利用二次函数求几何图形中的最值问题
二次函数的最值问题——求线段，三角形周长及面积的最值
二次函数的最值问题——求线段，三角形周长及面积的最值摘要：二次函数作为初中最重要的函数，近几年来，中考拉分题常常利用二次函数求线段的最值、三角形周长的最小值及面积的最大值问题。
在解决二次函数的最值问题时，一般构建二次函数模型，通过数形结合把求三角形的周长、三角形面积的最值问题转化为求线段长度的问题。
关键词：二次函数；最值问题；轴对称；数形结合一、将军饮马“K”字形，两点之间线段最短问题1.二次函数与x轴交于点A（-1，0），B（3,0），与y轴交于点C（0,3）．在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的分析：由已知，可求得二次函数的对称轴为，又因为二次函数图像关于对称轴对称可知：A、B两点关于对称，,连接BC与对称轴的交点为所求P点，则,所以CH＋EH的最小值为。
小结：利用二次函数求两线段和的最小值问题，我们通常是作其中一点关于对称轴的对称点，连接对称点与另一点得到的线段长度为我们所求的两线段和的最小值。
变式1.如问题1改为：的周长是否存在最小值？若存在，请求出的周长；若不存在，请说明理由。
分析：延伸1看起来跟问题1不一样，但实际上，万变不离其宗。
，已知A,C两点坐标，由勾股定理可得，,题目中要求周长的最小值可转化为求的最小值，也就转化为问题1，即：,问题2.如图，直线与抛物线交于点A（0,3），B(3,0) ,点F是线段AB上的动点，FE x轴，E在抛物线上，若点F的横坐标为m，请用含m的代数式表示EF的长并求EF的最大值。
分析：利用E、F分别在抛物线及一次函数上可得到，,因为,所以,可求得当时，EF的最大值为小结：利用二次函数求竖直线段的最大值，一般是通过设未知数表示出二次函数及一次函数图像上的两点，由横坐标相等，利用两点纵坐标相减可得到线段的长度，再利用二次函数求最值方法可求出线段的最大值。
变式1：问题2改为过E作,求的最大值是多少？分析：因为该一次函数，可知为等腰直角三角形，，要求的最大值只需求得的最大值，由此就转化为问题2，所以小结：求斜线段的最大值问题，一般转化为求平行于y轴线段的最值问题，再利用三角函数可求得斜线段的最大值。
如何利用二次函数求解最值问题
数学篇数苑纵横与二次函数有关的最值问题是中考数学中的一个重难点，常与几何图形、三角函数、实际问题等相结合，考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力.不少同学面对这类最值问题时觉得难以下手，但只要我们认真阅读题目，理解问题的实质，构建出二次函数，再运用二次函数的有关性质即可使问题顺利得解.一、求解实际生活中的最值问题在实际生活中，我们总是追求利益最大或者是成本最低，从数学角度看，就是在特定条件下求目标函数的最大值或者最小值.运用二次函数求解实际生活中的最值问题，关键在于如何构建正确的二次函数模型.解题时应把握以下两点：其一，认真审题，提炼出有用信息；其二，根据题干描述以及自身生活经验，通过合理的抽象确定常量与变量间的函数关系，建立函数模型，然后结合模型和实际情况求得最大值或最小值.需要注意的是，实际问题中二次函数的最大值或最小值不一定在图象的顶点处取得，若顶点的横坐标不在自变量的取值范围内，则要借助函数的增减性来求最大值或最小值.例1某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x 元（x 为正整数），每个月的销售利润为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？解：（1）设每件商品的售价上涨x 元（x 为正整数），则每件商品的利润为：（60-50+x ）元，总销量为：（200-10x ）件，商品利润为：y =(60-50+x )(200-10x )，=(10+x )(200-10x )，=-10x 2+100x +2000．∵原售价为每件60元，每件售价不能高于72元，∴0＜x ≤12且x 为正整数；（2）y =-10x 2+100x +2000，=-10(x 2-10x )+2000，=-10(x -5)2+2250．故当x =5时，最大月利润y =2250元．这时售价为60+5＝65（元）．点评：此题主要考查了二次函数的应用及二次函数的最值问题.根据每天的利润＝一件的利润×销售量，建立函数关系式.借助二次函数解答实际问题是解题关键．例2李大爷利用坡前空地种植了一片优质草莓.根据市场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m （元/公斤）与第x 天之间满足m ＝ìíî3x +15(1≤x ≤15),-x +75(15<x ≤30).（x 为正整数），销售量n （公斤）与第x 天之间的函数关系如图1所示：图1如果李大爷的草莓在上市销售期间每天如何利用二次函数求解最值问题山西临沂周立恒23数学篇数苑纵横的维护费用为80元．（1）求日销售量n 与第x 天之间的函数关系式；（2）求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y 与第x 天之间的函数关系式；（日销售利润＝日销售额-日维护费）（3）求日销售利润y 的最大值及相应的x .解：（1）当1≤x ≤10时，设n ＝kx +b ，由图可知ìíî12=k +b ,30=10k +b ,解得ìíîk =2,b =10,∴n ＝2x +10同理得，当10＜x ≤30时，n =-1.4x +44，∴销售量n 与第x 天之间的函数关系式：n =ìíî2x +10(x ≤x ≤10),-1.4x +44(10<x ≤30),（2）∵y =mn -80，∴y =ìíîïï(2x +10)(3x +15)-80(x ≤x ≤10),(-1.4x +44)(3x +15)-80(10<x <15),(-1.4x +44)(-x +75)-80(15≤x ≤30),整理得，y =ìíîïï6x 2+60x +70,(1≤x ≤10),-4.2x 2+111x +580,(10<x <15),1.4x 2-149x +3220,(15≤x ≤30),（3）当1≤x ≤10时，∵y =6x 2+60x +70的对称轴x =-b 2a=602×6=-5,∴此时，在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大，∴当x =10时，y 取最大值，则y 10=1270当10＜x ＜15时，∵y =-4.2x 2+111x +580的对称轴是直线x =111-4.2×2=1118.4≈13.2<13.5，∴当x =13时，y 取得最大值，此时y 13=1313.2；当15≤x ≤30时,∵y =1.4x 2-149x +3220的对称轴为直线x =1492.8>30,∴此时，在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小∴x =15时，y 取最大值，y 的最大值是y 15=1300，综上，草莓销售第13天时，日销售利润y 最大，最大值是1313.2元.点评：本题在确定函数最大值时，由于此函数是分段函数，所以要分三种情况讨论.第二种情况中顶点的横坐标在自变量取值范围内，可以利用顶点坐标公式来确定函数的最大值；而第一种情况和第三种情况中顶点的横坐标都不在自变量取值范围内，因此必须利用函数的增减性来确定函数的最大值.分别求出三种情况中的最大值后，还要通过比较确定日销售利润的最大值.二、求解几何图形中的最值问题解答几何图形中的最值问题一般根据已知条件设置相关参数，构建对应的函数模型，再借助函数的性质进行解答.构建二次函数求解几何图形中的最值问题时，要全面观察几何图形的结构特征，挖掘出相应的内在性质，综合运用所学的知识，如勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、图形的面积公式等，寻求等量关系构造出二次函数，结合二次函数性质计算出最终结果.同时，为保证求解最值问题的正确性，应明确自变量的取值范围.例3如图2，梯形ABCD 中，BC ∥AD ，AB =BC =CD =6，∠D =60°，E 、F 分别为BC 、CD 上两个动点（不与端点重合），且∠AEF =120°，设BE =x ，CF =y .（1）求y 与x 的函数关系式；（2）x 取何值时，y 有最大值，最大值是多少？24数学篇数苑纵横图2解：（1）∵AB =BC =CD =6，BE =x ，CF =y ，∴EC =6-x ，∵BC ∥AD ，∴∠C +∠D =180°，又∠D =60°，∴∠C =120°，∴∠CEF +∠CFE =60°，又∠AEF =120°，∴∠CEF +∠AEB =60°，∴∠CFE =∠AEB ，又梯形ABCD 中，BC ∥AD ，AB =CD ，∴∠B =∠C ，∴△ABE ∽△ECF ，∴AB EC =BE CF，即66-x =x y，∴y =-16x 2+x ；（2）函数y =-16x 2+x =-16(x -3)2+32为开口向下的抛物线，由0＜x ＜6可知，当x =3时，y 有最大值，y 的最大值为32.点评：本题的思路为通过已知条件得出相似三角形，由相似三角形的比例式，进而列出y 与x 的函数关系式，最后根据二次函数求最值的方法求出y 的最大值及此时x 的值.同学们在求二次函数最值时一定要注意自变量x 的范围．例4如图3，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝25，∠ACB ＝45°，D 为AB 边上一动点（不与点B 重合），以CD 为边长作正方形CDEF ，连接BE ，则△BDE 面积的最大值等于．图3图4解：如图4，过点E 作EM ⊥BA 于M ，过点C 作CN ⊥BA 交BA 的延长线于N ，过点A 作AH ⊥BC 于H ．在Rt△ACH 中，∵∠AHC =90°，∠ACH =45°，AC =25，∴AH =CH =AC ⋅cos 45°=10，在Rt△ABH 中，∵∠AHB =90°，AB =10，AH =10，∴BH =AB 2-AH 2=102-(10)2=310，∴BC =BH +CH =410，∵S △ACB =12⋅BC ⋅AH =12⋅AB ⋅CN ，∴CN =4，在Rt△ACN 中，AN =AC 2-CN 2=(25)2-42=2，∴BN =BA +AN =12，设BD =x ，则DN =12-x ，∵四边形EFCD 是正方形，∴DE ＝DC ，∠EDC =∠EMD =∠DNC =90°，∴∠EDM +∠ADC =90°，∠ADC +∠DCN =90°，∴∠EDM =∠DCN ，∴△EMD ≌△DNC (AAS)，∴EM =DN =12-x ，∴S △DBE =12⋅BD ⋅EM =12⋅x ⋅(12-x )=12x 2+6x =-12(x -6)2+18，∵-12<0，∴当x =6时，△BDE 的面积最大，最大值为18．故答案为18．点评：本题是一道几何函数题，考查了正方形的性质，解直角三角形等知识.求解时应从几何图形入手，充分利用几何图形的性质构造出函数关系，如本题以三角形的面积公式构建二次函数，再利用二次函数的性质解题．25。
二次函数求几何最值
二次函数求几何最值类型1：勾股定理【例题1】如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，CB ＝5，点D 是CB 边上的一个动点，将线段AD 绕着点D 顺时针旋转90°，得到线段DE ，连接BE ，则线段BE 的最小值为____________．．（提示：一线三垂直全等＋线段最值，，过点E 作EF ⊥BC 于点F ，则DF ＝AC ＝3，EF ＝CD ，设CD ＝EF ＝x ，则FB ＝5－3－x ＝2－x ，在Rt △EFB 中，BE 2＝x 2＋(2－x )2＝2(x －1)2＋2≥2） 【例题2】如图，C 是线段AB 上一动点，△ACD 、△CBE 都是等边三角形，M 、N 分别是CD 、BE 的中点，若AB ＝4，则线段MN 的最小值为___________．（提示：连接CN ，则∠ECN ＝30°，∴∠MCN ＝90°，设AC ＝2x ，则BC ＝4－2x ，∴CM＝x ，CN－x )，∴MN 2＝x 2＋3(2－x )2＝4(x －32)2＋3≥3）类型2：全等三角形【例题3】如图，D 为等边△ABC 边BC 上的一动点，AB ＝2，以AD 为边在AD 的右侧作等边△ADE ，则△CDE 的面积最大值为___________．．（提示：手拉手全等，法1，二次函数求最值，过点D 作DG ⊥CE 的延长线于点G ，易证△ABD ≌△ACE （SAS ），∴BD ＝CE ，设BD ＝x ，则CE ＝x ，CD ＝2－x ，∴DG(2－x )，∴S △CDE ＝12·x(2－x )(x －1)2；法2ABD ≌△ACE （SAS ），∴S 四边形ADCEE ＝S △ADC AD ⊥BC 时，△ADECDE ）【例题4】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝，D 为边AB 上一动点（B 除外），以CD 为一边作正方形CDEF ，连接BE ，则△BDE 面积的最大值为___________．ABCDEFED CBAABCD EM NNMED CBAFEDCBA【答案】8．（提示：弦图＋12345模型，AH，∴tan∠ABH＝12，∴CN＝4，BN＝8，设BD＝x，则DN＝8－x，∴EN＝8－x，∴S△BDE＝12x(8－x)＝－12(x－4)2＋8≤8）【例题5】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，点E为边AB上的一点，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF、BF．若AB＝6，BC＝8，则当△BEF的面积最大时，BF的长为___________．．（提示：一线三垂直全等，AG＝GB＝3，GD＝HF＝4，设AE＝x，则EG＝DH＝3－x，EB＝6－x，∴GH＝x＋1，∴S△BEF＝12(6－x)(x＋1)＝－12(x－52)2＋498≤498，当x＝52时，BI＝GH＝7 2，∵IF＝4－3＝1，∴BF）类型3：相似三角形【例题6】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝6，∠ABC＝60°，E、F分别是AD、CD上的动点，且∠BEF＝120°，则DF的最大值为____________．【答案】32．（提示：一线三等角相似，设AE＝x，DF＝y，则ED＝6－x，∵△ABE∽△DEF，∴66x＝xy，化简得y＝－16(x－3)2＋32≤32）AB CDEFNMHEBDAFCAB CDEFIHGFEDCBAFE DCBA【例题7】如图，在边长为6的菱形ABCD 中，AC 为其对角线，∠ABC ＝60°，点M 、N 分别是边BC 、CD 上的动点，且MB ＝NC ，连接AM 、AN 、MN ，MN 交AC 于点P ，则点P 到直线CD 的距离的最大值为___________．．（提示：一线三等角相似，问题转化为求CP 的最小值，设BM ＝x ，则MC ＝6－x ，∵△ABM ∽△MCP ，∴66x -＝x CP ，∴CP ＝16x (6－x )＝－16(x －3)2＋32≤32）【例题8】如图，正方形ABCD 的边长是4，P 为BC 上的动点，连接P A ，过点P 作PQ ⊥P A 交CD 于点Q ，连接AQ ，则AQ 的最小值为____________．【答案】5．（提示：一线三直角相似，设BP ＝x ，则PC ＝4－x ，∴QC ＝(4)4x x -，∴DQ ＝4－(4)4x x-＝14(x －2)2＋3≥3，∴当BP ＝2时，DQ 有最小值3，此时AQ 有最小值5）【例题9】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，AC ＝4，点D 是边AC 上一动点，连接BD ，以BD 为斜边作Rt △BDE ，使∠BDE ＝30°，∠BED ＝90°，连接CE ，则△CDE 面积的最大值为__________．．（提示：手拉手相似，△BAD ∽△BCE ，∴∠BCE ＝∠A ＝30°，过点E 作EM ⊥AC ，交AC 的延长线于点M ，设CM ＝x ，则CE ＝2x ，EM，CD ＝4－4x ，）NMPDCB A A BCDPQ ABCE【例题10】如图，在△ABC 中，D 为AC 边上的动点，过点D 分别作DE ∥BC 交AB 于点E ，DF ∥AB 交BC 于点F ，已知△ABC 的面积为1，则四边形BEDF 面积的最大值为____________．【答案】12．（提示：设数法＋A 字相似，设AG ＝1，BC ＝2，则BF ＝x ，则ED ＝x ，FC ＝2－x ，∵ED ∥BC ，∴AH ＝12x ，∴HG ＝1－12x ，∴S 梯形BEDF ＝12(x ＋x )(1－12x )＝－12(x －1)2＋12≤12）类型4：转化问题【例题11】如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为AD 边上一动点，连接BE 、CE ，以CE 为边向右侧作正方形CEFG ．（1）若BE，则正方形CEFG 的面积为___________； （2）连接DF 、DG ，则△DFG 面积的最小值为___________．【答案】（1）5；（2）1.5．（提示：转化法，（1）当BE时，AE ＝ED ＝1，∴CE；（2）设ED ＝x ，则CE 2＝x 2＋22，∴S △DFG ＝12S □ECGF －S △EDC ＝12(x 2＋22)－12×2x ＝12(x －1)2＋32≥32）ABC DEFHGF EDCBAABCDEFG。
怎样求解二次函数中的几何最值问题
数学篇解题指南几何图形与二次函数的综合题难度一般较大.在解答此类问题时，同学们要认真观察、分析图形的结构特征，充分挖掘几何图形的性质，再利用二次函数的性质求解.下面笔者就以二次函数中线段最值问题与图形面积最值问题的常见解法举例说明.一、二次函数中的线段最值问题常见的二次函数中的线段最值问题有：（1）求某条线段的最值；（2）求几条线段的和的最小值或差的最大值.这类问题侧重于考查二次函数与直线的位置关系、二次函数的性质、平面几何图形的性质.解答此类问题，通常需根据直线与二次函数的位置关系，利用二次函数的对称性转换点或线段的位置，构造出三角形、平行四边形、三点共线的情况等，从而运用三角形、平四边形的性质，以及一些平面几何定理，如“两点间线段最短”“两边之差小于第三边”，求得最值.例1在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +c 经过A （-2，-4），O （0，0），B（2，0）三点.（1）求抛物线y =ax 2+bx +c 的解析式；（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM +OM 的最小值.分析：题目（1）是一个求二次函数解析式的简单问题，只要把三个点代入解析式，组成方程组求解即可；（2）是在（1）求解出的二次函数解析式的基础上，求对称轴上一点到两个固定点的距离和问题，即“求AM +OM 的最小值”.准确画出二次函数的图象，如图1所示，利用二次函数的对称性以及对称轴的相关知识，可以得出OM =BM ，从而将AM +OM 转化为当A 、B 、M 三点共线时，两线段和最小.解：（1）把A （-2，-4），O （0，0），B （2，0）三点的坐标代入y =ax 2+bx +c 中，得方程组的解为，a =-12，b =1，c =0，所以抛物线的解析式为y =-12x 2+x ；（2）由y =-12x 2+x =-12（x -1）2+12，可得抛物线的对称轴为x =1，并且对称轴垂直平分线段OB ，∵点M 是抛物线对称轴上的一点，∴OM =BM ，∴OM +AM =BM +AM ，连接AB 交直线x =1于M 点，此时OM +AM 最小.过点A 作AN ⊥x 轴于点N ，在Rt△ABN 中，AB =AB 2+BN 2=42+42=42，因此OM +AM 的最小值为42.评注：二次函数的图象具有对称性，点M 是对称轴上的一点，利用此性质可以得到OM =BM ，这样便将“OM +AM ”转化为“BM +AM ”，进一步转化为求AM +BM 最小值问题，然后利用“两点之间线段最短”的原理求解即可.二、二次函数中图形面积的最值问题二次函数中图形面积的最值问题往往是二次函数线段最值问题的升华.求解此类问题时往往需要将不规则或复杂的图形通过“分割法”或“补形法”转化为规则的图形，然后利用规则图形的面积公式来求解.一般地，怎样求解二次函数中的几何最值问题南京师范大学盐城实验学校程梦书x y 图119数学篇解题指南二次函数中图形面积的最值问题往往通过“转化”思想，化为“线段（和）”最值问题.此外，经过割补后所求区域的面积，可通过不同区域的面积相加或相减来求得.例2已知抛物线经过点A （-1，0）、B （3，0）、C（0，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）点M 是线段BC 上的点（不与B ，C 重合），过M 作MN //y 轴交抛物线于N ，若点M 的横坐标为m ，请用m 的代数式表示MN 的长；（3）在（2）的条件下，连接NB 、NC ，是否存在m ，使△BNC 的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由.分析：（1）求二次函数解析式比较容易，直接将三点坐标代入组成方程组即可.（2）中点M 虽是动点，但坐标可以用二次函数的解析式表示出来，随后表示出点N 的坐标，即可表示MN 的长.（3）△BNC 面积直接求解比较困难，利用转化思想化为S △MNC +S △MNB .利用面积公式，将“面积”最值问题转化为“线段”最值问题来求解.（如图2所示）.解：（1）∵抛物线过点A （-1，0）、B （3，0），∴设抛物线的解析式为：y =a (x +1)(x -3)，又∵抛物线过点C （0，3），∴a (0+1)(0-3)=3，解得a =-1，所以，抛物线的解析式为：y =-(x +1)(x -3)=-x 2+2x +3；（2）设直线BC 的解析式为y =kx +b ，则有：故直线BC 的解析式为：y =-x +3，已知点M 的横坐标为m ，则M (m ,-m +3)、N （m ，-m 2+2m +3），∴MN =|（-m 2+2m +3）-（-m +3）|=|-m 2+3m |，∵点M 在B 、C 之间，∴点N 高于点M ，∴0<m <3，∴MN =|-m 2+3m |=-m 2+3m 即MN =-m 2+3m （0<m <3）；（3）存在，S △BNC =S △MNC +S △MNB ,∵MN //y 轴，∴延长NM 交x 轴于点D ，∴点C 到MN 的距离为OD ，∴S △MNC =12MN ×OD ，S △MNB =12MN ×DB ，S △BNC =S △MNC +S △MNB =12MN (OD +DB )=12MN ×OB ，∴当|MN |最大时，△BNC 的面积最大，MN =-m 2+3m =-(m -32)2+94，当m =32时，MN 有最大值为94，所以当m =32时，S △BNC 的面积最大，故△BNC 的面积最大值为12×94×3=278.评注：求解二次函数的最值问题时，一定要准确绘制出函数的图象，特别是开口方向、与x 轴的交点、与y 轴的交点、对称轴.否则，可能得到错解或无解.利用二次函数求最值需要注意：当二次函数的开口向下时，在顶点处取得最大值；当二次函数的开口向上时，在顶点处取得最小值.二次函数中的几何最值问题往往涉及“线段和最小”或“图形面积最大”等问题.同学们应掌握二次函数的图象和性质，将最值图2。
中考二次函数中的几何最值问题(二)
A''二次函数中的几何最值问题（二）模型一.如图，在平面上有两个定点A 、B ，MN 为定直线上移动的长度一定的线段，若要使四边形AMNB 的周长最小，试确定MN 的位置。
作法：作A 点关于直线的对称点A‘，再将A’向平行于定直线的方向（B 侧）平移一个MN 的长度到A’’,连接A’’B 和直线的交点即为N 点，M 点亦随之确定。
例1. 已知：如图1，直线1y x =--分别交x 轴、y 轴于A 、E 两点，抛物线249y x bx c=-++经过点A ，且过点()5,0B ，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，连接BC 。
（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）如图2，若在直线BC 上方的抛物线上有一点F ，当BCF ∆的面积最大时，有一线段MN=2（点M 在点N 的左侧）在直线AE 上移动，首尾顺次连接点F 、M 、N 、B 构成四边形FMNB ，请求出四边形FMNB 的周长最小时点M 的横坐标；NM A迁移练习1.如图1，已知抛物线343832--=x x y 与轴交于和两点（点在点的左侧）与轴相交于点，顶点为. （1）求出点的坐标；（2）如图1，若线段在x 轴上移动，且点移动后的对应点为.首尾顺次连接点、、、构成四边形，请求出四边形的周长最小值．x A B A B y C D ,,A B D OB ,O B ','O B 'O 'B D C ''OBDC ''OBDC模型二. 如图，平面上有2条定直线l ，m,A 、B 为直线两侧的2个定点，点M 为直线l 上的动点，点N 为直线m 上的动点，要使得AN+BM+MN 的长度最小，试确定M 、N 的位置.作法：作A 点关于直线l 的对称点A’，B 点关于直线m 的对称点B’,连接A’B’与直线l,m 的交点即为M 、N.需要注意的是：模型中的两条定直线不一定是平行的。
应用二次函数解中考最值问题
为了有效地考查学生的综合能力以及运用数学知识解决实际问题的能力，近年来，二次函数的最值问题成为中考命题的热点，下面举几例加以说明，与同学们一起探讨这类题的解答策略．一、几何图形中的最值问题例1 如图1，在正方形ABCD 中，AB =2，E 是AD 边上一点，（点E 与点A 、D 不重合）．BE 的垂直平分线交AB 于M ，交DC 于N ．（1）设AE =x ，四边形ADNM 的面积为S ．写出S 关于x 的函数关系式；（2）当AE 为何值时，四边形ADNM 的面积最大？最大值是多少？分析：因为四边形ADNM 是一个直角梯形，欲求其面积，只知道高AD =2，所以需分别求出上底AM 和下底DN 的长．解：（1）如图2，连接ME ，过点N 作NF ⊥AB 于点F ，并设MN 交BE 于点P ．因为MN 垂直平分BE ，所以ME =MB ，MN ⊥BE ．在Rt △EBA 和Rt △MNF 中，∠MBP +∠BMN =90°，∠MNF ＋∠BMN ＝９０°，所以∠MB Ｐ＝∠MNF ．又AB ＝BC ＝FN ，所以Rt △EBA ≌Rt △MNF ．所以MF ＝AE =x ．在Rt △MAE 中，由勾股定理，得ME 2=AE 2+AM 2，所以ME 2=x 2+AM 2． 即MB 2=x 2+AM 2，即（2－AM ）2=x 2+AM 2．解得2114AM x =-． 于是四边形ADNM 的面积为222AM DN AM AF S AD ++==⨯ 2A M A M M F A M A E =++=+ 221121242x x x x ⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭． 即所求关系式为212(02)2S x x x =-++<<． （2）因为221152(1)222S x x x =-++=--+． 所以当AE =x =1时，四边形ADNM 的面积S 的值最大，此时最大值是52．二、实际问题中的最值问题例2 某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y （万件）与销售单价x （元）之间存在着如图3所示的一次函数关系．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）试写出该公司销售该种产品年获利z （万元）关于销售单价x （元）的函数关系式（年获利=年销售额-年销售产品总进价-年总开支）．当销售单价x 为何值时，年获利最大？并求这个最大值；（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助（2）中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围，在此情况下，要使产品销量最大，你认为销售单价应定为多少元？解：（1）设y =kx +b ，它过（60，5），（80，4）两点，所以560480.k b k b =+⎧⎨=+⎩，b ．解得1208.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，．所以1820y x =-+． （2）z =xy -40y -1202118(40)120104402020x x x ⎛⎫=-+--=-+- ⎪⎝⎭， ∴当x =100元时，最大年获利为60万元． （3）令z =40，得21401044020x x =-+-， 整理得x 2-200x +9 600=0．解得x 1=80，x 2=120．在平面直角坐标系中作出211044020z x x =-+-的图象，如图4所示． 由图象可知，要使年获利不低于40万元，销售单价应在80元到120元之间，又因为销售单价越低，销售量越大．所以要使销售量最大，又要使年获利不低于40万元，销售单价应定为80元．点评：本题由“形”到“数”，再由“数”到“形”，从而使实际问题中的最值问题得以解决，整个解答过程运用了三种数学思想：即数形结合思想、数学建模思想、函数思想．同时，此题以当代经济生活为背景，充分地说明了数学源于生活，又服务于生活．。
二次函数中几何的最值问题完整版
二次函数中几何的最值问题Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】二次函数中几何的最值问题一、解答题1、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（－2，0）、B （6，0）、C（0，－2），抛物线y=a+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点。
（1）求直线AC的解析式；（2）求此抛物线的解析式；（3）若抛物线的顶点为D，试探究在直线AC上是否存在一点P，使得△BPD的周长最小，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。
2、如图，已知抛物线y=-+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B 的坐标为（3，0）。
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标。
3、如图，二次函数y=a+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．（1）求a，b的值；（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值。
4、如图，抛物线y=+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）经过点A（﹣1，0），B （5，﹣6），C（6，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB为等腰三角形的点Q 一共有几个并请求出其中某一个点Q的坐标．5、如图，长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，抛物线y=+bx经过点B（1，4）和点E（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在线段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D点的坐标；（3）在条件（2）下，在抛物线的对称轴上找一点M，使得△BDM的周长为最小，并求△BDM周长的最小值及此时点M的坐标；（4）在条件（2）下，从B点到E点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P，使得△PAD的面积最大若存在，请求出△PAD面积的最大值及此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．6、如图，抛物线y=-3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E（1）求直线BC的解析式；（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标。
二次函数中几何的最值问题
二次函数中几何的最值问题一、解答题1、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（－2，0）、B （6，0）、C（0，－2），抛物线y=a+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点。
（1）求直线AC的解析式；（2）求此抛物线的解析式；（3）若抛物线的顶点为D，试探究在直线AC上是否存在一点P，使得△BPD的周长最小，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。
2、如图，已知抛物线y=-+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）。
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标。
3、如图，二次函数y=a+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．（1）求a，b的值；（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值。
4、如图，抛物线y=+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）经过点A（﹣1，0），B（5，﹣6），C（6，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB为等腰三角形的点Q一共有几个？并请求出其中某一个点Q的坐标．5、如图，长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，抛物线y=+bx经过点B（1，4）和点E（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在线段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D点的坐标；（3）在条件（2）下，在抛物线的对称轴上找一点M，使得△BDM的周长为最小，并求△BDM周长的最小值及此时点M的坐标；（4）在条件（2）下，从B点到E点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P，使得△PAD的面积最大？若存在，请求出△PAD面积的最大值及此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．6、如图，抛物线y=-3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E （1）求直线BC的解析式；（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标。
二次函数背景下的几何问题——线段最值问题
二次函数背景下的几何问题——线段最值问题线段最值问题是在二次函数背景下的一种几何问题，主要是求解一个线段的最大值或最小值。
这个问题可以通过二次函数的图像和相关的数学理论来解决。
在解决这类问题时，我们可以利用二次函数的性质和相关的数学技巧来找到线段的最值点，从而得出最值。
首先，我们来回顾一下二次函数的一般形式：f(x) = ax^2 + bx+ c，其中a、b、c都是常数且a不等于0。
根据二次函数的图像特点，我们知道它是一个抛物线，可以是开口向上（a>0）或开口向下（a<0）的。
对于线段最值问题，我们通常要确定线段的端点，然后找出其中的最大值或最小值点。
这可以通过以下步骤来完成：1.确定二次函数的图像形状：根据二次函数的参数a的值，确定抛物线是开口向上还是开口向下。
2.确定线段的端点：线段的端点可以是给定的数值，也可以通过求解二次函数的解来确定。
根据二次函数的性质，它的两个解（也就是x的值）对应着抛物线与x轴的交点，即抛物线的顶点和x轴的两个交点。
3.求解最值点：对于线段的最大值点，我们需要找到抛物线的顶点，并通过计算确定它的y坐标值。
通过二次函数的解析式，我们可以知道抛物线的顶点坐标是(-b/2a, f(-b/2a))。
同样的，对于线段的最小值点，我们也可以通过类似的方法来解决。
4.判断最值点是否在线段上：在找到最值点之后，我们需要判断它是否在给定的线段上。
这可以通过将最值点的x坐标值与线段的端点的x坐标值进行比较来实现。
如果最值点的x坐标值位于线段的端点之间，则最值点就在线段上。
通过以上步骤，我们可以很容易地求解线段的最值问题。
当然，在实际应用中，可能会碰到更复杂的情况，例如线段与其他二次函数曲线的交点等。
但是，通过理解二次函数的性质和运用相关的数学知识，我们可以应对这些情况并解决问题。
总结而言，线段最值问题是在二次函数背景下的一种几何问题，通过确定二次函数的图像形状、线段的端点、求解最值点和判断最值点是否在线段上，我们可以解决线段的最值问题。
22.3.1--利用二次函数求几何面积的最值问题教案与例题
的 因此，当 t ＝ - =- ＝ - 时，二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 有最小(大)值 。
2．已知 0≤x≤ ，那么函数 y ＝－2x 2＋8x －6 的最大值是（B ） 4．二次函数 y ＝2x 2－6x ＋1，当 0≤x≤5 时，y 的取值范围是- ≤y≤21 . 第 1 课时 利用二次函数求几何面积的最值问题1.二次函数的最值问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h(单位：m)与小球的运动时间 t(单位：s)之 间的关系式是 h ＝30t －5t 2(0≤t ≤6).小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最 大高度是多少？可以借助函数图象解决这个问题．画出函数 h ＝30t －5t 2(0≤t≤6)图象(如图)． 可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分．这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当 t 取顶点的横 坐标时，这个函数有最大值． b 30 2a 2 ⨯ (-5)= 3 时，h 有最大值 4ac - b 2 = -302= 45. 4a 4 ⨯ (-5)也就是说，小球运动的时间是 3 s 时，小球最高．小球运动中的最大高度是 45 m.一般地，当 a>0(a<0)时，抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最低(高)点，也就是说，当 xb 2a 4ac - b 2 4a例题：1．二次函数 y ＝x 2－4x ＋c 的最小值为 0，则 c 的值为（B ）A.2B.4C.-4 D .161 2A. -6B.-2.5C.2 D ．不能确定3．已知 y ＝－x （x ＋3－a ）＋1 是关于 x 的二次函数，当 x 的取值范围在 1≤x≤5 时，若 y 在 x ＝1 时取得最大值，则实数 a 的取值情况是（D ）A.a=9B.a=5C ．a≤9D ．a≤57 25．若二次函数 y ＝x 2＋ax ＋5 的图象关于直线 x ＝－2 对称，且当 m≤x≤0 时，y 有最大值 5， 最小值 1，则 m 的取值范围是－4≤m≤－2 .所以另一边长⎛ 60 2 - l ⎪ 因此，当 l ＝ - =- = 15 时， 2.几何面积的最值问题：总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化，当 l 是 多少米时，场地的面积 S 最大？解：矩形场地的周长是 60 m ，一边长为 l m ，⎫ ⎝ ⎭ 为 m ． 场地的面积 S ＝l(30－l)，即 S ＝－l 2＋30l(0<l<30)．b 30 2a 2 ⨯ (-1)4ac - b 2 -302 = = 225. 4a 4 ⨯ (-1)S 有最大值也就是说，当 l 是 15 m 时，场地的面积 S 最大．在周长一定的情况下，所围成的几何图形的形状不同，所得到的几何图形的面积也不同. 利用二次函数求几何图形的最大（小）面积的一般步骤：（1）引入自变量，用含自变量的代数式分别表示与所求问题相关的量.（2）分析题目中的数量关系，根据题意列出函数解析式.（3）根据函数解析式求出最值及取得最值时自变量的值，注意自变量的取值范围.例题：1．已知一个直角三角形两直角边长之和为 20cm ，则这个直角三角形的最大面积为（B ） A ．25cm 2 B ．50cm 2 C ．100cm 2 D ．不确定2．用一条长为 40cm 的绳子围成一个面积为 acm 2 的长方形，a 的值不可能为（D ）A.20B.40C.100 D .1203．如图，在矩形 ABCD 中，AD ＝1，AB ＝2，从较短边 AD 上找一点 E ，过这点剪下两个正 方形，它们的边长分别是 AE ，DE 的长，当剪下的两个正方形的面积之和最小时，点 E 应选 在（A ）A ．AD 的中点B.AE:ED=( 5 -1):2C.AE:ED= 2 :1D.AE:ED=( 2 -1):24．（2016 兰州)某农场拟建三间长方形种牛饲养室饲养室的一面靠 墙（墙长 50m ），中间用两道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为 48m ，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为 144 m 2．5．如图，线段 AB ＝6，点 C 是 AB 上一点，点 D 是 AC 的中点，分別以 AD ，DC ，CB 为边作正方形，则当 AC ＝4 时，∵a=-2＜0，- =- = . ∴当 x ＝ 时，y 有最大值，y 三个正方形的面积之和最小。
二次函数中几何图形周长的最值问题题型及解法
202X年12月20日
目 录
二次函数中几何图形周长的最值问题考法分析以及学生对该题的态度 基本题型及解法 1 一个动点在抛物线上求三角形周长的最大值 含有45°角的直角三角形周长最大值的求法 含有30°（或60°）角的直角三角形周长最大值的求法 任意角的直角三角形周长最大值的求法 2 两个动点在抛物线上求四边形周长最大值 3 一个动点在一条直线上求三角形周长最小值 4 两个动点分别在两条相交直线上求三角形周长的最小值 5 两个动点分别在两条相交直线上求四边形周长的最小值 三 . 方法总结
E‘
D’
N
E
M
做法：
1.作E点关于X轴的对称点对称点E’
2.作D点关于y轴的对称点对称点D’
3.链接D’E’与x轴，y轴相交于点M，N，此时的交点就是我们做要找的点的位置
4.连接EM，DN
5.此时四边形的周长最小
02
第三部分 方法总结
方法总结
运用相关知识和方法求出几何图形的最值
若求最小值，找准定点所在的直线
4.两个动点分别在两条相交直线上求三角形周长的最小值
“将军饮马”模型——两次对称（一定点两动点）
如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地OM吃草，再牵马去河边ON喝水， 最后回到驻地A， 问：这位将军怎样走路程最短？
A1
P
Q
A2
1.作A点关于直线OM的对称点对称点A1
2.作A点关于直线OM的对称点对称点A2
2. 四边形周长最大值转化为线段最大值 例2：（3）如图，抛物线 y=-x2-2x+3的图象与x轴交于A、B两点 （点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点. （1）求A、B、C的坐标； （2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合） ，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物 线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过 点Q作QN⊥x轴于点N.若点P在点Q左边，当矩形 PQMN的周长最大时，求△AEM的面积；
中考二次函数中的几何最值问题(一)
二次函数中的几何最值问题（一）模型一：如图，A,B 为坐标系中两个定点，x 轴上有一动点P ，求PA+PB 的最小值,并求此时P 点的坐标.作法:过作A 点关于x 轴的对称点A’,连接A’B 与x 轴的交点即为P 点 例1.如图，在平面直角坐标系中，52x 23x 105y 2++-=与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C.连接AC 、BC ，E 为BC 的中点，连接AE. (1) 判断△ACE 的形状；(2) 如图2，点P 为直线BC 上方抛物线上的一动点，当△PCE 的面积最大时，将△OAC 沿直线BC 进行平移，平移后点O 、A 、C 对应的点为O 1、A 1、C 1.连接A 1P 、A 1B 、PB ，当△PA 1B 的周长最短时，求此时点A 1的坐标及△PA 1B 周长的最小值.A迁移练习1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线211242y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C.（1）求直线BC 的解析式及抛物线的对称轴；（2）如图1，D 为抛物线的顶点，P 是直线BC 上方抛物线上一点，当点P 到直线BC 距离最大时，在直线BC 上找一点Q 使得△DPQ 周长最小，求点Q 的坐标；模型2：如图：在∠ABC 内部有一点定点P ，点M 、N 分别为BC 、AB 上的动点，要使△PMN 的周长最短，试确定M 、N 的位置。
作法：作P 关于BC 的对称点P ' ,作P 关于AB 的对称点P '',连接P 'P ''，与BC 、AB 的交点即为M 、N 点。
例2.如图1，已知抛物线333233y 2++-=x x 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，连接CD ，过点D 作DH ⊥x 轴交于点H ，过点A 作AE ⊥AC 交DH 的延长线与点E. (1)求线段DE 的长度；(2)如图，试在线段AE 上找一点F ，在线段DE 上找一点P ，且点M 为直线PF 上方抛物线上的一点，求当△CPF 的周长最小时，△MPF 的面积的最大值是多少；BB迁移练习2．如图，抛物线c bx x y ++-=2与直线n mx y +=相交于点)8,1(A 和点)4,5(B 。
二次函数中几何图形周长的最值问题题型及解法
谢 谢！
教育是行善的智慧 无忧是无畏的行者
2. 根据我市现目前考试题型来看，该部分是个重点，也是个难点， 很大一部分学生对该部分望而生畏，几乎不敢动笔，分析了一下， 其主要原因有两点：其一，因为此题涉及的解题过程比较繁杂， 再加上思路不清晰，会花大量的时间思考，所以这部分学生就选 择放弃了；另外的，还有部分学生是压根就不会做这类题，对解 决该题没有思路，没有参考方向，所以根本不看这题。
做法： 1.作A点关于直线OM的对称点对称点A1
A1
2.作A点关于直线OM的对称点对称点A2
3.链接A1A2与OM，ON相交于点P，Q，
P
此时的交点就是我们做要找的吃草和喝
水的位置
4.连接AP，AQ
Q A2
4.此时走的路程最短
例4：已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（3，0），
C（0，﹣3）．如图，若点C关于点B的对称点为点E，是否存在x轴上的点
M，y轴上的点N，使得四边形DNME的周长最小？若存在，请求出M、N
点的坐标，并求出DNME的周长最小值；若不存在，请说明理由。
E
做法：
D’
1.作E点关于X轴的对称点对称点E’
2.作D点关于y轴的对称点对称点D’
NM
3.链接D’E’与x轴，y轴相交于点M，N，此时的交点就是 我们做要找的点的位置
做法：
1.过D点作对称轴，与PQ相交于点F
2.C矩形 PQNM=2(PQ+PM)=2(2DF+PM)
3. 一个动点在一条直线上求三角形周长最小值
[详细讲解]利用二次函数求几何图形面积的最值问题
![[详细讲解]利用二次函数求几何图形面积的最值问题](https://img.taocdn.com/s3/m/fe4d68aa970590c69ec3d5bbfd0a79563c1ed429.png)
利用二次函数求几何图形面积的最值问题构造二次函数来确定几何图形中的有关面积最大值的问题是近年来常考的题型，求解这类问题，实际上，只要我们能充分运用条件，根据图形的特点，综合运用所学知识，如，勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、图形的面积公式等等来寻求等量关系，从而构造出二次函数，再利用二次函数的性质即可求解.现举例说明.方法：1、用含有自变量的代数式分别表示出与所求几何图形相关的量（如周长、长、宽、半径等）。
2、根据几何图形的特征，列出其面积的计算公式，用函数表示这个面积。
3、根据函数关系式求出最大值及取得最大值的自变量的值，当 的值不在自变量的取值范围内时，应根据取值范围来确定最大值。
例1（2006年旅顺口区中考试题）已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图1），其中AF ＝2，BF ＝1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积.简析 设矩形PNDM 的边DN ＝x ，NP ＝y ，则矩形PNDM 的面积S ＝xy （2≤x ≤4）， 易知CN ＝4－x ，EM ＝4－y .且有NP BC CN-＝BFAF（作辅助线构造相似三角形），即34y x --＝12，所以y ＝－12x +5，S ＝xy ＝－12x 2+5x （2≤x ≤4），此二次函数的图象开口向下，对称轴为x ＝5，所以当x ≤5时，函数的值是随x 的增大而增大，对2≤x ≤4来说，当x ＝4时，S 有最大值S 最大＝－12×42+5×4＝12.说明 本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力.同时，也给同学们探索解题思路留下了思维空间.例2（2006年南京市中考试题）如图2，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，线段EF ＝10.在EF 上取一点M ，分别以EM 、MF 为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD .令MN ＝x ，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？简析 因为矩形MFGN ∽矩形ABCD ，所以MNAD＝MF AB，因为AB ＝2AD ，MN ＝x ，所以MF ＝2x ，所以EM ＝EF －MF ＝10－2x ，所以S ＝x (10－2x )＝－2x 2+10x ＝－2(x －52)2+252，所以当x ＝52时，S 有最大值为252.说明 本题是利用相似多边形的性质，求出矩形的边之间的关系，再运用矩形的面积构造出二次函数的表达式，使问题求解.例3（2006年泉州市中考试题）一条隧道的截面如图3所示，它的上部是一个以AD 为直径的半圆O ，下部是一个矩形ABCD .（1）当AD ＝4米时，求隧道截面上部半圆O 的面积；（2）已知矩形ABCD 相邻两边之和为8米，半圆O 的半径为r 米.①求隧道截面的面积S （米）关于半径r （米）的函数关系式（不要求写出r 的取值范围）；②若2米≤CD ≤3米，利用函数图象求隧道截面的面积S 的最大值.（π取3.14，结果精确到0.1米）简析（1）当AD ＝4米时，S半圆=12π×22AD ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝12π×22＝2π(米2).（2）①因为AD ＝2r ，AD +CD ＝8，所以CD ＝8－AD ＝8－2r ，所以S ＝12πr 2+AD ·CD ＝12πr 2+2r (8－2r )＝(12π－4)r 2+16r ；②由①知CD ＝8－2r ，又因为2米≤CD ≤3米，所以2≤8－2r ≤3，图 2 图1所以 2.5≤r ≤3，由①知S ＝(12π－4)r 2+16r ＝(12×3.14-4)r 2+16r ＝－2.43r 2+16r ＝－2.43(r －82.43)2+642.43，因为－2.43＜0，所以函数图象为开口向下的抛物线，因为函数图象对称轴r ＝82.43≈3.3.又2.5≤r ≤3＜3.3，由函数图象的性质可知，在对称轴左侧S 随r 的增大而增大，故当r ＝3时，S 有最大值，S最大值＝(12π－4)×32+16×3≈(12×3.14－4)×9+48＝26.13≈26.1(米2).即隧道截面面积S 的最大值约为26.1米2.说明 本题是一道典型的代数与几何的综合题，集图形的面积、不等式与二次函数的知识有机的结合在一起，有助于培养同学们的综合应用能力.例4（2006年陕西中考课改试题）王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60cm 的正方形板子；另一块是上底为30cm ，下底为120cm ，高为60cm 的直角梯形板子（如图4），王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材.他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCDE 围成的区域（如图5），由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B 为一个顶点.（1）求FC 的长；（2）利用如图5求出矩形顶点B 所对的顶点到BC 边的距离x (cm)为多少时，矩形的面积最大？最大面积时多少？图3（3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长.简析（1）由题意，得△DEF ∽△CGF ，FC DF ＝CGDE，即603060=-FC FC ， 所以FC ＝40(cm).（2）如图5，设矩形顶点B 所对顶点为P ，则①当顶点P 在AE 上时，x ＝60，y 的最大值为60×30＝1800(cm 2)；②当顶点P 在EF 上时，过点P 分别作PN ⊥BG 于点N ，PM ⊥AB 于点M .根据题意，得△GFC ∽△GPN ，所以CGFG NG DF =，所以NG ＝23x ，所以BN ＝120－23x ，所以y ＝x (120－23x )＝－23(x －40)2+2400，所以当x ＝40时，y 的最大值为2400(cm 2)；③当顶点P 在FC 上时，y 的最大值为60×40＝2400(cm 2).综合①②③，得x ＝40cm 时，矩形的面积最大，最大面积为2400cm 2.（3）根据题意，正方形的面积y (cm 2)与边长x (cm)满足的函数表达式为： y ＝－23x 2+120x .当y ＝x 2时，正方形的面积最大，所以x 2＝－23x 2+120x .解之，得 x 1＝0（舍去），x 2＝48(cm).图4图5所以面积最大得正方形得边长为48 cm.说明本题是一道典型的二次函数与几何综合应用的问题，在解第（2）小题时，一定不要忽视分类讨论来求出每一种情况的最大值后，再进行比较得出结论，第（3）小题只需根据题意列出方程就能解决.。
二次函数最值问题及解题技巧(个人整理)
一、二次函数线段最值问题【1】1、平行于x轴的线段最值问题1）首先表示出线段两个端点的坐标2）用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标3）得到一个线段长关于自变量的二次函数4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、平行于y轴的线段最值问题1）首先表示出线段两个端点的坐标2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值3、既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题1）以此线段为斜边构造一个直角三角形，并使此直角三角形的两条直角边分别平行于x轴、y轴2）根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标3）根据“上减下，右减左”分别表示出两直角边长4）根据勾股定理表示出斜边的平方（即两直角边的平方和）5）得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数6）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值7）根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可二、二次函数周长最值问题1、矩形周长最值问题1）一般会给出一点落在抛物线上，从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形，求其周长最值2）可先设此点坐标，点p到x轴、y轴的距离和再乘以2，即为周长3）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值1）首先判断图形中那些边是定值，哪些边是变量2）利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化的边，并求其和的最小值3）周长最小值即为两条变化的边的和最小值加上不变的边长三、二次函数面积最值问题1、规则图形面积最值问题（这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴，四边形必有一组对边平行于坐标轴）1）首先表示出所需的边长及高2）利用求面积公式表示出面积3）得到一个面积关于自变量的二次函数4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、不规则图形面积最值问题1）分割。
二次函数中的几何最值问题
= −1,
B（3，0），代入得：ቊ
∴ቊ
3 + = 0,
= 3,
∴ = − + 3，当 = 0时， = 3,
∴ M(0，3)
（图2）
典型
例题
（3）如图3，M为y轴上一动点， N为抛物线对称轴上一动点，
且MN⊥ y轴，求 PN+MN+BM的最小值.
y
P′ D P
点，求 DM+MN+ NB的最小值.
例题
解：如图，作点D关于y轴的对称点′ −， ，作
′
5
∠OBQ,使sin ∠ = 5 ，过点′ 作′ H⊥BQ 于H，
交y轴于点′ ,交x轴于点′ ,当′ 、′ 、 H三点共
′
Q
取最小值，此时
( + MN + ) = ′ H.
过点′ 作′ ⊥ 于x轴于点E,∵∠E ′ H=∠OBH,
线时， + MN +
H
R
1
∴tan ∠′ H = tan OBH = 2 ,
′
′
∴ ′ = ，′ E=4, ∴ =2, ∴B′ =2,
（图6）
E
,
∴′ ′= ∴′H=
∴′ H=2 +
B：(3,0)
C：(0,3)
D：(1,4)
A O
（图1）
B
x
典型
（2）如图2，M为y轴上一动点，
求BM+DM最小值以及此时点M的坐标.
例题
D'
y
C
人教版九年级数学上册第22章二次函数几何图形中的最值问题优秀教学案例
3.鼓励学生提问，培养学生的质疑精神。教师要积极回应学生的问题，引导学生通过探讨、交流，共同解决问题。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组合作，鼓励学生分享解题心得和方法。如：在解决实际问题时，引导学生运用合作交流、讨论等方式，共同探讨最值问题的解法。
3.注重评价的激励作用，激发学生的学习兴趣和自信心。如：对学生在解决问题过程中的亮点进行表扬，鼓励学生克服困难、勇和拓展性的作业，让学生在课后巩固所学知识，提高解决问题的能力。如：设计一些类似的实际问题，让学生运用所学方法求解最值问题。
2.鼓励学生主动查找相关资料，拓宽知识面。如：让学生课后查阅有关二次函数在几何图形中最值问题的案例，了解更多的解题方法。
4.多元化的评价方式：本节课采用多元化的评价方式，关注学生在解决问题过程中的数学思维方法和解决问题的能力。通过学生互评、自评、教师评等方式，对学生的解题过程和结果进行评价，激发学生的学习兴趣和自信心。
5.针对性的作业设计：本节课布置了具有针对性和拓展性的作业，让学生在课后巩固所学知识，提高解决问题的能力。通过设计一些类似的实际问题，让学生运用所学方法求解最值问题，进一步培养学生的应用能力和创新精神。
3.教师要关注学生的作业完成情况，及时给予反馈和指导。如：对学生在作业中的优点进行表扬，对存在的问题进行耐心讲解，帮助学生提高解题水平。
五、案例亮点
1.生活情境的创设：本节课以生活实际为例，创设了富有情境的教学情境，让学生感受到数学与生活的紧密联系。通过设计“购物预算”、“最大利润”等问题，引出二次函数在几何图形中最值问题的学习，从而提高学生的学习兴趣和积极性。
利用二次函数破解几何比值最值问题
2020年第7期故学故学7-47利用二次函数破解几何比值最值问题蔡卫兵(浙江省宁波市鄞州实验中学，浙江宁波315000)二次函数的应用是初中数学的重点和难点，通常把它与最值问题联系在一起进行考查.近几年许多省市的数学考试题中，常出现 一类几何量的比值最值问题，这类题既考基础 又考能力，也考查数学运算、数学建模等素养，直接采用几何原理分析推理往往很难突破，而 构建函数模型，运用函数性质思考，便能揭开 最值的面纱.解好这类题，需要综合运用代数 与几何知识，综合性强、难度大，现举例说明.1直线上动点生成的图形面积比值之最值 例1如图1,在正方形中，点C在 边上（不与点S、C重合），连结与对角线交于点//，设和四边形CD//C的面积分别为S,和S2.求^的最大值.A D图1解析：（方法一）设仙=«，由ABGH…ADAI{得BH_BG_x^HD~A D~ a'.x Jla xBH=---B D=-——，x + a x + ax + a x + a可得& =严齡45。
= 2177^，f A BHG=—BG •BHsin45c22(x + a) 9 S2ax a x + a-2(x + a)2(x + a)*52ax - a2 - x2(x\ 2x于是瓦一~二_(T)+T + 1= _(7_+)+1，于是当音时，|有最大 值(方法二)设= X，所以s° A BH G/5G\2(B G\22s,—u)=XS 厲=x%.>^AAHB•= ^■5,,^2~^A B CD ~^A BHG =S ABAD-^A BH GS2.i1\ 25于是f二一％+%+1=一卜-yj +j，所以当尤=y时，#■有最大值y(方法三）如图2,连结C//，易证A4ZW4 ACDH.A D7-M8敦学敉学2020年第7期、i B H BG设™ =斤=心则1-xS,c//c^*^2^ ACDH+^CH瓦='太2S!=(-尤2 +尤成，=1 + (-尤+ X) =-(X - y j+ —,所以当士时，^有最大值夺.H C RH(方法四）如图3,连结DG，设@ = &BGV c=x MD图3^ADHG =I，S ABHG =X S^,S ABDG =(X+x H，^A C D G =^B D G~(X+*^1X X=(1 - x2)S l9r-f-.v.*^2^ A DHG S厶CDG所以 T = =尤5, Sx s,(1 - x2)-卜$2 +1,所以当时，€有最大值4点评：当主动点G从点B向点C运动时，A4//Z)和四边形CZWG的面积都随之减小，不 宜运用几何直观说明面积比值的变化规律.初 步感知,BG是自变量*，当已知正方形的边长a 时，则可分别用含*和a的代数式表示S,和S2，进一步求出因变量当把S C和正方形边长的比值看作自变量时，则可利用正方形的轴 对称、相似三角形的性质、同高三角形面积之比等于底边之比等知识找出相关图形面积之 间的关系，关于四边形C Z)//G的面积，通常可 采用割补加减的方法进行计算，构建自变量和 因变量都是以比值形式的函数模型，需要较好 的运算能力、建模能力.2圆上动点生成的线段比值之最值例2如图4,已知在平面直角坐标系中，点fi(-3, 0)，C(-3, 8)，以线段S C为直径作 圆，圆心为点£，点G为〇E上任意一动点，连结CC并延长交x轴于点F，连结BC.求^的最大值.解析：（方法一）设B C=x，由勾股定理得 CG =764 -*2.由ABCG-A F C B得■=盖，可得CF64\/64 - x2于是誃c-^64 - x2V-尤4 + 64x26464- 32广 + 1 02464，所以当BG= CG，即G在&的中点时，^取最大值= +.CF64 2(方法二）设CF = X，由勾股定理得= Vx2 -64,由面积法得BC •BF8^x2 - 64BG =-------=----------CF x丁曰BG SVx2 - 64于是一令4= *，则X2020年第7期敦学敉学7-4964 1?y =---- + — = - 64/ + tx x1+ 256'易知y的最大值为士，_的最大值为士.3抛物线上动点生成的线段比值之最值例3如图6,在平面直角坐标系中，直线y = y x + 2与a•轴交于点/!，与；)轴交于点C.抛 物线:K= _ j x2 + /w t + c经过/I、C■两点，与:r轴(方法三）如图5，过点C作C//丄S C于点 //，设 C// =：*，则 B// = 8 - 1由ACC//…A G B H 得CH GHGH~^H，即C// =y^(8 - %).由ABC//A F C B得B GC fGH\/一尤2 + 8%8V~(x - 4)^8易得^的最Lb大值为士 •点评：圆周上的主动点c产生动直线c c，得到从动点f，其中BC、C F都是变量，不宜运 用儿何直观说明线段比值的变化规律.不难发 现，当BC、C F中有一个量确定时，另一个量也 随之确定.因此选择其中一条线段的长为自变 量X，则可利用勾股定理、相似三角形和面积法 等知识表示出另一条线段的长,进一步求出因n r1变量但所得函数模型比较复杂，需要通过代数式的恒等变形或整体换元转化构造二次 函数模型寻求思路.如果要从相似三角形上进 行比例线段的转化，对数学运算或数学推理等 数学的核心素养提出了一定的要求，每一个确 定的主动点c的位置都有随之确定的点//，即可考虑C7/为自变量，体现数学本质的内容，则 函数关系式会变得容易一些.的另一交点为点点为直线/IC上方抛物线 上一动点，连结5C、a x设直线s/)交线段4C 于点£, A C£»£的面积为S,，厶5(：£的面积为s2，求$的最大值.解析：（方法一）如图7,过点C作C//丄仙于点"，过点D作// y轴交/IC于点财，过点S作丄x轴交/1C于点则// S/V.易得S,D E_ im~ BN'不难求得 /?(丨，〇)，/V(1，^)，fi/V =夺.设 D(t，- 士《2 - + 2)，则 A/(’，士/ + 2).所以=-y f-t1 - It.可得」=—------=_ 丄(/ + 2)2 + 1，S2上 5 52所以当/ = - 2时，$取最大值(方法二）如图8,过点D作// x轴交 /1C于点F.n丄 1 s.DE DF、n,同方法一得7设0(卜b，nh A d1,3r i,1123---r—z + 2)，贝i j一丨 + 2 = —r—t + 2, 2222213 x——1~ —3<,B P F( —t~ —3t,—可t~—+2).所以训=-P - 3卜《=-<2 -4r后续解题 步骤同解方法一.(方法三）如图9,过点/)作/^丄4C于点 厂，// y轴交/1C于点M.同方法一得/观=_ - 2，.由w AA()C m J oDMJ c y2DF = —DM.V5S,由ADEF a ABEC 得 tS，DEY eDF~B C---rysi2V5，后续解题步骤同方法~■••点评：此题考查学生从不确定运动情况中 将两个三角形面积比进行转化，从而求解最值 问题，涉及的知识点有一次函数、二次函数的 解析式及其图像与性质、点的坐标、三角形的 面积、相似三角形等，较好地考查学生直观想 象、逻辑推理、数学建模和数学运算等素养.由 于ACI>£的/)£边上的高与的边上的高相同，则其面积之比即为底边之比；由于 动点〇生成的动直线SZ>与定直线A C的交点 £也为动点，进而产生的线段/?£、均为变 量且不易分别直接表示出来，而平行于％轴或 7轴的水平线段或铅垂线段的长度易与点的 坐标建立联系，因此需要构造出分别包含〇£ 与的“X”型相似模型进行转化，进而将问 题转化为求二次函数的最值问题.综上所述，在探索和解决问题的过程中，有序思考，分层推进，凸显了数学解题三个递 进的境界：一是知其然，二是知其所以然，三是 如何知其所以然.在n常解题教学中，我们要 善于选取、归类、整合典型的试题作为教学素 材，注重挖掘题目通法，提炼解题模型，从而提 升学生的思维能力和解题素养.参考文献：[1]姚高文.由特值求解引发的探究[J].中学数学教学参考（中旬），2018(7): 66 - 68.,1 ISSN 0488 7387刊号.----CN31 1024/G4定价:7. 00元每月12日出版代号：4-357。
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利用二次函数求几何图形中的最值问题
构造二次函数来确定几何图形中的有关面积最大值的问题是近年来常考的题型，求解这类问题，实际上，只要我们能充分运用条件，根据图形的特点，综合运用所学知识，如，勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、图形的面积公式等等来寻求等量关系，从而构造出二次函数，再利用二次函数的性质即可求解.现举例说明.
例1（旅顺口区中考试题）已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图1），其中AF＝2，BF＝1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积.
分析设矩形PNDM的边DN＝x，NP＝y，则矩形PNDM的面积S＝xy（2
≤x≤4），易知CN＝4－x，EM＝4－y.且有NP BC
CN
-
＝
BF
AF
（作辅助线构造相似
三角形），即
3
4
y
x
-
-
＝
1
2
，所以y＝－
1
2
x+5，S＝xy＝－
1
2
x2+5x（2≤x≤4），此二
次函数的图象开口向下，对称轴为x＝5，所以当x≤5时，函数的值是随x的增
大而增大，对2≤x≤4来说，当x＝4时，S有最大值S
最大＝－
1
2
×42+5×4＝12.
小结：本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力.同时，也给同学们探索解题思路留下了思维空间.
例2（南京市中考试题）如图2，在矩形ABCD中，AB＝2AD，线段EF＝10.在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN∽矩形ABCD.令MN＝x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？
分析因为矩形MFGN∽矩形ABCD，所以MN
AD
＝
MF
AB
，因为AB＝2AD，
MN＝x，所以MF＝2x，所以EM＝EF－MF＝10－2x，所以S＝x(10－2x)＝－
2x2+10x＝－2(x－5
2
)2+
25
2
，
所以当x＝5
2
时，S有最大值为
25
2
.
小结本题是利用相似多边形的性质，求出矩形的边之间的关系，再运用矩形的面积构造出二次函数的表达式，使问题求解.
例3（泉州市中考试题）一条隧道的截面如图3所示，它的上部是一个以AD为直径的半圆O，下部是一个矩形ABCD.
（1）当AD＝4米时，求隧道截面上部半圆O的面积；
（2）已知矩形ABCD相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米.
①求隧道截面的面积S（米）关于半径r（米）的函数关系式（不要求写出r的取值范围）；
②若2米≤CD≤3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值.（π取
3.14，结果精确到0.1米）
分析（1）当AD＝4米时，S
半圆=
1
2
π×
2
2
AD
⎛⎫
⎪
⎝⎭
＝
1
2
π×22＝2π(米2).（2）①因
为AD＝2r，AD+CD＝8，所以CD＝8－AD＝8－2r，所以S＝1
2
πr2+AD·CD＝
1 2πr2+2r(8－2r)＝(
1
2
π－4)r2+16r；②由①知CD＝8－2r，又因为2米≤CD≤3
米，所以2≤8－2r≤3，所以 2.5≤r≤3，由①知S＝(1
2
π－4)r2+16r＝
(1
2
×3.14-4)r2+16r＝－2.43r2+16r＝－2.43(r－
8
2.43
)2+
64
2.43
，因为－2.43＜0，所
以函数图象为开口向下的抛物线，因为函数图象对称轴r＝
8
2.43
≈3.3.又2.5≤r
≤3＜3.3，由函数图象的性质可知，在对称轴左侧S随r的增大而增大，故当r
＝3时，S有最大值，S
最大值＝(
1
2
π－4)×32+16×3≈(
1
2
×3.14－4)×9+48＝
26.13≈26.1(米2).即隧道截面面积S的最大值约为26.1米2.
小结本题是一道典型的代数与几何的综合题，集图形的面积、不等式与二次函数的知识有机的结合在一起，有助于培养同学们的综合应用能力.
例4（陕西中考课改试题）王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60cm 的正方形板子；另一块是上底为30cm，下底为120cm，高为60cm的直角梯形板子（如图4），王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材.他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCDE围成的区域（如图5），由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B为一个顶点.
（1）求FC的长；
（2）利用如图5求出矩形顶点B所对的顶点
．．．．．到BC边的距离x(cm)为多少时，矩形的面积最大？最大面积时多少？
（3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长.
分析（1）由题意，得△DEF ∽△CGF ，FC DF ＝CG DE ，即60
3060=-FC FC ，所以FC ＝40(cm).（2）如图5，设矩形顶点B 所对顶点为P ，则①当顶点P 在AE 上时，x ＝60，y 的最大值为60×30＝1800(cm 2)；②当顶点P 在EF 上时，过点P 分别作PN ⊥BG 于点N ，PM ⊥AB 于点M .根据题意，得△GFC ∽△GPN ，所以CG
FG NG DF =，所以NG ＝23x ，所以BN ＝120－23x ，所以y ＝x (120－23x )＝－23(x －40)2+2400，所以当x ＝40时，y 的最大值为2400(cm 2)；③当顶点P 在FC 上时，y 的最大值为60×40＝2400(cm 2). 综合①②③，得x ＝40cm 时，矩形的面积最大，最大面积为2400cm 2.（3）根据题意，正方形的面积y (cm 2)与边长x (cm)
满足的函数表达式为：y ＝－2
3x 2+120x .当y ＝x 2时，正方形的面积最大，所以x 2＝－2
3x 2+120x .解之，得x 1＝0（舍去），x 2＝48(cm).所以面积最大得正方形得边长为48 cm.
小结 本题是一道典型的二次函数与几何综合应用的问题，在解第（2）小题时，一定不要忽视分类讨论来求出每一种情况的最大值后，再进行比较得出结论，第（3）小题只需根据题意列出方程就能解决.。