝定界法：分枝定界法是一种常用的求解整数规划问题的方法。
它将整数规划问题划分为多个子问题，通过不断划分和求解这些子问题，逐步逼近最优解。
分枝定界法通常包括两个步骤：分枝和定界。
分枝是指将问题分解为多个子问题，每个子问题都是原问题的一个可能解。
定界是指通过对子问题的求解，确定上界和下界，从而缩小搜索范围。
4. 启发式算法：启发式算法是一种常用的求解整数规划问题的方法，它通过启发式规则和策略来指导搜索过程。
启发式算法不保证找到最优解，但可以在较短时间内找到近似最优解。
常见的启发式算法包括贪心算法、模拟退火算法、遗传算法等。
5. 接近最优策略：在实际问题中，有时求解整数规划问题的时间复杂度非常高，甚至是NP-hard难题。
面对这种情况，可以采取接近最优的策略。
即对于一个相对较大的整数规划问题，先求解一个近似最优解，然后逐步优化，以此来降低问题的复杂度。
6. 问题分解：对于大规模的整数规划问题，可以将问题分解成多个较小的子问题。
通过对这些子问题的求解，可以逐步逼近整体问题的最优解。
问题分解可以提高求解效率，同时可以充分利用问题的结构特点。
7. 约束松弛法：约束松弛法是一种将整数规划问题转化为线性规划问题进行求解的方法。
数学规划模型的建立与求解(建模)
数学规划模型的建立与求解
一般地，优化模型可以表述如下：
min z f ( x ) s.t . gi ( x ) 0 ， i = 1, 2, , m
这是一个多元函数的条件极值问题，其中 x = [ x 1 , x 2 , … , x n ]。
许多实际问题归结出的这种优化模型，但是其决策变量个数 n 和约束条件
这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在时间是早上 8:00，问他们最早何时离开公司？
数学规划模型的建立与求解
Step 1. 寻求决策，即回答什么？ 1. 同学甲、乙、丙、丁的面试次序 1）同学甲、乙、丙、丁每个阶段面试的开始时间 2）先后次序 2. 离开时间 Step 2. 确定决策变量 1. 同学甲、乙、丙、丁参加第j阶段面试的开始时间ti,j； 2. 同学甲、乙、丙、丁面试结束时间：T1，T2，T3，T4 3. 离开时间：T=max{ T1，T2，T3，T4} 4. 先后次序：ri,j，0—1变量 5. 面试时间（已知）：ci,j Step 3. 确定优化目标 Min T
数学规划模型的建立与求解
张兴元 2009 年 3 月
数学规划模型的建立与求解
1．优化问题及其一般模型
优化问题是人们在工程技术、经济管理和科学研究等领域中最常遇到的 问题之一。例如： 设计师要在满足强度要求等条件下选择材料的尺寸， 使结构总重量最轻； 公司经理要根据生产成本和市场需求确定产品价格， 使所获利润最高； 调度人员要在满足物质需求和装载条件下安排从各 供应点到需求点的运量和路线，使运输总费用最低； 投资者要选择一些股票、债券下注，使收益最大，而风险最小 …………
数学规划模型的建立与求解
Step 4. 寻找约束条件
(四)一般ILP问题的WinQSB和Excel建模求解
（四） 一般整数线性规划问题的WinQSB 和Excel 求解实验目的:掌握在WinQSB 和Excel 中建立一般整数线性规划模型和求解的方法 实验内容:（1）利用WinQSB 的Linear and integer programming 子程序求解一般整数规划问题。
（2）利用Excel “规划求解”求解下述整数线性规划问题。
（如果“工具”菜单没有显示“规划求解”子菜单，可到“加载宏”下加载。
在本实验室选择安装路径：D:\tool_bak\office2003\PRO11.MSI ）实验内容：求解本章例1（P107页）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=，且均取整数值0,5.45.01432..23max 21212121x x x x x x t s x x z实验步骤：（一）WinQSB 的ILP 子程序求解（1）启动线性规划与整数线性规划程序。
依次点击：开始→程序→WinQSB →Linear and Integer Programming ，系统出现如图1的界面。
图1（2）建立新的数据文件或打开已有的数据文件。
在图1中点File 出现下拉菜单New Problem(建立新问题)和Load Problem(调用已有问题)。
点击File →New Problem ，输入变量的数目(Number of V ariables)、约束条件数目(Number of Constraints)，将变量类型设定为非负的整数变量 (Nonnegative integer)，其他选择默认项。
系统出现如图2的界面。
图2（3）输入数据。
在图2的界面中，单击OK后，输入数据，系统出现如图3的界面。
图3（4）问题求解。
在Solve and Analyze的下拉菜单项中选择Solve the Problem(求解不显示迭代过程)，系统给出如图4所示的求解结果。
图4（二）EXCEL求解第一步建模依次在相应的单元格内输入数据和公式，建模如图1注：Sumproduct()函数：在给定的几组数组中，将数组间对应的元素相乘，并返回乘积之和。
整数规划模型
整数规划模型整数规划模型是一种数学模型，用于解决优化问题。
在整数规划中，决策变量必须是整数。
这种模型广泛应用于工程、科学、运筹学和管理等领域。
整数规划模型的一般形式如下：\[\text{maximize} \quad c^Tx\]\[\text{subject to} \quad Ax \leq b\]\[x_j \text{整数} , j = 1,2,...,n\]其中，c是一个n维向量，表示目标函数的系数；x是n维向量，表示决策变量；A是m×n维矩阵，表示约束条件的系数矩阵；b是一个m维向量，表示约束条件的上界。
整数规划模型的目标是找到一个满足约束条件的决策变量向量x，使得目标函数值最大或最小。
由于决策变量必须是整数，所以整数规划模型要比普通的线性规划模型更复杂。
整数规划模型可以应用于许多实际问题。
例如，一个公司要决定生产哪种产品以最大化利润，但每种产品有一定的生产限制，需要整数规划模型来确定生产量；一个配送中心要决定如何分配物流资源以最小化成本，但每个分配决策都必须是整数，需要整数规划模型来求解。
求解整数规划模型可以使用多种算法。
例如，分支定界算法通过将问题分解为一个个子问题，并通过剪枝策略来减少搜索空间，最终找到最优解；约简与延迟约束算法通过线性松弛将整数规划转化为一个松弛线性规划问题，并通过迭代加入约束条件来逼近整数解。
整数规划模型的求解过程需要注意一些问题。
首先，由于整数规划是一个NP难问题，没有通用的多项式时间算法可以解决所有情况。
其次，整数规划模型可能有多个最优解，求解算法可能只能找到其中一个最优解。
最后，整数规划模型的求解过程可能需要大量的计算资源和时间。
总之，整数规划模型是一种重要的数学模型，可以用于解决各种实际优化问题。
但由于其复杂性和求解困难，需要合理选择算法和求解策略来获得满意的结果。
第三章数学规划模型
第三章数学规划模型第三章数学规划模型数学规划论起始20世纪30年代末，50年代与60年代发展成为⼀个完整的分⽀并受到数学界和社会各界的重视。
七⼋⼗年代是数学规划飞速发展时期，⽆论是从理论上还是算法⽅⾯都得到了进⼀步完善。
时⾄今⽇数学规划仍然是运筹学领域中热点研究问题。
从国内外的数学建模竞赛的试题中看，有近1/4的问题可⽤数学规划进⾏求解。
数学规划模型的⼀般表达式：),,(..),,(min(max)≤βαβαx g t s x ff 为⽬标函数，g 为约束函数，x 为可控变量，α为已知参数，β为随机参数。
本章主要介绍线性规划、整数规划、⾮线性规划的基本概念与基本原理、⽆约束问题的最优化⽅法、约束问题的最优化⽅法、动态规划。
3.1线性规划线性规划模型是运筹学的重要分⽀，是20世纪三四⼗年代初兴起的⼀门学科。
1947年美国数学家丹齐格G.B.Dantzig 及其同事提出的求解线性规划的单纯形法及有关理论具有划时代的意义。
他们的⼯作为线性规划这⼀学科的建⽴奠定了理论基础。
随着1979年前苏联数学家哈奇扬的椭球算法和1984年美籍印度数学家卡玛卡尔H.Karmarkar 算法的相继问世，线性规划的理论更加完备成熟，实⽤领域更加宽⼴。
线性规划研究的实际问题多种多样，如⽣产计划问题、物资运输问题、合理下料问题、库存问题、劳动⼒问题、最优设计问题等。
就模型⽽⾔，线形规划模型类似于⾼等数学中的条件极值问题，只是其⽬标函数和约束条件都限定为线性函数。
线性规划模型的求解⽅法⽬前仍以单纯形法为主要⽅法。
本节介绍的主要内容有：线性规划模型的建⽴以及求解，线性规划的matlab 解法，线性规划问题的建模实例。
3.1.1 线性规划模型的建⽴以及求解⼀、线性规划模型的建⽴例1、某机床⼚⽣产甲、⼄两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。
⽣产甲机床需⽤B A 、机器加⼯，加⼯时间分别为每台2⼩时和1⼩时；⽣产⼄机床需⽤C B A 、、三种机器加⼯，加⼯时间为每台各⼀⼩时。
整数规划
货物
甲
每件体积
195
每件重量 每件利润
4 2
乙
273
40
140
3
托运限制 1365
解：设甲乙托运数为x1,x2件，则 max z= 2x1+3x2
s.t. 195x1+273x2<=1365
4x1+40x2<=140 x1<=4 x1,x2>=0,且x1,x2为整数。
2x1+3x2=14.66 3
整数规划
案例
有一旅行团从 v0 出发要遍游城市 v1 , v 2 ,...,v n ，已知从 v i 到 v j 的旅费 为cij ，问应如何安排行程使总费 用最小？
整数规划
模型
变量—是否从i第个城市到第j个城市 xij 1,0;
约束 每个城市只能到达一次、离开一次
x
j 0 n
n
ij
整数规划
背包问题
背景
案例 模型
整数规划
背景
邮递包裹 把形状可变的包裹用尽量少的车辆运走 旅行背包 容量一定的背包里装尽可能的多的物品
整数规划
实例
某人出国留学打点行李，现有三个旅行包，容 积大小分别为1000毫升、1500毫升和2000毫 升，根据需要列出需带物品清单，其中一些物 品是必带物品共有7件，其体积大小分别为400、 300、150、250、450、760、190、（单位毫 升）。尚有10件可带可不带物品，如果不带将 在目的地购买，通过网络查询可以得知其在目 的地的价格（单位美元）。这些物品的容量及 价格分别见下表，试给出一个合理的安排方案 把物品放在三个旅行包里。
数学建模-整数规划
整数规划
Integer Programming
数信学院 任俊峰
2012-4-15
数学建模之整数规划
整数规划模型（IP）
如果一个数学规划的某些决策变量或全部决策 变量要求必须取整数，则称这样的问题为整数规 划问题，其模型称为整数规划模型。 如果整数规划的目标函数和约束条件都是线性 的，则称此问题为整数线性规划问题.
松弛问题最优解满足整数要求，则该最优解为整数 规划最优解；
数学建模之整数规划
整数线性规划的求解方法
从数学模型上看整数规划似乎是线性规划的 一种特殊形式，求解只需在线性规划的基础上，通 过舍入取整，寻求满足整数要求的解即可。 但实际上两者却有很大的不同，通过舍入得到
的解（整数）也不一定就是最优解，有时甚至不能
1 xj 0
选中第j个项目投资 不 选中第j个项目投资
max Z 160 x 1 210 x 2 60 x 3 80 x 4 180 x 5 210 x 1 300 x 2 150 x 3 130 x 4 260 x 5 600 x x2 x3 1 1 x3 x4 1 x x 1 5 x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 0 或 1
1 2
14 x1 9 x 2 51 6 x1 3 x 2 1 x1 , x 2 0
数学建模之整数规划
用图解法求出最优解 x1＝3/2, x2 = 10/3 且有 z = 29/6 现求整数解（最优解）： 如用“舍入取整法”可得到4 个点即(1，3) (2，3) (1，4) (2，4)。显然，它们都不可能 是整数规划的最优解。
数学建模之整数规划
例5 固定费用问题
整数规划模型的构建及求解方法
整数规划模型的构建及求解方法整数规划是一种数学优化问题，其目标是在给定的约束条件下，寻找能够使目标函数最大或最小的整数解。
在实际应用中，整数规划模型常被用于决策问题的求解，如生产计划、物流调度、资源分配等。
本文将介绍整数规划模型的构建方法以及常用的求解方法。
一、整数规划模型的构建方法1.确定决策变量：首先需要确定问题中的决策变量，即可用整数来表示的变量。
这些变量一般代表决策问题中的选择或分配方案。
例如，在生产计划问题中，决策变量可以是不同产品的生产数量。
2.定义目标函数：目标函数是整数规划问题中要最大化或最小化的指标。
根据问题的具体要求，可将目标函数设定为各个决策变量的线性组合或非线性函数。
例如，生产计划问题中，目标函数可以是利润的最大化或成本的最小化。
3.确定约束条件：约束条件用于限制决策变量的取值范围，以满足问题的实际限制。
约束条件可以是等式或不等式。
例如，在物流调度问题中，约束条件可以包括产品的需求量、供应量以及运输容量等。
4.完善模型：为了更准确地描述问题，还需要考虑一些特殊约束条件和问题的具体要求。
例如，某些决策变量可能需要满足某种关系或限制条件，或者需要指定某些变量的取值范围。
二、整数规划模型的求解方法1.穷举法：穷举法是最简单直接的求解方法，即将所有可能的整数解都列举出来，并计算对应的目标函数值，最后选取最优解。
然而，穷举法由于计算复杂度高，只适用于问题规模较小的情况。
2.分支定界法：分支定界法是一种逐步缩小解空间的方法。
通过将整数规划问题分解成若干个子问题，并为每个子问题设定上下界，不断迭代求解，最终找到最优解。
这种方法可以高效地搜索整数解空间，但对于规模较大的问题，计算时间可能会很长。
3.割平面法：割平面法是一种逐步划分解空间的方法。
它通过添加割平面来修正原始线性规划松弛的解，使其成为整数解。
这种方法能够快速收敛到最优解，并且具有较好的计算效率。
4.分枝定界法：分枝定界法是将分支定界法和割平面法相结合的方法。
第8章 整数规划
《管理运筹学》 主讲：何宜军
用运筹学软件求解：
《管理运筹学》 主讲：何宜军
用运筹学软件求解：
《管理运筹学》 主讲：何宜军
用运筹学软件求解：
计算结果
最优值：245 X1=1 X2=1 X5=1 X6=1 X9=1 X10=1
《管理运筹学》 主讲：何宜军
1、目标函数 2、决策变量 3、约束条件
①非负数 ②整 数
《管理运筹学》 主讲：何宜军
§3 整数规划的应用
一、投资场所的选择
例4、京成畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四区建立销售门 市部，拟议中有10个位置 Ai (i＝1，2，3，…，10)可供选择，考虑到各地 区居民的消费水平及居民居住密集度，规定：
a) 问应该在哪几个地方建厂，在满足销量的前提下，使得其总的固定成本 和总的运输费用之和最小?
b) 如果由于政策要求必须在A2，A3地建一个厂，应在哪几个地方建厂?
产地
销地
B1
B2
B3
产量(千吨)
A1
8
4
3
30
A2
5
2
3
10
A3
4
3
4
20
A4
9
7
5
30
A5
10
4
2
40
销量(千吨)
30 20 20
《管理运筹学》 主讲：何宜军
成第j项工作时)．这可以表示为一个0--1整数规划问题：
Min z=15x11+18x12+21x13+24x14+19x21+23x22+22x23+18x24+26x31+17x32+16x33 +19x34+19x41 +21x42+23x43+17x44 s.t. x11+ x12+ x13+ x14= 1 (甲只能干一项工作)
整数规划教学大纲
整数规划教学大纲整数规划是运筹学中的一个重要分支，它在实际问题的建模和求解中有着广泛的应用。
为了有效地教授整数规划知识，制定一份合理的教学大纲是非常必要的。
本文将探讨整数规划教学大纲的设计要点和内容安排。
一、整数规划的基础知识整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量取整数值。
在教学大纲中，首先要介绍线性规划的基本概念和求解方法，为后续的整数规划知识打下基础。
同时，还应该对整数规划的基本特点进行介绍，如可行解集的离散性和求解难度的增加等。
二、整数规划的建模方法整数规划的建模是整个教学过程中的核心内容。
在教学大纲中，应该详细介绍整数规划的建模方法，包括整数规划模型的一般形式、目标函数和约束条件的设定，以及如何将实际问题转化为整数规划模型。
同时，还可以通过实例分析和练习题来帮助学生掌握建模的技巧和方法。
三、整数规划的求解算法整数规划的求解是整数规划教学中的重点内容。
在教学大纲中，应该介绍整数规划的常见求解算法，如分支定界法、割平面法和启发式算法等。
对于每种算法，要详细介绍其基本原理和具体步骤，并通过实例演示和练习题来帮助学生理解和掌握算法的应用。
四、整数规划的应用领域整数规划在实际问题中有着广泛的应用，如生产调度、物流配送、资源配置等。
在教学大纲中，应该介绍整数规划在不同领域的具体应用案例，以及如何将实际问题转化为整数规划模型。
通过实例分析和讨论，可以帮助学生理解整数规划在实际问题中的价值和作用。
五、整数规划的软件工具随着计算机技术的不断发展，整数规划的求解软件工具也得到了广泛应用。
在教学大纲中，可以介绍一些常用的整数规划求解软件，如LINGO、Gurobi等，并通过实例演示和练习题来帮助学生掌握软件的使用方法和技巧。
同时，还可以引导学生进行课程设计或实验，利用软件工具解决实际问题。
六、整数规划的发展趋势整数规划作为运筹学的重要分支，其研究和应用也在不断发展。
在教学大纲的最后，可以对整数规划的发展趋势进行展望，介绍一些前沿的研究方向和应用领域，激发学生的兴趣和求知欲望。
运筹与优化— 整数规划建模方法
j 1
n
s.t
i1
xij
1,
j V
(2)
xij S 1,
S V , 2 S n 1
(3)
iS jS
xij 0, 1
二、典型整数规划问题建模方法
3、指派问题
混合游泳接力接力队的选拔
甲
乙
丙
蝶泳 仰泳 蛙泳 自由泳
1’06”8 1’15”6 1’27” 58”6
57”2 1’06” 1’06”4 53”
14
二、典型整数规划问题建模方法
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• 记为赋权图G=(V,E)，V为顶点集，E为边集，各顶点间的距 离dij已知。设
xij
1 , 0,
若i, j 在回路路径上
其他
则经典的TSP可写为如下的数学规划模型：
nn
min Z
dij xij
i 1 j 1
n
xij 1,
i V
(1)
5
应用统计 微积分；线性代数
6
计算机模拟
计算机编程
7
计算机编程
8
预测理论
应用统计
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数学实验 微积分；线性代数
模型求解:
最优解： x1 = x2 = x3 = x6 = x7 = x9 =1, 其它为0；6门 课程，总学分21（注意：最优解可能不唯一！）
约束条件：先修课程要求 x3=1必有x1 = x2 =1
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max z 20x1 10x2
5x1 4x2 24 2x1 5x2 13 x1, x2 0, x1, x2整数
• 用单纯形法解得：x1 4.8, x2 0, z 96
一、概述
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数学实验报告整数规划
一、实验目的1. 理解整数规划的概念及其应用领域。
2. 掌握整数规划问题的建模方法。
3. 熟悉求解整数规划问题的软件工具。
4. 分析整数规划问题的求解结果，评估模型的合理性。
二、实验背景整数规划是一种数学规划方法，用于求解含有整数变量的优化问题。
在实际应用中，整数规划广泛应用于物流、生产、金融、资源分配等领域。
本实验以一个简单的整数规划问题为例，介绍整数规划的基本原理和求解方法。
三、实验内容1. 问题背景某公司需要从两个供应商处采购A、B两种原材料，分别用于生产C、D两种产品。
供应商1提供的A原材料每吨价格为1000元，B原材料每吨价格为1500元；供应商2提供的A原材料每吨价格为1200元，B原材料每吨价格为1600元。
公司生产C产品每吨需要A原材料0.5吨，B原材料0.3吨，利润为2000元；生产D产品每吨需要A原材料0.2吨，B原材料0.4吨，利润为1500元。
公司每月最多可采购A 原材料50吨，B原材料30吨。
要求：（1）确定从两个供应商处采购A、B原材料的数量，使公司利润最大。
（2）求出满足条件的整数解。
2. 建立数学模型（1）变量设x1为从供应商1处采购A原材料的数量（吨），x2为从供应商2处采购A原材料的数量（吨），y1为从供应商1处采购B原材料的数量（吨），y2为从供应商2处采购B原材料的数量（吨），z为公司的总利润。
（2）目标函数最大化公司的总利润：Max z = 2000 (0.5 x1 + 0.2 x2) + 1500 (0.3 y1 + 0.4 y2)（3）约束条件① 采购的原材料数量限制：x1 + x2 ≤ 50y1 + y2 ≤ 30② 采购的原材料价格限制：1000 x1 + 1200 x2 ≤ 1000001500 y1 + 1600 y2 ≤ 150000③ 变量取值范围：x1, x2, y1, y2 ≥ 0x1, x2, y1, y2 为整数3. 求解整数规划问题（1）使用软件工具本实验采用Lingo软件求解整数规划问题。
数学建模中的模型建立与求解
数学建模中的模型建立与求解数学建模是一种通过数学模型描述和解决实际问题的方法，它在各个领域具有重要应用。
在数学建模过程中，模型的建立和求解是关键步骤，决定了最终的分析和预测结果。
本文将探讨数学建模中的模型建立与求解的方法和技巧。
一、模型建立模型建立是数学建模的基础，它要求根据实际问题的特点和背景进行合理的抽象和假设，将复杂的实际问题转化为易于处理的数学形式。
模型的建立需要遵循以下原则：1. 简化与拟合：模型应该尽可能简化实际问题，将其关键特点和变量进行提取和抽象。
同时，模型也需要与实际数据进行拟合，以确保模型的准确性和可靠性。
2. 合理性与可验证性：模型的建立应该基于科学的理论和推理，避免主观臆断和不合理的假设。
模型也需要通过实际数据和实验进行验证，确保其能够准确地描述和预测实际问题。
3. 可操作性与实用性：模型的建立需要考虑其可操作性和实用性，以便能够得到实际问题的解决方案。
模型应该能够提供可行的策略和可靠的结果，帮助决策者做出正确的决策。
二、模型求解模型求解是数学建模的核心，它要求通过数学的方法和工具对模型进行求解，并得到实际问题的答案和解决方案。
在模型求解的过程中，可以采用多种方法和技巧，包括数值方法、优化方法和统计方法等。
1. 数值方法：数值方法是模型求解中常用的方法之一，它通过数值计算和近似算法来求解复杂的数学模型。
数值方法的优点是求解速度快，适用范围广，但精度相对较低。
常用的数值方法包括数值积分、数值逼近和数值解微分方程等。
2. 优化方法：优化方法是模型求解中常用的方法之一，它通过优化算法和数学规划来求解最优化问题。
优化方法的优点是能够得到全局最优解或近似最优解，但求解复杂度较高。
常用的优化方法包括线性规划、非线性规划和整数规划等。
3. 统计方法：统计方法是模型求解中常用的方法之一，它通过数据分析和概率统计来求解和预测实际问题。
统计方法的优点是能够考虑不确定性和随机性因素，但需要依赖大量的实际数据。
运筹学：第4章 整数规划与分配问题
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资源 金属板（吨） 劳动力（人月） 机器设备（台月）
小号容器 2 2 1
中号容器 4 3 2
大号容器 8 4 3
解：设 x1, x2, x3 分别为小号容器、中号容器和大号容 器的生产数量。
0， 不生产j型号容器 y j 1， 生产j型号容器
建立如下的数学模型：
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为：
C
j
(x
j
)
K 0,
j
c
j
x
j
,
xj 0 xj 0
其中 K j 是与产量无关 的生产准备费用
n
目标函数： min z C j (x j )
j 1
定义
0 y j 1
则原问题可表示为
xj 0
xj 0
n
min z (c j x j K j y j ) j 1
s.t
0 x j Myj
y
j
0或1
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§2.2 应用举例
例1 东方大学计算机实验室聘用4名大学生（代号
1,2,3,4）和2名研究生（代号5,6）值班。已知各学生从 周一至周五每天可安排的值班时间及每人每小时报酬见下 表所示。
学生 代号
1 2 3 4 5 6
酬金 (元/h) 10.0 10.0
9.9 9.8 10.8 11.3
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（0） 8
2
5
11 （0） 5
4
2
3 （0） 0
0
11
4
5
根据上图，k=2，
周一 6 0 4 5 3 0
每天可安排的值班时间(h) 周二 周三 周四
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松弛模型：
max Z 6 x1 4 x2 s.t. 2 x1 4 x2 13 2 x1 x2 7 x1 , x2 0
解为（2.5,2）
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
（二）模型解法之二：穷举法 先忽略整数的限制，求解其松弛模型。自然要 求松弛模型的可行解是一个有界区域；否则没办法 进行穷举求解。 如同求解一般线性规划，先画出由诸不等式约 束确定的多边形。但是这成。
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
三种方法（穷举法、割平面法、分支定界法）小结与 对照如下： 3、分支定界法的一般原理及基本步骤： 分支定界法思想就是不断降低上界，提高下界，最后 使得上下界相等，即求得最优解。 基本步骤： ⑴ 寻找替代问题并求解（放宽或取消原问题某些约束， 并求解，一般取消整数约束）； ⑵ 分支与定界； ⑶ 剪支。
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
（一）模型解法之一：使用线性松弛模型 （二）模型解法之二：穷举法
（三）模型解法之三：割平面法
（四）模型解法之四：分支定界法
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
（一）模型解法之一：使用线性松弛模型 线性松弛模型的定义： 去掉整数规划中的整数要求后得到的非整数 规划问题称为原整数规划的线性松弛模型。
注意，这里线性松弛模型的可行解的区域 （多边形）包含了整数规划的可行解的集合（多 边形内的整数点），因而线性松弛模型的解要优 于整数规划的解。
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
整数规划模型：
max Z 6 x1 4 x2 s.t. 2 x1 4 x2 13 2 x1 x2 7 x1 , x2 0 x1 , x2为整数
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
2 x1 x2 7
2 x1 4 x2 13
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
整数规划的可行解应该含在松弛模型的可行解内部， 并仅仅由在该多边区域内的有限多个整数点构成。 图中显示，共有12个可行解，依次代入目标函数，得到 一系列函数值：
整数点 目标函数值 整数点 (0,0) 0 (1,2) (0,1) 4 (2,0) (0,2) 8 (2,1) (0,3) 12 (2,2) (1,0) 6 (3,0) (1,1) 10 (3,1)
数学建模理论与实践
—— 基于整数规划的数学建模
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基于整数规划的数学建模
一、一般的整数规划模型的建立与求解 二、0-1规划模型的建立与求解
三、指派模型的建立与求解
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
问题的提出：
一般的整数规划是指线性规划中的一类特殊的问题，其特 点是决策变量只取整数。
建立整数规划模型如同建立一般线性规划模型一样，要确 定决策变量、目标函数和约束条件。所不同的是，这里的可 行解中各变量只取整数。如果只有两个决策变量，可行解只 可能是平面上坐标是整数的点。因而在各决策变量有界的条 件下，可行解只可能是有限多个。这个特点使我们有可能用 一些特殊方法求解整数规划模型。
详细参见文件：分支定界法原理简介.pdf
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
三种方法（穷举法、割平面法、分支定界法）小结与 对照如下： 1、穷举法解整数规划问题的原理及算法：求出所有的 可行解，代入目标函数比较求得最优解。 2、割平面法的思想及过程：在整数规划的线性松弛模 型中逐次增加一个新约束（即割平面），割去原可行域 中一部分不含整数点的区域。逐次切割直至最终所得线 性松弛模型可行域的一个最优解顶点为整数解为止。 新增约束必须满足的条件： (1) 不能割去满足条件的整数点； (2) 必须将前一次松弛模型的最优解（非整数解）割去。
特别说明：对比整数规划问题，非整数规划问题的可行 解通常构成平面上的一个多边形，可行解有无穷多个。
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
解下列整数规划模型：
max Z 6 x1 4 x2 s.t. 2 x1 4 x2 13 2 x1 x2 7 x1 , x2 0 x1 , x2为整数
目标函数值
14
12
16
18
18
22
A、B两种机器分别购买3台和1台，产值最多增加22万元。
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
（三）模型解法之三：割平面法 割平面法的思想及过程：在整数规划对应的 线性松弛模型中逐次增加一个新约束（即割平 面），割去原可行域中一部分不含整数解的区域， 逐次切割直至最终得到松弛问题可行域的一个最 优解顶点为整数解为止。 特别说明：由线性规划的特点，最优解一定 能在可行解区域的某个顶点达到。 新增约束必须满足的条件： (1) 不能割去满足条件的整数点； (2) 必须将前一次模型的最优解割去。 11
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二、0-1规划模型的建立与求解
1. 0-1规划含义 0-1规划是整数规划中的特殊情况，此时决策变量只取0或1 值。只取0或1值的变量称为0-1变量，决策变量为0-1变量的线 性规划称为0-1规划。 2. 0-1规划模型典型解法：隐枚举法 由于0-1规划是特殊的整数规划，显然可以使用整数规划的 一切方法（如上述的线性松弛模型、穷举法、割平面法、分支 定界法等方法）求解0-1规划。 对一个有n个决策变量的0-1规划模型，其所要考虑的情况 最多有2^n种。如果变量不多，可以用穷举法来求解。 隐枚举法的本质是穷举法，但是应用隐枚举法可以更快地 得到最优解。
一、一般的整数规划模型的建立与求解
整数规划模型： max Z 6 x1 4 x2
s.t. 2 x1 4 x2 13 2 x1 x2 7 x1 , x2 0 x1 , x2为整数
max Z 6 x1 4 x2 s.t. 2 x1 4 x2 13 2 x1 x2 7 x1 x2 4 x1 , x2 0
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松弛模型：
max Z 6 x1 4 x2 s.t. 2 x1 4 x2 13 2 x1 x2 7 x1 , x2 0
一、一般的整数规划模型的建立与求解
（四）模型解法之四：分支定界法 分支定界法是一种广义搜索算法，人工使 用非常繁琐，但由于计算机的运算速度快的特 点，这种算法十分适合计算机进行。分支定界 法是计算机最擅长的广义搜索穷举算法。