稳态导热习题(2020年整理).pdf

稳态导习题

1 固体内的一维导热问题

例1 具有均匀内热源强度q v 的无限大平壁处于稳态导热，其厚度为2δ，导热系数λ为常数，两侧壁温各自均布，分别为 t w1和t w2，试求该平壁内的温度分布表达式。 解: 根据题意，x 坐标的原点取平壁的中心线，描述该平壁内稳态导热现象的微分方程式为：

2v

2d 0d q t x λ

+= （1） 边界条件： x= -δ: t=t w1

x= δ: t=t w2 （2）

移项后积分该微分方程式两次可得其通解

v 1d d q t

x C x λ

=−+ 2v 122q

t x C x C λ

=−++ （3）

代入边界条件

2v

w112()()2q t C C δδλ=−−+−+ （4） 2v w2

122q

t C C δδλ=−++ （5）

式（4）+式（5）

2

w1w2v 22δλ+=

+t t q C （6） 式（4）－式（5）

w2w1

12t t C δ

−=

（7）

C 1和C 2代入微分方程式的通解式（3）后得到壁内的温度表达式

22v w2w1w2w1(2)222

δλδ−+=

−++q t t t t

t x x （8）

例2具有均匀内热源q v 的无限大平壁处于稳态导热，其厚度为2δ，导热系数λ为常数，两侧壁温各自均布且相同，均为t w ，试求该平壁内的温度分布表达式。

解: 根据题意，导热微分方程式同上题。由于两侧壁温相同，是一种对称情况，因此只需求解一半的求解域即可，x 坐标的原点取平壁的中心线。描述该平壁内稳态温度场的微分方程式为：

2v

2d 0d q t x λ

+= （1） 边界条件：x=0:

d 0d t

x

=

x=δ: w = t t （2） 该微分方程式的通解为

2

v 122q t x C x C λ=−

++ （3） 代入边界条件

v

100q C λ

=−

+ （4）

2

v w 122q t C C δδλ

=−

++ （5） 由式（4）

10C = (6)

常数C 1代入式（5）

2

v 2w 2q C t δλ

=+

(7)

常数C 1和C 2代入微分方程式的通解式（3）后得到壁内的温度表达式

2

2v w ()2q t x t δλ

=

−+ (8)

例3一锥台如附图所示，顶面和底面温度各为均匀的t w1和t w2，侧面覆有保温材料。锥台的导热系数λ为常数.该锥台横截面的直径随坐标x 的变化规律为d=cx (c 为常数)。设锥台内的导热为沿x 方向的一维稳态导热。

试求：a. 通过锥台的热流量 b. 任意x 处的热流密度

解: 锥台顶面和底面的温度已知，锥台内无内热源，侧面绝 热，因此锥台内沿x 方向的热流量Ф为常数，导热系数λ为常 数,可用傅里叶定律直接积分求得。 根据傅里叶定律 x

dt

A dx

λΦ=− （1） 式（1）两侧分离变量并积分

w2

2

w1

1

d d t x t x x

t x A λΦ

=−

⎰

⎰ （2） 由于热流量Φ和导热系数λ均为常数

w2

2

w1

1

2

d d ()4

πλ

Φ

=−

⎰

⎰

t x t x x

t cx （3）

2

1w2w12

41()|πΦ−=−

−x x t t c x

（4）

w2w12

21

411

()πΦ−=

−t t c x x （5） 因此 2w2w1

21

114π−Φ=

−t t c x x （6）

任意x 处的热流密度

w2w1221

11(t t q A x x x −Φ

=

=−）

（7）

例4一无限大平壁处于稳态导热，其厚度为δ，导热系数λ可用线性函数关系式λ=λo (1+ct)近似,其中λo 和c 均为常数，两侧壁温各自均布，分别为t w1和t w2，试求通过该平壁的热流密度q 。

解:无限大平壁两侧的温度已知，平壁内无内热源，因此沿与平壁垂直的x 方向的热流 量Φ或热流密度q 为常数，可用傅里叶定律直接积分求得。

根据傅里叶定律 t d d t

q x

λ=− （1） 式（1）两侧分离变量并积分

w2

w2

w1

w1

t o 0

d (1)d d δ

λλ=+=−⎰

⎰⎰t t t t t ct t q x （2）

w2w1

2o ()|2

λδ+=−t t c t t q (3)

因此 22

o w1w1w2w2[()()]22

λδ=+−+c c q t t t t （4）

例5一导热系数为λ1=1.3 W/(m·K)，厚2 cm 的无限大平壁，外覆盖一层导热系数λ2=0.35

W/(m·K)的保温材料以减少热损失。当组合壁的内、外表面温度分别为1300 ℃与30 ℃时，欲使稳态导热时热损失不超过1830 W/m 2，保温材料的厚度应为多少？ 解：根据题意，各层壁内无内热源，因此沿壁厚方向的热流密度为常数。

i 1212

t t

q R A δδλλ∆∆=

=∑+ 2

(130030)

18300.021.30.35

δ−=

+

因此，

21300300.02

0.35(

)0.23751830 1.3

δ−=−= m